Gelombang Materi de Broglie

PERMULAAN TEORI KUANTUM

2.5. Gelombang Materi de Broglie

Peristiwa interferensi dan difraksi disebabkan interaksi radiasi dengan radiasi, di mana radiasi berkelakuan seperti gelombang. Peristiwa efekfotolistrik, radiasi benda hitam dan efek Compton disebabkan interaksi radiasi dengan materi, di mana radiasi berkelakuan sebagai partikel yang diskrit. Oleh karena itu, sama dengan analogi radiasi, materi juga mempunyai sifat-sifat gelombang di bawah kondisi yang sama. Tahun 1924 Louis de Broglie mengajukan hipotesis bahwa seperti halnya radiasi yang berkelakuan seperti partikel, materi juga dapat berkelakuan seperti gelombang dan hal ini telah dibuktikan secara eksperimen oleh C.J. Davison dan L.H.Gremer dan juga oleh G.P.Thomson tahun 1927.

Hipotesis de Broglie ini didasarkan pada sifat simetris alam dan didasarkan asumsi-asumsi berikut :

1. Frekuensi (f) gelombang yang berkenaan dengan sebuah partikel dalam gerak dan energi relativistik total (E) dihubungkan oleh persamaan E = hf.

2. Partikel dalam gerak dipertimbangkan sebagai sebuah paket gelombang perluasan kecil yang dibentuk oleh superposisi sejumlah besar gelombang-gelombang yang panjang gelombang-gelombangnya (λ) sedikit berbeda.

3. Kecepatan partikel sama dengan kecepatan grup gelombang hasil superposisi tersebut, yaitu _g dω

v = = v dk

Sifat gelombang materi dapat digabung dengan sifat partikel oleh penggabungan gelombang-gelombang dengan λ berbeda membentuk grup gelombang (paket gelombang). Karena efek dari sebuah partikel dalam gerak pada saat tersebut dibatasi luas area yang kecil dalam ruang, maka sebuah grup gelombang dapat digunakan untuk menyatakan sebuah partikel dalam gerak.

Sebuah gelombang harmonik sederhana yang menjalar dalam arah sumbu x positif dinyatakan oleh persamaan

y a sin ω t x v

 

=  



−

 ……… (2.35)

kecepatan gelombang juga disebut kecepatan fase, dalam persamaan (2.35) fase gelombang (Φ) pada posisi x dan waktu t yaitu

(x,t) t x v

 

Φ =  



−

 ^{dan Φ ω t 1 x}

t v t

∂  ∂ 

=  

∂ 

−

∂ 

Untuk sebuah titik fase tetap, maka Φ t = 0

∂

∂ sehingga 1 x

t 0

v t

∂

 

 ∂ =



−



dan x _p

= v = v t

∂

 

 

∂

  di mana x

t

∂

 

 

∂

  adalah kecepatan di mana perpindahan suatu fase yang bergerak ke depan, oleh karena itu kuantitas ini disebut kecepatan fase

( )

^vp . Jadi kecepatan penjalaran atau kecepatan sebuah gelombang adalah kecepatan di mana perpindahan suatu fase bergerak ke depan.

( )

p

y a sin ω t x a sin ωt kx v

 

=  =



−



−

; di mana _p ω

v = k

misal 2 gelombang bidang harmonik sederhana dengan amplitudo sama tetapi sedikit beda panjang gelombang (λ), menjalar secara serentak dalam arah sumbu x positif dalam sebuah medium dispersif, yaitu

Gambar 2.19. Superposisi 2 gelombang bidang harmonik sederhana

( )

1 1 1

y = a sin ω t

−

k x

( )

2 2 2

y = a sin ω t

−

k x

superposisi kedua gelombang tersebut yaitu

( ) ( )

1 2 1 1 2 2

y(x,t) = y + y = a sin ω t

−

k x +a sin ω t

−

k x

1 2 1 2 1 2 1 2

k k ω ω k k ω ω

y(x,t) 2a cos x t sin x t

2 2 2 2

      +   +  

=          

       

   

− − − −

y2

y1

y

1 2 1 2

k k ω ω

y(x,t) = A sin x t

2 2

 +   +  

    

   



−

 ………... (2.36)

Faktor sinus menyatakan sebuah gelombang pembawa yang menjalar dengan kecepatan fase _p ω

v = k dengan amplitudo superposisi gelombang yaitu

1 2 1 2

k k ω ω

A = 2a cos x t

2 2

    

    

   

 

− − −

kecepatan fase yaitu kecepatan penjalaran atau kecepatan sebuah gelombang di mana perpindahan suatu fase bergerak ke depan.

1

1 2 1

p ω

1 2 1

2 ω

ω ω ω ω

v lim

k k k k

→

 + 

=   = =

 +  ………...……….. (2.37)

kecepatan grup yaitu kecepatan di mana amplitudo maksimum (pusat grup gelombang) bergerak,

1

1 2

g ω

1 2

2 ω

ω ω dω

v lim

k k dk

→

 

=   =

 

− −

………. (2.38)

jika kecepatan fase didiferensialkan terhadap k

( )

p

g p

2

dv 1 dω ω 1 dω ω 1

v v

dk k dk k k dk k k

 

= =  =

 

− − −

p p

g p p

dv dv

v v k v λ

dk dλ

= + =

−

……….. (2.39)

di mana 2π k = λ dan

λ2

dk dλ

=

−

2π

Untuk gelombang cahaya dalam ruang hampa udara tidak terdapat dispersi cahaya, oleh karena itu dv^p

dk = 0 sehingga v = v = c yang sesuai untuk _{g p} gelombang elektromagnetik. Hal ini juga dapat terjadi pada gelombang elastik dalam medium homogen (medium non dispersif) di mana dari persamaan (2.36) didapatkan v < v . Louis de Broglie mengusulkan bahwa kecepatan grup _{g p} v _g sama dengan kecepatan partikel (v), maka berdasarkan persamaan Einstein

E = mc² dan E = hf =

ħ

ω dengan v β = c

(

⁰

)

¹²

2 2

ω = m c

1 β

− ℏ

dan

(

⁰

)

¹²

2

p 2

m c v = ω =

k

ℏ

k 1 β

−

misal ^p=

(

^{1 β}

⁻

²

)

^{−12 , p =}

^'

^dp_dk ^{= dp dβ}_{dβ dk} ^{dan q = k−1 maka,}

^{( )}

^pq

^'

^=pq

^'

^{+p q}

^' (

⁰

)

¹²

(

⁰

)

³²

2 2

p

2 2 2

dv m c m c β dβ

dk dk

k 1 β k 1 β

= − +

− −

ℏ ℏ

(

⁰

)

³²

p p 2

2

dv v m c β dβ

dk k dk

k 1 β

= − +

− ℏ

(

⁰

)

³²

p 2

g p

2

dv m c β dβ

v βc v v k

dk dk

1 β

= = = + =

− ℏ

(

⁰²

)

³²

dk = m c dβ

1 β

−

∫ ∫

ℏ

0

2

m c β

k C

1 β

= +

−

ℏ

, dianggap k = 0 ketika v = 0, maka C = 0, sehingga

0 2

m v mv p

k

1 β

= = =

− ℏ ℏ

ℏ

^dan

h 2π h p = k = =

2π λ

λ

ℏ

h h

= =

λ

p

mv

sebagai persamaan gelombang materi de Broglie Hubungan antara kecepatan fase dengan kecepatan grup

p

v = ω

k ; ⁰

2 2

E ω m c

1 β

= =

ℏ −

; ⁰

2

m c

p k

1 β

= = β

ℏ −

E c2 ω

= =

p v k , menurut de Broglie v = v _g

2 p

g

v = c

v ; v v = c _{p g} ² karena v < c , maka v > c _p dari energi total relativistik elektron (E) yaitu E²=p c^{2 2}+m c₀^{2 4}

0

2 2 2 2 2 2 4

ω = k c +m c

ℏ ℏ

karena ω = v k , maka _p

( )

0 0

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2

v kp = k c +m c =c k +m c

ℏ ℏ ℏ

0 0

2 2 2 2 2

p 2 2 2 2

m c m c λ

v c 1 c 1

k

4

π

= + = +

ℏ ℏ

……….…… (2.40)

Hal ini menunjukkan bahwa v > c , dan _p v de Broglie bergantung pada λ, _p bahkan di ruang hampa. Perilaku gelombang de Broglie ini berbeda dengan gelombang cahaya, di mana v tidak bergantung λ dalam ruang hampa. _p

Sifat-sifat gelombang materi de Broglie.

1. Makin besar massa partikel, makin pendek panjang gelombangnya.

2. Gelombang materi tidak sama dengan gelombang elektromagnetik.

3. Gelombang materi dapat menjalar lebih cepat dari kecepatan cahaya.

4. Kecepatan gelombang materi bergantung kecepatan partikel materi (berarti tidak tetap).

5. Kecepatan grup (v ) dari gelombang materi berbanding terbalik λ (sedangkan _g gelombang elektromagnetik tidak bergantung λ).

6. Gelombang materi disebut juga gelombang pemandu yang berfungsi memandu partikel materi.

7. Gelombang materi bukan peristiwa fisika, tetapi merupakan representasi simbol dari apa yang kita ketahui tentang partikel.

8. Gelombang materi adalah sebuah gelombang probabilitas.

Kecepatan fase sebuah gelombang tidak bergantung amplitudonya, tetapi bergantung pada sifat-sifat dan keadaan medium. Sebuah gelombang cahaya yang melewati medium gelas, kecepatan fase gelombang bergantung indeks refraksi medium gelas. Sifat-sifat atau keadaan suatu medium dapat mempengaruhi frekuensi gelombang, sebuah gelombang yang melewati suatu medium, kecepatan fasenya dalam medium tidak akan tetap, tetapi bergantung frekuensi, peristiwa ini disebut dispersif, di mana dalam medium dispersif gelombang-gelombang yang λ -nya berbeda menempuh perjalanan dengan kecepatan fase berbeda. Gelombang dispersif dalam suatu medium adalah gelombang yang kecepatan fasenya berubah terhadap λ. Medium di mana kecepatan fase berubah terhadap λ atau frekuensi disebut medium dispersif. Contoh gelombang dispersif adalah gelombang cahaya dalam medium gelas dan gelombang pada permukaan air. Sebuah medium di mana kecepatan fase sebuah gelombang tidak bergantung λ atau f disebut medium non dispersif, contoh gelombang elektromagnetik dalam vakum, gelombang bunyi dalam gas, gelombang transversal pada tali tegang yang kontinyu. Ketika gelombang-gelombang bidang dengan λ berbeda secara serentak menjalar dalam arah yang sama sepanjang garis lurus melalui medium dispersif, maka grup gelombang akan terbentuk. Grup gelombang ini disebut juga paket gelombang dan menjalar dengan kecepatan grup (vg).

Contoh-contoh soal :

1. Jika panjang gelombang de Broglie sebuah elektron 9.10⁻¹⁰m, hitung energi kinetik elektron tersebut ?

Jawab:

2 k

E = 1mv

2 ; h

p = = mv λ

( )

( )( )

2 34

19

k 2 31 10 2

6, 626.10

E = h = = 2,955.10 joule

2mλ 2 9,1.10 9.10

−

−

− −

E = 1,8467 eV k

2. Sebuah partikel massanya 0,51 MeV/c²mempunyai energi kinetik 100eV.

Hitunglah panjang gelombang de Broglie nya?

Jawab:

17

E = 100 eV = 1,6.10k ⁻ joule

( )

6 19

31

2 8 2

0,51 MeV 0,51.10 .1,6.10

m = = = 9.10 kg

c 3.10

− −

2 k

E = 1mv

2 ; 2E^k

v = m ;

k

h h

λ = =

mv 2E

m m

( )( )

34

31 17

k

h 6, 626.10

λ = 2mE 2 9.10 1, 6.10

−

− −

=

λ = 1,234.10⁻10 m = 1,234 Å

3. Cahaya ultraviolet λ = 3000 Å membebaskan elektron-elektron dari sebuah permukaan logam yang mempunyai panjang gelombang ambang λ0 = 4000 Å.

Hitung panjang gelombang de Broglie elektron-elektron yang dipancarkan permukaan logam dengan energi kinetik elektron maksimum ?

Jawab :

λ = 3000 Å = 3.10^–7 m ; λ₀ = 4000 Å = 4.10^–7 m

0 k

hf hf = E

-

^; _k

0

hc hc λ

−

λ =E

(

³⁴

)(

⁸

) ₍

⁷

₎₍

⁷

₎

k 7 7

0

1 1 4.10 3.10

E hc 6,626.10 3.10

λ λ 3.10 4.10

− −

− − −

 

 

 

=  =  

− −

19

E = 1, 656.10k ⁻ joule

panjang gelombang de Broglie

( )

( )( )

2 12

12 34

2

31 19

k

6, 626.10

h h

λ = =

mv 2mE 2 9,1.10 1, 656.10

−

− −

 

  = 

   

   

9 0

λ = 1,2.10 m = 12 A⁻

4. Buktikan bahwa panjang gelombang de Broglie elektron yang dipercepat melalui voltase V volt diberikan oleh

12

λ = 150 V

 

 

  Å

Jawab : 1 2

eV = mv

2 ;

12

v = 2eV m

 

 

 

2 12 12

h h h

λ = =

mv 2eV 2meV

m m

 

= 

 

 

 

 

( )

( )( ) ( )

2 12 1

34 2

10

34 19

6,629.10 150

λ = 10 m

2 9,1.10 1, 6.10 V V

− −

− −

 

 

  = 

   

 

 

12

λ = 150 V

 

 

  Å

5. Buktikan bahwa panjang gelombang de Broglie sama dengan panjang gelombang Compton, jika kecepatannya 0,707 kali kecepatan cahaya dalam vakum.

Jawab :

panjang gelombang de Broglie

2 2 d

0

h 1 v

h c

λ = =

mv m v

−

panjang gelombang Compton

d 0

λ = h m c

bandingkan kedua persamaan di atas

2 2

0 0

h 1 v

h = c

m c m v

−

2 2

v = c 1 v

−c ^; v v₂² = 1

c −c

v 2

2 = 1

c

  

  ; v 1 1

= = 2 = 0,707

c 2 2

  

  v = 0,707c

6. Hitung panjang gelombang de Broglie neutron yang paling mungkin, berkenaan dengan neutron termal T = 27⁰ C, k = 1,38.10^–21 J/K, massa neutron

= 1,67.10^–27 kg.

Jawab :

1 2 3

mv = kT

2 2 ;

12

v = 3kT m

 

 

 

( )

( )( ) ^{( )}

2 12

1 34

2 2

27 21

6, 626.10

h h

λ = =

mv 3mkT 2 1, 67.10 1,38.10 300

−

− −

 

  = 

   

   

λ = 1,45.10⁻11 m = 0,145Å