DENGAN MODEL BINOMIAL YANG DIMODIFIKASI Emli Rahmi 1)
2. KAJIAN LITERATUR 1 Model Binomial Hull-White
2.2. Model Binomial CMR
Model binomial yang diajukan Costabile, Massimo, Russo (CMR) (2006) [1] merupakan modifikasi terhadap model binomial Hull- White. Kerangka kerja model CMR ini masih sama dengan yang digunakan oleh Hull-White [5] dan berdasar pula pada model binomial CRR [2] untuk pergerakan harga asetnya. Letak perbedaannya ada pada teknik penentuan rata-rata representatif yang digunakan untuk menghitung nilai opsi Asia.
Secara umum, pada model binomial lattice, setiap lintasan harga aset yang berbeda menghasilkan rata-rata aritmatika yang berbeda pula. Hal ini menjadi alasan mengapa Hull- White bekerja dengan himpunan rata-rata representatif seperti dijelaskan pada bagian sebelumnya. Fitur utama pada model binomial CMR ini berkaitan dengan penentuan subhimpunan rata-rata aritmatika sesungguhnya yang masih disebut rata-rata representatif.
Adapun himpunan rata-rata representatif pada model binomial CMR diperoleh dengan cara berikut:
1. Hitung rata-rata maksimum, � � �, yang berasosiasi dengan node �, . Rata- rata maksimum ini dihasilkan oleh lintasan dengan harga aset melangkah sebanyak langkah naik yang diikuti oleh � − langkah turun. Kita nyatakan � � �, =
� �, ; 1 yang merupakan elemen pertama pada himpunan rata-rata representatif.
� �, ; 1 = + (∑ℎ=0�0 ℎ+ ∑ℎ=0− − �0 ℎ+2 −) (3)
2. Hitung rata-rata minimum, � �, yang berasosiasi dengan node �, . Rata-rata maksimum ini dihasilkan oleh lintasan dengan harga aset melangkah sebanyak � −
langkah turun yang diikuti oleh langkah naik. Kita nyatakan � �, = � �, ; 1 +
� − yang merupakan elemen terakhir pada himpunan rata-rata representatif.
� �, ; 1 + � − = + (∑ℎ=0− �0 ℎ+ ∑ℎ=0− �0 −2 +ℎ) (4)
3. Rata-rata representatif lainnya di node �,
dinyatakan dengan � �, ; , =
1, , … , � − yang dihitung secara rekursif sebagai berikut:
� �, ; + 1 = � �, ; −+ [� � �, ; −
� � �, ; 2] (5)
dengan � � �, ; menyatakan harga aset tertinggi pada lintasan yang menghasilkan rata- rata � �, ; tetapi bukan merupakan harga aset penyusun lintasan yang menghasilkan rata- rata minimum.
Gambar 2.1: Penghitungan nilai opsi Asia dengan model
binomial CMR.
Pandang opsi Asia gaya Eropa tipe
average price call. Model binomial CRR dengan − ��� � pada Gambar 2.1, menunjukkan bagaimana opsi Asia dihitung dengan model lattice ini dengan harga awal aset, �0 adalah ; strike price, � adalah ; dan risk free interest rste, � sebesar per tahun. Peluang harga aset untuk bergerak naikdi setiap node, sebesar , dan peluang bergerak turun, 1 − sebesar , . Bagian atas kotak di setiap node menyatakan harga aset untuk
node tersebut. Jumlah harga aset untuk setiap lintasan harga aset ditandai di setiap cabang pohon binomial.
Untuk mencapai node , karena hanya dicapai dengan satu lintasan harga aset
,1 , , , maka hanya satu rata-rata harga aset yang dihitung denganmenggunakan persamaan (3) atau (4).Di setiap �∆ , � =
1, , … , , jumlah/total harga aset pada lintasan harga aset yang menghasilkan rata-rata representatif � �, ; 1 dapat diperoleh dari bentuk ∑ℎ=0�0 ℎ+ ∑ℎ=0− − �0 ℎ+2 −. Begitu pula jumlah/total harga aset pada lintasan harga aset yang menghasilkan rata-rata representatif
� �, ; 1 + � − dapat diperoleh dari bentuk
∑ℎ=0− �0 ℎ+ ∑ℎ=0− �0 −2 +ℎ.
Sebagai contoh, pada node , , rata-rata representatif yang pertama, � , ; 1 dihitung dengan menggunakan jumlahharga aset +
186
1 + + 1 kemudian dibagi dan rata- rata representatif terakhir, � , ; dihitung dengan menggunakan jumlahharga aset +
+ + 1 dan dibagi . Selanjutnya rata-rata representatif kedua dihitung dengan harga aset tertinggi yang digunakan untuk menghitung � , ; 1 yaitu � � , ; 1 =
dan menggunakan rumusan rekursif pada persamaan (5). Jika himpunan rata-rata representatif telah dibangun sampai saat
maturity timemaka langkah selanjutnya adalah menghitung nilai opsi pada saat maturity time
dengan menggunakan persamaan payoff:max � �, ; − �, .
Model binomial selanjutnya melangkah mundur (dalam waktu)untuk memperoleh nilai opsi pada saat 0 = dengan skema induksi backward berikut:
� �, ; = �−�∆�[ �(� + 1, + 1; ) + 1 − � � +
1, ; � ] (6)
dimana �(� + 1, + 1; ) dan � � +
1, ; � merupakan nilai-nilai opsi pada
saat � + 1 ∆ yang letaknya bersesuaian dengan lintasan ke- yang bergerak naik dan bergerak turun. Sehingga nilai opsi � ,1; 1 =
�0[ , � , ; 1 + , � ,1; 1
� ] = , +
1, = , .
Namun tidak semua nilai opsi �(� + 1, +
1; ) dan � � + 1, ; � yang berasosiasi dengan rata-rata representatif tersebut berada dalam himpunan rata-rata representatif yang telah dibangun. Untuk mengatasi hal ini, digunakan metode interpolasi linear.
Untuk opsi Asia gaya Amerika rumusan rekursif pada penentuan nilai opsi harus dimodifikasi untuk memungkinkan adanya fasilitas early exercise yaitu:
�� �, ; = max {� �, ; , �−�∆�[ �� (� + 1, + 1; ) +
1 − �� � + 1, ;
� ]} (7)
Dengan cara serupa dapat dihitung untuk opsi Asia tipe-tipe yang lain yang terbagi dalam 8 tipe berdasarkan bentuk payoffnya yaitu: 1. Opsi average price call Eropa:
�� = max � , ; − �,
2. Opsi average price put Eropa:
�� = max � − � , ; ,
3. Opsi average strike call Eropa:
�� = max(� , − � , ; )
4. Opsi average strike put Eropa:
�� = max(� , ; − � , )
5. Opsi average price call Amerika:
�� = max � �, ; − �,
6. Opsi average price put Amerika:
�� = max � − � �, ; ,
7. Opsi average strike call Amerika:
�� = max(� �, − � �, ; )
8. Opsi average strike put Amerika:
�� = max(� �, ; − � �, )
Sebagai benchmark terhadap kedua model tersebut, digunakan simulasi Monte Carlo (MC) yang dapat memberikan taksiran harga opsi bagi opsi yang tidak mempunyai solusi eksak.
3. METODE PENELITIAN
Penelitian ini merupakan studi literatur (kajian pustaka), sehingga dapat dibentuk flowchart sebagai berikut:
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada Tabel 4.1 dan 4.2 dinyatakan nilai opsi Asia gaya Eropa tipe average price call dan put dengan nilai strike price yang berbeda- beda. Harga awal asset adalah , risk free
interest rate sebesar .1 pertahun, volatilitas sebesar . pertahun dan masa berlaku opsi selama 1 tahun.
Tabel4.1:Average price call gaya Eropa dengan model binomial CMR.
Pengumpulan literatur/ studi pustaka Mengkaji literatur
Pengembangan literatur
187
Pada baris terakhir Tabel4.1 dan4.2 diberikannilai opsi yang dihitung dengan simulasi Monte Carlo (MC) berdasar pada 40
time step dan1 5percobaan menggunakan teknik reduksi variansi: variabel antitetik dengan standar eror berada dalam tanda kurung.
Tabel4.2:Average price put gaya Eropa dengan model binomial CMR.
PadaTabel4.3 dan 4.4 dinyatakan nilai opsi Asia gaya Eropa tipe average strike call dan put dengan harga awal aset yang berbeda-beda. Perhitungan dilakukan dengan risk-free interest ratese besar .1 pertahun, volatilitas sebesar . pertahun dan masa berlaku opsi selama 1tahun.
Tabel4.3:Average strike call gaya Eropa dengan model binomial CMR.
Pada baris terakhir Tabel 4.3 dan 4.4 diberikan nilai opsi yang dihitung dengan simulasi Monte Carlo (MC) berdasar pada 40time step dan1 5percobaan menggunakan teknik reduksi variansi: variabel antitetik dengan standar eror berada dalamtandakurung.
Tabel4.4:Average strike put gaya Eropa dengan model binomial CMR.
Tabel4.5:Average price call gaya Amerika dengan model binomial CMR.
188
Pada Tabel 4.5 dan 4.6 dinyatakan nilai opsi Asia average price call dan put gaya Amerika dengan nilai strike price yang berbeda-beda. Harga awal asset adalah , risk free interest rate sebesar .1 pertahun, volatilitas sebesar . pertahun dan masa berlaku opsi selama 1 tahun. Pada baris terakhir Tabel 4.5 dan 4.6 diberikan nilai opsi yang dihitung dengan model binomial Hull- White(HW) dengan ℎ = . .
Pada Tabel 4.7dan4.8 dinyatakan nilai opsi Asia average strike call dan put gaya Amerika dengan harga awal aset berbeda-beda. Perhitungan dilakukan dengan risk free interest rate sebesar .1 pertahun, volatilitas sebesar
. pertahun dan masa berlaku opsi selama 1 tahun. Pada baris terakhir Tabel 4.7dan 4.8 diberikan nilai opsi yang dihitung dengan model binomial Hull-White(HW) dengan ℎ =
. .
Tabel4.6:Average price put gaya Amerika dengan model binomial CMR.
Tabel4.7:Average strike call gaya Amerika dengan model binomial CMR.
Tabel4.8:Average strike put gaya Amerika dengan model binomial CMR.
Dari hasil komputasidi atas diperoleh bahwa harga opsi Asia dengan gaya Amerika selalu lebih besar daripada harga opsi Asia gaya Eropa baik untuk tipe average price maupun
average strike.
Selanjutnya pada Tabel 4.9, dengan menggunakan nilai opsi Asia average price call gaya Eropa kami bandingkan antara model binomial Hull-White (HW) dengan model binomial Costabile, Massimo, Russo (CMR), dan sebagai benchmark digunakan simulasi Monte Carlo (MC) dengan teknik reduksi variansi: variabel antitetik. Hal ini dilakukan untuk melihat seberapa dekat nilai opsi Asia yang diberikan oleh kedua metode terhadap simulasi Monte Carlo.
Tabel4.9: Perbandingan nilai opsi Asia average price call gaya Eropa.
189
Tabel 4.9 menunjukkan bahwa hasil perhitungan antara model binomial Hull-White dan Costabile, Massimo, Russo terhadap simulasi Monte Carlo adalah cukup dekat. Rata-rata perbedaan nilai opsi antara model binomial Hull-White dengan simulasi Monte Carlo sebesar . . Sedangkan rata-rata perbedaan antara model binomial Costabile, Massimo, Russo dengan simulasi Monte Carlo sebesar . . Hal ini berarti bahwa nilai opsi yang diberikan oleh model binomial Costabile, Massimo, dan Russo lebih baik karena lebih mendekati ke nilai opsi yang diberikan oleh simulasi Monte Carlo bila dibandingkan dengan nilai opsi yang diberikan oleh model binomial Hull-White.
Selanjutnya pada Tabel 4.10 dengan mengacu pada penelitian Harapan (2007) [3] yang memberikan hasil perhitungan harga opsi Asia tipe rata-rata geometric dengan model binomial, dilihat ubungan antara opsi Asia tipe rata-rata aritmatika dengan rata-rata geometric baik untuk opsi call maupun opsi put. Dengan parameter yang sama, yaitu harg aawalaset , risk-free interest ratesebesar . � pertahun, volatilitas sebesar
. pertahun, strike price � dan maturity time tahun diperoleh hasil:
Tabel4.10: Nilai opsi Asia average price call gaya Eropa rata- rata aritmatika vs rata-rata geometrik.
Jadi, untukopsi Asia average price gaya Eropa berlaku hubunganberikut:
��� < ��� � dan ��� > ��� �
5. KESIMPULAN
Pada paper ini telah dijelaskan penentuan harga opsi Asia khususny atipe rata-rata aritmatika dengan model binomial yang dimodifikasi yang diajukan oleh Costabile, Massimo, Russo (CMR). Model inimerupakanmodifikasidari model binomial yang diajukan oleh Hull-White. Kerangka kerja kedua model ini berdasar pada model binomial CRR untuk pergerakan harga asetnya. Letak perbedaan kedua model ini ada pada teknik pemilihan rata-rata representatif yang digunakan untuk menghitung harga opsi. Hasil yang diperoleh menyatakan bahwa rata-rata perbedaan kedua model terhadap simulasi Monte Carlo cukupdekat, walaupun model binomial CMR lebih dekat kenilaiopsi yang diberikan oleh simulasi Monte Carlo. Selanjutnya diperoleh pula hubungan diantara berbagai tipe opsi Asia baik gaya Eropa maupun Amerika.
Untuk penelitian selanjutnya, dapat dilakukan dengan mencari bentuk rata-rata representatif yang lebih baik lagibaik dari segi efektivitas maupun efisiensi.
6. REFERENSI
1. Costabile M, Massabo I, Russo E. (2006),
An Adjusted Binomial Model for Pricing Asian Options, Rev Quant Finan Acc 27: 285-296.
2. Cox JC, Ross SA, Rubinstein M. (1979),
Option Pricing: A Simplified
Approach, JJ Financial Economics 7: 229-264.
3. Harapan Riswan. (2007),Penentuan Harga Opsi Asia, Institut Teknologi .
4. Hull JC. (2002),Options, Futures, and Other Derivatives,Fifth Edition, Prentice Hall International Editions, Upper Saddle Rider.
190
5. Hull JC, White A. (1993),Efficient Procedures for Valuing European and American Path-Dependent Options, J Derivatives 1: 21-31.
6. Seydel R. (2002),Tools for Computational Finance, Berlin: Springer-Verlag. 7. Sidarto, Kuntjoro A. (2008),Catatan
Seputar Model Penentuan Harga Saham tipe Eropa dan Amerika.
8. Zhang PG. (1998),Exotic Options: A Guide
to Second Generation Options,