Firman Nurrobi, Yuni Yulida * , Faisal

Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. A. Yani Km. 36, Banjarbaru 70714, Kalsel

*Email: y_yulida@unlam.ac.id

Abstrak

Model pertumbuhan populasi dapat berupa model eksponensial atau model logistik. Doust (2013) meneliti model logistik dengan faktor pemanenan. Faktor pemanenan yang digunakan berupa pemanenan konstan dan pemanenan tidak konstan. Pada paper ini yang akan dibahas adalah model logistik dengan pemanenan konstan. Pemanenan konstan adalah pemanenan yang tidak bergantung pada jumlah populasi yang dipanen. Paper ini bertujuan untuk menjelaskan model logistik populasi dengan faktor pemanenan konstan, menganalisa titik kesetimbangan dan menganalisa bifurkasi yang terjadi karena perubahan dari parameter. Penelitian ini bersifat studi literatur. Model logistik dengan pemanenan konstan memiliki dua titik kesetimbangan. Kestabilan titik kesetimbangan tersebut berubah bergantung nilai parameter ℎ dan mengalami bifurkasi Saddle node pada saat ℎ =^{𝑟𝑟𝑟𝑟}₄.

Kata kunci : Model logistik, Pemanenan konstan, Bifurkasi

1. PENDAHULUAN

Barnes (2009) menjelaskan bahwa model matematika membantu manusia di berbagai bidang seperti biologi dan ekologi. Salah satu model yang dibahas adalah model pertumbuhan populasi. Bentuk dari model pertumbuhan populasi dapat berupa model eksponensial atau model logistik. Campbel (1925) menerangkan model eksponensial adalah model pertumbuhan populasi yang mengasumsikan bahwa sumber daya melimpah sehingga populasi akan tumbuh secara eksponensial dengan cepat. Sedangkan model logistik adalah model pertumbuhan populasi yang mengasumsikan bahwa sumber daya pada suatu populasi terbatas sehingga terjadi persaingan antar sesama spesies agar dapat bertahan hidup. Para ahli ekologi mendefinisikan istilah daya tampung (carrying capacity) sebagai ukuran populasi yang ideal agar populasi spesies tersebut dapat hidup layak pada suatu lingkungan tertentu. Doust (2013) meneliti tentang model logistik dengan faktor pemanenan. Pemanenan adalah proses pengambilan sejumlah populasi per satuan waktu. Pemanenan konstan adalah pemanenan yang

bernilai tetap tanpa memperhatikan jumlah populasi yang dipanen. Dalam model tersebut ditentukan titik kesetimbangan dan solusi persamaan.

Perubahan nilai parameter pemanenan dapat menyebabkan perubahan perilaku dari model logistik dengan faktor pemanenan. Perilaku populasi pada model dapat dijelaskan melalui kestabilan di titik kesetimbangan. Kemudian jika kestabilan titik kesetimbangan tidak dapat ditentukan maka diselidiki melalui analisa bifurkasi. Bifurkasi terjadi jika pada suatu model kestabilan pada model tidak dapat diselidki stabil atau tidak. Bifurkasi adalah perbedaan keadaan dinamik seiring dengan perubahan parameter dalam suatu model.

2. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Titik Kesetimbangan dan Kestabilan Model Satu Persamaan

Diberikan persamaan diferensial dengan satu variabel tak bebas sebagai berikut

𝑛𝑛̇ = 𝑓𝑓(𝑛𝑛) … (2.1) Dimana 𝑛𝑛̇ menotasikan turunan ^{𝑑𝑑𝑥𝑥}_{𝑑𝑑𝑡𝑡} (Hale, J.K. and Kocak, H. 1991)

Definisi 2.1 (Hale dan Kocak, 1991)

Titik 𝑛𝑛� ∈ ℝ disebut titik kesetimbangan dari 𝑛𝑛̇ = 𝑓𝑓(𝑛𝑛) jika 𝑓𝑓(𝑛𝑛�) = 0.

jika 𝑓𝑓(𝑛𝑛) adalah fungsi nonlinier pada persamaan (2.3) maka 𝑓𝑓(𝑛𝑛) didekati secara linier menggunakan deret taylor maka dapat dinyatakan sebagai berikut

𝑓𝑓(𝑛𝑛) ≈ 𝑓𝑓(𝑛𝑛�) + 𝑓𝑓′(𝑛𝑛�)(𝑛𝑛 − 𝑛𝑛�) … (2.2) … (2.2) Karena 𝑛𝑛� adalah titik kesetimbangan maka

berdasarkan Definisi 2.1 diperoleh 𝑓𝑓(𝑛𝑛�) = 0. Jadi persamaan (2.1) didekati secara linier di sekitar titik kesetimbangan 𝑛𝑛� dapat dinyatakan menjadi 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑓𝑓^′(𝑛𝑛�)(𝑛𝑛 − 𝑛𝑛�) … (2.3) … (2.3) Misalkan 𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝑛𝑛(𝑡𝑡) − 𝑛𝑛� maka 𝑛𝑛(𝑡𝑡) = 𝑣𝑣(𝑡𝑡) + 𝑛𝑛� disubstitusi ke persamaan (2.3) sehingga diperoleh 𝑑𝑑(𝑣𝑣(𝑡𝑡) + 𝑛𝑛�) 𝑑𝑑𝑡𝑡 ^{= 𝑓𝑓′}(𝑛𝑛�)(𝑣𝑣(𝑡𝑡) + 𝑛𝑛� − 𝑛𝑛�) 𝑑𝑑𝑣𝑣(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑓𝑓^′(𝑛𝑛�)𝑣𝑣(𝑡𝑡) … (2.4) … (2.4) Otto (2007) menjelaskan bahwa nilai

dari 𝑓𝑓′(𝑛𝑛) di titik kesetimbangan 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛� disebut dengan nilai eigen 𝜆𝜆 yang dapat dinyatakan dengan

𝜆𝜆 = 𝑓𝑓′(𝑛𝑛�) =^{𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑛𝑛)}_{𝑑𝑑𝑛𝑛 �}

𝑥𝑥=𝑥𝑥�

… (2.5) … (2.5) Berdasarkan persamaan (2.5) maka

persamaan (2.4) menjadi 𝑑𝑑𝑣𝑣

𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝜆𝜆𝑣𝑣 … (2.6) ^{… (2.6)} Berikut akan diberikan konsep

kestabilan di titik kesetimbangan pada persamaan diferensial.

Teorema 2.2 (Olver, P.J & Shikiban. 2003) Diberikan 𝑛𝑛� adalah titik kesetimbangan untuk persamaan diferensial nonlinier 𝑛𝑛̇ = 𝑓𝑓(𝑛𝑛) . Jika 𝑓𝑓′(𝑛𝑛�) < 0 maka 𝑛𝑛� adalah stabil asimtotik sedangkan jika 𝑓𝑓′(𝑛𝑛�) > 0 maka 𝑛𝑛� adalah tidak stabil.

Olver (2003), mengatakan bahwa jika 𝑓𝑓′(𝑛𝑛�) = 0 maka tidak ada jaminan yang cukup untuk menentukan kestabilan pada persamaan (2.3).

Terdapat tiga tipe dasar dari prilaku 𝑛𝑛(𝑡𝑡) yang dapat digambarkan di sekitar 𝑛𝑛�. a. Jika solusi 𝑛𝑛(𝑡𝑡) bergerak dari nilai awal

𝑛𝑛(0) di sekitar 𝑛𝑛� medekati pada kedua sisi memperlihatkan perilaku asimtotik lim𝑡𝑡 → ∞𝑛𝑛(𝑡𝑡) = 𝑛𝑛� (mendekati 𝑛𝑛� karena 𝑡𝑡 meningkat), maka 𝑛𝑛� dikatakan stabil asimtotik (𝑛𝑛� attractor).

b. Jika solusi 𝑛𝑛(𝑡𝑡) bergerak dari nilai awal 𝑛𝑛(0) di sekitar 𝑛𝑛� menjauhi pada kedua sisi maka 𝑛𝑛� dikatakan tidak stabil (𝑛𝑛� repeller).

c. Jika solusi 𝑛𝑛(𝑡𝑡) bergerak dari nilai awal 𝑛𝑛(0) di sekitar 𝑛𝑛� medekati pada satu sisi dan menjauhi pada sisi yang lain maka 𝑛𝑛� dikatakan semi-stabil(Zill, D.G & M.R. Cullen 2009)

2.3 Bifurkasi

Definisi 2.3 (Kuznetsov, Y. A. 1998)

Bifurkasi adalah munculnya keadaan dinamik suatu sistem yang dengan potret fase yang berbeda karena adanya perubahan parameter. Bifurkasi mengacu pada perubahan keadaan dinamik suatu sistem berparameter.

Teori bifurkasi membahas tentang perubahan stuktur orbit dari sistem dinamik karena adanya perubahan parameter. Sistem persamaan diferensial biasa dengan satu parameter diberikan sebagai berikut

𝑑𝑑𝒙𝒙

𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑓𝑓(𝒙𝒙, 𝜇𝜇), 𝒙𝒙 ∈ ℝ𝑛𝑛, 𝜇𝜇 ∈ 𝑅𝑅 … (2.7) dengan 𝑓𝑓(𝒙𝒙, 𝜇𝜇) adalah fungsi smooth dan misalkan 𝑛𝑛� = 𝑛𝑛�₀ adalah titik kesetimbangan sistem 𝜇𝜇 = 𝜇𝜇0 ^{(Verhults, F. 1990)}

Jika sistem pada persamaan (2.7) mempunyai nilai eigen dengan bagian riil nol yaitu 𝜆𝜆1= 0 dan 𝜆𝜆1,2= ±𝑖𝑖𝜔𝜔0^, 𝜔𝜔0> 0 untuk suatu nilai dari parameter.

Berikut diberikan definisi mengenai bifurkasi berdasarkan kondisi di atas

Definisi 2.4 (Kuznetsov, Y. A. 1998)

Suatu bifurkasi yang berhubungan dengan nilai eigen 𝜆𝜆 = 0 maka disebut bifurkasi fold.

Catatan: Bifurkasi ini memiliki nama lain, diantaranya Limit point, Bifurkasi Saddle-Node dan Turning point.

Definisi 2.5 (Kuznetsov, Y. A. 1998)

Suatu bifurkasi yang mempunyai nilai eigen 𝜆𝜆_1,2= ±𝑖𝑖𝜔𝜔₀, 𝜔𝜔₀> 0 maka disebut bifurkasi Hopf (atau Andronov-Hopf).

2.4 Model Logistik

Model logistik mengasumsikan bahwa sumber daya yang dibutuhkan populasi pada suatu habitat terbatasPara ahli ekologi mendefinisikan hal tersebut dengan istilah daya tampung (carrying capacity) sebagai ukuran populasi yang ideal agar populasi spesies tersebut dapat hidup layak pada suatu lingkungan. Model logistik dapat dinyatakan sebagai berikut: 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑟𝑟 𝑑𝑑 � 𝐾𝐾 − 𝑑𝑑 𝐾𝐾 � … (2.8) ^{… (2.8)} dengan 𝑑𝑑 : Jumlah populasi

𝑟𝑟 : Laju pertumbuhan alami populasi.

𝐾𝐾: daya dukung / kapasitas tampung (carrying capacity) populasi (Campbel, N.A dkk. 1925)

Bagian ini menjelaskan mengenai referensi pustaka yang digunakan. Bisa disertai dengan penelitian terdahulu yang bersesuaian dengan pembahasan hasil penelitian.

3. METODE PENELITIAN

Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Adapun prosedur pada penelitian ini adalah mengumpulkan dan mengkaji bahan-bahan yang berkaitan dengan model logistik dengan pemanenan berupa fungsi konstan dan bifurkasi pada suatu model. Kemudian, menentukan asumsi-asumsi untuk model logistik dengan faktor pemanenan. Dalam artikel ini yang akan dibahas yaitu model logistik dengan pemanenan konstan. Selanjutnya, menjelaskan terbentuknya model tersebut. Kemudian, menentukan titik kesetimbangan dan menentukan kestabilan di titik kesetimbangan pada model logistik dengan pemanenan konstan . Jika nilai eigen yang diperoleh bagian riilnya nol maka kestabilan model tersebut tidak dapat ditentukan. Kemudian dilakukan pengujian lebih lanjut dengan menggunakan analisa bifurkasi. Selanjutnya untuk membantu menjelaskan kestabilan pada titik

kesetimbangan dilakukan simulasi dengan beberapa nilai parameter.

4. HASIL DAN PEMBAHASAN

Model logistik adalah model laju perubahan jumlah populasi terhadap waktu yang dipengaruhi oleh laju pertumbuhan alami dan daya dukung (carrying capacity) populasi tersebut. Kemudian dikenakan faktor lain yaitu pemanenan pada populasi tersebut. Model logistik dengan faktor pemanenan yang akan dibahas adalah pada kondisi pemanenan konstan

4.1 Model Logistik dengan Pemanenan Konstan

Adapun asumsi–asumsi yang akan digunakan adalah sebagai berikut:

1. Pada populasi mengalami laju kelahiran dan laju kematian.

2. Jumlah populasi dipengaruhi oleh daya dukung (carrying capacity) berupa ketersediaan sumber makanan terbatas dan tempat tinggal hidup terbatas, sehingga terjadi persaingan antar spesies dalam populasi.

3. Pada populasi mengalami pemanenan yaitu pengambilan sejumlah populasi per satuan waktu. Pemanenan dapat dilakukan oleh manusia atau predator dari populasi tersebut.

Pemanenan yang terjadi adalah pengambilan sejumlah populasi yang tetap jumlahnya tidak bergantung pada jumlah populasi yang ada. Ini biasa disebut dengan model logistik dengan pemanenan konstan yang dinyatakan sebagai berikut: 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑟𝑟𝑑𝑑 � 𝐾𝐾 − 𝑑𝑑 𝐾𝐾 � − ℎ ^{… (4.1)} dengan 𝑑𝑑 : Jumlah populasi

𝑟𝑟 : Laju pertumbuhan alami populasi.

𝐾𝐾: Kapasitas tampung / (carrying capacity) populasi

ℎ : Laju pemaneenan

4.2 Titik kesetimbangan Model Logistik dengan Pemanenan Konstan

Berdasarkan definisi 2.1 titik kesetimbangan model logistik dengan faktor

pemanenan harus memenuhi 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 0, sehingga titik kesetimbangan dapat diperoleh dari persamaan (4.1). Berikut adalah titik kesetimbangan model logistik dengan pemanenan konstan yaitu,

𝑑𝑑�₁=^𝐾𝐾_{2 +}^𝐾𝐾₂ �1 − 4_{𝑟𝑟𝐾𝐾 … (4.2)}^ℎ … (4.2)

𝑑𝑑�2=^𝐾𝐾_{2 −}^𝐾𝐾₂ �1 − 4_{𝑟𝑟𝐾𝐾 … (4.3)}^ℎ … (4.3) 4.3 Kestabilan pada Titik kesetimbangan

Model Logistik dengan Pemanenan Konstan

Menurut Teorema 2.2 kestabilan titik kesetimbangan 𝑛𝑛� pada model ^{𝑑𝑑𝑥𝑥}_{𝑑𝑑𝑡𝑡}= 𝑓𝑓(𝑛𝑛) dapat diselidiki dari nilai 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑥𝑥)

𝑑𝑑𝑥𝑥 ^{pada saat}

𝑛𝑛 = 𝑛𝑛�. Selanjutnya akan ditentukan nilai eigen pada model logistk pada pemanenan konstan di sekitar titik kesetimbangan 𝑑𝑑�1

yaitu

𝜆𝜆 =^{𝑑𝑑𝐹𝐹(𝑑𝑑)}_{𝑑𝑑𝑑𝑑 �}

𝑑𝑑=𝑑𝑑�1

= −𝑟𝑟 �1 − 4_{𝑟𝑟𝐾𝐾 … (4.4)}^{ℎ . . . (4.4)}

kemudian akan ditentukan nilai eigen pada model logistik pada pemanenan konstan di sekitar titik kesetimbangan 𝑑𝑑�2 ^yaitu

𝜆𝜆 =^{𝑑𝑑𝐹𝐹(𝑑𝑑)}_{𝑑𝑑𝑑𝑑 �}

𝑑𝑑=𝑑𝑑�₂

= 𝑟𝑟 �1 − 4_{𝑟𝑟𝐾𝐾 … (4.5)}^ℎ . . . (4.5)

Dimana ℎ =^{𝑟𝑟𝑟𝑟}₄ adalah pemanenan maksimal (ambang batas pemanenan). Kemudian parameter laju pemanenan (ℎ) akan dibandingkan dengan ambang batas pemanenan�^{𝑟𝑟𝑟𝑟}₄�.

Berikut diberikan analisa kestabilan model logistik dengan pemanenan konstan disekitar titik kesetimbangan 𝑑𝑑�1 ^dan 𝑑𝑑�2

dengan parameter 𝑟𝑟, 𝐾𝐾 dan ℎ adalah konstanta positif. Kemudian akan diselidiki kestabilannya berdasarkan nilai eigen yang

diperoleh dari persamaaan (4.4) dan (4.5) dengan beberapa kondisi parameter ℎ.

a. Jika ℎ <^{𝑟𝑟𝑟𝑟}₄ maka titik kesetimbangan 𝑑𝑑�1=^𝑟𝑟₂+^𝑟𝑟₂�1 − 4_{𝑟𝑟𝑟𝑟}^ℎ stabil karena 𝜆𝜆 =^{𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑑𝑑�}1)

𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝑟𝑟�1 − 4_{𝑟𝑟𝑟𝑟}^ℎ < 0 dan titik kesetimbangan 𝑑𝑑�2=^𝑟𝑟₂−^𝑟𝑟₂�1 − 4_{𝑟𝑟𝑟𝑟}^ℎ tidak stabil karena 𝜆𝜆 =^{𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑑𝑑�}2)

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑟𝑟�1 − 4_{𝑟𝑟𝑟𝑟}^ℎ > 0.

b. Jika ℎ >^{𝑟𝑟𝑟𝑟}₄ Maka titik kesetimbangan 𝑑𝑑�1=^𝑟𝑟₂+^𝑟𝑟₂�1 − 4_{𝑟𝑟𝑟𝑟}^ℎ dan titik kesetimbangan 𝑑𝑑�₂=^𝑟𝑟₂−^𝑟𝑟₂�1 − 4_{𝑟𝑟𝑟𝑟}^ℎ berbentuk kompleks ini tidak mungkin terjadi karena 𝑑𝑑 menyatakan jumlah populasi sehingga pada kondisi ini tidak diperoleh titik kesetimbangan yang riil. Jadi laju pemanenan melebihi ambang batas pemanenan maka analisa kestabilan titik kesetimbangan tidak tercapai. c. Jika ℎ =^{𝑟𝑟𝑟𝑟}₄ maka diperoleh hanya satu

titik kesetimbangan karena 𝑑𝑑�1= 𝑑𝑑�2=

𝑟𝑟

2^{. Kemudian dicari niai eigen dengan}

cara menenentukan pada turunan pertama 𝐹𝐹(𝑑𝑑) dititik kesetimbangan 𝑑𝑑�1= 𝑑𝑑�2=^𝑟𝑟₂ yaitu 𝜆𝜆 = 𝐹𝐹′�𝑑𝑑�� =

𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑑𝑑) 𝑑𝑑𝑑𝑑 �

𝑑𝑑=𝑑𝑑₁ = 𝑟𝑟 −^{2𝑟𝑟𝐾𝐾}2

𝑟𝑟 = 0. Berdasarkan Definisi 2.4 karena 𝜆𝜆 = 0 pada titik 𝑑𝑑�₁= 𝑑𝑑�₂=^𝑟𝑟₂ maka terjadi bifurkasi saddle node.

4.4 Simulasi Model Logistik dengan Pemanenan Konstan

Model logistik dengan pemanenan konstan dapat digambarkan dalam bentuk grafik dengan melakukan simulasi pada model dengan memberikan nilai awal dan beberapa parameter.

4.4.1 Simulasi Model Logistik dengan Pemanenan Konstan dengan Kondisi Pemanenan 𝒉𝒉 <^{𝒓𝒓𝒓𝒓}_𝟒𝟒

Misalkan beberapa jumlah populasi awal yaitu 𝑑𝑑(0) = 10, 𝑑𝑑(0) = 50 dan 𝑑𝑑(0) = 90. Berikut diberikan nilai parameter untuk model ini dengan syarat ℎ <^{𝑟𝑟𝑟𝑟}₄ yaitu

ℎ = 5, 𝑟𝑟 = 0.4 dan 𝐾𝐾 = 100. Pada kondisi ini diperoleh dua titik kesetimbangan yaitu 𝑑𝑑�1= 85.3550 dan 𝑑𝑑�2= 14.6450. Selanjunya dilakukan simulasi sebagai berikut.

Gambar.1 Potret Phase Model logistik dengan Pemanenan Konstan dengan ℎ = 5

Menurut Zill [9] berdasarkan analisa diatas maka titik kesetimbangan 𝑑𝑑�₂ tidak stabil dan 𝑑𝑑�₁ stabil asimtotik

4.4.2 Simulasi Model Logistik dengan Pemanenan Konstan dengan Kondisi Pemanenan 𝒉𝒉 >^{𝒓𝒓𝒓𝒓}_𝟒𝟒

Berikut diberikan nilai parameter untuk model ini dengan syarat ℎ >^{𝑟𝑟𝑟𝑟}₄ yaitu ℎ = 20, 𝑟𝑟 = 0.4 dan 𝐾𝐾 = 100. Pada kondisi ini tidak diperoleh titik kesetimbangan yang riil yaitu 𝑑𝑑�₁= 50 + 50𝑖𝑖 dan 𝑑𝑑�2= 50 − 50𝑖𝑖. kesetimbangan yang riil. Pada model logistik dengan pemanenan konstan dimana laju pemanenanya lebih besar dari laju pemanenan maksimumnya. Karena tidak dapat dijelaskan kestabilan titik ksetimbangan yang tidak rill pada model maka simulasi tidak dilakukan lebih lanjut.

4.4.3 Simulasi Model Logistik dengan Pemanenan Konstan Kondisi Pemanenan 𝒉𝒉 =^{𝒓𝒓𝒓𝒓}_𝟒𝟒

Misalkan berberapa jumlah populasi awal yaitu 𝑑𝑑(0) = 10, 𝑑𝑑(0) = 50 dan 𝑑𝑑(0) = 90.

Berikut diberikan nilai untuk model ini dengan syarat ℎ =^{𝑟𝑟𝑟𝑟}₄ yaitu ℎ = 10, 𝑟𝑟 = 0.4 dan 𝐾𝐾 = 100. Pada kondisi ini diperoleh satu titik kesetimbangan yaitu 𝑑𝑑�₁= 𝑑𝑑�₂= 50. Selanjunya dilakukan simulasi sebagai berikut

Gambar.2 Potret Phase Model logistik dengan Pemanenan Konstan dengan ℎ = 10

Menurut Zill [9] berdasarkan analisa diatas maka titik kesetimbangan 𝑑𝑑∗ _{semi stabil yaitu}

tidak dapat ditentukan stabil atau tidak. Sehingga untuk menentukan kestabilan di titik kesetimbangan 𝑑𝑑�1= 𝑑𝑑�2= 𝑑𝑑∗ _dengan

menggunakan analisa bifurkasi. Simulasikan menggunakan maple sebagai diagram bifurkasi

Gambar.3 Diagram Bifurkasi Model Logistik dengan penenan konstan dengan 𝑟𝑟 = 0.4 dan 𝐾𝐾 = 100

Pada Gambar.3 untuk titik kesetimbangan yang berada pada selang 0 < 𝑑𝑑 < 50 maka titik kesetimbangan tidak stabil dan untuk titik kesetimbangan yang berada pada selang 𝑑𝑑 > 50 maka titik kesetimbangan stabil. 𝑑𝑑�2

𝑑𝑑�1

𝑑𝑑�2= 𝑑𝑑�1

5. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil dan pembahasan dari penelitian ini maka didapatkan kesimpulan sebagai berikut :

1. Model logistik dengan pemanenan konstan yang dapat dinyatakan sebagai berikut.

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑟𝑟𝑑𝑑 �

𝐾𝐾 − 𝑑𝑑 𝐾𝐾 � − ℎ

2. Titik kesetimbangan pada model logistik dengan pemanenan konstan didapatkan yaitu 𝑑𝑑�1=^𝑟𝑟₂+^𝑟𝑟₂�1 − 4_{𝑟𝑟𝑟𝑟}^ℎ dan 𝑑𝑑�2=

𝑟𝑟

2−^𝑟𝑟₂�1 − 4_{𝑟𝑟𝑟𝑟}^ℎ .

3. Kestabilan titik kesetimbangan pada model logistik dengan pemanenan konstan bergantung pada nilai parameter laju pemanenan ℎ.

a. Jika ℎ <^{𝑟𝑟𝑟𝑟}₄ maka terdapat dua titik kesetimbangan dengan titik kesetimbangan 𝑑𝑑₁stabil dan 𝑑𝑑₂ tidak stabil.

b. Jika ℎ >^{𝑟𝑟𝑟𝑟}₄ maka tidak diperoleh titik kesetimbangan yang riil. c. Jika ℎ =^{𝑟𝑟𝑟𝑟}₄ maka terdapat satu titik

kesetimbangan 𝑑𝑑1= 𝑑𝑑2 ^{yang tidak}

dapat ditentukan kestabilanya. Karena terjadi titik kesetimbangan yang semi stabil sehingga dilakukan uji bifurkasi. Bifurkasi yang terjadi adalah bifukasi saddle node.

Pada bagian kesimpulan dituliskan temuan penelitian secara singkat, ringkas dan padat, tanpa tambahan intepretasi baru lagi. Pada bagian ini juga dapat dituliskan kelebihan dan kekurangan dari penelitian, serta rekomendasi untuk penelitian selanjutnya.