Kerangka Berpikir - TRI. Skripsi. Pendidikann Matematika. Program Studi. Oleh: NIM: YOGYAKARTA

BAB I: PENDAHULUAN

2.13 Kerangka Berpikir

Selama ini sudah mempelajari tentang isometri terkait dengan geometri transformasi pada Geometri Euclides. Berdasarkan teori pada bagian 2.1 sampai 2.12, akan ditemukan bahwa sifat isometri pada geometri Euclides juga berlaku untuk geometri lainnya terutama pada geometri netral, karena geometri Euclides sendiri adalah geometri netral.

BAB III

TEORI ISOMETRI

3.1 KOLINEASI DAN ISOMETRI

Ada dua konsep dasar dalam geometri metrik, yaitu garis dan jarak.

Selain itu ada pula dua jenis fungsi yang penting. Satu fungsi (kolineasi) yang memasangkan garis ke garis, dan fungsi yang lain (isometri) mempertahankan jarak.

Pertama-tama akan dibahas mengenai kolineasi. Kolineasi adalah fungsi yang mempertahankan garis. Berikut diberikan definisi mengenai kolineasi.

Definisi 3.1.1 (Millman & Parker,1991:285)

Jika I = {S , L } dan I ‘ = {S ‘ , L ‘} merupakan geometri insidensi, maka ϕ: S → S ’ mempertahankan garis jika untuk setiap garis l anggota S , ϕ(l) adalah sebuah garis S ‘ ; dengan kata lain φ L ‘ jika L .

ϕ adalah sebuah kolineasi jika ϕ adalah fungsi bijektif yang

mempertahankan garis. ]

Dari definisi 3.1.1, diketahui bahwa:

a. Fungsi ϕ dalam geometri insidensi dikatakan mempertahankan garis jika l adalah garis dalam geometri insidensi dipetakan oleh ϕ akan didapatkan ϕ( l ) yang juga merupakan garis dalam geometri insidensi.

b. Syarat fungsi ϕ dapat disebut kolineasi yaitu:

(i) ϕ adalah fungsi bijektif , dan

(ii) ϕ adalah fungsi yang mempertahankan garis.

Untuk lebih memahami definisi 3.1.1, perhatikan dua contoh berikut..

Contoh 3.1.1

Misalkan I = I ‘ = { ,L E}. Fungsi : dimana , 2 , 5 adalah sebuah kolineasi.

Bukti:

Diketahui: , 2 , 5 (3-1)

Pertama-tama harus ditunjukkan bahwa ϕ bijektif. Untuk membuktikan bahwa ϕ bijektif, maka harus dibuktikan bahwa ϕ memiliki invers.

Invers diberikan oleh

, ,

Karena ϕ memiliki invers, maka dapat dikatakan bahwa ϕ bijektif.

Selanjutnya harus dibuktikan bahwa ϕ mempertahankan garis.

i) Jika , berarti , sehingga persamaan (3-1) menjadi:

2 , 5 | (3-2)

Misalkan 2 (3-3)

5 (3-4)

Dari persamaan (3-3) didapatkan 2 (3-5)

Substitusikan persamaan (3-5) ke persamaan (3-4) sehingga persamaan (3-2) menjadi:

, | 3 5 (3-6)

Persamaan (3-6) merupakan persamaan garis dengan m = 1 dan 3 5. Sehingga dapat ditulis sebagai:

ii) Jika _, berarti ( )

Maka persamaan (3-1) menjadi:

2 , 5 |

2 , 1 5 |

9 Jika 2, maka .

9 Jika 2, maka _, dimana dan 5 .

Dari i) dan ii) terlihat bahwa garis yang dikenai fungsi ϕ tetaplah sebuah garis mengakibatkan ϕ mempertahankan garis.

Karena ϕ bijektif dan ϕ mempertahankan garis, maka ϕ adalah kolineasi. •

Contoh 3.1.2

Misalkan I = I ‘ ={ ,L E}. Fungsi : dimana , , adalah sebuah kolineasi.

Bukti:

Diketahui: fungsi , , (3-7)

Berdasarkan definisi 3.1.1, maka pertama-tama harus dibuktikan bahwa ϕ bijektif.

Untuk membuktikan ϕ bijektif, berdasarkan definisi 2.1.9, harus dibuktikan bahwa ϕ memiliki invers. Invers ϕ diberikan oleh.

, 2 ,

Karena ϕ memiliki invers, maka berarti ϕ bijektif.

Selanjutnya harus dibuktikan bahwa ϕ mempertahankan garis.

i) Jika , berarti , maka persamaan (3-7) menjadi:

, |

, | 2

ii) Jika _, , berarti , maka persamaan (3-7) menjadi:

, |

1 , 1 |

Untuk 1, maka

Untuk 1, maka _, dimana dan .

Karena ϕ bijektif dan ϕ mempertahankan garis, maka ϕ kolineasi. •

Berikut diberikan lemma-lemma tentang kolineasi. Lemma 3.1.1 berikut mengatakan bahwa ϕ dengan syarat tertentu dalam geometri insidensi merupakan kolineasi.

Lemma 3.1.1 (Millman & Parker,1991:286)

Misalkan I = {S ,L } dan I ’ = {S ’ ,L ’} merupakan Geometri Insidensi.

Misalkan ϕ : S → S ’ adalah fungsi bijektif dimana jika l ∈ L maka untuk suatu l’ ∈ L ’ dan jika t’ ∈ L ’ maka φ untuk suatu t ∈ L . Maka ϕ adalah sebuah kolineasi.

Bukti:

Harus ditunjukkan bahwa adalah sebuah garis, bukan hanya himpunan bagian dari sebuah garis.

Misalkan . Maka dan adalah dua titik yang

berbeda. Karena diketahui untuk suatu l’ ∈L ’ dan , , akan diperoleh .

Di sisi lain, untuk suatu t ∈ L , dan ,

mengakibatkan . Jika maka dan

Akibatnya dan mempertahankan garis.

Karena ϕ bijektif (diketahui) dan ϕ mempertahankan garis, maka ϕ kolineasi.

Untuk lebih memahami Lemma 3.1.1, perhatikan contoh 3.1.3 berikut.

Contoh 3.1.3

Misalkan I = I ’ = { , L H} dan misalkan : oleh , , mengakibatkan merupakan kolineasi.

Bukti:

Pertama-tama harus didefinisikan secara geometris apa itu dalam . Jika adalah radius koordinat (dalam koordinat polar), maka persamaan , , dapat ditulis menjadi:

, ,

Jika dihimpun , dan , , , maka . Fungsi

disebut pembalikan pada lingkaran satuan(gambar 3.1 (a)).

adalah (bidang Euclid) pencerminan terhadap sumbu y (gambar 3.1 (b)).

adalah pembalikan pada lingkaran satuan, diikuti dengan pencerminan pada sumbu y.

Sekarang akan ditunjukkan bahwa adalah kolineasi. Sekarang kita akan

menunjukkan bahwa untuk semua . Hal ini

mengakibatkan adalah invers dari dirinya sendiri dan bijektif. Karena , boleh menggunakan Lemma 3.1.2 untuk menunjukkan bahwa mempertahankan garis. Berdasarkan Lemma 3.1.2, untuk masing-masing

l ∈ L H , untuk suatu l’ ∈ L H . Ada empat kasus yang mengikuti:

l = 0L , l = aL dengan 0, l = cLr dengan , dan l = cLr dengan .

♣ Jika l = 0L dan maka 0, untuk suatu 0. Sehingga 0, 1⁄ 0L maka dari itu .

♣ Jika l = aL dengan 0 maka untuk , kita dapat

, ,

1 2

2 2

2 4

4 2 4

4 1 4

Sehingga dLs dengan dan .

♣ Jika l = cLr dengan maka

dLs dengan dan .

♣ Jika l = cLr dengan maka

±aL dengan .

Sehingga untuk semua kasus, untuk suatu l’ ∈ L H . •

(a) (b)

Gambar 3.1 Ilustrasi pembuktian contoh 3.1.3

Gambar 3.1 (a) merupakan ilustrasi pembalikan pada lingkaran satuan, sedangkan gambar 3.1 (b) merupakan ilustrasi pencerminan terhadap sumbu-y.

Dimulai dari geometri insidensi {S , L }, dan fungsi bijektif ϕ : S →S ’ , akan diperoleh geometri insidensi yang baru {S ’ , L ’} dimana ϕ adalah sebuah kolineasi. Lemma 3.1.2 akan membuktikan hal tersebut.

Lemma 3.1.2 (Millman & Parker,1991:288)

Misalkan I = {S , L } adalah geometri insidensi dan misalkan ϕ : S →S ’ adalah fungsi bijektif. Jika L ’ didefinisikan oleh L ‘ = {ϕ(l) | l ∈ L } maka

Q j(P)

j(Q)

Q ρ (Q)

ρ (P) y y

ϕ(I ) ={S ’ , L ’ } adalah Geometri Insidensi (disebut Geometri Insidensi diinduksi oleh ϕ) dan ϕ kolineasi.

Bukti:

Diketahui bahwa I = {S , L } adalah geometri insidensi dan ϕ : S →S ’ adalah fungsi bijektif. Untuk membuktikan geometri insidensi, ingat kembali definisi geometri insidensi (definisi 2.3.2).

Untuk membuktikan Lemma 3.1.2, pertama-tama harus dibuktikan bahwa jika L ’ didefinisikan oleh L ‘ = {ϕ(l) | l ∈ L } maka ϕ(I ) ={S ’ , L ’}

adalah Geometri Insidensi.

Akan ditunjukkan bahwa dua titik yang berbeda terletak pada satu garis.

Misalkan . Karena l ∈ L maka terdapat titik , . Akibat dari ϕ,

maka , . , dimana . Sehingga, jika

terdapat dua titik pada S ‘ maka terletak pada satu garis pada L ‘.

Selanjutnya dibuktikan terdapat tiga titik yang tidak segaris pada S ‘ yang tidak segaris. Misalkan titik A, B, C merupakan tiga titik yang tidak segaris pada S . Karena setiap dua titik terletak segaris, maka misalkan A, B dan

B, C , dimana . Akibatnya, dimana ,

L ‘ . Akibatnya ϕ(I ) ={S ’ , L ’} adalah Geometri Insidensi.

Selanjutnya harus dibuktikan bahwa ϕ kolineasi. Dari pembuktian di atas, garis L dikenai fungsi ϕ menjadi garis L ‘ . Karena ϕ bijektif dan ϕ mempertahankan garis, maka ϕ kolineasi.

Lemma 3.1.2 mengatakan tentang geometri insidensi yang dikenai fungsi ϕ hasilnya tetaplah geometri insidensi. Hal ini disebut sebagai geometri insidensi yang diinduksi oleh ϕ dan ϕ kolineasi. Untuk lebih memahami Lemma 3.1.2 perhatikan contoh berikut.

Contoh 3.1.4

Jika : dengan , , maka ϕ menyebabkan kolineasi dari E = { ,L E} menjadi model baru ϕ(E ) = { ,L ’}.

Beberapa garis ϕ(E) ditunjukkan gambar 3.2 berikut.

Gambar 3.2 Beberapa garis pada ϕ(E )

Gambar 3.2 menunjukkan garis-garis pada bidang Euclides. :

dengan , , .

♦ Garis 1 1. ini merupakan garis

. 8

, 1

1 2

x y

-1

♦ Garis . ini merupakan garis

, .

♦ Garis 2 2. ini merupakan

garis _, .

♦ Garis 2 2. ini merupakan garis

, .

Notasi: Jika ϕ : S → S ’ adalah sebuah fungsi dan A ∈ S maka .

Setelah pembahasan mengenai kolineasi, selanjutkan akan dibahas pokok bahasan yang kedua, yaitu isometri.

Isometri merupakan suatu fungsi yang mempertahankan jarak. Berikut diberikan definisi isometri.

Definisi 3.1.2 (Millman & Parker,1991:288)

Misalkan G = {I , L , d} dan G ’ = {I ’ , L ’ , d’} adalah Geometri Metrik.

Isometri dari G ke G ’ adalah fungsi ϕ: S → S ’ dimana untuk semua A, B ∈ S berlaku:

, , (3-8)

Fungsi ϕ pada persamaan (3-8) menyatakan mempertahankan jarak. ]

Definisi 3.1.2 menjelaskan bahwa isometri dalam geometri metrik mempertahankan jarak. Mempertahankan jarak artinya jika jarak dua titik

adalah d satuan jarak, maka jarak dua titik bayangannya adalah juga d satuan jarak. Untuk lebih memahami definisi 3.1.2, perhatikan tiga contoh berikut ini.

Contoh 3.1.5

Fungsi : yang ditunjukkan oleh , 2, 3 adalah isometri dalam { , L E}.

Bukti:

Misalkan titik A (a,b) dan B (c,d) dengan a,b,c,d ∈ .

Maka ,

, 2, 3

Maka , 2 2 3 3

2 2 3 3

Sebelumnya dibuktikan bahwa , dimana

, . Sehingga, , , .

Karena , , , maka isometri. •

Contoh 3.1.5 merupakan contoh fungsi isometri. Berikut ini diberikan contoh fungsi yang bukan isometri.

Contoh 3.1.6

Fungsi : oleh , , adalah kolineasi (contoh

3.1.2) dalam { , L E , dE} tetapi bukan isometri.

Bukti:

Berdasarkan pembuktian contoh 3.1.2 diketahui bahwa ϕ kolineasi.

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa bukan isometri. Persamaan (3-8) pada definisi 3.1.2 berlaku untuk semua A, B ∈ . Sehingga untuk membuktikan bahwa bukan isometri, cukup dibuktikan ada A, B ∈ yang menyebabkan

, , .

Ambil dua titik koordinat dalam . Misalkan kita ambil titik 0,5 dan titik

1, 3 . Maka, , 1 8 √65.

0,5 0 5,1 3 5,4

1, 3 1 3,1 3 2,4

Maka, , 7 0 √49 7

Padahal diketahui , √65 7. Sehingga , , .

Karena ada ada A, B ∈ yang menyebabkan , , maka

dapat disimpulkan bahwa, ϕ tidak isometri. •

Selanjutnya, contoh 3.1.7 merupakan contoh isometri pada bidang Poincaré.

Contoh 3.1.7

Fungsi : yang ditunjukkan oleh , 2 , 2 adalah isometri dalam { , L H}.

Bukti:

Ada 2 kemungkinan jarak dalam bidang Poincaré:

Jika maka ,

Jika P dan Q berada pada cLr maka ,

Kemungkinan pertama

Misalkan titik A (a,b) dan B (a,c) dengan a,b,c ∈ .

Karena maka , .

Sekarang, karena , 2 , 2 maka:

, 2 , 2

Sehingga, , .

Akibatnya, , , .

Kemungkinan kedua

Misalkan titik A (a,b) dan B (p,q) dengan a, b, p, q ∈ dan A dan B pada cLr.

Sehingga ,

Selanjutnya, karena , 2 , 2 maka:

, 2 , 2

Diketahui bahwa dan . Sehingga,

4 4 4 4

2 2 2

2 2 4 2 2

Sehingga, , .

Akibatnya, , , .

Karena untuk kedua kemungkinan mengakibatkan , , , maka menurut definisi 3.1.2 dapat disimpulkan bahwa ϕ isometri. •

Telah diketahui bahwa isometri mempertahankan jarak. Konsep yang berkaitan dengan jarak antara lain adalah keantaraan. Perlu diingat kembali tentang konsep keantaraan pada subbab 2.5.

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa isometri dalam geometri netral akan mempertahankan keantaraan. Lemma 3.1.3 berikut membuktikan hal tersebut.

Lemma 3.1.3 (Millman & Parker,1991:289)

Isometri dalam Geometri Netral mempertahankan keantaraan. Lebih tepatnya jika {I , L , d} adalah Geometri Metrik, jika {I ’ , L ’ , d’ , m’}

adalah Geometri Netral, jika ϕ : S → S ’ adalah sebuah isometri, dan jika A, B, dan C adalah titik-titik pada S dengan A – B – C maka ϕA - ϕB - ϕC.

Selanjutnya jika l ∈ L maka untuk suatu l’ ∈ L ’.

Bukti:

Jika A, B, C dalam S dan A – B – C maka A, B, C segaris dan ,

, , .

Karena ϕ isometri, maka , , , , , , dan

, , .

Maka dari itu, , , , . Berdasarkan definisi

2.5.1, akibatnya ϕA - ϕB - ϕC.

Misalkan dan . Jika dan , maka

, atau . Berdasarkan bagian pertama pada pembuktian, maka ϕD - ϕA - ϕB, ϕA - ϕD - ϕB, atau ϕA - ϕB - ϕD. Sehingga pada setiap kasus dan .

Lemma 3.1.3 menyatakan bahwa isometri mempertahankan keantaraan.

Sehingga apabila terdapat tiga titik A, B, C dimana B berada di antara A dan C, dikenai fungsi ϕ yang isometri, maka bayangan B juga berada di antara bayangan A dan bayangan C.

Untuk memperjelas mengenai Lemma 3.1.3, perhatikan contoh berikut.

Contoh 3.1.8 merupakan contoh pada bidang Euclid, sedangkan contoh 3.1.9 merupakan contoh pada bidang Poincaré.

Contoh 3.1.8

Dari contoh 3.1.5, diketahui fungsi : oleh , 2, 3 isometri. Misalkan titik-titik 2,3 , 2,0 , 2,1 pada dimana

A – B – C , maka ϕA – ϕB – ϕC.

Bukti:

, 2, 3 , sehingga

2,3 4,6

2,0 4,3

2,1 4,2

Diperoleh tiga titik hasil dari ϕ, yaitu 4,6 , 4,3 , dan 4,2 . Selanjutnya dicari jarak Euclid yang diberikan oleh definisi 2.4.2.

Sehingga diperoleh:

, √0 9 3

, √0 1 1

, √0 16 4

, , 3 1 4 ,

Sehingga dapat disimpulkan , , , .

Akibatnya, berdasarkan definisi 2.5.1, maka ϕA – ϕB – ϕC. •

Contoh 3.1.9

Dari contoh 3.1.7, diketahui bahwa fungsi : yang ditunjukkan oleh , 2 , 2 adalah isometri dalam { , L H}. Titik-titik ,^√ ,

0,1 , dan ,^√ dalam 0L1 mengakibatkan .

Bukti:

Pertama-tama harus dibuktikan . Untuk itu harus dicari jarak Poincaré untuk:

12 0 1

√32

0 0 1

√32

√3 √3

Sehingga, berdasarkan definisi 2.5.1, maka berarti .

Selanjutnya, karena , 2 , 2 maka:

1 0 2

1 √30 2

√3

3 3

, , √3 √3 3 ,

Akibatnya, menurut definisi 2.5.1, . •

Selanjutnya lemma berikut ini membuktikan bahwa bayangan dari sebuah garis adalah sebuah garis. Lemma ini nantinya akan berguna dalam pembuktian bahwa jika ϕ isometri maka pastilah ϕ kolineasi dalam geometri netral. Untuk itu, perhatikan lemma 3.1.4 berikut ini.

Lemma 3.1.4 (Millman & Parker, 1991:289)

Jika {S , L , d} adalah Geometri Metrik, jika {S ’, L ’, d’, m’} adalah Geometri Netral, dan jika ϕ : S → S ’ adalah isometri, maka bayangan garis S menurut ϕ adalah garis S ’.

Bukti:

Karena , cukup kita buktikan bahwa untuk

semua .

Misal f adalah garis untuk dengan daerah asal A dan B positif. Misal f’

adalah garis untuk dengan daerah asal dan positif.

Jika maka 0. Ada titik tertentu dengan

. Kita katakan .

Sekarang, , , | | (3-9)

Di sisi lain , | | | | (3-10)

Mengakibatkan . Jika dapat ditunjukkan bahwa 0 maka pastilah D’.

Jika atau maka atau .

Jika atau maka menurut Lemma 3.1.3,

atau . Pada semua kasus maka

0. Akibatnya dan . Selanjutnya .

Lemma 3.1.4 menunjukkan bahwa bayangan dari garis oleh ϕ adalah garis. Untuk lebih memahami Lemma 3.1.4, perhatikan contoh 3.1.10 berikut.

Contoh 3.1.10

Misalkan : dengan , , merupakan isometri. Terdapat garis yang melalui titik-titik 0,2 dan 2,0 dimana A,B maka terdapat garis .

Bukti:

Garis melalui 0,2 dan 2,0 sehingga persamaan 2.

Karena , , maka 0,2 2,0 dan 2,0 0, 2 .

Garis melalui 2,0 dan 0, 2 sehingga persamaan garis 2.

Persamaan garis jika dikenai fungsi akan diperoleh persamaan

bayangan , diperoleh 2 2.

Sehingga diperoleh bayangan garis 2.

Sedangkan garis bayangan 2.

Sehingga diperoleh . •

Selanjutnya akan diberikan lemma yang menyatakan isometri mempertahankan titik-titik yang tidak segaris tetap tidak segaris. Lemma 3.1.5 akan membuktikan hal tersebut.

Lemma 3.1.5 (Millman & Parker,1991:290)

Jika ϕ : S → S ’ adalah isometri dalam Geometri Netral dan A, B, C adalah titik-titik yang tidak segaris pada S , maka , , merupakan titik-titik yang tidak segaris pada S ’.

Bukti

Jika A, B, C adalah titik-titik yang tidak segaris dalam geometri netral

(gambar 3.3 (a)), maka tidak memenuhi definisi keantaraan, sehingga:

, , ,

Karena ϕ isometri, maka , , , , , dan

, , . Berarti:

, , , , , ,

Sehingga diperoleh, , , , .

Analog dengan pembuktian di atas, maka:

, , ,

Karena tidak memenuhi definisi 2.5.1, maka , , tidak segaris.

(a) (b)

Gambar 3.3 Ilustrasi pembuktian Lemma 3.1.5

Gambar 3.3 (a) merupakan gambar titik A, B, dan C yang tidak segaris. Titik A, B, C yang tidak segaris ini akan membentuk segitiga ∆ . Gambar 3.3 (b) merupakan ilustrasi titik , , yang segaris.

ϕA ϕA

ϕA ϕB

ϕB

ϕB ϕC

ϕC

Lemma 3.1.5 telah membuktikan bahwa isometri mempertahankan titik-titik yang tidak segaris tetap tidak segaris. Untuk memperjelas isi lemma 3.1.5, perhatikan contoh 3.1.11 berikut.

Contoh 3.1.11

Diketahui : dengan , 1, 1 merupakan isometri.

Jika diketahui titik-titik 1,1 , 11,1 , 11,6 maka ϕA,ϕB, dan ϕC tidak segaris.

Bukti:

Diketahui , 1, 1 sehingga 1,1 0,0 ,

11,1 12,0 dan 11,6 12,5 .

Sehingga diperoleh 0,0 , 12,0 dan 12,5 (perhatikan gambar 3.4)

Selanjutnya, dicari jarak masing-masing titik,diperoleh:

, √144 0 √144 12

, √0 25 √13 5

, √144 25 √169 13

Ada tiga kombinasi:

9 , , 12 5 17 13 maka ,

, , .

9 , , 5 13 18 12 maka ,

, , .

9 , , 12 13 25 5 maka ,

, , .

Sehingga tidak ada satupun kombinasi di atas yang menyebabkan jumlahan dua jarak sama dengan jarak yang lain. Sehingga , , tidak segaris. •

Gambar 3.4 Ilustrasi contoh 3.1.9

Gambar 3.4 (a) merupakan ilustrasi titik A, B, C pada contoh 3.1.9 pada koordinat kartesius. Dari gambar terlihat bahwa A, B, C merupakan titik-titik yang tidak segaris. Sedangkan gambar 3.4 (b) merupakan ilustrasi untuk

, , pada koordinat kartesius. Dari gambar terlihat bahwa titik-titik , , tidak segaris.

3.2 PENGARUH ISOMETRI TERHADAP UKURAN SUDUT

Pada bagian 3.1 telah telah dijelaskan bahwa isometri mempertahankan garis. Sekarang dibuktikan pengaruh isometri pada sudut-sudut dalam sebuah

A(-1,1)

C(11,6)

B(11,1)

ϕA(0,0) ϕB(12,0) ϕC(12,5)

y y

(a) (b)

segitiga. Akan ditunjukkan bahwa isometri mempertahankan ukuran sudut.

Perlu diketahui, ukuran sudut yang digunakan adalah derajat (contoh: ukuran sudut siku-siku adalah 90°).

Berikut ini diberikan definisi mengenai mempertahankan ukuran sudut.

Definisi 3.2.1 (Millman & Parker, 1991:290)

Fungsi ϕ : S → S ’ pada Geometri Protraktor dikatakan mempertahankan sudut siku-siku jika adalah sudut siku-siku dalam S ’ apabila

adalah sudut siku-siku pada S .

ϕ mempertahankan ukuran sudut jika untuk setiap dalam S^,

dimana m adalah ukuran pada S dan m’

adalah ukuran sudut pada S ’ . ]

Definisi 3.2.1 menyatakan dua hal:

1) ϕ dikatakan mempertahankan sudut siku-siku jika suatu sudut siku-siku dikenai fungsi ϕ hasilnya tetaplah sudut siku-siku.

2) ϕ mempertahankan ukuran sudut bila suatu sudut dengan ukuran m dikenai fungsi ϕ hasilnya adalah sudut dengan ukuran m juga.

Berikut ini diberikan lemma yang menyatakan bahwa isometri dalam geometri netral mempertahankan sudut siku-siku.

Lemma 3.2.1 (Millman & Parker, 1991:290)

Jika ϕ : S → S ’ adalah isometri pada Geometri Netral maka ϕ mempertahankan sudut siku-siku.

Bukti:

Misalkan adalah sudut siku-siku pada S . kita harus menunjukkan bahwa adalah sudut siku-siku.

Kita misalkan D adalah titik tertentu sedemikian hingga dan seperti pada gambar 3.5 (a). Maka (SAS).

Akibatnya, . Karena ϕ mempertahankan jarak, kita dapatkan:

, ,

sehingga ∆ ∆ (SSS) seperti pada gambar 3.5 (b).

Karena ∆ ∆ aka . Karena

, dan merupakan bentuk linear dari sudut yang kongruen, akibatnya dan masing-masing adalah segitiga siku-siku.

(a) (b)

Gambar 3.5 Ilustrasi pembuktian Lemma 3.2.1

ϕA

ϕD

ϕB

ϕC

D B C

Lemma 3.2.1 telah membuktikan bahwa isometri dalam geometri netral mempertahankan sudut siku-siku. Artinya, jika adalah segitiga siku-siku dan isometri, maka merupakan segitiga siku-siku juga.

Selanjutnya, untuk lebih memahami lemma 3.2.1, perhatikan contoh 3.2.1 berikut ini.

Contoh 3.2.1

Isometri : dengan , , . Titik-titik 1,5 , 1,2 dan 5,2 merupakan titik-titik sudut pada ∆ dimana adalah segitiga siku-siku. Akibatnya, merupakan segitiga siku-siku.

Bukti:

Perhatikan gambar 3.6 (a). Dari gambar tampak bahwa ∆ adalah segitiga

siku-siku dengan , √9 3, , √16 4 dan

, √16 9 √25 5.

Sekarang perhatikan gambar 3.6 (b). Dari gambar tampak ∆ .

, √9 3, , √16 4 dan

, √9 16 √25 5.

Tampak bahwa 3, 4, dan 5.

Sehingga ∆ ∆ (SSS). Akibatnya, 90^°.

(a) (b) Gambar 3.6 Ilustrasi pembuktian contoh 3.2.1

Dalam pembicaraan mengenai sudut, maka juga akan terkait dengan interior sudut. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa isometri mempertahankan titik dalam interior sudut.

Lemma 3.2.2 (Millman & Parker,1991:291)

Jika ϕ : S → S ’ adalah isometri pada Geometri Netral dan int

maka int .

Bukti:

Diketahui int , sedemikian hingga . Karena ϕ

isometri, maka menurut lemma 3.1.3, maka . Karena ϕ isometri, maka:

, , , , , , , , ,

, , dan , , . Perhatikan gambar 3.7 (a)

dan (b).

A (1,5)

B (1,2) C (5,2) y

ϕA (5,1) ϕB (2,1)

ϕC (2,5) y

Perhatikan ∆ pada gambar (a) dan ∆ pada gambar (b). Karena

, , , , , , dan , , ,

maka ∆ ∆ (SSS). Akibatnya, .

Sekarang perhatikan ∆ pada gambar (a) dan ∆ pada gambar

(b). Karena , , , , , , dan

, , , maka ∆ ∆ (SSS). Akibatnya,

Kita dapatkan .

Padahal, dan

. Akibatnya, . Ini berarti

mempertahankan menjadi .

Berdasarkan definisi 2.10.1, karena

, maka dapat disimpulkan int .

(a) (b)

Gambar 3.7 Ilustrasi pembuktian Lemma 3.2.2 A

C D

ϕB

ϕA

ϕC ϕD

α α

β β

Lemma 3.2.2. mengatakan bahwa apabila terdapat satu titik yang berada dalam interior sudut, maka bila dikenai fungsi ϕ yang isomteri hasilnya titik tersebut tetap dalam interior sudut hasil. Agar lebih memahami lemma 3.2.2, perhatikan contoh 3.2.2 berikut ini.

Contoh 3.2.2

Isometri : dengan , , , Titik-titik 1,5 , 1,2 dan 5,2 merupakan titik-titik sudut pada ∆ dan titik 2,3 sedemikian

hingga maka .

Bukti:

, , , maka 1,5 5,1 , 1,2 2,1 , 5,2

2,5 , dan 2,3 3,2 . Titik-titik koordinat ini bila digambarkan dalam koordinat kartesius menjadi gambar 3.8.

Dari gambar terlihat bahwa .

(a) (b)

Gambar 3.8 Ilustrasi pembuktian contoh 3.2.2 x

•

B (1,2) C (5,2)

•

A (1,5)

D (2,3)

ϕB (2,1) ϕD (3,2) ϕC (2,5)

ϕA (1,5)

Gambar 3.8 merupakan ilustrasi untuk contoh 3.2.2. Gambar 3.8 (a) merupakan ∆ dengan . Sedangkan gambar 3.8 (b)

merupakan ∆ dengan . •

Dalam pembicaraan mengenai sudut dalam geometri, dikenal istilah garis bagi. Garis bagi merupakan garis yang membagi sudut menjadi dua sama besar. Selanjutnya akan dibuktikan garis bagi sudut dikenai fungsi isometri akan merupakan garis bagi untuk sudut hasil petanya.

Lemma 3.2.3 (Millman & Parker,1991:291)

Misalkan ϕ : S → S ’ adalah isometri pada Geometri Netral. Jika adalah garis bagi pada S maka adalah garis bagi . Bukti:

Kita asumsikan bahwa .

Berdasarkan teorema Crossbar, membagi dua pada titik E. lihat gambar 3.9 (a). merupakan garis bagi , sehingga .

Maka (SAS), maka .

Karena ϕ mempertahankan jarak, (SSS). Maka

. Karena ,

dan membagi dua . Sekarang

. Akibatnya membagi dua .

(a) (b)

Gambar 3.9 Ilustrasi pembuktian lemma 3.2.3

Untuk memperjelas isi lemma 3.2.3, perhatikan contoh 3.2.3 berikut ini.

Contoh 3.2.3

Diketahui dengan 1,1 , 0,0 , dan 1,1 . Garis 0 merupakan garis bagi . Jika : dengan , , maka garis 0 merupakan garis bagi .

Bukti:

Perhatikan gambar 3.10 (a). Gambar 3.10 (a) merupakan ilustrasi .

Karena , , maka:

1,1 1, 1 , 0,0 0,0 , dan 1,1 1,1 .

C E

ϕA

ϕB

ϕE ϕC ϕD

γ γ

Ilustrasi adalah gambar 3.10 (b). Diketahui garis 0 (sumbu y) merupakan garis bagi . Garis 0. Sehingga garis 0 (sumbu x) merupakan garis bagi dari .

(a) (b)

Gambar 3.10 Ilustrasi pembuktian contoh 3.2.3

Berikut diberikan lemma yang menunjukkan isometri mempertahankan ukuran sudut tertentu.

Lemma 3.2.4 (Millman & Parker, 1991:291)

Misalkan ϕ : S → S ’ adalah isometri pada Geometri Netral. Jika

untuk semua 0 maka juga.

Bukti:

Diasumsikan 90^°. Lihat gambar 3.11 (a). Misalkan adalah garis bagi . Karena ϕ adalah isometri pada geometri netral, maka menurut lemma 3.2.3, merupakan garis bagi (gambar 3.11 (b)).

Bila setiap sudut yang telah dibagi kemudian dibagi lagi terus-menerus hingga q kali, maka didapat (membagi q kali sudut siku-siku hingga diperoleh ).

Berdasarkan lemma 3.2.1, maka ϕ mempertahankan sudut siku-siku.

Sehingga bila garis bagi membagi q kali hingga diperoleh , maka begitu pula membagi q kali sehingga diperoleh . Sehingga

juga.

Gambar 3.11 Ilustrasi pembuktian lemma 3.2.4

Gambar 3.11 memperlihatkan ilustrasi pembuktian untuk lemma 3.2.4.

Gambar 3.11 (a) memperlihatkan bahwa merupakan sudut siku-siku.

merupakan garis bagi . Sehingga diperoleh

. Terlihat bahwa terdapat 1 garis bagi, 2 sudut yang sama besar, dan q = 1.

Gambar 3.11 (b) menunjukkan merupakan peta dari juga sudut siku-siku. merupakan garis bagi . Sehingga diperoleh

Gambar 3.11 (c) menunjukkan dengan 90^°. merupakan garis bagi , sehingga diperoleh

. Selanjutnya, dibuat garis bagi pada dan pada . Sehingga diperoleh

. Kemudian dibuat dibuat garis bagi pada , garis bagi

pada , garis bagi pada , dan garis bagi pada . Sehingga diperoleh

. Terlihat bahwa terdapat 8 sudut dengan ukuran sama, terdapat 7 garis bagi, dan q = 3.

Gambar 3.11 (d) merupakan dengan q = 3.

Lemma 3.2.4 mengatakan bahwa isometri mempertahankan ukuran sudut tertentu. Artinya bila diketahui ukuran suatu sudut tertentu adalah , maka sudut hasil petanya tetaplah .

Untuk lebih memahami lemma 3.2.4, perhatikan contoh 3.2.4 berikut ini.

Contoh 3.2.4

Diketahui : dengan , 1, 1 isometri dan

90^°. Garis merupakan garis bagi sehingga membagi

menjadi dan . Kemudian dibuat lagi garis bagi yang

membagi menjadi dan , maka

22,5^°.

Bukti:

Diketahui bahwa 90^°. Perhatikan gambar 3.12 (a). Karena merupakan garis bagi , maka

45^°. Karena merupakan garis bagi , maka

° ° °

22,5^°.

Selanjutnya, perhatikan gambar 3.12 (b). merupakan garis bagi

padahal sehingga

22,5^°. •

(a) (b) Gambar 3.12 Ilustrasi pembuktian contoh 3.2.4

Selanjutnya, perhatikan lemma 3.2.5 berikut. Lemma 3.2.5 membuktikan bahwa isometri mempertahankan besar sudut .

Lemma 3.2.5 (Millman & Parker,1991:292)

Jika ϕ : S → S ’ adalah isometri pada Geometri Netral dan

Dengan penjumlahan sudut diperoleh:

∑ ·

Gambar 3.13 Ilustrasi pembuktian lemma 3.2.5

Setelah pembahasan mengenai ukuran sudut yang khusus, sekarang akan dibuktikan isometri mempertahankan ukuran sudut secara umum.

Berikut diberikan teorema yang membuktikan bahwa isometri mempertahankan ukuran sudut pada geometri netral.

Teorema 3.2.6 (Millman & Parker, 1991:292)

Isometri ϕ : S → S ’ pada geometri netral mempertahankan ukuran sudut.

Bukti:

Jika q adalah bilangan bulat yang cukup besar, maka kita akan menemukan sebuah bilangan bulat p dengan 0 2 yang mana:

0 180 (1-7)

Jika 90 2⁄ diselesaikan dengan Lemma 4.1.13. Sebaliknya

bila memuat titik-titik D dan E dengan , ,

90 2⁄ , dan 90 1 2⁄ . Lihat gambar 3.14.

A = =C

………

Gambar 3.14 Ilustrasi pembuktian teorema 3.2.6

Maka sehingga dan

0 180 (1-8)

Dengan mengurangkan pertidaksamaan (1-8) dari pertidaksamaan (1-7) kita peroleh

| | 90

Karena pertidaksamaan ini benar untuk semua nilai bilangan bulat q yang cukup besar, maka kita dapatkan

Berdasarkan definisi 2.1.2, maka ϕ mempertahankan ukuran sudut.

Lemma 3.2.6 telah membuktikan bahwa isometri mempertahankan ukuran sudut. Untuk dapat memahami lemma 3.2.6, perhatikan contoh 3.2.6 berikut.

Contoh 3.2.6

Diketahui : dengan , 1, 1 isometri. Titik-titik

1,5 , 1,2 dan 5,2 dan ^°maka ^°.

A B

C D

Bukti:

∆ ∆ (SSS). Akibatnya, ,

, dan . Sehingga

°.

(a) (b)

Gambar 3.15 Ilustrasi pembuktian contoh 3.2.6

Gambar 3.15 (a) merupakan ilustrasi ∆ , sedangkan gambar 3.15 (b) merupakan ilustrasi ∆ . Dari gambar terlihat bahwa kedua segitiga

tersebut kongruen. •

Selanjutnya, teorema 3.2.6 menimbulkan suatu akibat ukuran sudut dalam geometri netral adalah tunggal.

Akibat 3.2.7 (Millman & Parker, 1991:293)

Jika {S , L , d} adalah Geometri Pasch maka ada paling banyak satu ukuran (derajat) m yang mana {S , L , d , m} adalah Geometri Netral.

2,4

2,1 6,1

1,5

1,2 5,2

Bukti:

Diandaikan bahwa {S , L , d, m} dan {S , L , d, m’} adalah Geometri Netral.

Fungsi ϕ : S → S ’ yang diberikan oleh untuk semua P∈ S adalah sebuah isometri. Mengakibatkan

untuk setiap . Akibatnya .

Sebelum membuktikan isometri adalah kolineasi, akan dibuktikan dulu bahwa isometri dalam geometri netral adalah fungsi surjektif, karena fungsi dikatakan bijektif bila surjektif dan injektif. Lemma 3.2.8 berikut ini membuktikan isometri bersifat surjektif.

Lemma 3.2.8 (Millman & Parker,1991:293)

Jika ϕ : S → S ’ adalah isometri pada Geometri Netral, maka ϕ adalah fungsi surjektif.

Bukti:

Misalkan D’ ∈ S ’ dan misalkan A, B adalah dua titik dalam S . Jika

∈φAφB maka untuk beberapa ∈AD oleh Lemma 3.1.4.

asumsikan φAφB dan pilih P, Q pada sisi berlawanan dari dengan

dan , ,

, seperti pada gambar 3.16 berikut.

Maka

Sehingga dan adalah dua titik pada S ’ yang mana jarak dari adalah , dan

. Akibatnya, atau dan .

Karena itu, maka surjektif.

Setelah dibuktikan bahwa isometri merupakan fungsi surjektif, maka selanjutnya akan dibuktikan bahwa isometri pada geometri netral merupakan kolineasi.

Teorema 3.2.9 (Millman & Parker,1991:293)

Isometri ϕ : S → S ’ pada Geometri Netral adalah sebuah Kolineasi.

Bukti:

Pertama-tama, kita harus membuktikan bahwa ϕ adalah fungsi injektif.

Misalkan P, Q ∈ S dimana . Karena ϕ merupakan fungsi dari S ke

S ‘ maka kita dapatkan , S ‘ yang merupakan peta dari P dan Q.

Karena , maka akan terdapat jarak, yaitu , . Karena ϕ isometri, maka , , . karena terdapat jarak antara dan maka berarti . Karena dan kita peroleh , maka ϕ injektif.

Berdasarkan pembuktian di atas, ϕ injektif dan berdasarkan lemma 3.2.8, ϕ surjektif, sehingga ϕ bijektif. Dari lemma 3.1.4, diketahui bahwa isometri

Dalam dokumen TRI. Skripsi. Pendidikann Matematika. Program Studi. Oleh: NIM: YOGYAKARTA (Halaman 66-0)