Konstruktivisme Sosial
Dalam bab ini akan dikemukakan suatu filsafat baru matematika yang disebut "konstruktivisme sosial’. Tentu saja, karena menyangkut kisah filsafat matematika, bab ini lebih tentatif daripada yang sebelumnya itu, yang sebagian besar berkaitan dengan eksposisi (uraian) ide-ide mapan. Di sisi lain, tidak terlalu banyak kisah baru harus diklaim, karena konstruktivisme sosial ( sebagian besar adalah perluasan dan perpaduan pandangan matematika yang sudah ada sebelumnya, terutama mereka yang konvensionalis dan quasi-empirisisme.
Konstruktivisme Sosial memandang matematika sebagai konstruksi sosial. Hal ini mengacu pada sifat tradisional, dalam menerima kenyataan bahwa bahasa manusia, peraturan dan kesepakatan memainkan peran kunci dalam mengembangkan dan membenarkan kebenaran matematika. Diambil dari kuasi-empirisme, epistemologi fallibilist, termasuk pandangan bahwa pengetahuan dan konsep matematika berkembang dan berubah. Hal ini juga mengadopsi tesis filosofis Lakatos bahwa pengetahuan matematika tumbuh melalui dugaan (conjectures) dan penyangkalan (refutations), memanfaatkan logika pada penemuan matematika. konstruktivisme sosial adalah suatu deskriptif sebagai lawan dari filsafat preskriptif matematika, bertujuan untuk menjelaskan hakekat matematika dipahami secara luas, seperti pada kriteria kecukupan. Dasar untuk menggambarkan pengetahuan matematika sebagai konstruksi sosial dan untuk mengadopsi nama ini adalah tiga:
Dasar pengetahuan matematika adalah pengetahuan linguistik, kesepakatan (convention) dan aturan; sedangkan bahasa adalah konstruksi sosial,
Proses sosial interpersonal diperlukan untuk mengubah pengetahuan matematika subyektif individu, setelah publikasi, dalam menerima pengetahuan matematika secara objektif,
Obyektivitas itu sendiri akan dipahami sebagai sosial.
Tinjauan tentang Konstruksi Sosial
Sebagaimana quasi-empirisme, fokus utama konstruksi sosial adalah asal- usul pengetahuan matematika, dibandingkan pembenarannya. Pengetahuan matematika baru yang dihasilkan dapat berupa pengetahuan subjektif ataupun objektif, dan memberi ciri khusus pada konstruktivisme sosial dengan menganggap keduanya merupakan bentuk pengetahuan, dan menghubungkan keduanya dalam siklus kreatif. Ini bukanlah hal yang luar biasa dalam memandang pengetahuan subyektif dan pengetahuan subyektif yang diperlakukan secara bersama dalam filsafat, sebagaimana dalam Popper (1979). Apa yang kurang umum adalah memperlakukan hubungan mereka, karena ini terkait dengan asal-usul pengetahuan dalam filsafat. Konstruktivisme sosial menghubungkan pengetahuan subjektif dan objektif dalam sebuah siklus di mana masing-masing memberikan kontribusi dalam pembaruan satu sama lain. Pada siklus ini, jalur yang diikuti pencapaian pengetahuan matematika baru dari pengetahuan subyektif (pembentukan pribadi seorang individu), melalui publikasi menjadi pengetahuan (dengan pengawasan bahasan inter-subjektif, reformulasi dan penerimaan). Pengetahuan objektif diinternalisasi dan direkonstruksi oleh individu, selama belajar matematika, untuk menjadi pengetahuan subjektif individual. Menggunakan pengetahuan ini, individu membuat dan mempublikasikan pengetahuan matematika baru, sehingga melengkapi siklus. Jadi pengetahuan subjektif dan objektif matematika masing-masing memberikan kontribusi kepada penciptaan dan penciptaan-ulang yang lain. Asumsi yang mendukung catatan konstruktivis sosial untuk penciptaan pengetahuan sebagai berikut :
Seorang individu memiliki pengetahuan subyektif tentang matematika
Perbedaan utama adalah antara pengetahuan subjektif dan objektif. Berfikir secara matematis dari seseorang (baik proses dan produk, pengetahuan matematika) adalah pikiran subjektif. Hal ini sebagian besar mempelajari
pengetahuan (yaitu rekonstruksi objektif) tetapi, tetap mengikuti batasan- batasan tertentu yang kuat, proses hasil penciptaan-kembali dalam representasi subjektif yang unik dari pengetahuan matematika. Selanjutnya, individu menggunakan pengetahuan ini untuk membangun pengetahuannya sendiri, produk matematika yang unik, kreasi dari pengetahuan matematika subjektif yang baru.
Publikasi adalah perlu (tetapi tidak cukup) agar pengetahuan subjektif menjadi pengetahuan objektif matematika
Ketika hasil pengetahuan matematika subjektif dari individu masuk ke masyarakat umum melalui publikasi, maka memenuhi syarat untuk menjadi pengetahuan objektif. Ini tergantung pada keberterimaannya, tetapi pertama-tama harus dinyatakan secara fisik (dalam cetak, media elektronik, secara tertulis, atau sebagai kata yang diucapkan). (Di sini pengetahuan dipahami tidak hanya meliputi pernyataan, tetapi juga pembenaran mereka, biasanya dalam bentuk bukti informal).
Melalui penerbitan heuristik Lakatos, pengetahuan menjadi pengetahuan obyektif matematika
Matematika terpublikasi adalah subyek untuk dicermat dan dikritik oleh orang lain, mengikuti heuristic Lakatos(1976), yang mana dalam hasil reformulasi dan penerimaan sebagai pengetahuan obyektif matematika (misalnya, diterima secara sosial). Penerapan yang sukses di heuristik ini cukup untuk penerimaan sebagai pengetahuan matematika objektif, meskipun pengetahuan itu selalu menyisakan tantangan terbuka.
Heuristik ini tergantung pada kriteria objektif
Selama mempelajari asal-usul pengetahuan matematika, kriteria objektif memainkan bagian penting (logika otonomi Lokatos untuk penemuan matematika, dipahami secara filosofis,bukan secara historis). Kriteria ini digunakan dalam tinjauan kritis terhadap pengetahuan matematika, dan termasuk berbagi inferensi gagasan yang valid dan asumsi metodologis dasar lainnya.
Kriteria obyektif untuk mengritik pengetahuan matematika yang terpublikasi didasarkan pada pengetahuan objektif bahasa, seperti matematika.
Kriterianya tergatung pada besar dan luas pengetahuan matematika yang dimiliki, tetapi pada akhirnya berhenti pada pengetahuan bahasa bersama, yaitu, pada konvensi linguistik (pandangan conventionalist untuk dasar pengetahuan). Ini juga secara sosial diterima, dan karenanya objektif. Dengan demikian baik pengetahuan matematika terpublikasi maupun yang
konvensi (kesepakatan) linguistic, dimana pembenaran berada, adalah pengetahuan objektif.
Pengetahuan subyektif matematika yang diinternalisasikan secara luas, akan merekonstruksi pengetahuan objektif.
Tahap utama dalam siklus penciptaan matematika adalah internalisasi, yaitu representasi subjektif dari dalam, dari matematika obyektif dan pengetahuan linguistik. Melalui pembelajaran bahasa dan representasi inti matematika dari pengetahuan ini, termasuk aturan yang terkait, batasan dan kriteria dibangun. Hal ini membolehkan baik penciptaan matematika subyektif, maupun partisipasi dalam proses mengkritisi dan mereformulasi (yaitu publik) pengetahuan matematis.
Kontribusi individu dapat menambahkan, melakukan restrukturisasi atau reproduksi pengetahuan matematika
Berdasarkan pengetahuan subyektif matematika, maka secara individu berpotensi melakukan kontribusi ke dalam wadah pengetahuan objektif. Ini dapat menambah, restrukturisasi, atau hanya mereproduksi pengetahuan matematika yang sudah ada. Tambahan bisa berupa dugaan atau bukti baru, yang mungkin termasuk konsep atau definisi baru. Mereka dapat juga berupa terapan baru dari matematika yang sudah ada. Kontribusi restrukturisasi bisa berupa konsep baru atau teorema yang digeneralisasi atau hubungan dua atau lebih bagian pengetahuan matematika yang sudah ada sebelumnya. Kontribusi yang mereproduksi matematika yang sudah ada biasanya berbentuk buku teks atau perluasan lanjutan.
Masalah yang Segera Muncul dari Konstruksi Sosial
Ada dua permasalahan yang segera muncul dari penjelasan singkat ini, yaitu :
Identifikasi objektivitas sosial atau diterima secara sosial.
Untuk mengidentifikasi objektivitas obyek dan kebenaran matematika yang tetap dan abadi dengan sesuatu yang bisa berubah dan terbuka seperti pengetahuan yang diterima secara sosial, awalnya kelihatan bermasalah. Namun telah ditunjukkan bahwa pengetahuan semua matematika adalah bisa keliru dan bisa berubah. Dengan demikian beberapa atribut tradisional tentang objektivitas, seperti sifat ketetapan dan keabadian, sudah ditolak. Dengan kedua sifat itu banyak argumen tradisional untuk objektivitas sebagai ideal manusia-super. Menurut Bloor
(1984) kita bisa mengadopsi syarat perlu untuk objektivitas, keberterimaan sosial, menjadi syarat cukup juga. Tinggal menunjukkan bahwa identifikasi ini mempertahankan sifat objektivitas yang diharapkan.
Masalah kedekatan konstruktivisme sosial pada sosiologis atau empiris lain dalam menguraikan matematika.
Karena konstruktivisme sosial merupakan kuasi-empiris dan memiliki tugas menguraikan hakikat matematika termasuk matematika praktis, dalam bentuk deskriptif sepenuhnya, maka batas antara matematika dan disiplin lainnya lemah. Dengan menghilangkan hambatan filosofis tradisional ini membawa konsekuensi filsafat matematika lebih dekat ke sejarah dan sosiologi matematika (dan juga psikologi, tentang pengetahuan subyektif). Dengan demikian, ada bahaya konstruktivisme sosial menyimpang ke sejarah, sosiologi atau psikologi.
Pengetahuan Obyektif dan Subyektif
Hakekat Pengetahuan Obyektif dan Subyektif
Sebelum membahas lebih lanjut tentang eksposisi dan pengembangan konstruktivisme sosial perlu dipertegas beberapa filsafat pendahuluan. Kunci utama yang digunakan adalah perbedaan antara pengetahuan subjektif dan pengetahuan objektif. Hal ini diperjelas oleh pertimbangan definisi Popper (1979) terhadap tiga dunia berbeda, dan jenis-jenis keterkaitan pengetahuan.
Kita bisa menyebut dunia fisik ‘dunia 1’, dunia pengalaman sadar kita dengan ‘dunia 2’, dan dunia muatan logis buku, perpustakaan, memori komputer, dan lainnya ‘dunia 3’.(Popper, 1979, hal. 7a).
Pengetahuan subjektif adalah pengetahuan dunia2, pengetahuan objektif adalah dunia 3, dan menurut Popper termasuk produk-produk dari pikiran manusia, seperti teori-teori yang diterbitkan/publikasikan, diskusi mengenai teori-teori semacam itu, terhadap masalah terkait, bukti- bukti;dan itu buatan manusia dan bisa berubah.
Istilah ‘pengetahuan objektif’, digunakan dalam cara yang berbeda dari Popper, merujuk kepada semua pengetahuan yang intersubjektif dan sosial. Kita berharap dapat menentukan semua yang dikerjakan Popper
sebagai pengetahuan objektif, termasuk teori-teori matematika, aksioma, dugaan, bukti-bukti, baik formal maupun informal. Satu perbedaannya adalah kita juga ingin menyertakan tambahan ‘produk-produk dari pikiran manusia’ sebagai pengetahuan objektif, khususnya kesepakatan dan aturan bersama (tapi mungkin implisit) dalam pemakaian bahasa. Jadi, merujuk kesepakatan bersama, pengetahuan intersubjektif sebagai objektif, bahkan jika itu adalah pengetahuan implisit, yang belum sepenuhnya diartikulasikan. Perluasan ini sangat mungkin ditolak Popper. Selanjutnya teori sosial tentang obyektifitas diadopsi dari pengertian yang dikemukakan Bloor.
Teorinya adalah :
Yang saya maksud dengan mengatakan bahwa objektivitas adalah sosial
adalah bahwa karakter pribadi dan stabil yang melekat pada sebagian dari keyakinan kita, dan rasa realitas yang melekat pada referensi mereka, berasal dari kepercayaan ini menjadi institusi sosial.
Saya mengambil itu bahwa kepercayaan yang obyektif adalah salah satu yang bukan milik individu. Ia tidak berfluktuasi seperti pernyataan subjektif atau preferensi pribadi. Hal ini bukan milikku atau milikmu, tapi bisa dibagi. Ia memiliki aspek luar yang serupa kepadanya(external thing- like).(Bloor, 1984, hal 229)
Bloor berpendapat bahwa dunia 3 Popper dapat dipertahankan dan berhasil diidentifikasi dengan dunia sosial. Dia juga berpendapat bahwa tidak hanya struktur tiga-kelompok teori Popper dipertahankan di bawah transformasi ini, tetapi juga hubungan antara ketiga dunia tersebut. Tentu saja, interpretasi sosial tidak mempertahankan makna bahwa Popper menyertakan ke objektivitas, siapa orang yang memperhatikan karakter logis teori-teori, bukti-bukti dan argumen-argumen, yang cukup untuk menjamin objektivitas dalam arti idealis. Disamping itu, pandangan sosial dapat menguraikan sebagian besar, jika tidak semua, ciri objektivitas: otonomi pengetahuan objektif, karakter eksternal yang serupa (mungkin arti asal‘object’-ivity), dan bebas dari sembarang pengetahuan dari pengetahuan subjektif suatu subyek. Pandangan sosial dalam melihat pengetahuan objektif, seperti budaya, berkembang secara otonom sesuai dengan aturan yang diterima secara diam-diam, dan tidak tunduk pada perintah sembarang individu. Karena objektif pengetahuan dan aturan ada
di luar individu (dalam masyarakat), mereka tampaknya memiliki kemiripan obyek (object-like) dan keberadaan bebas (independent existence).
Dengan demikian dapat dilihat bahwa pandangan sosial menguraikan banyak karakteristik yang diperlukan bagi objektivitas. Di atas ini, perlu dicatat bahwa pandangan sosial Bloor tentang objektivitas menjelaskan dan menguraikan untuk obyektifitas. Sebaliknya pandangan tradisional (termasuk Popper) menguraikan, atau pada paling baik mendefinisikan
objektivitas(intensif atau ekstensif), tetapi tidak pernah menguraikan, atau
menjelaskan objektivitas. Untuk otonomi, eksistensi independen dari pengetahuan objektif adalah secara tradisional perlu ditunjukkan, tanpa penjelasan tentang apa objektivitas itu, atau bagaimana pengetahuan objektif dapat muncul dari pengetahuan manusia subyektif. Sebaliknya, pandangan sosial tentang objektivitas dapat menyumbang penjelasan tentang dasar dan hakekat objektifitas dan pengetahuan objektif.
Satu masalah kemudian yang harus dihadapi pandangan sosial adalah penjelasan tentang perlunya kebenaran logis dan matematika. Jawabannya diberikan oleh Bloor (1983, 1984), dan diadopsi di sini, yaitu bahwa keperluan ini (dipahami dalam pengertian fallibilist) berada pada konvensi dan aturan linguistik, seperti usulan Wittgenstein. Ini adalah penjelasan conventionalist penuh tentang dasar pengetahuan logika dan matematika.
Peranan Pengetahuan Obyektif dalam Matematika
Setelah menjelaskan arti objektivitas yang dipahami sebagai sosial, perlu sedikit mengulangi penjelasan konstruktivis sosial tentang pengetahuanmatematika objektif. Menurut konstruktivisme sosial, matematika yang terpublikasi, yaitu matematika yang dinyatakan secara simbolis dalam wilayah publik, memiliki potensi menjadi pengetahuan objektif. Penerapan logika Lakatos dalam penemuan matematika ke matematika terpublikasi ini adalah proses yang mengarah pada penerimaan sosial, dan dengan demikian ke objektivitas. Setelah aksioma matematis, teori, dugaan, dan bukti-bukti dirumuskan dan disajikan di depan umum, bahkan walaupun hanya dalam percakapan, otonom heuristik (yaitu keberterimaan sosial) mulai bekerja. Baik proses maupunhasilnya adalah objektif, diterima secara sosial. Demikian juga,
baik kesepakatan implisit maupun eksplisit dan aturan bahasa dan logika yang berpijak heuristik ini adalah objektif, juga diterima secara sosial. Kesepakatan-kesepakatan dan aturan-aturan yang diklaim itu, berdasarkan paham konvensional, mendukung pengetahuan matematika (termasuk logika). Mereka memberikan dasar definisilogis dan matematika, sebagaimana dasar untuk aturan-aturan dan aksioma- aksioma dari logika dan matematika.
Peranan Pengetahuan Subyektif dalam Matematika
Meskipun peran pengetahuan objektif sangat penting, namun perlu juga dikemukakan bahwa peran subjektif pengetahuan matematika juga harus diakui, atau jika tidak, penjelasan tentang matematika secara keseluruhan akan menjadi tidak lengkap. Pengetahuan subyektif diperlukan untuk menjelaskan asal-usul pengetahuan matematika baru serta sesuai dengan teori yang diusulkan, penciptaan kembali dan keberlanjutan keberadaan pengetahuan. Oleh karena pengetahuan objektif adalah sosial, dan bukanlah entitas subsisten-diri (self-subsistent) yang ada suatu wilayah yang ideal maka, sebagaimana semua aspek budaya pengetahuan ini, harus direproduksi dan diwariskan dari generasi ke generasi (diakui dengan bantuan artefak, seperti buku-buku bacaan). Menurut penjelasan konstruktivis sosial, pengetahuan subjektif adalah apa yang melanjutkan dan memperbaharui pengetahuan, apakah itu matematika, logika atau bahasa. Jadi pengetahuan subjektif memainkan bagian inti dalam membahas filsafat matematika.
Setelah mengatakan hal ini, harus diakui bahwa perlakuan pengetahuan subjektif sebagaimana pada pengetahuan objektif, dalam teori yang dikemukakan, adalah bertentangan dengan banyak pemikiran modern dalam filsafat, dan dalam filsafat matematika, sebagaimana telah kita lihat (terkecuali intuisionisme, yang telah ditolak). Sebagai contoh, Popper (1959) telah sangat hati-hati membedakan antara ‘konteks penemuan’ dan ‘konteks pembenaran’ dalam sains. Ia menganggap konteks yang terakhir sebagai bahasan untuk analisis logis, dan dengan demikian menjadi kajian yang tepat bagi filsafat. Pembentuk konteks, bagaimanapun,menyangkut persoalan empiris, dan karenanya merupakan perhatian yang tepat untuk psikologi, dan bukan logika atau filsafat.
Anti-psychologisme, suatu pandangan bahwa pengetahuan subjektif – atau paling tidak aspek psikologisnya– adalah tidak teruji untuk perlakuan
filosofis, berdasarkan pada argumen berikut. Filsafat terdiri dari analisis logis, termasuk masalah-masalah metodologis seperti syarat-syarat umum untuk kemungkinan pengetahuan. Inkuiri seperti ini adalah pengetahuan awal (apriori), dan sepenuhnya bebas dari sembarang pengetahuan empiris tertentu. Isu-isu subjektif merupakan isu psikologis sampingan, karena mereka acuan sampingan pada isi pikiran individual. Tapi hal seperti itu, dan psikologi pada umumnya, adalah empiris. Oleh karena itu, karena perbedaan kategori ini (a priori versus dunia empiris) pengetahuan subjektif tidak dapat menjadi perhatian filsafat.
Argumen ini ditolak pada dua alasan. Pertama, kritik yang kuat absolutisme, dan karena kemungkinan pengetahuan apriori tertentu telah dipasang. Atas dasar ini,semua yang disebut pengetahuan awal, termasuk logika dan matematika, tergantung pada peruntukan pembenaran di dasar quasi-empiris. Tapi ini secara efektif menghancurkan perbedaan kategori unik antara pengetahuan apriori dan pengetahuan empiris. Jadi perbedaan ini tidak dapat digunakan untuk menolak penerapan metode filsafat aprioripengetahuan obyektif ke pengetahuan subjektif, dengan alasan bahwa catatan terakhir secara empiris ternoda. Karena sekarang kita lihat bahwa semua pengetahuan, termasuk pengetahuan objektif, adalah secara empiris (atau lebih tepatnya quasi-empiris) tercemar.
Argumen kedua, yang bebas dari yang pertama, adalah sebagai berikut. Dalam membahas pengetahuan subjektif, tidak dimaksudkan untuk mendiskusikan isi tertentu pikiran-pikiran individual, atau teori-teori psikologi empiris tertentu dari pikiran dengan kedok filsafat. Akan tetapi bermaksud untuk mendiskusikan kemungkinan pengetahuan subjektif secara umum, dan apa yang disimpulkan tentang sifat yang mungkin berdasarkan penalaran logis saja (diketahui sejumlah asumsi teoretis). Ini adalah kegiatan filosofis yang sah, seperti halnya filsafat ilmu dapat secara sah merefleksikan sebuah realita empiris, yaitu ilmu pengetahuan, tanpa menjadi realita empiris itu sendiri. Jadi pengetahuan subjektif adalah bahasan yang tepat untuk penemuan filosofis. Jadi pengetahuan subyektif merupakan areal yang sah dari penyelidikan filosofis, yang didasarkan pada tradisi filsafat yang substansial.
Meskipun klaim bahwa keputusan pengetahuan subjektif merupakan psikologistik adalah dibantah, tapi diakui bahwa ada bahaya nyata dan legitimasi sah yang muncul dari perlakuan filosofis pengetahuan subyektif.
Untuk itu membuat lebih mudah untuk melakukan kesalahan penggunaan penalaran psikologistik dalam filsafat, yaitu penalaran yang didasarkan pada kepercayaan psikologis dari kebutuhan sebagai lawan dari argumentasi logis. Selain itu, pembedaan antara pengetahuan subjektif dan pengetahuan objektif adalah salah satu yang vital untuk menjaga, baik untuk konstruktivisme sosial, maupun filsafat umumnya. Ini adalah dua wilayah yang benar-benar berbeda dari pengetahuan.
Untuk alasan ini, dalam pengutaraan filsafat konstruktivis sosial dari matematika, wilayah pengetahuan objektif dan subjektif akan diperlakukan secara terpisah. Aspek obyektif filosofi ini adalah bebasdari aspek subjektif dari segi pembenarannya. Jadi kewaspadaan pembaca pada psychologisme dapat mengikuti aspek obyektif dari konstruktivisme sosial tanpa ragu (setidaknya tentang masalah ini).
Konstruktifisme Sosial: Pengetahuan Obyektif
Dalam rangka konstruktivis sosial memberikan uraian pengetahuan objektif dalam matematika, perlu dibangun sejumlah klaim. Kita perlu membenarkan uraian pengetahuan matematika obyektif dengan mendemonstrasikan baik objektivitas dari apa yang dimaksud, maupun fakta yang memang dijamin oleh pengetahuan. Setelah menetapkan kondisi minimal ini untuk uraian pengetahuan matematika obyektif, selanjutnya perlu meyakinkan bahwa konstruktivisme sosial memberikan penjelasan filosofis yang memadai tentang matematika. Ini melibatkan kecukupan memenuhi kriteria untuk filsafat matematika yang dirumuskan dalam bab sebelumnya.
Obyektifitas dalam Matematika
Atas dasar kritik yang kuat terhadap absolutisme, faham falibilitas terhadap pengetahuan matematika diterima. Sementara falibilitas menjadi asumsi pokok konstruktivisme sosial, fakta menunjukkan bahwa objektivitas pengetahuan matematika dan objek matematika adalah ciri matematika yang diterima secara luas, dan dapat dijelaskan peruntukannya oleh filsafat matematika apa pun. Telah ditetapkan bahwa objektivitas dipahami berada di depan umum, kesepakatan intersubjektif, yang itu berarti sosial. Dengan demikian objektivitas matematika berarti
bahwa baik pengetahuan maupun obyek matematika memiliki keberadaan otonom atas adanya kesepakatan intersubjektif, dan yang tidak tergantung pada pengetahuan subjektif sembarang individu. Karena itu perlu ditetapkan basis bersama pengetahuan ini, yang memungkinkan publik mengakses ke sana, dan jaminan kesepakatan antar-subjektif padanya. Selanjutnya, diskusi diperlebar untuk objektivitas ontologi matematika, yang merupakan dasar bagi keberadaan otonom objek matematika. Pengarang menganggap bahwa substratum pertama yang menyediakan dasar untuk objektivitas dalam matematika, yaitu bahasa. Dasar Linguistik dari Objektivitas dalam Matematika
Klaimnya adalah objektivitas pengetahuan matematika didasarkan pada pengetahuan bersama bahasa alami. Penjelasan seperti ini telah disketsakan dalam perlakuan konvensionalisme dalam bahasan sebelumnya. Penjelasan Wittgenstein tentang dasar linguistik untuk logika dan matematika telah disajikan dan dinilai menjanjikan. Akan diargumentasikan bahwa perolehan kompetensi dalam bahasa alami, perlu melibatkan akuisisi yang besar, implisit, bangunan pengetahuan. Bagian dari pengetahuan ini adalah pengetahuan dasar matematika dan penalaran logis, beserta aplikasinya. Komunikasi linguistik memerlukan aturan-aturan dan konvensi-konvensi bahasa – yang mewujudkan makna, adalah dibutuhkan. Kebutuhan bersama ini– tanpa komunikasi yang tidak berarti, adalah dasar dari objektivitas pengetahuan matematika (dan objek). Inilah inti argumen ini.
Ini bukanlah argumen berdasarkan fakta-fakta psikologis atau empiris, melainkan pada alasan logis dan filosofis. Untuk itu, kebenaran – yang pada sembarang sistem pengetahuan logis menjadi deduktif atau definisional, pada akhirnya tergantung pada seperangkat proposisi primitif atau istilah. Sebagai pengetahuan matematika obyektif, proposisi primitif dan istilah-istilah ini dapat ditemukan dalam pengetahuan objektif dari bahasa alami.
Untuk menyempurnakan argumen ini, pertama diperhatikan bahwa secara tradisional, pengetahuan objektif diidentifikasi dengan sekumpulan
proposisi atau pernyataan, (atau isi daripadanya), yang secara linguistik menyatakan bangunan pengetahuan. Dalam bab-bab sebelumnya telah dijelaskan bahwa pengetahuan disamping mencakup pengetahuan
proposisional yang berupa proses dan prosedur. Namun, ini juga dapat dinyatakan sebagai proposisi. Jadi asumsi dasar bahwa pengetahuan memiliki dasar linguistik tidak perlu dipertanyakan. Ini berarti bahwa pemahaman pengetahuan seperti itu pada dasarnya tergantung pada kompetensi linguistik, sebagaimana sebagian besar kognitif manusia dan aktivitas sosial.
Kompetensi linguistik terdiri dari kemampuan untuk berkomunikasi secara linguistik. Hal ini pada gilirannya tergantung pada penggunaan bersama bentuk-bentuk tata bahasa, hubungan antara istilah, dan penerapan bentuk dan deskripsi situasi, termasuk berbagi makna istilah, setidaknya di publik yang diamati, perilaku yang digunakan. Ini juga tergantung pada, kemampuan untuk saling berhubungan konteks sosial dan bentuk-bentuk diskursus tertentu. Singkatnya, kompetensi linguistik tergantung pada aturan umum bersama, sesuai dengan penggunaan umum.
Kita tidak bisa mempertanyakan kenyataan bahwa ‘A dan B’memuat ‘A’ atau yang 1 +1 = 2,tanpa menarik beberapa kemungkinan komunikasi. Kita hanya bisa mendapatkan sekitar ini sementara, dengan mengelilingi domain kecil pemakaian bahasa, dan mengungkapkan dan mempertanyakan beberapa aturan yang mengatur penggunaannya. Kita