BAB II LANDASAN TEORI
H. Berpikir
I. Materi Pokok
1. Pengertian Persamaan Liner Satu Variabel Perhatikan kalimat berikut
a. x + 8 = 15 b. 3x-7=20
Kalimat terbuka diatas menggunakan tanda penghubung “=” (sama dengan), maka kalimat itu disebut persamaan. Masing-masing persamaan diatas hanya memiliki satu variabel yaitu x, maka persamaan tersebut dinamakan persamaan linear satu variabel. Tiap variabel pada persamaan diatas berpangkat satu, sehingga persamaan diatas dinamakan persaman linear. Oleh sebab itu Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka dengan satu variabel yang memiliki hubungan sama dengan, dan variabelnya hanya berpangkat satu. Sedangkan untuk Kalimat terbuka adalah yang memuat variabel sehingga belum diketahui kebenaranya (benar atau salah ).
2. Bentuk Umum Persamaan Linear Satu Variabel
Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah sebagi berikut Ax ± B= 0
Keterangan :
A= Koefisien dari x x = Variabel
B= Konstanta
3. Sifat-sifat persamaan linear
a. Nilai Persamaan Tidak Berubah, Jika:
1) Kedua ruas ditambah atau dikurangi bilangan yang sama. 2) Kedua rus dikalikan atau dibagi bilangan yang sama. b. Suatu persamaan jika dipindahkan ruas, maka :
1) Penjumlahan berubah menjadi pengurangan dan sebaliknya. 2) Perkalian berubah menjadi pembagian dan sebaliknya. Contoh
a. x + 4 = 12
x + 4 + (−4) = 12 + (−4) (kedua ruas ditambah − 4) x + 0 = 12 + (−4) x = 8 b. 3x = 9 3x 3 = 9
3 (kedua ruas dibagi 3) x = 3
c. 4x − 7 = 2x + 9
4x − 7 + 7 = 2x + 9 + 7 (kedua rus ditambah 7) 4x + 0 = 2x + 16
4x = 2x + 16
4x + (−2x) = 2x + (−2x) + 16 (kedua ruas ditambah − 2) 2x = 0 + 16
2x = 16 2x
2 = 16
2 (Kedua ruas dibagi 2) x = 8
4. Memahami Penjumalahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar Contoh
Masalah Pak Madhuri merupakan seorang pemborong beras yang sukses di desa Dempo Timur. Pak Madhuri mendapatkan pesanan dari Pedagang pasar Pasean dan Waru di hari yang bersamaan. Pedagang pasar Pasean memesan 15 karung beras, sedangkan pedagang pasar Waru memesan 20 karung beras. Beras yang sekarang tersedia di gudang Pak Madhuri hanya 17 karung beras saja. Misalkan x adalah massa tiap karung beras. Nyatakan dalam bentuk aljabar:
a. Total beras yang dipesan kepada Pak Madhuri.
b. Sisa beras yang ada di gudang Pak Madhuri jika memenuhi pesanan pedagang pasar Pasean saja.
c. Kekurangan beras yang dibutuhkan Pak Madhuri jika memenuhi pesanan pedagang pasar Waru saja.
Penyelesaian
a. Total beras yang dipesan kepada Pak Madhuri adalah 15x + 20x atau 35x kilogram beras.
b. Jika Pak Madhuri memenuhi pesanan pedagang pasar Pasean saja, maka sisa beras adalah 2 karung beras atau 2x kilogram beras.
c. Kekurangan beras yang dibutuhkan Pak Madhuri untuk memenuhi pesanan Pedagang pasar Waru adalah 3 karung beras atau (-3x) kilogram beras. (tanda negatif menyatakan kekurangan.
Untuk memelajari lebih lanjut tentang penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar, marilah kita amati
Tabel 2. 1 Penjumlahan dan Pengurangan Bntuk Alajabar
No A B A+B B+A A-B B-A
1 2𝑥 3𝑥 5𝑥 5𝑥 −𝑥 𝑥
2 𝑥 + 2 𝑥 + 7 2𝑥 + 9 2𝑥 + 9 −5 5
5. Memahami Perkalian dan Pembagian Aljabar Contoh Masalah
Pak Idris mempunyai kebun apel berbentuk persegi dan Pak Tohir mempunyai kebun jeruk berbentuk persegi panjang. Ukuran panjang kebun jeruk Pak Tohir 20 m lebih dari panjang sisi kebun apel Pak Idris. Sedangkan lebarnya, 15 m kurang dari panjang sisi kebun apel Pak Idris. Jika diketauhi kedua luas kebun Pak Idris dan Pak Tohir adalah sama, maka tentukan luas kebun apel Pak Idris?
Penyelesaian
Untuk memecahkan persoalan tersebut bisa dengan memisalkan panjang sisi kebun apel Pak Idris dengan suatu variabel, misal variabel x. Panjang kebun jeruk Pak Tohir 20 meter lebih panjang dari panjang sisi kebun apel bisa ditulis 𝑥 + 20 . Lebarnya 15 meter kurang dari panjang sisi kebun apel Pak Idris bisa ditulis 𝑥 − 15 Seperti yang kita ketahui bahwa luas persegi panjang adalah panjang × lebar. Namun dalam permasalahan menentukan panjang sisi kebun tersebut, kita sedikit mengalami kesulitan karena yang dikalikan adalah bentuk aljabar. Dalam permasalah tersebut luas kebun Pak Tohir adalah hasil kali dari 𝑥 + 20 dengan 𝑥 − 15.
Luas kebun Pak Tohir dapat ditulis dalam bentuk aljabar Luas = panjang × lebar
= (𝑥 + 20) × (𝑥 − 15) = 𝑥 2− 15𝑥 + 20𝑥 − 300
Jadi, luas kebun Pak Tohir adalah 𝑥 2+ 5𝑥 − 300 satuan luas. Dari kedua cara tersebut, silakan menggunakan cara yang menurut kalian paling mudah. Karena diketahui luas kebun apel Pak Idris sama dengan luas kebun jeruk Pak Tohir, maka didapat:
Luas kebun apel Pak Idris = Luas kebun jeruk pak Tohir
(𝑥)2= 𝑥 2+ 5𝑥 − 300 𝑥 2 = 𝑥 2+ 5𝑥 − 300 𝑥 2− 𝑥 2 =5𝑥 − 300 0 = 5𝑥 − 300 300 = 5𝑥 300 5 = 𝑥 𝑥 = 60
Jadi, luas kebun apel Pak Idris adalah (𝑥) 2 = (60) 2 = 3.600 satuan luas. Untuk memelajari lebih lanjut tentang penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar, marilah kita amati
Tabel 2. 2 Perkalian Bentuk Alajabar
No A B A × B
1 5 𝑥 + 10
= (5 × 𝑥) + (5 × 10) = 5𝑥 + 50
= 𝑥2+ 3𝑥 + 10𝑥 + 30 = 𝑥2+ 13𝑥 + 30 3 3𝑥 − 2 2𝑥 − 4 = (3𝑥)(2𝑥) + (3𝑥)(−4) + (−2)(2𝑥) + (−2)(−4) = 6𝑥2+ (−12𝑥) + (−4x) + 8 = 6𝑥2− 16𝑥 + 8
Tabel 2. 3 Pembagian Bentuk Aljabar
No 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 1 5 𝑥 + 10 =𝑥 + 10 5 =𝑥5 +105 = 𝑥5 + 2 2 𝑐 𝑥 + 10 =𝑥 + 10 𝑐 =𝑥𝑐 +10𝑐 = 𝑥 +10𝑐
6. Jika Nilai x yang di cari merupakan persamaan linear dasar Pada kasus ini, anda dapat menyelesaikannya dengan metode perkalian, pembagian, pengurangan, penambahan biasa. Perhatikan
Contoh berikut ini.
Berapa nilai x dari persamaan berikut.
4(3𝑥 + 2) = 20 Jawab: 4(3𝑥 + 2) = 20 12𝑥 + 8 = 20 12𝑥 = 20 − 8 12𝑥 = 12 𝑥 = 1
Jadi, nilai x adalah 1
7. Jika Nilai x yang di cari merupakan sebuah persamaan yang berbentuk pecahan. Pada kasus ini, anda bisa menggunakan cara sesuai metode yang di gunakan pada kasus 1 dan menggunakan prinsip dasar pecahan. Perhatikan contoh berikut.
Tentukan nilai x pada persamaan berikut
3(2𝑥 + 4)
Jawab: 3(2𝑥 + 4) 2𝑥 = 4 3(2𝑥 + 4) = 4(2𝑥) 6𝑥 + 12 = 8𝑥 12 = 8𝑥 − 6𝑥 12 = 2𝑥 𝑥 =122 𝑥 = 6
jadi, nilai x adalah 6
8. Jika nilai x yang di cari mempunyai kuadrat
Pada kasus ini, anda dapat menyelesaikannya dengan cara-cara yang ada di atas. Dalam menyelesaikannya, kemungkinan anda akan menggunakan akar untuk mendapatkan nilai x. Perhatikan contoh berikut.
Tentukan nilai x dari persamaan berikut
𝑥 + 4 = 8
Jawab:
𝑥2 = 8 − 4
𝑥2 = 4
𝑥 = ±2
Jadi, nilai x adalah 2
9. Jika x merupakan akar dari suatu angka
Dalam kasus ini kita dapat diselesaikan dengan mengkalikan kedua ruas dengan pangkat kuadrat Tentukan nilai x dari persamaan berikut.
√𝑥 + 2 = 8
Jawab:
(√𝑥 + 2)2 = 82
𝑥 + 2 = 6 𝑥 = 64 − 2
𝑥 = 62 Jadi, nilai 𝑥 adalah 62
J. Dragon Box2
1. Penjelasan Dragon Box2 Game
Berdasarkan permasalahan yang terjadi pada siswa kelas VII dalam memahami konsep aljabar khusunya persamaan linear satu variabel maka perlu adanya penggunaan perantara media dalam penyampaian materi mengenai konsep dalam aljabar untuk menyelesaikan persamaan linear satu variabel supaya memudahkan siswa dalam
menangkap konsep serta dapat menerapkanya ke dalam pengerjaan soal. Media yang digunakan sebagai perantara materi adalah sebuah gim edukasi matematika yang bernama dragonbox 2 (dragonbox 12 + ). Dalam pengembangan sebuah gim harus ada elemen-elemen struktural permainan gim sehingga gim tersebut dapat dalam mengatasi masalah-masalah dalam konsep aljabar khususnya persamaan linear satu variabel. Menurut Marc Prensky (2001) menggemukakan bahwa terdapat enam kunci elemen-elemen struktural permainan gim yang harus ada dalam pengembangan sebuah gim yaitu:
a. Rules (Aturan).
b. Goals and Objectives (Tujuan).
c. Outcomes & Feedback (Hasil dan umpan balik).
d. Conflict/Competition/Challenge/Opposition (Tantangan). e. Interaction (Interaksi).
f. Representation or Story (Representasi atau cerita).
Elemen-elemen struktural yang dimiliki dalam Dragonbox2 adalah sebagai berikut.
a. Aturan
Aturan dalam gim ini adalah siswa harus menyelesaikan sepuluh chapter dimana masing-masing chapter memiliki dua puluh level. Setiap menyelesaaikan satu level maka akan mendapatkan skor tiga bintang jika syarat dalam permainan terpenuhi.
b. Tujuan
Tujuan dalam gim ini mendapatkan skor bintang tertinggi pada masing-masing level di dalam sepuluh chapter. Syarat untuk mendapatkan bintang yang maksimal, siswa perlu memenuhi tiga syarat yaitu: langkah-langkah yang digunakan tidak lebih dari langkah-langkah yang telah ditetapkan oleh gim, menyederhankan persamaan ke tingkat yang lebih sederhana dan menyelesaikan permainan. Ketiga syarat ini bertujuan untuk mengasah keterampilan siswa dalam menyelesaikan persaman linear satu variabel, mengenal variabel serta operasi dalam alajabar dan mengenalkan serta meningkatkan konsep-konsep aljabar dalam menyelesaikan persamaan linear satu variabel.
c. Hasil dan umpan balik
Hasil yang diberikan adalah total skor bintang setelah menyelesaikan masing-masing chapter. Umpan balik yang diberikan adalah berupa tulisan “congratulations” ketika siswa berhasil melewati chapter ketiga dan tulisan “solved in fewer
moves!” ketika siswa menyelesaikan gim dengan langkah-langkah
yang lebih sedikit dari langkah-langkah yang telah ditentukan oleh gim.
d. Tantangan
Tantangan yang terdapat dalam gim ini adalah siswa harus memikirkan cara-cara atau strategi untuk memenuhi ketiga syarat tersebut.
e. Interaksi
Interaksi antara gim ini dan pengguna adalah siswa dapat menerapkan langkah-langkah dalam menyelesaikan persamaan linear satu variabel ke dalam pengerjaan soal.
f. Representasi atau cerita
Cerita yang terdapat dalam gim adalah mengenalkan siswa pada sebuah variabel yang dimisalkan oleh gambar dan huruf, mengenalkan dan
menguji siswa untuk menguji konsep aljabar ke dalam penyelesaian
linear satu variabel yang dimulai dari tingkatan yang mudah ketingkatan
yang sulit.
2. Langkah Bermain
a. Tampilan Dragonbox2
3) Tampilan awal 4) Tampilan karakter
Gambar 2. 1 Tampilan Dragonbox2
b. Chapter Kesatu
1) Level 1, siswa belajar bagaimana cara menghilangkan sebuah gambar yang berbentuk spiral. Gambar spiral dapat dimisalkan mewakilkan nilai nol. Pada saat gambar spiral hilang maka boxnya akan terbuka dan mendapatkan poin bintang.
Gambar 2. 2 Permainan pada Chapter 1, Level 1
2) Level 5.
Layar dalam gim terbagi menjadi dua sisi yaitu sisi kanan dan sisi kiri kemudian kotak merah akan berada pada salah satu sisi tersebut. Dalam level ini siswa belajar menggabungkan gambar yang berwana hijau dengan gambar yang sama tetapi berbeda warna. Gambar yang berwana hitam melambangkan sebuah nilai positif dan gambar yang berwana kuning melambangkan nilai negatif. Pada pembelajaran aljabar, operasinya adalah 1+ (-1) = 0. Setelah digabungkan gambar tersebut akan berubah bentuk menjadi spiral berwana hijau.. Hilangkan semua gambar spiral yang berwana hijau sehingga yang tersisa hanya box dan kita akan mendapatkan bintang.
a) Langkah kesatu b) Langkah kedua
c) Bintang yang diperoleh
Gambar 2. 3 Permainan pada Chapter 1, Level 5
3) Level 9.
Pada level ini terdapat gambar yang berada dibawah kotak yang harus di gabungkan dengan gambar yang serupa tetapi berbeda warna. Pada saat menambahkan gambar tersebut ke dalam sisi kanan maka gambar tersebut juga harus ditambahkan ke sisi kiri. Dalam persamaan aljabar tahap ini mewakilkan penjumlah kedua ruas, dimana jika ruas sebelah kiri tambahkan 1 maka ruas sebelah kanan juga ditambahkan 1. Seperti langkah sebelumnya hilangkan semua gambar yang sampai tersisa box dan siswa akan mendapatkan bintang.
a) Langkah Kesatu b) Langkah Kedua
c) Tampilan Umpan Balik
Gambar 2. 4 Permainan pada Chapter 1, Level 9
b. Chapter 2. 1) Level 1.
Pada level ini siswa belajar mengenai pembagian. Dalam gambar terlihat ada 2 gambar yang sama bentuk maupun warna. Selanjutkan kita drag ikan bawah dan drop pada ikan yang diatas. Hasil yang akan didapatkan berupa satu titik. Gambar ikan yang berwarna biru dapat kita misalkan mewakilkan nilai lima dan gambar yang berbentuk satu titik dapat kita misalkan mewakikan nilai satu. Dalam persamaan aljabar bentuknya adalah 5
yang berwana hitam dengan gambar satu titik yang berwana putih sehingga yang tersisa hanya box.
a) Langka Kesatu b) Langkah Kedua
c) Langkah Ketiga d) Bintang yang diperoleh
Gambar 2. 5 Permainan pada Chapter 2, Level 1
2) Level 5.
Pada level ini, siswa belajar mengenai identitas perkalian. Gambar titik dapat kita misalkan bernilai satu, sedangkan box dapat kita misalkan bernilai lima. Untuk menyelesaikannya yaitu dengan cara menggeserkan gambar satu titik kedalam box. Dalam aljabar persamaannya berbentuk 5 × 1 = 5, dimana 5 merupakan nilai yang berada pada bilangan real. a) Langkah Kesatu b) Bintang yang Diperoleh
Gambar 2. 6 Permainan pada Chapter 2, Level 5
3) Leve11
Pada level ini, siswa belajar pembagian kedua ruas. Level ini dapat diselesaikan menggunakan cara yang telah di perlajari a) Langkah Kesatu b) Langkah Kedua
c) Langkah Ketiga d) Bintang yang Diperoleh
4) Level 20
Dalam Level ini, gim sudah menampilkan persamaan linear satu variabel dan dragonbox sudah digantikan dengan variabel x. Langkah dalam menyelesaikannya tetap sama dengan langkah yang telah dipelajari.
a) Langkah Kesatu b) Langkah Kedua
c) Langkah Ketiga d) Langkah Keempat
g) Langkah Ketujuh h) Bintang yang Diperoleh
Gambar 2. 8 Permainan pada Chapter 2, Level 20
c) Chapter 3 1) Level 1
Dalam level satu ini siswa belajar mengenai perpindahan ruas. Pada gambar dibawah terlihat perubahan warna. Bentuk aljabarnya x =1+p, diubah menjadi x +(-1)=p
a) Langkah Kesatu b) Langkah Kedua
c) Bintang yang Diperoleh
2) Level 7
Dalam level ini siswa belajar mengenai perkalian kedua ruas. a) Langkah Kesatu b) Langkah Kedua
a) Langkah Ketiga b) Umpan Balik
c) Bintang yang diperoleh
3) Level 20
Pada level 20, siswa mengerjakan sesuai dengan langkah-langkah yang telah dipelajari.
a) Langkah Kesatu b) Langkah Kedua
c) Langkah Ketiga d) Langkah Keempat
g) Langkah Ketujuh h) Langkah Kedelapan
i) Langkah Kesembilan j) Langkah Kesepuluh
Gambar 2. 11 Permainan pada Chapter 3, Level 20
d. Chapter 4 1) Level 1
c) Langkah Ketiga d) Bintang yang Diperoleh
Gambar 2. 12 Permainan pada Chapter 4, Level 1
2) level 4
a) Langkah Kesatu b) Langkah Kedua
e) Bintang yang Diperoleh
Gambar 2. 13 Permainan pada Chapter 4, Level 4
3) Level 8
a) Langkah Kesatu b) Langkah Kedua
c) Langkah Ketiga d) Langkah Keempat
e) Chapter 5 1) Level 1
Dalam level ini siswa belajar mengenai nilai positif dan negatif. Gambar yang berwana hitam dapat dimisalkan nilai negatif dan yang putih bernilai positif.
a) Langkah Kesatu b) Langkah Kedua
c) Langkah Ketiga
Gambar 2. 15 Permainan pada Chapter 5, Level 1
2) Level 20
c) Langkah Ketiga d) Langkah Keempat
e) Langkah Kelima f) Langkah Keenam
g) Langkah Ketujuh h) Langkah Kedelapan
k) Bintang yang diperoleh
Gambar 2. 16 Permainan pada Chapter 5, Level 20
3) Chapter 6 1) Level 1
Dalam level satu ini siswa belajar mengenal operasi alajabar dengan menggunakan tanda kurung kurawal.
a) Langkah Kesatu b) Langkah Kedua
c) Langkah Ketiga
2) Level 5
Dalam level ini siswa belajar mengenai sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.
a) Langkah Kesatu b) Langkah Kedua
c) Langkah Ketiga d) Langkah Keempat
g) Bintang yang Diperoleh
Gambar 2. 18 Permainan pada Chapter 6, Level 5
3) Level 7
Dalam level ini siswa belajar mengenai sifat distributif pembagian terhadap penjumlahan
a) Langkah Kesatu b) Langkah Kedua
e) Langkah Ketujuh f) Langkah Kedelapan
Gambar 2. 19 Permainan pada Chapter 6, Level 7
g) Chapter 7 1) Level 1
Dalam level ini siswa belajar menyederhanakan nilai yang mempunyai variabel yang sama.
a) Langkah Kesatu b) Langkah Kedua
e) Langkah Kelima f) Langkah Keenam
g) Langkah Ketujuh h) Langkah Kedelapan
Gambar 2. 20 Permainan pada Chapter 7, Level 1
2) Level 4
c) Langkah Ketiga d) Langkah Keempat
e) Langkah Kelima f) Langkah Keenam
g) Langkah Ketujuh h) Langkah Kedelapan
i) Langkah Kedelapan j) Bintang yang Diperoleh
3) Level 5
a) Langkah Kesatu b) Langkah Kedua
c) Langkah Ketiga d) Langkah Keempat
e) Langkah Keenam f) Langkah Ketujuh
g) Langkah Kedelapan h) Langkah Kesembilan
4) Level 10
a) Langkah Kesatu b) Langkah Kedua
c) Langkah Ketiga d) Langkah Keempat
g) Langkah Ketujuh h) Langkah Kedelapan
i) Langkah Kesembilan j) Langkah Kesepuluh
k) Langkah Kesebelas l) Langkah Keduabelas
Gambar 2. 23 Permainan pada Chapter 7, Level 10
5) Level 14
Dalam level ini siswa belajar unntuk menyamakan penyebut dari operasi pembagian bilangan pecahan.
a) Langkah Kesatu b) Langkah Kedua
c) Langkah Ketiga d) Langkah Keempat
e) Langkah Kelima f) Langkah Keenam
i) langkah kesembilan j) Langkah Kesepuluh
k) Langkah Kesebelas l) Langkah Keduabelas
m) Langkah Ke Tigabelas n) Langkah Keempat Belas
6) Level 15
a) Langkah Kesatu b) Langkah Kedua
c) Langkah Ketiga d) Langkah Keempat
g) Langkah Ketujuh h) Langkah Kedelapan
i) Langkah Kesembilan j) Langkah Kesembilan
k) Langkah Kesepuluh l) Langkah Kesebelas
Gambar 2. 25 Permainan pada Chapter 7, Level 15
h. Chapter 8
c) Langkah Ketiga d) Bintang yang Diperoleh
Gambar 2. 26 Permainan pada Chapter 8, Level 1
i. Chapter 9 1) Level 1
a) Langkah Kesatu b) Langkah Kedua
e) Langkah Kelima f) Langkah Keenam
g) Bintang yang Diperoleh
Gambar 2. 27 Permainan pada Chapter 9, Level 1
2) Level 5
c. Langkah Ketiga d. Langkah Keempat
e. Langkah keLima f. Langkah Keenam
g. Langkah Ketujuh h. Bintang yang Diperoleh
i. Chapter 10 1) Level 1
a) Langkah Kesatu b) Langkah Kedua
c) Langkah Ketiga
Gambar 2. 29 Permainan pada Chapter 10, Level 1
2) Level 17
c) Langkah ketiga d) Langkah Keempat
e) Langkah Kelima f) Langkah Keenam
g) Langkah ketujuh h) Langkah Kedelaj. Lamhpan
k) Langka Kesebelas l) Langkah Keduabelas
m) Langkah Ketigabelas n) Langkah Keempat Belas
o) Bintang yang Diperoleh
Gambar 2. 30Permainan pada Chapter 10, Level 17
