Yuliana (2009) : Analisis Soal Ujian Nasional (UN) Matematika SMA/MA Program IPA Tahun Pelajaran 2007/2008 yang Didasarkan Pada Tingkat Penalaran, Laporan
ANALISIS PENALARAN SOAL UN MATEMATIKA SMA/MA PROGRAM IPA PAKET A12
A. Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahama Ujian Nasional
Solusi soal
Penyelesaian :
Cara I : dari soal diketahui L = (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9 Titik pusat (a,b) = (–1,3), serta jari-jari r = 3
Garis y = 3 substitusi ke persamaan lingkaran L = (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9 maka diperoleh hasil : x2 + 2x – 8 = 0 → (x – 2) (x + 4) y = 3 ,
titik singgung : (2,3) dan (–4,3)
* untuk (2,3) → (x1– a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2 (x + 1) (2 + 1) + (y – 3) (3-3) = 9 3x + 3 + 0 = 9 → x = 2 * untuk (–4,3) → (x1– a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2 (x + 1) (–4 + 1) + (y – 3) (3 – 3) = 9 –3x – 3 + 0 = 9 → x = –4
Maka, garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis adalah x = 2 dan x = –4 Cara II :
Diketahui persamaan lingkaran : L = (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9
y = 3 → L = (x + 1)2 = 9 → x2 + 2x – 8 = 0 ,
garis singgung yang melalui titik potong garis y dengan L yaitu : titik singgung : (2,3) dan (–4,3).
Karena, x = 2 ┴y = 3 dan x = –4 ┴y = 3
Maka, persamaan garis singgung : x = 2 dan x = –4 Jawaban : C
Konteks :
- garis singgung lingkaran antara lingkaran dan garis.
Informasi :
- Soal materi : Lingkaran
- Penyelesaian soal dengan menyatakan kedalam bentuk umum persamaan yang ada.
B. Langkah kedua : Analisis dari buku teks
43
L = (x + a)2 + (y – b)2 = c 2. Contoh dan latihan soal
a. Buku terbitan Yrama Widya
Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XI IPA SMA/MA terdapat soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman178 uji latih pemahaman 4A, No.16 :
Garis x – 2y = 5, memotong lingkaran x2 + y2– 4x + 8y + 10 = 0 di titik A dan B. panjang ruas garis
AB adalah ….
a. √ B. √ C. 4 D. b. 2√ e. 5
b. Buku terbitan Yudistira
Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XI IPA SMA/MA terdapat soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 115, soal Uji Kompetensi 4.5, No.2 :
Diketahui lingkaran x2 + y2 + 2x – 4y – 5 = 0 dan garis y =x + 1. Garis dan lingkaran berpotongan di titik A dan B. tentukan persamaan garis singgung di titik A dan B.
c. Buku terbitan Esis
Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XI SMA/MA terdapat contoh soal
yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 212, contoh soal No.1 : Tentukan persamaan garis singgung di titik (1, –2) pada lingkaran
L = (x +1)2 + (y – 3)2 = 25. Solusi
Titik (1, –2) pada lingkaran L = (x +1)2 + (y – 3)2 = 25
Karena, (1 – 1)2 + (–2 – 3)2 = 25, maka persamaan garis singgung di titik (1, –2) adalah : (x – 1) (1 – 1) + (y – 3) (–2 – 3) = 25
–5y + 15 = 25 → y = –2 Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = –2 d. Buku terbitan Erlangga
Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XI IPA SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 127, contoh 17 :
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L = (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25 yang melalui titik (7,2) Jawab :
Titik (7,2) → x1 = 7 dan y1 = 2, terletak pada L = (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25 Persamaan garis singgungnya : (7 – 3) (x – 3) + (2 + 1) (y + 1) = 25
4x – 12 + 3y + 3 = 25
4x + 3y – 34 = 0
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L = (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25 yang melalui titik (7,2) adalah 4x
+ 3y – 34 = 0
e. Buku terbitan Grafindo
Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XI IPA SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 237, contoh soal 4.10 bagian b : Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (–3, –4) pada lingkaran x2 + y2 + 6x – 2y – 15 = 0.
Jawab :
Periksa titik (–3, –4) terhadap lingkaran x2 + y2 + 6x – 2y – 15 = 0. (–3)2 + (–4)2 + 6(–3) – 2(–4) – 15 = 0
9 + 16 – 18 + 8 – 15 = 0 0 = 0 (benar),
Jadi, titik (–3, –4) adalah titik singgung sehingga dapat digunakan cara pembagian adil. Persamaan garis singgung melalui (–3, –4) pada lingkaran x2 + y2 + 6x – 2y – 15 = 0 adalah x1x + y1.y + (x1 + x) -
(y1 + y) – 15 = 0, dengan x1 = –3 dan y1 = –4. Jadi : (–3)x + (–4)y + 3(–3 + x) – 1(–4 + y) – 15 = 0
44
–5y – 20 = 0 → y + 4 = 0 atau y = –4
C. Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument :
Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 3 buku diantaranya memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas, sedangkan 2 buku lainnya memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas.
Kesimpulan :
Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning.
D. Langkah keempat : Komentar
Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah.
Soal No.10
Suatu suku banyak berderajat 3 jika dibagi x2– 3x + 2 bersisa 4x – 6 dan jiuka dibagi x2– x – 6 bersisa 8x – 10. Suku banyak tersebut adalah ….
A. x3 – 2x2 + 3x – 4 B. x3 – 3x2 + 2x – 4 C. x3 + 2x2 – 3x – 7 D. 2x3 + 2x2 – 8x + 7 E. 2x3 + 4x2 – 10x + 9
A. Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahama Ujian Nasional
Solusi soal
Penyelesaian :
Dari soal diketahui suatu suku banyak berderajat 3 dibagi x2– 3x + 2, bersisa S(x) = 4x – 6, dan jika dibagi
x2– x – 6, bersisa S(x) = 8x – 10. Dan yang menjadi pertanyaan dari soal tersebut adalah suku banyak yang dimaksud tersebut. Maka, penyelesaian sebagai berikut :
Bentuk umum suku banyak berderajat 3 : f(x) = ax3 + bx2 +cx + d
Dari soal juga didapat,
pembagi I : (x – 1)(x – 2) ; Dimana, x1 = 1 dan x2 = 2, maka menghasilkan S(x) = 4x – 6 Substitusikan nilai fungsi x1 dan x2ke sisa S(x) = 4x – 6
f(1) = 4(1) – 6 = –2 dan f(2) = 4(2) – 6 = 2
pembagi II : (x – 3)(x + 2) ; Dimana, x1 = 3 dan x2 = –2, maka menghasilkan S(x) = 8x – 10 Substitusikan nilai fungsi x1 dan x2ke sisa S(x) = 4x – 6
f(3) : 8(3) – 10 = 14 dan f(–2) : 8(–2) – 10 = –26
substitusi nilai f(x) = 1 dan 2 ke bentuk umum suku banyak kuadrat 3, sehingga
f(1) : a + b + c + d = –2 eliminasi kedua persamaan tersebut
f(2) : 8a + 4b + 2c + d = 2 – –7a – 3b – c = –4 …(1)
Substitusi nilai f(x) = 1 dan 3 kebentuk umum suku banyak kuadrat 3, sehingga
f(1) : a + b + c + d = –2
f(3) : 27a + 9b + 3c + d = 14 – –26a – 8b – 2c = –16 …(2)
Dari persamaan 1 dan 2 didapat : –7a – 3b – c = – 4 x8 –26a – 8b – 2c = –16 x3 – 22a + 2c = 16 …(3)
Substitusi nilai f(x) = 2 dan –2 kebentuk umum suku banyak kuadrat 3, sehingga
45
f(–2) : –8a + 4b – 2c + d = –26 _16a + 4c = 28
Eliminasi hasil dari persamaan diatas dengan persamaan (3), maka didapat hasil : 16a + 4c = 28 x1
22a + 2c = 16 x2 _
60a = 60 a = 1, substitusi nilai a kepersamaan (3), didapat… 16(1) + 4c = 28 c = 3
Dengan mensubstitusikan nilai a dan c kepersamaan (1), maka didapat : –7a – 3b – c = –4 –7(1) – 3b – 3 = –4
–10 – 3b = –4 → b = –2
a + b + c + d = –2 1 – 2 + 3 + d = –2, maka nilai d = –4.
Jadi hasil yang didapat untuk mencari nilai f(x) adalah f(x) = x3 – 2x2 + 3x – 4 Jawaban : A
b
- Penyelesaian suku banyak berderajat 3 dengan aturan yang ada
Informasi :
- Soal materi : suku banyak
- Penyelesaian soal dengan menyatakan kedalam bentuk umum persamaan yang ada.
B. Langkah kedua : Analisis dari buku teks
1. Dalam Teori :
Bentuk umum suku banyak :
f(x) = ax3 + bx2 +cx + d
f(x) = (x – a)(x – b)H(x) + (px + q)
2. Contoh dan latihan soal
a. Buku terbitan Yrama Widya
Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XI IPA SMA/MA terdapat soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 215 uji latih pemahaman 5A, No.14 :
Sebuah suku banyak berderajat 3, jika dibagi x2– 3x + 2 mempunyai sisa 3x + 2 dan jika dibagi x + 3 mempunyai sisa 13, maka suku banyak tersebut adalah …
a. x3 +x2+ 13x + 6 c. x3 +x2– 7x + 10 e. x3 +x2+ 7x – 10 b. x3 +x2– 13x – 6 d. x3 +x2+ 7x + 10
b. Buku terbitan Yudistira
Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XI IPA SMA/MA terdapat soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 139, soal uji kompetensi 5.4, No.7 :
Sebuah suku banyak berderajat 3 dalam variable x habis dibagi (x + 2). Jika suku banyak itu dibagi (x + 1) bersisa 2, dibagi (x – 1) bersisa 4, dan dibagi (x – 2) bersisa 12. Tentukan suku banyak tersebut !
c. Buku terbitan Esis
Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XI SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 33, contoh soal No.2 :
Suku banyak f(x) jika dibagi (x – 1) bersisa 8, jika dibagi (x + 2) bersisa –1, dan jika dibagi (x2+ x – 2) hasil baginya (x2 + 1). Tentukan f(x) !
Solusi :
Dari soal disimpulkan f(1) = 8, f(–2) = –1
Persamaan dasarnya adalah f(x) = (x – 1)(x + 2). h(x) + (px + q)
Untuk x = 1, maka f(1) = p + q = 8 …(1)
Untuk x = –2, maka f(–2) = –2p + q = –1 …(2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
46
–2p + q = –1 _
3p + 0 = 9 → p = 3
untuk p = 3, maka p + q = 8 atau 3 + q = 8 → q = 5 ... px + q = 3x + 5 Jadi, sisanya adalah (3x + 5).
Sehingga suku banyak dapat dinyatakan
f(x) = (x – 1)(x + 2) . h(x) + (3x + 5)
= (x2 + x – 2) . h(x) + (3x + 5)
Karena jika f(x) dibagi (x2 + x – 2) menghasilkan (x2– 1), maka
f(x) = (x2 + x – 2)(x2 + 1) + (3x + 5)
= x4 + x2 + x3 + x – 2x2 – 2 + 3x + 5 = x4 + x3 – x2 + 4x + 5
Jadi, f(x) = x4 + x3 – x2 + 4x + 5. d. Buku terbitan Erlangga
Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XI IPA SMA/MA terdapat soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 173, soal latihan 12, No. 7 :
Suku banyak f(x) berderajat 3 mempunyai akar-akar persamaan 2, –1, dan 3. Nilai suku banyak f(x) untuk x = 1 adalah 8. Tentukan fungsi f(x) itu.
e. Buku terbitan Grafindo
Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XI IPA SMA/MA tidak terdapat contoh soal dan soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas.
C. Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument :
Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada
saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 1 buku diantaranya memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas, sedangkan 3 buku lainnya memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas, sementara 1 buku lainnya tidak memiliki contoh soal dan soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas.
Kesimpulan :
Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning.
D. Langkah keempat : Komentar
Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah.
Soal No.11
Diketahui fungsi f(x) = 2x – 3 dan g(x) = x2 + 2x – 3. Komposisi fungsi (g ο f)(x) = ………… A. 2x2 + 4x – 9 B. 2x2 + 4x – 3 C. 4x2 + 4x – 18 D. 4x2 + 8x E. 4x2 – 8x
A. Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahama Ujian Nasional
Solusi soal
Penyelesaian :
Dari soal diketahui : f(x) = 2x – 3 dan g(x) = x2 + 2x – 3, dan yang ditanya dari soal yaitu nilai dari komposisi fungsi (g ο f)(x). maka, didapat :
(g ο f)(x) = g(f (x)) sifat komposisi fungsi
= g(2x – 3) substitusikan nilai f(x) ke fungsi g(x) = (2x – 3)2 + 2(2x – 3) – 3
47
= 4x2 – 12x + 9 + 4x – 9 = 4x2 – 8x Jawaban : E Konteks : - Penyelesaian komposisi.fungsi Informasi :- Soal materi : fungsi
- Penyelesaian soal berdasarkan sifat yang ada dan mencari komposisi fungsi.
B. Langkah kedua : Analisis dari buku teks
1. Dalam Teori : Aturan fungsi : (g ο f)(x) = g(f (x)) 2. Contoh dan latihan soal
a. Buku terbitan Yrama Widya
Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XI IPA SMA/MA terdapat
contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 238 contoh soal 17a : Fungsi f : R → R dan g : R → R ditentukan oleh rumus f(x) = x2 + 4x + 5 dan g(x) = 2x + 3. Tentukan rumus untuk (g ο f)(x) !
Penyelesaian :
(g ο f)(x) = g(f (x)) = g(x2 + 4x + 5) = 2(x2 + 4x + 5) + 3
= 2x2 + 8x + 10 + 3 = 2x2 + 8x + 13 b. Buku terbitan Yudistira
Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XI IPA SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 159, contoh soal 6.6 bagian a :
Fungsi f : R → R dan g : R → R ditentukan dengan aturan f(x) = 5x + 6 dan g(x) = 2x. Tentukan aturan g ο f !
Jawab :
(g ο f) = g(f (x)) = g(5x + 6)
= 2(5x + 6) = 10x + 12 c. Buku terbitan Esis
Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XI SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 77, contoh soal No.1c :
Fungsi f : R → R dan g : R → R ditentukan oleh f(x) = 2x – 3 dan g(x) = x2+ 5. Tentukan rumus untuk (g ο f )(x) !
Solusi :
(g ο f) = g(f (x)) = g(2x – 3)
= (2x – 3)2 + 5 = 4x2 – 12x + 9 + 5 = 4x2 – 12x + 14
d. Buku terbitan Erlangga
Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XI IPA SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 182, contoh 2a :
Diketahui fungsi f : R → R dengan f(x) = 4x – 1 dan fungsi g : R → R dengan g(x) = x2+ 2. (g ο f )(x)! Jawab :
(g ο f)(x) = g(f (x)) = g(4x – 1)
= (4x – 1)2 + 2 = 16x2 – 18x + 3 = 4x2 – 12x + 14
Jadi, (g ο f) = 4x2 – 12x + 14. e. Buku terbitan Grafindo
48
Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XI IPA SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 54, contoh soal 6.3 bagian a :
Misalkan f dan g adalah dua fungsi yang didefinisikan sebagai f : x→3x + 1 dan g : x → 2x2. Tentukanlah (g ο f )(x) !
Jawab :
Untuk (g ο f) = g{f (x)}, anda mulai dengan memasukkan f(x) = 3x + 1 terlebih dahulu. Kemudian, dilanjutkan dengan mengganti x dalam g(x) dengan 3x + 1. Dengan demikian,
(g ο f)(x) = g{f (x)} = g(3x + 1)
= 2(3x + 1)2 = 2(9x2 – 6x + 1) = 18x2 – 12x + 2
C. Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument :
Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, terdapat 5 buku yang memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas.
Kesimpulan :
Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning.
D. Langkah keempat : Komentar
Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah.
Soal No. 12
Seorang pegang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persedian. Ia ingin membeli sepeda gunung dengan harga Rp. 1.500.000,- per buah dan sepeda balap dengan harga Rp. 2.000.000,- per buah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp. 42.000.000,-. Jika keuntungan sebuah sepeda gunung Rp. 500.000,- dan sebuah sepeda balap Rp. 600.000,- maka keuntungan maksimum yang diterima pedagang adalah …
A. Rp. 13.400.000,- B. Rp. 12.600.000,- C. Rp. 12.500.000,- D. Rp. 10.400.000,- E. Rp. 8.400.000,-
A. Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahama Ujian Nasional
Solusi soal
Penyelesaian :
Misal : x = sepeda gunung ; y = sepeda balap ; z = keuntungan penjualan sepeda x ≤ 0 ; y ≤ 0 Maka, jumlah keseluruhan sepeda : x + y ≤ 25 …(1)
Harga 1 unit sepeda gunung (x) = Rp. 1.500.000,- Harga 1 unit sepeda balap (y) = Rp. 2.000.000,-
Keuntungan penjualan sepeda (z) = Rp. 500.000,- (x)+ Rp. 600.000,- (y)
Uang yang dikeluarkan = Rp. 42.000.000,-
Dalam kalimat matematika ditulis :
1.500,000 x + 2.000.000 y ≤ 42.000.000 : 500.000 → 3x + 4y ≤ 84 …….(2)
Dari soal yang ditanya adalah keuntungan maksimum dari penjualan sepeda tersebut = …. x + y ≤ 25 x4 4x + 4y ≤ 100
3x + 4y ≤ 84 – x1 3x + 4y ≤ 84 –
49
titik-titik pojok yang terletak pada daerah himpunan penyelesaian adalah titik O(0,0), A(25,0), B(16,9), C(0,21).
Nilai fungsi objektif 500.000(x)+ 600.000(y) untuk setiap koordinat titik pojok diperlihatkan pada table dibawah :
Titik pojok (x,y) Nilai bentuk 500.000(x)+ 600.000(y)
O(0,0) 0
A(25,0) 12.500.000
B(16,9) 13.400.000
C(0,21) 12,600.000
Dengan metode titik pojok maka didapat grafik fungsi objektif seperti dibawah ini :
Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh dari penjualan sepeda gunung dan sepeda balap yang diterima pedagang adalah sebesar Rp. 13.400.000,00
Jawaban : A
Konteks :
- Aplikasi materi program linear pada kehidupan sehari-hari yang diterapkan pada bidang perdagangan.
Informasi :
- Soal materi : program linear
- Penyelesaian soal berdasarkan defenisi program linear dan aturan yang ada yang diubah kedalam bentuk model matematika.
B. Langkah kedua : Analisis dari buku teks
1. Dalam Teori : Fungsi objektif :
f(x,y) = ax + by ; untuk setiap titik pojok (x,y) dari daerah himpunan penyelesaian 2. Contoh dan latihan soal
a. Buku terbitan Yrama Widya
Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XII IPA SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 54 contoh 4 :
Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. untuk rumah tipe A diperlukan 100 m2 dan tipe B diperlukan 75 m2. Jumlah rumah yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp. 6.000.000,00/unit, dan tipe B adalah Rp. 4.000.000,00/unit. Berapakah keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari penjualan rumah tersebut?
Penyelesaian :
Misalkan : banyak rumah tipe A = x unit; banyak rumah tipe B = y unit Jenis rumah Banyaknya rumah (unit) Luas tanah (m2) Keuntungan Tipe A X 100 Rp. 6.000.000,00 Tipe B Y 75 Rp. 4.000.000,00 Persediaan 125 10.000 x + y ≤ 125, 100x + 75y ≤ 10.000, x ≥ 0, y ≥ 0
Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear bagi masalah ini dapat digambarkan seperti berikut :
Titik pojok himpunan ini adalah (0,0), (0,125), (25,100), (100,0). Nilai fungsi objektifnya ialah :
Titik pojok f(x,y) = 6.000.000x +4.000.000y
(0,0) 0
(0,125) 500.000.000
(25,100) 550.000.000
50
Jadi, keuntungan maksimum yang didapat dari hasil penjualan rumah tersebut sebesar Rp. 600.000.000,00.
b. Buku terbitan Yudistira
Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XII IPA SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman
43, contoh soal 2.3, No.1 :
Seorang pengusaha mebel mempunyai modal Rp. 1.600.000,00 dan 360 lembar papan kayu untuk membuat lemari dan meja. Bahan yang diperlukan untuk membuat sebuah lemari dan sebuah meja masing-masing adalah Rp. 80.000,00 dan Rp. 40.000,00. Keuntungan bersih untuk setiap lemari dan meja yang terjual adalah Rp. 17.500,00 dan Rp. 8.000,00. Buatlah model matematika untuk masalah tersebut. Jika keuntungan bersih yang diharapkan sebesar-besarnya!
Jawab :
Lemari Meja Persediaan
Biaya Rp.80.000,00 Rp.40.000,00 Rp.1.600.000,00
Bahan 20 8 360
Keuntungan Rp.17.500,00 Rp. 8.000,00
Misalnya jumlah lemari yang diproduksi x buah dan meja yang diproduksi y buah. Biaya yang diperlukan adalah 80.000x + 40.000y. bahan yang diperlukan adalah 20x + 8y. karena modal yang dimiliki Rp.1.600.000,00 dan bahan yang tersedia adalah 360 lembar, maka harus dipenuhi pertidaksamaan :
80.000x + 40.000y ≤ 1.600.00 → 2x + y ≤ 40 20x + 8y ≤ 360 → 5x + 2y ≤ 90
Dengan mengingat bahwax dan y menyatakan banyaknya barang, maka x dan y tidak mungkin bernilai negative dan harus merupakan bilangan cacah. Dengan demikian x dan y memenuhi persamaan x ≥ 0, y ≥ 0 dan x, y є C. Keuntungan bersih : 17.500x + 8.000y.
Jadi, model matematika untuk persoalan diatas adalah : 2x + y ≤ 40 ; 5x + 2y ≤ 90 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x, y є C dengan bentuk (17.500x + 8.000y) maksimum.
Daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear tersebut diperlihatkan oleh daerah yang diarsir, serta titik- titik pojok yang terletak pada daerah himpunan penyelesaiannya adalah titik O(0,0), A(18,0), B(10,20), C(0,40). Titik B adalah titik potong antara garis 2x + y ≤ 40 dengan garis 5x + 2y ≤ 90. Nilai fungsi objektif 17.500x + 8.000y untuk setiap koordinat titik pojok dan daerah himpunan penyelesaiaan diperlihatkan pada tabel dan gambar dibawah ini :
Titik pojok (x , y) Nilai bentuk 17.500x + 8.000y
O(0,0) 0
A(18,0) 315.000
B(10,20) 335.000
C(0,40) 320.000
Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XII SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 96, contoh soal No.1 :
Seorang pedagang sepatu mempunyai modal Rp.8.000.000,00. Ia merenca-nakan membeli dua jenis sepatu, sepatu pris dan sepatu wanita. Harga beli sepatu pria adalah Rp.20.000,00 per pasang, dan sepatu wanita harga belinya Rp.16.000,00 per pasang. Keuntungan dari penjualan sepatu pria dan sepatu wanita berturut-turut adalah Rp.6.000,00 dan Rp.5.000,00. Mengingat kapasitas kiosnya, ia akan membeli sebanyak-banyaknya 450 pasang sepatu. Buatlah model matematika yang sesuai dengan persoalan ini. Berapa banyak sepatu pria dan sepatu wanita yang harus dibeli agar pedagang tersebut memperoleh keuntungan yang sebesar-besarnya ?
51
Masalah diatas dapat diselesaikan dengan langkah-langkah berikut :
1. merumuskan persoalan kedalam model matematika.
Dari soal diperoleh siste, pertidaksamaan sebagai berikut :
x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 450, dan 5x + 4y ≤ 2.000 untuk x, y є C. fungsi objektif (6.000x + 5.000y) keuntungan sebesar-besarnya (maksimum).
2. Menggambarkan daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan.
x + y = 450 x5 5x + 5y = 2.250
5x + 4y = 2.000 x1 5x + 4y = 2.000 _
y = 250
untuk y = 250 → x + y = 450
x + 250 = 450 → x = 200
Titik pojok Z = 6.000x + 5.000y Nilai
(0,0) 6.000(0) + 5.000(0) 0
(400,0) 6.000(400) + 5.000(0) 2.400.000
(200,250) 6.000(200) + 5.000(250) 2.450.000
(0,450) 6.000(0) + 5.000(450) 2.250.000
Dari tabel diatas dapat dilihat keuntungan maksimum diperoleh pada saat pedagang tersebut mampu menjual 200 pasang sepatu pria dan 250 pasang sepatu wanita.
d. Buku terbitan Erlangga
Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XII IPA SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 62 latihan 3, No.3 :
Seorang pedagang buah-buahan menggunakan gerobak untuk menjajakan apel dan pisang. Harga pembelian apel Rp.10.00,00 per kg dan pisang Rp.4.000,00 per kg. modal yang tersedia Rp.2.500.00,00 dan gerobaknya memiliki daya muat tidak lebih dari 400 kg. keuntungan per kg apel setara dengan keuntungan per kg pisang. Supaya pedagang itu mendapatkan keuntungan yang sebesar-besarnya, berapa kg apel dan berapa kg pisang yang harus dijual ?
e. Buku terbitan Grafindo
Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XII IPA SMA/MA terdapat soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 109, uji kompetensi 2.2, No.17 :
Sebuah perusahaan memproduksi dua jenis mikrokomputer, yaitu model A dengan 256 K RAM dan model B dengan 128 K RAM. Perusahaan tersebut dapat membuat maksimum 75 model A per hari dan 50 model B per hari. Diperlukan 8 jam untuk memproduksi model A dan 3 jam untuk memproduksi model B. seluruh pegawai dapat memberikan total 630 jam kerja per hari. Laba tiap model A adalah Rp.20,00 dan tiap model B adalah Rp.27,00. Berapa banyaknya setiap model harus diproduksi tiap hari untuk memberikan laba maksimum.
C. Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument :
Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada
saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, terdapat 3 buku yang memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas, sedangkan 2 buku lainnya memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas.
Kesimpulan :
Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning.
52
Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah.
Soal No. 13
Diketahui matriks A = ( ), B = ( ), dan C = ( ). Jika A + B – C = (
), maka nilai x + 2xy + y adalah …
A. 8 b. 12 c. 18 d. 20 e.22
A. Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang