• Tidak ada hasil yang ditemukan

Noor Hidayat

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Brawijaya

[email protected] , [email protected]

Abstrak

Q-fuzzy merupakan suatu pemetaan dengan domain suatu himpunan pasangan terurut dan kodomain interval tertutup antara nol dan satu. Dalam makalah ini dibahas tentang karakteristik ideal Q-fuzzy 3-prime melalui ideal level subset dari Q-fuzzy. Pembahasan dilakukan pada Nearring. Diperoleh syarat perlu dan cukup untuk ideal Q-fuzzy 3-prime.

Kata Kunci: ideal Q-fuzzy, level subset, 3-prime,

1.PENDAHULUAN

Himpunan bagian fuzzy (fuzzy set) merupakan salah satu konsep yang pertama kali diperkenalkan oleh seorang peneliti bernama Lotfi A Zadeh pada tahun 1965. Sejak itu perkembangan penelitian konsep fuzzy semakin banyak dilakukan oleh para peneliti lain, sehingga muncul konsep subgroup fuzzy (Rosenfeld, 1971, Moderson dkk.,2005), ideal fuzzy nearing (Basumatary dan Barthakur, 2014; Boua dan Taoufiq, 2016). Pengembangan konsep fuzzy lainnya menghasilkan terminology Q-fuzzy dan selanjutnya dikenal ideal Q-fuzzy (Solairaju dan Nagarajan, 2009; Lekkongsung, 2012).

Pengembangan demi pengembangan konse fuzzy diterus dilakukan, sehingga berbagai konsep baru pun banyak bermunculan. Salah satu pengembangan yang menarik perhatian penulis adalah tentang konsep ideal fuzzy dengan threshold pada suatu nearing sebagaimana yang dikerjakan oleh Kedukodi dkk. (2009), dalam hal mendefinisikan 3 jenis ideal fuzzy: equiprime, 3-prime dan c-prime dengan threshold pada suatu nearing.

Dalam makalah ini akan didefinisikan dan dibahas tentang sifat-sifat ideal Q-fuzzy 3-prime, equiprime, c-prime dengan threshold pada suatu nearing. Penelitian merupakan pengembangan dari hasil penelitian Kedukodi (2009), yakni dengan cara mengubah ideal fuzzy menjadi ideal Q-fuzzy. Dibanding dengan penelitian yang telah dilakukan oleh Lekkongsong (2012), terletak pada definisi ideal, dimana pada penelitian ini didefinisikan ideal dengan

threshold, sedangkan pada Lekkoksong (2012) ideal tanpa threshold.

2. HASIL-HASIL TERDAHULU Pada bagian ini akan diuraikan beberapa pengertian dan hasil-hasil yang telah diperoleh untuk ideal fuzzy dengan ideal fuzzy dengan threshold pada suatu nearing , yang slanjutnya akan dijadikan sebagai dasar untuk pengembangan pada ideal Q-fuzzy. Uraikan diawali dengan pengertian nearing dan ideal dari nearing, dilanjutkan dengan pengertian ideal fuzzy (equiprime, 3-prime, c-prime).

2.1. Ideal dari Nearring

Nearring 𝑑𝑑 (Piltz, 1977) adalah suatu himpunan tak-kosong dengan dua buah operasi biner, misal β€œ + ” dan β€œ. ” , sedemikian sehingga syarat berikut dipenuhi: i) (𝑑𝑑, +) grup; ii) (𝑑𝑑, . ) semigrup; iii) 𝑛𝑛(𝑦𝑦 + 𝑧𝑧) = 𝑛𝑛𝑦𝑦 + 𝑛𝑛𝑧𝑧 untuk semua 𝑛𝑛, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 ∈ 𝑑𝑑. Suatu himpunan bagian πœ”πœ” dari 𝑑𝑑 disebut ideal dari 𝑑𝑑 jika syarat berikut dipenuhi: (a) (πœ”πœ”, +) adalah subgrup normal dari (𝑅𝑅, +); (b) π‘…π‘…πœ”πœ” βŠ† πœ”πœ”; (c) (𝑛𝑛 + 𝛼𝛼)𝑦𝑦 βˆ’ 𝑛𝑛𝑦𝑦 ∈ πœ”πœ” untuk sembarang 𝛼𝛼 ∈ πœ”πœ” dan 𝑛𝑛, 𝑦𝑦 ∈ 𝑑𝑑. Definisi 2.1 Pandang 𝑃𝑃 suatu ideal dari 𝑑𝑑: a) 𝑃𝑃 disebut ideal prime jika πœ”πœ”πΌπΌ βŠ† 𝑃𝑃

mengakibatkan πœ”πœ” βŠ† 𝑃𝑃 atau 𝐼𝐼 βŠ† 𝑃𝑃 untuk semua ideal πœ”πœ” dan 𝐼𝐼 dari 𝑑𝑑.

b) 𝑃𝑃 disebut ideal semiprime jika πœ”πœ”2βŠ† 𝑃𝑃 mengakibatkan πœ”πœ” βŠ† 𝑃𝑃 untuk semua ideal πœ”πœ” dari 𝑑𝑑.

c) 𝑃𝑃 disebut ideal equiprime (Zhan & Yin (2010) jika 𝑑𝑑 ∈ 𝑑𝑑\𝑃𝑃 dan 𝑛𝑛, 𝑦𝑦 ∈ 𝑑𝑑

dengan π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘›π‘› βˆ’ π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘¦π‘¦ ∈ 𝑃𝑃 untuk setiap π‘Ÿπ‘Ÿ ∈ 𝑑𝑑 mengakibatkan 𝑛𝑛 βˆ’ 𝑦𝑦 ∈ 𝑃𝑃.

d) 𝑃𝑃 disebut ideal 3-prime jika 𝑑𝑑, 𝑏𝑏 ∈ 𝑑𝑑 dan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑏𝑏 ∈ 𝑃𝑃 untuk semua 𝑑𝑑 ∈ 𝑑𝑑 mengakibatkan 𝑑𝑑 ∈ 𝑃𝑃 atau 𝑏𝑏 ∈ 𝑃𝑃. e) P disebut ideal c-prime jika 𝑑𝑑, 𝑏𝑏 ∈ 𝑑𝑑

dan 𝑑𝑑𝑏𝑏 ∈ 𝑃𝑃 mengakibatkan 𝑑𝑑 ∈ 𝑃𝑃 atau 𝑏𝑏 ∈ 𝑃𝑃

Definisi 2.2 Nearring 𝑑𝑑 disebut:

1) nearring equiprime jika {0} merupakan ideal equiprime dari 𝑑𝑑.

2) nearring 3-prime jika {0} adalah ideal 3-prime dari 𝑑𝑑.

3) nearring prime jika {0} merupakan c-prime dari 𝑑𝑑.

Definisi 2.3 Suatu ideal 𝑃𝑃 dari 𝑑𝑑 dikatakan mempunyai sifat insersi faktor (Insertion of factors property, disingkat IFP) jika 𝑑𝑑, 𝑏𝑏 ∈ 𝑑𝑑 dan 𝑑𝑑𝑏𝑏 ∈ 𝑃𝑃 mengakibatkan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑏𝑏 ∈ 𝑃𝑃 untuk semua 𝑑𝑑 ∈ 𝑑𝑑. 𝑑𝑑 disebut integral jika 𝑑𝑑 tidak memiliki pembagi nol yang bukan nol (Piltz 1977).

2.2. Ideal dari Himpunan Bagian Fuzzy Pandang 𝑋𝑋 himpunan tak-kosong. Pemetaan πœ‡πœ‡: 𝑋𝑋 β†’ [0,1] disebut suatu himpunan bagian fuzzy (fuzzy subset) dari 𝑋𝑋 (Zadeh, 1965). Definisi 2.4 Misal 𝛼𝛼, 𝛽𝛽 ∈ [0,1], 𝛼𝛼 < 𝛽𝛽 dan πœ‡πœ‡ himpunan bagian fuzzy dari suatu nearring 𝑑𝑑. πœ‡πœ‡ disebut ideal fuzzy dengan ideal fuzzy dengan threshold pada suatu nearing dari 𝑑𝑑, jika untuk semua 𝑛𝑛, 𝑦𝑦, 𝑖𝑖 ∈ 𝑑𝑑, kondisi berikut dipenuhi: (i) 𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑛𝑛 + 𝑦𝑦) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ πœ‡πœ‡(𝑛𝑛) ∧ πœ‡πœ‡(𝑦𝑦), (ii) 𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(βˆ’π‘›π‘›) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ πœ‡πœ‡(𝑛𝑛), (iii) 𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑦𝑦 + 𝑛𝑛 βˆ’ 𝑦𝑦) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ πœ‡πœ‡(𝑛𝑛), (iv) 𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑛𝑛𝑦𝑦) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ πœ‡πœ‡(𝑛𝑛), (v) 𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑛𝑛(𝑦𝑦 + 𝑖𝑖) βˆ’ 𝑛𝑛𝑦𝑦) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ πœ‡πœ‡(𝑖𝑖),

Jika aksioma (i) dan (ii) dikombinasikan, maka diperoleh aksioma berikut:

𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑛𝑛 βˆ’ 𝑦𝑦) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ πœ‡πœ‡(𝑛𝑛) ∧ πœ‡πœ‡(𝑦𝑦). 𝛼𝛼 dan 𝛽𝛽 berturut-turut disebut sebagai threshold bawah dan threshold atas dari 𝑑𝑑. Definisi 2.5 Misal πœ‡πœ‡ suatu himpunan bagian fuzzy dari 𝑑𝑑 dan 𝑑𝑑 ∈ [0,1]. Definisikan himpunan πœ‡πœ‡π‘‘π‘‘ dan πœ‡πœ‡βˆ— sebagai berikut.

πœ‡πœ‡π‘‘π‘‘ = {𝑛𝑛 ∈ 𝑑𝑑|πœ‡πœ‡(𝑛𝑛) β‰₯ 𝑑𝑑} dan πœ‡πœ‡βˆ—= {𝑛𝑛 ∈ 𝑑𝑑|πœ‡πœ‡(𝑛𝑛) β‰₯ πœ‡πœ‡(0)}. Himpunan πœ‡πœ‡π‘‘π‘‘

selanjutnya disebut level subset dari 𝑑𝑑 atas πœ‡πœ‡.

Definisi 2.6 Suatu ideal fuzzy πœ‡πœ‡ dari 𝑑𝑑 disebut

a) ideal fuzzy equiprime dengan threshold jika untuk semua 𝑛𝑛, 𝑦𝑦, 𝑑𝑑 ∈ 𝑑𝑑,

𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑑𝑑) ∨ πœ‡πœ‡(𝑛𝑛 βˆ’ 𝑦𝑦) β‰₯ 𝛽𝛽

∧ infπ‘Ÿπ‘Ÿβˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘›π‘› βˆ’ π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘¦π‘¦) b) Ideal fuzzy 3-prime dengan threshold

jika untuk semua 𝑑𝑑, 𝑏𝑏 ∈ 𝑑𝑑, 𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑑𝑑) ∨ πœ‡πœ‡(𝑏𝑏) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ inf

π‘›π‘›βˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(𝑑𝑑𝑑𝑑𝑏𝑏) c) ideal fuzzy c-prime dengan threshold

jika untuk semua 𝑑𝑑, 𝑏𝑏 ∈ 𝑑𝑑, 𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑑𝑑) ∨ πœ‡πœ‡(𝑏𝑏) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ πœ‡πœ‡(𝑑𝑑𝑏𝑏) Lema 2.7 Misal πœ‡πœ‡ ideal fuzzy 3-prime dengan threshold dari 𝑑𝑑 dan 𝑛𝑛, 𝑦𝑦, 𝑑𝑑 ∈ 𝑑𝑑. Jika (π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘›π‘›) β‰₯ 𝛽𝛽 βˆ€π‘Ÿπ‘Ÿ ∈ 𝑑𝑑, maka πœ‡πœ‡(𝑛𝑛) β‰₯ 𝛽𝛽. Teroema 2.8 Misal πœ‡πœ‡ suatu ideal fuzzy dari 𝑑𝑑. πœ‡πœ‡ merupakan ideal fuzzy 3-prime dengan threshold jika dan hanya jika untuk setiap 𝑑𝑑 ∈ (𝛼𝛼, 𝛽𝛽], level subset πœ‡πœ‡π‘‘π‘‘ merupakan ideal 3-prime dari 𝑑𝑑.

Akibat 2.9 Misal 𝑑𝑑 suatu nearring dengan himpunan ideal 3-prime dari πœ”πœ”0βŠ‚ πœ”πœ”1βŠ‚ πœ”πœ”2βŠ‚ β‹― βŠ‚ πœ”πœ”π‘›π‘›= 𝑑𝑑. Dapat ditunjukkan bahwa terdapat suatu ideal fuzzy 3-prime dari 𝑑𝑑 yang memiliki ideal levelnya sama dengan anggota dari rangkaian dengan πœ‡πœ‡π›½π›½= πœ”πœ”0.

Teorema 2.10 Jika 𝑑𝑑 ring, maka setiap ideal fuzzy 3-prime dengan threshold merupakan ideal fuzzy equiprime dengan threshold dari 𝑑𝑑.

Teorema 2.11 Jika 𝑑𝑑 ring komutatif, maka setiap ideal fuzzy 3-prime dengan threshold merupakan ideal fuzzy c-prime dengan threshold dari 𝑑𝑑.

Teorema 2.12. Jika 𝑑𝑑 ring komutatif, maka pernyataan berikut ekivalen

(i) πœ‡πœ‡ ideal fuzzy equprime dengan threshold dari 𝑑𝑑

(ii) πœ‡πœ‡ ideal fuzzy 3-prime dengan threshold dari 𝑑𝑑

(iii) πœ‡πœ‡ ideal fuzzy c-prime dengan threshold dari 𝑑𝑑

Definisi 2.13. Pandang 𝑅𝑅 dan 𝑄𝑄 dua buah himpunan tak-kosong. Suatu pemetaan πœ‡πœ‡ ∢ 𝑅𝑅 Γ— 𝑄𝑄 β†’ [0,1] disebut himpunan bagian Q-fuzzy dari 𝑅𝑅.

Definisi 2.14 Misal πœ‡πœ‡ suatu himpunan bagian Q-fuzzy dari nearing 𝑑𝑑. Jika syarat berikut dipenuhi, maka πœ‡πœ‡ disebut sebagai subnearring Q-fuzzy dari 𝑑𝑑:

a) πœ‡πœ‡(𝑛𝑛 βˆ’ 𝑦𝑦, π‘žπ‘ž) β‰₯

min{πœ‡πœ‡(𝑛𝑛, π‘žπ‘ž), πœ‡πœ‡(𝑦𝑦, π‘žπ‘ž)}.

b) πœ‡πœ‡(𝑛𝑛𝑦𝑦, π‘žπ‘ž) β‰₯ min{πœ‡πœ‡(𝑛𝑛, π‘žπ‘ž), πœ‡πœ‡(𝑦𝑦, π‘žπ‘ž)}. Definisi 2.15 Misal πœ‡πœ‡ suatu subnearring Q-fuzzy dari nearing 𝑑𝑑. Jika syarat berikut dipenuhi, maka πœ‡πœ‡ disebut sebagai ideal Q-fuzzy:

a) πœ‡πœ‡(𝑦𝑦 + 𝑛𝑛 βˆ’ 𝑦𝑦, π‘žπ‘ž) β‰₯ πœ‡πœ‡(𝑛𝑛, π‘žπ‘ž) b) πœ‡πœ‡(𝑛𝑛𝑦𝑦, π‘žπ‘ž) β‰₯ πœ‡πœ‡(𝑦𝑦, π‘žπ‘ž)

c) πœ‡πœ‡οΏ½(𝑛𝑛 + 𝑧𝑧)𝑦𝑦 βˆ’ 𝑛𝑛𝑦𝑦, π‘žπ‘žοΏ½ β‰₯ πœ‡πœ‡(𝑧𝑧, π‘žπ‘ž) 3. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bagian ini akan diuraikan tentang sifat-sifat dari ideal Q-fuzzy 3-prime dengan ideal fuzzy dengan threshold pada suatu nearing dari suatu nearing yang merupakan pengembangan dari ideal fuzzy 3-prime. Sifat tersebut berkaitan dengan level subset Q-fuzzy, ideal equiprime, ideal c-prime. Terlebih dahulu didefinisikan tentang ideal Q-fuzzy dengan threshold dari 𝑑𝑑 sebagaimana Definisi 3.1.

Definisi 3.1 Misal 𝛼𝛼, 𝛽𝛽 ∈ [0,1], 𝛼𝛼 < 𝛽𝛽 dan πœ‡πœ‡ himpunan bagian Q-fuzzy dari suatu nearring 𝑑𝑑. πœ‡πœ‡ disebut ideal Q-fuzzy dengan threshold dari 𝑑𝑑, jika untuk semua 𝑛𝑛, 𝑦𝑦, 𝑖𝑖 ∈ 𝑑𝑑, π‘žπ‘ž ∈ 𝑄𝑄, syarat berikut dipenuhi:

dipenuhi: (i) 𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑛𝑛 + 𝑦𝑦, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ πœ‡πœ‡(𝑛𝑛, π‘žπ‘ž) ∧ πœ‡πœ‡(𝑦𝑦, π‘žπ‘ž), (ii) 𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(βˆ’π‘›π‘›, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ πœ‡πœ‡(𝑛𝑛, π‘žπ‘ž), (iii) 𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑦𝑦 + 𝑛𝑛 βˆ’ 𝑦𝑦, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ πœ‡πœ‡(𝑛𝑛, π‘žπ‘ž), (iv) 𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑛𝑛𝑦𝑦, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ πœ‡πœ‡(𝑛𝑛, π‘žπ‘ž), (v) 𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑛𝑛(𝑦𝑦 + 𝑖𝑖) βˆ’ 𝑛𝑛𝑦𝑦, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ πœ‡πœ‡(𝑖𝑖, π‘žπ‘ž),

Jika aksioma (i) dan (ii) dikombinasikan, maka diperoleh aksioma berikut:

𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑛𝑛 βˆ’ 𝑦𝑦, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ πœ‡πœ‡(𝑛𝑛, π‘žπ‘ž) ∧ πœ‡πœ‡(𝑦𝑦, π‘žπ‘ž). 𝛼𝛼 dan 𝛽𝛽 berturut-turut disebut sebagai threshold bawah dan threshold atas dari 𝑑𝑑. Definisi 3.2 Pandang dua buah himpunan yaitu πœ‡πœ‡π‘‘π‘‘ untuk 𝑑𝑑 ∈ [0,1] dan πœ‡πœ‡βˆ— yang

didefinisikan sebagai berikut:

a) πœ‡πœ‡π‘‘π‘‘= {𝑛𝑛 ∈ 𝑑𝑑|πœ‡πœ‡(𝑛𝑛, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝑑𝑑, π‘žπ‘ž ∈ 𝑄𝑄}. b) πœ‡πœ‡βˆ—=

{𝑛𝑛 ∈ 𝑑𝑑|πœ‡πœ‡(𝑛𝑛, π‘žπ‘ž) β‰₯ πœ‡πœ‡(0, π‘žπ‘ž), π‘žπ‘ž ∈ 𝑄𝑄} . Himpunan πœ‡πœ‡π‘‘π‘‘ disebut level subset Q-fuzzy.

Definisi 3.3 Suatu ideal Q-fuzzy πœ‡πœ‡ dari 𝑑𝑑 disebut

a) ideal equiprime dengan threshold jika untuk semua 𝑛𝑛, 𝑦𝑦, 𝑑𝑑 ∈ 𝑑𝑑, π‘žπ‘ž ∈ 𝑄𝑄 berlaku 𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑑𝑑, π‘žπ‘ž) ∨ πœ‡πœ‡(𝑛𝑛 βˆ’ 𝑦𝑦, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ inf π‘Ÿπ‘Ÿβˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘›π‘› βˆ’ π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘¦π‘¦, π‘žπ‘ž) b) ideal 3-prime dengan threshold jika

untuk semua 𝑑𝑑, 𝑏𝑏 ∈ 𝑑𝑑, π‘žπ‘ž ∈ 𝑄𝑄, berlaku 𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑑𝑑, π‘žπ‘ž) ∨ πœ‡πœ‡(𝑏𝑏, π‘žπ‘ž)

β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ inf

π‘›π‘›βˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(𝑑𝑑𝑑𝑑𝑏𝑏, π‘žπ‘ž) c) ideal c-prime dengan threshold jika

untuk semua 𝑑𝑑, 𝑏𝑏 ∈ 𝑑𝑑, π‘žπ‘ž ∈ 𝑄𝑄, 𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑑𝑑, π‘žπ‘ž) ∨ πœ‡πœ‡(𝑏𝑏, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ πœ‡πœ‡(𝑑𝑑𝑏𝑏, π‘žπ‘ž) Lema 3.4 Misal πœ‡πœ‡ ideal Q-fuzzy 3-prime dengan threshold dari 𝑑𝑑 dan 𝑛𝑛, 𝑦𝑦, 𝑑𝑑 ∈ 𝑑𝑑, π‘žπ‘ž ∈ 𝑄𝑄. Jika (π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘›π‘›, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝛽𝛽 βˆ€π‘Ÿπ‘Ÿ ∈ 𝑑𝑑, maka πœ‡πœ‡(𝑛𝑛, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝛽𝛽.

Bukti. Perhatikan definisi ideal Q-fuzzy 3 prime dengan threshold, yaitu

𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑑𝑑, π‘žπ‘ž) ∨ πœ‡πœ‡(𝑛𝑛, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ infπ‘Ÿπ‘Ÿβˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘›π‘›, π‘žπ‘ž) atau max{𝛼𝛼, πœ‡πœ‡(𝑑𝑑, π‘žπ‘ž), πœ‡πœ‡(𝑛𝑛, π‘žπ‘ž)} β‰₯ min �𝛽𝛽, inf π‘Ÿπ‘Ÿβˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘›π‘›, π‘žπ‘ž) οΏ½ Karena πœ‡πœ‡(π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘›π‘›, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝛽𝛽 maka min{𝛽𝛽, infπ‘Ÿπ‘Ÿβˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘›π‘›, π‘žπ‘ž) } = 𝛽𝛽. Oleh karena itu

max{𝛼𝛼, πœ‡πœ‡(𝑑𝑑, π‘žπ‘ž), πœ‡πœ‡(𝑛𝑛, π‘žπ‘ž)} β‰₯ 𝛽𝛽. Berdasarkan persamaan terakhir, diperoleh bahwa πœ‡πœ‡(𝑛𝑛, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝛽𝛽.

Teroema 3.5 Misal πœ‡πœ‡ suatu ideal Q-fuzzy dengan threshold dari 𝑑𝑑. πœ‡πœ‡ merupakan ideal Q-fuzzy 3-prime dengan threshold jika dan hanya jika untuk setiap 𝑑𝑑 ∈ (𝛼𝛼, 𝛽𝛽], level subset πœ‡πœ‡π‘‘π‘‘ merupakan ideal 3-prime dari 𝑑𝑑. Bukti. (⟹) Diketahui πœ‡πœ‡ merupakan ideal Q-fuzzy 3-prime dengan threshold. Akan ditunjukkan bahwa πœ‡πœ‡π‘‘π‘‘ ideal 3-prime dari 𝑑𝑑. Ambil 𝑑𝑑, 𝑏𝑏 ∈ 𝑑𝑑 sedemikian sehingga 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑏𝑏 ∈ πœ‡πœ‡π‘‘π‘‘ untuk semua 𝑑𝑑 ∈ 𝑑𝑑. Akan ditunjukkan bahwa untuk sembarang

𝑑𝑑 ∈ (𝛼𝛼, 𝛽𝛽] berlaku 𝑑𝑑 ∈ πœ‡πœ‡π‘‘π‘‘ atau 𝑏𝑏 ∈ πœ‡πœ‡π‘‘π‘‘, dalam

hal ini πœ‡πœ‡(𝑑𝑑, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝑑𝑑 atau πœ‡πœ‡(𝑏𝑏, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝑑𝑑. Sekarang perhatikan bahwa dengan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑏𝑏 ∈ πœ‡πœ‡π‘‘π‘‘ maka πœ‡πœ‡(𝑑𝑑𝑑𝑑𝑏𝑏, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝑑𝑑, βˆ€π‘‘π‘‘ ∈ 𝑑𝑑. Beradasarkan Definisi 3.3 dan Lema 3.4 didapat bahwa πœ‡πœ‡(𝑏𝑏, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝑑𝑑 atau πœ‡πœ‡(𝑑𝑑, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝑑𝑑 sehingga 𝑏𝑏 ∈ πœ‡πœ‡π‘‘π‘‘ atau 𝑑𝑑 ∈ πœ‡πœ‡π‘‘π‘‘.

(⟸) Diketahui bahwa πœ‡πœ‡π‘‘π‘‘ ideal

3-prime dari 𝑑𝑑. Akan dibuktikan πœ‡πœ‡ merupakan ideal Q-fuzzy 3-prime dengan threshold, dalam hal ini

𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑑𝑑, π‘žπ‘ž) ∨ πœ‡πœ‡(𝑛𝑛, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ infπ‘Ÿπ‘Ÿβˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘›π‘›, π‘žπ‘ž) Andaikan terdapat t sedemikian sehingga

𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑑𝑑, π‘žπ‘ž) ∨ πœ‡πœ‡(𝑛𝑛, π‘žπ‘ž) < 𝑑𝑑

< 𝛽𝛽 ∧ infπ‘Ÿπ‘Ÿβˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘›π‘›, π‘žπ‘ž) Hal ini berarti bahwa πœ‡πœ‡(𝑑𝑑, π‘žπ‘ž) < 𝑑𝑑 atau πœ‡πœ‡(𝑛𝑛, π‘žπ‘ž) < 𝑑𝑑 dan infπ‘Ÿπ‘Ÿβˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘›π‘›, π‘žπ‘ž) > 𝑑𝑑. Hal ini menunjukkan bahwa 𝑑𝑑 βˆ‰ πœ‡πœ‡π‘‘π‘‘, 𝑏𝑏 βˆ‰ πœ‡πœ‡π‘‘π‘‘, π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘›π‘› ∈ πœ‡πœ‡π‘‘π‘‘. Hal ini kontradiksi dengan

diketahuinya bahwa arena πœ‡πœ‡π‘‘π‘‘ ideal 3-prime

βˆ€π‘‘π‘‘ ∈ (𝛼𝛼, 𝛽𝛽].

Akibat 3.6 Jika 𝑑𝑑 suatu nearring dan πœ”πœ”0, πœ”πœ”1, πœ”πœ”2, … , πœ”πœ”π‘›π‘›= 𝑑𝑑 adalah ideal-ideal 3-prime dari 𝑑𝑑 sedemikian sehingga πœ”πœ”0βŠ‚ πœ”πœ”1βŠ‚ πœ”πœ”2βŠ‚ β‹― βŠ‚ πœ”πœ”π‘›π‘›= 𝑑𝑑, maka terdapat suatu ideal Q-fuzzy 3-prime dengan threshold dari 𝑑𝑑 yang memiliki ideal levelnya sama dengan anggota dari rangkaian dengan πœ‡πœ‡π›½π›½ = πœ”πœ”0. Teorema 3.7 Jika 𝑑𝑑 ring, maka setiap ideal Q-fuzzy 3-prime dengan threshold merupakan ideal Q-fuzzy equiprime dengan threshold dari 𝑑𝑑.

Bukti. Diketahui 𝑑𝑑 ring dan 𝑃𝑃 sembarang ideal Q-fuzzy 3-prime dengan threshold. Akan dibuktikan bahwa 𝑃𝑃 ideal Q-fuzzy equiprime dengan threshold. Perhatikan definisi ideal Q-fuzzy 3-prime dengan threshold sebagai berikut:

𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑑𝑑, π‘žπ‘ž) ∨ πœ‡πœ‡(𝑏𝑏, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ infπ‘›π‘›βˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(𝑑𝑑𝑑𝑑𝑏𝑏, π‘žπ‘ž) Pilih 𝑏𝑏 = 𝑛𝑛 βˆ’ 𝑦𝑦, sehingga 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑏𝑏 = 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑛𝑛 βˆ’ 𝑦𝑦) untuk setiap 𝑑𝑑 ∈ 𝑑𝑑. Karena 𝑑𝑑 ring maka 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑛𝑛 βˆ’ 𝑦𝑦) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑛𝑛 βˆ’ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑦𝑦, sehingga 𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑑𝑑, π‘žπ‘ž) ∨ πœ‡πœ‡(𝑏𝑏, π‘žπ‘ž) = 𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑑𝑑, π‘žπ‘ž) ∨ πœ‡πœ‡(𝑛𝑛 βˆ’ 𝑦𝑦, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ inf π‘›π‘›βˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(𝑑𝑑𝑑𝑑𝑏𝑏, π‘žπ‘ž) = 𝛽𝛽 ∧ inf π‘Ÿπ‘Ÿβˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘›π‘› βˆ’ π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘¦π‘¦, π‘žπ‘ž)

Hal ini menunjukkan bahwa 𝑃𝑃 adalah ideal Q-fuzzy equiprime dengan threshold.

Teorema 3.8 Setiap ideal Q-fuzzy c-prime dengan threshold dari 𝑑𝑑 adalah ideal Q-fuzzy 3-prime dengan threshold dari 𝑑𝑑. Bukti. Diketahui

𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑑𝑑, π‘žπ‘ž) ∨ πœ‡πœ‡(𝑏𝑏, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ πœ‡πœ‡(𝑑𝑑𝑏𝑏). Akan ditunjukkan bahwa

𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑑𝑑, π‘žπ‘ž) ∨ πœ‡πœ‡(𝑏𝑏, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ inf

π‘›π‘›βˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(𝑑𝑑𝑑𝑑𝑏𝑏, π‘žπ‘ž). Atau cukup ditunjukkan bahwa

πœ‡πœ‡(𝑑𝑑𝑏𝑏) β‰₯ inf

π‘›π‘›βˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(𝑑𝑑𝑑𝑑𝑏𝑏, π‘žπ‘ž).

Teorema 3.9 Jika 𝑑𝑑 ring komutatif, maka setiap ideal Q-fuzzy 3-prime dengan threshold merupakan ideal Q-fuzzy c-prime dengan threshold dari 𝑑𝑑.

Bukti. Diketahui 𝑑𝑑 ring komutatif dan 𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑑𝑑, π‘žπ‘ž) ∨ πœ‡πœ‡(𝑏𝑏, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ inf

π‘›π‘›βˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(𝑑𝑑𝑑𝑑𝑏𝑏, π‘žπ‘ž). Akan ditunjukkan bahwa

𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑑𝑑, π‘žπ‘ž) ∨ πœ‡πœ‡(𝑏𝑏, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ πœ‡πœ‡(𝑑𝑑𝑏𝑏). Teorema 3.16. Jika 𝑑𝑑 ring komutatif, maka pernyataan berikut ekivalen

(i) πœ‡πœ‡ ideal Q-fuzzy equprime dengan threshold dari 𝑑𝑑

(ii) πœ‡πœ‡ ideal Q-fuzzy 3-prime dengan threshold dari 𝑑𝑑

(iii) πœ‡πœ‡ ideal Q-fuzzy c-prime dengan threshold dari 𝑑𝑑

Bukti: (π’Šπ’Š) ⟹ (π’Šπ’Šπ’Šπ’Š) Diketahui 𝑡𝑡 ring komutatif dan

𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑑𝑑, π‘žπ‘ž) ∨ πœ‡πœ‡(𝑛𝑛 βˆ’ 𝑦𝑦, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ inf

π‘Ÿπ‘Ÿβˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘›π‘› βˆ’ π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘¦π‘¦, π‘žπ‘ž) Akan ditunjukkan bahwa

𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑑𝑑, π‘žπ‘ž) ∨ πœ‡πœ‡(𝑏𝑏, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ infπ‘›π‘›βˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(𝑑𝑑𝑑𝑑𝑏𝑏, π‘žπ‘ž). Pandang infπ‘Ÿπ‘Ÿβˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘›π‘› βˆ’ π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘¦π‘¦, π‘žπ‘ž) Karena N ring komutatif, maka diperoleh

inf

π‘Ÿπ‘Ÿβˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘›π‘› βˆ’ π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘¦π‘¦, π‘žπ‘ž) = infπ‘Ÿπ‘Ÿβˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿ(𝑛𝑛 βˆ’ 𝑦𝑦), π‘žπ‘ž) Misal 𝑏𝑏 = 𝑛𝑛 βˆ’ 𝑦𝑦, sehingga diperoleh

inf

π‘Ÿπ‘Ÿβˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘›π‘› βˆ’ π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘¦π‘¦, π‘žπ‘ž) = infπ‘Ÿπ‘Ÿβˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘π‘, π‘žπ‘ž) Jadi

𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑑𝑑, π‘žπ‘ž) ∨ πœ‡πœ‡(𝑏𝑏, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ inf

π‘Ÿπ‘Ÿβˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘π‘, π‘žπ‘ž). sehingga πœ‡πœ‡ adalah ideal Q-fuzzy 3-prime dengan threshold dari 𝑑𝑑

(π’Šπ’Šπ’Šπ’Š) ⟹ (π’Šπ’Šπ’Šπ’Šπ’Šπ’Š). Diketahui 𝑑𝑑 ring komutatif dan

𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑑𝑑, π‘žπ‘ž) ∨ πœ‡πœ‡(𝑏𝑏, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ inf

π‘›π‘›βˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(𝑑𝑑𝑑𝑑𝑏𝑏, π‘žπ‘ž). Akan ditunjukkan bahwa

𝜢𝜢 ∨ 𝝁𝝁(𝒃𝒃, 𝒒𝒒) ∨ 𝝁𝝁(𝒃𝒃, 𝒒𝒒) β‰₯ 𝜷𝜷 ∧ 𝝁𝝁(𝒃𝒃𝒃𝒃). Misal infπ‘›π‘›βˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(𝑑𝑑𝑑𝑑𝑏𝑏, π‘žπ‘ž) = πœ‡πœ‡(π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘π‘, π‘žπ‘ž) untuk suatu π‘Ÿπ‘Ÿ ∈ 𝑑𝑑. Karena N ring komutatif, maka infπ‘›π‘›βˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(𝑑𝑑𝑑𝑑𝑏𝑏, π‘žπ‘ž) = πœ‡πœ‡(π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘π‘, π‘žπ‘ž) =

πœ‡πœ‡(π‘Ÿπ‘Ÿπ‘‘π‘‘π‘π‘, π‘žπ‘ž) β‰₯ πœ‡πœ‡(𝑑𝑑𝑏𝑏, π‘žπ‘ž). Jadi diperoleh 𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑑𝑑, π‘žπ‘ž) ∨ πœ‡πœ‡(𝑏𝑏, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ infπ‘›π‘›βˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(𝑑𝑑𝑑𝑑𝑏𝑏, π‘žπ‘ž)

β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ πœ‡πœ‡(𝑑𝑑𝑏𝑏),

Sehingga πœ‡πœ‡ adalah ideal Q-fuzzy c-prime dengan threshold dari 𝑑𝑑

(π’Šπ’Šπ’Šπ’Šπ’Šπ’Š) ⟹ (π’Šπ’Š) Diketahui 𝑑𝑑 ring komutatif dan

𝛼𝛼 ∨ πœ‡πœ‡(𝑑𝑑, π‘žπ‘ž) ∨ πœ‡πœ‡(𝑏𝑏, π‘žπ‘ž) β‰₯ 𝛽𝛽 ∧ infπ‘›π‘›βˆˆπ‘‘π‘‘πœ‡πœ‡(𝑑𝑑𝑑𝑑𝑏𝑏, π‘žπ‘ž). Akan ditunjukkan bahwa

𝜢𝜢 ∨ 𝝁𝝁(𝒃𝒃, 𝒒𝒒) ∨ 𝝁𝝁(𝒙𝒙 βˆ’ π’šπ’š, 𝒒𝒒) β‰₯ 𝜷𝜷

∧ π’π’π’π’πŸπŸπ’“π’“βˆˆπ‘΅π‘΅ππ(𝒃𝒃𝒓𝒓𝒙𝒙 βˆ’ π’ƒπ’ƒπ’“π’“π’šπ’š, 𝒒𝒒). Misal 𝒃𝒃 = 𝒙𝒙 βˆ’ π’šπ’š dan substitusikan 𝒃𝒃 ke dalam persamaan pertama, sehingga diperoleh 𝜢𝜢 ∨ 𝝁𝝁(𝒃𝒃, 𝒒𝒒) ∨ 𝝁𝝁(𝒙𝒙 βˆ’ π’šπ’š, 𝒒𝒒) β‰₯ 𝜷𝜷 ∧ 𝐒𝐒𝐒𝐒𝐟𝐟 π’π’βˆˆπ‘΅π‘΅ππ(𝒃𝒃𝒏𝒏(𝒙𝒙 βˆ’ π’šπ’š), 𝒒𝒒) = 𝜷𝜷 ∧ 𝐒𝐒𝐒𝐒𝐟𝐟 π’π’βˆˆπ‘΅π‘΅ππ(𝒃𝒃𝒏𝒏𝒙𝒙 βˆ’ π’ƒπ’ƒπ’π’π’šπ’š, 𝒒𝒒) Jadi terbukti bahwa πœ‡πœ‡ ideal Q-fuzzy c-prime dengan threshold dari 𝑑𝑑.

Berdasarkan pembuktian tersebut, terbukti bahwa pernyataan tiga pernyataan tersebut ekivalen.

DAFTAR PUSTAKA

Basumatary, B., Barthakur, G.K. (2014). On Q-Fuzzy Ideal and Q-Fuzzy Quotient Near-Rings, Research Journal of Mathematical and Statistical Sciences, Vol. 2(7), 4 – 6.

Boua, A., Taoufiq, L. (2016). On Skew Derivations in 3-Prime Near-Rings, Gulf Journal of Mathematics, Vol. 4, Issue 4, 28 – 32.

Kedukodi, B.S., Kuncham, S.P., Bhavanari, S. (2009). Equiprime, 3-prime and c-prime fuzzy ideals of nearring, Soft Comput, 13 : 933 – 944.

Lekkongsung, S. (2012). 3-Prime Q-Fuzzy Ideals of Ordeed Semigroups, International Mathematical Forum, Vol. 7, No. 12, 591 – 595.

Pilz, G. (1977). Near-Rings The Theory and Its Applications, North-Holland Publishing Company, Amsterdam. Rosenfeld, A. (1971). Fuzzy Groups,

Journal of Mathematical Analysis and Applications, 35, 512 – 517 Solairaju, A., Nagarajan, R. (2009). A New

Structure and Construction of Q-Fuzzy Groups, Advance in Q-Fuzzy Mathematics, ISSN 0973 – 533X, Volume 4, Number 1, pp. 23 – 29. Zadeh, L.A. (1965). Fuzzy Sets, Information

and Control, 8, 338 – 353.

Unduh sekarang "PROSIDING SEMINAR NASI..."

Garis besar

Dokumen terkait