Gerak Melingkar Beraturan

Contoh Soal 2.10

I. Gerak Melingkar

3. Gerak Melingkar Beraturan

Benda yang bergerak melingkar dengan besar kecepatan linearnya tetap (Gambar 2.31), kecepatan sudutnya juga akan tetap. Mengapa? Karena 𝑣 = 𝜔 𝑟, jika 𝑣 dan 𝑟 tetap, maka 𝜔 juga tetap. Gerak melingkar dengan besar kecepatan linear dan kecepatan sudut tetap disebut gerak melingkar beraturan (gmb).

Pada glb, percepatannya nol, apakah gmb percepatannya juga nol? Pada gmb, arah kecepatan sudutnya selalu tetap (ditentukan dengan kaidah tangan kanan), sehingga jika besar kecepatan sudut (𝜔) tetap, maka ∆𝜔 = 0, sehingga percepatan sudut (𝛼)

68 Bagaimana dengan percepatan oleh kecepatan linearnya?

Gambar 2.36 menunjukkan vektor kecepatan linear benda pada dua posisi yang berbeda, yang menunjukkan bahwa besar kecepatan (panjang anak panah) tetap, tetapi arahnya (anak panah) berubah. Di setiap posisi, vektor kecepatan benda selalu tegak lurus dengan jari-jari lintasannya. Jadi pada gmb, kecepatan benda selalu berubah.

Karena kecepatan benda berubah, maka pada gmb benda mengalami percepatan (Ingat: percepatan didefinisikan sebagai perubahan kecepatan per waktu). Pada Gambar2.37(a) ditunjukkan pada posisi A kecepatan benda 𝐯_o, setelah selang waktu ∆𝑡sampai pada posisi B dengan kecepatan 𝐯, maka percepatannya adalah:

𝐚 =^{𝐯 − 𝐯}_{∆𝑡 =}^{𝑜 ∆𝐯}_∆𝑡

Gambar 2.37 : Uraian vektor gerak melingkar beraturan

Gambar 2.36 Gerak melingkar beraturan

Gambar 2.37 (a)

Untuk menentukan perubahan kecepatan (∆𝐯), vektor 𝐯₀ dan 𝐯 digeser sepanjang garis kerjanya sehingga kedua vektor bertemu pada satu titik (Gambar 4.7(b)). Dapat ditunjukkan bahwa vektor 𝐯0^, 𝐯, dan∆𝐯 membentuk segitiga yang sebangun dengan OAB, sehingga ∆𝑣 𝑣 ≈ ∆𝑙 𝑟 ∆𝑣 =^𝑣_{𝑟 ∆𝑙} Besar percepatannya 𝑎𝑠 =^∆𝑣_{∆𝑡 =}^𝑣_𝑟^∆𝑙_∆𝑡 Karena 𝑣 =^∆𝑙_∆𝑡, maka 𝑎_𝑠 =^𝑣_𝑟² (2.19)

Vektor ∆𝐯 pada Gambar 2.3(b) sejajar dengan jari-jari r pada Gambar 2.37(a), berarti arah vektor ∆𝐯 menuju ke titik O (pusat lingkaran), demikian juga percepatan 𝐚_s menuju pusat lingkaran, sehingga 𝐚_s disebut percepatan sentripetal.

Jadi gmb memiliki percepatan sudut (𝛼) nol dan besar percepatan sentripetal (𝑎_s) tetap (tidak nol).

Contoh Soal 2.15

Sebuah benda bergerak melingkar beraturan dengan kecepatan sudut sebesar 10 rad/s. Jika jari-jari putarannya adalah 2 meter, tentukan:

(a) besar kecepatan linearnya; dan

(b) percepatan sentripetalnya.

Penyelesaian Diketahui: 𝜔 = 10 rad/s 𝑟 = 2 m

70 Ditanyakan: a) 𝑣 = ⋯ ? b) 𝑎𝑠 = ⋯ ? Jawab: a) 𝑣 = 𝜔𝑟 = (10^rad_s ) (2 m) = 20 m/s

Jadi kecepatan linear benda tersebut sebesar 20 m/s.

b) 𝑎_𝑠 = 𝜔2𝑟 = (10^rad_s )²(2 m) = 200 m/s2

atau

𝑎_𝑠 =^𝑣_{𝑟 =} ² (20 m/s)2

2 m ^{= 200 m/s2}

Jadi percepatan sentripetalnya sebesar 200 m/s2_.

4. Gerak Melingkar Berubah Beraturan

Benda yang bergerak melingkar semakin cepat atau dipercepat, besar kecepatan linearnya selalu berubah. Pada Gambar 2.38 ditunjukkan dengan vektor 𝐯 yang semakin panjang. Kecepatan sudutnya juga berubah semakin membesar. Jika kecepatan sudutnya mula-mula sebesar 𝜔₀ dalam selang waktu ∆𝑡 berubah menjadi 𝜔₁, maka percepatan sudut rata-ratanya adalah

𝛼 = ^𝜔1−𝜔₀

∆𝑡 ^(2.20)

Untuk selang waktu ∆𝑡 yang sangat kecil (atau ∆𝑡 → 0), maka percepatan sudut sesaatnya adalah

𝛼 = lim_∆𝑡→0^∆𝜔_{∆𝑡 =} ^𝑑𝜔_𝑑𝑡

Dengan 𝛼 adalah percepatan sudut sesaat (satuannya rad s⁄ 2). Percepatan sudut merupakan besaran vektor yang searah dengan arah kecepatan sudut, jika geraknya melingkar dipercepat. Sebaliknya, pada gerak melingkar diperlambat, arah percepatan sudut berlawanan dengan arah kecepatan sudut.

Gerak melingkar yang besar kecepatan linearnya dan kecepatan sudutnya selalu berubah secara beraturan, sehingga menghasilkan percepatan sudut (𝛼) yang tetap, disebut gerak melingkar berubah beraturan (gmbb). Analog dengan glbb, pada gmbb berlaku:

𝜔𝑡 = 𝜔𝑜+ 𝛼𝑡

𝜃_𝑡 = 𝜃_𝑜+ 𝜔_𝑜𝑡 +¹₂𝛼𝑡2

2𝛼𝜃 = 𝜔_𝑡2− 𝜔_𝑜2

Selain itu, pada gmbb, bendaakan mengalami percepatan linear atau percepatan tangensial yang besarnya

𝑎𝑡 = lim_∆𝑡→0^∆𝑣_∆𝑡 Karena ∆𝑣 = 𝑟∆𝜔 , maka 𝑎𝑡 = lim_∆𝑡→0𝑟^∆𝜔_{∆𝑡 = 𝑟}( lim ∆𝑡→0 ∆𝜔 ∆𝑡⁾ Dan, karena 𝛼 = lim_∆𝑡→0^∆𝜔_∆𝑡 , maka

𝑎_𝑡 = 𝛼𝑟 (2.21)

Percepatan tangensial (𝑎_𝑡) satuannya (m s⁄ 2), arahnya tangensial sejajar dengan kecepatan linear.

Pada gerak melingkar yang kecepatannya semakin membesar, selain memiliki percepatan sentripetal (𝐚_𝑠) yang arahnya ke pusat rotasi, juga mempunyai percepatan tangensial (𝐚_𝑡), sehingga percepatan totalnya (𝒂) adalah resultan dari kedua vektor percepatan tersebut (lihat Gambar 2.39), yaitu

𝒂 = 𝐚_𝑡+ 𝐚_𝑠 (2.22)

Dan, besar percepatan totalnya adalah 2 2

72

𝐚

_s

P

𝐚

_t

𝐚

Gambar 2.39 Percepatan Gerak Melingkar

Tentang percepatan sentripetal (𝐚𝑠^{), kita sudah membahasnya pada bagian sebelumnya,} besarnya seperti ditunjukkan pada persamaan (2.19), yaitu

𝑎_𝑠 =^𝑣_{𝑟 = 𝜔}² 2𝑟

Contoh Soal 2.16

Sebuah benda yang mula-mula diam kemudian bergerak melingkar dengan jari-jari 2 m dan dalam waktu 10 s kecepatan sudutnya menjadi sebesar 5 rad/s. Hitunglah:

a) percepatan sudutnya! b) percepatan tangensialnya!

c) percepatan sentripetalnya pada saat 𝑡 = 10 s d) percepatan totalnya pada saat 𝑡 = 10 s Penyelesaian Diketahui: 𝜔𝑜 = 0 𝜔1= 5 rad s⁄ 𝑟 = 2 m 𝑡 = 10 s Ditanyakan: a) 𝛼 = ⋯ ? b) 𝑎_𝑡 = ⋯ ? c) 𝑎_𝑠 = ⋯ ? d) 𝑎 = ⋯ ?

Jawab:

a) 𝜔1= 𝜔𝑜+ 𝛼𝑡

𝛼 =^{𝜔1− 𝜔}_𝑡 ^𝑜=^{(5 rad s)}⁄ − 0

10 𝑠 ^{= 0,5 rad s⁄ 2}

Jadi benda bergerak melingkar dengan percepatan sudut tetap sebesar 0,5 rad s⁄ 2.

b) 𝑎_𝑡 = 𝛼𝑟 = (0,5 rad s⁄ )(2 m) = 1 m s2 ⁄ 2

Jadi benda bergerak melingkar dengan percepatan tangensial tetap sebesar 1 m s⁄ 2.

c) Pada saat 𝑡 = 10 s kecepatan sudutnya 𝜔1 = 5 rad s⁄ 𝑎_𝑠 = 𝜔₁2𝑟 = (5 rad s⁄ )2(2 m) = 50 m s⁄ 2

Jadi percepatan sentripetal benda saat 𝑡 = 10 s adalah sebesar50 m s⁄ 2.

d) 𝑎 = √𝑎_𝑡2+ 𝑎_𝑠2

𝑎 = √(1 m s⁄ 2)²+ (50 m s⁄ )2 2

𝑎 = √2501 m s⁄ 2

𝑎 = 50,01 m s⁄ 2

Jadi percepatan total benda saat 𝑡 = 10 s adalah sebesar 50,01 m s⁄ 2. Contoh soal 2.17

Seekor kuda balap berlaga di suatu sirkuit yang berbentuk lingkaran dengan jari-jari 50 m. Dari keadaan diam di garis start kemudian berlari beraturan hingga dalam waktu 10 s mencapai kelajuan 15 m/s. Tentukan:

a) percepatan tangensialnya b) percepatan sudutnya

c) percepatan sentripetalnya ketika kelajuan kuda 20 m/s d) percepatan totalnya ketika kelajuan kuda 20 m/s.

74 Penyelesaian Diketahui: 𝑟 = 50 m, 𝑣0 = 0, 𝑣 = 15 m/s, 𝑡 = 10 s Ditanyakan: a) 𝑎_𝑡 = ⋯ ? b) 𝛼 = ⋯ ? c) 𝑎_𝑠 = ⋯ ? d) 𝑎 = ⋯ ? Jawab: a) 𝑎_𝑡 = ^Δ𝑣_Δ𝑡 =^(15ms −0) 10 s = 1,5 m s⁄ 2

Jadi kuda bergerak melingkar dengan percepatan tangensial tetap sebesar 1,5 m s⁄ 2.

b) 𝛼 =^𝑎𝑡

𝑟 = ^{1,5 m s}_{50 m}^⁄2= 0,03 rad s⁄ 2

Jadi kuda bergerak melingkar dengan percepatan sudut tetap sebesar 0,03 rad s⁄ 2 c) 𝑎𝑠 = ^𝑣_𝑟²= ^{(20 m s}_{50 m}^{⁄ )2}= 8 m s⁄ 2

Jadi ketika kelajuan kuda 20 m/s, percepatan sentripetalnya sebesar 8 m s⁄ 2.

d) 𝑎 = √𝑎_𝑡2+ 𝑎𝑠²

𝑎 = √(1,5 m s⁄ )2 2+ (8 m s⁄ )2 2

𝑎 = √66,25 m s⁄ = 8,14 m s2 ⁄ 2

Jadi ketika kelajuan kuda 20 m/s, percepatan totalnya sebesar 8,14 m s⁄ 2.

5. Periode dan Frekuensi Gerak Melingkar

Pada benda yang bergerak melingkar dikenal besaran frekuensi (𝑓), yaitu jumlah putaran (revolusi) per waktu. Satu revolusi sama dengan 360° _atau 2𝜋 rad, sehingga jika kecepatan sudutnya 𝜔, maka

𝑓 =_2𝜋^𝜔 atau 𝜔 = 2𝜋𝑓

Satuan frekuensi dalam SI adalah putaran/sekon atau hertz (Hz), dan dimensi frekuensi adalah [T^-1]. Selain itu dikenal juga satuan rpm, singkatan dari revolutions per minute

(putaran per menit), atau sering juga disebut ppm (putaran per menit). Sedangkan waktu yang diperlukan untuk melakukan satu putaran atau revolusi disebut periode (𝑇),

𝑇 =¹_𝑓 (2.24)

Satuan periode adalah sekon (s) dan dimensi periode adalah [T]. Contoh Soal 2.18

Bola kecil yang massanya 100 g diikatkan di ujung sehelai benang kemudian ujung lainnya dipegang dan digerakkan sehingga bola bergerak melingkar dalam bidang horizontal dengan jari-jari 50 cm (Gambar 2.40). Jika bola menempuh 2 putaran untuk setiap sekon, tentukan:

a) periodenya, b) kecepatan linearnya, c) percepatan sentripetalnya. Penyelesaian: Diketahui: 𝑚 = 100 g = 0,1 kg 𝑟 = 50 cm = 0,5 m 𝑓 = 2 putaran sekon⁄ = 2 (1 s)⁄ = 2 Hz Ditanyakan: a) 𝑇 = ⋯ ? b) 𝑣 = ⋯ ? c) 𝑎_𝑠 = ⋯ ?

76

rocketcityspacepioneers.com Gambar 2.41 Lintasan Bulan - Bumi Jawab:

a) 𝑇 = _{2 (1 s)}¹_⁄ = 0,5 s

Bola bergerak melingkar dengan periode 0,5 s.

b) 𝑣 =_∆𝑡^∆𝑙= _{(𝑡 utk 1 putaran)}^{(1 putaran)} = ^(2𝜋𝑟)_𝑇

𝑣 =(2)(3,14)(0,5 m)

(0,5 s) 𝑣 = 6,28 m/s Kecepatan linear bola sebesar 6,28 m/s. c) 𝑎_𝑠 =^𝑣_𝑟²=^{(6,28 m s}_{(0,5 m)}^{⁄ )2}= 78,88 m s⁄ 2

Percepatan sentripetal bola sebesar 78,88 m s⁄ 2.

Contoh Soal 2.19

Jika lintasan bulan mengelilingi bumi dianggap berbentuk lingkaran dengan jari-jari 385.000 km dan periode 27,3 hari (Gambar 2.41), tentukan kecepatan dan percepatan sentripetal bulan.

Sumber :www.fisikazone.com

Gambar 2.42 Gerak Jatuh Bebas Penyelesaian Diketahui: 𝑟 = 385.000 km = 3,85 × 108m 𝑇 = 27,3 hari = (27,3 hr) (24_hr^j ) (3600^s_j) = 2358720 s = 2,4 × 106s Ditanyakan: v= ….? as= ….? Jawab: a) 𝑣 =^2𝜋𝑟_𝑇 =^{2(3,14)(3,85×10}_{2,4 ×106s} ^8m)= 1,02 × 103m/s b) 𝑎_𝑠 =^𝑣_𝑟²=^(1,02×103ms)² (3,85×108m) = 0,00273 m s⁄ = 2,73 × 102 −3 m s⁄ 2

Jadi bulan bergerak dengan kecepatan linear sebesar 1,02 × 103m/s, dan percepatan sentripetalnya sebesar 2,73 × 10−3 m s⁄ 2.

J. Gerak Jatuh Bebas

Jika kita melepaskan bola atau benda lainnya dari ketinggian tertentu,