LOGIKA MATEMATIKA
1. Proposisi dan Operator Logika Proposisi
Proposisi ialah pernyataan yang hanya dapat bernilai benar dan salah, tidak mungkin keduanya (benar tetapi juga salah) dan tidak mungkin juga bukan keduanya (tidak benar juga tidak salah). Oleh karena itu berlaku dikotomi untuk kebenaran suatu proposisi, yakni nilai “1” untuk nilai “benar” serta nilai “0” untuk nilai “salah”. Contoh pernyataan yang merupakan proposisi antara lain:
1. Sukarno ialah presiden pertama Republik Inonesia.
2. Asia ialah benua terkecil di dunia.
3. Diameter Bumi di katulistiwanya ialah (12.756,3 ± 0,1) km.
4. Penemu bola lampu pijar ialah Rene Descartes. Contoh pernyataan yang bukan proposisi ialah: 1. Sayur pare rasanya sangat tidak enak.
2. Pulau Lombok lebih indah daripada Pulau Bali. 3. Rina lebih cantik daripada Rani.
66 4. Sidik itu tampan.
Pada kalimat proposisi, nilai kebenarannya hanya mungkin “benar” (seperti nomor 1 dan 3) atau “salah” (seperti nomor 2 dan 4 . Sedangkan pada pernyataan yang bukan proposisi, hanya berupa opini yang kebenarannya sangat subjektif. Bagaimanapun, sering sebuah kalimat tidaklah jelas merupakan proposisi atau bukan. Misalnya, “Ruangan ini kotor” adalah sebuah opini, bukan proposisi. Tiap-tiap orang dapat setuju atau tidak setuju tentang kebenarannya. Tetapi jika kita mengatakan “Anjungan Pantai Losari kotor sekali setelah konser musik”, meskipun kalimat ini juga merupakan opini, namun semua orang waras akan menyetujui kebenarannya.
Contoh lain, pernyataan “Jejari Matahari ialah 6,9 × 105 km” ialah suatu proposisi yang bernilai benar. Tapi toh ternyata masih ada kelompok yang mengklaim jejari Matahari hanyalah beberapa kilometer dan tergantung di langit tidak jauh dari Bumi. Jadi apakah pernyataan itu tidak sah lagi digolongkan sebagai proposisi?
Berikut ini contoh populer dari filsuf John W. Carrol yang dikutip oleh Stephen Hawking dalam bukunya The Grand Design:
1. Semua bola emas garis tengahnya lebih pendek daripada satu mil.
67
2. Semua bola uranium-235 garis tengahnya lebih pendek daripada satu mil.
Pengamatan kita di dunia, dan dari apa yang kita ketahui dalam sejarah, tidak pernah ada bola emas yang garis tengahnya lebih besar daripada satu mil. Jadi kita dapat cukup yakin tidak akan pernah ada bola emas yang garis tengahnya lebih dari satu mil. Tetapi bagaimanapun, kita tak punya alasan untuk mengatakan tidak bisa ada bola emas yang garis tengahnya lebih besar daripada satu mil.
Agak berbeda halnya dengan kalimat ke-dua. “Semua bola uranium-235 garis tengahnya lebih pendek daripada satu mil” dapat dianggap hukum (yang jelas nilai kebenarannya) karena berdasarkan apa yang diketahui dalam fisika nuklir, kalau ada bola uranium-235 yang garis tengahnya lebih panjang dari 15 cm, maka bola itu akan hancur sendiri dalam ledakan nuklir. Jadi kita dapat yakin tidak ada bola uranium-235 yang garis tengahnya lebih besar daripada satu mil dan tidak akan bisa ada.
Contoh lainnya ialah pernyataan: Tuhan itu tidak ada.
Dari pengalaman sehari-hari, kalau mau jujur, toh kita tak pernah berhasil membuktikan keberadaan Tuhan secara ilmiah. Jadi, Tuhan itu tidak terbukti eksis. Tetapi masalahnya, “Tuhan tidak terbukti eksis” merupakan pernyataan yang berbeda dengan “Tuhan
68
terbukti tidak eksis”. Jadi meskipun kita tidak bisa membuktikan bahwa Tuhan itu eksis secara ilmiah, tidak berarti kita telah membuktikan bahwa Tuhan itu tidak eksis.
Contoh lain yang setara
Ada jenis kadal yang dapat menyemburkan api.
Dari pengalaman dan sejarah yang dapat dipercaya, tidak terbukti ada kadal yang bisa menyemburkan api layaknya naga. Tapi siapa yang bisa memastikan di seluruh penjuru alam semesta ini tidak ada kadal yang bisa menyemburkan api? Pernyataan “tidak terbukti ada kadal yang bisa menyemburkan api” tidaklah setara dengan pernyataan “terbukti tidak ada kadal yang bisa menyemburkan api”.
Dari pemaparan di atas, jelaslah terlihat kerumitan dalam sains bahwa nilai kebenaran untuk pernyataan sehari-hari, hipotesis, teori, dan hukum fisika itu berbeda tingkatannya. Untuk menghindari hal ini (lebih tepatnya mengelak), untuk penjelasan berikutnya kita akan selalu mengambil kondisi ideal untuk penentuan kebenaran suatu proposisi, kecuali diberikan penjelasan lain.
69
Operator Logika
Operator logika terdiri atas ingkaran/negasi (NOT) dan perangkai logika. Perangkai logika ialah
hubungan logis antara dua
terma/premis/syarat/klausa. Secara umum terdapat dua macam dasar perangkai logika, yakni konjungsi (AND) dan disjungsi inklusif (OR), Selain itu, dikenal pula disjungsi ekslusif (XOR). Disjungsi inklusif sering disebut “disjungsi” saja.
Negasi
Negasi atau ingkaran dari suatu pernyataan ialah pernyataan yang setara dengan tidak terpenuhinya pernyataan pertama. Bisa dikatakan ingkaran ialah keadaan tak terpenuhi dari suatu pernyataan. Jadi bila suatu pernyataan bernilai benar maka ingkarannya bernilai salah, sedangkan bila suatu pernyataan bernilai salah, maka ingkarannya bernilai benar. Patut diingat bahwa ingkaran tidak sama dengan lawan, meskipun mereka berkaitan.
Contoh pada pernyataan.
A = Anto memakai baju berwarna putih. B = Hujan turun.
Lawan dari pernyataan B ialah misalkan “Anto memakai baju berwarna hitam”, sedangkan ingkaran dari A (ditulis A atau ~𝐴 ialah “Anto tidak
70
memakai baju berwarna putih”. Jadi, ingkaran bersifat lebih umum daripada lawan suatu pernyataan. Anto tidak memakai baju berwarna putih bisa saja karena ia memakai baju berwarna hitam (kondisi lawan), tetapi bisa juga karena ia memakai baju berwarna kuning, biru, atau malah tidak memakai baju. Lawan dari pernyataan B ialah “Hujan naik”, sedangkan ingkaran dari B ialah “Hujan tidak turun”. Jelas bahwa lawan dari pernyataan B tidak logis.
Ingkaran dari suatu Ingkaran
Misalkan diberikan suatu pernyataan A, 𝐴 = Kekuasaan presiden terbatas. ¬𝐴 = Kekuasaan presiden tidak terbatas. ¬(¬𝐴) = Kekuasaan presiden tidak tak terbatas.
Perhatikanlah pernyataan ¬(¬𝐴) yang berbunyi “Kekuasaan presiden tidak tak terbatas” memiliki arti yang sama dengan pernyataan 𝐴 yang berbunyi “Kekuasaan presiden terbatas”. Jadi dapat dituliskan
¬(¬𝐴 = 𝐴
Dalam matematika kita cukup akrab dengan pola ini, yakni negatif dikalikan dengan negatif hasilnya akan positif. Bagaimana hal ini bisa terjadi?
71
Jika X pernyataan dengan sebuah kemungkinan, maka ¬X ialah pernyataan dengan banyak kemungkinan. Jika ¬(¬X) = X, bagaimana bisa ¬(¬X) kembali hanya memiliki satu kemungkinan? Kita ambil contoh dengan kondisi seideal mungkin.
Keadaan: Hanya ada tujuh benua di Bumi ini, yakni Asia, Eropa, Amerika Utara, Amerika Selatan, Afrika, Australia, dan Antartika. Parto terlahir di salah satu benua di muka Bumi ini.
X = Parto lahir di Benua Asia. ¬X = Parto tidak lahir di Benua Asia.
“Parto tidak lahir di Benua Asia” setara dengan “Parto lahir di Benua Eropa, Amerika Utara, Amerika Selatan, Afrika, Australia, atau Antartika”. Dengan demikian, negasi dari ¬X ialah:
¬ (¬X) = Parto tidak tak terlahir di Benua Asia. “Parto tidak tak terlahir di Benua Asia” setara dengan “Parto tidak lahir di Benua Eropa, Amerika Utara, Amerika Selatan, Afrika, Australia, atau Antartika”. Mengingat selain Eropa, Amerika Utara, Amerika Selatan, Afrika, Australia, dan Antartika tinggal Benua Asia yang tersisa, maka pastilah Parto terlahir di benua Asia.
72 Konjungsi dan Disjungsi
Konjungsi dan disjungsi merupakan logika keadaan bersyarat majemuk (lebih dari satu syarat). Jika syarat-syarat itu harus dipatuhi semuanya (kita kenal sebagai syarat), maka hubungannya ialah konjungsi. Sedangkan jika satu saja syarat yang harus dipenuhi (boleh lebih tentunya) maka hubungannya ialah disjungsi (syarat semacam ini lebih dikenal sebagai kriteria). Hubungan konjungsi ditandai dengan perangkai “dan” sedangkan disjungsi ditandai dengan perangkai “atau”.
Dalam logika matematika, digunakan simbol " ∧ " untuk mengganti kata “dan”, serta digunakan simbol " ∨ " untuk mengganti kata “atau”. Misalkan dinamakan
A = saya mau makan burger B = saya mau minum soda
Maka rangkaian konjungtif dari kedua klausa di atas menjadi:
Saya mau makan burger dan minum soda.
Dapat dinotasikan sebagai 𝐴 ∧ 𝐵. Sedangkan rangkaian disjungtif dari kedua klausa tadi menjadi:
Saya mau makan burger atau minum soda. Dapat dinotasikan sebagai 𝐴 ∨ 𝐵.
73
Nilai Kebenaran Konjungsi dan Disjungsi
Misalkan suatu pernyataan bersyarat majemuk dengan perangkai konjungsi.
Anda bisa mendaftar dalam kompetisi ini jika Anda mahasiswa dan belum pernah menang dalam kompetisi ini sebelumnya.
Kita pahami bahwa Anda bisa mendaftar dalam kompetisi jika Anda memenuhi kedua syarat yang diberikan, yakni jika:
a. Anda mahasiswa, Anda juga belum pernah memenangkan kompetisi yang sama pada tahun-tahun sebelumnya.
Dan Anda tidak bisa mendaftarkan diri dalam kompetisi itu jika:
b. Anda mahasiswa tapi sudah pernah memenangkan kompetisi yang sama pada tahun sebelumnya. c. Anda belum pernah memenangkan kompetisi yang
sama pada tahun sebelumnya tetapi Anda bukan mahasiswa.
d. Anda sudah pernah memenangkan kompetisi yang sama pada tahun sebelumnya serta Anda juga bukan mahasiswa (bukan mahasiswa lagi misalnya).
Nah, sekarang diberikan pernyataan bersyarat majemuk dengan perangkai konjungsi.
74
Anda bisa mengikuti babak perempat-final ini bila Anda lulus dari babak penyisihan atau mendapatkan undangan dari pihak penyelenggara.
Dari kalimat di atas dapat kita pahami bahwa kita dapat mengikuti babak perempat-final jika:
a. Tidak punya undangan, tapi lulus dari babak penyisihan.
b. Tidak lulus babak penyisihan, tapi punya undangan.
c. Lulus babak penyisihan sekaligus memiliki undangan.
Dan kita tak dapat mengikuti babak perempat-final jika:
d. Kita tidak punya undangan dan juga tidak lulus babak penyisihan.
Dapat kita gambarkan kebenaran pernyataan yang terdiri dari dua syarat dengan perangkai konjungsi dan disjungsi dalam bentuk tabel kebenaran (ingat “1” berarti “benar” dan “0” berarti “salah” .
𝑨 𝑩 𝑨 ∧ 𝑩 𝑨 ∨ 𝑩
1 1 1 1
1 0 0 1
0 1 0 1
75
Bandingkan untuk konjungsi dua syarat, dari empat kemungkinan yang ada, hanya satu kemungkinan Anda memenuhi aturan. Sedangkan untuk disjungsi dua syarat, dari empat kemungkinan yang ada, ada tiga kemungkinan Anda memenuhi aturan.
Untuk syarat yang jumlahnya lebih dari dua, alih-alih menggunakan lebih dari satu tanda “dan” atau “atau”, digunakan tanda koma. Contohnya:
Ibu membeli beras, gula, dan mi instan di pasar.
Tanda koma di atas berarti “dan”, sehingga kalimat di atas setara dengan “Ibu membeli beras dan gula dan mi instan di pasar”. Agar kalimat tadi bernilai benar, maka ketiga syaratnya harus terpenuhi, yakni membeli beras, membeli gula, dan membelimi instan. Siswa yang mendapat nilai rapor bagus ialah siswa yang cerdas, tekun, atau orangtuanya kaya.
Tanda koma di atas berarti “atau”, sehingga kalimat di atas setara dengan “Siswa yang mendapat nilai rapor bagus ialah siswa yang cerdas atau tekun atau orangtuanya kaya”. Agar kalimat kedua ini bernilai benar, maka setidaknya paling sedikit satu syarat harus dipenuhi. Misalkan cerdas = syarat A, tekun = syarat B, dan orangtua kaya = syarat C. Beberapa kombinasi syarat yang mungkin:
76 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 ∨ 𝐵 ∨ 𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 ∨ 𝐵 ∨ 𝐶 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0
Sedangkan untuk konjungsi tiga syarat berikut contohnya.
Untuk membuat minuman kopi panas diperlukan air panas, kopi, dan gula.
Jika kita simbolkan A = ada air panas, B = ada kopi, dan C = ada gula. Maka minuman kopi bisa dibuat jika A, B, dan C semuanya terpenuhi. Kalau salah satunya saja tidak terpenuhi, maka minuman kopi panas tidak bisa dibuat.
𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 ∧ 𝐵 ∧ 𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 ∧ 𝐵 ∧ 𝐶 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
77 Disjungsi Ekslusif
Disjungsi ekslusif bukanlah operator dasar dalam logika matematika, karena disjungsi ekslusif dapat disusun dari tiga perangkai dasar negasi, perangkai “dan”, dan perangkai “tidak”. Disjungsi ekslusif bernilai benar jika hanya salah satu dari dua terma bernilai benar, tidak keduanya dan tidak pula bukan keduanya. Berikut tabel kebenaran untuk XOR.
𝑨 𝑩 𝐗𝐎𝐑(𝑨, 𝑩)
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Dalam bahasa verbal, terdapat keambiguan mengenai kata “atau”, apakah yang dimaksud disjungsi inklusif atau disjungsi ekslusif. Secara umum, “atau” merujuk pada disjungsi inklusif, meski untuk hal-hal yang sensitif digunakan frase “dan/atau” untuk mempertegas bahwa yang dimaksud adalah disjungsi inklusif.
Sebagai latihan, cobalah buktikan bahwa XOR setara dengan ¬(𝐴 ∧ 𝐵 ∧ (𝐴 ∨ 𝐵)8.
8
Bentuk logika matematik yang hanya memuat operator AND, OR, atau NOT disebut bentuk normal.
78
Ingkaran dari Pernyataan Berperangkai
Jika suatu pernyataan X berperangkai “dan”, maka negasi dari X berperangkai “atau”. Demikian pula jika pernyataan Y berperangkai “atau”, maka negasi dari Y berperangkai “dan”.
A B ¬𝐴 ¬𝐵 𝐴 ∧ 𝐵 𝐴 ∨ 𝐵 (¬𝐴 ∧ (¬𝐵 (¬𝐴 ∨ (¬𝐵 ¬(𝐴 ∧ 𝐵 ¬(𝐴 ∨ 𝐵 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1
Dari tabel di atas diperoleh bukti bahwa: 1. ¬(𝐴 ∧ 𝐵 ≡ (¬𝐴 ∨ (¬𝐵
2. ¬(𝐴 ∨ 𝐵 ≡ (¬𝐴 ∧ (¬𝐵
Kedua identitas di atas dikenal sebagai hukum de Morgan.
Contoh:
1.a. Tidak boleh makan atau minum di dalam perpustakaan.
¬(𝐴 ∨ 𝐵 setara dengan
1.b. Tidak boleh makan dan tidak boleh minum di dalam perpustakaan.
79 (¬𝐴 ∧ (¬𝐵
2.a. Jangan (tidak) menyalakan kipas angin dan memasukkan jarimu ke bilah kipas.
¬(𝐴 ∧ 𝐵 setara dengan
2.b. Jangan menyalakan kipas angin atau jangan memasukkan jarimu ke bilah kipas.
(¬𝐴 ∨ (¬𝐵
Jadi, jika Anda memiliki perpustakaan di rumah dan Anda tidak ingin para tamu makan dalam perpustakan dan Anda juga tak ingin mereka minum di dalam sana, pastikan Anda memasang peringatan:
Dilarang Makan atau Minum dalam ruangan ini! bukan:
Dilarang Makan dan Minum dalam ruangan ini! Sebagai contoh kasus, misalkan Andri dituduh merampok dan membunuh Budi. Dan sebenarnya Andri memang membunuh Budi karena dendam, tetapi tidak mencuri apa pun dari Budi. Dalam pengadilan Andri bersumpah:
“Saya bersumpah tidak membunuh dan merampok Budi.”
80
2. Implikasi dan Biimplikasi
Implikasi
Implikasi dan biimplikasi merupakan suatu operator logika yang menunjukkan keadaan bersyarat 9 . Sebenarnya kita telah banyak menyebutnya dalam contoh-contoh terdahulu. Implikasi ditandai dengan penanda verbal “jika [sebab], maka [akibat]” atau “if [antecedent], then [consequent]” atau simbol [𝑠𝑒𝑏𝑎𝑏] ⇒ [𝑎𝑘𝑖𝑏𝑎𝑡] . Implikasi menunjukkan hubungan sebab yang menghasilkan akibat. Misalkan “Jika X maka Y”, bila terjadi X maka pastilah terjadi Y. Agar lebih melekat dalam pemahaman Anda, mari kita ambil contoh dalam kehidupan sehari-hari.
Jika kain disiram air, maka kainnya menjadi basah. Kita berikan simbol X = kain disiram air dan Y = kain menjadi basah. Jadi kalimat di atas dapat dituliskan dalam notasi 𝑋 ⇒ 𝑌 . Dari pernyataan ini dapat dianalisis:
1. Jika kain disiram air (𝑋 = 1 , kainnya akan basah (𝑌 = 1 . Hal ini masuk akal.
2. Jika kain disiram air (𝑋 = 1 , kainnya tidak basah (𝑌 = 0 . Hal ini tidak masuk akal.
9 Bentuk atomik dari implikasi 𝐴 ⇒ 𝐵 ialah ¬𝐴 ∨ 𝐵. Ancaman “Jika masih mau hidup maka serahkan dompetmu!” setara dengan “Mau mati atau mau serahkan dompetmu?”.
81
3. Jika kain tidak disiram air (𝑋 = 0 , kainnya basah (𝑌 = 1 . Hal ini mungkin saja dikarenakan sebab-sebab lain (misalnya kainnya direndam air atau kehujanan).
4. Jika kain tidak disiram air (𝑋 = 0 , kainnya tidak basah (𝑌 = 0 . Hal ini mungkin saja jika sebab lain tidak muncul (kainnya tidak direndam, tidak kehujanan, dsb).
Dari analisis di atas diperoleh sebuah pernyataan implikasi hanya akan bernilai benar (masuk akal, mungkin) bila kejadiaan seperti pada poin 1, 3, dan 4. Sedangkan pernyataan implikasi bernilai salah (tidak mungkin terjadi) bila kejadiannya seperti pada poin 2. Dapat kita buat tabel kebenarannya. 𝑿 𝒀 𝑿 ⇒ 𝒀 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1
Hal ini menunjukkan dalam implikasi tidak dikenal yang namanya sebab tunggal. Misalkan peristiwa “telur ayam menjadi matang” sebagai akibat. Sebabnya yang dapat membuat peristiwa itu terjadi ada banyak, lebih dari satu. Misalnya jika telur digoreng, direbus, dikukus, dan sebagainya. Satu saja sebab terjadi sudah cukup membuat akibat terjadi. Kita dapat menganalogikannya dengan rangkaian paralel.
82
X = sakelar X tertutup, Y = sakelar Y tertutup, Z = sakelar Z tertutup.
A = lampu A menyala
Misalkan sistem seperti pada gambar di atas. Bila sakelar X tertutup, menyebabkan lampu A menyala. Hal ini memenuhi implikasi 𝑋 ⇒ 𝐴. Jadi jika X terjadi maka A pasti terjadi. Tetapi kebalikannya, jika 𝐴 ⇒ 𝑋 tidak setara dengan 𝑋 ⇒ 𝐴 . Karena bila A terjadi belum tentu itu karena X, bisa saja karena sebab lain yakni Y dan Z.
Dari tabel kebenaran implikasi dapat pula kita tarik beberapa kesimpulan yang bisa dijadikan teknik penarikan kesimpulan yakni:
𝐴 ⇒ 𝐵 ≠ 𝐵 ⇒ 𝐴
Jika A maka B tidak berarti jika B maka A.
83
1. jika 𝐴 ⇒ 𝐵 bernilai benar, dan A bernilai benar, maka pastilah B juga bernilai benar (perhatikan tabel kebenaran dari implikasi pada baris pertama). Dengan kata lain agar implikasi 𝐴 ⇒ 𝐵 bernilai benar bila A bernilai benar maka B harus bernilai benar. Konsep seperti ini disebut modus Ponens.
𝐴 ⇒ 𝐵 𝐴
_________
𝐵2. jika 𝐴 ⇒ 𝐵 bernilai benar, dan B bernilai salah, maka pastilah A juga bernilai salah (perhatikan tabel kebenaran dari implikasi pada baris terakhir)*. Dengan kata lain agar implikasi 𝐴 ⇒ 𝐵 bernilai benar bila B bernilai salah maka A harus bernilai salah. Konsep seperti ini disebut modus Tollens.
𝐴 ⇒ 𝐵 ¬𝐵
_________
¬𝐴Perhatikan bahwa pernyataan (*) dapat dituliskan dalam notasi
[(𝐴 ⇒ 𝐵 ∧ ¬𝐵] ⇒ ¬𝐴
Kita akan membuktikan bahwa modus Tollens itu konsisten dengan pembuktian terbalik.
84
1. Agar argumen dalam kurung siku bernilai benar (dipenuhi) maka 𝐴 ⇒ 𝐵 dan ¬𝐵 harus bernilai benar. Ingat bahwa Konjungsi bernilai benar jika dan hanya jika semua argumennya bernilai benar. 2. Mengingat nilai kebenaran [(𝐴 ⇒ 𝐵 ∧ ¬𝐵] pasti
sama dengan nilai kebenaran (𝐴 ⇒ 𝐵 , yakni 1, maka argumen di atas dapat kita reduksi menjadi: (𝐴 ⇒ 𝐵 ⇒ ¬𝐴
Tanpa merubah nilai kebenarannya.
3. Semenjak ¬𝐵 bernilai benar (1), maka pastilah 𝐵 bernilai salah (0). Jika kita substitusikan nilai B, (𝐴 ⇒ 0 ⇒ ¬𝐴
4. Jika 𝐴 bernilai 0, maka ¬𝐴 bernilai 1. (0 ⇒ 0 ⇒ 1
1 ⇒ 1; bernilai benar dalam implikasi. Dan bila 𝐴 bernilai 1, maka ¬𝐴 bernilai 0. (1 ⇒ 0 ⇒ 0
0 ⇒ 0; juga bernilai benar.
5. Jadi nampak bahwa modus Tollens selalu bernilai benar. Dengan demikian modus Tollens dikatakan konsisten dengan logika.
Biimplikasi
Jika implikasi berbentuk seperti pemetaan fungsi (tiap elemen dari daerah asal (sebab) hanya terpetakan sekali di daerah hasil (akibat)), maka bentuk biimplikasi merupakan pemetaan satu satu. Biimplikasi dinotasikan dengan 𝐴 ⇔ 𝐵, menyatakan
85
jika A maka B, dan jika B maka A. Secara verbal dapat diringkas sebagai “B terjadi jika dan hanya jika A terjadi”.
Pada ilustrasi di atas, Y = sakelar tertutup dan A = lampu menyala. Dapat kita berikan hubungan biimplikasi 𝐴 ⇔ 𝐵, Lampu A menyala jika dan hanya jika sakelar Y tertutup. Jika sakelar Y tertutup pasti lampu A menyala, sebaliknya bila lampu A menyala pasti sakelar Y tertutup.
Jadi biimplikasi menunjukkan sebab tunggal, sehingga berlaku sifat simetris 𝐴 ⇔ 𝐵 ≡ 𝐵 ⇔ 𝐴 . Berikut ini tabel kebenaran dari biimplikasi.
𝑿 𝒀 𝑿 ↔ 𝒀
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
86
Sebenarnya sangat jarang ada hukum alam yang berbentuk biimplikasi, karena kebanyakan besaran fisis tidak bergantung hanya terhadap satu faktor. Contoh sederhana ialah hukum gravitasi Newton yang berbentuk
𝐹 =𝐺𝑀𝑚 𝑟2
Jadi, gaya gravitasi muncul akibat tiga faktor, yakni massa benda-1, massa benda-2, dan jarak kedua benda. Contoh lainnya ialah kecepatan yang didefinisikan sebagai
𝑣 = perubahan posisi perubahan waktu=
Δ𝑥 Δ𝑡
Jadi, kecepatan bergantung terhadap dua faktor (atau setidaknya kita menganggapnya begitu dalam mekanika klasik). Untuk melihat adanya hukum alam yang bersifat biimplikasi, Anda perlu menemukan hukum alam yang persamaannya berbentuk:
𝐴 = 𝑏 × konstanta
Terlepas dari apakah A dan b itu. Sampai saat ini saya tidak dapat menemukan hukum alam yang berbentuk seperti itu kecuali b adalah bentuk lain (yang sebenarnya sama) dari A. Ataukah dalam teori matematika hal ini dapat muncul dari suatu pendefinisian matematis, semisal:
87
Sebuah segitiga datar disebut segitiga siku-siku jika dan hanya jika salah satu sudut segitiga itu besarnya 90°.
Perhatikanlah bila salah satu sudut suatu segitiga datar 90°, maka ia pasti segitiga siku-siku. Hal sebaliknya pun berlaku, bila segitiga itu segitiga siku-siku maka pastilah salah satu sudutnya sebesar 90°. Hal ini sama sekali tidak luar biasa karena biimplikasi ini hanya menyangkut sebuah entitas dan definisinya, atau sebuah syarat dan penamaan bila syarat itu terpenuhi. Ini adalah sebuah kebenaran definitif dalam matematika – tidak mungkin keliru – karena kita sendiri yang menyepakatinya begitu. Bahkan Yang Maha Kuasa pun tak kan bisa melanggar kebenaran definitif dari matematika. Sang omnipotence sendiri tidak akan mungkin mampu menciptakan segitiga siku-siku yang tidak memiliki sudut 90°, karena semenjak segitiga itu tidak memiliki sudut 90° maka segitiga itu jelas bukan segitiga siku-siku.
Patut pula diingat bahwa biimplikasi 𝐴 ⇔ 𝐵
Bernilai sama dengan
88
Ingkaran dari Pernyataan Implikasi dan Biimplikasi Perhatikan contoh implikasi berikut.
Jika ditendang, maka bola sepak itu akan meluncur. 𝐴 ⇒ 𝐵
Yang memiliki makna:
1. Jika bola ditendang ia pasti meluncur.
2. Jika bola tidak ditendang ia bisa saja tidak meluncur atau meluncur karena sebab lain.
Negasi dari implikasi di atas ialah:
Tidak benar bahwa jika bola sepak ditendang maka
bola itu akan meluncur. ? ? ?
Negasi ini dapat dinyatakan dengan argumen bola sepak ditendang dan bola itu tidak meluncur
Coba perhatikan tabel berikut.
𝑨 𝑩 ¬𝑨 ¬𝑩 𝑨 ⇒ 𝑩 ¬(𝑨 ⇒ 𝑩 𝑨 ⇒ ¬𝑩 ¬𝑨 ⇒ ¬𝑩
1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 1 1 1
0 1 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 1 0 1 1
Pola argumen yang berbentuk “Tidak benar jika A maka B” secara verbal setara dengan “Jika A, maka tidak benar terjadi B”, meskipun jika dilihat nilai kebenaran implikasi ¬(𝐴 ⇒ 𝐵 berbeda dengan 𝐴 ⇒ ¬𝐵.
89
Kita coba mengambil contoh lain,
Jika siswa kurang mampu atau berprestasi, maka ia berhak memperoleh beasiswa.
Dinotasikan (𝐴 ∨ 𝐵 ⇒ 𝐶,
dengan A = kurang mampu, B = berprestasi, dan C = berhak memperoleh beasiswa.
Untuk menyangkal pernyataan di atas, perlu dibuktikan ada siswa yang berprestasi atau kurang mampu yang tidak berhak memperoleh beasiswa.
Pada biimplikasi, kita ambil contoh
Jika dan hanya jika diameter suatu lingkaran sama dengan D, maka kelilingnya pasti sama dengan 𝜋𝐷.
𝑃 ⇔𝑸
Untuk menyangkal pernyataan ini, maka perlu dibuktikan ada lingkaran berdiameter D yang kelilingnya bukan 𝜋𝐷, atau lingkaran yang memiliki kelilingnya 𝜋𝐷 tetapi diameternya bukan D.
¬(𝑃 ⇔𝑄 𝑷 𝑸 ¬𝑷 ¬𝑸 𝑷⇔𝑸 ¬(𝑷⇔𝑸 ¬𝑷⇔𝑸 𝑷⇔¬𝑸 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0
Dapat dilihat bahwa ¬(𝑃 ⇔ 𝑄 sama saja dengan ¬𝑃 ⇔ 𝑄 dan 𝑃 ⇔ ¬𝑄.
90
3. Quantifier
Operator kuantitas atau quantifier tidak menunjukkan nilai kualitas suatu kebenaran (benar atau salah), melainkan kuantitasnya. Terdapat dua jenis operator kuantitas, yakni:
a. Operator “semua” (“for all”), disimbolkan ∀. b. Operator “ada” (“there exist”), disimbolkan ∃.
Operator “semua” bersifat universal, yakni mencakup semua yang ada, tidak ada yang tidak. Sebaliknya operator “ada” bersifat partikular, mencakup semua atau cuma sebagian, yang jelas di antaranya ada yang termasuk.
Contohnya, pernyataan “semua manusia pasti akan mati”. Kita berikan simbol
𝑥 = manusia 𝑃(𝑥 = pasti akan mati
Pernyataan di atas dapat ditulis dalam notasi (∀ 𝑥 𝑃(𝑥 .
Contoh lainnya, misalkan 𝑥 = bilangan, 𝑈(𝑥 = "𝑥 adalah bilangan prima”, dan 𝑉(𝑥 = "𝑥 adalah bilangan riil”, maka dapat dibuat pernyataan: 1. “Ada bilangan yang merupakan bilangan prima”.