BAB II KAJIAN TEORI DAN PENGAJUAN HIPOTESIS
A. Deskripsi Teoritik
1. Kemampuan Representasi Matematis
A. Deskripsi Teoritik
1) Kemampuan Representasi Matematis
Dalam NCTM (2000) terdapat lima standar proses pembelajaran matematika yang harus dimiliki oleh siswa, yaitu problem solving, reasoning and proof, communication, connections and representation.1 Hal tersebut memperlihatkan bahwa representasi merupakan salah satu standar kemampuan yang harus ada dalam proses pembelajaran matematika. Menurut Davis, dkk sebuah representasi dapat berupa kombinasi dari sesuatu yang tertulis diatas kertas, sesuatu yang eksis dalam bentuk obyek fisik dan sususan ide-ide yang terkontruksi didalam pikiran seseorang.2 Dari pernyataan tersebut, dapat diartikan, bahwa representasi adalah hasil dari ide atau gagasan dari pemikiran seseorang dalam bentuk tulisan sesuai dengan pemahaman dalam diri orang tersebut.
Lyn menyatakan, “a representation is a configuration that can represent something else in some manner. For example, a word can represent a real-life object, a numeral can represent the cardinality of a set, or the same numeral can represent a position on a number line”.3 Berdasarkan hal tersebut dapat diartikan bahwa sebuah representasi adalah konfigurasi yang dapat mewakili sesuatu dengan beberapa cara. Sebagai contoh, sebuah kata dapat mewakili objek kehidupan nyata, angka bisa mewakili kardinalitas himpunan, atau urutan angka yang sama dapat mewakili posisi pada garis bilangan.
Menurut Kaput (1987) representasi merupakan suatu cara yang digunakan oleh seseorang (siswa) untuk mengatur dan memahami situasi-situasi yang
1
Mary M, et al., Mathematics Methods for Elementry and a Middle School Teachers. (Amerika: John Wiley& Sons, Inc., 2007), p.7
2
Kartini, “Peranan Representasi Dalam Pembelajaran Matematika”, Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNRI
, Desember 2009, h. 362
3
Lyn D, International Research in Mathematics Education. (London: Lawrence Erlbaum Associares, 2002), p. 208
dihadapi, dan representasi situasi matematika merupakan penggambaran relasi dan operasi-operasi dalam situasi matematika.4 Dari beberapa penjelasan diatas dapat disimpulkan bahwa representasi matematik merupakan ide/gagasan matematika (penggambaran relasi dan operasi matematika) yang dihasilkan dari proses pemikiran siswa dan diungkapkan dalam bentuk tulisan sebagai model atau bentuk pengganti yang mewakili bentuk lain dari suatu situasi masalah yang sedang dihadapi untuk memahami dan menemukan solusi dari masalah tersebut.
Menurut coxfoard (1995) representasi merupakan salah satu proses yang dipandang penting dalam kurikulum matematika dari sekolah dasar sampai dengan pendidikan tinggi.5 Hal ini terlihat dari proses pembelajaran matematika yang terjadi dikelas-kelas biasanya diawali dengan membangun representasi konkrit oleh guru dan siswa yang diikuti dengan representasi bergambar dan abstrak. Standar representasi NCTM menyebutkan bahwa, program pembelajaran matematika dari pra-taman kanak-kanak sampai kelas 12, harus memungkinkan siswa untuk:6
1.Membuat dan menggunakan representasi untuk mengorganisir, mencatat dan mengkomunikasikan ide-ide matematika.
2.Memilih, menerapkan dan menerjemahkan representasi matematik untuk memecahkan masalah.
3.Menggunakan representasi untuk memodelkan dan mengiterpretasikan kejadian fisik, sosial ataupun matematika.
Kemampuan representasi adalah kemampuan menggambarkan ide atau gagasan matematika dalam berbagai cara baik untuk memahami konsep ataupun memecahkan masalah matematika. Hiebert dan Cerpenter berpendapat bahwa belajar untuk memperoleh pemahaman akan mungkin terjadi jika konsep,
4 Romal Ijudin dan Agung Hartoyo, “Mode Representasi Yang Digunakan Siswa SMP Ketika Belajar Persamaan Linier Dalam Pembelajaran Matematika Realistik”, Penelitian Dosen Musa Universitas Tanjungpura, Maret 2008, h.14, tidak dipulikasikan.
5Ibid, h.17
6 Miriam Amit, “Multiple Representations in 8THGrade Algebra Lessons: Are Learners
Really Getting It”, Proceedings of the 29th Conference of International Grup For The Psychology
pengetahuan, rumus dan prinsip menjadi bagian dari jaringan representasi seseorang.7 Pada dasarnya, representasi tidak hanya bertujuan menghasilkan produk matematik baru, tetapi juga melibatkan proses berpikir dalam menghasilkan produk baru tersebut. Proses berpikir yang dilakukan yaitu dengan memahami konsep, operasi ataupun hubungan matematik pembentuk produk tersebut.
Secara umum, representasi dapat dibagi menjadi dua jenis yaitu representasi internal dan representasi eksternal.
Menurut Albert, “External representations are the representations we can easily communicate to other people: they are the marks on the paper, the drawings, the geometry sketches, and the equations. Internal representations are the images we create in our minds for mathematical objects and processes”.8
Dari penjelasan Albert dapat diartikan bahwa representasi eksternal adalah representasi dimana kita dapat berkomunikasi secara mudah kepada orang lain dengan membuat tulisan (simbol tertulis), gambar, sketsa geometri ataupun persamaan. Sedangkan, representasi internal adalah gambaran dalam mengkreasikan pemikiran kita terhadap objek dan proses matematika.
Berdasarkan penjelasan tersebut dapat disimpulkan bahwa representasi internal adalah proses berpikir seseorang dalam menghasilkan suatu gagasan atau ide-ide matematik yang akan digunakan dalam menyelesaikan suatu masalah. Sedangkan, representasi eksternal adalah suatu cara mengkomunikasikan perwujudan dari pemikiran seseorang yang diungkapkan melalui berbagai media representasi dalam bentuk tulisan berupa kata-kata, grafik, simbol, tabel, diagram, persamaan dsb, untuk menyelesaikan suatu masalah matematika.
Representasi internal tidak dapat diamati secara langsung dengan menggunakan indera penglihatan karena berlangsung secara mental dalam otak.
7 Bambang Hudiono, “Peranan Representasi Dalam Meningkatkan Pemahaman Siswa Pada Materi Persamaan Garis”, Didaktika, vol.9 no.1, Januari 2008, h.58
8Albert A (ed.), The Roles of Representation in School of Mathematics. (tt.p : NCTM, 2001), p.x loc.cit.
Tetapi representasi internal seseorang dapat diduga berdasarkan representasi eksternal yang dihasilkan, misalnya melalui ucapan dan kata-kata (lisan) ataupun melalui tindakan dan tulisan (simbol, grafik, tabel, diagram dsb). Dari hal tersebut dapat dikatakan adanya hubungan timbal balik antara representasi internal dan eksternal dalam diri seseorang (siswa) ketika menyelesaikan suatu masalah. Secara sederhana, Goldin dan Kaput (1996) menggambarkan interaksi representasi intenal dan eksternal seperti berikut :9
Interaksi
Gambar 2.1
Interaksi Representasi Internal dan Representasi eksternal
Mayer mengkaitkan kemampuan representasi seseorang berdasarkan proses kognisi yang terjadi pada memori kerja. Menurut Mayer, terdapat tiga unsur representasi yang saling berkaitan, yaitu visual, verbal dan referensi.10 Sejalan dengan itu, Lesh, Post dan Behr membagi representasi kedalam lima jenis, yaitu representasi objek dunia nyata, representasi konkret, representasi simbol aritmatika, representasi bahasa lisan atau verbal dan representasi gambar atau grafik.11
Berdasarkan hal diatas, dapat dijelaskan bahwa kemampuan representasi verbal adalah kemampuan menerjemahkan hal-hal yang diselidiki dan hubungannya dengan masalah matematika yang dihadapi kedalam kata-kata atau bahasa. Kemampuan representasi visual (gambar atau grafik) adalah kemampuan menerjemahkan masalah matematik menjadi tabel, gambar ataupun
9
Romal Ijudin, op.cit., h.23
10
Bambang Hudiono, “Pembudayaan Pendekatan Open-Ended Problem Solving Dalam Pengembangan Daya Representasi Matematik Pada Siswa Sekolah Menengah Pertama”, Jurnal
Pendidikan Dasar , vol.9 no.1, Maret 2008, h. 24
11 Kartini, op.cit., h.366 Representasi Mental – Internal Representasi Fisik – Eksternal
grafik. Kemampuan referensi dimaksudkan sebagai kemampuan menerjemahkan masalah yang bersumber dari dunia nyata dan hal yang sifatnya konkret kedalam representasi rumus aritmatika. Sedangkan, kemampuan representasi verbal adalah kemampuan menerjemahkan sifat-sifat yang di selidiki dan hubungannya dalam masalah matematika ke dalam representasi verbal atau bahasa.
Dari beberapa penjelasan diatas dapat ditarik kesimpulan bahwa representasi dapat digolongkan menjadi (1) representasi visual (gambar, diagram, grafik atau tabel), (2) representasi persamaan atau ekspresi (pernyataan matematik/notasi matematik, numerik/simbol aljabar) dan juga (3) representasi verbal (kata-kata/bahasa sehari-hari atau bahasa simbol). Ketiga bentuk representasi tersebut saling berinteraksi satu sama lain. Lesh dan Doer menerjemahkan proses perwujudan suatu sistem konseptual ke berbagai bentuk representasi eksternal seperti pada gambar berikut: 12
Gambar 2.2
Meanings Of Conceptual System Are Distributed Across A Variety Of Representational Media
12
Richard Lesh and Helen M.Doerr, Beyond Constructivisme Model And Modeling
Perspectives On Mathematics Problem Solving, Lerning And Teaching. ( London: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers Mahwah, New Jersey , 2003) , p. 12
Berikut akan disajikan suatu contoh soal, dimana dari soal tersebut akan memperlihatkan interaksi berbagai bentuk representasi dalam menyelesaikan masalah sebagai berikut:
1. Pak ijul adalah seorang petani yang hebat didesanya. Beliau mempunyai sebidang sawah yang berbentuk persegi panjang. Lebar sawah pak ijul adalah x meter, sedangkan panjangnya 3 meter lebih dari 2 kali lebarnya. Jika keliling sawah beliau adalah 78 meter, maka tentukanlah panjang dan lebar sawah pak ijul.
Penyelesaiaan:
Dik: Ada sawah berbentuk persegi panjang, dengan lebar x cm dan panjang 3 meter lebih dari 2 kali lebarnya, keliling sawah 78 meter
Dit: Panjang sawah dan Lebar sawah
(Representasi persamaan / ekspresi)
Misalkan:
lebar sawah = l & panjang sawah= p
l = x meter ,
panjang sawah 3 meter lebih dari 2 kali lebarnya, maka p = (2x+3) meter
(Representasi visual)
Bila digambar:
(2x+3) m
(x) m Jawab :
Keliling persegi panjang = 2 X (p+l)
78 = 2 X {(2x+3)+x} (subsitusikan p dan l ) 78 = 2 X (3x+3) 78 = 6x +6 78 - 6 = 6x +6-6 72 = 6x 12 = x
Kembali ke persamaan awal, dimana l = x meter, maka l = 12 meter p = (2x + 3)
= {2(12) + 3} = 24 + 3 = 27 meter
(Representasi verbal)
Dari perhitungan diatas maka dapat disimpulkan bahwa sawah pak ijul memiliki lebar 12 meter dan panjang 27 meter.
Secara lebih rinci, Mudzakir (2006) menguraikan ketiga representasi tersebut kedalam bentuk- bentuk operasional berikut :13
Tabel 2.1
Bentuk-Bentuk Operasional Representasi Matematis (Mudzakir 2006)
No Representasi Bentuk-bentuk Operasional
1. Visual :
a. Diagram, grafik atau tabel
b. Gambar
Menyajikan kembali data atau informasi dari suatu representasi ke representasi diagram, grafik atau tabel.
Menggunakan representasi visual untuk menyelesaikan masalah
Membuat gambar pola-pola geometri Membuat gambar bangun geometri untuk
memperjelas masalah dan memfasilitasi penyelesaiannya
2. Persamaan atau ekspresi matematik
Membuat persamaan atau model matematis dari representasi lain yang diberikan
Membuat konjektur dari suatu pola bilangan
Penyelesaian masalah dengan melibatkan representasi matematis
3. Kata-kata atau teks tertulis
Membuat situasi masalah berdasarkan data atau representasi yang diberikan Menulis interprestasi dari suatu
representasi
Menuliskan langkah–langkah
penyelesaiaan masalah matematis dengan kata-kata
Menyusun cerita yang sesuai dengan suatu representasi yang disajikan
Menjawab soal dengan menggunakan kata-kata atau teks tertulis.
13
Titin Kartini, “Mengembangkan Kemampuan Representasi Matematis dan Self Efficacy
Siswa SMP melalui Reciprocal Teaching Model”, Tesis pada pasca sarjana UPI Bandung, Bandung, 2011, h.19 , tidak diplubikasikan
Berdasarkan uraiaan diatas, maka disimpulkan bahwa indikator kemampuan representasi matematik yang akan digunakan dalam penelitian ini, meliputi:
1.Representasi visual berupa diagram, grafik atau tabel, meliputi :
a.Menggunakan grafik untuk menyelesaikan masalah sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV)
2.Persamaan atau ekspresi matematis, meliputi :
a.Membuat sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dari grafik yang diberikan
b.Menyelesaikan masalah dengan menggunakan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV)
3.Kata-kata atau teks tertulis, meliputi :
a.Menjawab atau menyimpulkan masalah SPLDV dengan menggunakan kata-kata teks tertulis.
2)Pendekatan Pembelajaran Model Eliciting Activities (MEAs)
