BAB II LANDASAN TEORI
5. Materi Operasi pada Himpunan
Materi yang digunakan dalam penelitian ini adalah operasi pada himpunan yang mencakup, irisan (intersection), gabungan (union), kurang/ selisih (difference) dan komplemen suatu himpunan yang termuat dalam KTSP 2006. Rangkuman materi diambil dari beberapa buku, yaitu
“Matematika 1 a untuk SMP Kelas 1” karangan Asyono, “Matematika untuk SMP Kelas VII Semester 2” karangan Wono Setyo Budi, dan “Matematika Plus SMP Kelas VII Semester Kedua 1 B” karangan Husein Tampomas.
Standar Kompetensi (SK) dan Kompetensi Dasar (KD) yang harus dicapai siswa dalam penelitian ini disajikan dalam Tabel 2.5, sebagai berikut:
Tabel 2.5 Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar Kelas VII Semester II
Standar Kompetensi Kompetensi Dasar
Aljabar
4. Menggunakan konsep himpunan dan diagram Venn dalam pemecahan masalah
4.3 Melakukan operasi irisan, gabungan, kurang (difference), dan komplemen pada himpunan.
a. Irisan (Intersection)
Irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A sekaligus menjadi anggota B. Lambang irisan adalah “ ”, sehingga irisan dua himpunan A dan B, ditulis (dibaca: A irisan B). Jika ditulis dengan notasi pembentuk himpunan:
} Contoh:
Jika A = {bilangan ganjil yang terletak diantara bilangan 1 dan 10} dan B = {bilangan prima yang terletak antara diantara 1 dan 10}. Tentukan
! Penyelesaian:
Dengan mendaftar anggota-anggotanya diperoleh, dan
. Anggota himpunan A yang sekaligus anggota himpunan B adalah 3,5,7. Dengan demikian, adalah 3,5,7 ditulis .
Ada empat cara menentukan irisan dua himpunan yaitu:
1) Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain
Misal, dan . Jika diamati, semua anggota A adalah dalam B, berarti: . Sehingga irisan kedua himpunan itu adalah . Jika digambarkan tampak seperti Gambar 2.1 dan daerah yang diarsir merupakan .
Gambar 2.1 Digram Venn untuk dengan
Dengan memperhatikan Gambar 2.1, jika maka . 2) Kedua himpunannya sama
Misal, dan . Karena setiap anggota A juga anggota B, berarti: . Sedangkan irisan kedua himpunan itu adalah . Jika digambarkan akan tampak pada Gambar 2.2 dan daerah yang diarsir adalah .
Gambar 2.2 Digram Venn untuk dengan
Dengan memperhatikan Gambar 2.2, jika maka
3) Kedua himpunan tidak saling lepas dan himpunan yang satu bukan himpunan bagian yang lain
Misal, dan . Karena ada anggota A yang juga anggota, ada anggota A yang bukan anggota B, dan ada anggota B yang bukan anggota A, berarti A dan B tidak saling lepas atau . Sehingga irisan dari himpunan A dan B adalah: . Jika digambarkan akan tampak seperti Gambar 2.3, dan daerah yang diarsir merupakan .
Gambar 2.3 Digram Venn untuk dengan
Dengan memperhatikan Gambar 2.3, jika maka ada anggotanya.
4) Kedua himpunan yang saling lepas
Misal, dan . Karena anggota A tidak ada pada B, berarti . Sehingga irisan dari kedua himpunan itu adalah
.
Dengan memperhatikan Gambar 2.4, jika maka tidak ada (himpunan kosong).
b. Gabungan (Union)
Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang tiap
anggotanya adalah anggota A atau B. Lambang gabungan adalah “ ”.
Sehingga, gabungan dua himpunan A dan B, ditulis (dibaca: A gabung B). Jika ditulis dengan notasi pembentuk himpunan:
Contoh:
Jika A = {x | x bilangan ganjil yang terletak diantara bilangan 1 dan 10} dan B = {x | x bilangan prima yang terletak antara diantara 1 dan 10}. Tentukan !
Penyelesaian:
A = {3,5,7,9} dan B = {2,3,5,7}. Kita daftar semua anggota himpunan A dan B yang ada, yaitu 2,3,5,7,9. Dengan demikian,
Ada empat cara menentukan gabungan dua himpunan yaitu: 1) Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain
Misal, dan . Jika diamati, semua anggota A ada pada B, berarti: . Sehingga gabungan kedua himpunan itu adalah . Jika digambarkan tampak seperti Gambar 2.5 dan daerah yang diarsir merupakan .
Gambar 2.5 Digram Venn untuk dengan
Dengan memperhatikan Gambar 2.5, jika maka . 2) Kedua himpunannya sama
Misal, dan . Anggota kedua himpunan itu tepat sama, berarti: . Sehingga gabungan kedua himpunan itu adalah . Jika digambarkan akan tampak pada Gambar 2.6 dan daerah yang diarsir adalah .
Gambar 2.6 Digram Venn untuk dengan
Dengan memperhatikan Gambar 2.6, jika maka
atau .
3) Kedua himpunan tidak saling lepas dan himpunan yang satu bukan himpunan bagian yang lain
Misal, dan . Karena ada anggota A yang juga anggota, ada anggota A yang bukan anggota B, dan ada anggota B yang bukan anggota A, berarti A dan B tidak saling lepas, ditulis
. Jika digambarkan akan tampak seperti Gambar 2.7, dan daerah yang diarsir merupakan .
Gambar 2.7 Digram Venn untuk dengan
Dengan memperhatikan Gambar 2.7, jika maka ada anggotanya.
4) Kedua himpunan yang saling lepas
Misal, dan . Karena anggota A tidak ada pada B, berarti A dan B saling lepas, ditulis . Sehingga gabungan dari kedua himpunan itu adalah . Jika digambarkan tampak pada Gambar 2.8 dan daerah yang diarsir merupakan .
Gambar 2.8 Digram Venn untuk dengan
Dengan memperhatikan Gambar 2.8, jika maka ada anggotanya.
c. Selisih/ Kurang (difference)
Selisih himpunan A dan himpunan B adalah himpunan semua anggota yang ada di A tetapi tidak di B, ditulis A – B. Sedangkan selisih himpunan B dan himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota yang ada di B tetapi tidak di A, ditulis B – A. Secara singkat, definisi dari A – B dan B – A dapat ditulis dengan notasi pembentuk himpunan sebagi berikut:
Gambar 2.9 Diagram Venn untuk A – B Gambar 2.10 Diagram Venn untuk B – A
Contoh:
Jika A = {x | x bilangan ganjil yang terletak diantara bilangan 1 dan 10} dan B = {x | x bilangan prima yang terletak antara diantara 1 dan 10}. Tentukan dan !
Penyelesaian:
A = {3,5,7,9} dan B = {2,3,5,7}. Anggota himpunan A tetapi tidak ada di B adalah 9. Dengan demikian, Sedangkan anggota himpunan tetapi tidak ada di adalah 2.
d. Komplemen
Andaikan diketahui suatu anggota a dan suatu himpunan A, maka akan terdapat dua kemungkinan, yaitu atau . Dengan kata lain, suatu unsur hanya mungkin menjadi anggota atau bukan anggota. Bila kita kumpulkan semua unsur yang bukan anggota suatu himpunan A, kita menyatakan kumpulan itu sebagai komplemen himpunan A. Jika A adalah suatu himpunan, maka komplemen himpunan A terhadap semesta S, ditulis atau A’. Komplemen himpunan A didefinisikan sebagai
himpunan semua anggota yang terletak di luar A, dengan notasi pembentuk himpunan:
Gambar 2.11 Diagram Venn untuk
Teorema:
1) Komplemen himpunan kosong adalah himpunan semesta, ditulis
.
2) Komplemen himpunan semesta adalah himpunan kosong, ditulis
.
3) Komplemen dari komplemen suatu himpunan adalah himpunan itu sendiri, ditulis .
Contoh:
Dalam himpunan semesta . Diketahui: P = himpunan bilangan genap, Q = himpunan bilangan prima, R = himpunan bilangan kelipatan 4. Tentukanlah komplemen himpunan P, Q dan R!
Penyelesaian:
Karena maka
Karena maka
Karena maka