BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
B. Saran
2. Diketahui :
a. Nyatakan himpunan S, P dan Q dengan cara mendaftar anggota-anggotanya!
b. Dengan cara mendaftar anggota-anggotanya, carilah ! c. Tentukan !
d. Gambarkan hubungan himpunan P dan Q dengan diagram Venn! Penyelesaian:
a. S = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20} P = {4,8,12,16,20}
Q = {2,4,6,8}
b. Unsur yang sama dari himpunan P dan Q adalah {4,8}, maka
c. Banyaknya anggota adalah 2, ditulis:
d. Diagram Venn yang menggambarkan hubungan himpunan P dan Q adalah
3. Perhatikan diagram Venn di samping! Tentukanlah!
a. S e.
b. M f.
c. N g.
Penyelesaian:
a. Himpunan semesta merupakan semua bilangan yang adalah dalam diagram Venn, yaitu {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
Maka, S = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
b. Himpunan M adalah semua bilangan yang ada dalam kurva tertutup M yaitu {4,8,12,16}
Maka, M = {4,8,12,16}
c. Himpunan N adalah semua bilangan yang ada dalam kurva tertutup N yaitu {6,12,18}
Maka, N = {6,12,18}
d. Daerah yang diarsir adalah daerah Maka,
e. Dengan memperhatikan jawaban (a), maka banyaknya anggota himpunan S adalah 10, ditulis n(S) = 10.
f. Dengan memperhatikan jawaban (b), maka banyaknya anggota himpunan M adalah 4, ditulis n(M) = 4.
g. Dengan memperhatikan jawaban (c), maka banyaknya anggota himpunan N adalah 3, ditulis n(N) = 3.
h. Dengan memperhatikan jawaban (d), maka banyaknya anggota adalah 1, ditulis
Petunjuk: setelah selesai mempelajari materi, kerjakan Latihan Soal 1 dalam LKS ini secara individual. Jika sudah selesai, kerjakan pelajari materi selanjutnya.
Latihan 1
1. Diketahui: S = {bilangan asli antara 20 dan 30}, P = {bilangan ganjil antara 20 dan 30} dan Q = {bilangan prima antara 20 dan 30}.
a. Nyatakan himpunan S, P dan Q dengan cara mendaftar anggota-anggotanya!
b. Dengan cara mendaftar anggota-anggotanya, carilah ! c. Tentukan !
d. Gambarkan hubungan himpunan P dan Q dengan diagram Venn! Jawab: ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2. Perhatikan diagram Venn di samping! Tentukanlah: a. S e. b. A f. c. B g. d. h. Jawab: ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2. GABUNGAN Materi
Misalkan diketahui dua himpunan: A = { a,b,c,d }
B = { a,d,p,q }
Unsur atau elemen apakah yang ada pada kedua himpunan A dan B?
Unsur/ elemen yang ada pada kedua himpunan A dan B adalah ...
Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang tiap anggotanya adalah anggota A atau B. Lambang gabungan adalah . Sehingga, gabungan dua himpunan A dan B, ditulis (dibaca: A gabung B).
Jika ditulis dengan notasi pembentuk himpunan:
Ada empat cara menentukan gabungan dua himpunan yaitu: 1. Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain
Misal: dan .
Jika diamati, semua anggota A ada pada B, berarti A himpunan bagian B, ditulis: .
Gabungan A dan B merupakan gabungan semua unsur-unsur himpunan A dan B, dimana unsur yang sama hanya ditulis satu kali. Sehingga gabungan himpunan A dan B adalah {1,2,3,4,5}, ditulis:
.
Gambar 2.1 adalah diagram Venn untuk dengan . Daerah yang diarsir merupakan daerah .
Gambar 2.1
Dengan memperhatikan Gambar 2.1,
jika maka Himpunan semua x
sedemikian sehingga
x anggota A atau x anggota B A gabung B adalah
2. Kedua himpunannya sama
Misal: dan .
Jika diamati, setiap anggota A juga anggota B, berarti himpunan A sama dengan B, ditulis : .
Sehingga gabungan kedua himpunan itu adalah .
Gabungan A dan B merupakan gabungan semua unsur-unsur himpunan A dan B, dimana unsur yang sama hanya ditulis satu kali. Sehingga gabungan himpunan A dan B adalah {1,2,3 }, ditulis: .
Gambar 2.2 diagram Venn untuk dengan . Daerah yang diarsir merupakan daerah .
Gambar 2.2
Dengan memperhatikan Gambar 2.2,
jika maka atau
3. Kedua himpunan tidak saling lepas (berpotongan) dan himpunan yang satu bukan himpunan bagian yang lain
Misal, dan .
Jika diamati, ada anggota A yang juga anggota B, ada anggota A yang bukan anggota B, dan ada anggota B yang bukan anggota A.
Berarti A dan B tidak saling lepas (berpotongan), ditulis : .
Gabungan A dan B merupakan gabungan unsur-unsur himpunan A dan B, dimana unsur yang sama hanya ditulis satu kali. Sehingga gabungan himpunan A dan B adalah {1,2,3,4 }, ditulis: .
Gambar 2.3 adalah digram Venn untuk dengan . Daerah yang diarsir adalah daerah .
Gambar 2.3
Dengan memperhatikan Gambar 2.3,
jika maka ada anggotanya
4. Kedua himpunan yang saling lepas Misal, dan .
Jika diamati, anggota A tidak ada pada B dan anggota B tidak ada pada B.
Berarti A dan B saling lepas, ditulis .
Gabungan A dan B merupakan gabungan unsur-unsur himpunan A dan B, dimana unsur yang sama hanya ditulis satu kali. Sehingga gabungan himpunan A dan B adalah {1,2,3,4,5,6}, ditulis: .
Gambar 2.4 adalah diagram Venn untuk dengan . Daerah yang diarsir merupakan .
Gambar 2.4
Dengan memperhatikan Gambar 2.4,
jika maka ada anggotanya.
Contoh Soal
1. Diketahui S … A dan B
a. Dengan cara mendaftar anggota-anggotanya, carilah ! b. Tentukan !
c. Gambarkan hubungan himpunan A dan B dengan diagram Venn! Penyelesaian:
a. A = {1,2,3} B = {2,3,4,5}
Anggota A gabung anggota B adalah {1,2,3,4,5}, maka b. Ada 5 unsur yaitu {1,2,3,4,5}. Maka
c. Diagram Venn yang menggambarkan hubungan himpunan A dan B adalah
2. Diketahui S = {bilangan asli kurang dari 21}, P = {bilangan kelipatan 4 kurang dari 21} dan Q = {bilangan genap kurang dari 10}
a. Nyatakan himpunan S, P dan Q dengan cara mendaftar anggota-anggotanya!
b. Dengan cara mendaftar anggota-anggotanya, carilah ! c. Tentukan !
d. Gambarkan hubungan himpunan P dan Q dengan diagram Venn! Penyelesaian:
a. S = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20} P = {4,8,12,16,20}
Q = {2,4,6,8}
b. Gabungan anggota P dan Q adalah {2,4,6,8,12,16,20}, maka
c. Ada 7 unsur yaitu {2,4,6,8,12,16,20}. Maka
d. Diagram Venn yang menggambarkan hubungan himpunan P dan Q adalah
3. Perhatikan diagram Venn berikut! Tentukanlah! a. S e. b. A f. c. B g. d. h. Penyelesaian:
a. Himpunan semesta merupakan semua bilangan yang adalah dalam diagram Venn, yaitu {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
b. Himpunan A adalah semua bilangan yang ada dalam kurva tertutup A yaitu {4,8,12,16}
Maka, A = {4,8,12,16}
c. Himpunan B adalah semua bilangan yang ada dalam kurva tertutup B yaitu {6,12,18}
Maka, B = {6,12,18}
d. Dari gambar diperoleh, ditunjukkan oleh daerah yang diarsir yaitu {4,6,8,12,16,18}
Maka,
e. Dengan memperhatikan jawaban (a), maka banyaknya anggota himpunan S adalah 10, ditulis
f. Dengan memperhatikan jawaban (b), maka banyaknya anggota himpunan A adalah 4, ditulis
g. Dengan memperhatikan jawaban (c), maka banyaknya anggota himpunan B adalah 3, ditulis
h. Dengan memperhatikan jawaban (d), maka banyaknya anggota himpunan adalah 6, ditulis
Petunjuk: setelah selesai mempelajari materi, kerjakan Latihan Soal 2 dalam LKS ini secara individual. Jika sudah selesai, kerjakan LKK I dengan teman sekelompokmu.
Latihan 2
1. Diketahui: S = {bilangan asli antara 20 dan 30}, P = {bilangan ganjil antara 20 dan 30} dan Q = {bilangan prima antara 20 dan 30}.
a. Nyatakan himpunan S, P dan Q dengan cara mendaftar anggota-anggotanya!
b. Dengan cara mendaftar anggota-anggotanya, carilah !
c. Tentukan !
d. Gambarkan hubungan himpunan P dan Q dengan diagram Venn! Jawab: ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2. Perhatikan diagram Venn berikut! Tentukanlah: a. S e. b. A f. c. B g. d. h. Jawab: ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
KELAS VII A
SMP NEGERI 5 SLEMAN
TAHUN AJARAN 2012/ 2013
Lembar Kerja Siswa II
( LKS II )
Nama : ... No. Absen : ...
Topik : Operasi Kurang dan Komplemen pada Himpunan Tujuan Pembelajaran :
1. Siswa dapat melakukan operasi kurang pada himpunan 2. Siswa dapat melakukan operasi komplemen pada himpunan
Petunjuk :
1. Silahkan pelajari LKS-II selama 40 menit dan kerjakan soal-soal latihan yang tersedia
secara INDIVIDUAL .
2. Tulis jawaban beserta langkah-langkah pengerjaannya pada bagian yang telah tersedia.
Ada 4 operasi dalam himpunan, yaitu: 1. Irisan (intersection)
2. Gabungan (union) 3. Kurang (difference) 4. Komplemen
Dalam LKS II ini, kita akan mempelajari operasi kurang dan komplemen dalam himpunan.
3. KURANG/ SELISIH (difference) Materi
Misal, ada dua himpunan: A = { a,b,c,d }
B = { a,d,p,q }
Unsur atau elemen apakah yang menjadi anggota A tetapi tidak menjadi anggota B?
Unsur/ elemen yang menjadi anggota A tetapi tidak menjadi anggota B adalah
Selisih himpunan A dan himpunan B adalah himpunan semua anggota yang ada di A tetapi tidak di B, ditulis A – B. Jika ditulis dengan notasi pembentuk himpunan:
Himpunan semua x
sedemikian sehingga
x anggota A dan x bukan anggota B A kurang B adalah
Gambar 3.1 Diagram Venn untuk A – B
Selisih himpunan B dan himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota yang ada di B tetapi tidak di A, ditulis B – A. Jika ditulis dengan notasi pembentuk himpunan:
–
Gambar 3.2 Diagram Venn untuk B – A
Ada empat cara menentukan selisih dua himpunan yaitu: a. Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain
Misal: dan .
Jika diamati, semua anggota A ada dalam B, berarti A himpunan bagian B, ditulis: .
Selisih himpunan A dan himpunan B adalah himpunan semua anggota yang ada di A tetapi tidak di B, yaitu himpunan kosong, ditulis:
atau
Gambar 3.3 adalah digram Venn untuk dengan . Daerah yang diarsir adalah daerah
Himpunan semua x
sedemikian sehingga
x anggota B dan x bukan anggota A B kurang A adalah
Gambar 3.3
Dengan memperhatikan Gambar 3.3,
jika maka atau
b. Kedua himpunannya sama
Misal: dan .
Jika diamati, setiap anggota A juga anggota B, berarti himpunan A sama dengan B, ditulis : .
Selisih himpunan A dan himpunan B adalah himpunan semua anggota yang ada di A tetapi tidak di B, yaitu himpunan kosong, ditulis:
atau
Gambar 3.4 adalah digram Venn untuk dengan . Gambar 3.4
Dengan memperhatikan Gambar 3.4,
jika maka atau
c. Kedua himpunan tidak saling lepas (berpotongan) dan himpunan yang satu bukan himpunan bagian yang lain
Misal: dan .
Jika diamati, ada anggota A yang juga anggota B, ada anggota A yang bukan anggota B, dan ada anggota B yang bukan anggota A.
Berarti A dan B tidak saling lepas (berpotongan), ditulis : .
Selisih himpunan A dan himpunan B adalah himpunan semua anggota yang ada di A tetapi tidak di B, yaitu {0,1}, ditulis: .
Gambar 3.4 adalah digram Venn untuk dengan . Daerah yang diarsir adalah daerah .
Gambar 3.4
Dengan memperhatikan Gambar 3.4,
jika maka ada anggotanya
d. Kedua himpunan yang saling lepas Misal: dan .
Jika diamati, anggota A tidak ada pada B dan anggota B tidak ada pada B. Berarti A dan B saling lepas, ditulis : .
Selisih himpunan A dan himpunan B adalah himpunan semua anggota yang ada di A tetapi tidak di B, yaitu himpunan A itu sendiri,
ditulis: atau
Gambar 3.5
Dengan memperhatikan Gambar 3.5,
jika maka
Contoh Soal
Untuk dapat memahami operasi selisih pada himpunan, perhatikan contoh-contoh soal berikut!
1. Diketahui S … A dan B = {2,3,4,5} a. Dengan cara mendaftar anggota-anggotanya, carilah ! b. Tentukan !
c. Dengan cara mendaftar anggota-anggotanya, carilah ! d. Tentukan !
e. Gambarkan hubungan himpunan A dan B dengan diagram Venn! Penyelesaian:
a. A = {1,2,3} B = {2,3,4,5}
b. Banyaknya anggota adalah 1, ditulis:
c. Unsur yang ada di B tetapi tidak ada di A adalah {4,5}, maka
d. Banyaknya anggota adalah 2, ditulis:
e. Diagram Venn yang menggambarkan hubungan himpunan A dan B adalah
Dari soal diatas diperoleh sifat operasi selisih yaitu:
2. Diketahui S = {bilangan asli kurang dari 21}, P = {bilangan kelipatan 4} dan Q = {bilangan genap kurang dari 10}
a. Nyatakan himpunan S, P dan Q dengan cara mendaftar anggota-anggotanya!
b. Dengan cara mendaftar anggota-anggotanya, carilah dan tentukan !
c. Dengan cara mendaftar anggota-anggotanya, carilah dan tentukan !
d. Gambarkan hubungan himpunan P dan Q dengan diagram Venn! Penyelesaian:
a. S = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20} P = {4,8,12,16,20}, Q = {2,4,6,8}
Unsur yang ada di P tetapi tidak ada di Q adalah {12,16,20}, maka
Banyaknya anggota adalah 3, ditulis: b. Unsur yang ada di Q tetapi tidak ada di P adalah {2,8},
maka
c. Diagram Venn yang menggambarkan hubungan himpunan P dan Q adalah
3. Perhatikan diagram Venn di samping!
Tentukanlah! a. S f. b. M g. c. N h. d. i. e. j. Penyelesaian:
a. Himpunan semesta merupakan semua bilangan yang adalah dalam diagram Venn, yaitu {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
Maka, S = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
b. Himpunan M adalah semua bilangan yang ada dalam kurva tertutup M yaitu {4,8,12,16}. Maka, M = {4,8,12,16}
c. Himpunan N adalah semua bilangan yang ada dalam kurva tertutup N yaitu {6,12,18}. Maka, N = {6,12,18}
d. adalah unsur yang ada di M tetapi tidak ada di N yaitu {4,8,16} , ditulis
e. adalah unsur yang ada di N tetapi tidak ada di M yaitu {6,18} , ditulis
f. Dengan memperhatikan jawaban (a), maka banyaknya anggota himpunan S adalah 10, ditulis n(S) = 10.
g. Dengan memperhatikan jawaban (b), maka banyaknya anggota himpunan M adalah 4, ditulis n(M) = 4.
h. Dengan memperhatikan jawaban (c), maka banyaknya anggota himpunan N adalah 3, ditulis n(N) = 3.
i. Dengan memperhatikan jawaban (d), maka banyaknya anggota adalah 3, ditulis
j. Dengan memperhatikan jawaban (d), maka banyaknya anggota adalah 2, ditulis
Petunjuk: setelah selesai mempelajari materi, kerjakan Latihan 3 dalam LKS ini secara individual. Jika sudah selesai, pelajari materi selanjutnya.
Latihan 3
1. Diketahui: S = {bilangan asli antara 20 dan 30}, P = {bilangan ganjil antara 20 dan 30} dan Q = {bilangan prima antara 20 dan 30}.
a. Nyatakan himpunan S, P dan Q dengan cara mendaftar anggota-anggotanya!
b. Dengan cara mendaftar anggota-anggotanya, carilah dan tentukan
!
c. Dengan cara mendaftar anggota-anggotanya, carilah dan tentukan !
d. Gambarkan hubungan himpunan P dan Q dengan diagram Venn! Jawab: ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2. Perhatikan diagram Venn di samping! Tentukanlah: a. S f. b. A g. c. B h. d. i. e. j. Jawab: ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
4. KOMPLEMEN Materi
Coba perhatikan himpunan A dalam semesta S yang disajikan oleh diagram Venn berikut!
Gambar 4.1
Fakta yang dapat dicatat dari Gambar 4.1 adalah:
a) Anggota-anggota himpunan A adalah 2,4,7,8.
b) Anggota-anggota himpunan semesta S adalah 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
c) Daerah yang diarsir adalah anggota-anggota S yang bukan anggota A yaitu 1,3,5,6,9,10.
Anggota S yang bukan anggota A adalah anggota dari A komplemen. A komplemen ditulis .
Dengan demikian,
Jadi, komplemen suatu himpunan juga merupakan himpunan. Pengertian komplemen himpunan A sebagai berikut:
Contoh Soal 1. Diketahui:
S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,3,5}
Tentukan komplemen himpunan A terhadap S, kemudian gambarkan diagram Vennnya!
Penyelesaian:
Komplemen himpunan A terhadap S adalah anggota-anggota S yang bukan anggota A, yaitu {2,4,6,8,9,10}.
Ditulis,
Gambar diagram Vennnya adalah
Misalkan A adalah suatu himpunan dalam semesta S.
Himpunan anggota-anggota S yang bukan anggota A disebut komplemen A Komplemen A diberi lambang ��.
2. Diketahui :
S = {1,2,3,4,5, ..., 15}, P = {bilangan genap dalam S}, Q = {bilangan yang habis dibagi 3 dalam S}. Tentukanlah:
a. Nyatakan himpunan-himpunan S, P, dan Q dengan mendaftarkan anggota-anggotanya!
b. terhadap S kemudian gambarlah diagram Vennnya c. terhadap S kemudian gambarlah diagram Vennnya d. kemudian gambarlah diagram Vennnya
e. kemudian gambarlah diagram Vennnya
Penyelesaian:
a. S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} P = {2,4,6,8,10,12,14}, Q = {3,6,9,12,15}
b. terhadap S adalah {1,3,5,7,9,11,13,15}, ditulis . Diagram Vennnya adalah
c. terhadap S adalah {1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,},
d. dalam himpunan semesta S adalah {6,12}, ditulis
Daerah yang diarsir pada diagram Venn menunjukkan daerah .
e. dalam himpunan semesta S adalah
{1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,13,14,15},
Ditulis
Daerah yang diarsir pada diagram Venn menunjukkan daerah
Petunjuk: setelah selesai mempelajari materi, kerjakan Latihan 3 dalam LKS ini secara individual. Jika sudah selesai, pelajari materi selanjutnya.
Latihan 4
1. Diketahui: S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A = {2,3,5,7}
Tentukan komplemen himpunan A terhadap S, kemudian gambarkan diagram Vennnya! ... ... ... ... ... 2. Diketahui : S = {bilangan cacah kurang dari 15}, P = {bilangan prima kurang dari 13}, Q = {bilangan ganjil antar 5 dan 15}. Tentukanlah: a. Nyatakan himpunan-himpunan S, P dan Q dengan mendaftarkan anggota-anggotanya! b. terhadap S kemudian gambarlah diagram Vennnya c. terhadap S kemudian gambarlah diagram Vennnya d. kemudian gambarlah diagram Vennnya e. kemudian gambarlah diagram Vennnya ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...