Landasan Matematik

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.6. Landasan Matematik

2.6.1. Model Laju Kerusakan Buah

Distribusi umur hidup suatu produk merupakan salah satu alat yang dapat menggambarkan panjang umur dari suatu produk secara sistematis. Umur hidup tersebut digambarkan baik melalui fungsi densitas, fungsi distribusi kumulatif, fungsi keandalan, dan fungsi laju deteriorasi. Jika f(t) menyatakan fungsi densitas dari variabel acak t yang kontinyu menggambarkan panjang umur suatu produk, maka f(t) memiliki sifat seperti yang dijelaskan Jonrinaldi (2004) yaitu :

𝑓 𝑡 ≥ 0 …………...…..(1) 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 1₀^𝑡 ...(2) Fungsi distribusi kumulatif, F(t) menyatakan probabilitas bahwa umur hidup produk ada dalam rentang (0,t) yang digambarkan dalam persamaan berikut :

𝐹 𝑡 = 𝑃 𝑇 ≤ 𝑡 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡₀^𝑡 ...(3) 𝑓 𝑡 =^{𝑑𝐹(𝑡)}_𝑑𝑡 ...(4) Fungsi keandalan, R(t) menyatakan probabilitas bahwa suatu produk akan bertahan hidup dalam rentang (0,t) atau probabilitas bahwa produk akan rusak setelah saat t, yang digambarkan dalam persamaan berikut :

𝑅 𝑡 = 𝑃 𝑇 ≤ 𝑡 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡₀^𝑡 ...(5) Karena F(t) dan R(t) bersifat mutually exclusive, maka persamaan menjadi :

𝐹 𝑡 = 1 − 𝑅(𝑡) ...(6) Fungsi laju kerusakan, 𝜃(𝑡) menyatakan peluang bahwa produk akan rusak sesaat setelah t dengan syarat produk tetap baik sampai t, yang digambarkan dalam persamaan berikut :

Uji distribusi yang dilakukan Maflahah (2010) memperoleh laju kerusakan buah segar mengikuti laju distribusi eksponensial. Fenomena penurunan mutu buah segar tersebut dapat didekati dengan persamaan :

Mutu (t) = Mutu awal x e^-t/T ………...…(8) dimana, t adalah waktu aktivitas dan T adalah waktu rusak.

2.6.2. Model Pendugaan Umur Simpan Buah Mangga Gedong Gincu

Selama penyimpanan, mutu produk akan berubah karena adanya pengaruh lingkungan seperti suhu, kelembaban, dan tekanan udara. Melalui model matematika, dapat diketahui laju perubahan mutu yang akan terjadi pada kondisi tertentu. Model laju perubahan mutu dapat digunakan untuk mengetahui umur simpan suatu produk. Untuk menyusun model perubahan mutu diperlukan beberapa pengamatan parameter yang dapat diukur secara kuantitatif dan mencerminkan keadaan mutu produk yang diperiksa, misalnya : hasil uji kimiawi, uji fisik, uji organoleptik, dan uji mikrobiologis (Syarief dan Halid, 1991).

Jika diasumsikan faktor waktu adalah tetap, maka untuk menduga konstanta laju perubahan mutu mangga dapat menggunakan Persamaan Arrhenius yaitu :

RT E e k k / 0. ^  …...………..(9)

dimana : k adalah konstanta laju perubahan mutu, k0 adalah konstanta (tidak tergantung pada suhu), E adalah energi aktivasi, T adalah suhu mutlak (^oC+273) dan R adalah konstanta gas (8.314 joule/mol.K).

Setelah mengetahui kontanta laju perubahan mutu mangga, maka umur simpan mangga dapat diduga dengan menggunakan rumus penentuan waktu atau masa kadaluarsa yaitu :

t = (yawal – y)/k ……….…...…...…(10)

dimana : t adalah lama penyimpanan (hari), yawal adalah mutu pengamatan awal, dan y adalah mutu akhir. Rizkia (2004) memperoleh konstanta laju perubahan mutu untuk susut bobot, kekerasan, total padatan terlarut, dan total asam mangga gedong gincu selama penyimpanan adalah sebagai berikut :

 Susut bobot k = 1.53 x 10^-14 . e^{-10188.0(1/T)} ………….……....… (11)  Kekerasan k = 1.39 x 10^-8. e^-5473.5(1/T) ………...(12)

 Total padatan terlarut k = 2.39 x 10^-7. e^-5519.5(1/T) ….………..(13)  Total asam k = 6.80 x 10^-1. e^-1091.7(1/T) ….………..(14)

Mutu akhir (y) adalah suatu keputusan manajemen mengenai mutu produk yang dinyatakan oleh manajemen sebagai mutu yang ditawarkan kepada konsumen di akhir masa penjualan di pasar (Hariyadi, 2006).

2.6.3. Model Peramalan

Peramalan penting penggunaannya dalam berbagai situasi perencanaan dan pengambilan keputusan. Peramalan merupakan proses memperkirakan secara sistematis tentang apa yang paling mungkin terjadi di masa depan berdasarkan informasi masa lalu dan sekarang yang dimiliki agar kesalahan dapat diperkecil (Assauri, 1993). Model ARIMA (Autoregressie/Integrated/Moving Average) merupakan salah satu model peramalan yang menggunakan data historis masa lalu untuk memproyeksikan ke masa depan. Model ARIMA dapat diterapkan untuk menganalisa deret berkala, peramalan, dan pengendalian (Makridakis et al, 1999). Model ARIMA adalah jenis model linier yang mampu mewakili deret waktu baik yang stasioner maupun non stasioner. Model ARIMA menggunakan informasi dalam deret waktu untuk menghasilkan ramalan atau prakiraan. Makridakis et al (1999), menjelaskan model umum ARIMA sebagai berikut :

ARIMA (p,d,q)(P,D,Q)’ ...(15) dimana :

p : menunjukkan ordo proses AR (Autoregresi), jika p = 0 berarti tidak dibangkitkan oleh proses AR

d : menunjukkan tingkat pembeda agar deret data bersifat stasioner yaitu jika D>0 berarti data tidak bersifat stasioner (mengandung trend)

q : menunjukkan orde proses MA (Moving Average), jika q=0 berarti deret data tidak dibangkitkan oleh proses MA

P : ordo AR untuk data musiman

D : indeks kecenderungan untuk data musiman Q : ordo MA untuk data musiman

2.6.4. Model Dasar EOQ Dalam Sistem Persediaan

Model persediaan yang paling dasar dan sederhana untuk menentukan ukuran pesanan ekonomis adalah model EOQ (Economic Order Quantity). Model EOQ mempertimbangkan dua biaya persediaan yaitu biaya pesan dan biaya simpan sehingga biaya total persediaan adalah biaya pesan ditambah biaya simpan. Biaya pesan adalah biaya tetap yang keluar setiap kali pemesanan dilakukan dan tidak tergantung pada ukuran atau volume pesanan. Biaya simpan adalah biaya yang terjadi akibat penyimpanan selama satu periode tertentu. Model EOQ dapat digunakan cukup baik bila memenuhi atau mendekati sejumlah asumsi yaitu : persediaan akan dipesan sebesar Q unit dan pesanan datang secara bersamaan. Situasi persediaan untuk model EOQ dapat dilihat pada Gambar 8.

Gambar 8. Situasi persediaan untuk model EOQ (Siswanto, 2002)

Persediaan berkurang dengan laju tetap selama waktu t, sehingga pada akhir periode perencanan persediaan sama dengan nol. Saat yang sama, bahan yang dipesan sudah datang sehingga tingkat persediaan mencapai jumlah sebanyak Q. Pola tersebut berulang terus selama periode T.

Pada periode awal perencanaan dilakukan pemesanan sebesar (Q). Adanya permintaan menyebabkan produk yang ada akan menurun yang digambarkan oleh garis slope negatif sampai mencapai titik nol, sehingga dilakukan pemesanan kembali sebesar (Q). Rata-rata persediaan yang ada di gudang setiap saat digambarkan dengan garis putus-putus sebesar Q/2. Siswanto (2002) menggambarkan formulasi biaya total persediaan per periode perencanaan sebagai berikut :

Biaya Total Persediaan (TC) = Biaya Pesan + Biaya Simpan Q/2

Kurva biaya total persedian dapat dilihat pada Gambar 9. Cr (persediaan rata-rata) B ia y a hQ/2 (biaya simpan) kr/Q (biaya pesan) Q*

TC (biaya total persediaan)

Ukuran lot (Q)

Gambar 9. Biaya total persediaan per periode perencanaan (Siswanto, 2002) Biaya pesan adalah biaya yang dikeluarkan karena pemesanan suatu barang yaitu kebutuhan dalam suatu periode pemesanan dibagi jumlah produk yang dipesan setiap kali pesanan dibuat dikalikan biaya yang harus dikeluarkan setiap kali pesanan dibuat. Biaya pesan digambarkan dalam formulasi matematika sebagai berikut :

𝐁𝐏 =^𝐃

𝐐^{𝐒 ...(16)}

Biaya simpan adalah biaya yang dikeluarkan berkaitan dengan penyimpanan persediaan yaitu rata-rata jumlah barang yang dipesan setiap kali pesanan dibuat dikalikan biaya yang harus dikeluarkan untuk menyimpan setiap unit persediaan. Biaya simpan digambarkan dalam formulasi matematika sebagai berikut :

𝐁𝐒 =^𝐐

𝟐^{𝐡 ...(17)}

Karena perediaan datang bersamaan sebesar Q, maka persediaan awal adalah Q, persediaan akhir adalah nol, dan persediaan rata-rata adalah Q/2. Biaya total persediaan semakin naik dengan semakin banyak unit (Q) yang dipesan. Kondisi minimum tercapai saat biaya pesan sama dengan biaya simpan. Secara matematik, digambarkan sebagai berikut :

𝐓𝐂 =^𝐃_𝐐𝐒 +^𝐐_𝟐𝐡, syarat TC minimum BP=BS 𝐃 𝐐^{𝐒 =} 𝐐 𝟐^𝐡 𝐐𝟐 =^𝟐𝐃𝐒 𝐡 𝐐 = ^𝟐𝐃𝐒 𝐡 ^...(19) dimana :

TC : Biaya total persediaan BP : Biaya pesan

BS : Biaya simpan

D : Kebutuhan dalam suatu periode perencanaan

Q : Jumlah barang yang dipesan setiap kali pesanan dibuat S : Biaya yang harus dikeluarkan setiap kali pesanan dibuat

h : Biaya yang harus dikeluarkan untuk menyimpan setiap unit persediaan

2.6.5. Model Persediaan Untuk Produk Perishable

Model persediaan perishable product (produk yang mudah rusak) merupakan model persediaan dimana persediaan tidak hanya berkurang karena permintaan saja tetapi juga karena adanya kerusakan. Beberapa bentuk kerusakan produk adalah kebusukan/membusuk (direct spoilage), habis secara fisik (physical

depletion) misal cairan yang mudah menguap; atau penurunan kualitas

(deterioration) misal komponen elektronik. Model persediaan untuk produk yang mengalami penurunan mutu dikelompokkan oleh Goyal dan Giri (2001) dalam tiga kelompok yaitu :

a. Model persediaan dengan umur hidup produk yang tetap (fixed lifetime)

b. Model persediaan dengan umur hidup produk yang tidak tetap (random

lifetime)

c. Model persediaan untuk produk yang mengalami penurunan jumlah secara proporsional

Nahmias (1982) dan Rafaat (1991) menjelaskan konsep analisis produk yang mengalami penurunan mutu yaitu (1) situasi dimana produk yang berbeda dalam persediaan secara bersama-sama mengalami keusangan pada akhir periode perencanaan, misalnya produk pakaian dan (2) situasi dimana produk mengalami penurunan mutu sepanjang periode perencanaan, misalnya buah dan sayuran segar. Situasi yang kedua kemudian dibagi menjadi dua bagian yaitu produk dengan umur simpan tetap (fixed lifetime) dan produk dengan umur simpan simpan acak (random lifetime). Khusus untuk produk segar hasil pertanian, mempunyai umur simpan acak (random lifetime) karena parameter mutu kritisnya yaitu freshness menurun secara acak dan terus menerus secara eksponensial dari waktu ke waktu.

Bai dan Kendall (2008), mengembangkan model persediaan untuk produk segar dengan asumsi sebagai berikut : meski produk segar mempunyai umur simpan acak yang menurun secara ekponensial, umur produk dapat diduga masa simpannya, namun freshness produk akan terus menurun berdasarkan fungsi waktu. Permintaan untuk produk segar bersifat deterministik dan diasumsikan tergantung pada dua hal yaitu tingkat persediaan yang ada dan kondisi freshness produk. Hal yang pertama mengasumsikan semua produk yang belum rusak menggambarkan permintaan yang sama bagaimana pun kondisi freshness produk tersebut. Gambaran tersebut sesuai untuk produk perishable yang berumur panjang, misalnya produk fotografi dan obat-obatan., tetapi tidak sesuai untuk produk segar karena kondisi freshness merupakan salah satu aspek penting dalam mengukur kualitas produk segar. Semua produk segar diasumsikan mempunyai umur simpan tertentu tetapi sangat pendek dan tidak rusak hingga batas waktu kadaluarsa. Bagaimanapun, kondisi freshness akan menurun berdasarkan waktu dan berpengaruh pada tingkat persediaan. Model Bai dan Kendall (2008) dibangun berdasarkan bahwa fungsi permintaan merupakan perkalian persediaan dengan kondisi freshness yaitu 𝐷_𝑖 𝑡 = 𝐷_𝑖^∗𝑓_𝑖 𝑡 , dimana 𝑓_𝑖 𝑡 adalah penurunan fungsi dari waktu ke waktu. Kondisi freshness menurun dari waktu ke waktu secara ekponensial yaitu 𝑓_𝑖 𝑡 = 𝑒−𝜎𝑒𝑖𝑡 ,dimana 𝜎_𝑖 > 0 adalah konstanta laju penurunan sehingga diperoleh fungsi persediaan sebagai berikut :

𝐼𝑖 𝑡 = 𝑞_𝑖 +^𝛼𝑖𝑠_𝑖𝛽 𝑖

𝜎_𝑖 (𝑒−𝛼_𝑖^𝑡 − 1) , 0 ≤ t ≤ t_1t ...(20) dimana,

I_i(t) = tingkat persediaan produk ke-i pada waktu t qi = jumlah pemesanan produk ke-i

𝜎_𝑖 = laju kerusakan dari produk ke-i si = jumlah produk ke-i yang dipajang 𝛼_𝑖 = parameter skala dari produk ke-i 𝛽_𝑖 = elastisitas ruang produk ke-i

f_i(t) = fungsi penurunan yang mereprentasikan kondisi freshness produk dari waktu ke waktu.

Indrianti et al (2001), mengembangkan model dasar perencanaan persediaan EOQ dengan mempertimbangkan waktu kadaluarsa bahan untuk menentukan jumlah optimal bahan yang dipesan dengan cara meminimalkan biaya persediaan serta untuk menentukan saat pemesanan bahan yang optimal. Asumsi yang digunakan dalam penelitian Indrianti et al (2001) adalah kuantitas pemesanan tetap, laju produksi konstan, kekurangan bahan akan terjadi apabila bahan yang melewati batas masa pakai, waktu tunggu merupakan parameter yang diketahui, kapasitas produksi terbatas, dan masa pakai bahan (waktu kadaluarsa) merupakan variabel yang bersifat deterministik. Biaya persediaan yang dikembangkan dalam model tersebut meliputi : biaya simpan, biaya pesan, biaya kekurangan bahan, dan biaya kadaluarsa bahan. Persamaan matematikanya sebagai berikut :

TC = Cs + Cp + Ckb + Ckd ...(21) C_s = 𝟏/𝟐 𝐐 + 𝐐_𝐤 . 𝐂_𝐬𝐭_𝟏 ...(22) 𝐂_𝐤𝐛= 𝟏/𝟐 𝐐_𝐤 . 𝐂_𝐤𝐭_𝟐 ...(23) 𝐂_𝐤𝐝= 𝐐_𝐤 𝐏 − 𝐉 ...(24)

sehingga diperoleh total biaya persediaan selama kurun waktu T adalah :

𝐓𝐂 = Cs + Cp + Ckb + Ckd 𝐃/𝐐 ...(25) Dengan mensubsitusi Persamaan (23), (25) dan (26), maka diperoleh persamaan :

𝐓𝐂 = 𝟏/𝟐 𝐐 + 𝐐_𝐤 𝐂_𝐬𝐭_𝟏+ Cp + 𝟏/𝟐 𝐐_𝐤 . 𝐂_𝐤𝐭_𝟐+ 𝐐_𝐤 𝐏 − 𝐉 𝐃 /𝐐