Metode Simpleks

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Metode Simpleks

Apabila suatu masalah linear programming hanya terdapat 2 variabel keputusan saja (𝑥₁ dan 𝑥₂), maka dapat diselesaikan dengan metode grafik dan metode simpleks. Tetapi apabila melibatkan lebih dari 2 variabel keputusan maka metode grafik tidak dapat digunakan lagi, sehingga diperlukan metode simpleks (Meflinda dan Mahyarni, 2011).

Metode simpleks pertama kali ditemukan oleh George B. Dantzig pada tahun 1947 dan telah diperbaiki oleh beberapa ahli lainnya. Metode ini digunakan untuk menyelesaikan masalah linear programming melalui perhitungan ulang (iteration) di mana langkah-langkah perhitungan yang sama diulang berkali-kali sehingga diperoleh solusi yang optimum (Mulyono, 2017). Metode simpleks merupakan bagian dari linier programming yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang menyangkut dua variabel keputusan atau lebih. Metode simpleks menggunakan pendekatan tabel yang dinamakan tabel simpleks (Wijaya, 2013).

Menurut (Kalangi, 2011) tidak mampu untuk menyelesaikan masalah-masalah linear programming yang mempunyai banyak variabel dan kendala yang karena akan banyak perhitungan dan dapat menyita waktu. Metode yang lebih efisien untuk menyelesaikan masalah-masalah linear programming dengan banyak variabel dan kendala adalah metode simpleks. Mencari nilai optimum dalam metode simpleks dilakukan proses pengulangan (iterasi) sampai nilai dari fungsi tujuan telah optimum.

Bentuk Baku Model Linear Programming

Metode simpleks digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah linear programming, dimana model linear programming harus diubah ke dalam bentuk umum yang dinamakan bentuk baku (standard form). Ciri– ciri bentuk baku model linear programming (Mulyono, 2017) :

15

a. Semua kendala berupa persamaan dengan sisi kanan nonnegatif b. Semua variabel nonnegatif

c. Fungsi tujuan dapat maksimum maupun minimum

Bentuk linear programming adalah sebagai berikut (Kalangi, 2011) : Maksimumkan :

Maka bentuk baku metode simpleks dapat ditulis menjadi : Maksimumkan :

Tabel awal metode simpleks, disajikan sebagai berikut (Rafflesia dan Fanani, 2014) :

Tabel 1. Tabel awal metode simpleks Variabel

𝑧 = fungsi tujuan yang akan dicari nilai maksimum atau minimumnya 𝑐_𝑛= nilai koefisien dari tujuan variabel keputusan 𝑥_𝑛

𝑥_𝑛= variabel keputusan ke-n 𝑠_𝑛= variabel slack ke-n

𝑎_𝑚𝑛 = kebutuhan sumber daya m untuk untuk setiap 𝑥𝑛

𝑏_𝑚= jumlah sumber daya yang disediakan

𝑛 = banyaknya variabel keputusan mulai dari 1,2,…,n

𝑚 = banyaknya jenis sumber daya yang digunakan mulai dari 1,2,…,m Istilah –Istilah Dalam Metode Simpleks

Ada beberapa istilah yang sering digunakan dalam metode simpleks, adalah sebagai berikut (Kikiay, 2008):

1. Iterasi

Iterasi merupakan tahapan perhitungan di mana nilai dalam perhitungan tergantung dari nilai tabel sebelumnya.

2. Variabel non basis

Variabel non basis merupakan variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan.

3. Variabel basis

Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ≤) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau ). secara umum, jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas.

4. Solusi atau nilai kanan

Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan

5. Variabel slack

Variabel slack merupakan variabel yang ditambahkan ke dalam model matematika dengan kendala pertidaksamaan (≤) menjadi persamaan (=). Pada solusi awal, variabel slack berfungsi sebagai variabel basis.

6. Variabel surplus

Variabel surplus merupakan variabel yang dikurangkan dari model matematika dengan kendala pertidaksamaan (≥) menjadi persamaan (=).

17

Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.

7. Variabel buatan

Variabel buatan merupakan variabel yang ditambahkan ke dalam model matematika dengan kendala yang berbentuk ≥ atau untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada.

8. Kolom pivot (kolom kunci)

Kolom pivot merupakan kolom yang memuat variabel masuk.

Koefisien pada kolom ini akan menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kunci).

9. Baris pivot (baris kunci)

Baris pivot merupakan salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar.

10. Elemen pivot (angka kunci)

Elemen pivot merupakan elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.

11. Variabel masuk

Variabel masuk merupakan variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.

12. Variabel keluar

Variabel keluar merupakan variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol.

Langkah-langkah metode simpleks

Langkah – langkah yang dapat dilakukan dalam metode simpleks, yaitu (Syaifuddin, 2011) :

1. Mengidentifikasi variabel keputusan dan memformulasikan kedalam simbol matematis

2. Mengidentifikasi fungsi tujuan dan fungsi kendala

3. Memformulasikan fungsi tujuan dan fungsi kendala ke dalam model matematika

4. Mengubah pertidaksamaan “≤” pada kendala menjadi “=” dengan menambahkan variabel slack (S)

5. Memasukan data fungsi tujuan dan kendala-kendala kedalam tabel simpleks.

6. Menentukan kolom kunci (negatif terbesar pada baris 𝑧).

7. Menentukan baris kunci (positif terkecil pada indeks (indeks = 𝑏𝑗 pada masing-masing baris dibagi dengan angka pada kolom kunci di masing-masing baris))

8. Menentukan angka kunci (pertemuan antara kolom kunci dan baris kunci)

9. Mengubah variabel keputusan pada baris kunci dengan variabel keputusan pada kolom kunci dan kemudian mengubah seluruh elemen pada baris kunci dengan cara membagi seluruh elemen dengan angka kunci

10. Mengubah nilai-nilai pada baris lain (diluar baris kunci) dengan cara 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑎𝑟𝑢 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑚𝑎 −

(𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑢 𝑥 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑎𝑤𝑎𝑙) 11. Memastikan seluruh elemen pada baris z tidak ada yang bernilai

negatif, apabila masih terdapat nilai negatif maka diulangi langkah ke-5 dan seterusnya.

12. Apabila seluruh elemen pada baris 𝑧 tidak ada yang bernilai negatif maka proses telah selesai