Dwi Teguh Rahardjo, M.Si

MODUL

FISIKA MODERN

Oleh :

Dwi Teguh Rahardjo, M.Si

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2012

Daftar Isi

Bab 1. Relativitas

01. Kerangka acuan 02. Transformasi Galileo

03. Interferometer Michelson – Morley 04. Transformasi Koordinat Lorentz 05. Transformasi Kecepatan Lorentz 06. Transformasi Percepatan Lorentz 07. Relativitas Khusus Einstein 08. Keserempakan yang Relatif 09. Dilatasi Waktu

10. Kontraksi Panjang Lorentz – Fitzgerald 11. Pemuaian Massa

12. Hubungan Massa dan Energi 13. Transformasi Momentum – Energi 14. Efek Doppler Relativistik

15. Kovarian Lorentz pada Persamaan Maxwell 16. Sekilas Teori Relativitas Umum Einstein Bab 2. Permulaan Teori Kuantum

01. Radiasi Benda Hitam 02. Efek Fotolistrik 03. Efek Compton

04. Dualitas Gelombang dan Partikel dari suatu Materi 05. Gelombang Materi de Broglie

06. Ketidakpastian Heisenberg 07. Gelombang Mekanik Schrodinger Bab 3. Model – model Atom

01. Model Atom Thomson 02. Model Atom Rutherford 03. Model Atom Bohr

04. Teori Kuantisasi Momentum Sudut Wilson-Sommerfeld 05. Model Atom Vektor

06. Model Atom Mekanika Kuantum Bab 4. Radioaktivitas

01. Peluruhan Radioaktif 02. Umur Paruh Waktu 03. Umur Rata – rata

04. Aktivitas Unsur Radioaktif 05. Koreksi Massa Berhingga Inti 06. Disintegrasi berturut-turut 07. Hukum Pergeseran Radioaktif

BAB 1

RELATIVITAS

1.2 Kerangka Acuan

Posisi/letak suatu benda ditentukan oleh ukuran jaraknya dari suatu benda lain sebagai titik acuan, di mana titik acuan yang menentukan posisi benda-benda lain ini juga dapat berupa sumbu-sumbu koordinat. Sekumpulan sumbu koordinat sebagai acuan/referensi di mana posisi dan waktu sebuah benda/obyek diukur atau ditentukan disebut kerangka acuan/referensi. Kerangka acuan sebagai referensi waktu pengukuran ini dinyatakan secara bersamaan dengan posisi sebagai satu kesatuan ruang dan waktu. Terdapat beberapa jenis sistem koordinat kerangka acuan yaitu sistem koordinat kartesian, sistem koordinat bola, sistem koordinat silinder, sistem koordinat kurvilinier, dan lain-lain. Nilai-nilai numerik koordinat- koordinat yang memberikan posisi sebuah obyek/benda pada saat itu adalah berbeda-beda untuk sistem koordinat yang berbeda, sehingga memungkinkan untuk menentukan hubungan matematika sederhana antara suatu sistem koordinat kerangka acuan dengan sistem koordinat kerangka acuan yang lain dalam sistem yang berbeda. Hubungan antara suatu sistem koordinat kerangka acuan dengan sistem koordinat kerangka acuan lain disebut transformasi koordinat.

Kerangka acuan juga dapat bergerak relatif terhadap kerangka acuan lain.

Misal pengamat di dalam mobil yang bergerak dengan kecepatan v menjatuhkan bola di dalam mobil, oleh pengamat di dalam mobil, bola tersebut terlihat jatuh lurus ke lantai mobil dan memantul lurus ke atas, tetapi oleh pengamat yang berada di pinggir jalan, bola tersebut terlihat jatuh dan memantul menurut lintasan parabola. Pengamat di pinggir jalan yang berada dalam kerangka acuan diam, melihat pengamat di mobil (yang berada dalam kerangka acuan bergerak dengan kecepatan tetap) bergerak menjauhinya. Sedangkan menurut pengamat di dalam mobil, merasa dirinya diam dan melihat pengamat di pinggir jalan yang bergerak menjauhinya. Sehingga kerangka acuan diam dan kerangka acuan bergerak merupakan istilah relatif yang bergantung di dalam kerangka mana seorang pengamat menilai. Dua kerangka acuan yang bergerak lurus dengan kecepatan tetap satu sama lain adalah ekuivalen dan hukum gerak Newton sama-sama dapat diterapkan pada kedua kerangka acuan tersebut.

1.2 Transformasi Galileo

Posisi suatu peristiwa sering kali perlu ditentukan berdasarkan suatu kerangka acuan untuk melaporkan suatu peristiwa pada orang lain. Misal pengamat di titik O berada di kerangka acuan S atau kerangka acuan (x,y,z) akan melaporkan posisi suatu peristiwa di titik P pada gambar 1.1. sebagai P(2,1,2).

Gambar 1.1. Posisi suatu peristiwa P di kerangka acuan (x,y,z)

Hubungan antar kerangka acuan untuk mengambarkan posisi suatu peristiwa dapat dirumuskan berdasarkan pengamat di suatu kerangka acuan terhadap kerangka acuan lain. Misal pengamat O berada di kerangka acuan (x,y,z) dan pengamat lain O

'

berada di kerangka acuan (x

'

,y

'

,z

'

) pada koordinat x = 2, suatu peristiwa di titik P dapat dirumuskan berdasarkan salah satu pengamat.

Pengamat O

'

berada di kerangka acuan (x

'

,y

'

,z

'

) akan melaporkan posisi suatu peristiwa di titik P pada kerangka acuan (x,y,z) gambar 1.2. sebagai

( )

P− −2 x , y , z

' '

 .

Gambar 1.2. Posisi P di kerangka acuan O berdasarkan O

'

Hubungan antar kerangka acuan juga dapat dirumuskan pada kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan tetap terhadap kerangka acuan lain. Jika pengamat O berada di kerangka acuan (x,y,z,t) dan pengamat lain O

'

berada di

y

z

O

P 2 1

2

x S

x '

x

x , x

'

y y

'

z '

z

O O

'

P

1 2 3

2 1

S S’

kerangka acuan (x

'

,y

'

,z

'

, t

'

) di mana pada saat awal t = t

'

= 0 kedua kerangka acuan tersebut berhimpit. Kerangka acuan (x

'

,y

'

,z

'

, t

'

) kemudian bergerak dengan kecepatan tetap v searah sumbu x, sehingga terdapat hubungan transformasi antara koordinat-koordinat dan waktu dari kerangka acuan (x,y,z,t) ke kerangka acuan (x

'

,y

'

,z

'

, t

'

) pada suatu peristiwa di suatu titik P. Menurut pengamat O

'

pada gambar 1.3., posisi koordinat suatu peristiwa di titik P yaitu [–(vt–x),y

'

,z

'

, t

'

], sedangkan menurut pengamat O pada gambar 1.4., posisi koordinat suatu peristiwa di titik P yaitu [(v t

'

+x

'

),y,z,t].

Gambar 1.3. Posisi P di kerangka acuan O berdasarkan O

'

persamaan transformasi koordinat suatu peristiwa di titik P pada gambar 1.3.

menurut pengamat O

'

yaitu x = x

'

− vt

y = y

'

….………. (1.01) z = z

'

t = t

'

Gambar 1.4. Posisi P di kerangka acuan O

'

berdasarkan O

x

'

x

x , x

'

y y

'

z '

z

O O

'

P vt v

S S’

z

x

'

x

x , x

'

y y

'

z '

O O’

P vt

S v S’

persamaan transformasi koordinat suatu peristiwa di titik P pada gambar 1.4.

menurut pengamat O yaitu x = x + vt

' '

y = y

'

…….……….…. (1.02) z = z

'

t = t

'

Hubungan transformasi di atas dikenal sebagai persamaan transformasi koordinat Galileo. Persamaan transformasi koordinat (1.02) biasanya disebut transformasi koordinat invers. Jika persamaan tersebut didiferensialkan terhadap waktu, maka akan didapatkan persamaan transformasi kecepatan Galileo yaitu

x x

u = u

'

−v

y y

u = u

'

.………..…(1.03)

z z

u = u

'

di mana

( )

x

d x vt

dx dx dt dx

u = = = = v

dt' dt dt dt dt

' '

' '

−

   

  −

  

 

dengan t = t

'

dan v = tetap, jika persamaan di atas didiferensialkan sekali lagi, maka akan didapatkan persamaan transformasi percepatan Galileo, yaitu

x x

a = a

'

y y

a = a

'

………..…(1.04)

z z

a = a

'

Dari transformasi percepatan terlihat bahwa hukum gerak Newton tetap sama di kerangka acuan yang diam atau di kerangka acuan yang bergerak lurus dengan kecepatan tetap, yang artinya pengamat di suatu kerangka acuan akan tidak dapat memutuskan apakah kerangka acuannya diam atau bergerak lurus beraturan melalui percobaan mekanika dalam kerangka acuannya. Misal jika percobaan menjatuhkan bola dilakukan dalam pesawat yang terbang dengan kecepatan tetap dan seluruh jendela pesawat ditutup, maka pengamat di dalam pesawat tidak akan mengetahui dari hasil percobaannya, apakah pesawatnya diam atau bergerak. Ia akan memperoleh hasil percobaan yang sama dengan pengamat yang ada di laboratorium di permukaan bumi (dianggap kerangka acuan diam).

Kerangka acuan yang bergerak lurus dengan kecepatan tetap relatif terhadap

kerangka acuan yang lain disebut kerangka inersial. Kesetaraan kerangka inersial terhadap hukum mekanika klasik dikenal sebagai relativitas Newton.

Umumnya dianggap bahwa semua kerangka acuan yang berada di permukaan bumi adalah kerangka-kerangka acuan inersial, walaupun anggapan tersebut tidak sepenuhnya tepat, karena benda-benda di permukaan bumi bergerak melingkar dengan kecepatan tetap yang tentu saja mengalami percepatan sentripetal menuju pusat bumi. Newton beranggapan bahwa alam semesta ini merupakan ruang absolut/mutlak dan dalam keadaan diam (tidak bergerak), sehingga hukum gerak Newton tetap berlaku baik di kerangka acuan diam maupun di kerangka acuan bergerak (dengan kecepatan tetap v) terhadap ruang absolut ini. Jadi hukum gerak Newton tetap sama di semua kerangka-kerangka inersial.

Contoh 1 :

Sebuah mobil A berkecepatan 72 km/jam melewati mobil B yang berkecepatan 18 km/jam, pada saat kedua mobil sejajar kedua pengemudi melihat arlojinya masing-masing dan tepat jam 9.00. Lima detik kemudian pengemudi mobil B melihat burung terbang searah mobilnya dan mengukur jarak burung 200 m di depan mobil B. (mobil A, B, dan burung bergerak searah sumbu x).

1. Bagaimana koordinat burung menurut pengemudi mobil B dan A?

2. Lima detik kemudian pengemudi mobil B melihat burung lagi dan ia mengukur jarak burung tersebut 225 m di depan mobilnya. Hitung kecepatan terbang burung tersebut?

Jawab :

1. Koordinat burung menurut pengemudi mobil B

(

x , y , z , t1 1 1 1

)

= 200 m, 0, 0, 5 s

( )

v = 72 km/jam = 20 m/s ; A v = 18 km/jam = 5 m/s _B Koordinat burung menurut pengemudi mobil A

(

x , y , z , t2 2 2 2

)

= 125 m, 0, 0, 5 s

( )

,

di mana x = x2 −vt =225−

( )( )

20 5 =125 m 2. Koordinat burung menurut pengemudi mobil B

(

x , y , z , t

'

1

'

1

' '

1 1

)

= 225 m, 0, 0, 10 s

^{( )}

kecepatan burung menurut pengemudi mobil B

1 1

1

2 1

x x 225 200

v = = = 5 m/s

t t 10 5

'

− −

− −

koordinat burung menurut pengemudi mobil A

(

x , y , z , t

'

2

'

2

'

2

'

2

)

= 75 m, 0, 0, 10 s

^{( )}

, di mana x = x

'

2

'

₋vt =275₋

( )( )

20 10 ₌75 m kecepatan burung menurut pengemudi mobil A

2 2

2

2 1

x x 75 125

v = = = 10 m/s

t t 10 5

'

− − −

− −

Contoh 2 :

Seorang anak berenang bolak-balik dengan kecepatan c menyeberangi sungai yang kecepatan arusnya v di mana lebar sungai yaitu L. Kemudian ia mencoba berenang searah aliran sungai sejauh L dan kembali (menentang arus) sejauh L juga. Tentukan waktu tempuh anak tersebut ketika bolak-balik menyeberangi sungai dan tentukan juga waktu ketika ia berenang searah dan berlawanan arus sungai.

Jawab :

Gambar 1.5. Aliran sungai dengan kecepatan tetap v Waktu bolak-balik menyeberangi sungai

2

A 2 2 2 2

2

2L 2L 2L v

t = = 1+

c 2c

c v v

c 1 c

 

≈  

−  

−

………..…..…(1.05)

Waktu berenang searah dan berlawanan arus sungai

2

B 2 2 2 2

2

2Lc 2L 2L v

t = = 1+

c v v c c

c 1 c

 

≈  

 

−  −   

 

….. …….……….…….(1.06)

dengan deret binomial :

( )

ⁿ n n 1

( )

2

1+x = 1+ nx + x + 2!

− i i i L

L v

1.3 Interferometer Michelson – Morley

Telah diketahui bahwa kecepatan gelombang elastik bergantung pada kecepatan medium yang dilaluinya, jadi kecepatan gelombang bunyi dalam udara akan berbeda jika angin bertiup dan jika kerapatan udara berbeda. Berdasarkan prinsip tersebut Michelson dan Morley merancang percobaan untuk mendeteksi apakah terdapat efek yang sama untuk kasus gelombang cahaya. Karena menurut pendapat ilmuwan fisika klasik waktu itu, gelombang cahaya termasuk juga gelombang elastik yang memerlukan medium untuk perambatannya dan karena kecepatan gelombang cahaya sangat tinggi maka medium untuk perambatannya harus mempunyai elastisitas yang sangat tinggi dan kerapatan yang sangat rendah.

Medium hipotetik (dugaan) ini mereka namakan ether. Ketika bumi mengelilingi matahari, bumi dianggap akan melewati medium ether dan hal ini akan menimbulkan angin ether yang dianggap akan mempengaruhi kecepatan cahaya pada percobaan Michelson-Morley.

Gambar 1.6. Interferometer Michelson-Morley

Dari gambar 1.4. didapatkan waktu tempuh cahaya dari M ke cermin yaitu

A

A 2

2

t = 2L c 1 v

−c

dan _B ^B

2 2

t = 2L c 1 v

c

 

−

 

 

selisih waktu antara waktu tempuh cahaya dari M ke M1 dan dari M ke M2 yaitu

∆t = tA – t_B

A B

2 2 2 2

2 L L

∆t =

c v v

1 1 c c

 

 

 − 

  

 −  − 

  

 

di mana

S = sumber cahaya

M = cermin semi transparan M1 & M2 = cermin datar v = kecepatan rotasi bumi L_A = jarak M ke M₁ LB = jarak M ke M2 P = pengamat P

M

M₁

M₂

S

L_A

LB v

Jika alat percobaan diputar 90⁰ , maka

A

A 2

2

t = 2L c 1 v

c

'

 

−

 

 

dan _B ^B

2 2

t = 2L c 1 v

c

'

−

A B

B

A 2 2

2 2

2 L L

∆t = t t

c v v

1 1

c c

' ' '

 

 

 

− =   − 

 −  − 

  

 

A B A B

2 2

2 2 2

2 2 2

2 L L L L

∆t ∆t + +

c v v v v

1 1 1 1

c c c c

'

   

   

   

− =  −   −  −  − − 

(

A B

)

2 2

2 2

2 1 1

∆t ∆t = L + L

c v v

1 1

c c

'

 

 

 

−   − 

 −  − 

  

 

( )

²

(

A B

)

²

B

A 2 3

L + L v

2 v

∆t ∆t L + L

c 2c c

'

− ≈ ^ ^ ≈

 

Selisih ini menghasilkan perubahan fase antara 2 cahaya yang masuk teleskop (pengamat) atau yang ditangkap layar. Jika periode vibrasi (getaran) sumber cahaya monokromatik yaitu T, maka pergeseran lingkaran yang teramati diharapkan menjadi

2 B A

2

L + L

∆t ∆t v

∆N = =

T λ c

'

− ^{ }

 

  …...……….…………...…(1.07) Jika terjadi selisih lintasan 1 panjang gelombang (λ) antara 2 cahaya, maka akan menghasilkan pergeseran 1 lingkaran (fringe) yaitu lingkaran bagian dalam akan menggantikan posisi lingkaran bagian luar dan seterusnya.

Dari gambar 1.6 di atas, panjang lintasan dari M ke M₁ bolak-balik yaitu

2 A

1 1 A 2 A 2

2

2L v

MM +M M = ct = 2L 1

v 2c 1 c

 

≈  − 

 

−

Dan dari M ke M₂ bolak-balik yaitu

2 B

B B

2 2 2 2

2

2L v

MM +M M = ct = 2L 1

v c 1 c

 

≈  − 

 −   

 

 

Selisih lintasan cahaya yang sampai pengamat yaitu

B A

2 2

ct ct = Lv

− c ^{(jika L}A = LB = L) Jika keseluruhan alat diputar 90⁰ , maka

A

A A

2

1 1 2 2

2

2L v

MM +M M = ct = 2L 1

v c 1 c

 

≈  − 

 −   

 

 

B

B B

2

2 2 2 2

2

2L v

MM +M M = ct = 2L 1

v 2c 1 c

 

≈  − 

 

−

B A

2 2

ct ct = Lv

− − c ^{(jika L}A = L_B = L)

Maka selisih lintasan cahaya sebelum dan sesudah alat diputar 90⁰ yaitu

2 2 2

2 2 2

Lv Lv 2Lv

c c = c

 

− − 

  ……….………..…(1.08)

Jika kecepatan revolusi bumi v ≈ 30 km/s. maka v₂^{2 8} c 10

∝ − dan jika L = 12,5

meter, sehingga perubahan yang diharapkan pada selisih lintasan karena perputaran alat 90⁰ yaitu 2²

( ) ( )

⁸

2Lv = 2 12,5 10 m = 2500 A c

−

Gambar 1.7 Lingkaran–lingkaran (fringe) interferensi pada interferometer Michelson-Morley menggunakan cahaya dengan panjang gelombang λ = 5000 A , ^o maka selisih lintasan di atas sebesar

½

panjang gelombang sumber cahaya yang digunakan, sehingga diharapkan akan menghasilkan pergeseran lingkaran

interferensi sebesar

½

atau 0,5 yaitu posisi lingkaran pertama berubah menjadi lingkaran yang terletak antara lingkaran pertama dengan lingkaran kedua (garis putus-putus), lingkaran kedua menjadi lingkaran yang terletak antara lingkaran kedua dengan lingkaran ketiga (garis putus-putus) dan seterusnya lihat gambar 1.7. Tetapi pergeseran lingkaran sebesar 0,5 tersebut ternyata tidak teramati pada eksperimen, sehingga Michelson-Morley kemudian menyimpulkan :

1. Tidak terdapat kecepatan relatif antara bumi dan ether, dengan kata lain ether sebenarnya tidak ada.

2. Kerangka acuan absolut yang diusulkan Newton tidak ada dalam kenyataan.

3. Kecepatan cahaya sama di semua kerangka inersial.

Alat interferometer dapat juga digunakan untuk menentukan panjang gelombang (λ) suatu sumber cahaya monokromatik, yaitu dengan memasang v = 0 (karena tidak ada ether maka tidak ada efek kecepatan rotasi bumi dan interferometer dianggap berada dalam kerangka referensi diam ).

A B

∆t = t −t

A B

2 2 2 2

2 L L

∆t =

c 1 v 1 v

c c

−  

−  − 

 

A B

∆t = 2 L L

c − dengan d= L_A−L_B

∆t 2d T =cT N 2d f

= c dengan ∆t

N= T dan 1

f =T N 2d

= λ dengan c

λ= f

N = jumlah pergeseran lingkaran interferensi

d = selisih lintasan cahaya yang dapat diketahui dari micrometer sekrup λ = panjang gelombang sumber cahaya monokromatik

2d

λ= N

Contoh 3 :

Suatu percobaan dipakai interferometer Michelson-Morley untuk menguji keberadaan zat eather sebagai medium perambatan cahaya. Jarak antara cermin datar dan cermin semi transparan pada interferometer 22,5 meter dan kecepatan revolusi bumi v ≈ 30 km/s serta menggunakan sumber cahaya λ= 6000 A . Alat ^o interferometer diletakkan di atas gunung dan percobaan dilaksanakan pada saat tidak ada angin. Jika dimisalkan terdapat eather di luar angkasa, tentukan berapa persen jarak pergeseran fringe pada pengamatan di alat interferometer?

Jawab:

( )( )

( )

²

^{( )} (

⁸

)

7

2 16

8

2 2

2 22, 5 9.10 2 22, 5 30000

λ 2Lv m 4, 5.10 m 4500 A

c 3.10 9.10

= = = = − =

Jika sumber cahaya monokromatik 6000

o

A , maka persentase pergeseran fringe 4500 x100% 75%

6000

 

  =

 

Contoh 4 :

Alat interferometer Michelson-Morley digunakan untuk menentukan panjang gelombang (λ) suatu sumber cahaya monokromatik. Jika selisih jarak lintasan cahaya antara cermin tetap 1 – cermin semi transparan dengan cermin tetap 2 – cermin semi transparan untuk 10 kali pergeseran lingkaran interferensi adalah 3.10^–6 m, tentukan λ sumber cahaya yang digunakan dalam percobaan ?

Jawab:

(

⁶

)

7 ^o

2 3.10

λ 2d 6.10 m 6000 A

N 10

−

= = = − =

contoh 5 :

Di percobaan Interfero Michelson-Morley, jarak lintasan optik (L) yaitu 10 m dan cahaya yang digunakan λ = 4000 A , kecepatan revolusi bumi v = 30 km/s. ^o Hitung pergeseran fringe yang akan teramati seandainya eather benar-benar ada.

Jawab :

( ) ( )

( ) ( )

2 4

2 7 8

2 2

2 10 3.10

N 2Lv 0,5

λc 4.10⁻ 3.10

= = =

1.4 Transformasi Koordinat Lorentz

Ciri-ciri suatu transformasi persamaan yaitu :

a. Agar kedua kerangka inersial (x,y,z,t) dan (x

'

,y

'

,z

'

, t

'

) sama, maka persamaan transformasi harus simetris, kecuali tanda kecepatan relatif antara dua sistem, akan positif di suatu sistem dan negatif di sistem lain.

b. Jika semua kuantitas (x,y,z,t) berhingga, maka kuantitas (x

'

,y

'

,z

'

, t

'

) yang diperoleh dari transformasi harus juga berhingga.

c. Ketika kecepatan relatif kedua kerangka nol, maka hubungan transformasi harus memberikan nilai-nilai koordinat dan waktu yang sama untuk kedua sistem yaitu x = x

'

, y = y

'

, z=z

'

^{, t = t}

'

.

d. Hukum penjumlah kecepatan yang diperoleh dengan menggunakan hubungan transformasi harus menggunakan kecepatan cahaya sama (invariant) di dalam semua kerangka inersial.

Transformasi Lorentz didasarkan atas dua hal yaitu 1. Waktu pada kedua kerangka inersial berbeda (t ≠ t

'

)

2. Kecepatan cahaya sama menurut pengamat di kedua kerangka.

Didasarkan hal tersebut, transformasi Galileo perlu diubah bentuk persamaannya dengan memasukkan konstanta γ (untuk kerangka acuan bergerak searah sumbu x dengan kecepatan tetap v terhadap kerangka lain) yaitu

( )

x = γ x + vt

' '

dan ^{x = γ x}

^' (

^{− vt}

)

..………..(1.09) nilai γ di kedua kerangka inersial sama

x = ct dan x = ct

' '

…………..………... (1.10) nilai c sama di kedua kerangka inersial dan x

'

disubstusikan ke persamaan x

( )

x = γ γ x  − vt + vt

'

 ……….. (1.11)

2 2

x=γ x−γ vt+γvt

'

2 2

x−γ x+γ vt=γvt

'

( ) (

²

)

γvt

' =

γv γt+ −1 γ x 1 γ2

t = γt + x

'

^ ⁻γv ^

  ………. (1.12)

persamaan (1.09) dan (1.12) disubstitusikan ke persamaan (1.10)

x = ct

' '

( )

^{1 γ2}

γ x vt = c γt + x γv

  −  

−    

   

 

1 γ2

γx c x γct γvt

γv

 − 

−   = +

 

masing – masing sisi persamaan dikali dengan c

( )

1 γ2

x γ c c = ct γc + γv

γv

 −  −  

   

   

 

( )

2 2

γc + γv x ct

γc 1 γ c

γv

=  − −  

   

 

persamaan tersebut di atas harus sesuai dengan x = ct, maka

( )

2 2

γc + γv

= 1 1 γ

γc c

γv

 −  −  

   

   

 

2

1 γ 2

c = γv γv

 −  −

 

 

(

^{1 γ− 2}

)

^{c = 2 −γ v2 2}

( )

2 2 2 2

c =γ c −v maka

2 2

γ = 1 1 v

− c

……….………...…. (1.13)

2

2 2

1 v

γ 1 c

 

= − 

  ^atau

2

2 2

v 1

c 1 γ

 

= − 

 

nilai γ ini disubstitusikan ke persamaan (1.12)

2 2

1 γ

t = γ t + x

'

^ ^ γ v^{− }^

  

 

2

1 1

t = γ t γ x

'

v

  − 

  

 + 

  

 

  

 

maka

2 2 2 2

vx 1 vx

t = γ t t

c v c

1 c

'

^_{ −} ^_= ^_{ −} ^_

   

−

Sehingga persamaan transformasi koordinat Lorentz untuk kerangka acuan yang bergerak searah sumbu x dengan kecepatan tetap v terhadap kerangka lain yaitu

( )

2 2

x vt x =

1 v c

'

⁻

−

……….………...…. (1.14)

y = y

'

……….………..….. (1.15) z = z

'

……….………...…. (1.16)

2 2 2

1 vx

t t

v c 1 c

'

= ^ − ^

 

−

……….………...…. (1.17)

persamaan transformasi invers Lorentz dengan persamaan x disubstitusikan ke persamaan x

'

( )

x

'

=γ γ x^

'

+vt

'

−vt^ atau ^x

^'

⁼

(

^{γ x2}

^'

^{+γ vt2}

^' )

^−γvt

2 2

γvt=γ vt

' +

γ x

'

−x

'

( ) (

²

)

γvt= γv γt

' +

γ

−

1 x

'

γ2 1

t γt x

'

^ γv ^

'

=  

 

+ −

^{atau t γ t γ2}₂ ^{1 x}

'

γ v

'

   

=    

   

 

+ −

2

1 x t γ t

γ v

' 1 '

   

=    

 



+ −



2 2

x + vt x =

1 v c

' '

−

……….………...……. (1.18)

y = y

'

……….……….... (1.19) z = z

'

……….……….... (1.20)

2 2 2

1 vx

t t +

v c 1 c

' '

 

=  

 

−

……...……….………..…. (1.21)

kecepatan cahaya selalu tetap pada pengamat diam maupun bergerak, untuk pengamat diam, x = ct

2 2

2 2

v v

ct 1 1

x vt ct vt c c

x = = = = ct

v v v

v v 1 1 + 1 +

1 c 1 c c c c

'

 −   − 

   

− −    

 

 −    

− −     

1 v x = ct c

1 + v c

'

 

 − 

 

 

 

 

2 2

2 2

2 2

v v v

vx t ct t 1 1

t c c c c

t = = = = t

v v v

v v 1 1 + 1 +

1 c 1 c c c c

'

     

− − −

−      

     

 

 −     

− −       

1 v t = t c

1 + v c

'

 − 

 

 

 

 

 

maka untuk pengamat bergerak x = ct

' '

. Jadi kecepatan cahaya selalu tetap, baik menurut pengamat diam maupun pengamat bergerak.

Contoh 6 :

Persamaan Maxwell pada pola rambatan cahaya yaitu x² + y² + z² – c²t² = 0 apakah persamaan tersebut invarian terhadap transformasi Galileo atau transformasi Lorentz ?.

Jawab :

x² + y² + z² – c²t² = 0 ...……….………. (1.22) Menurut transformasi Galileo :

( )

²

( )

²

( )

²

2 2

x = x + vt

' '

= x

'

+ 2x vt + v

' '

t

'

( )

²

y = y2

'

( )

²

z = z2

'

( )

²

t = t2

'

ke empat persamaan transformasi Galileo lalu disubstitusikan ke persamaan (1.22) dalam contoh soal.

x² + y² + z² – c²t² = 0

( )

^x

'

²+ 2x vt + v

' '

²

( ) ( ) ( )

t

'

² + y

'

²+ z

'

² c²

( )

t

'

²= 0

  −

 

 

(

x + 2vt x + y

' ' ' ) ( ) ( ) '

²+ z

'

²+ v^ ²− c^2

( )

t

'

²= 0 .……….….……….. (1.23) ternyata persamaan (1.23) bentuknya tidak sama dengan persamaan (1.22), sehingga persamaan Maxwell pola rambatan cahaya tersebut tidak invarian di bawah transformasi Galileo.

Menurut transformasi Lorentz

( )

²

( )

²

( )

²

2 2 2

x =^γ x + vt

' '

^ =γ ^ x

'

+ 2x vt + v

' '

t

'

^

( )

²

y = y2

'

( )

²

z = z2

'

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2 4

vx 2v v

t = γ t + = γ t + x t + x

c c c

' '

^

' ' ' '

^

  

 

  

 

   

substitusikan ke persamaan (1.22)

( )

²

( )

²

( ) ( )

^{2 2}

( )

^{2 2}

( )

²

2 2 2 2

2 4

2v v

γ x + 2x vt + v t + y + z c γ t + x t + x = 0

c c

' ' ' ' ' '

^

' ' ' '

^

  −  

 

   

( )

²

( )

²

( ) ( )

^{2 2}

( )

^{2 2}

( )

²

2 2 2 2

2

γ x + 2x vt + v t + y + z γ c t +2vx t +v x = 0

' ' ' ' ' '

^

' ' '

c

'

^

  −  

 

   

( ) ( )

^y

^'

^{2+ z}

^'

^{2+ γ2}_^1−v_c^22_

( )

^x

^'

^2+γ2

(

^{v2− c2}

) ^{( )}

^t

^'

^{2 = 0}

( ) ( )

^{2 2 2 2}2

( )

^{2 2 2 2}2

( )

²

v v

y + z + γ 1 x c γ 1 t = 0

c c

' '

^ − ^

'

− ^ − ^

'

   

dengan

2

2 2

1 v

γ 1 c

 

= − 

 

( ) ( ) ( )

^x

^'

^{2+ y}

^'

^{2+ z}

^'

^{2− c2}

( )

^t

^'

^{2= 0} …….…….………..…. (1.24) Bentuk persamaan (1.24) sama dengan persamaan (1.22), maka persamaan Maxwell tersebut invarian terhadap transformasi Lorentz.

1.5 Transformasi Kecepatan Lorentz

Persamaan transformasi koordinat Lorentz untuk kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan tetap v searah sumbu x terhadap kerangka acuan lain yaitu ^{x = γ x}

^' (

^{− vt}

)

^{; y = y}

^'

^{; z = z}

^'

^{; t = γ t v x}₂

'

^ − c ^

 

lalu persamaan transformasi koordinat Lorentz didiferensialkan terhadap waktu

dx dx dt

= γ v

dt dt dt

'

^ ₋ ^

 

  ; dy dy dt = dt

'

; dz dz dt = dt

'

; dt dt v dx₂ dt = γ dt c dt

'

^ ₋ ^

 

 

dengan dx _x

dt = u ; dy _y

dt = u ; dz _z

dt = u dan dx _x dt = u

' '

'

^{; y}

dy = u dt

' '

'

^{; z}

dz = u dt

' '

'

sehingga

(

x

)

dx = γ u v dt

'

₋

; dy _y dt = u

'

; dz _z dt = u

'

; ^x

2

dt v u

= γ 1

dt c

'

^ ₋ ^

 

 

jika dx dt

'

dibagi dt dt

'

, maka

(

x

) (

x

)

x x

2 2

γ u v u v

dx =

v u v u

dt γ 1 1

c c

' '

− −

 −  = − 

   

   

jika dy dt

'

dibagi dt dt

'

, maka ^y

x 2

dy u

= v u

dt γ 1 c

'

'

^ ₋ ^

 

 

jika dz dt

'

dibagi dt dt

'

, maka ^z

x 2

dz u

= v u dt γ 1

c

'

'

^ ₋ ^

 

 

dengan

2 2

γ = 1 1 v

− c

sehingga persamaan transformasi kecepatan Lorentz untuk kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan tetap v searah sumbu x terhadap kerangka acuan lain yaitu

(

x

)

x

x 2

u v

u = 1 v u

c

'

⁻

 − 

 

 

………..…...…… (1.25)

y y

x 2

u = u γ 1 v u

c

'

 − 

 

………..…...…… (1.26)

z z

x 2

u = u γ 1 v u

c

'

 

 − 

 

………..……...… (1.27)

Benda bergerak yang berada di kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan tetap v searah sumbu x terhadap kerangka acuan lain, jika kecepatan kerangka acuan v << c maka v₂

c ≈ 0 sehingga persamaan (1.25) menjadi

x x

u = u

'

−v atau dx dx = v dt dt

'

'

⁻ yang sesuai dengan persamaan transformasi kecepatan Galileo. Untuk kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan v ≈ c searah sumbu x maka

(

x

)

x

x 2

u c

u = 1 c u

c

'

⁻

 − 

 

 

, sehingga

( )

( )

x x

x

u c

u c

1 c u c

'

= ⁻ = −

−

, yang

menunjukkan kecepatan benda yang berada di kerangka acuan diam seolah – olah bergerak menuju ke sumbu x negatif, karena besarnya kecepatan kerangka acuan c ke arah sumbu x positif, ini sesuai dengan postulat Einstein, di mana kecepatan cahaya tetap c dan tidak bergantung pengamat diam maupun pengamat bergerak.

Dari persamaan transformasi koordinat Lorentz invers

( )

x = γ x + vt

' '

; y = y

'

; z = z

'

; vx₂ t = γ t +

c

' '

 

 

 

persamaan transformasi kecepatan Lorentz invers untuk kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan tetap v searah sumbu x dapat diturunkan di bawah ini.

dx dx dt

= γ v

dt dt dt

' '

' ' '

 

 + 

 ; dy dy

dt dt

' '

⁼

'

^;

dz dz dt dt

'

'

⁼

'

^{; 2}

dt dt v dx

dt γ dt c dt

' '

' ' '

 

=  + 

 

dengan dx _x dt = u

' '

'

^{; y}

dy = u dt

' '

'

^{; z}

dz = u dt

' '

'

^{dan x}

dx = u

dt ; dy _y

dt = u ; dz _z dt = u

sehingga

(

x

)

dx γ u v

dt

'

'

^{= + ; y}

dy = u

dt

'

'

^{; z}

dz = u

dt

'

'

^;

x 2

dt v u

dt γ 1 c

' '

 

=  + 

 

jika dx

dt

'

^dibagi

dt

dt

'

^{, maka}

(

x

) (

x

)

x x

2 2

γ u v u v

dx =

v u v u

dt γ 1 1

c c

' '

' '

+ +

 = 

+ +

   

   

jika dy

dt

'

^dibagi

dt

dt

'

^{, maka}

y x 2

dy u dt v u

γ 1 c

'

= 

'



 + 

 

jika dz

dt

'

^dibagi

dt

dt

'

^{, maka}

z x 2

dz u

dt v u

γ 1 c

'

=

'

 

 + 

 

dengan

2 2

γ = 1 1 v

− c

maka transformasi kecepatan Lorentz invers yaitu :

x x

2 x

u + v u =

1 + v u c

'

 

'

 

 

………..……...… (1.28)

y y

x 2

u u

γ 1 v u c

'

=

'

 

 + 

 

………..……...… (1.29)

z z

x 2

u u

γ 1 v u c

'

=

'

 

 + 

 

………..……...… (1.30)

Ilustrasi penjumlahan kecepatan dapat diuraikan sebagai berikut :

Misal ada dua orang pengamat yaitu A dan B, pengamat A berada di luar gerbong kereta, pengamat B berada di dalam gerbong kereta. Pengamat A diam di pinggir rel kereta. Kereta bergerak dengan kecepatan v relatif terhadap pengamat A, sedangkan pengamat B berjalan di dalam gerbong dengan kecepatan u relatif terhadap kereta dan searah gerak kereta. Bagaimana kecepatan relatif pengamat B menurut pengamat A? Bagaimana kecepatan relatif pengamat A menurut pengamat B?.

Berdasarkan Tansformasi kecepatan Galileo : Kecepatan relatif pengamat B menurut pengamat A

uB = +u v

Kecepatan relatif pengamat A menurut pengamat B uA = − −u v

Berdasarkan Tansformasi kecepatan Lorentz : Kecepatan relatif pengamat B menurut pengamat A

B

2

u v

u vu

1 c

= + +

v

A B ^u

Kecepatan relatif pengamat A menurut pengamat B

( ) ( )

A

2 2

u v u v

u v u vu

1 1 c c

− − − +

= =

− +

−

Misal ada dua orang pengamat yaitu A dan B, pengamat A berada di luar gerbong kereta dan diam di pinggir rel kereta, sedangkan pengamat B diam dan berada di dalam gerbong kereta yang bergerak dengan kecepatan v relatif terhadap pengamat A. Pengamat B menyalakan senter ke ujung depan gerbong (gambar P), cahaya senter bergerak dengan kecepatan c dan jika pengamat A yang pegang dan menyalakan senter (gambar Q dan R), jika B memegang senter sambil jalan (gambar S) dan menyalakan senter ke depan dan pengamat A yang pegang dan menyalakan senter (gambar T, U, dan V) bagaimana kecepatan cahaya relatif menurut pengamat A? bagaimana kecepatan cahaya relatif menurut pengamat B?.

Gambar P. Gambar Q.

Gambar R.

Gambar S. Gambar T.

Gambar U. Gambar V.

v

A

B ^c

v

A B

c

v

A B c

v

A

B ^c

u v

A B

c u

v

A B c v u

A B c

u

Berdasarkan transformasi kecepatan Galileo :

Kecepatan relatif cahaya menurut pengamat A pada gambar P (B pegang senter) uC = +c v

Kecepatan relatif cahaya menurut pengamat B pada gambar Q (A pegang senter) uC = −c v

Kecepatan relatif cahaya menurut pengamat B pada gambar R (A pegang senter)

( )

uC = − − = − +c v c v

Kecepatan relatif cahaya menurut pengamat A pada gambar S (B pegang senter) uC = + +u c v

Kecepatan relatif cahaya menurut pengamat B pada gambar T (A pegang senter) uC = − −c u v

Kecepatan relatif cahaya menurut pengamat B pada gambar U (A pegang senter)

( )

uC = − − − = − + +c u v c u v

Kecepatan relatif cahaya menurut pengamat B pada gambar V (A pegang senter)

( )

uC = − + − = − + −c u v c u v

Berdasarkan tansformasi kecepatan Lorentz

Kecepatan relatif cahaya menurut pengamat A pada gambar P

( )

( )

C

2

c c v

c v c v

u c

vc v c v

1 1

c c

+ + +

= = = =

+ + +

Kecepatan relatif cahaya menurut pengamat B pada gambar Q

( )

( )

C

2

c c v

c v c v

u c

vc v c v

1 1

c c

− − −

= = = =

− − −

Kecepatan relatif cahaya menurut pengamat B pada gambar R

( ) ( ) ( )

( )

C

2

c v c c v

u c v c

v c v c v

1 1 c c

− + − +

= − − = = = −

− + +

−

Kecepatan relatif cahaya menurut pengamat A pada gambar S

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

C

2

c c u v

c u v c u v

u c

u v c u v c u v

1 1

c c

 + + 

+ + + +  

= = = =

+ + + +

+ +

Kecepatan relatif cahaya menurut pengamat B pada gambar T

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

C

2

c c u v

c u v c u v

u c

u v c u v c u v

1 1

c c

 − + 

− + − +  

= = = =

+ + − +

− −

Kecepatan relatif cahaya menurut pengamat B pada gambar U

( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )

C

2

c u v c u v c c u v

u c

u v c u v c u v

1 1

c c

− − + − + + − + +

= = = = −

+ − + + +

− +

Kecepatan relatif cahaya menurut pengamat B pada gambar V

( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )

C

2

c u v c u v c c u v

u c

u v c u v c u v

1 1

c c

− − − + − − + − − +

= = = = −

− + − − + + − +

− +

Jadi kecepatan cahaya mempunyai nilai atau besar yang tetap yaitu c di semua kerangka acuan inersial dan tidak bergantung kecepatan pengamat.

Contoh 7 :

Dalam kerangka S, 2 elektron mendekat dalam arah sumbu x satu sama lain, masing-masing mempunyai laju v = 0,5 c. Berapakah laju relatif kedua elektron tersebut?

Jawab :

Laju relatif 2 elektron adalah laju salah satu elektron dalam kerangka di mana elektronnya diam. Misal kerangka O

'

sebagai pengamat bergerak dengan laju 0,5c arah sumbu – x (negatif). Elektron lain bergerak dengan laju 0,5c dalam arah sumbu +x (positif).

x x

2 x

u v

u v

1 u

c

'

= ⁻

 

−  

 

( )

x

2

0, 5c 0, 5c c c 4c

u 0, 5c 1 0, 25 1,25 5

1 0, 5c

c

'

₌ ^{− −} _{= = =}

− +

 

−  

 

u

'

x =0,8c

di mana u_x = gerak elektron (ke arah sumbu x+) dan v = gerak kerangka O

'

(ke arah sumbu x – )

Contoh 8 :

Dalam kerangka O, sebuah elektron mempunyai kecepatan 0,6c dalam arah sumbu x, sebuah foton kecepatan c dalam arah sumbu y. Bagaimana kecepatan relatif elektron dan foton ?

Jawab :

Kecepatan foton bila diamati oleh elektron Kecepatan foton di kerangka O

u_x = 0 u_y = c

Pengamat di kerangka O' = elektron, kecepatan kerangka acuan v = 0,6c

( )( ) ( )( )

x x

x 2

u v 0 0,6c

u' = = 0,6c

vu 0,6c 0

1 1

c c c

− −

= −

− −

( )

( )( )

2 2

y 2 2

y

x

2 2

v 0,6c

u 1 c 1

c c

u' = = c 0,64 0,8c

vu 0,6c 0

1 1

c c

− −

= =

− −

( )

^{x 2}

( )

^{y 2}

^{( ) (}

²

⁾

²

^{( ) ( )}

u'= u' + u' = −0,6c + 0,8c =c 0,36 + 0,64 = c Kecepatan elektron bila diamati oleh foton

Kecepatan elektron di kerangka O u_x = 0,6c

u_y = 0

Pengamat di kerangka O' = foton, kecepatan kerangka acuan v = c

( )( ) ( )( )

y

y y

2

u v 0 c c

u' = = = c

vu c 0 1

1 1

c c c

− − −

= −

− −

( ) ( )

( )( )

2 2

x 2 2

x y

2 2

v c

u 1 0, 6c 1

c c

u' = = 0

vu c 0

1 1

c c

− −

=

− −

( )

^{x 2}

( )

^{y 2}

^{( ) ( )}

^{2 2}

u'= u' + u' = 0 + −c = c

1.6 Transformasi Percepatan Lorentz

Persamaan Transformasi kecepatan Lorentz jika didiferensialkan terhadap waktu harus menggunakan differensial parsial, ini karena pada transformasi kecepatan Lorentz, pembilang dan penyebut persamaan transfomasi kecepatan masing-masing mengandung variabel waktu, sehingga perlu menggunakan kaidah differensial parsial berikut

( ) ( )

2

da db

b + a

d a dt dt

dt b = b

   

   

     

  

maka jika persamaan (1.25, 1.26, dan 1.27) didiferensialkan terhadap waktu

sumbu x :

( )

x x x

2 x 2

x

2 x 2

du v u v du

1 u v

du dt c c dt

dt = v u

1 c

'

  − − − − 

    

    

 − 

 

 

2 2

x x x x x 2 x

x 2 2 2

x

2 2

x x

2 2

v u a v u a v a 1 v a

a c

du = c c c

dt v u v u

1 1

c c

'

 

−

 

− + − = 

   

− −

   

   

sumbu y :

y x x

2 y 2

y

2

2 x

2

du v u γv du

γ 1 u

du dt c c dt

dt = v u

γ 1 c

'

   − − − 

     

   

 

 − 

 

 

x y x

y 2 2

y

2

2 x

2

γvu a a γ 1 v u

du c c

dt = v u

γ 1 c

'

 − +

 

 

 

 − 

 

sumbu z :

z x x

2 z 2

z

2

2 x

2

du v u γv du

γ 1 u

du dt c c dt

dt = v u

γ 1 c

'

   − − − 

     

     

 − 

 

 

x z x

z 2 2

z

2

2 x

2

v u γvu a a γ 1

du c c

dt = v u

γ 1 c

'

 − +

 

 

 − 

 

 

jika du^x dt

'

dibagi dt dt

'

di mana dt v u₂^x = γ 1

dt c

'

^ ₋ ^

 

 

maka

2 2 x x

2 2

x

x 2

v v u

1 a 1

c c

du dt v u

γ 1 c

' '

 −   − 

   

 

 

=  − 

 

2 2 x

x x

3 3

x 3 x

2 2

1 v a

du c a

dt v u v u

γ 1 γ 1

c c

' '

 

−

 

 

= =

   

− −

   

   

jika du^y dt

'

dibagi dt dt

'

dengan

2

2 2

v 1

1 =

c γ

 

−

 

 

maka

2

y x 2

x x

y 2 2 2

y

x 2

γvu a

v u v u

a γ 1 γ 1

du c c c

= v u

dt γ 1

c

' '

     

− + −

   

 

   

 

 

 − 

 

x y x

y 2 2

y

3

3 x

2

γvu a a γ 1 v u

du c c

dt = v u

γ 1 c

' '

 − +

 

 

 − 

 

 

( )

y y y x

2 3

2 x 2 x

2 2

du a vu a

dt = v u v u

γ 1 γc 1

c c

'

'

_{ } ⁺ _{ }

− −

   

   

jika du^z dt

'

dibagi dt dt

'

maka

2

x z x 2 x

z 2 2 2

z

x 2

v u γvu a v u

a γ 1 γ 1

du c c c

= v u

dt γ 1

c

' '

     

− + −

   

 

   

 

 

 − 

 

x z x

z 2 2

z

3

3 x

2

v u γvu a a γ 1

du c c

dt = v u

γ 1 c

' '

 

− +

 

 

 

 − 

 

( )

z z z x

2 3

2 x 2 x

2 2

du a vu a

dt = v u v u

γ 1 γc 1

c c

'

'

_{ } ⁺ _{ }

− −

   

   

dengan du^x _x

dt = a ; du^y _y

dt = a ; du^z _z dt = a

dan du^x _x dt = a

' '

'

^;

y y

du = a dt

' '

'

^;

z z

du = a dt

' '

'

sehingga persamaan transformasi percepatan Lorentz untuk kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan tetap v searah sumbu x terhadap kerangka acuan lain yaitu

x x 3

3 x

2

a a

γ 1 v u c

'

=

 

 − 

 

………..……...… (1.31)

( )

y y x

y 2 3

2 x 2 x

2 2

a vu a

a

v u v u

γ 1 γc 1

c c

'

= +

 −   − 

   

   

………..……...… (1.32)

( )

z z x

z 2 3

2 x 2 x

2 2

a vu a

a

v u v u

γ 1 γc 1

c c

'

= +

 −   − 

   

   

………..……...… (1.33)

Untuk Tranformasi percepatan invers dapat dirumuskan dengan cara persamaan transformasi (1.28, 1.29, dan 1.30) didiferensialkan terhadap waktu

sumbu x :

( )

x x x

2 x 2

x

2 x 2

du v u v du

1 u v

du dt c c dt

dt = v u

1 c

' ' '

' ' '

' '

    

+ − +

    

    

 

 + 

 

2

x x x x x

x 2 2 2

x

2 x 2

v u a v u a v a

du = a c c c

dt v u

1 c

' ' ' ' '

'

' '

+ − −

 + 

 

 

2 2 x x

2 x 2

1 v a du c

dt v u

1 c

'

' '

 

 − 

 

=  

 + 

 

dengan

2

2 2

v 1

1 =

c γ

 

−

 

 