TINJAUAN PUSTAKA
2.2 Pembuktian Deduktif formal dalam Matematika
Strategi pembuktian dikembangkan bertujuan untuk meningkatkan kemam-puan siswa dalam memahami pembuktian, dan mengerjakan (membuktikan) su-atu pernyataan matematik. Berbagai pendekatan dan metode telah dikembangkan, di antaranya Tall (1991) menyarankan konsep bukti generik sebagai cara untuk
9
meningkatkan pemahaman siswa terhadap bukti suatu pernyataan. Bukti generik diberikan dalam level contoh yang menjelaskan konsep secara umum dengan me-mandang contoh khusus. Hal ini tentu saja berbeda dengan pembuktian secara umum yang mensyaratkan abstraksi dengan level yang lebih tinggi.
Kemudian, Leron (dalam Tall, 1991) mengajukan bukti terstruktur dengan sifat menggabungkan metode penyajian formal dan informal ke dalam suatu pem-buktian. Tujuan utama dari bukti terstruktur ini bukan untuk meyakinkan, tetapi untuk membantu pembaca dalam meningkatkan pemahamannya terhadap gagasan di belakang bukti itu, dan bagaimanakah hubungannya dengan hasil-hasil matematika lainnya.
Menurut Suriasumantri (2001: 49), ” Penalaran deduktif adalah cara berpikir di mana dari pernyataan yang bersifat umum ditarik suatu kesimpulan yang bersi-fat khusus.”
Contoh :
Semua manusia akan mati.
Si Polan adalah manusia.
Jadi Si Polan akan mati.
Salah satu karakteristik matematika adalah bersifat deduktif. Dalam pem-belajaran matematika, pola pikir deduktif itu penting dan merupakan salah satu tujuan yang bersifat formal, yang memberi tekanan pada penataan nalar. Pola pikir deduktif itu sangat penting, namun dalam pembelajaran matematika. Menu-rut Soedjadi (2000: 46), ”Bila kondisi kelas memungkinkan, kebenaran teorema dapat dibuktikan secara deduktif. Namun jika pembuktian dipandang berat, pola pikir deduktif dapat diperkenalkan melalui penggunaan definisi ataupun teore-ma”. Pendekatan deduktif merupakan pendekatan yang berproses dari umum ke khusus, dari teorema ke contoh-contoh. Teorema diberikan kepada siswa dan gu-ru membuktikan. Selanjutnya siswa diminta untuk menyelesaikan soal-soal yang relevan dengan teorema yang diberikan. Dengan menggunakan pendekatan ini pembelajaran berjalan efisien.
10
Berdasarkan pemikiran, Reiss dan Renkl (2002) mengajukan konsep contoh jawab huristik yang menyediakan overviu dari suatu jenis contoh yang tidak hanya memberikan bukti dari contoh itu, tetapi juga membantu siswa menunjukkan aspek-aspek pembuktian secara umum. Langkah-langkah huristik dalam contoh yang dibuktikan itu adalah sebagai berikut: (1) mengeksplorasi situasi masalah, (2) membuat konjektur, (3) mengumpulkan informasi untuk memeriksa konjektur, (4) membuktikan konjektur, (5) memeriksa kembali.
Pendekatan penalaran secara umum dapat dilakukan dengan cara mengeks-plorasi secara intuitif terhadap pernyataan yang harus dibuktikan dengan perta-nyaan-pertanyaan sebagai berikut: What happens if ? Why does it happen? How do different cases occur ? What is true here ? (Uhlig, 2003). Dengan pertanyaan yang bersifat eksploratif ini, diyakini bahwa pengetahuan tentang Theorems yang dihadapinya akan bertambah. Demikian pula pemahamannya secara konseptual.
Pendekatan ini mengembangkan suatu pembuktian dengan melakukan pertanyaan yang di singkat dengan WWHWT.
Strategi pembuktian yang telah dikembangkan di atas, belum ada yang membahas secara eksplisit bagaimana memunculkan gagasan utama dari struk-tur pembuktian, baik untuk memahami pembuktian yang ada maupun untuk mengkonstruksi suatu pembuktian.
Dalam penelitian yang dilakukan ini, pernyataan-pernyatan di dalam pem-buktian matematika dipandang sebagai salah satu bentuk argumentasi dengan struktur mengikuti struktur argumentasi yang dikembangkan oleh Toulmin (da-lam Pedemonte, 2003). Struktur argumentasi dari Toulmin ini digunakan Krumm-heuer (dalam Hoyles & Kuhemann, 2003) untuk menganalisis argumentasi, seperti pada gambar 2.1:
11
Gambar 2.1 Skematik untuk mengalalisis argumentasi
Hubungannya dengan pembuktian matematika, pernyataan-pernyataan di dalam pembuktian matematika dipandang sebagai salah satu bentuk argumen-tasi. Di dalam argumentasi pembuktian matematika, sebagai data adalah premis-premis, sedangkan yang menjadi warrant adalah definisi atau teorema. Diagram skematik ini dapat digunakan sebagai model untuk membantu membaca pem-buktian suatu pernyataan matematika, dan dengan sedikit modifikasi dapat di-gunakan untuk mengkonstruksi pembuktian matematika.
Diagram skematik Krummheuer dapat juga digunakan untuk mengembang-kan suatu model strategi pembuktian matematika secara informal. Konklusi di dalam skematik itu, baik sebagai target-conclussion maupun claim perantara yang dilakukan di atas menggunakan penarikan kesimpulan secara deduktif. Argumen-tasi dengan cara seperti ini dinamakan argumenArgumen-tasi deduktif .
Dalam argumentasi deduktif terdapat 4 (empat) proses kognitif yang di-lakukan yaitu: analisis masalah, representasi (perwakilan), planning (perencanaan) dan applying (penggunaan) pengetahuan digunakan dalam proses pemecahan ma-salah. Analisa permasalahan meliputi penguraian (dekomposisi) informasi masa-lah agar menjadi bermakna sehingga merupakan bagian dari permasamasa-lahan seperti kata kunci, ungkapan dan kalimat. Sehingga dapat dipahami apakah data cukup untuk membuktikan tujuan. Kesalahan informasi mungkin akan menyulitkan pemrosesan pemecahan masalah. Representasi informasi dari masalah
dikonver-12
sikan ke dalam suatu bentuk lain misalnya menjadi bentuk simbolis, diagram atau persamaan untuk mempercepat memproses. Diagram permasalahan berguna un-tuk mempermudah pemecahan masalah.
Gambar 2.2 Skema penalaran deduktif
Perencanaan yang mencakup strategi untuk menemukan proses informasi untuk menemukan proses informasi untuk mengubah permasalahan informasi menjadi tujuan sebenarnya. Dalam penyelesaian masalah pembuktian geomet-ri, membuat dugaan atau inferensi logis untuk teorema yang berlaku, bekerja mundur, dan menggambar garis bantu yang sering digunakan sebagai strategi dalam bidang geometri. Perencanaan yang mencakup keputusan antara langkah-langkah adalah tergantung subjektif dan orang. (Koedinger et al.,1993).
Pengetahuan yang diperlukan dalam masalah geometri meliputi konsep ben-tuk geometris dan sifat siswa, hubungan geometris dan teorema, bukti prosedur dan penalaran. Secara umum, analisis masalah, representasi, perencanaan dan penggunaan retrievals pengetahuan adalah komponen kunci dari proses peme-cahan masalah. Sebaliknya, dapat disimpulkan bahwa gagalnya proses peme-cahan masalah yang dihadapi di sebabkan oleh: kegagalan dalam menganali-sis masalahnya, kegagalan untuk mewakili masalah dalam bentuk yang efektif, kegagalan untuk merencanakan masalah solusi, kegagalan dalam mengakses atau mendapatkan kembali komponen pengetahuan yang relevan, atau kegagalan da-lam memanfaatkan pengetahuan yang diambil untuk menghasilkan informasi baru yang diperlukan. Rancangan pembelajaran bertujuan untuk mendukung
pemeca-13
han masalah kemampuan sehingga harus menyertakan kemampuan menganalisis masalah, representasi (keterwakilan), perencanaan dan penggunaan pengetahuan mendapatkan data.