BAB III: KOLINEASI DAN ISOMETRI
3.2 Pengaruh Isometri terhadap Ukuran Sudut
9 , , 12 13 25 5 maka ,
, , .
Sehingga tidak ada satupun kombinasi di atas yang menyebabkan jumlahan dua jarak sama dengan jarak yang lain. Sehingga , , tidak segaris. •
Gambar 3.4 Ilustrasi contoh 3.1.9
Gambar 3.4 (a) merupakan ilustrasi titik A, B, C pada contoh 3.1.9 pada koordinat kartesius. Dari gambar terlihat bahwa A, B, C merupakan titik-titik yang tidak segaris. Sedangkan gambar 3.4 (b) merupakan ilustrasi untuk
, , pada koordinat kartesius. Dari gambar terlihat bahwa titik-titik , , tidak segaris.
3.2 PENGARUH ISOMETRI TERHADAP UKURAN SUDUT
Pada bagian 3.1 telah telah dijelaskan bahwa isometri mempertahankan garis. Sekarang dibuktikan pengaruh isometri pada sudut-sudut dalam sebuah
A(-1,1)
C(11,6)
B(11,1)
ϕA(0,0) ϕB(12,0) ϕC(12,5)
y y
x
x
(a) (b)
segitiga. Akan ditunjukkan bahwa isometri mempertahankan ukuran sudut.
Perlu diketahui, ukuran sudut yang digunakan adalah derajat (contoh: ukuran sudut siku-siku adalah 90°).
Berikut ini diberikan definisi mengenai mempertahankan ukuran sudut.
Definisi 3.2.1 (Millman & Parker, 1991:290)
Fungsi ϕ : S → S ’ pada Geometri Protraktor dikatakan mempertahankan sudut siku-siku jika adalah sudut siku-siku dalam S ’ apabila
adalah sudut siku-siku pada S .
ϕ mempertahankan ukuran sudut jika untuk setiap dalam S ,
dimana m adalah ukuran pada S dan m’
adalah ukuran sudut pada S ’ . ]
Definisi 3.2.1 menyatakan dua hal:
1) ϕ dikatakan mempertahankan sudut siku-siku jika suatu sudut siku-siku dikenai fungsi ϕ hasilnya tetaplah sudut siku-siku.
2) ϕ mempertahankan ukuran sudut bila suatu sudut dengan ukuran m dikenai fungsi ϕ hasilnya adalah sudut dengan ukuran m juga.
Berikut ini diberikan lemma yang menyatakan bahwa isometri dalam geometri netral mempertahankan sudut siku-siku.
Lemma 3.2.1 (Millman & Parker, 1991:290)
Jika ϕ : S → S ’ adalah isometri pada Geometri Netral maka ϕ mempertahankan sudut siku-siku.
Bukti:
Misalkan adalah sudut siku-siku pada S . kita harus menunjukkan bahwa adalah sudut siku-siku.
Kita misalkan D adalah titik tertentu sedemikian hingga dan seperti pada gambar 3.5 (a). Maka (SAS).
Akibatnya, . Karena ϕ mempertahankan jarak, kita dapatkan:
, ,
sehingga ∆ ∆ (SSS) seperti pada gambar 3.5 (b).
Karena ∆ ∆ aka . Karena
, dan merupakan bentuk linear dari sudut yang kongruen, akibatnya dan masing-masing adalah segitiga siku-siku.
(a) (b)
Gambar 3.5 Ilustrasi pembuktian Lemma 3.2.1
ϕA
ϕD
ϕB
ϕC
D B C
A
Lemma 3.2.1 telah membuktikan bahwa isometri dalam geometri netral mempertahankan sudut siku-siku. Artinya, jika adalah segitiga siku-siku dan isometri, maka merupakan segitiga siku-siku juga.
Selanjutnya, untuk lebih memahami lemma 3.2.1, perhatikan contoh 3.2.1 berikut ini.
Contoh 3.2.1
Isometri : dengan , , . Titik-titik 1,5 , 1,2 dan 5,2 merupakan titik-titik sudut pada ∆ dimana adalah segitiga siku-siku. Akibatnya, merupakan segitiga siku-siku.
Bukti:
Perhatikan gambar 3.6 (a). Dari gambar tampak bahwa ∆ adalah segitiga
siku-siku dengan , √9 3, , √16 4 dan
, √16 9 √25 5.
Sekarang perhatikan gambar 3.6 (b). Dari gambar tampak ∆ .
, √9 3, , √16 4 dan
, √9 16 √25 5.
Tampak bahwa 3, 4, dan 5.
Sehingga ∆ ∆ (SSS). Akibatnya, 90°.
(a) (b) Gambar 3.6 Ilustrasi pembuktian contoh 3.2.1
Dalam pembicaraan mengenai sudut, maka juga akan terkait dengan interior sudut. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa isometri mempertahankan titik dalam interior sudut.
Lemma 3.2.2 (Millman & Parker,1991:291)
Jika ϕ : S → S ’ adalah isometri pada Geometri Netral dan int
maka int .
Bukti:
Diketahui int , sedemikian hingga . Karena ϕ
isometri, maka menurut lemma 3.1.3, maka . Karena ϕ isometri, maka:
, , , , , , , , ,
, , dan , , . Perhatikan gambar 3.7 (a)
dan (b).
A (1,5)
B (1,2) C (5,2) y
x
ϕA (5,1) ϕB (2,1)
ϕC (2,5) y
x
Perhatikan ∆ pada gambar (a) dan ∆ pada gambar (b). Karena
, , , , , , dan , , ,
maka ∆ ∆ (SSS). Akibatnya, .
Sekarang perhatikan ∆ pada gambar (a) dan ∆ pada gambar
(b). Karena , , , , , , dan
, , , maka ∆ ∆ (SSS). Akibatnya,
.
Kita dapatkan .
Padahal, dan
. Akibatnya, . Ini berarti
mempertahankan menjadi .
Berdasarkan definisi 2.10.1, karena
, maka dapat disimpulkan int .
(a) (b)
Gambar 3.7 Ilustrasi pembuktian Lemma 3.2.2 A
B
C D
ϕB
ϕA
ϕC ϕD
α α
β β
Lemma 3.2.2. mengatakan bahwa apabila terdapat satu titik yang berada dalam interior sudut, maka bila dikenai fungsi ϕ yang isomteri hasilnya titik tersebut tetap dalam interior sudut hasil. Agar lebih memahami lemma 3.2.2, perhatikan contoh 3.2.2 berikut ini.
Contoh 3.2.2
Isometri : dengan , , , Titik-titik 1,5 , 1,2 dan 5,2 merupakan titik-titik sudut pada ∆ dan titik 2,3 sedemikian
hingga maka .
Bukti:
, , , maka 1,5 5,1 , 1,2 2,1 , 5,2
2,5 , dan 2,3 3,2 . Titik-titik koordinat ini bila digambarkan dalam koordinat kartesius menjadi gambar 3.8.
Dari gambar terlihat bahwa .
(a) (b)
Gambar 3.8 Ilustrasi pembuktian contoh 3.2.2 x
x
•
B (1,2) C (5,2)
•
A (1,5)
D (2,3)
ϕB (2,1) ϕD (3,2) ϕC (2,5)
ϕA (1,5)
Gambar 3.8 merupakan ilustrasi untuk contoh 3.2.2. Gambar 3.8 (a) merupakan ∆ dengan . Sedangkan gambar 3.8 (b)
merupakan ∆ dengan . •
Dalam pembicaraan mengenai sudut dalam geometri, dikenal istilah garis bagi. Garis bagi merupakan garis yang membagi sudut menjadi dua sama besar. Selanjutnya akan dibuktikan garis bagi sudut dikenai fungsi isometri akan merupakan garis bagi untuk sudut hasil petanya.
Lemma 3.2.3 (Millman & Parker,1991:291)
Misalkan ϕ : S → S ’ adalah isometri pada Geometri Netral. Jika adalah garis bagi pada S maka adalah garis bagi . Bukti:
Kita asumsikan bahwa .
Berdasarkan teorema Crossbar, membagi dua pada titik E. lihat gambar 3.9 (a). merupakan garis bagi , sehingga .
Maka (SAS), maka .
Karena ϕ mempertahankan jarak, (SSS). Maka
. Karena ,
dan membagi dua . Sekarang
. Akibatnya membagi dua .
(a) (b)
Gambar 3.9 Ilustrasi pembuktian lemma 3.2.3
Untuk memperjelas isi lemma 3.2.3, perhatikan contoh 3.2.3 berikut ini.
Contoh 3.2.3
Diketahui dengan 1,1 , 0,0 , dan 1,1 . Garis 0 merupakan garis bagi . Jika : dengan , , maka garis 0 merupakan garis bagi .
Bukti:
Perhatikan gambar 3.10 (a). Gambar 3.10 (a) merupakan ilustrasi .
Karena , , maka:
1,1 1, 1 , 0,0 0,0 , dan 1,1 1,1 .
A
B
D
C E
ϕA
ϕB
ϕE ϕC ϕD
γ γ
Ilustrasi adalah gambar 3.10 (b). Diketahui garis 0 (sumbu y) merupakan garis bagi . Garis 0. Sehingga garis 0 (sumbu x) merupakan garis bagi dari .
(a) (b)
Gambar 3.10 Ilustrasi pembuktian contoh 3.2.3
Berikut diberikan lemma yang menunjukkan isometri mempertahankan ukuran sudut tertentu.
Lemma 3.2.4 (Millman & Parker, 1991:291)
Misalkan ϕ : S → S ’ adalah isometri pada Geometri Netral. Jika
untuk semua 0 maka juga.
Bukti:
Diasumsikan 90°. Lihat gambar 3.11 (a). Misalkan adalah garis bagi . Karena ϕ adalah isometri pada geometri netral, maka menurut lemma 3.2.3, merupakan garis bagi (gambar 3.11 (b)).
Bila setiap sudut yang telah dibagi kemudian dibagi lagi terus-menerus hingga q kali, maka didapat (membagi q kali sudut siku-siku hingga diperoleh ).
Berdasarkan lemma 3.2.1, maka ϕ mempertahankan sudut siku-siku.
Sehingga bila garis bagi membagi q kali hingga diperoleh , maka begitu pula membagi q kali sehingga diperoleh . Sehingga
juga.
Gambar 3.11 Ilustrasi pembuktian lemma 3.2.4
Gambar 3.11 memperlihatkan ilustrasi pembuktian untuk lemma 3.2.4.
C
Gambar 3.11 (a) memperlihatkan bahwa merupakan sudut siku-siku.
merupakan garis bagi . Sehingga diperoleh
. Terlihat bahwa terdapat 1 garis bagi, 2 sudut yang sama besar, dan q = 1.
Gambar 3.11 (b) menunjukkan merupakan peta dari juga sudut siku-siku. merupakan garis bagi . Sehingga diperoleh
.
Gambar 3.11 (c) menunjukkan dengan 90°. merupakan garis bagi , sehingga diperoleh
. Selanjutnya, dibuat garis bagi pada dan pada . Sehingga diperoleh
. Kemudian dibuat dibuat garis bagi pada , garis bagi
pada , garis bagi pada , dan garis bagi pada . Sehingga diperoleh
. Terlihat bahwa terdapat 8 sudut dengan ukuran sama, terdapat 7 garis bagi, dan q = 3.
Gambar 3.11 (d) merupakan dengan q = 3.
Lemma 3.2.4 mengatakan bahwa isometri mempertahankan ukuran sudut tertentu. Artinya bila diketahui ukuran suatu sudut tertentu adalah , maka sudut hasil petanya tetaplah .
Untuk lebih memahami lemma 3.2.4, perhatikan contoh 3.2.4 berikut ini.
Contoh 3.2.4
Diketahui : dengan , 1, 1 isometri dan
90°. Garis merupakan garis bagi sehingga membagi
menjadi dan . Kemudian dibuat lagi garis bagi yang
membagi menjadi dan , maka
22,5°.
Bukti:
Diketahui bahwa 90°. Perhatikan gambar 3.12 (a). Karena merupakan garis bagi , maka
°
45°. Karena merupakan garis bagi , maka
° ° °
22,5°.
Selanjutnya, perhatikan gambar 3.12 (b). merupakan garis bagi
padahal sehingga
22,5°. •
(a) (b) Gambar 3.12 Ilustrasi pembuktian contoh 3.2.4
Selanjutnya, perhatikan lemma 3.2.5 berikut. Lemma 3.2.5 membuktikan bahwa isometri mempertahankan besar sudut .
Lemma 3.2.5 (Millman & Parker,1991:292)
Jika ϕ : S → S ’ adalah isometri pada Geometri Netral dan
Dengan penjumlahan sudut diperoleh:
∑ ·
Gambar 3.13 Ilustrasi pembuktian lemma 3.2.5
Setelah pembahasan mengenai ukuran sudut yang khusus, sekarang akan dibuktikan isometri mempertahankan ukuran sudut secara umum.
Berikut diberikan teorema yang membuktikan bahwa isometri mempertahankan ukuran sudut pada geometri netral.
Teorema 3.2.6 (Millman & Parker, 1991:292)
Isometri ϕ : S → S ’ pada geometri netral mempertahankan ukuran sudut.
Bukti:
Jika q adalah bilangan bulat yang cukup besar, maka kita akan menemukan sebuah bilangan bulat p dengan 0 2 yang mana:
0 180 (1-7)
Jika 90 2⁄ diselesaikan dengan Lemma 4.1.13. Sebaliknya
bila memuat titik-titik D dan E dengan , ,
90 2⁄ , dan 90 1 2⁄ . Lihat gambar 3.14.
A = =C
B
………
Gambar 3.14 Ilustrasi pembuktian teorema 3.2.6
Maka sehingga dan
0 180 (1-8)
Dengan mengurangkan pertidaksamaan (1-8) dari pertidaksamaan (1-7) kita peroleh
| | 90
2
Karena pertidaksamaan ini benar untuk semua nilai bilangan bulat q yang cukup besar, maka kita dapatkan
Berdasarkan definisi 2.1.2, maka ϕ mempertahankan ukuran sudut.
Lemma 3.2.6 telah membuktikan bahwa isometri mempertahankan ukuran sudut. Untuk dapat memahami lemma 3.2.6, perhatikan contoh 3.2.6 berikut.
Contoh 3.2.6
Diketahui : dengan , 1, 1 isometri. Titik-titik
1,5 , 1,2 dan 5,2 dan °maka °.
A B
C D
E
Bukti:
∆ ∆ (SSS). Akibatnya, ,
, dan . Sehingga
°.
(a) (b)
Gambar 3.15 Ilustrasi pembuktian contoh 3.2.6
Gambar 3.15 (a) merupakan ilustrasi ∆ , sedangkan gambar 3.15 (b) merupakan ilustrasi ∆ . Dari gambar terlihat bahwa kedua segitiga
tersebut kongruen. •
Selanjutnya, teorema 3.2.6 menimbulkan suatu akibat ukuran sudut dalam geometri netral adalah tunggal.
Akibat 3.2.7 (Millman & Parker, 1991:293)
Jika {S , L , d} adalah Geometri Pasch maka ada paling banyak satu ukuran (derajat) m yang mana {S , L , d , m} adalah Geometri Netral.
2,4
2,1 6,1
1,5
1,2 5,2
Bukti:
Diandaikan bahwa {S , L , d, m} dan {S , L , d, m’} adalah Geometri Netral.
Fungsi ϕ : S → S ’ yang diberikan oleh untuk semua P∈ S adalah sebuah isometri. Mengakibatkan
untuk setiap . Akibatnya .
Sebelum membuktikan isometri adalah kolineasi, akan dibuktikan dulu bahwa isometri dalam geometri netral adalah fungsi surjektif, karena fungsi dikatakan bijektif bila surjektif dan injektif. Lemma 3.2.8 berikut ini membuktikan isometri bersifat surjektif.
Lemma 3.2.8 (Millman & Parker,1991:293)
Jika ϕ : S → S ’ adalah isometri pada Geometri Netral, maka ϕ adalah fungsi surjektif.
Bukti:
Misalkan D’ ∈ S ’ dan misalkan A, B adalah dua titik dalam S . Jika
∈φAφB maka untuk beberapa ∈AD oleh Lemma 3.1.4.
asumsikan φAφB dan pilih P, Q pada sisi berlawanan dari dengan
dan , ,
, seperti pada gambar 3.16 berikut.
A
Maka
Sehingga dan adalah dua titik pada S ’ yang mana jarak dari adalah , dan
. Akibatnya, atau dan .
Karena itu, maka surjektif.
Setelah dibuktikan bahwa isometri merupakan fungsi surjektif, maka selanjutnya akan dibuktikan bahwa isometri pada geometri netral merupakan kolineasi.
Teorema 3.2.9 (Millman & Parker,1991:293)
Isometri ϕ : S → S ’ pada Geometri Netral adalah sebuah Kolineasi.
Bukti:
Pertama-tama, kita harus membuktikan bahwa ϕ adalah fungsi injektif.
Misalkan P, Q ∈ S dimana . Karena ϕ merupakan fungsi dari S ke
S ‘ maka kita dapatkan , S ‘ yang merupakan peta dari P dan Q.
Karena , maka akan terdapat jarak, yaitu , . Karena ϕ isometri, maka , , . karena terdapat jarak antara dan maka berarti . Karena dan kita peroleh , maka ϕ injektif.
Berdasarkan pembuktian di atas, ϕ injektif dan berdasarkan lemma 3.2.8, ϕ surjektif, sehingga ϕ bijektif. Dari lemma 3.1.4, diketahui bahwa isometri dalam geometri netral mempertahankan garis. Karena ϕ bijektif dan mempertahankan garis, maka ϕ kolineasi.
Lemma 3.2.9 memberikan suatu akibat setiap fungsi yang isometri pada geometri netral adalah kolineasi.
Akibat 3.2.10 (Millman & Parker,1991:294)
Misalkan ϕ : S → S’ isometri pada Geometri Netral dengan dirinya sendiri.
Maka ϕ-1 adalah isometri, ϕ mempertahankan besar sudut, dan ϕ merupakan kolineasi.
Bukti:
Diketahui ϕ adalah isometri pada geometri netral. Misalkan A, B ∈ S ,
Karena ϕ adalah fungsi dengan dirinya sendiri, maka dan .
Sehingga, , , . Sedangkan dan
. Jadi, , , . Sehingga ϕ-1 isometri.
Karena ϕ adalah isometri pada geometri netral, maka menurut teorema 3.2.6 maka ϕ mempertahankan ukuran sudut. Dan menurut teorema 3.2.9, ϕ kolineasi.
Berikut ini akan dibuktikan bahwa isometri dalam geometri netral memenuhi postulat kesejajaran Euclides.
Teorema 3.2.11 (Millman & Parker,1991:294)
Jika ϕ : S → S ’ merupakan isometri pada Geometri Netral maka S memenuhi EPP jika dan hanya jika S ’ juga memenuhi EPP.
Bukti:
Harus dibuktikan dua hal:
1. Jika ϕ : S → S ’ isometri dan S memenuhi EPP maka S ‘ memenuhi EPP
2. Jika ϕ : S → S ’ isometri dan S ‘ memenuhi EPP maka S memenuhi EPP
Pembuktian pertama
Misalkan S memenuhi EPP, maka untuk setiap garis l dan untuk setiap titik P, ada garis tertentu yang melalui P yang sejajar l (definisi 2.12.1). Misalkan dan (gambar 3.17 (a)) sedemikian hingga pada S . Misalkan dan tegak lurus dan . Akibatnya, , , . Telah diketahui bahwa jika ϕ isometri, maka ϕ kolineasi (teorema 3.2.9).
Berdasarkan definisi 3.1.1, karena ϕ kolineasi maka ϕ mempertahankan garis.
Karena ϕ kolineasi, maka dan pada S ‘. Kemudian diandaikan dan sedemikian hingga sedangkan
dan sedemikian hingga (gambar 3.17 (b)). Karena ϕ
isometri, maka , , , , , sehingga
dan tegak lurus dan . Akibatnya . Karena memuat maka S ‘ memanuhi definisi 2.12.1, sehingga S ‘ memenuhi EPP.
Pembuktian kedua
Diketahui S ‘ memenuhi EPP, sehingga untuk setiap garis dan untuk setiap titik , ada garis tertentu yang melalui yang sejajar (definisi 2.12.1).
Misalkan dan sedemikian hingga pada S ‘ dan dan tegak lurus dan sehingga , , . Telah diketahui bahwa jika ϕ isometri, maka ϕ kolineasi (teorema 3.2.9). Akibatnya, ϕ merupakan fungsi bijektif. Karena bijektif maka ϕ memiliki invers.
Sehingga, dimisalkan , , , dan
dimana , dan , sehingga dan .
Karena ϕ isometri, maka akan mempertahankan jarak antartitik dalam sebuah
garis. Sehingga, , , , , . Akibatnya
. Karena maka berarti memuat P. Akibatnya definisi 2.12.1 terpenuhi, sehingga S memenuhi EPP.
Berdasarkan pembuktian pertama dan kedua, maka teorema 3.2.11 terbukti.
(a) (b)
Gambar 3.17 Ilustrasi pembuktian Teorema 3.2.11 A
Teorema terakhir pada bagian ini akan membuktikan bahwa terdapat isometri pada geometri Euclides terhadap bidang Euclid.
Teorema 3.2.12 (Millman & Parker,1991:294)
Misal G = {S ,L ,d, m} adalah Geometri Euclides. Maka ada isometri ϕ : S → dari G dengan bidang Euclides E.
Bukti:
Misalkan A adalah titik pada S dan dan adalah dua garis yang
berpotongan di A. Pilih , , , . Misalkan f1
adalah sistem koordinat untuk dengan A sebagai daerah asal dan B positif.
Misalkan f2 adalah sistem koordinat untuk dengan A sebagai daerah asal dan C positif. f1 dan f2 akan digunakan untuk mendefinisikan ϕ.
Untuk masing-masing titik P ∈ S , misalkan P1 adalah kaki dari perpotongan
P dengan dan misalkan P2 adalah kaki dari perpotongan P dengan . Lihat gambar 3.17 berikut ini.
Gambar 3.18 Ilustrasi pembuktian Teorema 3.2.12 A
B
P1
P
P2
C
l1
l2
Definisi untuk ϕ : S → diberikan oleh
,
Untuk membuktikan bahwa ϕ adalah isometri, kita harus menunjukkan
bahwa , , .
Kita andaikan tidak sejajar dengan maupun .
Misalkan adalah garis yang melalui P sejajar dan garis yang melalui Q sejajar . Karena , kita peroleh dan
untuk suatu nilai R. Lihat gambar 3.18.
, | |
Gambar 3.19 Ilustrasi pembuktian Teorema 3.2.12
adalah persegi panjang. Sehingga:
, | |
P R
Q2 Q
P2 = R2
P1 R1 = Q1
l1
l2
m1
m2
Karena R1 = Q1 (Q dan R terletak pada garis m2 dan memotong l1 pada titik yang sama) dan R2 = P2, kita peroleh:
, | | dan , | |
Dengan Teorema Pythagoras diperoleh:
, , ,
,
, ,
Akibatnya, , ,
97
BAB IV
PENUTUP
4.1 KESIMPULAN
Berdasarkan hasil pembahasan, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:
1. Kolineasi merupakan fungsi bijektif yang mempertahankan garis.
mempertahankan garis berarti suatu fungsi menyebabkan garis dalam geometri insidensi tetaplah suatu garis dalam geometri insidensi.
Isometri merupakan suatu fungsi yang mempertahankan jarak.
Mempertahankan jarak berarti, bila diketahui dua titik yang berbeda dalam geometri netral dan artinya terdapat jarak antara dua titik tersebut, maka hasil titik-titik tersebut oleh fungsi ϕ juga memiliki jarak dan jaraknya itu sama dengan jarak titik asalnya.
Jika ϕ:S → S ‘ isometri pada geometri netral, maka memenuhi sifat:
a. Mempertahankan keantaraan. Artinya, jika B diantara A dan C maka diantara dan .
b. Titik-titik yang tidak segaris dipertahankan sebagai titik-titik yang tidak segaris. Artinya jika A, B, dan C merupakan titik-titik yang tidak segaris, maka , , juga merupakan titik-titik yang tidak segaris.
2. Isometri dalam geometri netral mempertahankan sudut siku-siku.
Artinya suatu segitiga siku-siku dipertahankan tetap merupakan sudut siku-siku oleh fungsi ϕ yang isometri.
Jika ϕ:S → S ‘ isometri pada geometri netral, maka memenuhi sifat:
a. Mempertahankan sudut siku-siku. Berarti bila merupakan sudut siku-siku, maka juga sudut siku-siku.
b. Jika maka .
c. Jika adalah garis bagi , maka adalah garis bagi .
d. Mempertahankan ukuran sudut.
e. Merupakan kolineasi.
4.2 SARAN
Untuk pembahasan selanjutnya, tulisan ini dapat dikembangkan mengenai teori isometri yang belum dibahas di sini, di antaranya grup isometri dan klasifikasi isometri, serta transformasi pada bidang Poincaré.
DAFTAR PUSTAKA
Byer,O. Lazebnik,F.,& Smeltzer,D.L. (2010). Methods for Euclidean Geometry.
USA: Mathematical Association of America,Inc.
Devlin,K. (2003). Sets, Functions, & Logic: an Introduction to Abstract Mathematics. Edisi ketiga. Boca Raton: Chapman & Hall.
Fitting,M.A. (1996). Introduction to Geometry. New York: The McGraw-Hill.
Giaquinta,M. & Giuseppe Medica. (2003). Mathematical Analysis: Function of One Variable. Boston: Birkhauser.
Millman,R.S. & Parker,G.D. (1991). Geometry:A Metric Approach with Models.
New York: Springer.
Prenowitz,W. & Jordan, M. (1965). Basic Concept of Geometry. Massachusetts:
Blaisdell Publishing Company.