BAB II LANDASAN TEORI
A. Landasan Teori
8. Materi Persamaan Linear Satu Variabel
a. Pernyataan
Dalam matematika dikenal adanya pernyataan yaitu kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak mungkin kedua-duanya.
Perhatikan kalimat berikut
i. Banyak pemain sepak bola dalam satu tim ada 11 orang ii. 12 adalah bilangan prima
Manakah diantara kalimat di atas yang benar ? mana yang salah ?Kalimat yang sudah bisa ditentukan benar atau salahnya dinamakan kalimat pernyataan.
b. Kalimat terbuka dan tertutup (Cholik Adinawan, 2002: 135 ) a) Kalimat Terbuka
Perhatikan contoh berikut i. y adalah faktor dari 4 ii. x + 7 = 15
Kita lihat bahwa contoh diatas belum dapat ditentukan banar atau salah, kalimat – kalimat seperti itu disebut kalimat terbuka.
Kalimat “ y adalah faktor dari 4 “ bernilai benar jika lambang y diganti dengan 1, 2, atau 4
Kalimat x + 7 = 15 , jika diganti dengan 8 maka akan menjadi kalimat benar, dan jika x diganti dengan bilangan bukan 8 , maka akan menjadi salah.
Lambang- lambang seperti x dan y disebut variabel atau peubah. Pengganti dari variabel (peubah ) sehingga kalimat terbuka menjadi kalimat benar atau kalimat salah disebut konstanta.
Jadi kalimat yang memuat variabel (peubah) sehingga belum diketahui nilai kebenarannya (benar atau salah) disebut kalimat terbuka. Dan peubah atau variabel adalah lambang yang dapat diganti oleh sembarang bilangan yang ditentukan.
b) Kalimat tertutup
Kalimat yang sudah bisa ditentukan benar atau salahnya dinamakan kalimat tertutup.
Contoh : i. -8 < 3
ii. Bilangan genap dikalikan dengan bilangan ganjil hasilnya adalah bilangan genap.
c. Pengertian Persamaan Linear Satu variabel Masalah 1 :
i. x + 8 = 15 ii. 3n – 7 = 20
Kalimat terbuka yang menggunakan tanda hubung sama dengan “(=)” disebut persamaan.
Jika pangkat tertinggi dari variabel suatu persamaan adalah satu maka persamaan itu disebut persamaan linear.
Persamaan linear yang hanya memuat satu variabel disebut persamaan linear satu variabel ( PLSV ).
3. Menentukan Bentuk Setara dari PLSV ( Dengan cara kedua ruas ditambah, dikurangi, dikalikan, dan dibagi dengan bilangan yang sama )
Suatu bentuk persamaan dapat diubah menjadi persamaan lain yang setara dengan cara menambah , mengurang, mengali atau membagi kedua ruas persamaan itu dengan bilangan yang sama
Sekarang perhatikan persamaan berikut : Mari kita ubah persamaan 2x – 2 = 6
a. Jika kedua ruas suatu persamaan ditambah dengan bilangan yang sama, maka persamaan yang diperoleh setara ( ekuivalen ) dengan persamaan semula.
2x - 2 = 6
2x - 2 + 2 = 6 + 2 2x = 8
Jadi 2x -2 = 6 2x = 8
Keterangan : ” ” dibaca setara atau ekuivalen
b. Jika kedua ruas suatu persamaan dikurangi dengan bilangan yang sama, maka persamaan yang diperoleh setara dengan persamaan semula
2x - 2 = 6 2x - 2 – 2 = 6 – 2 2x – 4 = 4
Jadi, 2x - 2 = 6 ⇔ 2 x - 4 = 4
c. Jika kedua ruas suatu persamaan dikalikan dengan bilangan yang sama maka persamaan yang diperoleh setara dengan persamaan semula
2x - 2 = 6
2.(2x - 2) = 2. (6) 4x - 4 = 12
Jadi 2x - 2 ⇔ 4x - 4 = 12
d.Jika kedua ruas suatu persamaan dibagi dengan bilangan yang sama maka persamaan yang diperoleh setara dengan persamaan semula
2x + 2 = 6
(2x + 2) : 2= (6) : 2 x + 1 = 3
Pemanfaatan alat peraga
Dalam pemakaian alat peraga mari kita lihat cara pemakaian dibawah ini dengan menggunakan contoh : Tentukan persamaan setara paling sederhana dari 2x + 4 = 6
Ruas kiri Ruas kanan
Kotak 1 Kotak 2 Kotak 3 Kotak 4 Gambar 2.3. Contoh Penggunaan Alat Peraga 1
Kesimpulan :
i. Suatu persamaan tetap setara atau ekuivalen jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama
ii. Suatu persamaan tetap setara atau ekuivalen jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama
+ + = = + + Kartu dikoson gkan 2x 4 PERHATIKAN :
Menambah atau mengurang kedua ruas persamaan dengan bilangan tertentu yang sama bertujuan agar dalam satu ruas persamaan terdapat peubah saja atau bilangan konstanta saja untuk menyelesaiakan suatu persamaan kita harus mendapatkan persamaan ekuivalen dalam bentuk yang paling sederhana. Untuk mendapatkan itu usahakan agar peubah terletak dalam suatu ruas ( biasanya di ruas kiri), sedangkan bilangan tetap/ konstanta diruas yang lain ( biasanya di ruas kanan).
INGATLAH
Kartu (X) Kartu (-X) Kartu (1) Kartu (-1) Warna kuning Warna Hijau Warna kuning Warna Hijau
0 0 Gambar 2.4. Identitas Penjumlahan
Langkah – langkah
a. Taruhlah kartu (x) warna kuning pada kotak 1 berjumlah 2 kartu,serta Taruhlah kartu (1) warna kuning pada kotak 2 berjumlah 4 kartu. Sekarang taruhlah kartu (1) warna kuning pada kotak 4 berjumlah 6 kartu. Untuk kotak 3 kita kosongkan.
Terbaca : 2x + 4 = 6 + 0
b. Mengeliminasi (membuang) kartu (1) yang berjumlah 4 buah pada kotak 2 dengan memasukkan kartu (-1) warna hijau berjumlah 4 pada ruas kiri dan kartu (-1) warna hijau berjumlah 4 juga pada ruas kanan pada kotak 3.
Terbaca: 2x + {(4) + (-4)} = {6 + (-4) }
Dan setelah dikurangkan hasilnya terbaca menjadi 2x + 0 = 2 dan 2 kotak yang tersisa
Terlihat hasilnya 2x = 2
2x = 2 merupakan persamaan setara dari 2x + 4 = 6
Untuk lebih sederhana lagi kita cari x nya
Sekarang Kelompokan menjadi 2 bagian yang sama,menjadi
Gambar 2.5. Pengelompokkan kartu
Terlihat setiap kartu (x ) mendapat bagian kartu (1) hasilnya adalan x = 1
Jadi, x = 1 merupakan persamaan setara yang paling sederhana dari 2x + 4 = 6 Untuk lebih sistematis
2x + 4 = 6
⇔ 2x + 4 + (– 4) = 6 +(– 4) ( Tambahkan kedua ruas dengan -4) ⇔ 2x = 2
⇔ = ( Bagi kedua ruas dengan 2 ) ⇔ x = 1
3. Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel
Menyelesaikan persamaan, sama artinya dengan menentukan pengganti variabel sehingga persamaan menjadi bernilai benar atau dapat dikatakan persamaan setara yang lebih sederhana. Untuk menentukan penyelesaian
persamaan linear satu variabel, kita gunakan aturan persamaan yang setara, yaitu kedua ruas ditambah, dikurangi, dikalikan, atau dibagi dengan bilangan yang sama.penyelesaian suatu persamaan linear satu variabel dapat ditentukan dengan cara berikut :
a. Dengan Pemanfaatan Alat Peraga
Contoh : tentukan penyelesaian dari persamaan 3x – 2 = 2x + 2
Ruas kiri Ruas kanan
Kotak 1 Kotak 2 Kotak 3 Kotak 4
Gambar 2.6. Contoh Penggunaan Alat Peraga 2
INGATLAH
Kartu (X) Kartu (-X) Kartu (1) Kartu (-1) Warna kuning Warna Hijau Warna kuning Warna Hijau
0 0 + + = = + + 3x -2 2x 2
Langkah – Langkah
a. Ubahlah bentuk pengurangan menjadi bentuk penjumlahan. Bahwa
pengurangan dua bilangan sama dengan penjumlahan dengan lawan pengurang ( a – b = a + (-b) : 3x – 2 = 2x + 2 ekuivalen dengan 3x + ( -2) = 2x + 2.
b. Taruhlah kartu (x) warna kuning pada kotak 1 berjumlah 3 kartu, serta taruhlah kartu (-1) warna hijau pada kotak 2 berjumlah 2 kartu. Sekarang taruhlah kartu warna (x) warna kuning pada kotak 3 berjumlah 2 kartu, serta taruhlah kartu (1) warna kuning pada kotak 4 berjumlah 2 kartu.
Terbaca : 3x + (-2) = 2x + 2
c. Mengeliminasi bilangan (-2) di ruas kiri dengan memasukkan dua kartu (1) pada ruas kiri dan dua kartu (1) pada ruas kanan pada kotak 2 dan kotak 4. Terbaca : 3x + {(-2) + (2)} = 2x + {(2) + (2)}, ambil kartu yang berbeda yaitu
2 kartu warna hijau dan 2 kartu warna kuning pada kotak dua. Menurut identitas penjumlahan (-1) + (1) = 0 atai (-x) + ( x ) = 0
Terbaca menjadi 3x + 0 = 2x + 4
d. Taruhlah kartu (x) warna kuning pada kotak 1 berjumlah 3 kartu. Perhatikan ruas kiri hanya memakai satu kotak karena 0 kita kosongkan pada kotak 2. e. Taruhlah kartu ( x ) warna kuning di kotak 3 berjumlah 2 dan kartu ( 1 ) warna
kuning di kotak 4 berjumlah 4 kartu.
f. Setelah itu mengeliminasi 2x di ruas kanan dengan memasukkan kartu (-x) warna hijau berjumlah 2 masing-masing di ruas kiri dan kanan di kotak 1 dan kotak 3
Terbaca : 3x + (-2x) = {(2x) + (-2x)} + 4
g. Ambil dua kartu yang berbeda warna yaitu 2 kartu kuning dan 2 kartu hijau pada kotak 3 maka terbaca : x = 0 + 4 atau x = 4 , menjadi
Pada penyelesaian persamaan berlaku : dalam satu ruas persamaan terdapat variabel saja atau bilangan konstanta saja untuk menyelesaiakan suatu persamaan kita harus mendapatkan persamaan ekuivalen dalam bentuk yang paling sederhana.
b. Tanpa pemanfaatan alat peraga yaitu penyelesaian persamaan linear satu variabel dengan menyetarakan persamaan dan menyederhanakannya
1). a. Persamaan bentuk ax = c dengan a, c bilangan riil dan a ≠ 0. Contoh : 2x = 6
⇔ x = 3
b. Persamaan bentuk ax + b = c dengan a, b, c riil a 0. Contoh 1: x + 3 = 5 ⇔ x + 3 + (-3) = 5 + (-3) ⇔ x + 0 = 2 ⇔ x = 2 Contoh 2 : 3x + 1 = 4 ⇔3x + 1 + (-1) = 4 + (-1) ⇔ 3x + 0 = 3 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1
c. Persamaan bentuk ax + b = cx + d a, b, c, d riil a, c 0 Contoh : 2x + 2 = x + 1 ⇔2x + 2 + (-2) = x + 1 + (-2) ⇔ 2x + 0 = x + (-1) ⇔ 2x + (-x) = x + (-x) + (-1) ⇔ x = 0 + (-1) ⇔ x = -1
2). Prinsip matematika
Penyelesaian persamaan linear satu variabel dapat dicari dengan menggunakan prinsip matematika yaitu bahwa suatu persamaan akan tetap ekuivalen jika kedua ruas ditambah , dikurang, dikalikan tidak nol, dan dibagi dengan bilangan yang sama dengan pembagi tidak sama dengan pembagi 0
Contoh :
Cari penyelesaian dari persamaan x + 5 = 8
Jawab : Untuk mengelompokkan antara variabel dan konstanta maka ruas kiri dan kanan dikurangi dengan 5 sehingga menjadi
x-5 – 5 = 8 – 5 x + 0 = 3 x = 3