Hasil belajar matematika kompetensi dasar penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat

LANDASAN TEORI A. Tinjauan Pustaka

1. Hasil belajar matematika kompetensi dasar penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat

a. Hasil Belajar.

Hasil belajar dapat dijelaskan dengan memahami dua kata yang membentuknya, yaitu “hasil” dan “belajar”. ( Purwanto, 2010:44). Hasil belajar seringkali digunakan sebagai ukuran untuk mengetahui seberapa jauh seseorang menguasai bahan yang sudah diajarkan. Untuk mengaktualisasikan hasil belajar tersebut diperlukan serangkaian pengukuran menggunakan alat evaluasi yang baik dan memenuhi syarat.

Pengukuran demikian dimungkinkan karena pengukuran merupakan kegiatan ilmiah yang dapat diterapkan pada berbagai bidang termasuk pendidikan.

Semua perubahan dibidang belajar kognitif, belajar sensorik-motorik dan belajar dinamika afektif yang merupakan suatu hasil belajar dan mengakibatkan manusia berubah dalam sikap dan tingkah lakunya(WS Winkel,2009:57). Sehingga dapat disimpulkan bahwa hasil belajar dapat mengubah sikap dan tingkah laku manusia.

Hasil belajar akan tampak pada setiap perubahan pada aspek pengetahuan, pengertian, kebiasaan, keterampilan, apresiasi, emosional, hubungan sosial, jasmani, etis dan budi pekerti serta sikap. Kalau seseorang teah melakukan perbuatan belajar maka akan terlihat terjadinya perubahan dalam salah satu atau beberapa aspek tingkah laku tersebut(Oemar Hamalik,2003:30). Hasil belajar manusia akan tampak pada aspek

commit to user

pengetahuan, pengertian, kebiasaan, keterampilan, apresiasi, emosional hubungan sosial, jasmani, dan budi pekerti.

Dapat disimpulkan bahwa hasil belajar adalah usaha untuk mengetahui seberapa jauh seseorang menguasai bahan yang diajarkan dan mengakibatkan manusia berubah pada aspek pengetahuan, pengertian, kebiasaan, keterampilan, apresiasi, emosional, hubungan sosial, jasmani, etis dan budi pekerti serta sikap tingkah lakunya .

b. Pengertian Belajar.

Belajar adalah modifikasi atau memperteguh kelakuan melalui pengalaman. Menurut pengertian ini, belajar adalah merupakan suatu proses suatu kegiatan dan bukan suatu hasil atau tujuan. Belajar bukan hanya mengingat, akan tetapi lebih luas daripada itu, yakni mengalami(Omar Hamalik, 2010 : 36 ). Dalam pengertian ini belajar adalah suatu proses suatu kegiatan dan suatu pengalaman, bukan hasilnya saja namun tujuan.

Belajar adalah suatu kegiatan yang tidak dapat terpisahkan dari kehidupan manusia sejak lahir bahkan sejak dalam kandungan telah dilakukan. Kegiatan belajar untuk memenuhi kebutuhan hidup sekaligus mengembangkan kemampuan dirinya. Belajar sebagai konsep mendapatkan pengetahuan dalam praktiknya banyak dianut. Guru bertindak sebagai pengajar yang berusaha memberikan ilmu pengetahuan sebanyak-banyaknya dan peserta didik giat mengumpulkan atau menerimanaya ( Agus S, 2011:3 ).

Belajar tidak hanya dilakukan pada anak usia sekolah namun belajar sudah dimulai dalam kandungan,belajar dilakukan untuk memenuhi kebutuhan hidup seseorang.

Belajar bukan menghafal dan bukan pula mengingat. Belajar adalah suatu proses yang ditandai dengan adanya perubahan pada diri seseorang.Perubahan sebagai hasil proses belajar dapat ditunjukkan dalam

commit to user

berbagai bentuk seperti berubah pengetahuannya, pemahamannya, sikap dan tingkah lakunya, keterampilannya, kecakapan dan kemampuannya, daya reaksinya, daya penerimaannya dan lain-lain aspek yang ada pada individu ( Nana Sudiana,2000:28). Belajar tidak selalu dikaitkan selalu menghafal ataupun mengingat namun belajar sebagaiu hasil proses belajar.

Belajar adalah suatu aktivitas atau suatu proses untuk memperoleh pengetahuan,meningkatkan keterampilan,memperbaiki perilaku,sikap dan mengkokohkan kepribadian(Suyono dan Hariyanto,2011:9). Belajar untuk memperoleh pengetahuan dalam suatu proses atau aktivitas.

Hilgard mengatakan bahwa Learning is the process by which an activity orinates or is changed through responding to a situation, provided the changes can not be attributed to growth or the temporary state of the organism as in fatique or under drugs( I.L Pasaribu,1983:59).

Hilgard mengatakan bahwa Belajar adalah proses dimana suatu kegiatan diubah melalui menanggapi situasi, asalkan perubahan tidak dapat dikaitkan dengan pertumbuhan atau keadaan sementara dari organisme seperti dalam kelelahan atau di bawah obat( I.L Pasaribu,1983:59). Belajar itu suatu proses kegiatan untuk berubah menjadi baik dan tidak tergantung obat ataupun faktor kelelahan.

Dapat disimpulkan bahwa belajar merupakan suatu aktivitas atau suatu proses kegiatan untuk memperoleh pengetahuan,meningkatkan keterampilan,memperbaiki perilaku,sikap dan mengkokohkan kepribadian yang ditandai dengan adanya perubahan pada diri seseorang , dan belajar bukan hanya menghafal ataupun mengingat.

commit to user c. Tujuan Belajar.

Tujuan adalah sangat esensial, baik dalam rangka perencanaan, pelaksanaan maupun penilaian. Tujuan memberikan petunjuk adalah untuk memilih isi mata ajaran, menata urutan topik-topik, mengalokasikan waktu, memilih alat bantu belajar, menentukan prosedur pembelajaran, serta menyediakan ukuran untuk mengukur prestasi siswa. Tujuan belajar adalah sejumlah hasil belajar yang menunjukkan bahwa siswa telah melakukan perbuatan belajar, yang umumnya meliputi pengetahuan, keterampilan dan sikap-sikap yang baru, yang diharapkan tercapai oleh siswa.Tujuan belajar adalah suatu deskripsi mengenai tingkah laku yang diharapkan tercapai oleh siswa setelah berlangsungnya proses belajar(Oemar Hamalik,2010:73).

Dimana kita mengetahui tentag tujuan belajar dari suatu diskripsi tingkah laku seseorang setelah berlangsungnya prose belajar.

Usaha pencapaian tujuan belajar perlu diciptakan adanya system lingkungan (kondisi) belajar yang lebih kondusif, hal ini berkaitan dengan mengajar. Ada tiga jenis tujuan belajar :

1) Untuk mendapatkan pengetahuan.

Hal ini ditandai dengan kemampuan berfikir. Pemilikan pengetahuan dan kemampuan berfikir sebagai yang tidak dapat dipisahkan. Dengan kata lain tidak dapat mengembangkan kemampuan berfikir tanpa bahan pengetahuan, sebaliknya kemampuan berfikir akan memperkaya pengetahuan. Tujuan inilah yang memiliki kecenderungan lebih besar perkembangannya didalam kegiatan belajar.

2) Penanaman konsep dan keterampilan.

Penanaman konsep atau merumuskan konsep, juga memerlukan suatu keterampilan. Jadi soal keterampilan yang bersifat jasmani maupun rohani. Keterampilan jasmaniah adalah keterampilan-keterampilan yang dapat dilihat, diamati, sehingga akan menitik beratkan pada keterampilan gerak/penampilan dari anggota tubuh seseorang yang sedang belajar.

commit to user

Sedangkan keterampilan rohani lebih rumit, karena tidak selalu berurusan dengan masalah-masalah keterampilan yang dapat dilihat bagaimana ujung pangkalnya, tetapi lebih abstrak, menyangkut persoalan-persoalan penghayatan dan keterampilan berfikir serta kreativitas untuk menyelesaikan dan merumuskan suatu masalah atau konsep.

Keterampilan itu memang dapat di didik yaitu dengan banyak melatih kemampuan.

3) Pembentukan sikap.

Menumbuhkan sikap mental, perilaku dan pribadi anak didik, guru harus lebih bijak dan hati-hati dalam pendekatannya. Untuk ini dibutuhkan kecakapan mengarahkan motivasi dan berfikir dengan tidak lupa menggunakan pribadi guru itu sendiri sebagai contoh atau model.

Dalam interaksi belajar-mengajar guru akan senantiasa diobservasi, dilihat, didengar, ditiru semua perilakunya oleh para siswanya.

Sehingga intinya tujuan belajar itu adalah ingin mendapatkan pengetahuan, keterampilan dan penanaman sikap mental/ nilai-nilai (Sardiman, 1996:27-30). Mendapatkan pengetahuan yakni berfikir, mendapatkan keterampilan yakni yang bersifat jasmani maupun rohani,dan pembentukan sifat untuk menumbuhkan mental dan perilaku pribadi anak didik agar lebih baik.

Tujuan belajar ialah mereproduksikan gabungan tanggapan-tanggapan dengan cepat dan dapat dipercaya(Samuel Soeitoe,1982:90).

Sehingga dalam tujuan belajar menghasilkan suatu tanggapan yang bisa dipercaya.

Berdasarkan pendapat diatas dapat disimpulkan bahwa tujuan belajar adalah siswa melakuan perbuatan belajar dan ingin mendapatkan pengetahuan, keterampilan dan penanaman sikap mental / nilai-nilai dan mereproduksikan tanggapan-tanggapan yang dapat dipercaya.

commit to user

d. Faktor – faktor Yang Mempengaruhi Hasil Belajar.

Hasil belajar yang dicapai siswa dipengaruhi oleh dua faktor utama yakni faktor dalam diri siswa itu dan faktor yang akan datang dari luar diri siswa atau faktor lingkungan. Faktor yang datang dari dari diri siswa terutama kemampuan yang dimilikinya. Faktor kemampuan siswa besar sekali pengaruhnya terhadap hasil belajar yang dicapai. Disamping faktor kemampuan yang dimiliki siswa, juga ada faktor lain seperti motivasi belajar, minat dan perhatian, sikap dan kebiasaan belajar, ketekunan, sosial ekonomi, faktor fisik dan psikis.Ada faktor yang berada diluar dirinya dapat menentukan atau mempengaruhi hasil belajar yang dicapai salah satunya lingkungan belajar. Lingkungan belajar yang paling domain mempengaruhi hasil belajar disekolah ialah kualitas pengajaran.Yang dimaksud kualitas pengajaran ialah tinggi rendahnya atau efektif tidaknya proses belajar-mengajar dalam mencapai tujuan pengajaran. Oleh sebab itu hasil belajar siswa disekolah dipengaruhi oleh kemampuan siswa dan kualitas pengajaran.

( Nana Sudjana, 2000:39-40).

Faktor-faktor yang mempengaruhi keberhasilan belajar itu dapat Adapun faktor-faktor yang mempengaruhi hasil belajar dapat dibedakan menjadi 2 golongan yaitu:

Faktor yang ada pada diri siswa itu sendiri yang di sebut faktor individu (Intern), yang meliputi : 1). Faktor biologis, meliputi: kesehatan, gizi, pendengaran dan penglihatan. Jika salah satu dari faktor biologis terganggu akan mempengaruhi hasil prestasi belajar. 2). Faktor Psikologis, meliputi:

intelegensi, minat dan motivasi serta perhatian ingatan berfikir. 3). Faktor kelelahan, meliputi: kelelahan jasmani dan rohani. Kelelahan jasmani nampak dengan adanya lemah tubuh, lapar dan haus serta mengantuk. Sedangkan kelelahan rohani dapat dilihat dengan adanya kelesuan dan kebosanan sehingga minat dan dorongan untuk mengahsilkan sesuatu akan hilang.

commit to user

Faktor yang ada pada luar individu yang di sebut dengan faktor Ekstern, yang meliputi: 1). Faktor keluarga. Keluarga adalah lembaga pendidikan yang pertama dan terutama. Merupakan lembaga pendidikan dalam ukuran kecil tetapi bersifat menentukan untuk pendidikan dalam ukuran besar. 2). Faktor Sekolah, meliputi : metode mengajar, kurikulum, hubungan guru dengan siswa, siswa dengan siswa dan berdisiplin di sekolah. 3). Faktor Masyarakat, meliputi : bentuk kehidupan masyarakat sekitar dapat mempengaruhi prsetasi belajar siswa. Jika lingkungan siswa adalah lingkungan terpelajar maka siswa akan terpengaruh dan mendorong untuk lebih giat belajar (Slameto, 2003:54).

Secara garis besar faktor-faktor yang mempengaruhi hasil belajar dapat dibedakan atas dua jenis yaitu yang bersumber dari dalam diri manusia yang belajar, yang disebut sebagai faktor internal, dan faktor yang bersumber dari luar diri manusia yang belajar yang disebut faktor eksternal.

1) Faktor-faktor yang bersumber dalam diri manusia dapat diklasifikasikan menjadi dua, yakni faktor biologis dan faktor psikologis. Yang dapat dikategorikan sebagai faktor biologis antara lain usia, kematangan dan kesehatan sedangkan yang dapat dikategorikan faktor psikologis adalah kelelahan, suasana hati, motivasi, minat dan kebiasaan belajar.

2) Faktor-faktor yang bersumber dari luar diri manusia yang belajar dapat diklasifikasikan menjadi dua juga yakni faktor manusia (human) dan faktor non manusia seperti benda, hewan dan lingkungan(Suharsimi Arikunto,1993:20-22).

Sependapat dengan pendapat diatas dapat disimpulkan bahwa faktor-faktor yang mempengaruhi hasil belajar adalah faktor-faktor dari dirinya sendiri dapat diklasifikasikan menjadi dua, yakni faktor biologis dan faktor psikologis dan faktor dari luar dirinya / lingkungan.

commit to user e. Pengertian Matematika.

Awalnya, matematika adalah ilmu hitung atau ilmu tentang perhitungan angka-angka untuk menghitung berbagai benda ataupun yang lainya. Ini merupakan bentuk matematika sederhana yang dalam penggunaannya di kehidupan sehari-hari sangat simpel. Misalnya, dalam skala yang kecil, ilmu hitung ni digunakan oleh orang-orang zaman dahulu untuk menghitung jumlah pasukan, menghitung jumlah barang atau uang yang harus ditukar saat barter, menghitung hasil panen dan lain sebagainya.Sedangkan dalam skala yang lebih besar, ilmu hitung ini digunakan oleh orang-orang zaman dahulu untuk mengukur ruang, benda dan lainya saat membuat rumah.Bahkan, dalam membuat sebuah bangunan macam istana hingga candi, ilmu hitung ini(terutama ilmu ukur)sangat mutlak digunakan.

Matematika merupakan ilmu pasti dan konkret, artinya matematika menjadi ilmu real yang bisa diaplikasikan secara langsung dalam kehidupan sehari-hari, dalam berbagai bentuk.(Raodatul Jannah, 2011:22).

Bahkan, tanpa disadari, ilmu matematika sering kita terapkan untuk menyelesaikan setiap masalah kehidupan sehari-hari dan mutlak dibutuhkan oleh setiap manusia, baik untuk dirinya sendiri maupun untuk berinteraksi dengan sesame manusia. Ilmu matematika bisa diggunakan dalam kehidupan sehari-hari.

Mathematics is a language for describing common events in everyday life and complex event in business, science, and technology(Leornard M. Kennedy,2003:3).

Matematika adalah bahasa untuk mendeskripsikan kejadian umum dalam kehidupan sehari-hari dan acara kompleks dalam bisnis, ilmu pengetahuan, dan teknologi (Leornard M. Kennedy, 2003:3).Ilmu pengetahuan yang bisa digunakan untuk mendeskripsikan kejadian umum dalam kehidupan sehari-hari.

commit to user

Matematika adalah cabang ilmu pengetahuan ekstrak dan terorganisir secara sistematik, matematika adalah pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasi, matematika adalah pengetahuan tentang penalaran logic dan berhubungan dengan bilangan, matematika adalah pengetahuan tentang fakta-fakta kuantitatif dan masalah tentang ruang dan bentuk, matematika adalah pengetahuan tentang struktur-struktur yang logik(Soedjadi,2000:11). Matematika adalah cabang ilmu pengetahuan tentang penalaran logic dan berhubumgan dengan bilangan.

Menurut pendapat beberapa ahli diatas dapat disimpulkan bahwa matematika adalah ilmu real yang bisa diaplikasikan secara langsung dalam kehidupan sehari-hari dalam berbagai bentuk, tanpa disadari ilmu matematika sering kita terapkan untuk menyelesaikan setiap masalah kehidupan, sehingga matematika merupakan ilmu yang benar-benar menyatu dalam kehidupan sehari-hari dan mutlak dibutuhkan oleh setiap manusia, baik untuk dirinya sendiri maupun untuk berinteraksi dengan sesama manusia.

f. Bilangan Bulat.

Bilangan bulat menurut (Burhan Mustaqim dan Ary Astuty ,2008:

148) bilangan yang terdiri dari bilangan nol, bilangan asli, dan lawan bilangan asli.Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari bilangan bulat positif ( 1, 2, 3, 4 ,5 . . . ), nol (0) dan bilangan bulat negatif ( . . . , -5, -4, -3, -2, -1).Jika ditulis dalam himpunan bilangan bulat adalah { . . .-5,-4 ,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 . . .}. Dalam bentuk himpunan, himpunan bilangan bulat yang dimaksud adalah B = . . . -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 … apabila digambarkan sebagai berikut :

… …

Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambankan dengan Z, berasal dari Zahlen ( bahasa Jerman untuk bilangan).

commit to user 1) Macam-Macam Bilangan Bulat.

Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat positif, bilangan nol dan bilangan bulat negatif.

Gambar 1. Macam-macam Bilangan Bulat.

a) Bilangan Bulat Positif

Bilangan bulat positif adalah bilangan bulat yang terletak disebelah kanan nol. Menurut Burhan Mustaqim dan Ary Astuty (2008: 148), bilangan-bilangan bulat positif merupakan sebutan lain bilangan asli yaitu : 1, 2, 3, 4, 5 dan seterusnya. Bilangan bulat positif, di depan angka diberi tanda positif (+).

Contoh:

+2 = positif dua

-2 -1 0 1 2 3 4 5

Gambar 2. Garis Bilangan yang Menunjukkan Letak.

Bilangan Bulat Positif. Namun biasanya, tanda positif (+) di depan angka tidak selalu ditulis.

b) Bilangan Nol.

Bilangan nol adalah bilangan yang hanya terdiri dari bilangan nol, terletak antara bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif.

commit to user

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Gambar 3. Garis Bilangan yang Menunjukkan Letak Bilangan Nol.

c) Bilangan Bulat Negatif.

Bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat yang terletak disebelah kiri nol. Bilangan bulat negatif, di depan angka diberi tanda negatif (-).

contoh:

-5 = negatif lima

Gambar 4. Garis Bilangan yang Menunjukkan letak bilangan bulat negaif.

Berbeda dengan bilangan bulat positif, tanda negatif(-) pada bilangan bulat negatif harus selalu ditulis. Jika tidak ditulis akan menyamai dengan bilangan bulat positif. Sistem bilangan bulat tercipta sebagai perluasan system bilangan cacah untuk mendapatkan system bilangan yang tertutup terhadap semua operasi hitung.

Perluasan tersebut dilakukan dengan mencari bilangan yang tertutup terhadap operasi pengurangan.

Himpunan bilangan asli yang dikenal adalah { 1. 2, 3, 4, 5, . . . ,k, … }. Definisi bilangan asli adalah jika k bilangan asli, maka –k

commit to user

didefinisikan sebagai bilangan yang tunggal sehingga k+ -k = -k+ k = 0.

Berdasarkan definisi diatas, maka -3 adalah satu - satunya bilangan yang jika ditambah 3 menghasilkan 0, -1000 adalah satu – satunya bilangan yang jika ditambah 1000 menghasilkan 0. Secara umum –k adalah satu-satunya bilangan yang bila ditambah k menghasilkan 0, untuk k adalah bilangan asli. Bilangan –k disebut blangan invers penjumlah dari k, invers aditif dari k, lawan k, minus k, atau negatif k.

Selanjutnya dibentuk himpunan yang merupakan gabungan dari {…, -k, -4, -3, -2, -1}, himpunan bilangan asli dan {0},himpunan ini disebut himpunan bilangan bulat.Dengan demikian, himpunan bilanan bulat dapat ditulis sebagai { . . .-5,-4 ,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 . . ..Himpunan bilangan asli sebagai bagian dari himpunan bilangan bulat disebut himpunan bilangan bulat positif,ditulis ( 1, 2, 3, 4 ,5 . . . ),atau( +1, +2, +3, +4 ,+5 . . . ), sedangkan ( . . . , -5, -4, -3, -2, -1) disebut himpunan bilangan bulat negatif.

Jika bilangan asli dapat digambarkan sebagai jarak berarah kekanan pada garis bilangan, maka untuk bilangan bulat dapat dipikirkan sebagai jarak berarah kanan dan kiri,dimulai dari 0, yang kemudian mengukur segmen –segmen garis yang sama ke kanan diberi tanda 1, 2, 3, 4, 5, … dan kekiri diberi tanda -1, -2, -3, -4, -5,

…

.. ..

Bilangan-bilangan yang paling dikenal adalah bilangan bulat 0, 1, -1, 2, -2, ... dan bilangan-bilangan asli 1, 2, 3, ..., keduanya sering digunakan untuk berhitung dalam aritmatika. Bilangan bulat

commit to user

adalah …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,….Dapat dikatakan juga bilangan bulat terdiri dari:

- Bilangan bulat negatif: …, -4, -3, -2, -1.

- Bilangan nol: 0

- Bilangan bulat positif atau bilangan asli: 1,2,3,4,5,….

Berdasarkan beberapa pengertian di atas, dapat disimpulkan bahwa bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri atas bilangan bulat negatif, bilangan bulat positif atau bilangan asli, dan bilangan cacah yang meliputi bilangan…-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…. (Arita Marini dan D Iskandar Agung,2011: 115).

g. Operasi Penjumlahan Pada Bilangan Bulat.

Seperti halnya pada operasi penjumlahan bilangan cacah, karena himpunan bilangan memuat elemen-elemen bilangan positif dan bilangan negatif, maka perlu didefinisikan penjumlahan pada bilangan bulat sebagai berikut :

Jika n bilangan bulat maka n + (-n) + n- 0. Bilangan ( n ) ini disebut lawan dari (invers) jumlah dari n dan 0 disebut elemen identitas terhadap penjumlahan.

Sifat-sifat pada operasi penjumlahan bilangan bulat adalah : 1. Tertutup, yaitu a + b = c, maka c € B.

2. Komutatif, yaitu a + b = b+ a.

3. Assosiatif, yaitu ( a+ b ) + c = a + (b+c).

4. 0 sebagai elemen identitas yaitu, a + 0 = 0 + a = a 5. Tiap elemen mempunyai elemen invers / lawan

(Siti Kamsiati, 2006:33).

commit to user

Penjumlahan bilangan - bilangan bulat dapat ditunjukkan dengan anak – anak panah pada garis bilangan(Arita M dan Iskandar A, 2011:119).

Contoh 1 : 2 + 3 = 5

-2 -1 0 1 2 3 4 5

Contoh 2 : 3 + (-4) = - 1

-1

-4

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Contoh 3 :

(-3) + (-2) = -5

-5

-2

-3

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Cara menyelesaikan penjumlahan bilangan bulat dengan menggunakan garis bilangan :

commit to user

Didalam kegiatan inti guru menekankan kepada siswa bahwa jenis bilangan terdiri dari bilangan positif dan negatif bila positif berhadap kanan dan negatif berhadap kiri dan operasi hitungnya positif maju dan negatif mundur.

Contoh 1 : 2 + 3 = 5

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Dari nol kemudian maju 2 langkah kekanan karena penambahnya 2

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ( hasil dari 2+3= 5 )

Dari 2, kemudian maju 3 langkah karena tertambahnya 3 dan hasilnya adalah 5.

Contoh 2 3 + (-4) = - 1

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Dari nol kemudian maju 3 langkah kekanan karena penambahnya 3

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

hasil dari 3 +(4)= -1

commit to user

Kerena pengurangnya negatif maka dari 3 berbalik arah dahulu kearah kiri dan operasi hitungnya positif maka maju sehingga dari 3 berbalik arah dahulu kemudian maju 4 langkah ( tertambahnya -4 ) dan hasilnya adalah (-1).

Contoh 3 : (-3)+(-2) = -5

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Dari nol kemudian 3 langkah kekiri karena penambahnya -3.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Hasil dari -3 + (-2) = -5

Karena operasi hitungnya positif maka dari negatif 3 maju kekiri 2 langkah karena pengurangnya -2 dan hasilnya(-5).

h. Operasi Pengurangan pada bilangan bulat.

Pengurangan bilangan- bilangan bulat bersifat tertutup. Untuk menunjukkan hal itu, maka harus ditunjukkan untuk setiap a dan b bilangan-bilangan bulat selalu ada satu saja bilangan-bilangan bulat (a-b). Pertama kita tunjukkan adanya bilangan bulat sedemikian hingga a – b = k. Menurut definisi pengurangan a-b = k jika dan hanya jika a=b+k.

a + (-b) = (b + k) + (-b) sifat kesamaan

= (k + b) + (-b) sifat komutatif

= k + (b + (-b)) sifat assosiatif

commit to user

= k + 0 sifat invers penjumlahan a+ (-b) = k , atau k= a+ (-b).

Ini menunjukkan bahwa ada bilangn bulat k sedemikian hingga a-b = k, selanjutnya akan diperlihatkan bahwa bilangan bulat k ( yang sama dengan a + (-b)) itu hanya satu. Misalnya ada bilangan bulat k dan n, dengan n ≠ k sedemikian hingga a= b+n, karena a = b + k maka b + n = b + k.

(b + n ) + (-b) = ( b + k) + (-b) sifat kesamaan ( n + b ) + (-b) = ( k + b) + (-b) sifat komutatif n + (b + (-b)) = k + (b + (-b)) sifat assosiatif

n + 0 = k + 0 sifat invers penjumlahan n = k

Hal ini bertentangan dengan pemisal diatas , jadi haruslah hanya ada satu bilangan bulat tertentu sehingga a = b + k. Dengan demikian a – b = k = a

= (-b), sehingga definisi pengurangan dapat dirubah dalam bentuk penjumlahan sebagai berikut : a – b = a + (-b).

Pengurangan bilangan bulat dengan pendekatan pengukuran pada garis bilangan, aturannya sama dengan aturan pengurangan pada bilangan cacah, yakni tempatkanlah bilangan terkurang dengan pangkal panah berhimpit dengan 0, kemudian letakkan ujung pengurang berhimpit dengan ujung terkurang, selisihnya diukur (dibuat anak panah ) dari pangkal terkurang ke pangkal pengurang (Siti Kasmsiati, 2008 :35 ).

Contoh 1:

5 – (-2) = 7

commit to user 7

-2 5

0 1 2 3 4 5 6 7

Contoh 2 : (-2) – (-6) = 4

4 -6 -2

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Cara menyelesaikan penjumlahan bilangan bulat dengan menggunakan garis bilangan :

Contoh 1:

5 – (-2) = 7

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

commit to user

Dari nol menghadap kekanan kemudian maju 5 langkah karena penambahnya 5.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Hasil dari 5 – (-2) = 7

Dari 5 kemudian berbalik arah dahulu karena operasi hitungnya negatif maka mundur 2 langkah karena terkurangnya -2 dan hasilnya 7.

Contoh 2 : (-2) – (-6) = 4

-2 -1 0 1 2 3 4 5

Dari nol, 2 langkah ke -2 karena pengurangnya -2.

-2 -1 0 1 2 3 4 5

Hasil (-2) – ( -6 ) = 4

Dari -2 mundur 6 langkah karena terkurangnya -6 dan hasilnya 4.

commit to user 2. Alat Peraga Garis Bilangan.

a. Pengertian Alat Peraga

Peranan alat bantu atau alat peraga memegang peranan yang penting sebab dengan adanya alat peraga ini bahan dengan mudah dapat dipahami oleh siswa. Alat peraga sering disebut audio visual, dari pengertian alat yang dapat diserap oleh mata dan telinga. Alat tersebut berguna agar pelajaran yang disampaikan guru lebih mudah dipahami oleh siswa. Alat tersebut berguna agar bahan pelajaran yang disampaikan guru lebh mudah dipahami siswa(

Nana Sudjana, 2000:99). Dalam proses belajar-mengajar alat peraga dipergunakan dengan tujuan membantu guru agar proses hasil belajar siswa lebih efektif dan efisien

Alat peraga untuk menanamkan pengertian tentang bilangan,himpunan, anggota himpunan, arti lebih besar/kecil dan sama(Ruseffendi,1989:385). Suatu alat yang digunakan untuk menanamkan tentang bilangan.

Alat peraga yaitu alat untuk menerangkan atau mewujudkan konsep matematika (Ruseffendi,1992:141). Alat peraga untuk menerangkan konsep matematika itu dapat berupa benda nyata dan dapat pula berupa gambar atau diagramnya. Suatu alat yang digunakan untuk menerangkan konsep matematika.

Alat peraga dalam pembelajaran pada hakekatnya merupakan suatu alat yang digunakan untuk menunjukkan sesuatu yang rill sehingga memperjelas pengertian pebelajar( Sri anitah,2009:4). Dapat disimpulkan

Dalam dokumen PENINGKATAN HASIL BELAJAR MATEMATIKA KOMPETENSI DASAR PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN BULAT DENGAN MENGGUNAKAN ALAT PERAGA GARIS BILANGAN (Halaman 23-44)