BAB II. KAJIAN TEORI
3. Pemahaman Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan
Menurut kamus besar bahasa indonesia, pemahaman berarti proses, cara perbuatan memahami atau memahamkan.31 Kategori pemahaman dihubungkan dengan kemampuan untuk menjelaskan pengetahuan, informasi yang telah diketahui dengan kata-kata sendiri.32 Definisi tersebut sejalan dengan Benyamin S Bloom dalam Djaali, pemahaman ialah kemampuan untuk menginterpretasi atau mengulang informasi dengan menggunakan bahasa sendiri.33
Kemampuan Pemahaman (comprehension) mencakup kemampuan untuk menangkap makna dan arti dari bahan yang dipelajari.34 Kemampuan ini dinyatakan dalam menguraikan isi pokok suatu bacaan, mengubah data yang disajikan dalam bentuk tertentu ke bentuk lain, membuat perkiraan dari data tertentu. Kemampuan pemahaman (comprehension) setingkat lebih tinggi dari kemampuan pengetahuan. Dimana pada kemampuan pemahaman (comprehension) mengharapkan siswa tidak hanya menghafal secara verbal, tetapi memahami konsep dari masalah atau fakta yang dinyatakan.
Dari definisi dan kategori pemahaman di atas, maka pemahaman secara umum merupakan suatu kemampun ranah kognitif yang tergambar melalui kemampuan seseorang menjelaskan informasi atau pengetahuan hasil pemahamannya dengan kata-kata sendiri, mengubah data yang disajikan dalam bentuk tertentu ke bentuk lain, membuat perkiraan dari data tertentu. Dengan demikian siswa tidak lagi sekedar menghafal makna atau kosep melainkan telah mampu memahami makna atau kosep dari fakta yang dinyatakannya.
31
Tim Prima Pena, Kamus Besar Bahasa Indonesia, Edisi terbaru,, (Jakarta: Gitamedia Press, 2007), h. 568
32
Maritis Yamin, Strategi Pembelajaran Berbasis Kompetensi, Cetakan ke-3, (Ciputat: Gaung Persada Press, 2005), h. 28
33
Djaali, Psikologi Pendidikan, (Jakarta: Bumi Aksara, 2009) h. 77.
34
Terdapat beberapa pendapat tokoh dalam pembagian jenis aspek pemahaman. Adapun beberapa tokoh tersebut diantaranya Bloom, Polya, Pollastek, Skemp, dan Copeland, diantaranya sebagaimana bagan berikut:35
Diagram 2.2
Jenis-Jenis Aspek Pemahaman Menurut Tokoh
Pemahaman atau komprehensi dalam taksonomi Bloom secara umum adalah tingkat kemampuan yang mengharapkan testee mampu memahami arti atau konsep, situasi serta fakta yang diketahuinya, dalam hal ini testee tidak hanya hafal secara verbalistis, tetapi memahami konsep dari masalah atau fakta yang dinyatakan.
Perilaku pemahaman menurut taksonomi Bloom dibedakan menjadi tiga, yaitu pemahaman translasi, interpretasi dan ekstrapolasi sebagai berikut:
1. Pemahaman translasi (Translation)
Pemahaman translasi yaitu kemampuan untuk memahami suatu ide yang dinyatakan dengan cara lain daripada pernyataan asli yang dikenal sebelumnya.36
35
Asep Jihad, Pengembangan Kurikulum Matematika, Cetakan ke-1, (Yogyakarta: Multi Pressindo, 2008), h. 167
36
Gelar, Dwirahayu, Munaspriyanto Ramli, Pendekatan Baru dalam Pembelajaran Sains dan Matematika Dasar, Sebuah Ontologi, (Tangerang: PIC, 2007), h. 108.
Adapun kata kerja operasional guna mengukur kemampuan ini yakni menerjemahkan, mengubah, mengilustrasikan.37
Jadi pemahaman translasi adalah pemahaman yang berkaitan dengan kemampuan siswa dalam menerjemahkan kalimat ataupun permasalahan dalam soal ke dalam bentuk lain guna dapat menyelesaikan soal tersebut.
2. Pemahaman Interpretasi (interpretation)
Pada pemahaman interpretasi membutuhkan pemahaman translasi. Kemampuan interpretasi yaitu kemampuan untuk memahami bahan atau ide yang direkam, diubah, atau disusun dalam bentuk lain seperti grafik, tabel, diagram, dan sebagainya.38 Sedangkan, Ngalim Purwanto memandang bahwa kemampuan interpretasi dapat dilihat jika siswa mampu menghubungkan bagian-bagian terdahulu dengan yang diketahui berikutnya.39 Eli Herliani lebih lanjut menjelaskan bahwa kemampuan interpretasi atau penafsiran dalam taksonomi Bloom ini yaitu kemampuan memberikan penjelasan terhadap suatu data atau informasi. Kemampuan ini dapat dijabarkan ke dalam kata kerja operasional memperhitungkan, memprakirakan, dan menduga.40
Jadi pemahaman interpretasi adalah pemahaman yang berkaitan dengan kemampuan siswa dalam menafsirkan bahan atau ide matematis untuk dapat menyelesaikan suatu permasalahan matematika.
3. Pemahaman Ekstrapolasi (extrapolation)
Pemahaman Ekstrapolasi tidak lepas dari pemahaman translasi dan pemahaman interpretasi. Kemampuan ekstrapolasi yaitu keterampilan untuk meramalkan kelanjutan kecenderungan yang ada menurut data tertentu dengan mengemukakan akibat, konsekuensi, implikasi, dan sebagainya sejalan dengan kondisi yang digambarkan dalam komunikasi yang asli.41 Sedangkan Oemar Hamalik memandang pemahaman ekstrapolasi adalah kemampuan untuk
37
Eli, Herliani, Indrawati, Penilaian Hasil Belajar untuk Guru SD, (Bandung: PPPPTK IPA, 2009), hal. 13
38
Gelar, Dwirahayu, op. cit., h. 108.
39
Ngalim, Purwanto, Prinsip-Prinsip dan Teknik Evaluasi Pengajaran, (Bandung: PT Remaja Rosdakarya Offset, 2004), cet. 12, h. 44
40
Eli, Herliani, op. cit., h. 13
41
memperkirakan konsekuensi atau pengaruh yang dimungkinkan terjadi.42 Untuk lebih memudahkan dalam mengukur kemampuan ini, Eli Herliani memetakannya menjadi enam kata kerja operasional, yakni menyimpulkan, meramalkan, membedakan, menentukan, mengisi, menarik kesimpulan.43
Penulis setuju dengan pengertian menurut oemar hamalik yang memandang kemampuan pemahaman ekstrapolasi adalah pemahaman yang berkaitan dengan kemampuan siswa dalam memprediksi konsekuensi yang terjadi setelah siswa melakukan suatu perhitungan matematis.
Pemahaman yang digunakan dalam penelitian ini adalah pemahaman menurut Bloom yang terdiri dari pemahaman translasi (translation), pemahaman interpretasi (interpretation), dan pemahaman ekstrapolasi (extrapolation). Kemudian ketiga jenis pemahaman tersebut dianalisis kembali untuk kemudian disesuaikan dengan materi ajar dalam penelitian tindakan. Adapun hasil analisisnya dapat terlihat dalam tabel berikut:
Tabel 2.2
Indikator Pemahaman Matematika Menurut Taksonomi Bloom
Pemahaman (C2):
Tingkat kemampuan yang mengharapkan siswa mampu memahami arti atau konsep, situasi serta fakta yang diketahuinya, dalam hal ini siswa tidak hanya hafal secara verbalistis, tetapi memahami konsep dari masalah atau fakta yang ditanyakan
Aspek Penjabaran Aspek
Menerjemahkan (translasi)
Yaitu kemampuan siswa dalam menerjemahkan kalimat ataupun permasalahan dalam soal ke dalam bentuk lain untuk dapat menyelesaikan soal tersebut. Menafsirkan
(interpretation)
Yaitu kemampuan siswa dalam menafsirkan bahan atau ide matematis untuk dapat menyelesaikan suatu permasalahan matematika.
Memperkirakan (ekstrapolation)
Yaitu kemampuan siswa dalam memprediksi konsekuensi yang terjadi setelah siswa melakukan suatu perhitungan matematis.
42
Oemar Hamalik, Perencanaan Pengajaran Berdasarkan Pendekatan Sistem, (Bandung. PT. Citra Aditya Bakti, 1990), h. 148
43
b. Sifat-Sifat Operasi Hitung Bilangan
Setelah benar-benar memahami pengertian pemahaman menurut taksonomi Bloom, selanjutnya akan dibahas pengertian bilangan, dan pembagian sifat-sifat operasi hitung bilangan secara rigkas. Setelah itu, barulah dapat disimpulkan inti dari pemahaman sifat-sifat operasi hitung bilangan.
Standar Kompetensi pada kurikulum matematika kelas IV SD/MI semester ganjil yang akan diteliti adalah memahami dan menggunakan sifat-sifat operasi hitung bilangan dalam pemecahan masalah. Pembahasan standar kompetensi tersebut difokuskan pada kompetensi dasar mengidentifikasi sifat-sifat operasi hitung bilangan dan menerapkannya dalam pemecahan masalah.
Dasar utama dalam sifat-sifat operasi hitung bilangan adalah konsep bilangan. Menurut J. Untoro bilangan adalah satuan dalam sistem matematis yang abstrak dan dapat diunitkan, ditambahkan dan dikalikan, dan bilangan juga diartikan sebagai ide abstrak yang bukan simbol atau lambang yang memberikan keterangan mengenai banyaknya anggota himpunan.44 Baharin Syamsuddin mengartikan bilangan sebagai jumlah atau kuatitas anggota suatu himpuan benda tertentu dan bilangan diartikannya pula sebagai hasil atau jawaban dari pertanyaan yang menyangkut jumlah tertentu.45 Jadi bilangan dapat diartikan sebagai satuan matematis abstrak atau anggota suatu himpunan tertentu yang bukan simbol ataupun lambang dan dapat dioperasikan yakni ditambah, dikurang, dibagi dan dikali.
Materi sifat-sifat operasi hitung bilangan yang dapat ditekankan kepada siswa Kelas IV SD/MI ialah sebagai berikut:
1. Sifat Pertukaran (Komutatif)
Dalam penjumlahan dan perkalian bilangan berlaku sifat pertukaran atau sifat komutatif, yaitu:
a. Berlaku pada penjumlahan:
44
J. Untoro, Buku Pintar Matematika untuk SD Kelas 4, 5 dan 6, (Jakarta: Wahyu Media, 2010), h. 3
45
Baharin Shamsudin, Kamus Matematika Bergambar untuk Sekolah Dasar, (Jakarta: Grasindo, 2002), h. 16
Ilustrasinya sebagai berikut:
Pak Ahmad memiliki 3 ekor burung di sangkar miliknya. Kemudian ia memasukkan lagi 2 ekor burung sejenis yang baru dibelinya. Berapa ekor burung yang ada di sangkar Pak Ahmad?
Pak Solah memiliki 2 ekor burung di sangkar miliknya. Kemudian ia memasukkan lagi 3 ekor burung sejenis yang baru dibelinya. Berapa ekor burung yang ada di sangkar Pak Solah?
Jika diperhatikan jumlah burung milik Pak Ahmad dan Pak Solah sama banyak, yakni sebanyak 5 ekor. Meskipun cara menghitung mereka berbeda yakni Pak Ahmad menghitung 3 + 2 = 5, dan Pak Solah menghitung 2 + 3 = 5. Maka dapat disimpulkan sebagai berikut:
Sehingga operasi penjumlahan memenuhi sifat komutatif (pertukaran). a + b = b + a
b. Berlaku pada perkalian:
Ilustrasinya sebagai berikut:
1. Ahsan ingin memelihara ayam di rumahnya. Kemudian ia membuat 1 kandang ayam besar, untuk seluruh anak ayam yang akan ia beli pada:
2. Fadlan ingin memelihara ayam di rumahnya. Kemudian ia membuat 1 kandang ayam besar, untuk seluruh ayam yang akan ia beli pada:
Bagaimanakah agar siswa dapat menggeneralisasikan bahwa 2 + 2 + 2 + 2 = 4 x 2 atau 4 + 4 = 2 x 4?
Caranya, guru hendaknya memeriksa dan menyamakan pemahaman awal siswa mengenai hubungan penjumlahan dan perkalian, sebelum materi sifat komutatif perkalian ini disampaikan.
Adapun pengecekan pemahaman siswa dapat dilakukan melalui pemberian masalah aturan minum obat sebagai berikut:
“Budi minum obat 3 x 1 tablet setiap hari”
Apakah maksud aturan tersebut? (lalu siswa dibimbing untuk memahami soal melalui pilihan)
a. Sehari Budi minum 1 tablet saat pagi, 1 tablet saat siang, 1 tablet saat malam. jika dimatematisasikan : 1 + 1 + 1 = 3 tablet untuk 3 kali minum dalam sehari b. Sehari Budi minum 3 tablet langsung, boleh saat pagi atau siang ataupun
malam.
Jika dimatematisasikan : 3 + 0 + 0 = 3 tablet untuk sekali minum sehari
Siswa tentu akan menjawab yang pilihan (a), dan setelah itu guru membimbing bahwa 3 x 1 = penjumlahan 3 kali angka 1 atau 3 x 1 = 1 + 1 + 1
Oleh karenanya siswa akan dengan mudah mengingat bahwa, 2 + 2 + 2 + 2 = 4 x 2 atau 4 + 4 = 2 x 4. Setelah itu barulah siswa dapat menyimpulkan bahwa ayam Ahsan dan Fadlan sama banyak.
Setelah siswa memahami sifat asosiatif pada perkalian tersebut, barulah siswa diberikan soal/pemecahan masalah dengan angka yang lebih besar.
2. Sifat Pengelompokkan (Asosiatif)
Dalam penjumlahan dan perkalian bilangan berlaku sifat pengelompokan atau sifat asosiatif, yaitu:
a. Pada penjumlahan
Ilustrasinya sebagai berikut:
Artinya : Hasil dari 4 x 2 = 2 x 4 a x b = b x c
1. Ibu menyajikan 4 buah apel dan 3 buah jeruk dalam satu piring, kemudian ibu menyajikan kembali 2 buah mangga pemberian tetanga dalam satu piring. Berapakah jumlah seluruh buah yang disajikan Ibu?
2. Lalu bagaimana jika Ibu menyajikan 4 buah apel dalam satu piring, kemudian ibu menyajikan kembali 2 buah mangga dan 3 buah jeruk dalam satu piring. Berapakah jumlah seluruh buah yang disajikan Ibu?
maka dapat digambarkan sebagai berikut:
Selain itu dapat pula melalui contoh soal berikut ini:
1. Selia mempunyai uang Rp27.500,00 dan Rp12.300,00, sedangkan Vina mempunyai uang Rp2.500,00. Berapakah jumlah uang Selia dan Vina? Gunakan sifat asosiatif agar dapat menyelesaikan dengan cepat!
Jawab:
Untuk menghitung jumlah uang mereka dengan beberapa cara sebagai berikut: cara 1: (27.500 + 12. 300) + 2.500 = 42.300
cara 2 : 27.500 + (12. 300 + 2.500) = 42.300 cara 3 : (27.500 + 2.500) + 12.300 = 42.300
Dengan demikian meskipun bilangan tersebut dihitung dengan dikelompokkan dengan macam-macam cara tetap saja mendapatkan hasil jawaban yang sama.
Jika diumpamakan bilangan 27.500 a bilangan 12.300 b bilangan 2.500 c
Sehingga, cara-cara penyelesaian tersebut dapat disimbolkan sebagai berikut:
b. Pada perkalian
Ilustrasinya sebagai berikut:
1. Seorang pedagang membeli buah jeruk sebanyak 13 keranjang, dengan masing-masing keranjang berisi 25 kantong. Tiap kantong berisi 4 buah jeruk, maka banyaknya jeruk yang telah pedagang beli adalah?
Jawab:
Untuk menghitung jumlah jeruk dengan beberapa cara sebagai berikut: cara 1: (13 x 25) x 4
(325) x 4 = 1.300 cara 2 : 13 x (25 x 4) 13 x 100 = 1.300
Dengan demikian meskipun bilangan tersebut dihitung dengan dikelompokkan dengan macam-macam cara tetap saja mendapatkan hasil jawaban yang sama. Jika umpamakan bilangan 13 a
bilangan 25 b bilangan 4 c
Sehingga, cara-cara penyelesaian tersebut dapat disimbolkan sebagai berikut:
3. Sifat Penyebaran (Distributif)
Sifat penyebaran atau sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan perkalian terhadap pengurangan sebagai berikut.
Ilustrasinya dapat dihubungkan dengan luas persegi panjang ABCD berikut: (a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b
(a × b) × c = a × (b × c)
(a × b) × c = a × (b × c)
a × (b + c) = (a × b) + (a × c) a × (b – c) = (a × b) – (a × c)
Dari gambar persegi panjang besar tersebut kita dapat mengetahui luas persegi panjang besar dapat dihitung dengan menghitung luas persegi panjang yang kecil (bawah) ditambah persegi panjang yang lebih besar (atas) atau dengan cara sebagai berikut:
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
Sebaliknya untuk memahami sifat penyebaran (distributif) perkalian terhadap pengurangan, maka kita gunakan ilustrasi luas persegi panjang yang diarsir sebagai berikut:
Jika dibuktikan sebagai berikut:
Caranya dengan mencari tahu luas tanah yang ditujukkan pada persegi panjang berwarna cokelat.
Dengan demikian terbuktilah sifat distributif pada perkalian terhadap pengurangan yakni :
Dengan demikian dari pembahasan tersebut dapat disimpulkan bahwa pemahaman sifat-sifat operasi hitung bilangan bagi siswa ialah kamampuan siswa dalam melalui tiga tahap pemahaman yakni translasi, interpretasi dan ekstrapolasi ketika proses pembelajaran pokok bahasan sifat-sifat operasi hitung bilangan itu berlangsung. Sehingga siswa yang telah paham akan mampu melalui ketiga tahap pemahaman tersebut dalam proses pembelajarannya, yakni dalam mempelajari sifat-sifat operasi hitung bilangan matematika (komutatif, asosiatif, dan distributif)