Penelitian ini akan mengukur kemampuan pemecahan masalah mahasiswa Pendidikan Matematika pada mata kuliah Program Linear pokok bahasan menentukan nilai optimum suatu fungsi objektif dengan metode garis selidik. Bagian ini akan membahas secara singkat konsep-konsep yang seharusnya dipahami oleh mahasiswa yang berkaitan dengan materi tersebut. Pembahasan dalam bagian ini merujuk pada buku “Program Linier” yang ditulis oleh Prof. Dr. Edy Syahputra, M.Pd., buku “Program Linear dan Variasinya” yang ditulis oleh A. Anwar dan B.D. Nasendi, dan buku “Operations Research: Application” yang ditulis oleh Winston.
1. Pengertian Program Linear
Program linear merupakan ilmu terapan yang sangat bermanfaat dan luas pengaplikasiannya. Selain itu, program linear merupakan salah satu teknik dari riset operasi yang digunakan untuk memecahkan permasalahan optimasi (maksimum dan minimum) dengan menggunakan persamaan dan pertidaksamaan linear dalam rangka untuk mencari solusi yang optimum dengan memperhatikan pembatas-pembatas yang ada
(Johannes Supranto, 1991: 43). Fungsi linear yang akan dicari nilai optimum yang berbentuk sebuah persamaan disebut dengan fungsi tujuan atau fungsi objektif sedangkan fungsi linear yang harus terpenuhi dalam optimasi fungsi tujuan, dapat berbentuk pertidaksamaan, disebut dengan kendala (Dumairy, 2012: 344). Program linear dapat diselesaikan dengan beberapa cara. Untuk permasalahan program linear yang hanya melibatkan dua variabel, cara yang paling sering digunakan atau yang paling umum digunakan adalah dengan metode grafik.
Terdapat empat unsur utama yang membangun suatu program linear yaitu (Siswanto, 2007: 26):
1) Variabel keputusan
Variabel keputusan adalah variabel yang mempengaruhi nilai tujuan yang hendak dicapai. Pada proses pembentukan suatu model, menentukan variabel keputusan merupakan langkah pertama sebelum menentukan fungsi tujuan dan kendala.
2) Fungsi tujuan
Fungsi tujuan pada model program linear haruslah berbentuk linear. Selanjutnya, fungsi tersebut dicari nilai maksimum dan minimumnya terhadap fungsi-fungsi kendala yang ada.
3) Kendala Utama
Kendala utama adalah suatu kendala yang dapat dikatakan sebagai suatu pembatas terhadap variabel-variabel keputusan yang dibuat.
4) Kendala Pembatas
Kendala pembatas menyatakan bahwa setiap variabel yang terdapat di dalam model program linear tidak boleh negatif.
2. Bentuk Umum Program Linear
Menurut Edi Syahputra (2015) bentuk umum program linear secara umum dapat dikatakan sebagai berikut: diberikan 𝑚 persamaan atau 𝑚 pertidaksamaan linear dengan 𝑟 variabel, akan ditentukan nilai tak negatif dari variabel-variabel ini yang memenuhi kendala dan memaksimumkan atau meminimumkan fungsi linear variabel-variabel tersebut. Dalam bentuk kalimat matematika, dapat ditulis sebagai berikut: Maksimumkan dan minimumkan fungsi linear:
𝑧 = 𝑐1𝑥1+ ⋯ + 𝑐𝑟𝑥𝑟 (1) Dengan kendala
𝑎𝑖1𝑥1+ 𝑎𝑖2𝑥2… + 𝑎𝑖𝑟𝑥𝑟 {≤, =, ≥}𝑏𝑖 (2) 𝑥𝑗 ≥ 0 (3)
Dimana 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚; 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑟 dan 𝑟 anggota bilangan bulat; 𝑎𝑖𝑗, 𝑏𝑗, 𝑐𝑗 adalah konstanta yang telah diketahui. Dalam setiap kendala, tanda ≤, =, 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≥ hanya digunakan satu saja, tetapi tanda kendala yang satu dengan kendala lain dapat berbeda. Dalam program linear tersebut, 𝑥𝑗, dengan 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑟 adalah variabel-variabel yang akan ditentukan nilainya untuk mendapatkan nilai fungsi tujuan mencapai optimum. Persamaan (1) disebut fungsi tujuan atau fungsi objektif, persamaan (2)
disebut kendala utama, dan persamaan (3) disebut sebagai kendala pembatas.
Dari bentuk umum tersebut, program linear dua variabel memiliki bentuk umum sebagai berikut:
Maksimumkan atau minimumkan fungsi linear 𝑧 = 𝑐1𝑥1+ 𝑐2𝑥2 (4) Dengan kendala: 𝑎11𝑥1+ 𝑎12 ≤ 𝑏1 𝑎21𝑥1+ 𝑎22𝑥2 = 𝑏2 𝑎31𝑥1+ 𝑎32𝑥2 ≤ 𝑏3 𝑎41𝑥1+ 𝑎42𝑥2 ≥ 𝑏4 … … … … 𝑎𝑚1𝑥1+ 𝑎𝑚2𝑥2 ≤ 𝑏𝑚 } kendala utama 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 𝑎𝑖𝑗, 𝑏𝑗, 𝑐𝑗 adalah konstanta 𝑚 bulat
Seperti telah dibahas sebelumnya, Program Linear akan menentukan nilai-nilai variabel yang memenuhi semua kendala dan mengoptimumkan fungsi tujuan. Oleh karena itu, sebelum nilai optimum itu didapat, harus ditentukan terlebih dahulu himpunan semua nilai-nilai variabel yang memenuhi semua kendala. Hal itu akan dibahas dalam Definisi 2.1, sebagai catatan, yang dimaksud dengan titik adalah pasangan berurut nilai-nilai variabel, (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑟).
Definisi 2.1
Diberikan sebuah Program Linear dengan 𝑟 variabel, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑟, dan fungsi tujuan 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑟) . Himpunan semua titik yang memenuhi semua kendala utama dan kendala pembatas disebut daerah feasibel atau daerah yang layak.
Definisi 2.2
Diberikan sebuah Program Linear dengan 𝑟 variabel, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑟, dan fungsi tujuan 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥2) . Untuk soal maksimalisasi, penyelesaian optimum Program Linear tersebut adalah titik dalam daerah feasibel dengan nilai fungsi tujuan terbesar. Dengan argumen yang sama, untuk masalah minimalisasi, solusi optimum Program Linear adalah titik dalam daerah feasibel dengan nilai fungsi tujuan terkecil.
Definisi 2.3
Sebuah himpunan titik 𝑆 disebut himpunan konveks jika setiap ruas garis yang menghubungkan dua titik dalam 𝑆 hanya memuat titik-titik dalam 𝑆.
Gambar 2. 1 Contoh himpunan konveks dan himpunan non konveks Keterangan:
a dan b: himpunan konveks c dan d: himpunan non konveks
Definisi 2.4
Diberikan setiap himpunan konveks 𝑆. Titik 𝑃 dalam himpunan tersebut disebut titik ekstrim jika 𝑃 adalah titik ujung setiap ruas garis yang melalui 𝑃 dan hanya memuat titik-titik dalam 𝑆.
Sebagai catatan untuk Definisi 2.4, Jika himpunan konveks 𝑆 adalah sebuah poligon, maka titik ekstrim 𝑃 adalah titik-titik sudut dalam poligon tersebut. Selanjutnya, penyelesaian sebuah Program Linear (PL) didasarkan pada Teorema 2.1 berikut. Teorema tersebut hanya dituliskan dan tanpa pembuktian.
Teorema 2.1
Daerah feasibel atau daerah yang layak sebuah PL adalah himpunan konveks. Jika PL mempunyai solusi yang optimum, maka solusi tersebut adalah salah satu titik ekstrim dari daerah layak.
3. Menyelesaikan Masalah Program Linear dengan Metode Grafik (Garis Selidik)
Salah satu metode yang dapat digunakan dalam menyelesaikan masalah program linear adalah dengan metode grafik. Metode ini hanya dipakai untuk program linear yang melibatkan dua variabel. Program linear yang melibatkan tiga atau lebih variabel harus menggunakan metode simpleks. Berikut contoh soal untuk menyelesaikan sebuah permasalahan program linear dengan menggunakan metode grafik (garis selidik).
Contoh 2.1 Maksimumkan 𝑧 = 5𝑥1+ 3𝑥2 dengan kendala: 3𝑥1+ 5𝑥2 ≤ 15 5𝑥1+ 2𝑥2 ≤ 10} kendala utama 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 𝑘endala pembatas Pembahasan:
Persoalan di atas adalah menentukan nilai 𝑥1 dan 𝑥2 yang memaksimumkan nilai 𝑧. Pertama-tama, nilai 𝑥1 dan 𝑥2 tersebut harus memenuhi pertidaksamaan-pertidaksamaan yang merupakan kendala-kendala. Dengan kata lain, titik-titik (𝑥1,𝑥2) yang memenuhi semua kendala terletak dalam daerah layak. Selanjutnya, dari nilai-nilai 𝑥1 dan 𝑥2 yang terletak dalam daerah tersebut, akan ditentukan nilai-nilai 𝑥1 dan 𝑥2 yang memaksimalkan nilai 𝑧.
Karena syarat tak negatif dari kendala pembatas adalah 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 , maka dalam koordinat Kartesius, daerah penyelesaian yang layak haruslah terletak pada kuadran pertama. Selanjutnya, pada koordinat Kartesius dilukis daerah penyelesaian yang layak yang memenuhi semua kendala utama dan kendala pembatas, seperti ditampilkan dalam Gambar 2.1. Daerah yang diarsir merupakan daerah penyelesaian yang layak. Setiap titik pada daerah ini merupakan penyelesaian layak, artinya nilai 𝑥1 dan 𝑥2 memenuhi kendala utama dan kendala pembatas.
Gambar 2. 2 Daerah penyelesaian yang layak untuk Contoh 2.1. Untuk menentukan penyelesaian Program Linear di atas, kita harus mencari titik pada daerah yang diarsir yang memberikan nilai terbesar untuk fungsi tujuan 𝑧. Salah satu cara untuk menentukan nilai 𝑥1 dan 𝑥2 sehingga nilai 𝑧 maksimal adalah dengan menggunakan garis selidik. Berkaitan dengan soal memaksimalkan nilai 𝑧 = 5𝑥1+ 3𝑥2, maka kita akan menggunakan garis-garis selidik yang sejajar dengan garis 𝑘 = 5𝑥1+ 3𝑥2, 𝑘 adalah konstanta. Setiap garis yang sejajar dengan garis 𝑘 = 5𝑥1+ 3𝑥2 dan melalui daerah penyelesaian yang layak menunjukkan nilai-nilai 𝑥1 dan 𝑥2 yang memenuhi kendala utama dan kendala pembatas. Yang dapat diilustrasikan pada Gambar 2.2.
Gambar 2. 3 Garis-garis 𝑘 = (5𝑥1) + (3𝑥2), k konstanta. Dari ilustrasi pada Gambar 2.2, tampak bahwa beberapa nilai 𝑧 secara perlahan dan bertahap ke atas. Kita tentunya akan menentukan garis dengan nilai terbesar untuk 𝑧 yang mempunyai sekurang-kurangnya satu titik pada daerah yang diarsir. Dari Gambar 2.2 juga kita dapat melihat-lihat bahwa 𝑧2 merupakan nilai maksimum yang terletak pada daerah yang diarsir yaitu titik C. Hal ini sesuai dengan Teorema 2.1 yang mengatakan bahwa penyelesaian PL adalah salah satu titik ekstrim.
Untuk menentukan nilai eksak penyelesaian maksimum ini dilakukan dengan mencari titik potong pada kedua garis kendala utama:
3𝑥1+ 5𝑥2 = 15 5𝑥1+ 2𝑥2 = 10}
Selanjutnya, selesaikan dengan metode eliminasi sehingga diperoleh 𝑥1 = 1.05 dan 𝑥2 = 2,37
Pada program linear memiliki banyak ragam soal, ada yang langsung diberikan garis besar dan langsung diselesaikan dengan metode
yang diinginkan namun ada pula dalam bentuk soal cerita atau kontekstual yang perlu pemahaman serta analisa yang lebih. Berikut contoh soal kontekstual untuk menyelesaikan sebuah permasalahan program linear dengan menggunakan metode grafik (garis selidik).
Contoh 2.2
Sebuah industri XYZ berkecimpung dalam proses produksi dua macam produk, masing-masing produk 𝑥1 dan 𝑥2. Produk-produk tersebut dapat dijual dengan harga dasar berturut-turut sebesar Rp 3.000,00 per unit untuk produk 𝑥1 dan juga Rp 3.000,00 per unit untuk produk 𝑥2. Kedua macam produk ini memerlukan bahan baku yang serupa dalam jumlah yang sama per unit output. Dalam proses produksinya diperlukan tiga jenis mesin, hanya lamanya waktu pemakaian mesin yang berbeda untuk tiap-tiap produk yang bersangkutan.
Jenis produk 𝑥1 memerlukan waktu selama 2 jam untuk proses produksinya pada mesin A, kemudian 2 jam pada mesin B, dan 4 jam pada mesin C. Sebaliknya produk 𝑥2 hanya memerlukan waktu 1 jam pada mesin A, 3 jam pada mesin B, dan 3 jam pada mesin C.
Lamanya waktu mesin-mesin tersebut beroperasi pun sangat terbatas. Dari tiga jenis mesin tersebut, tersedia sebanyak 3 unit mesin tipe A yang beroperasi selama 10 jam per hari per mesin, kemudian ada 6 unit mesin tipe B yang dapat beroperasi selama 10 jam per hari per mesin, dan 9 unit mesin tipe C yang tersedia dan dapat beroperasi selama 8 jam per hari per mesin.
Apabila persoalan industri ini kita susun dalam bentuk tabel yang menunjukkan permintaan dan pengadaan sumber daya, maka akan diperoleh keadaan industri seperti Tabel 2.1.
Dari Tabel 2.1 tersebut jelas bahwa koefisien teknologi (atau koefisien input – output) Industri XYZ untuk dapat memproduksi 𝑥1 berturut-turut adalah 2, 2, dan 4, masing-masing pada mesin A, B, dan C dan 1, 3, dan 3 untuk produk 𝑥2, juga pada mesin A, B, dan C tersebut.
Jika persoalan Industri XYZ tersebut kita rumuskan dalam program linear, maka akan kita peroleh rumusan modelnya sebagai berikut: Pembahasan:
Langkah 1:
Rumuskan model PL:
Maksimumkan 𝑧 = 3𝑥1+ 3𝑥2 (× 𝑅𝑝 1000) (Fungsi Tujuan) Tabel 2. 1 Keadaan Industri XYZ di Suatu Lokasi Tertentu
Sumber Daya yang Tersedia
Harga jual (× 𝑅𝑝 1000) Mesin Tipe A Mesin Tipe B Mesin Tipe C Produk 𝑥1 2 2 4 3 Produk 𝑥2 1 3 3 3 Jumlah mesin 3 6 9 Lama1 operasi 10 10 8 Total2 waktu operasi 30 60 72 Maksimumkan 1Lama operasi adalah jam/hari/mesin
2Total waktu operasi adalah sama dengan jumlah mesin × lama operasi (dalam jam/hari/mesin)
Kendala-kendala :
2𝑥1+ 3𝑥2 ≤ 60 4𝑥1+ 3𝑥2 ≤ 72 Dan
𝑥1 ≥ 0; 𝑥2 ≥ 0
Sesuai dengan prosedur analisis grafis yang diuraikan sebelumnya, kita lakukan analisis dua dimensi, yang gambarnya terlihat dalam Gambar 2.1 dan 2.2. Hal ini dimungkinkan karena persoalan yang kita hadapi (dalam hal ini persoalan maksimasi pendapatan Industri XYZ untuk dua jenis produk 𝑥1 dan 𝑥2 yang dibatasi oleh lamanya jam kerja pemakaian tiga tipe mesin dalam proses produksinya).
Langkah-langkah selanjutnya dapat diteruskan sesuai dengan contoh 2.1.