Tegangan Tekan dan Tegangan Geser

Modulus Elastisitas

A. Wujud Padat, Cair, dan Gas

4. Tegangan Tekan dan Tegangan Geser

Persamaan (5.3) dan (5.4) dapat digunakan untuk menghitung tegangan dan regangan tekan. Dengan catatan beban (gaya) tekan berharga negatif dan menghasilkan tegangan negatif. Tegangan tekan adalah

 = − 𝐹

𝐴_𝑜 ^(5.5)

dan karena panjang elemen bahan setelah ditekan (L) lebih pendek dari panjang semula (Lo), menghasilkan regangan tekan berharga negatif sebagai berikut.

= − 𝛥𝐿

𝐿_𝑜 ^(5.6)

Pada Gambar 5.4, gaya Fs diberikan secara tangensial pada bagian atas sebuah buku yang tebal (ketinggian Lo). Gaya semacam ini dinamakan gaya geser (shearing forces). Rasio gaya geser Fs terhadap luas A dinamakan tegangan geser.

𝜎_𝑠 = ^𝐹𝑠

𝐴 ^(5.7)

Tegangan geser berusaha mengubah bentuk buku yang tebal seperti ditunjukkan pada Tegangan-regangan tekan dan geser dialami benda tegar apabila benda tersebut dilakukan gaya tekan atau gaya geser. Pengujian tegangan-regangan tekan dilakukan dengan cara yang sama seperti pada tegangan-regangan tarik, tetapi arah gayanya berlawanan dan perubahan panjang sampel searah dengan gaya yang diberikan. Gambar 5.3 mengilustrasikan skema bagaimana gaya tekan F

menghasilkan kontraksi dan regangan linier negatif. Panjang benda mula-mula Lo, setelah ditekan dengan gaya F panjangnya menjadi lebih pendek L.

Sumber :www.wikipedia.com

Gambar 5.3 Skema gaya tekan F

pada benda dengan luasan Ao , panjang mula-mula Lo. Lo L F F Ao

158 Sumber :www.google.com

Gambar 5.4 (a) Sebuah buku tebal sebelum mendapat pengaruh gaya horizontal Fs.Pengaruh gaya horizontal

Fs pada buku menyebabkan tegangan geser dan regangan geser.

Rasio ΔX/L dinamakan regangan geser

𝜀_𝑠 = ^∆𝑋_𝐿 = tan 𝜃 (5.8)

Dengan adalah sudut geser yang ditunjukkan pada Gambar 5.4.

Contoh soal 5.4

L

o

oo

A

(a)

ΔX



L

F

s

A

(b)

Sepotong kue talam yang luasnya 15 cm², tebalnya atau tingginya 3 cm. Di bawah pengaruh gaya geser 0,50 N pada permukaan atasnya, permukaan ioni menggeser sejauh 4 mm relative terhadap permukaan dasarnya. Tentukan: (a) tegangan geser yang dialami kue talam itu; (b) regangan geser yang dialami kue talam.

Fs

Sumber :www.google.com Gambar 5.5 Kue talam, kue tradi-sional terbuat dari tepung beras.

Penyelesaian:

Luas penampang kue talam : A = 15 cm² = 15x10^-4 m² Tebal/tinggi kue talam : L = 3 cm

Gaya geser : Fs = 0,50 N

Perpindahan (menggeser) : ΔX = 4 mm = 0,4 cm Maka

(a) Tegangan geser dapat ditentukan dengan menggunakan Persamaan (5.7)

𝜎𝑠 = ^𝐹_{𝐴 =} ^𝑠 _{15 x 10}^{0,50 N}_−4m2= 333 Pa

(b) Regangan geser dapat dihitung menggunakan Persamaan (6.8)

𝜀_𝑠 = ^∆𝑋_{𝐿 =} ^{0,4 cm}_{3 cm = 0,133}

5. Elastisitas

Salah satu cara yang sering dilakukan dalam pengujian sifat mekanik tegangan-regangan bahan adalah melalui uji tarik. Banyak hal yang dapat dipelajari dari hasil uji tarik. Jika pada saat benda diberikan gaya tarik yang kecil benda kembali ke bentuknya semula saat gaya-gaya yang bekerja dihilangkan disebut sifat elastis atau benda mengalami deformasi elastis. Kebanyakan benda adalah elastis terhadap gaya-gaya sampai ke suatu batas tertentu yang dinamakan batas elastis. Jika gaya-gaya terlalu besar dan batas elastis dilampaui, benda tidak kembali ke bentuknya semula, tetapi secara permanen berubah bentuk disebut sifat plastis.

Gambar 5.6 menunjukkan salah satu alat uji tarik yang sering digunakan untuk mempelajari sifat mekanik bahan. Bila bahan (misal logam) ditarik terus sampai putus, kita akan mendapatkan profil tarikan yang lengkap berupa kurva seperti ditunjukkan pada Gambar 5.7. Kurva ini menunjukkan hubungan antara regangan dengan perubahan tegangan. Profil ini sangat diperlukan dalam perancangan yang menggunakan bahan tersebut.

160 Besarnya perubahan struktur atau regangan tergantung pada besarnya tegangan yang diberikan. Untuk beberapa logam tingkat perubahan tegangan relatif lambat. Pada Gambar 5.7 menunjukkan hubungan linear terjadi sampai pada titik A. Titik B pada Gambar 5.7 adalah batas elastis bahan. Tegangan maksimum bahan dalam menahan gaya (beban) sehingga bahan dalam batas elatisnya disebut dengan tegangan tarik maksimum (ultimate tensile strength). Jika batang ditarik melampaui titik ini, batang tidak akan kembali ke panjangnya semula, tetapi berubah bentuk secara tetap. Jika sebuah batang dipengaruhi gaya-gaya yang berusaha menekannya alih-alih menariknya, tegangan dinamakan tegangan tarik atau tegangan tekan. Jika tegangan tarik atau tekan yang diberikan terlalu besar, bahan akhirnya patah, seperti ditunjukkan oleh titik C. Tegangan tarik di mana keadaan patah terjadi dinamakan kekuatan tarik, atau dalam hal kompresi atau tekan dinamakan kekuatan tekan. Nilai hampiran kekuatan tarik dan kekuatan tekan berbagai bahan dicantumkan pada Tabel 5.3.

Modulus Elastisitas Te ga nga n (  ) Regangan () Batas kesebandingan Batas elastik Titik patah A B ^C

Tegangan tarik maksimum

Daerah linier

Sumber :www.google.com

Gambar 5.6 Alat uji tarik. (Callister, W.D. Jr)

Tabel 5.3 Kekuatan Tarik dan Kekuatan Tekan Berbagai Bahan Bahan ^{Kekuatan Tarik}

(MN/m2)* Kekuatan Tekan (MN/m2) Aluminum 90 Kuningan 370 Beton 2 17 Tembaga 230 Besi (tempa) 390 Timah hitam 12 Baja 520 520 * 1 MN = 106 N

6. Hukum Hooke

Jika kita mengamati kurva tegangan-regangan pada Gambar 5.7 tampak adanya daerah linier pada saat besarnya regangan yang diberikan belum melampau titik A. Keadaan dimana regangan berubah secara linear dengan tegangan dikenal sebagai

hukum Hooke. Rasio tegangan terhadap regangan dalam daerah linear pada kurva regangan-tegangan (pada Gambar 5.7) adalah konstanta kesebandingan yang dinamakan

modulus elastisitas atau modulus YoungY : 𝑌 = _regangan ^tegangan =^𝜎_𝜀 = ^𝐹/𝐴𝑜

𝛥𝐿/𝐿𝑜 (5.9)

atau dapat dinyatakan 𝐹 = (^𝑌𝐴𝑜

𝐿_𝑜) ∆𝐿 (5.10)

Bandingkan Persamaan (5.10) dengan hukum Hook untuk pegas F = kx. Tampak ada kemiripan bukan? Kemiripan ini muncul karena bahan pun juga menunjukkan sifat elastis seperti halnya pegas. Dari kemiripan tersebut dapat disimpulkan bahwa untuk bahan,

“konstanta pegas” (k) yang dimiliki mempunyai persamaan 𝑘 = ^𝑌𝐴𝑜

𝐿𝑜 (5.11)

Satuan modulus elastisitas atau modulus Young adalah N/m2 atau MPa, dan satuan untuk

“konstanta pegas” adalah N/m. Modulus elastisitas dan tegangan mempunyai satuan yang sama. Ketika modulus elastisitas bahan bernilai besar, bahan tersebut memerlukan tegangan yang besar untuk menghasilkan perubahan.

162 Contoh Soal 5.6

Massa 500 kg digantungkan pada kawat baja 3 m yang luas penampangnya 0,15 cm². Modulus elatisitas untuk baja adalah sekitar 2,0 x 10¹¹ N/m². Berdasarkan informasi

tersebut hitunglah: (a) pertambahan panjang kawat baja; (b) “konstanta pegas” untuk

kawat baja.

Penyelesaian

a) Berat benda bermassa 500 kg adalah: mg = (500 kg)(9,81 N/kg) = 4,90 x 103 N Tegangan kawat adalah

= _𝐴^𝐹

𝑜=^{4,9 x10}_{0,15 cm}³ ₂^N

= 3,27 x 10⁴ N/cm² = 3,27 x 10⁸ N/m² Karena itu besarnya regangan adalah

∆𝐿 𝐿_𝑜 ⁼  𝑌 = 3,27 x 108 N/m2 2,0 x 1011N/m2 = 1,63 x 10−3

Karena panjang kawat 3 m atau 300 cm, jumlah pertambahan panjang adalah

ΔL = (1,63 x 10-3)L = (1,63 x 10-3)(300 cm) = 0,48 cm.

b) Dengan menggunakan Persamaan (7.11), “konstanta pegas” untuk kawat adalah

𝑘 = ^𝑌𝐴_𝐿 ^𝑜

𝑜 = ^{(2,0 𝑥1011N/m}_{300 cm}^{2) (0,15 cm2)}= 10 6N/m

7. Modulus Elastisitas

Seperti tampak pada Gambar 5.7, grafik tegangan-regangan menghasilkan hubungan linier. Kemiringan (slope) dari bagian linier merupakan modulus elastisitas. Modulus elastisitas bahan menyatakan kekuatan atau ketahanan bahan dalam menerima deformasi elastis, semakin besar nilai modulus elastis semakin kuat bahan tersebut. Beberapa jenis logam nilai modulus elastisitasnya berkisar 4,5x10⁴ MPa (untuk magnesium) hingga 40,7x104 MPa (untuk tungsten). Nilai hampiran modulus elastisitas atau modulus Young untuk berbagai bahan dicantumkan di Tabel 5.3.

Tabel 5.3 Modulus Elastisitas, Modulus Geser dan Bilangan Poisson Berbagai Bahan Logam

Paduan

Modulus Elastisitas Modulus Geser Bilangan Poisson

(psi x 106) (MPa x 104) (psi x 106) (MPa x 104)

Magnesium 6,5 4,5 2,5 1,7 0,29 Alumunium 10,0 6,9 3,8 2,6 0,33 Kuningan 14,6 10,1 5,4 3,7 0,35 Titanium 15,5 10,7 6,5 4,5 0,36 Tembaga 16,0 11,0 6,7 4,6 0,35 Nikel 30,0 20,7 11,0 7,6 0,31 Baja 30,0 20,7 12,0 8,3 0,27 Tungsten 59,0 40,7 23,2 16,0 0,28

Sebagai catatan, ada beberapa bahan (misalnya besi cor, beton, dan banyak polimer) untuk daerah elastisnya pada kurva tegangan-regangan tidak linear. Oleh karena itu, kita tidak dapat menentukan modulus elastisitas dengan menggunakan gradien kemiringan kurva seperti yang sudah dijelaskan. Untuk karakteristik non-linier pada kurva tegangan-regangan dapat digunakan tangent modulus atau secant modulus yang tidak dibahas pada bab ini.

Tegangan tekan dan tekanan geser dapat mempunyai sifat elastis yang hampir sama. Karakteristik tegangan-regangan pada pemakaian tegangan rendah sama untuk tegangan tarik dan tekan, termasuk besarnya modulus elastisitas. Sedangkan rasio tegangan geser terhadap regangan geser dinamakan modulus geserMs:

𝑀_𝑠 = ^{𝑡𝑒𝑔𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑔𝑒𝑠𝑒𝑟}_{𝑟𝑒𝑔𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑔𝑒𝑠𝑒𝑟} = ^𝐹𝑠/𝐴

∆𝑋/𝐿= ^𝐹𝑠 /𝐴

tan 𝜃 ^(5.12)

Kemiringan daerah elastisnya juga linier pada kurva tegangan-regangan geser. Modulus geser mempunyai satuan MPa atau N/m2.

Pada umumnya nilai perpindahan ΔX sangat kecil hingga perbandingan ΔX/L

mendekati sudut geser , asal dinyatakan dalam satuan radian (1 radian = 360o/2π =

57,3o). Bila demikian modulus geser dapat dinyatakan: 𝑀_𝑠 = ^𝐹𝑠

𝐴 𝜃 ^(5.13)

Modulus geser juga dikenal sebagai modulus torsi. Kenyataan bahwa modulus ini hampir konstan untuk tegangan kecil, yang menunjukkan bahwa regangan geser berubah secara linier dengan tegangan geser adalah hukum Hooke untuk tegangan torsional. Nilai hampiran modulus geser beberapa bahan tercantum pada Tabel 5.3.

164 Contoh Soal 5.7

Diberikan data tegangan-regangan untuk “Bahan A” dan “Bahan B” seperti ditunjukkan

pada Tabel 5.4. Dari data tersebut dapat dibuat grafik tegangan-regangan seperti ditunjukkan pada Gambar 5.8, dan selanjutnya dapat ditentukan besarnya koefisien kemiringan (slope) dengan melakukan fitting dari data yang tersedia. Tentukan besarnya modulus elastisitas kedua bahan tesebut. Jelaskan material atau bahan mana yang lebih elastis.

Tabel 5.4 : Data Tegangan-Regangan “Bahan A” dan “Bahan B” "Bahan A" "Bahan B"

Tegangan (MPa) Regangan (mm/mm) Tegangan (MPa) Regangan (mm/mm) 95 0.0002 3 0.0016 148 0.0005 5 0.0025 202 0.0007 7 0.0036 257 0.0010 8 0.0046 309 0.0012 10 0.0055 361 0.0015 11 0.0066 410 0.0018 13 0.0076 451 0.0021 14 0.0086

y = 19254x + 62.51

0 100 200 300 400 500 0,0000 0,0005 0,0010 0,0015 0,0020 0,0025

T

ega

ng

an

[MPa

]

Regangan [mm/mm]

Gambar 5.8 Kurva Tegangan-regangan untuk Bahan A (atas) dan Bahan B (bawah)

Jika benda mengalami gaya eksternal dari semua sisi, volumenya akan berkurang. Situasi ini dapat terjadi ketika sebuah benda dimasukkan pada fluida. Bila sebuah benda tercelup dalam fluida seperti air, fluida mengadakan sebuah gaya yang tegak lurus permukaan benda di setiap titik pada permukaan seperti diilustrasikan pada Gambar 5.9. Jika benda cukup kecil kita dapat mengabaikan tiap perbedaan kedalaman fluida, gaya per satuan luas yang diadakan oleh fluida sama di setiap titik pada permukaan benda. Gaya per satuan luas ini dinamakan tekanan fluida P yang ekuivalen dengan tegangan kompresi. Dalam kondisi ini, berdasarkan sejumlah eksperimen diamati bahwa pengurangan volum ΔV ternyata: (i) berbanding lurus dengan volume semulaVo; dan (ii) berbanding lurus dengan penambahan tekanan ΔP.

y = 1550x + 1.005

0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01

T

ega

na

gn

[MPa]

Regangan [mm/mm]

Kurva Tegangan-Regangan "Bahan B"

F

Vo

V

Gambar 5.9 Ketika benda padat dikenai tekanan uniform, benda menga-lami perubahan volume tetapi tidak tidak merubah bentuk.Kubus ini menga-lami tekanan pada semua sisinya dengan gaya arah normal terhadap enam sisinya.

166 Dari pengamatan tersebut dapat diturunkan hubungan antara perubahan volum, volum awal benda, dan perubahan tekanan sebagai berikut

∆𝑉 ∝ 𝑉₀ 𝛥𝑃 (5.14)

Kalau kesebandingan di atas diganti dengan tanda sama dengan, maka kita perkenalkan suatu konstanta pembanding, B, sehingga

∆𝑉 = −_𝐵¹𝑉_𝑜∆𝑃 (5.15)

Konstanta B dikenal dengan modulus bulk atau modulus volume dari benda. Dari Persamaan (5.15), modulus volume dapat dituliskan dalam bentuk persamaan berikut 𝐵 = −_∆𝑉/𝑉^∆𝑃

𝑜 (5.16)

Tanda negatif menginformasikan bahwa volume benda berkurang terhadap penambahan tekanan, makin besar perubahan tekanan yang diberikan maka semakin kecil volume akhir benda, atau tekanan menyebabkan pengurangan volum benda. Nilai-nilai untuk modulus bulk berbagai bahan dicantumkan pada Tabel 5.5.

Tabel 5.5 Nilai Hampiran Modulus Volume B Berbagai Bahan Bahan B, (GN/m2) Alumnium 70 Kuningan 61 Tembaga 140 Besi 100 Timah hitam 7,7 Baja 160 Tungsten 200

Karena semua bahan berkurang volumenya ketika diberi tekanan eksternal, maka sebuah tanda minus diberikan pada Persamaan (5.15) untuk membuat B positif. Tekanan yang diadakan fluida ekuivalen dengan tegangan kompresi, dan penurunan fraksional dalam volume (-ΔV/Vo) adalah regangan kompresi. Invers modulus volume dinamakan

kompresibilitask: 𝑘 = _𝐵¹= ^{−∆𝑉/𝑉}𝑜

∆𝑃 ^(5.17)

Makin sulit bahan ditekan, makin kecil perubahan fraksional –ΔV/Vo untuk suatu tekanan, dan dengan demikian, makin kecil kompresibilitas k. Konsep modulus volume dan kompresibilitas berlaku untuk zat padat. Zat padat relatif tak kompresibel; artinya, mempunyai nilai kompresibilitas yang kecil dan nilai modulus volume yang besar. Nilai-nilai ini juga relatif tak bergantung pada temperatur dan tekanan.

Contoh Soal 5.8

Sebuah bola dari bahan kuningan berada di udara dengan pengaruh tekanan udara 1,0 x 10⁵ N/m² (tekanan atmosfir normal). Kemudian bola dimasukkan ke dalam lautan pada kedalaman tertentu dimana besarnya tekanan air laut adalah 2,0 x 10⁷ N/m². Volume bola ketika di udara adalah 0,50 m³. Berapakah perubahan volumenya ketika bola terendam dalam air laut?

Penyelesaian

Sesuai Tabel 6.5, logam kuningan mempunyai modulus volume B = 6,1 x 1010 N/m2. Untuk menghitung besarnya perubahan volume bola dapat digunakan Persamaan (6.15)

∆𝑉 = −_𝐵¹𝑉_𝑜∆𝑃

∆𝑉 = −_{6,1 x10}¹_{10N m⁄ 2}(0,50 m3)(2,0 x107N m⁄ 2− 1,0 x107N m⁄ )2

= −1,6 x 10−4m3

Tanda negatif menginformasikan bahwa ketika bola terendam dalam air laut volumenya berkurang atau mengalami penyusutan.

168

8. Sifat Elastis Bahan

Bilamana bahan logam dikenai tegangan tarik arah sumbu z, maka bahan logam tersebut akan mengalami pertambahan panjang dengan regangan z dihasilkan dalam arah tegangan terpakai sepanjang arah sumbu z, seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 5.10.

Gambar 5.10 Perpanjangan kearah sumbu-z (regangan positif) dan penyusutan ke arah lateral (sumbu x dan sumbu y) menghasilkan regangan negative dalam pemberian tegangan tarik. Garis penuh (warna merah) mewakili dimensi setelah bahan dikenai tegangan dan garis putus-putus sebelum dikenai tegangan.

Hasil pengujian tarik seperti yang dilakukan pada Gambar 5.10 menghasilkan perpanjangan pada arah sumbu z dan mengalami penyusutan pada arah lateral (sumbu x dan sumbu y), sehingga nilai regangan tekan x dan y dapat ditentukan.Jika tegangan terpakai satu sumbu (hanya arah sumbu z), maka x= y.Perbandingan tegangan lateral dan axial dikenal sebagai bilangan Poisson () dan dinyatakan dengan persamaan

= −^𝜀𝑥

ε_z= −^εy

ε_z ^(5.18)

Regangan arah sumbu z dapat ditentukan dengan mengukur besarnya ΔLz/2, selanjutnya menggunakan persamaan sebagai berikut

𝜀𝑧 2 = ^∆𝐿𝑧/2 𝐿𝑜𝑧 (5.19) Lox ALx /2 ALz /2 Loz x y z



z



z

Sedangkan regangan arah sumbu x dapat dapat ditentukan dengan mengukur besarnya

ΔLx/2, selanjutnya menggunakan persamaan sebagai berikut − ^𝜀𝑥

2 = ^∆𝐿𝑥/2

𝐿_𝑜𝑥 ^(5.20)

Tanda negatif pada Persamaan (5.18) menunjukkan bahwa  akan selalu positif, karena x

dan z tandanya akan selalu berlawanan. Secara teoretis, bilangan rasio Poisson untuk bahan isotropis besarnya adalah 0,25. Oleh karena itu, dalam kondisi ideal tidak terjadi perubahan volume

selama deformasi elastic, nilai maksimum untuk bilangan Poisson  adalah 0,5. Secara normal perubahan volume akan langsung mempengaruhi deformasi yang terjadi dengan  lebih kecil dari 0,5. Nilai bilangan Poisson untuk beberapa bahan logam diberikan pada Tabel 5.3.

Modulus elastisitas dan modulus geser saling berhubungan dengan bilangan Poisson dan dinyatakan menurut persamaan :

𝑌 = 2𝐺 (1 + ) (5.21)

Dalam beberapa logam nilai G sekitar 0,4Y, jadi jika salah satu nilai modulus diketahui, maka modulus yang lain dapat ditentukan.

Contoh Soal 5.9

Suatu tegangan tarik dikenakan sepanjang sumbu silinder batang kuningan yang berdiameter 10 mm. Tentukan besarnya beban yang diperlukan agar menghasilkan perubahan diameter sebesar 2,5 x 10^-3 mm, jika deformasi yang terjadi adalah elastis.

170 Penyelesaian

Berikutnya untuk menghitung regangan dalam arah sumbu z dapat menggunakan Persamaan (5.18). Nilai bilangan Poisson untuk kuningan adalah 0,35 (lihat Tabel 6.3), sehingga

𝜀_𝑧 = −^𝜀_{𝜗 =} ^{𝑥 −2,5 x 10}_0,35 ⁻⁴= 7,35 x 10−4

Besarnya tegangan yang dikenakan pada silinder dapat dihitung menggunakan Persamaan (5.9), dan modulus elastisitasnya diberikan pada Tabel 5.3 sebesar 10,1x104 MPa, sehingga besarnya tegangan arah sumbu z

 = zY = (7,35 x 10^-4)(10,1 x 10⁴ MPa) = 72,1 MPa

Dari Persamaan (5.3) dapat ditentukan besarnya gaya beban yang dikenakan pada silinder adalah 𝐹 = 𝜎𝐴_𝑜= 𝜎 (^𝑑₂^𝑜)²𝜋 = (7,21 x 106) (¹⁰_{2 )}⁻² 2 𝜋 = 5660 N x Lo L F F d do y

Keadaan deformasi yang dialami benda ditunjukkan pada gambar di samping. Ketika benda diberikan gaya F, bahan (sampel) akan mengalami perpanjangan arah z dan pada saat

yang sama diameter Δd mengalami penyusutan

arah x sebesar 2,5 x 10^-3 mm. Besarnya regangan arah x adalah

𝜀_𝑥=^∆𝑑_𝑑

𝑜 = ^−2,5x10_{10 mm}^3mm = −2,5 x 10−4

Tanda negatif menyatakan diameter silinder mengalami penyusutan.