RINGKASAN
Bintang Bakery merupakan usaha keluarga yang bergerak pada bidang kuliner. Produksi yang dihasilkan oleh bintang bakery adalah roti manis. Ada beberapa macam roti manis yang di produksi yaitu roti manis rasa pisang, roti manis rasa coklat, roti manis rasa srikaya, dan roti manis rasa kelapa. Permintaan roti manis yang tidak pasti jumlahnya membuat perusahaan harus menyediakan stok yang lebih agar dapat memenuhi permintaan konsumen per harinya. Maka dari itu bintang bakery membutuhkan perencanaan jumlah produksi yang optimal untuk menentukan banyaknya produk yang akan di produksi dalam sehari, sehingga dapat memenuhi jumlah permintaan dengan mempertimbangkan biaya produksi yang di keluarkan.
Metode yang digunakan yaitu metode cutting plane. Metode cutting plane dapat diselesaikan dengan metode simpleks. Apabila variabel keputusan bernilai pecahan maka di tambahkan kendala baru (gomory). Kemudian di selesaikan dengan metode dual simpleks sampai tidak ada lagi variabel keputusan yang bernilai pecahan. Berdasarkan hasil penelitian, diperoleh jumlah produksi roti manis yang optimal adalah sebanyak 456 bungkus yang terdiri dari 222 bungkus roti manis rasa coklat dan 234 bungkus rasa kelapa. Sedangkan roti manis rasa pisang dan srikaya tidak memberikan kontribusi untuk memperoleh keuntungan maksimum. Sehingga dapat diperoleh keuntungan maksimum sebesar Rp.914.184.
SUMMARY
Bintang Bakery is a family business engaged in the culinary field. The production produced by the star bakery is sweet bread. There are several kinds of sweet breads that are produced, namely banana flavored sweet bread, chocolate flavored sweet bread, srikaya flavored sweet bread, and coconut flavored sweet bread. The uncertain demand for sweet bread makes the company have to provide more stock in order to meet consumer demand per day. Therefore Bintang bakery requires planning the optimal amount of production to determine the number of products that will be produced in a day, so that it can meet the number of requests taking into account the production costs incurred.
The method used is the cutting plane method. The cutting plane method can be solved by the simplex method. If the decision variable is a fraction then a new constraint (gomory) is added. Then it is solved by the dual simplex method until there are no more decision variables that have fractional values. Based on the results of the study, the optimal amount of sweet bread production was 456 packs consisting of 222 packs of chocolate sweet bread and 234 packs of coconut flavor. Meanwhile, banana and srikaya flavored sweet bread did not contribute to the maximum profit.
So that the maximum profit can be obtained of Rp.914,184.
i
ii
RIWAYAT HIDUP
Mita Rasidah lahir di Karya Indah, pada tanggal 30 Maret 1999. Penulis merupakan anak pertama dari dua bersaudara dari pasangan Ayahanda Sukarji dan Ibunda Susi Ana Wati. Jalur pendidikan formal yang pernah ditempuh penulis sebagai berikut:
1. SD Negeri 026 Rantau Mapesai tamat tahun 2005-2011
2. SMPN 5 Rengat tamat tahun 2012-2014 3. SMAS PGRI Rengat tamat tahun 2015-2017 Pada tahun 2017, penulis di terima di Perguruan Tinggi Negeri Universitas Jambi, Program Strata Satu (S1) dan tercatat sebagai mahasiswa Program Studi Matematika Jurusan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Jambi melalui jalur SNMPTN.
Selama menempuh pendidikan S1, penulis cukup aktif dalam bidang akademik maupun organisasi. Penulis juga aktif dalam kegiatan seminar- seminar baik tingkat jurusan, fakultas maupun universitas. Selain itu, penulis juga melaksanakan magang di Dinas Komunikasi dan Informatika Provinsi Jambi.
iii
PRAKATA
Segala puji dan syukur atas kehadirat Allah SWT karena atas rahmat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “OPTIMASI JUMLAH PRODUKSI ROTI MANIS PADA BINTANG BAKERY DENGAN METODE CUTTING PLANE”. Dan shalawat serta salam penulis haturkan kepada junjungan besar nabi Muhammad SAW.
Skripsi ini dibuat dan disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh Gelar Sarjana Program Studi Matematika, Jurusan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Jambi. Selama proses pembuatan dan penyusunan skripsi, tidak sedikit hambatan yang penulis hadapi. Tetapi berkat dukungan dari berbagai pihak, skripsi ini dapat terselesaikan. Pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada
1. Allah SWT karena dengan ridho dan rahmat-Nya skripsi ini dapat diselesaikan.
2. Bapak Sukarji dan Ibu Susi Ana Wati yang telah mendoakan dan mendukung serta memberi semangat untuk keberhasilan penulis.
3. Keluarga besar yang telah mendukung dan memberi semangat dari awal perkuliahan sampai akhir.
4. Prof. Drs. Damris M, M.Sc., Ph.D. selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Jambi.
5. Dr. Madyawati Latief, S.P., M.Si. selaku Ketua Jurusan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Jambi.
6. Gusmi Kholijah, S.Si., M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika, Jurusan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Jambi.
7. Dr. Drs. Kamid, M.Si. selaku Dosen Pembimbing Akademik.
8. Drs. Wardi Syafmen, M.Si. selaku Dosen Pembimbing Utama dan Cut Multahadah, S.Pd.,M.Pd. selaku Dosen Pembimbing Pendamping.
9. Drs. Sufri, M.Si., Syamsyida Rozi, S.Si.,M.Si., dan Gusmanely Z, S.Pd.,M.Si selaku Tim Penguji dalam seminar proposal, ujian komprehensif, serta siding skripsi penulis.
10. Seluruh Dosen Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Jurusan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Jambi.
11. Fevi Hanesti, Dea Putri Huznul Khotimah serta seluruh angkatan 2017 yang
iv memberikan banyak saran dan semangat. Selaku teman seperjuangan dari awal perkuliahan.
12. Asni, Sekar, Melta, Risky, Nanik selaku sahabat yang selalu memberi saran dan semangat.
13. Serta semua pihak yang telah bersedia membantu dan tidak bisa disebutkan satu persatu.
Semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca dan dapat diaplikasikan pada masa mendatang. Penulis menyadari skripsi ini jauh dari kesempurnaan dan mengharapkan adanya saran serta kritik agar dapat membantu penulis dalam menyusun skripsi lainnya di masa mendatang.
Jambi, Juli 2021 Yang menyatakan,
MITA RASIDAH F1C217011
v
DAFTAR ISI
PENGESAHAN ... Error! Bookmark not defined.
RIWAYAT HIDUP ... ii
PRAKATA ... iii
DAFTAR ISI ...v
DAFTAR TABEL ... vi
DAFTAR GAMBAR ... vii
DAFTAR LAMPIRAN ... viii
I. PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Rumusan Masalah... 3
1.3 Tujuan Penelitian ... 3
1.4 Batasan Masalah ... 3
1.5 Manfaat Penelitian ... 3
II. TINJAUAN PUSTAKA ... 5
2.1 Produksi Roti ... 5
2.2 Optimasi ... 9
2.3 Linear Programming ... 10
2.1 Metode Simpleks ... 14
2.2 Integer Programming ... 18
2.3 Metode Cutting Plane ... 19
2.4 Metode Dual Simpleks ... 21
III. METODOLOGI PENELITIAN ... 23
3.1 Tempat dan Waktu ... 23
3.2 Jenis dan Sumber Data ... 23
3.3 Metode Penelitian ... 23
3.4 Diagram Alur Penelitian ... 25
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ... 26
4.1 Hasil Penelitian ... 26
4.1.1 Pengumpulan Data ... 26
4.1.2 Pembentukan Model Matematis ... 29
4.1.3 Penemuan Solusi ... 30
4.2 Pembahasan ... 36
V. PENUTUP ... 39
5.1 Kesimpulan ... 39
5.2 Saran ... 39
DAFTAR PUSTAKA ... 40
LAMPIRAN ... 42
vi
DAFTAR TABEL
Tabel 1. Tabel awal metode simpleks ... 15
Tabel 2. Bahan Baku yang digunakan untuk 1 bungkus (gram) ... 27
Tabel 3. Harga Bahan Baku (gram)... 27
Tabel 4. Total Biaya Bahan Baku ... 28
Tabel 5. Biaya Operasional Produk per bungkus ... 28
Tabel 6. Total Biaya Produksi per bungkus ... 29
Tabel 7. Harga Jual Produk ... 29
Tabel 8. Keuntungan dari Setiap Produk yang Diproduksi ... 29
Tabel 9. Waktu Produksi Roti Manis... 29
Tabel 10. Tabel Simpleks Awal ... 31
Tabel 11. Solusi Optimal Metode Simpleks ... 31
Tabel 12. Menentukan Leaving Variabel dan Entering Variabel ... 32
Tabel 13. Iterasi Pertama Metode Dual Simpleks... 33
Tabel 14. Menentukan Leaving Variabel dan Entering Variabel ... 34
Tabel 15. Iterasi Kedua Metode Dual Simpleks... 34
Tabel 16. Menentukan Leaving Variabel dan Entering Variabel ... 35
Tabel 17. Iterasi Ketiga Metode Dual Simpleks ... 35
Tabel 18. Perbandingan Keuntungan ... 38
vii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1. Diagram Alur Penelitian ... 25
Gambar 2. Roti Manis Rasa Srikaya ... 26
Gambar 3. Roti Manis Rasa Kelapa ... 26
Gambar 4. Roti Manis Rasa Coklat ... 26
Gambar 5. Roti Manis Rasa Pisang... 26
viii
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Pedoman wawancara ... 42 Lampiran 2. Perhitungan dengan Microsoft Execl ... 43
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Bintang Bakery merupakan usaha keluarga yang bergerak pada bidang kuliner. Bintang bakery pertama kali berdiri pada tahun 2011 di daerah Pasir Pengarayan Kecamatan Rambah Kabupaten Rokan Hulu Provinsi Riau. Seiring berkembangnya zaman bintang bakery mempunyai cabang di berbagai daerah seperti Gunung Tua, Sibuhuan, Ujung Batu Rokan, Pekanbaru, Perawang, Rengat, Tembilahan, dan Medan. Berdasarkan wawancara, bintang bakery memproduksi berbagai jenis roti manis dengan varian rasa yaitu pisang, coklat, srikaya, dan kelapa. Varian rasa yang paling di minatin konsumen yaitu coklat.
Bintang bakery memproduksi roti manis setiap hari. Roti manis yang diproduksi berjumlah 400 bungkus dalam sehari. Selain roti manis bintang bakery juga memproduksi bolu, kue ulang tahun, pizza, dan donat. Bintang bakery memiliki 13 tenaga kerja dengan 6 orang di bagian produksi dan 7 orang di bagian toko. Setiap harinya Bintang Bakery melakukan produksi. Permintaan roti manis yang tidak pasti jumlahnya membuat perusahaan harus menyediakan stock yang lebih untuk dapat memenuhi permintaan konsumen per harinya.
Maka dari itu bintang bakery membutuhkan perencanaan jumlah produksi yang optimal untuk menentukan banyaknya produk yang akan diproduksi dalam sehari. Sehingga dapat memenuhi jumlah permintaan dengan mempertimbangkan biaya produksi yang dikeluarkan. Didalam matematika permasalahan ini dikenal dengan istilah optimasi. Masalah optimasi meliputi meminimumkan biaya produksi atau memaksimumkan keuntungan sehingga mendapatkan hasil yang optimal.
Optimasi produksi yang baik harus diketahui besarnya permintaan konsumen, sehingga memudahkan pelaku bisnis mengetahui jumlah produk yang harus diproduksi. Dalam mengatasi masalah penentuan jumlah produksi maka perlu dilakukan pengoptimalan dengan menggunakan linear programming.
Linear programming merupakan suatu metode matematis yang berbentuk linear untuk menentukan suatu penyelesaian optimal dengan cara memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan terhadap suatu kendala (Siswanto,2007). Dalam linear programming terdapat metode grafik dan metode simpleks. Metode yang digunakan dalam penelitian ini yaitu metode simpleks.
Metode simpleks merupakan metode yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang melibatkan lebih dari dua variabel. Setelah ditemukan solusi
optimal menggunakan metode simpleks akan tetapi nilai variabel keputusannya belum bulat maka digunakan pendekatan solusi terhadap masalah integer programming. Terdapat beberapa metode dalam integer programming yaitu pendekatan pembulatan, metode branch and bound, dan metode cutting plane. Pada penelitian ini digunakan metode cutting plane. Metode cutting plane lebih cepat mencapai optimal karena dengan penambahan kendala baru dapat menghilangkan solusi yang kontinu. Metode ini lebih baik digunakan jika variabelnya sedikit dan cukup efektif mempersingkat perhitungan (Maslihah, 2015).
Metode cutting plane merupakan metode yang digunakan untuk menyelesaikan kasus program linear yang berupa bilangan noninteger dengan penambahan kendala baru (gomory). Penambahan kendala baru dilakukan apabila nilai variabel keputusan belum bulat (Nico,dkk, 2014).
Penelitian sebelumnya tentang metode cutting plane adalah penelitian yang dilakukan oleh Nico, dkk (2014) dengan judul “Aplikasi Metode Cutting Plane Dalam Optimasi Jumlah Produksi Tahunan Pada PT. XYZ”. Hasil penelitiannya diperoleh jumlah produksi yang optimal bagi PT. XYZ, yaitu matras ukuran 80 x 200 cm, 140 x 200 cm, dan 200 x 200 cm berturut-turut adalah 155 unit, 160 unit, dan 170 unit. Hasil analisis yang diperoleh menggunakan metode cutting plane cukup optimal dan efektif karena dapat mempersingkat perhitungan.
Selain itu, penelitian yang di lakukan oleh Basriati, dkk (2018) dengan judul “Penggunaan Metode Cutting Plane dalam Menentukan Solusi Integer Linear Programming (Studi Kasus : Dinas Perikanan Pemerintah Kabupaten Kampar”.
Hasil yang diperoleh yaitu pakan benih ikan Starter I (PSP) sebanyak 11 karung dalam sebulan, pakan benih ikan Starter II (F999) sebanyak 7 karung dalam sebulan dengan menyediakan biaya minimum sebesar Rp.2.875.000. Dan penelitian yang di lakukan oleh Elfira, dkk (2020) dengan judul “Penerapan Metode Cutting Plane untuk Optimasi Biaya Pemupukan pada Tanaman Cabai (Studi Kasus : Kelompok Wanita Tani Sentosa Santul)”. Berdasarkan hasil penelitian diperoleh penyediaan pupuk jenis Phonska sebanyak 7 karung, pupuk jenis NPK Zamrud sebanyak 7 karung dan pupuk jenis pupuk kandang kambing sebanyak 3 karung dengan biaya minimal pemupukan sebesar Rp. 1.715.000.
3
Berdasarkan latar belakang diatas penulis tertarik mengambil judul penelitian yaitu “Optimasi Jumlah Produksi Roti Manis Pada Bintang Bakery Dengan Metode Cutting Plane”.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian pada latar belakang, maka permasalahan yang akan dikaji pada penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Bagaimana jumlah produksi roti manis yang optimal pada Bintang Bakery dengan metode Cutting Plane?
2. Berapa keuntungan maksimum yang diperoleh Bintang Bakery dengan metode Cutting Plane?
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Mengetahui bagaimana jumlah produksi roti manis yang optimal pada Bintang Bakery dengan metode Cutting Plane;
2. Mengetahui berapa keuntungan maksimum yang diperoleh Bintang Bakery dengan menggunakan metode Cutting Plane.
1.4 Batasan Masalah
Adapun batasan masalah dalam penelitian ini sebagai berikut : 1. Jenis roti yang diproduksi yaitu roti manis;
2. Terdapat empat variabel keputusan yang terdiri dari banyaknya roti manis rasa coklat yang diproduksi, banyaknya roti manis rasa pisang yang diproduksi, banyaknya roti manis rasa srikaya yang diproduksi, dan banyaknya roti manis rasa kelapa yang diproduksi;
3. Perencanaan produksi roti manis yang dilakukan adalah untuk produksi selama satu hari;
4. Fungsi kendala berupa bahan baku yang digunakan dan waktu produksi;
5. Fungsi tujuannya memaksimalkan keuntungan.
1.5 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah : 1. Bagi Peneliti
Dapat menerapkan ilmu pengetahuan dan menambah wawasan pengetahuan khususnya dalam metode cutting plane.
2. Bagi Perusahaan
Dapat digunakan sebagai bahan pertimbangan untuk meningkatkan upaya atau strategi dalam jumlah produksi suatu produk agar memperoleh keuntungan yang maksimal dan meminimalkan kerugian bagi para pelaku bisnis.
3. Bagi Pihak Lainnya
Dapat memberikan pengetahuan dan wawasan tentang permasalahan yang ada dalam bidang bisnis khususnya untuk meminimalkan kerugian.
5
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Produksi Roti
Menurut Arif dan Amalia (2010) produksi adalah suatu kegiatan yang dilakukan manusia dalam menghasilkan suatu produk baik barang maupun jasa yang kemudian dimanfaatkan oleh konsumen. Menurut Nasution dan Prasetyawan (2008), perencanaan produksi dilakukan dengan tujuan menentukan arah awal dari tindakan-tindakan yang harus dilakukan dimasa mendatang, apa yang harus dilakukan, berapa banyak melakukannya, dan kapan harus melakukan. Karena perencanaan ini berkaitan dengan masa mendatang, maka perencanaan disusun atas dasar perkiraan yang dibuat berdasarkan data masa lalu dengan menggunakan beberapa asumsi.
Roti merupakan makanan yang terbuat dari tepung terigu, air, dan ragi dengan pembuatannya melalui proses pengulenan, fermentasi, dan pemanggangan.
Roti memiliki tekstur yang khas dari bahan sampai proses pembuatannya. Proses pembuatan roti yaitu dengan cara mencampurkan tepung terigu dan semua bahan lainnya sehingga menjadi adonan, kemudian di fermentasikan dan terakhir di panggang. Proses pembuatan adonan, fermentasi, dan pembakaran menentukan kualitas roti (Arifin, 2011).
Roti merupakan hasil olahan pangan yang kaya karbohidrat. Awalnya roti hanya dikonsumsi oleh masyarakat yang tinggal di daerah barat akan tetapi saat ini roti sudah menjadi bagian dari konsumsi masyarakat diseluruh dunia termasuk Indonesia. Hal ini dibuktikan dengan berdirinya industri roti baik dalam skala rumah tangga maupun industri menengah (Kusmiati,2005).
Tujuan Perencanaan Produksi
Menurut Ginting (2007) tujuan perencanaan produksi sebagai berikut:
a. Sebagai langkah awal untuk menentukan aktivitas produksi yaitu sebagai referensi perencanaan lebih rinci dari rencana agregat menjadi item dalam jadwal induk produksi.
b. Sebagai masukan rencana sumber daya sehingga perencanaan sumber daya dapat dikembangkan untuk mendukung perencanaan produksi.
c. Meredam (stabilisasi) produksi dan tenaga kerja terhadap fluktuasi permintaan.
Jenis Perencanaan Produksi
Perencanaan produksi yang terdapat dalam suatu perusahaan dapat dibedakan menurut jangka waktu yang tercakup yaitu (Pianda, 2018) :
1. Perencanaan Produksi Jangka Pendek adalah penentuan kegiatan produksi yang akan dilakukan dalam jangka waktu satu tahun mendatang atau kurang, dengan tujuan untuk mengatur penggunaan tenaga kerja, persediaan bahan dan fasilitas produksi yang dimiliki perusahaan pabrik.
Maka dari itu, perencanaan produksi jangka pendek berhubungan dengan pengaturan operasi produksi maka perencanaan ini disebut juga dengan perencanaan operasional.
2. Perencanaan Produksi Jangka Panjang adalah penentuan tingkat kegiatan produksi lebih daripada satu tahun. Biasanya sampai lima tahun mendatang, dengan tujuan untuk mengatur pertambahan kapasitas peralatan atau mesin-mesin, ekspansi pabrik dan pengembangan produk (product development).
Roti Manis
Menurut (Sarofa dkk, 2014) roti manis merupakan suatu jenis roti yang terbuat dari adonan manis yang difermentasi serta mengandung 10% gula atau lebih. Roti manis adalah roti yang mempunyai cita rasa manis yang menonjol, bertekstur empuk, diberi bermacam-macam isi dengan bentuk yang bervariasi.
Kriteria roti manis adalah teksturnya lembut, memiliki tingkat kekenyalannya yang cukup, tidak terlalu keras, tidak terlalu lembek jika ditekan roti akan kembali seperti semula, berpori kecil, warna kulit luar bagian atas kuning kecoklatan sedangkan kulit luar bawah kuning muda atau coklat muda, tanpa gumpalan putih atau kuning, dan beraroma harum (Fitria, 2013).
Bahan Baku Pembuatan Roti Manis
Bahan yang digunakan dalam pembuatan roti manis adalah sebagai berikut : 1. Tepung terigu
Tepung terigu merupakan bahan dasar dalam pembuatan roti. Tepung terigu terbuat dari gandum yang melalui proses tahap penggilingan sehingga menjadi tepung terigu. Dibutuhkan takaran yang tepat dalam pembuatan roti, agar roti yang dihasilkan tidak terlalu tebal dan tidak terlalu tipis (Auliya dan Enny, 2014).
7
2. Gula pasir
Gula merupakan salah satu bahan utama dalam pembuatan roti. Gula berfungsi sebagai bahan pemanis dan dapat mengatur fermentasi serta sebagai penambah gizi (Auliya dan Enny, 2014).
3. Ragi
Ragi merupakan bahan yang sangat penting dalam pembuatan roti.
Ragi berfungsi sebagai pengembang serta mengatur ukuran roti yang diinginkan. Ragi instant berbentuk seperti tepung (Auliya dan Enny, 2014).
4. Baking powder
Baking powder adalah bahan pengembang yang dipakai untuk meningkatkan volume dan memperingan tekstur makanan yang di panggang.
5. Garam
Garam berfungsi sebagai pemberi rasa asin dan penambah aroma serta mempertajam rasa manis pada proses pembuatan roti. Penambahan garam dapat mencegah terjadinya over fermentasi pada ragi. Pada proses pemanggangan, garam berperan dalam menjaga kandungan uap air sedangkan pada kondisi yang lembab garam berfungsi menyerap air dari atmosfer sehingga membuat tekstur roti menjadi lembut (Auliya dan Enny, 2014).
6. Telur
Telur berfungsi sebagai emulsifier dan menambah warna, nilai gizi dan perasa yang diinginkan untuk meningkatkan kualitas organoleptik produk bakery yang dihasilkan. Lemak dan protein dalam kuning telur akan berpengaruh terhadap kelembutan roti. Telur mengandung 75% air (Hendrasty, 2013).
7. Margarin
Margarin berfungsi sebagai mengempukan roti. Margarin berkontribusi terhadap kelembapan roti pada saat pemanggangan serta memberikan aroma dengan meningkatkan aroma dari bahan-bahan yang lain (Auliya dan Enny, 2014).
8. Air
Air merupakan bahan yang sangat penting dalam pembentukan adonan. Adonan tidak akan terbentuk tanpa penambahan air. Air yang berlebih dapat mengakibatkan adonan menjadi lebih lengket, adonan
menjadi lebar, memiliki lubang dan teksturnya kenyal (Auliya dan Enny, 2014).
9. Bahan pengisi
Bahan pengisi digunakan sebagai bahan pembantu dalam pembuatan roti manis, agar dapat meningkatkan cita rasa dari roti manis yang di hasilkan. Bahan pengisi roti manis yaitu pisang, coklat, srikaya, dan kelapa (Auliya dan Enny, 2014).
Proses Pembuatan Roti Manis
Proses dalam pembuatan roti manis adalah sebagai berikut (Auliya dan Enny, 2014) :
1. Seleksi Bahan
Bahan baku merupakan faktor yang menentukkan dalam proses produksi atau pembuatan bahan makanan. Jika bahan baku yang digunakan mutunya baik maka produk yang dihasilkan juga berkualitas.
2. Penimbangan
Semua bahan ditimbang sesuai dengan takarannya. Penimbangan bahan harus dilakukan dengan benar agar tidak terjadi kesalahan dalam penggunaan jumlah bahan.
3. Pembuatan Adonan (Mixer)
Pembuatan adonan yaitu pencampuran semua bahan sampai adonan menjadi kalis dan mudah dibentuk. Bahan yang dicampur meliputi tepung terigu, gula pasir, garam, margarin, ragi, dan air yang sudah ditimbang.
4. Pemotongan Adonan
Pemotongan adonan dilakukan agar adonan yang dibentuk besarnya sama, agar adonan sesuai dengan besarnya maka cetakan atau mesin yang akan digunakan untuk pencetakan, adonan perlu diukur lebih kurang 1 meter dan dibentuk sesuai spesifikasi mesin, adonan dipotong-potong dalam beberapa bagian. Adapun pemotongan dilakukan di atas meja dengan menggunakan pisau.
5. Pencetakan Adonan dan Pengisian
Adonan yang sudah dipotong kemudian dimasukan kedalam mesin breadline. Agar adonan dapat membentuk menjadi sebuah roti yang telah berisi rasa yang diinginkan.
9
6. Pencetakan Adonan dan Pengisian
Adonan yang sudah dipotong kemudian dimasukan kedalam mesin breadline. Agar adonan dapat membentuk menjadi sebuah roti yang telah berisi rasa yang diinginkan.
7. Peletakan Adonan dalam Loyang
Adonan yang sudah dicetak dan diisi varian rasa kemudian disusun kedalam loyang. Proses ini dilakukan agar roti berkembang dengan bentuk dan mutu yang baik.
8. Pengembangan atau fermentasi
Pada proses ini roti diistirahatkan diruangan khusus fermentasi agar adonan tersebut dapat mengembang.
9. Pemanggangan
Kemudian adonan siap dipanggang didalam oven.
10. Pendinginan
Setelah dipanggang hingga matang, roti didinginkan untuk menurunkan suhu pada roti sebelum dimasukkan ke dalam kemasan.
11. Pengemasan atau packing
Setelah semua proses produksi selesai maka proses terakhir yaitu pengemasan sebelum dipasarkan.
2.2 Optimasi
Menurut (Armindo, 2006) optimasi adalah suatu proses untuk mencapai hasil yang ideal atau optimasi (nilai efektif yang dapat dicapai). Optimasi dapat diartikan sebagai suatu bentuk mengoptimalkan sesuatu hal yang sudah ada, ataupun merancang dan membuat sesuatu secara optimal.
Armindo (2006), menjelaskan bahwa penyelesaian masalah optimasi dengan program matematika dapat dilakukan melalui program linear, program tak linear, program integer dan program dinamik. Fungsi tujuan secara umum merupakan langkah minimisasi biaya atau penggunaan bahan-bahan baku, dan sebagainya.
Penentuan fungsi tujuan dikaitkan dengan permasalahan yang dihadapi.
Penentuan kondisi optimum dikenal sebagai pemrograman teknik matematika.
Armindo (2006), menyebutkan bahwa tujuan dan kendala-kendala dalam pemrograman matematika diberikan dalam bentuk fungsi-fungsi matematika dan hubungan fungsional (hubungan keterkaitan). Hubungan keterkaitan tersebut dapat diartikan sebagai hubungan yang saling mempengaruhi, hubungan interaksi,
timbal-balik, dan saling menunjang. Teknik optimisasi dalam penelitian operasional merupakan pendekatan ilmiah dalam memecahkan masalah-masalah operasi pengolahan. Penerapan teknik ini menyangkut pembentukan deskripsi matematis atau pembentukan model keputusan. Analisa kepekaan teknik ini dapat menganalisa hubungan yang menyatakan akibat-akibat yang mungkin terjadi di masa mendatang sebagai akibat keputusan yang telah diambil.
Armindo (2006), menjelaskan bahwa penyelesaian masalah optimasi dengan program matematika dapat dilakukan melalui linear programming, non linear programming, integer programming, dan dinamik programming.
2.3 Linear Programming Sejarah Linear Programming
Linear programming merupakan pengembangan dari konsep-konsep aljabar linear. Linear programming dikembangkan oleh George B.Dantzig pada tahun 1947 seorang matematikawan yang berasal dari Amerika Serikat. Pada tahun 1939 L. V.
Kantorovich seorang matematikawan Russia lebih dulu memperkenalkan penerapan linear programming dalam bidang produksi. Pada tahun 1826 Fourier seorang matematikawan Perancis juga telah merumuskan masalah linear programming.
Tetapi, setelah George B. Dantzig mengembangkan linear programming ini memperoleh perhatian yang berarti sehingga dikenal sebagai bapak linear programming (Dumairy, 2019).
Awalnya linear programming dimanfaatkan pada bidang kemiliteran khususnya oleh Angkatan Udara Amerika Serikat (USAF), untuk merencanakan dan memecahkan masalah yang ada di masa perang. Setelah itu dimanfaatkan di bidang transportasi dan bisnis sehingga saat ini penggunaan linear programming sudah sangat meluas terutama pada bidang bisnis. Berbagai masalah perusahaan seperti masalah produksi, pembiayaan, pemasaran, periklanan, dan penyampaian barang dapat diselesaikan dengan linear programming (Dumairy, 2019).
Definisi Linear Programming
Linear programming merupakan salah satu pendekatan matematika yang paling sering diterapkan dalam pengambilan keputusan. Linear programming bertujuan untuk menyusun suatu model yang dapat digunakan untuk membantu pengambilan keputusan dalam menentukan alokasi yang optimal dari sumber daya perusahaan ke berbagai alternatif (Meflinda dan Mahyarni, 2011).
Jadi linear programming adalah sebuah metode matematis yang berkarakteristik linear untuk menemukan suatu penyelesaian optimal dengan cara
11
memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan terhadap suatu kendala (Meflinda dan Mahyarni, 2011).
Menurut (Dumairy, 2019) ada beberapa syarat yang harus dipenuhi agar masalah optimisasi dapat diselesaikan dengan linear programming sebagai berikut :
1. Masalah tersebut harus dapat diubah menjadi permasalahan matematis. Ini berarti bahwa masalah tersebut harus bisa dituangkan ke dalam bentuk model matematika. Dalam hal ini model linear, baik berupa persamaan maupun pertidaksamaan.
2. Keseluruhan sistem permasalahan harus dapat dipilah-pilah menjadi satuan aktivitas; misal: 𝑎11𝑋1+ 𝑎12𝑋2≤ 𝑘1 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑋1 𝑑𝑎𝑛 𝑋2 adalah aktivitas.
3. Masing-masing aktivitas harus dapat ditentukan dengan tepat baik jenis maupun letaknya dalam model linear programming.
4. Setiap aktivitas harus dapat dikuantifikasikan sehingga masing-masing nilainya dapat dihitung dan dibandingkan.
Perumusan model linear programming dapat dilakukan dengan langkah- langkah (Dumairy, 2019) sebagai berikut:
1. Menentukan aktivitas
2. Menentukan sumber-sumber (masukan)
3. Menghitung jumlah masukan dan keluaran untuk setiap satuan aktivitas 4. Menentukan kendala-kendala aktivitas
5. Merumuskan model, yakni membentuk fungsi tujuan dan fungsi-fungsi kendalanya.
Menurut (Wijaya, 2013) dalam linear programming terdapat dua macam fungsi, yaitu :
1. Fungsi tujuan
Fungsi tujuan adalah suatu gambaran yang ingin di capai oleh perusahaan dengan menggunakan sumber daya yang ada. Fungsi tujuan digambarkan dalam bentuk maksimasi atau minimasi.
2. Fungsi kendala
Fungsi kendala merupakan suatu gambaran kendala-kendala yang dihadapi perusahaan. Dalam kasus linear programming kendala-kendala yang dihadapi lebih dari satu kendala.
Menurut (Ruminta, 2014) permasalahan pemrograman linier dapat ditemukan diberbagai bidang dan dapat membantu membuat keputusan untuk memilih suatu alternatif yang paling tepat dalam menyelesaikan permasalahan
pemrograman linier. Menurut (Murdifin haming, dkk 2017) tidak semua pemecahan optimal pada linear programming dinyatakan dalam bilangan bulat atau bisa juga optimal dengan hasil bentuk pecahan. Tetapi, dalam dunia nyata terdapat beberapa masalah yang tidak layak dinyatakan dalam pecahan, misalnya ½ mobil, ¼ rumah, 1/8 orang tenaga kerja dan lainnya. Untuk memecahkan kasus tersebut maka digunakan integer programming agar hasil akhirnya dinyatakan dalam bilangan bulat.
Model Linear Programming
Menurut (Meflinda dan Mahyarni, 2011) model linear programming adalah bentuk dan susunan dalam menyajikan masalah-masalah yang akan diselesaikan dengan teknik linear programming. Tiga unsur model linear programming yaitu :
1) Variabel keputusan yaitu variabel persoalan yang akan mempengaruhi nilai tujuan yang hendak dicapai. Pada proses pemodelan, penemuan variabel keputusan dilakukan terlebih dahulu sebelum menemukan fungsi tujuan dan fungsi kendala;
2) Fungsi tujuan yaitu fungsi yang mengambarkan tujuan dalam permasalahan linear programming ;
3) Fungsi kendala yaitu batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan.
Secara umum model matematis ada dua kasus yaitu maksimasi dan minimasi. Model matematisnya sebagai berikut (Wijaya, 2013) :
a. Kasus maksimasi
Maksimumkan : Z = C1X1+ C2X2+ ⋯ + CnXn (1) Kendala :
a11X1+ a12X2+ ⋯ + a1nXn≤ b1 a21X1+ a22X2+ ⋯ + a2nXn≤ b2
⋮ am1X1+ am2X2+ ⋯ + amnXn≤ bm
X1, X2, Xn≥ 0
(2)
b. Kasus minimasi
Minimumkan : Z = C1X1+ C2X2+ ⋯ + CnXn (3) Kendala :
a11X1+ a12X2+ ⋯ + a1nXn≥ b1 a21X1+ a22X2+ ⋯ + a2nXn≥ b2 ⋮ am1X1+ am2X2+ ⋯ + amnXn≥ bm
X1, X2, Xn≥ 0
(4)
13
Simbol – simbol dalam model linear programming (Meflinda dan Mahyarni, 2011) sebagai berikut :
Xj= banyaknya kegiatan j (j=1,2,…,n). variabel Xj disebut variabel keputusan Z = nilai fungsi tujuan yang dioptimalkan (maksimum atau minimum)
Cj=kenaikan nilai Z apabila ada pertambahan tingkat kegiatan (Xj) dengan satu satuan (unit) atau merupakan keuntungan per unit (masalah maksimasi), biaya per unit (masalah minimasi) kegiatan j terhadap nilai Z aij =banyaknya sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit
output kegiatan j (i=1,2,…,m dan j=1,2,…,n)
𝑏𝑖=banyaknya sumber i yang tersedia untuk di alokasikan ke setiap unit kegiatan (i=1,2,…,m).
Asumsi-asumsi dalam linear programming
Terdapat empat asumsi dalam linear programming, yaitu (Aminudin, 2005) : 1. Proportionality
Berarti naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber daya yang tersedia akan berubah berbanding lurus dengan perubahan tingkat kegiatan.
Misal :
𝑍 = 𝑐1𝑥1+ 𝑐2𝑥2+ 𝑐3𝑥3+ ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛
Setiap pertambahan 1 unit 𝑥1 akan menaikan Z sebesar 𝑐1. Setiap pertambahan 1 unit 𝑥2 akan menaikan Z sebesar 𝑐2 dan seterusnya.
2. Additivity
Berarti nilai tujuan setiap kegiatan tidak saling mempengaruhi atau dianggap bahwa kenaikan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain. Misal : 𝑍 = 4𝑥1+ 7𝑥2
Dimana 𝑥1= 30; 𝑥2= 20 sehingga 𝑍 = 120 + 140 = 260
Andaikan 𝑥1 bertambah 1 unit maka sesuai dengan asumsi pertama, nilai Z menjadi 260 + 4 = 264. Jadi, nilai 4 karena kenaikan 𝑥1 dapat langsung ditambahkan pada nilai Z mula-mula tanpa mengurangi bagian Z yang diperoleh dari kegiatan ke-2 (𝑥2). Dengan kata lain, tidak ada korelasi antara 𝑥1 dan 𝑥2.
3. Divisibility
Berarti solusi yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pecahan.
Misalkan nilai 𝑍 = 17,5 ; 𝑥1= 6,1 4. Deterministic
Berarti bahwa semua parameter (𝑎𝑖𝑗, 𝑏𝑗, 𝑐𝑗) yang terdapat pada linear programming dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun dalam kenyataannya tidak sama persis.
2.1 Metode Simpleks Definisi Metode Simpleks
Apabila suatu masalah linear programming hanya terdapat 2 variabel keputusan saja (𝑥1 dan 𝑥2), maka dapat diselesaikan dengan metode grafik dan metode simpleks. Tetapi apabila melibatkan lebih dari 2 variabel keputusan maka metode grafik tidak dapat digunakan lagi, sehingga diperlukan metode simpleks (Meflinda dan Mahyarni, 2011).
Metode simpleks pertama kali ditemukan oleh George B. Dantzig pada tahun 1947 dan telah diperbaiki oleh beberapa ahli lainnya. Metode ini digunakan untuk menyelesaikan masalah linear programming melalui perhitungan ulang (iteration) di mana langkah-langkah perhitungan yang sama diulang berkali-kali sehingga diperoleh solusi yang optimum (Mulyono, 2017). Metode simpleks merupakan bagian dari linier programming yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang menyangkut dua variabel keputusan atau lebih. Metode simpleks menggunakan pendekatan tabel yang dinamakan tabel simpleks (Wijaya, 2013).
Menurut (Kalangi, 2011) tidak mampu untuk menyelesaikan masalah- masalah linear programming yang mempunyai banyak variabel dan kendala yang karena akan banyak perhitungan dan dapat menyita waktu. Metode yang lebih efisien untuk menyelesaikan masalah-masalah linear programming dengan banyak variabel dan kendala adalah metode simpleks. Mencari nilai optimum dalam metode simpleks dilakukan proses pengulangan (iterasi) sampai nilai dari fungsi tujuan telah optimum.
Bentuk Baku Model Linear Programming
Metode simpleks digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah linear programming, dimana model linear programming harus diubah ke dalam bentuk umum yang dinamakan bentuk baku (standard form). Ciri– ciri bentuk baku model linear programming (Mulyono, 2017) :
15
a. Semua kendala berupa persamaan dengan sisi kanan nonnegatif b. Semua variabel nonnegatif
c. Fungsi tujuan dapat maksimum maupun minimum
Bentuk linear programming adalah sebagai berikut (Kalangi, 2011) : Maksimumkan :
𝑍 = 𝑐1𝑥1+ 𝑐2𝑥2+ ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛 (5) Kendala :
𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2+ ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛≤ 𝑏1 𝑎21𝑥1+ 𝑎22𝑥2+ ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛≤ 𝑏2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1𝑥1+ 𝑎𝑚2𝑥2+ ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛≤ 𝑏𝑚
𝑋 = 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛≥ 0 𝑑𝑎𝑛 𝑏𝑖 = 𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑚≥ 0
(6)
Maka bentuk baku metode simpleks dapat ditulis menjadi : Maksimumkan :
𝑍 − 𝑐1𝑥1− 𝑐2𝑥2− ⋯ − 𝑐𝑛𝑥𝑛− 0𝑠1− ⋯ − 𝑠𝑚= 0 (7) Kendala :
𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2+ ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛+ 𝑠1= 𝑏1 𝑎21𝑥1+ 𝑎22𝑥2+ ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛+ 𝑠2= 𝑏2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1𝑥1+ 𝑎𝑚2𝑥2+ ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛+ 𝑠𝑚= 𝑏𝑚 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛≥ 0
(8)
Tabel awal metode simpleks, disajikan sebagai berikut (Rafflesia dan Fanani, 2014) :
Tabel 1. Tabel awal metode simpleks Variabel
Basis/Dasar
𝑥1 𝑥2 ⋯ 𝑥𝑛 𝑠1 𝑠2 ⋯ 𝑠𝑛 Nilai
kunci (NK)
𝑧 −𝑐1 −𝑐2 ⋯ −𝑐𝑛 0 0 0 0 0
𝑠1 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 1 0 0 0 𝑏1
𝑠2 𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛 0 1 0 0 𝑏2
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
𝑠𝑛 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 0 0 0 1 𝑏𝑚
Keterangan :
𝑧 = fungsi tujuan yang akan dicari nilai maksimum atau minimumnya 𝑐𝑛= nilai koefisien dari tujuan variabel keputusan 𝑥𝑛
𝑥𝑛= variabel keputusan ke-n 𝑠𝑛= variabel slack ke-n
𝑎𝑚𝑛 = kebutuhan sumber daya m untuk untuk setiap 𝑥𝑛
𝑏𝑚= jumlah sumber daya yang disediakan
𝑛 = banyaknya variabel keputusan mulai dari 1,2,…,n
𝑚 = banyaknya jenis sumber daya yang digunakan mulai dari 1,2,…,m Istilah –Istilah Dalam Metode Simpleks
Ada beberapa istilah yang sering digunakan dalam metode simpleks, adalah sebagai berikut (Kikiay, 2008):
1. Iterasi
Iterasi merupakan tahapan perhitungan di mana nilai dalam perhitungan tergantung dari nilai tabel sebelumnya.
2. Variabel non basis
Variabel non basis merupakan variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan.
3. Variabel basis
Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ≤) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau ). secara umum, jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas.
4. Solusi atau nilai kanan
Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan
5. Variabel slack
Variabel slack merupakan variabel yang ditambahkan ke dalam model matematika dengan kendala pertidaksamaan (≤) menjadi persamaan (=). Pada solusi awal, variabel slack berfungsi sebagai variabel basis.
6. Variabel surplus
Variabel surplus merupakan variabel yang dikurangkan dari model matematika dengan kendala pertidaksamaan (≥) menjadi persamaan (=).
17
Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.
7. Variabel buatan
Variabel buatan merupakan variabel yang ditambahkan ke dalam model matematika dengan kendala yang berbentuk ≥ atau untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada.
8. Kolom pivot (kolom kunci)
Kolom pivot merupakan kolom yang memuat variabel masuk.
Koefisien pada kolom ini akan menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kunci).
9. Baris pivot (baris kunci)
Baris pivot merupakan salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar.
10. Elemen pivot (angka kunci)
Elemen pivot merupakan elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.
11. Variabel masuk
Variabel masuk merupakan variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.
12. Variabel keluar
Variabel keluar merupakan variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol.
Langkah-langkah metode simpleks
Langkah – langkah yang dapat dilakukan dalam metode simpleks, yaitu (Syaifuddin, 2011) :
1. Mengidentifikasi variabel keputusan dan memformulasikan kedalam simbol matematis
2. Mengidentifikasi fungsi tujuan dan fungsi kendala
3. Memformulasikan fungsi tujuan dan fungsi kendala ke dalam model matematika
4. Mengubah pertidaksamaan “≤” pada kendala menjadi “=” dengan menambahkan variabel slack (S)
5. Memasukan data fungsi tujuan dan kendala-kendala kedalam tabel simpleks.
6. Menentukan kolom kunci (negatif terbesar pada baris 𝑧).
7. Menentukan baris kunci (positif terkecil pada indeks (indeks = 𝑏𝑗 pada masing-masing baris dibagi dengan angka pada kolom kunci di masing-masing baris))
8. Menentukan angka kunci (pertemuan antara kolom kunci dan baris kunci)
9. Mengubah variabel keputusan pada baris kunci dengan variabel keputusan pada kolom kunci dan kemudian mengubah seluruh elemen pada baris kunci dengan cara membagi seluruh elemen dengan angka kunci
10. Mengubah nilai-nilai pada baris lain (diluar baris kunci) dengan cara 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑎𝑟𝑢 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑚𝑎 −
(𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑢 𝑥 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑎𝑤𝑎𝑙) 11. Memastikan seluruh elemen pada baris z tidak ada yang bernilai
negatif, apabila masih terdapat nilai negatif maka diulangi langkah ke- 5 dan seterusnya.
12. Apabila seluruh elemen pada baris 𝑧 tidak ada yang bernilai negatif maka proses telah selesai
2.2 Integer Programming
Integer programming merupakan sebuah penyelesaian matematis yang memungkinkan hasil yang di peroleh pada kasus pemrograman linear yang berupa bilangan pecahan diubah menjadi bilangan bulat tanpa meninggalkan optimalitas penyelesaian. Istilah integer programming mencakup dua teknik analisis yang berbeda yaitu teknik analisis untuk menghasilkan penyelesaian optimal pemrograman linear bilangan bulat dan teknik analisis pemrograman linear yang menggunakan bilangan biner 0 dan 1 yang dikenal dengan zero one programming.
Sehingga pengunaan bilangan biner ini memperluas cakupan penerapan model pemograman linear. Salah satu metode integer programming untuk menghasilkan nilai variabel keputusan berupa integer yaitu dengan metode cutting plane (Siswanto, 2007).
19
Di dunia nyata tidak semua hasil analisis dapat diterima jika dinyatakan bukan dalam bentuk integer programming, misalnya produk mobil, baju, celana dan yang lainnya. Tidak rasional apabila hasil optimal dinyatakan bukan dalam bentuk integer programming seperti 5,25 mobil jeep, 6,75 mobil pick up, dan 12,25 truk.
Tetapi hasil analisis untuk produk tertentu tetap logis jika dinyatakan dengan non integer programming seperti produk yang dinyatakan dalam satuan ukuran isi, panjang, dan berat misalnya 12,5 liter minyak makan, 759,2 kg mentega, dan 425,28 𝑚2 kayu (Prawirosentono, 2005).
Terdapat tiga masalah dalam integer programming yaitu (Mulyono, 2017) : 1. Pure integer programming, jika model mengharapkan semua variabel basis
bernilai integer;
2. Mixed integer programming, jika model hanya mengharapkan variabel-variabel tertentu bernilai integer;
3. Zero one integer programming, jika model hanya mengharapkan nilai nol atau satu untuk variabelnya.
2.3 Metode Cutting Plane
Ada berbagai metode yang digunakan untuk solusi masalah pemrograman bilangan bulat. Salah satunya metode cutting plane. Metode ini merupakan salah satu yang pertama dari jenisnya, yang diterbitkan pada tahun 1958. Metode ini merupakan metode yang efektif untuk memecahkan masalah pemrograman bilangan bulat (Thie dan Keough,2008).
Definisi Metode Cutting Plane
Metode cutting plane merupakan metode penyelesaian yang lebih dulu di gunakan sebelum metode branch and bound. Pendekatan yang dilakukan dalam metode cutting plane adalah dengan membuat batasan tambahan sehingga dapat mengeliminasi solusi yang tidak integer. Proses ini akan berakhir apabila diperoleh solusi dengan variabel (yang dikehendaki) bernilai integer (Dimyati, 2018).
Metode cutting plane merupakan salah satu metode untuk menyelesaikan permasalahan integer linear programming. Solusi optimum bilangan bulat pada metode cutting plane dapat di selesaikan dengan menggunakan metode simpleks dan metode dual simpleks dengan menambahkan kendala baru (gomory).
Penambahan kendala baru diberikan jika variabel keputusan berbentuk bilangan pecahan (Siang, 2011).
Menurut (Nur dan Abdal, 2016) Variabel 𝑥𝑖(𝑖 = 1,2, … , 𝑚) mewakili variabel dasar dan variabel 𝑥𝑗(𝑗 = 1,2, … , 𝑛) mewaikili variabel non dasar. Variabel-variabel ini
telah diatur demikian untuk kemudian pertimbangkan persamaan ke-i dimana variabel dasar 𝑥𝑖 memiliki nilai noninteger.
𝑥𝑖= 𝑏𝑖− ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 𝑛
𝑗=1
(9)
Dengan 𝑏𝑖= noninteger (baris sumber)
Setiap persamaan (9) akan dirujuk sebagai baris sumber, karena pada umumnya koefisien fungsi tujuan dapat dijadikan integer, variabel z juga integer dan persamaan z tersebut dapat dipilih sebagai baris sumber. Pada kenyataannya bukti konvergensi dari algoritma ini mengharuskan z untuk berupa integer sehingga
𝑏𝑖= [𝑏𝑖] + 𝑓𝑖
𝑎𝑖𝑗 = [𝑎𝑖𝑗] + 𝑓𝑖𝑗 (10)
Dimana N=[a] adalah bilangan bulat terbesar sehingga N≤a dan dapat disimpulkan bahwa 0 < 𝑓𝑖< 1 dan 0 < 𝑓𝑖𝑗 < 1. Adapun batasan yang akan ditambahkan pada tabel simpleks terakhir adalah :
𝑆𝑔𝑖− ∑ 𝑓𝑖𝑗𝑥𝑗= −𝑓𝑖
𝑛
𝑗=1 (11)
Langkah- Langkah Metode Cutting Plane
Langkah-langkah penyelesaian metode cutting plane adalah sebagai berikut (Basriati, 2018):
1. Selesaikan masalah integer linear programming menggunakan metode simpleks dengan mengabaikan syarat bilangan bulat.
2. Jika penyelesaian Langkah 1 memuat variabel keputusan yang bernilai pecahan maka lakukan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Memilih sembarang baris tabel optimum simpleks pada kolom yang memuat pecahan terbesar, agar iterasi lebih cepat diselesaikan.
2. Misalkan baris ke-i adalah baris yang terpilih dan persamaan yang terbentuk dalam baris ke-i adalah:
𝑥𝑖= 𝑏𝑖− ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗
𝑛
𝑗=1
(12)
Dengan tambahan kendala :
𝑆𝑔𝑖− ∑ 𝑓𝑖𝑗𝑥𝑗= −𝑓𝑖
𝑛
𝑗=1
(13)
21
Keterangan :
𝑆𝑔𝑖 : kendala tambahan (gomory) ke- 𝑖 𝑓𝑖𝑗 : bagian pecahan dalam 𝑎𝑖𝑗
𝑓𝑖 : bagian pecahan dalam 𝑏𝑖
3. Menyelesaikan masalah integer linear programming menggunakan metode dual simpleks dengan kendala tambahan (gomory) yang diletakkan pada baris terakhir tebel simpleks.
Proses pembentukan kendala baru berakhir apabila solusi yang diinginkan berupa bilangan bulat. Jika tidak, maka penambahan kendala baru di buat lagi dari tabel yang dihasilkan dan metode dual simpleks digunakan lagi untuk mengatasi ketidaklayakan. Jika setiap iterasi pada metode dual simpleks menunjukan bahwa tidak ada solusi yang layak berarti masalah tersebut tidak memiliki solusi integer yang layak (Mulyono, 2017).
2.4 Metode Dual Simpleks Definisi Metode Dual Simpleks
Apabila pada suatu iterasi yang sudah optimum akan tetapi belum fisibel (ada kendala nonnegatif yang tidak terpenuhi) maka persoalan tersebut harus diselesaikan dengan menggunakan metode dual simpleks . Syarat metode dual simpleks yaitu semua kendala merupakan ketidaksamaan yang bertanda (≤) sedangkan fungsi tujuan berupa maksimasi atau minimasi (Dimyati,2018)
Menurut (Dimyati,2018) metode dual simpleks sama seperti metode simpleks tetapi leaving variable (baris kunci) dan entering variable (kolom kunci) ditentukan sebagai berikut :
1. Leaving Variable
Leaving variable pada dual simpleks adalah variabel basis yang memiliki nilai negatif terbesar.
2. Entering Variable
a. Tentukan rasio antara koefisien persamaan z dengan koefisien persamaan leaving variable.
b. Jika kasus maksimasi, entering variable adalah variabel dengan rasio absolute terkecil.
Langkah – langkah metode dual simpleks
Langkah –langkah metode dual simpleks (Mulyono, 2017) sebagai berikut : 1. Mengubah semua kendala menjadi pertidaksamaan ≤ dan tambahkan
variabel slack.
2. Tentukan entering variable dan leaving variable.
3. Selesaikan dengan menggunakan metode gauss Jordan (operasi baris).
23
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Tempat dan Waktu
Penelitian ini dilakukan pada Bintang Bakery yang beralamat di Jl. Sultan Ibrahim Kecamatan Rengat Kabupaten Indragiri Hulu Provinsi Riau. Waktu penelitian 23 Februari 2021.
3.2 Jenis dan Sumber Data
Data yang digunakan pada penelitian ini merupakan data primer. Sumber data yang digunakan pada penelitian ini berasal dari Bintang Bakery.
3.3 Metode Penelitian
Langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Identifikasi Masalah
Pada penelitian ini akan dilakukan analisis jumlah produksi pada Bintang Bakery dengan kendala keterbatasan bahan baku dan wakru produksi.
2. Pengumpulan Data
a. Melakukan observasi langsung di tempat penelitian.
b. Melakukan wawancara kepada salah satu pihak Bintang Bakery yang berkaitan dengan informasi yang dibutuhkan.
c. Data yang di perlukan yaitu jenis produk, bahan baku, harga bahan baku, biaya produksi tiap-tiap produk, persediaan bahan baku, jumlah produksi, harga jual tiap-tiap produk, keuntungan tiap-tiap produk, dan waktu produksi.
3. Pembentukan Model Linear Programming a. Menyusun model program linier
1. Menentukan variabel keputusan
𝑥1 = banyaknya roti manis rasa pisang yang diproduksi per bungkus 𝑥2 = banyaknya roti manis rasa coklat yang diproduksi per bungkus 𝑥3 = banyaknya roti manis rasa srikaya yang diproduksi per bungkus 𝑥4 = banyaknya roti manis rasa kelapa yang diproduksi per bungkus 2. Menentukan fungsi tujuan
Fungsi tujuan pada penelitian ini yaitu untuk memaksimalkan keuntungan pada Bintang Bakery.
3. Menentukan fungsi kendala
Fungsi kendala berupa bahan baku seperti tepung terigu, gula pasir, ragi instan, baking powder, garam, telur, margarine, air, varian rasa (pisang, coklat, srikaya, kelapa) dan waktu produksi.
b. Mengubah model ke dalam bentuk standard.
4. Penemuan Solusi
a. Menyelesaikan dengan menggunakan metode simpleks.
b. Apabila nilai dari variabel keputusan belum bulat, maka buat kendala baru.
c. Tambahkan kendala baru ke baris terakhir pada tabel simpleks.
d. Selesaikan dengan menggunakan metode dual simpleks sehingga memperoleh solusi yang optimal.
e. Kesimpulan.
25
3.4 Diagram Alur Penelitian
Mulai
Identifikasi Masalah
Pengumpulan Data
Membuat model Linear Programming
Mengubah model kedalam bentuk
standard
Selesaikan dengan metode simpleks
Kesimpulan
Selesai Apakah variabel keputusan
memiliki nilai integer ?
Selesaikan dengan metode cutting plane
dengan membuat tambahan kendala baru
Tidak
Selesaikan dengan metode dual simpleks Ya
Gambar 1. Diagram Alur Penelitian
26
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Hasil Penelitian 4.1.1 Pengumpulan Data
Peneliti telah melakukan penelitian di Bintang Bakery yang terletak di Jalan Sultan Ibrahim Kecamatan Rengat Kabupaten Indragiri Hulu Provinsi Riau. Bintang Bakery memproduksi 4 jenis roti manis. Berikut ini roti manis di bintang bakery :
Gambar 2. Roti Manis Rasa Srikaya Gambar 3. Roti Manis Rasa Kelapa
Gambar 4. Roti Manis Rasa Coklat Gambar 5. Roti Manis Rasa Pisang Sebelum melakukan proses produksi, pihak Bintang Bakery terlebih dahulu mempersiapkan bahan baku yang akan digunakan. Bahan baku merupakan faktor yang paling penting dalam proses produksi. Setiap jenis rasa roti manis membutuhkan takaran bahan baku yang berbeda- beda. Adapun bahan baku yang dibutuhkan dalam proses pembuatan roti manis disajikan pada Tabel 2.
27
Tabel 2. Bahan Baku yang digunakan untuk 1 bungkus (gram)
Bahan Baku Varian Rasa Persedian
Pisang Coklat Srikaya Kelapa
Tepung terigu 20 20 20 20 9500
Gula pasir 24 24 24 24 11000
Ragi 0,3 0,28 0,3 0,28 150
Baking 0,2 0,2 0,2 0,2 95
Garam 0,2 0,2 0,2 0,2 100
Telur 10 10 10 10 4600
Margarin 2,5 2 2 2 1000
Air 60 80 80 60 32000
Varian rasa 2 2 2,5 2 3400
Berdasarkan tabel 2 persedian bahan baku varian rasa di peroleh dari total semua varian rasa. Adapun rincian biaya bahan baku disajikan pada Tabel 3.
Tabel 3. Harga Bahan Baku (gram) Bahan Baku Harga (Rp)
Tepung terigu 8
Gula pasir 12
Ragi 84
Baking 32
Garam 5
Telur 27
Margarin 10
Air 6
Pisang 15
Coklat 26
Srikaya 30
Kelapa 18
Berdasarkan tabel 3 harga bahan baku diperoleh misalkan harga 1kg tepung terigu Rp. 8.000 kalau dijadikan dalam 1 gram menjadi Rp.8. Total biaya bahan baku untuk setiap bungkus diperoleh dari hasil perkalian bahan baku yang dibutuhkan dengan harga bahan baku per gram. Adapun biaya bahan baku untuk memproduksi roti manis per bungkus disajikan pada Tabel 4.
Tabel 4. Total Biaya Bahan Baku Bahan
Baku Biaya produksi (Bahan baku x Harga bahan baku) Pisang Coklat Srikaya Kelapa Tepung
terigu Rp. 160 Rp. 160 Rp. 160 Rp. 160
Gula pasir Rp. 288 Rp. 288 Rp. 288 Rp. 288
Ragi Rp. 25,5 Rp.23,52 Rp.25,5 Rp.23,52
Baking Rp. 6,4 Rp. 6,4 Rp. 6,4 Rp. 6,4
Garam Rp. 1 Rp. 1 Rp. 1 Rp. 1
Telur Rp. 270 Rp. 270 Rp. 270 Rp. 270
Margarin Rp. 25 Rp. 20 Rp. 20 Rp. 20
Air Rp. 360 Rp. 480 Rp. 480 Rp. 360
Varian rasa Rp. 30 Rp. 52 Rp. 75 Rp. 36
Total Rp. 1.165 Rp. 1.300 Rp. 1.325 Rp. 1.164 Di Bintang Bakery terdapat 13 orang pekerja dengan 6 orang dibagian produksi dan 7 orang dibagian toko. Dibagian produksi mendapatkan gaji sebesar Rp.100.000 per harinya, jadi per harinya bintang bakery mengeluarkan upah tenaga kerja di bagian produksi sebesar Rp.600.000 dan upah tenaga kerja dibagian produksi per hari dibagi dengan jumlah produksi dalam sehari yaitu 400 bungkus sehingga gajinya sebesar Rp.1.500/bungkus. Sedangkan dibagian toko mendapatkan gaji sebesar Rp.50.000 per harinya, jadi per harinya bintang bakery mengeluarkan upah tenaga kerja di bagian toko sebesar Rp.350.000 dan upah tenaga kerja dalam satu bungkus roti manis sebesar Rp.875. Sedangkan untuk biaya listrik yang dikeluarkan selama sebulan sebesar Rp. 3.000.000,- jadi per harinya mengeluarkan biaya sebesar Rp.100.000. Jadi biaya listrik per hari dibagi dengan jumlah produksi dalam sehari yaitu 400 bungkus sehingga biaya listriknya sebesar Rp.250/bungkus.
Sedangkan untuk biaya packing, harga plastik packing sebesar Rp.7.000 dengan isi 50 bungkus sehingga harga satu bungkus sebesar Rp.140. Adapun biaya operasional dalam satu bungkus disajikan pada Tabel 5.
Tabel 5. Biaya Operasional Produk per bungkus
Jenis Harga
Upah tenaga kerja Rp. 2.375
Listrik Rp. 250
Packing Rp. 140
Total Rp. 2.765
Jadi untuk memperoleh biaya produksi setiap bungkus diperoleh dari hasil penjumlahan total biaya bahan baku dan biaya operasional. Adapun total biaya produksi per bungkus disajikan pada Tabel 6.
29
Tabel 6. Total Biaya Produksi per bungkus
Jenis Biaya Biaya Produksi
Pisang Coklat Srikaya Kelapa Bahan Baku Rp. 1.165 Rp. 1.300 Rp. 1.325 Rp. 1.164
Operasional Rp. 2.765 Rp. 2.765 Rp. 2.765 Rp. 2.765 Total Rp. 3.930 Rp. 4.065 Rp. 4.090 Rp. 3.929 Adapun harga jual roti manis per bungkus disajikan pada Tabel 7.
Tabel 7. Harga Jual Produk Jenis Produk Harga (Rp) Roti manis rasa pisang 6.000 Roti manis rasa coklat 6.000 Roti manis rasa srikaya 6.000 Roti manis rasa kelapa 6.000 Keuntungan roti manis per bungkus disajikan pada Tabel 8.
Tabel 8. Keuntungan dari Setiap Produk yang Diproduksi Produk Harga Jual Produk
(per pcs) Biaya
Produksi Keuntungan Roti manis rasa pisang Rp.6.000 Rp.3.930 Rp.2.070
Roti manis rasa coklat Rp.6.000 Rp.4.065 Rp.1.935 Roti manis rasa srikaya Rp.6.000 Rp.4.090 Rp. 1.910
Roti manis rasa kelapa Rp.6.000 Rp.3.929 Rp. 2.071 Waktu produksi roti manis per bungkus disajikan pada Tabel 9.
Tabel 9. Waktu Produksi Roti Manis Jenis Produk Waktu (menit) Roti manis rasa pisang 1,44
Roti manis rasa coklat 1,32 Roti manis rasa srikaya 1,32 Roti manis rasa kelapa 1,44
Berdasarkan tabel 9 tenaga kerja bagian produksi bekerja selama 630 menit per harinya.
4.1.2 Pembentukan Model Matematis 1. Perumusan Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan merupakan keuntungan dari setiap varian rasa roti manis per bungkus. Keuntungan diperoleh dari selisih harga jual dengan modal. Tujuan dari permasalahan ini adalah untuk menentukan berapa banyak roti manis yang terjual dalam sehari. Fungsi tujuan dalam penelitian ini dapat dituliskan sebagai berikut:
Maksimumkan :
𝑍 = 2.070𝑋1+ 1.935𝑋2+ 1.910𝑋3+ 2.071𝑋4 (14)
