Model Atom Rutherford

PERMULAAN TEORI KUANTUM

B. Mekanika Gelombang Schroedinger

5. Partikel dalam kotak energi 3 dimensi tanpa pengaruh medan gaya luar

3.2. Model Atom Rutherford

Tahun 1908 Rutherford bersama Hans Geiger (mahasiswanya dari Jerman) mempelajari hamburan partikel α (inti atom He) yang ditembakkan pada selaput emas tipis. Dengan mikroskop Rutherford mengamati sinar kecil ketika partikel α menumbuk layar yang dapat berpendar. Rutherford merumuskan model hamburan partikel α oleh selaput tipis logam, berdasarkan asumsi-asumsi sebagai berikut : a. Partikel α dan inti atom logam adalah sangat kecil sehingga dianggap sebagai

massa titik dan muatan titik.

b. Gaya yang bekerja antara partikel α dengan inti atom logam adalah gaya tolak elektrostatik.

c. Inti atom logam dianggap sangat berat/besar dibanding partikel α, sehingga dianggap diam di tempat.

d. Gaya tolak elektrostatik antara partikel α dan inti atom berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara keduanya. Karena itu sebuah partikel α menggambarkan satu cabang dari sebuah hiperbola dengan inti terletak pada fokus luar.

Perumusan matematik dari peristiwa hamburan partikel α (partikel α umumnya diperoleh dari zat radioaktif alam) oleh Rutherford adalah sebagai berikut :

Parameter tumbukan (b) adalah jarak terdekat di mana partikel α dapat melewati dekat inti tanpa mendapat gaya tolak inti. Misal momentum awal p dan ₁ momentum akhir p , maka perubahan momentum ₂ ∆p = p₂−p₁ di mana ∆p adalah impuls yang diberikan inti pada partikel α.

partikel αααα

∆∆∆∆p

θθθθ ββββ

b

b

ββββ ϕϕϕϕ

inti atom garis asymtot

lintasan partikel αααα

Gambar 3.2. Hamburan partikel α

p = F dt

∆

∫

di mana F adalah gaya yang dikenakan oleh inti pada partikel α, θadalah sudut antara ∆p – inti – partikel α , dan φ adalah sudut hamburan.

Menurut asumsi-asumsi di atas, inti berada dalam keadaan diam, oleh karena itu momentum dan energi kinetiknya tetap. Misal massa partikel α adalah m dan besarnya kecepatan partikel α yaitu v , maka p2 = p₁ = mv ,

jika π φ

DBA DBC β

2

∠ = ∠ = − =

Menurut dalil sinus

p mv mv

π φ φ

sin φ

sin cos

2 2

∆ = =

−

   

   

   

………...…. (3.1)

di mana φ φ

sin φ 2 sin cos

2 2

   

=    

    maka φ

p 2mv sin 2

∆ =   

 

Perubahan momentum (∆p) adalah sama arah dengan impuls yang diberikan oleh inti pada partikel α , oleh karena itu besarnya impuls yaitu

Fdt= F cos θ dt

∫ ∫

di mana p = Fdt∆

∫

maka

0

2mv sin φ F cos θ dt 2

  ∞

 =

 

∫

pada saat t = 0, maka π φ

θ 2

−

 

= − 

 

t = ∞, maka π φ

θ 2

−

 

= 

 

π φ 2

π φ 2

φ dt

2mv sin F cos θ dθ

2 dθ

−

 

 

 

−

 

− 

 =  

   

 

∫

  ………...……...…… (3.2)

∆∆∆∆p

ββββ ββββ P₁

P₂ B

C

A

D

ϕϕϕϕ

Gambar 3.3. Resultan vektor momentum

Gaya tolak elektrostatik yang diberikan inti pada partikel α, bekerja di sepanjang garis antara partikel α dengan inti. Oleh karena itu momentum sudut partikel α di sekitar inti harus tetap konstan.

Momentum sudut partikel α saat awal adalah dθ 2

m r mvb konstan

dt = =

dan

dt r2

dθ= vb lalu disubstitusikan ke persamaan (3.2)

π φ 2

π φ 2

φ r2

2mv sin F cos θ dθ

2 vb

−

 

 

 

−

 

− 

 

 

 =  

  

∫

 

di mana partikel α bermuatan +2e. Jika nomor atom inti Z maka muatan inti +Ze, maka gaya elektrostatik yang dikerjakan inti pada partikel α yaitu :

2 2

2 2

o

1 2Ze 2kZe

F= 4π r = r

∈ ; di mana ^{2 2}

o

k 1 Nm /

4π C

= ∈

maka

π φ 2

π φ 2

2 2

φ 2kZe 2kZe π φ π φ

2mv sin cos θ dθ sin sin

2 vb vb 2 2

−

 

 

 

−

 

− 

 −  − 

 = =   − −  

      

 

∫

     

2 2

φ 2kZe π φ 4kZe φ

2mv sin 2 sin cos

2 vb 2 vb 2

 − 

     

=  =

     

       lihat persamaan (3.1)

maka

kZe2 φ

b cot

T 2

=   

  ………... (3.3)

di mana ^{1 2}

T=2mv dan untuk φ=180 ⁰ → b=0

Gambar 3.4. Parameter tumbukan terhadap sudut hamburan.

inti atom σ

φ b

σ=πb2

σ = luas penampang lintang interaksi

Misal selaput tipis suatu unsur logam berat mengandung n atom per satuan volume dan ketebalan tipis t. Jika luas selaput tipis, di mana partikel α menumbuk adalah A, maka jumlah inti atom target yang ditumbuk oleh partikel α yaitu ntA.

Dianggap bahwa selaput sangat tipis sehingga penampang lintang inti tetangganya atau sebelahnya tidak overlap (tumpang tindih) dan bahwa defleksi (pembelokkan) sebuah partikel α terhambur secara keseluruhan disebabkan oleh sebuah tumbukan tunggal dengan inti.

Fraksi f partikel–partikel α yang dihamburkan pada sudut φ atau lebih terhadap jumlah total partikel α yang menumbuk/datang diberikan oleh :

penampang lintang total f = luas target

ntAσ 2

f ntσ ntπb

= A = = dari persamaan (3.3)

2 2 4 2 2

ntπk Z e φ

f cot

T 2

=   

 

fraksi partikel α yang dihamburkan antara sudut φ dan φ + dφ yaitu

2 2 4

2 2

ntπk Z e φ φ

df cot cosec dφ

2 2

T

   

= −    

    ……….... (3.4)

tanda (–) menunjukkan bahwa selama φ meningkat, f menurun.

R = jarak antara selaput tipis dengan layar.

Di mana luas cincin di layar yaitu 2πR sinφ dφ , maka jumlah partikel α yang ² dihamburkan antara sudut φ dan φ + dφ yaitu dan menumbuk layar, yaitu :

φ i 2

N N df

2πR sin φ dφ

=

2 2 2 4

i

φ 2 2

φ φ

cot cosec dφ

N nπtk Z e 2 2

N T 2πR sin φ dφ

     

   

     

 

=

di mana N adalah jumlah partikel α_i yang datang/menumbuk selaput tipis

2 2 4 i 4

φ 2 2

N n t k Z e φ

N cosec

4R T 2

=   

  ………..……… (3.5)

persamaan (3.5) merupakan rumus hamburan Rutherford.

partikel α

φ dφ

Rdφ

selaput tipis logam R

Rsin φ

Gambar 3.5. Hamburan Rutherford.

layar

Jarak terdekat (D) partikel α dapat mendekati inti suatu atom yaitu pada titik di mana energi kinetik (E_k) partikel α sama dengan energi potensial partikel α yang disebabkan oleh inti atom.

0

2 2

k

2Ze 2kZe

E =4π D= D

∈

2

k

D 2kZe

= E contoh :

Dalam eksperimen Geiger-Marsden pada hamburan partikel α dari foil (selaput tipis) emas, digunakan partikel α dengan E_k =8 MeV. Hitung jarak terdekat partikel α mendekati inti atom emas. (nomor atom emas Z = 79)

jawab :

( ) ^{( )} ( )

( )( )

9 19 2

2

6 19

k

2 9.10 79 1, 6.10 D 2kZe

E 8.10 1, 6.10

−

= = −

D=2,844.10⁻14 m

Penggunaan partikel α yang bermuatan positif dengan cara ditembakkan ke suatu materi, menurut Rutherford merupakan bahan ideal untuk mempelajari struktur atom. Geiger mengamati bahwa sebagian besar hamburan partikel α bersudut kecil (sekitar 1⁰ ) dan sangat sedikit partikel α yang dihamburkan dengan sudut di atas 10⁰. Pengamatan berikutnya Geiger bersama Marsden mengamati ada partikel α yang dipantulkan balik. Dari percobaan tersebut Rutherford berpendapat :

- Massa atom terpusat di tengah atom karena massa elektron sangat kecil.

- Inti atom padat dan memiliki muatan positif yang sangat besar.

- Atom hampir kosong sama sekali, inti atom hanya menempati sepermilyar ruang atom dan terletak di pusat atom.

Meskipun model atom Rutherford dapat menerangkan fenomena hamburan, namun belum dapat menjelaskan susunan elektron di sekitar inti, terdiri dari apakah inti atom itu dan apa yang mempertahankannya dari tolakan muatan-muatan positif, serta mengapa elektron yang bermuatan negatif tidak jatuh

ke inti yang bermuatan positif oleh gaya tarik elektrostatik. Untuk menjelaskan pertanyaan-pertanyaan tersebut, Rutherford kemudian mengajukan model atom planet, di mana elektron mengelilingi inti yang kecil dan gaya sentrifugal elektron yang mengelilingi inti akan mengimbangi gaya tarik elektrostatik, sehingga elektron tetap pada orbitnya. Model planet Rutherford ini ternyata masih memunculkan persoalan lain yaitu :

- elektron yang bergerak mengelilingi inti akan mengalami percepatan sentripetal dan karena elektron partikel bermuatan, maka percepatan elektron akan memancarkan radiasi kontinyu gelombang elektromagnetik.

- Elektron akan kehilangan energinya terus-menerus dan akhirnya secara spiral elektron akan jatuh ke inti.

Persoalan-persoalan tersebut di atas menunjukkan elektron mempunyai jumlah orbit lintasan yang tak terbatas karena bergerak spiral menuju inti atom, padahal menurut eksperimen lintasan elektron stabil dan tidak jatuh ke inti, sehingga model planet Rutherford masih mengandung kelemahan yaitu tidak dapat menjelaskan

- masalah stabilitas atom secara keseluruhan

- masalah distribusi elektron-elektron di luar inti atom.

Atom dengan dua elektron menurut model atom planet Rutherford adalah sebagai berikut : Gaya sentrifugal akibat gerak elektron mengelilingi inti atom dapat mengimbangi gaya tarik elektrostatik antara elektron dengan inti.

gaya sentrifugal :

mv2

F= r

gaya elektrostatik :

( )

0

2

F 2e e 4πε r

=

maka

( )

0

2

2

mv 2e e

r =4πε r

( )

0

2

2

mv Ze e

r =4πε r

Karena mengalami percepatan sentrifugal, maka elektron akan meradiasikan gelombang elektromagnetik, sehingga elektron akan kehabisan energi dan akan segera jatuh ke inti atom.

+

2e – –

Contoh Soal :

1. Sebuah elektron dengan kecepatan v=4.10 m/s⁵ mendekati inti dari jarak jauh, di mana parameter tumbukan inti b=0, 5.10⁻¹⁰ m. Hitung momentum sudut elektron di sekitar inti.

Jawab :

m=9,1.10⁻31kg ; v=4.10 m/s^{5 ;} r=0, 5.10⁻¹⁰m di mana r = b momentum sudut L = mvr

(

³¹

) (

⁵

) (

¹⁰

)

^{35 2}

L= 9,1.10⁻ 4.10 0, 5.10⁻ =1,82.10⁻ kg m /s

2. Sebuah partikel α mempunyai energi kinetik 2.10^–13 J dihamburkan oleh sebuah atom Aluminium melalui sudut 90°. Hitung jarak terdekat ke inti (b) dari arah mula-mula.

Jawab :

kZe2 φ

b cot

T 2

=   

  di mana k=9.10 N m / C^{9 2 2 ; e}=^{1, 6.10−19 C} T=2.10⁻13 J ; Z = 13 ; φ 1 ₀

cot 1

2 tan 45

 = =

  

( ) ^{( )} ( ) ^{( )}

( )

9 19 2

13

9.10 13 1, 6.10 1 b

2.10

−

= −

b=1, 4976.10⁻14m

3. Sebuah partikel α mempunyai energi kinetik 4 MeV dihamburkan oleh foil (selaput tipis) emas (Z = 79). Hitung volume maksimum di mana muatan positif atom dikonsentrasikan.

Jawab :

(

⁶

)(

¹⁹

)

¹³

T=4 MeV= 4.10 1, 6.10⁻ =6, 4.10⁻ J

( )( ) ( ) ( ) ^{( )} ( )

0

9 19 2

2 2 9.10 79 1, 6.10 26

Ze 2e 2kZe 3, 64032.10

V J

4π r r r r

− −

= = = =

∈

T = V di mana T = energi kinetik, V = energi potensial

26 13 3, 64032.10

6, 4.10 J J

r

− = −

r=5, 688.10⁻14m

( )

³

3 14 40 3

4 4 22

3 3 7

V πr   5, 688.10⁻ 7, 7.10⁻ m

= =   =

 

4. Hitung parameter tumbukan dari sebuah partikel α berenergi 5 MeV yang dihamburkan dengan sudut 10° oleh inti emas (Z = 79).

Jawab :

( ) ^{( )} ( )

( )( )

9 19 2

2

0

6 19

9.10 79 1, 6.10

kZe φ 1

b cot

T 2 5.10 1, 6.10 10

tan 2

−

−

=    =  

 

 

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

16 16 16

0 0

9 79 1, 6.10 227, 52.10 227, 52.10

b 5 tan 5 tan 5 0, 0875

− − −

= = =

b=2, 6.10⁻13m

5. Pada eksperimen hamburan partikel α Geiger-Marsden ke foil (selaput tipis) emas, digunakan partikel α dengan E_k = 10 MeV. Hitung jarak terdekat partikel α dapat mendekati inti atom emas. (nomor atom emas Z = 79).

Jawab :

( ) ^{( )} ( )

( )( )

9 19 2

2

6 19

k

2 9.10 79 1, 6.10 D 2kZe

E 10.10 1, 6.10

−

= = −

D=2, 2464.10⁻14 m

6. Pada eksperimen hamburan partikel α Geiger-Marsden ke foil (selaput tipis) emas, diketahui jarak terdekat partikel α dengan inti emas yaitu 0,01 pm.

Hitung energi partikel α yang diperlukan untuk dapat mendekati inti atom emas. (nomor atom emas Z = 79).

Jawab :

( ) ^{( )} ( )

( )

9 19 2

2

k 14

2 9.10 79 1, 6.10 E 2kZe

D 1.10

−

= = − 12

Ek =3, 64.10⁻ J=22, 75 MeV