BAB II LANDASAN TEORI
J. Materi Pembelajaran
Dimensi Tiga
1. Pengertian Titik, Garis dan Bidang
a. Titik
Sebuah titik hanya dapat ditentukan olek letaknya, tetapi
tidak mempunyai ukuran (dikatakan tidak berdimensi). Sebuah
titik digambarkan dengan memakai tanda noktah, kemudian
dibubuhi dengan nama titik itu. Nama sebuah titik biasanya
menggunakan huruf kapital seperti A, B, C, P, Q, atau R. Pada gambar di bawah ini diperlihatkan dua buah titik, yaitu titik B dan titik Q.
Gambar 2.3 Contoh Titik
b. Garis
Sebuah garis (dimaksudkan adalah garis lurus) dapat
diperpanjang sekehendak kita. Namun, mengingat terbatasnya
bidang tempat gambar, sebuah garis hanya dilukiskan sebagian
saja. Bagian dari garis ini disebut wakil garis. Garis hanya
mempunyai ukuran panjang, tetapi tidak mempunyai ukuran
lebar. Nama dari sebuah garis dapat ditentukan dengan
menyebutkan nama wakil garis itu dengan memakai huruf kecil
g, h, k, atau menyebutkan nama segmen garis dari titik pangkal ke titik ujung. Pada gambar di bawah ini diperlihatkan dua buah
garis, yaitu garis g dan garis AB (segmen garis AB).
Gambar 2.4 Contoh Garis
c. Bidang
Sebuah bidang (dimaksudkan adalah bidang datar) dapat
diperluas seluas-luasnya. Pada umumnya, sebuah bidang hanya
dilukiskan sebagian saja yang disebut sebagai wakil bidang.
Wakil suatu bidang mempunyai dua ukuran, yaitu panjang dan
lebar. Gambar dari wakil bidang dapat berbentuk persegi atau
bujur sangkar, persegi panjang, atau jajaran genjang. Nama dari
wakil bidang dituliskan di daerah pojok bidang dengan memakai
huruf α, , atau H, U, V, W atau dengan menyebutkan titik-titik sudut dari wakil bidang itu. Pada gambar di bawah ini diperlihatkan dua buah bidang, yaitu bidang α dan bidang ABCD.
Gambar 2.5 Contoh Bidang
2. Kedudukan Titik Terhadap Garis dan Titik Terhadap Bidang
a. Kedudukan Titik Terhadap Garis
Beberapa kedudukan titik terhadap garis, yaitu:
1) Titik Terletak pada Garis
Jika titik A dilalui oleh garis g, maka titik A dikatakan
2) Titik di Luar Garis
Jika titik B tidak dilalui oleh garis h, maka titik B dikatakan berada di luar garis h.
b. Kedudukan Titik Terhadap Bidang
Beberapa kedudukan titik terhadap bidang, yaitu:
1) Titik Terletak pada Bidang
Titik A teletak pada bidang α, dapat ditulis A. 2) Titik di Luar Bidang
Titik B berada di luar bidang α, dapat ditulis B.
Gambar 2.6 Titik Terletak pada Garis
Gambar 2.7 Titik di Luar Garis
Gambar 2.8
Titik Terletak pada Bidang dan di Luar Bidang g A h B α A B E C D
3. Kedudukan Garis Terhadap Garis dan Garis Terhadap Bidang
a. Kedudukan Garis Terhadap Garis Lain
Kemungkinan kedudukan sebuah garis terhadap garis lain
dalam sebuah bangun ruang adalah berpotongan, sejajar, atau
bersilangan.
1) Dua Garis Berpotongan
Dua buah garis g dan h dikatakan berpotongan, jika kedua garis itu mempunyai sebuah titik persekutuan. Dalam
geometri bidang, titik persekutuan itu disebut titik potong
antara kedua garis.
2) Dua Garis Sejajar
Dua buah garis g dan h dikatakan sejajar, jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan tidak mempunyai
titik persekutuan.
Gambar 2.9 Dua Garis Berpotongan
Gambar 2.10 Dua Garis Sejajar α h g h A g
3) Dua Garis Bersilangan
Dua buah garis g dan h dikatakan bersilangan (tidak berpotongan dan tidak sejajar) jika kedua garis itu tidak
terletak pada sebuah bidang. Pada gambar di bawah, garis g terletak pada bidang α dan garis h di luar bidang α. Garis h menembus bidang α di titik A, sedangkan titik A tidak terletak pada garis g. dalam hal demikian, dikatakan garis g dan garis
h bersilangan.
b. Kedudukan Garis Terhadap Bidang
Kemungkinan kedudukan sebuah garis terhadap sebuah
bidang dalam sebuah bangun ruang adalah garis terletak pada
bidang, garis sejajar bidang, atau garis memotong atau
menembus bidang.
1) Garis Terletak pada Bidang
Sebuah garis g dikatakan terletak pada bidang α, jika garis g dan bidang α sekurang-kurangnya mempunyai dua titik persekutuan.
Gambar 2.11
Dua Garis Bersilangan α
h
A
2) Garis Sejajar Bidang
Sebuah garis h dikatakan sejajar bidang α, jika garis h dan bidang α tidak mempunyai titik persekutuan.
3) Garis Memotong atau Menembus Bidang
Sebuah garis h dikatakan memotong atau menembus bidang α, jika garis h dan bidang α hanya mempunyai sebuah titik persekutuan. Titik persekutuan itu disebut titik potong
atau titik tembus.
Gambar 2.12 Garis Terletak pada Bidang
Gambar 2.13 Garis Sejajar Bidang
Gambar 2.14
Garis Memotong atau Menembus Bidang
α A B g α h α h A
4. Kedudukan Bidang Terhadap Bidang Lain
Kemungkinan kedudukan sebuah bidang terhadap bidang lain
dalam sebuah bangun ruang adalah sejajar atau berpotongan.
a. Dua Bidang Sejajar
Bidang α dan bidang dikatakan sejajar jika kedua bidang itu tidak mempunyai titik persekutuan.
b. Dua Bidang Berpotongan
Bidang α dan bidang dikatakan berpotongan jika kedua bidang itu tepat memiliki sebuah garis persekutuan.
Gambar 2.16 Dua Bidang Berpotongan
α
Gambar 2.15
5. Menentukan Jarak Titik ke Garis
Jika sebuah titik berada di luar garis, maka ada jarak antara
titik ke garis itu. Jarak titik A ke garis g (titik A berada di luar garis g) dapat digambarkan dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:
Step 1 Buatlah bidang α yang melalui titik A dan garis g. Step 2 Pada bidang α tersebut buatlah garis AP tegak lurus
terhadap garis g.
Step 3 Ruas garis AP merupakan jarak titik A ke garis g yang
diminta.
Proses di atas dapat divisualisasikan dengan gambar ruang
sebagaimana diperlihatkan pada gambar di bawah ini.
Contoh 1:
Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik B ke diagonal ruang ̅̅̅̅�!
Penyelesaian:
Misalkan jaraknya adalah BP, dimana ̅̅̅̅� dengan ̅̅̅̅� harus tegak lurus.
Gambar 2.17 Jarak Titik ke Garis α
A d
P
Gambar 2.18 Kubus ABCD.EFGH
Ambil segitiga ABG sebagai acuan perhitungan. Jika AB dijadikan alas segitiga, maka BG menjadi tingginya. Jika AG yang dijadikan alas, maka tinggi segitiganya adalah BP, dimana BP itulah yang hendak dicari.
Gambar 2.19 Kubus ABCD.EFGH
Alas1 × tinggi1 = alas2 × tinggi2
AG × BP =AB × BG 6 2 3 3 3 2 6 3 2 6 3 6 2 6 6 AG BG AB BP cm
Contoh 2:
Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan ABCD adalah persegi yang memiliki panjang AB = 4 cm dan TA = 6 cm. Tentukan jarak titik C ke garis AT!
Penyelesaian:
Gambar 2.20
Limas Beraturan T.ABCD dan Segitiga TAC
2 4 AC 72 40 6 6 2 ) 6 6 ( ) 2 4 ( 2 2 2 CosT T = 560 92 , 4 56 sin 6 90 sin 6 56 sin OC OC cm
6. Menentukan Jarak Titik ke Bidang
Jika sebuah titik berada di luar bidang, maka ada jarak antara
titik ke bidang itu. Jarak titik A ke bidang α (titik A berada di luar bidang α) dapat digambarkan dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:
Step 1 Buatlah garis g melalui titik A serta berpotongan dan tegak
lurus tarhadap garis X dan garis H yang berpotongan dan teletak pada bidang α.
Step 2 Garis g menembus bidang α di titik Q.
Step 3 Ruas garis AQ merupakan jarak titik A ke bidang α yang diminta.
Proses di atas dapat divisualisasikan dengan gambar ruang
sebagaimana diperlihatkan pada gambar di bawah ini.
Contoh 1:
Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB = 10 cm, AD = 8 cm, dan
AE = 6 cm. Titik O adalah titik potong diagonal-diagonal bidang alas AC dan BD. Hitunglah jarak:
a) titik A ke bidang BCGF
b) titik O ke bidang ABFE
c) titik O ke bidang EFGH
Penyelesaian:
Gambar 2.21 Jarak Titik ke Bidang α A d Q g x h
a) Jarak titik A ke bidang
BCGF adalah AB = 10 cm, sebab AB tegak lurus bidang BCGF.
b) Jarak titik O ke bidang ABFE adalah OP = (8) 4 2 1 2 1 PQ cm.
c) Jarak titik O ke bidang EFGH adalah OT = AE = 6 cm, sebab OT
tegak lurus bidang EFGH.
7. Sudut antara Garis dan Bidang
Jika sebuah garis memotong atau menembus bidang, maka
terdapat ukuran sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang itu.
Misalkan bahwa garis g memotong bidang U di titik tembus T. Sudut
antara garis g dan bidang U yang berpotongan dapat ditentukan melalui langkah-langkah sebagai berikut:
Step 1 Ambil sembarang titik P pada garis g.
Step 2 Melalui titik P, buatlah garis PQ yang tegak lurus terhadap
bidang U. Garis PQ ini menembus bidang U di titik Q.
Step 3 Sudut PTQ ditetapkan sebagai ukuran besar sudut antara
garis g dan bidang U yang berpotongan. Gambar 2.22 Balok ABCD.EFGH O F E D C B A T H G P Q
Proses menentukan sudut antara garis g dan bidang U yang berpotongan itu dapat divisualisasikan dengan gambar ruang
sebagaimana diperlihatkan pada gambar di bawah ini.
Gambar 2.23
Sudut Antara Garis dan Bidang
Berdasarkan paparan di atas, sudut antara garis dan bidang
yang berpotongan dapat didefinisikan sebagai berikut:
Sudut antara garis g dan bidang α adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis g dengan proyeksinya pada bidang α. Contoh soal:
Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Hitunglah besar (AH, bidang ABCD).
Penyelesaian:
(AH, bidang ABCD) = DAH, yaitu sudut yang dibentuk oleh garis AH dan garis AD, sebab AD adalah proyeksi AH pada bidang ABCD.
ADH
adalah segitiga siku-siku sama kaki sehingga DAH = 450. Jadi, besar (AH, bidang ABCD) = 450.
8. Sudut antara Dua Bidang
Jika dua bidang berimpit atau dua bidang sejajar, maka sudut
yang dibentuk oleh dua bidang yang berimpit atau dua bidang yang
sejajar itu sama dengan nol. Tetapi jika dua bidang berpotongan,
maka terdapat ukuran sudut yang dibentuk oleh dua bidang yang
berpotongan itu.
Misalkan bahwa bidang α dan bidang berpotongan pada garis potong (α, ). Sudut antara bidang α dan bidang yang berpotongan dapat ditentukan melalui langkah-langkah sebagai
berikut:
Step 1 Ambil sembarang titik P pada garis potong (α, ).
Step 2 Melalui titik P, buatlah garis PQ pada bidang α dan garis PR pada bidang yang masing-masing tegak lurus terhadap garis potong (α, ).
Step 3 Sudut QPR ditetapkan sebagai ukuran sudut antara bidang α dan bidang yang berpotongan.
F E D C B A H G Gambar 2.24 Kubus ABCD.EFGH
Gambar 2.25 Sudut Antara Dua Bidang
Berdasarkan paparan di atas, sudut antara dua bidang yang
berpotongan dapat didefinisikan sebagai berikut:
Sudut antara dua bidang yang berpotongan adalah sudut yang
dibentuk oleh dua garis yang berpotongan (sebuah garis pada
bidang pertama dan sebuah garis lagi pada bidang yang
kedua), garis-garis itu tegak lurus terhadap garis potong
antara kedua bidang tersebut.
Contoh soal:
Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Hitunglah besar sudut antara bidang ADGF dengan bidang ABCD.
Penyelesaian:
Sudut antara bidang ADGF dengan bidang alas ABCD adalah BAF atau CDG. Hal ini dikarenakan besar BAF = 450, sebab AF merupakan diagonal sisi ABFE. Jadi, besar sudut antara bidang ADGF dengan bidang ABCD sama dengan 450.
