BAB V PENUTUP
C. Saran
Berdasarkan kesimpulan hasil penelitian tersebut, ada beberapa saran yang dapat peneliti berikan sebagai berikut:
1) Saran bagi mahasiswa agar lebih aktif mengikuti pembelajaran di kelas meskipun pembelajaran masih dilaksanakan secara online. Mahasiswa diharapkan agar bisa mandiri dalam usaha menemukan konsep matematika yang dipelajari sehingga tidak hanya sekedar menerima konsep yang sudah
139
jadi dari Dosen. Mahasiswa juga diharapkan agar dapat selalu berlatih membuat pembuktian formal dari setiap teorema yang ada.
2) Saran bagi bagi peneliti selanjutnya adalah sebelum melaksanakan penelitian dengan pendekatan PMR agar terlebih dahulu mempersiapkan HLT dengan baik dan semoga penelitian tentang kemampuan penalaran matematis ini dapat dilaksanakan lagi mengingat kemampuan ini merupakan salah satu kemampuan penting dalam matematika terutama untuk membantu dalam berpikir secara logis dan terarah.
3) Saran bagi kampus Universitas Sanata Dharma agar terbuka menerima para peneliti yang akan melaksanakan penelitian dan memberi kesempatan bagi para peneliti agar dapat melaksanakan penelitian secara maksimal.
Universitas Sanata Dharma juga diharapkan untuk dapat menggunakan PMR sebagai salah satu pendekatan pembelajaran meskipun masih dalam masa pandemi covid-19, sehingga dapat membantu mahasiswa dalam menemukan sendiri konsep matematika yang sedang dipelajari.
140
DAFTAR PUSTAKA
Adjie, Narrowi dan Desti Rostika. 2006. Konsep Dasar Matematika. Bandung:
UPI PRESS.
Alexander, D. C. dan G. M. Koeberlein. 2014. Elementary Geometry for College Student. USA: Cengage Learning.
Antika, R., Ardila, R., & Zanthy, L. 2019. Pendekatan Pendidikan Matematika Realistik Untuk Meningkatkan Kemampuan Penalaran Matematis Siswa SMP dan Kemampuan Percaya Diri. Journal on Education, 1(4), 605-611.
Baroody, J. 1993. Problem Solving, Reasoning, and Communicating, K-8. New York: Macmillan Publishing Company.
Belawati, Tian. 2020. Pembelajaran Online. Kementrian Pendidikan dan Kebidayaan: Universitas Terbuka. Ed. 2.
Bjuland, R. 2007. Adults Students Reasoning in Geometry: Teaching Mathematics through Collaborative Problem Solving in Teacher Education. The Montana Mathematics, ISSN 1551-3440, Vol. 4, No. 1, 1-30.
Bogdan, Robert dan Steven J. Taylor. 1993. Kualitatif: Dasar-Dasar Penelitian.
Surabaya: Usaha Nasional.
Dahlan, Djawad. 2004. Psikologi Perkembangan Anak dan Remaja. Remaja Rosdakarya: Bandung.
Depdiknas. 2004. Peraturan Tentang Penilaian Perkembangan Anak Didik SMP No. 506/C/Kep/PP/2004 tanggal 11 November 2004. Ditjen Dikdasmen Depdiknas. Jakarta.
Depdiknas. 2006. Permendiknas no. 22 tahun 2006 tentang Standar Isi. Ditjen Dikdasmen Depdiknas. Jakarta.
Fatmahanik, Ulum. 2016. Realistic Mathematics Education (RME) Dalam Meningkatkan Hasil Belajar Mahasiswa. Ibriez. Jurnal Kependidikan Dasar Islam Berbasis Sains. Volume 1 nomor 1 tahun 2016.
141
Holisin, Iis. 2007. Pembelajaran Matematika Realistik. Didaktis, vol. 5 no. 3 hal.
1-68.
Istiqomah. 2014. Penerapan Realistic Mathematics Education (RME) untuk Meningkatkan Hasil Belajar Siswa pada Materi Jaring-Jaring Bangun Ruang Kelas V Semester 2 SD 7 Hadipolo Kudus. Skripsi. Program Studi Pendidikan Sekolah Dasar Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidkan Universitas Muria Kudus, 2014.
Lithner, J. 2008. A Research Framework for Creative and Immitative Reasoning.
Education Study Mathematics (67), 255-276.
Moleong, Lexy J. 2010. Metodologi Penelitian Kualitatif. Bandung: Remaja Rosdakarya.
NCTM. (2000). Principle and Standart for School Mathematics. Reston: The National Council of Teacher of Mathematics, Inc.
Puspita, Vivi. 2014. Penerapan Pendekatan Realistic Mathemathics Education (RME) sebagai Upaya Meningkatkan Hasil Belajar Matematika di Kelas IV Sekolah Dasar. Jurnal Handayani vol. 5 (1) Juni 2016. Dosen PGSD STKIP ADZKIA.
Putrawangsa, Susilahudin. 2017. Desain Pembelajaran Matematika Realistik.
Putrawangsa, Susilahudin. 2018. Desain Pembelajaran: Desain Research sebagai Pendekatan Desain Pembelajaran.
Risnawati. 2013. Pengaruh Pendekatan Realistic Mathematics Education dengan Mind Mapping terhadap Kemampuan Berpikir Kritis dengan Self- Efficacy Mahasiswa. Jurnal Beta vol. 6 no.1 (Mei) 2013, hal. 37-45.
Rosita, Cita Dewi. (2017). Kemampuan Penalaran Dan Komunikasi Matematis:
Apa, Mengapa Dan Bagaimana Ditingkatkan Pada Mahasiswa. Jurnal Euclid. Prodi Pendidikan Matematika Universitas Swadaya Gunung Jati Cirebon.
Soedjadi. 2000. Kiat Pendidikan Matematika di Indonesia. Bandung: Dirjen Dikti Depdiknas.
Sujarwo. (t.t). Desain Sistem Pembelajaran. Jurnal: Universitas Negeri Yogyakarta.
142
Sumarmo, U (1987). Kemampuan Pemahaman dan Penalaran Matematika Siswa SMA Dikaitkan dengan Kemampuan Penalaran Logik Siswa dan Beberapa Unsur Proses Belajar Mengajar. Disertasi. Bandung: Fakultas Pascasarjana IKIP Bandung. Tidak diterbitkan.
Sumarmo, Utari. 2010. Berpikir dan Disposisi Matematik: Apa, Mengapa, dan Bagaimana Dikembangkan pada Peserta Didik. Artikel pada FPMIPA UPI Bandung.
Sugiyono. 2014. Penelitian Pendidikan Pendekatan Kuantitatif, Kualitatif, dan R
& D. Bandung: Alfabeta.
Sugiyono. 2015. Metode Penelitian Pendidikan. Bandung: Alfabeta cv.
Uno, Hamzah B. dan Koni, Satria. 2012. Assessment Pembelajaran. Bumi Aksara: Jakarta.
Widjaja. 2010. Komunikasi: Komunikasi dan Hubungan Masyarakat. Jakarta:
Bumi Aksara
Wijaya, Ariyadi. 2011. Pendidikan Matematika Realistik: Suatu Alternatif Pendekatan Pembelajaran Matematika. Yogyakarta: Graha Ilmu.
143
HYPOTHETICAL LEARNING TRAJECTORY Subbab Pertama : 50 menit
Mata Kuliah/Kelas : Geometri Bidang/A
Kompetensi Dasar 1 : Sifat-sifat pada jajar genjang
Aktivitas : Menggunakan selembar kertas untuk menemukan sifat-sifat yang berlaku pada jajar genjang
Masalah : Buktikan bahwa diagonal jajar genjang memisahkannya menjadi dua buah segitiga yang kongruen.
A. Tujuan Pembelajaran:
1. Mahasiswa dapat menemukan sifat-sifat yang berlaku pada jajar genjang 2. Mahasiswa dapat melakukan pembuktian dengan menggunakan penalaran
yang logis terhadap teorema yang berlaku pada jajar genjang B. Aktivitas Peneliti dan Mahasiswa
1) Peneliti memberikan salam dan mengecek kehadiran mahasiswa
2) Peneliti memberikan apersepsi dengan mengajukan pertanyaan ‘apakah kalian masih ingat materi tentang kesejajaran garis dan segitiga-segitiga yang kongruen?’
3) Peneliti kemudian melanjutkan dengan mengajukan pertanyaan ‘apakah kalian sudah belajar bersama di dalam kelompok dan mengerjakan tugas yang diberikan?
4) Jika mahasiswa menjawab ‘sudah’, Peneliti bertanya ‘apakah ada yang bisa menggambar sebuah jajar genjang?’
5) Peneliti mempersilahkan salah seorang mahasiswa untuk menggambar sebuah jajar genjang dan menunjukkannya kepada semua teman dalam kelas.
6) Peneliti mengkonfirmasi gambar yang dibuat mahasiswa dengan menghadirkan dua buah gambar seperti berikut.
A.
LAMPIRAN
1144
7) Peneliti menjelaskan bahwa gambar (a) hanya akan menjadi sebuah jajar genjang RSTV jika 𝑅𝑆̅̅̅̅ ∥ 𝑉𝑇̅̅̅̅ dan 𝑅𝑉̅̅̅̅ ∥ 𝑆𝑇̅̅̅̅ sedangkan untuk gambar (b) adalah sebuah jajar genjang RSTV sebab kedua pasang sisi yang sejajar sudah ditunjukkan dengan arah anak panah yang sama. Ingat kembali bahwa garis atau segmen garis yang sejajar dapat ditunjukkan dengan memperlihatkan panah ke arah yang sama.
8) Peneliti kemudian bertanya ‘berdasarkan gambar jajar genjang seperti yang telah teman-teman lihat, maka dapatkah teman-teman membuat definisi dari jajar genjang?’
9) Mahasiswa memberikan beberapa jawaban kemudian Peneliti mengkonfirmasi jawaban mahasiswa bahwa jajar genjang adalah sebuah segiempat di mana kedua pasang sisi yang berlawanan sejajar. Jajar genjang dinotasikan dengan .
10) Peneliti kemudian melanjutkan materi dengan menghadirkan aktivitas yang akan diperagakan oleh mahasiswa. Aktivitas ini sudah dicoba dilakukan di dalam kelompok sebelum perkuliahan.
11) Peneliti memberikan tugas agar mahasiswa dapat menemukan atau membuat dugaan mengenai sifat-sifat yang berlaku pada sebuah jajar genjang
12) Peneliti meminta seorang mahasiswa untuk memperagakan dan menjelaskan hasil diskusi kelompok mereka.
Dari selembar kertas bentuk standar, potonglah sebuah jajar genjang.
Kemudian potong sepanjang salah satu diagonalnya. Bagaimana hubungan dari dua segitiga yang terbentuk?
145
a) Kemungkinan hasil percobaan mahasiswa adalah sebagai berikut:
b) Dari jawaban mahasiswa yaitu akan terbentuk dua segitiga yang kongruen, peneliti kemudian menjelaskan bahwa jawaban mahasiswa tersebut merupakan salah satu sifat jajar genjang yang merupakan bunyi dari sebuah teorema. Karena merupakan sebuah teorema maka perlu dilakukan pembuktian.
c) Peneliti kemudian mengajukan pertanyaan lagi ‘dari hasil percobaan yang sudah kalian peroleh dapatkah kalian menunjukkan beberapa sifat yang lain sebagai akibat dari terbentuknya dua segitiga yang kongruen pada sebuah jajar gejang tadi?’
d) Peneliti meminta mahasiswa untuk menggunakan hasil percobaan mahasiswa tadi untuk mencaritahu jawabannya.
e) Peneliti mempersilahkan mahasiswa untuk menyampaikan hasil diskusinya.
f) Jika mahasiswa kesulitan menjawab, peneliti dapat mengajukan pertanyaan pancingan seperti ‘ bagaimana dengan sudut-sudutnya?’
atau ‘bagaimana dengan sisi-sisinya?’ atau ‘bagaimana dengan diagonal-diagonalnya?’
g) Mahasiswa memberikan berbagai jawaban kemudian peneliti mengkonfirmasi jawaban mahasiswa bahwa akibat yang pertama adalah ‘sudut-sudut yang berlawanan pada jajar genjang adalah kongruen. Akibat yang ke dua, ‘sisi-sisi yang berlawanan pada jajar genjang adalah kongruen’. Akibat yang ke tiga, ‘diagonal jajar genjang membagi dua satu sama lain.’ Akibat yang ke empat, mahasiswa diingatkan kembali bahwa jika dua garis sejajar dipotong oleh sebuah transversal maka sudut-sudur sepihak interiornya saling
C D
A B
C D
A B
146
berpelurus sehingga menyebabkan ‘dua sudut berurutan dari jajar genjang adalah berpelurus.’
h) Peneliti kemudian menjelaskan bahwa keempat akibat dari teorema utama tadi juga merupakan sifat dari jajar genjang yang perlu dibuktikan kebenarannya dengan pembuktian formal.
i) Peneliti bertanya lagi ‘bagaimana dengan tinggi jajar genjang?
Apakah kalian bisa menentukan bagaimana mengukur ketinggian jajar genjang?’
Jawaban yang diharapkan: ketinggian jajar genjang adalah ruas garis yang ditarik dari satu sisi sehingga tegak lurus ke sisi yang tidak berdekatan atau perpanjangan dari sisi sejajar itu.
j) Peneliti meminta salah seorang mahasiswa untuk menunjukkan bagaimana cara mengukur tinggi jajar genjang
13) Peneliti kemudian memberikan masalah berupa pernyataan teorema tadi untuk dikerjakan agar mahasiswa dapat membuat pembuktian teorema tersebut dengan menggunakan definisi, postulat dan teorema-teorema yang sudah dipelajari sebelumnya.
Masalah:
Beberapa kemungkinan jawaban yang dibuat mahasiswa dalam menyelesaikan masalah seperti terlihat di bawah.
Kemungkinan 1
Semua mahasiswa bisa memahami masalah dengan baik dan membuat pembuktian dengan menggunakan penalaran yang logis. Mahasiswa membuat representasi berupa gambar.
Buktikan bahwa diagonal jajar genjang memisahkannya menjadi dua buah segitiga yang kongruen.
D C
A B
147 ABCD dengan 𝐴𝐶̅̅̅̅ diagonal Diberikan:
Buktikan : △ 𝐴𝐶𝐷 ≅ △ 𝐶𝐴𝐷
BUKTI
Pernyataan Argumen
ABCD 1. Diberikan
̅̅̅̅ ∥ 𝐶𝐷𝐴𝐵 ̅̅̅̅ 2. Berdasarkan definisi, sisi-sisi berlawanan dari sebuah jajar genjang adalah sejajar
∠1 ≅ ∠2 3. Jika dua garis sejajar dipotong oleh sebuh transversal maka sudut-sudut berseberanan interiornya kongruen
𝐴𝐷̅̅̅̅ ∥ 𝐵𝐶̅̅̅̅ 4. Sama dengan argumen 2
∠3 ≅ ∠4 5. Sama dengan argumen 3
𝐴𝐶 ≅ 𝐴𝐶 6. Sifat identitas
△ 𝐴𝐶𝐷 ≅ △ 𝐶𝐴𝐷 7. ASA
Kemungkinan 2
ABCD dengan 𝐴𝐶̅̅̅̅ diagonal Diberikan:
Buktikan △ 𝐴𝐶𝐵 ≅ △ 𝐴𝐶𝐷
BUKTI
Pernyataan Argumen
ABCD Diberikan
̅̅̅̅ ∥ 𝐶𝐷𝐴𝐵 ̅̅̅̅ Berdasarkan definisi, sisi-sisi berlawanan dari sebuah jajar genjang adalah sejajar
∠1 ≅ ∠3 jika dua garis sejajar dipotong oleh sebuh transversal maka sudut-sudut berseberanan interiornya kongruen
𝐵𝐶̅̅̅̅ ∥ 𝐴𝐷̅̅̅̅ Sama dengan argumen 2
∠2 ≅ ∠4 Sama dengan argumen 3
𝐴𝐶 ≅ 𝐴𝐶 Sifat identitas
△ 𝐴𝐶𝐵 ≅ △ 𝐴𝐶𝐷 ASA
D C
A B
148 Kemungkinan 3
ABCD dengan 𝐵𝐷̅̅̅̅ diagonal Diberikan:
Buktikan : △ 𝐵𝐷𝐴 ≅ △ 𝐵𝐷𝐶
BUKTI
Pernyataan Argumen
ABCD 1. Diberikan
𝐴𝐵̅̅̅̅ ∥ 𝐶𝐷̅̅̅̅ 2. Berdasarkan definisi, sisi-sisi berlawanan dari sebuah jajar genjang adalah sejajar
∠1 ≅ ∠3 3. Jika dua garis sejajar dipotong oleh sebuh transversal maka sudut-sudut berseberanan interiornya kongruen
Beberapa mahasiswa memahami masalah namun belum dapat bernalar dengan baik. Mahasiswa membuat representasi berupa gambar.
ABCD dengan 𝐵𝐷̅̅̅̅ diagonal Diberikan:
Buktikan : △ 𝐵𝐷𝐴 ≅ △ 𝐵𝐷𝐶
Mahasiswa menulis langkah pertama yaitu apa yang diketahui namun mahasiswa bingung untuk melanjutkan ke langkah berikutnya. Jika demikian maka peneliti memberikan topangan bahwa untuk langkah selanjutnya ingat apa yang menjadi
1
149
definisi dari sebuah jajar genjang. Jawaban yang diharapkan adalah jajar genjang memiliki dua pasang sisi yang sejajar. Peneliti mengingatkan mahasiswa untuk menuliskan salah satu pasang sisi saja terlebih dahulu. Satu pasang sisi yang lain dapat ditulis pada langkah-langkah selanjutnya (dipisahkan) agar lebih jelas.
Setelah menulis langkah ke dua, jika mahasiswa masih bingung untuk melanjutkan ke langkah ke tiga, peneliti memberikan topangan bahwa mahasiswa perlu mengingat kembali hubungan dua garis sejajar tadi dan sebuah transversal yang dalam hal ini adalah diagonal 𝐵𝐷̅̅̅̅. Jawaban yang diharapkan adalah terbentuk sudut-sudut berseberangan interior yang kongruen. Selanjutnya, jika mahasiswa masih kesulitan untuk menuliskan langkah selanjutnya maka peneliti memberikan topangan agar mahasiswa perlu melihat kembali apa yang harus dibuktikan.
Jawaban yang diharapkan adalah membuktikan bahwa △ 𝐵𝐷𝐴 ≅ △ 𝐵𝐷𝐶. Jika mahasiswa menjawab demikian tetapi belum bisa menulis langkah selanjutnya maka peneliti meminta mahasiswa untuk mengingat atau melihat kembali metode pembuktian dua segitiga yang kongruen. Diharapkan sampai pada tahap ini mahasiswa sudah bisa melanjutkan untuk menyelesaikan masalah pembuktian tersebut. Jika belum maka peneliti terus memberikan topangan sampai mahasiswa bisa menyelesaikannya.
14) Peneliti memimpin diskusi kelas untuk membahas berbagai jawaban mahasiswa tersebut.
Misalnya dalam diskusi kelas, dosen menanyakan beberapa pertanyaan sebagai berikut:
a) siapa yang bisa menjelaskan ide yang digunakan oleh teman tadi dengan menggunakan kata-kata sendiri
b) menunjuk seorang mahasiswa kemudian memintanya menjelaskan kembali apa yang sudah dijelaskan oleh temannya sebelumnya c) menunjuk seorang mahasiswa kemudian bertanya apakah dia
mempunyai ide lain untuk menyelesaikan masalah tersebut
d) peneliti bertanya “apakah ada perbedaan di antara ide teman kalian yang telah mempresentasikan jawabannya? Jika ada, di manakah letak perbedaannya?”
150
e) jika ada mahasiswa yang ingin mengungkapkan pendapatnya, peneliti bertanya ”menurut kamu, ide yang tepat seperti apa?”
f) misalkan tidak ada mahasiswa yang dapat menjelaskan atau mengemukakan ide yang berbeda maka peneliti meminta mahasiswa untuk berdiskusi kembali. Setelah itu peneliti mempersilahkan mahasiswa untuk mempresentasikan atau secara spontan menjelaskan hasil diskusi dalam kelompoknya. Siswa yang lain menanggapi atau bertanya atas jawaban temannya jika ada teman yang masih bingung.
g) langkah di atas dilakukan berulang terus sampai mahasiswa dapat memecahkan masalah yang diberikan.
15) Peneliti melanjutkan materi tentang teorema jarak dua garis sejajar dan menjelaskan langkah-langkah pembuktiannya.
16) Peneliti melanjutkan menjelaskan tentang definisi ketinggian jajar genjang dan menjelaskan tentang Lemma 7 dan Teorema 8 serta memberikan sebuah contoh soal untuk membantu pemahaman mahasiswa.
17) Peneliti meminta mahasiswa untuk menyimpulkan hasil belajar, kemudian Peneliti membantu menyempurnakannya.
18) Dalam menyempurnakan jawaban mahasiswa, peneliti juga menjelaskan bahwa dalam menyelesaikan masalah yang diberikan tadi, maka ketika mahasiswa melakukan representasi dalam bentuk gambar, yang pertama yang harus diperhatikan adalah melihat garis yang sejajar dengan garis yang lain. Mengapa demikian sebab garis yang sejajar tidak akan pernah berpotongan dan dari dua atau lebih garis sejajar yang dipotong oleh transversal, dapat dibentuk beberapa sudut yang saling berrelasi.
19) Peneliti memberikan motivasi kepada mahasiswa agar giat belajar
20) Peneliti mengakhiri materi pada sub bab pertama dan melanjutkan ke sub bab ke dua.
151
HYPOTHETICAL LEARNING TRAJECTORY Pertemuan Pertama : 30 menit
Mata Kuliah/Kelas : Geometri Bidang/A
Kompetensi Dasar 2 : Syarat-syarat sebuah segiempat adalah Jajar genjang
Aktivitas : Menggunakan dua buah sedotan untuk menemukan syarat-syarat sebuah segiempat merupakan jajar genjang
Masalah : Melakukan pembuktian teorema A. Tujuan Pembelajaran:
1. Mahasiswa dapat meemukan syarat-syarat sebuah segiempat merupakan jajar genjang
2. Mahasiswa dapat melakukan pembuktian dengan menggunakan penalaran yang logis terhadap teorema yang berlaku pada jajar genjang
B. Aktivitas Peneliti dan Mahasiswa
1) Peneliti memberikan salam dan mengecek kehadiran mahasiswa 2) Peneliti menyampaikan tujuan pembelajaran yang akan dicapai
3) Peneliti memberikan apersepsi kepada mahasiswa berupa mengingatkan kembali mengenai materi sifat-sifat jajar genjang
4) Peneliti menghadirkan aktivitas yang akan diperagakan oleh mahasiswa yang sebelumnya sudah dicoba di dalam kelompok masing-masing.
Peneliti menjelaskan bahwa aktivitas ini akan membantu mahasiswa menemukan syarat sebuah segiempat merupakan jajar genjang. Aktivitas tersebut sebagai berikut:
AKTIVITAS :
Ambil dua sedotan dan potong setiap sedotan menjadi dua bagian yang berbeda ukuran sehingga panjang potongan sedotan pertama sama dengan sedotan yang kedua. Sekarang bentuklah segi empat dengan menempatkan potongan ujung ke ujung sehingga sisi yang kongruen terletak pada posisi berlawanan. Jenis segiempat apakah yang terbentuk?
B. LAMPIRAN 2
152
5) Peneliti menunjuk seorang mahasiswa ntuk memperagakannya kemudian mahasiswa memperagakan aktivitas yang sudah coba mereka lakukan di dalam kelompoknya dan menjawab jenis segiempat yang terbentuk adalah jajar genjang.
6) Peneliti kemudian mengajukan lagi pertanyaan ‘ciri-ciri apa yang bisa kalian tunjukkan sehingga kalian menjawab jajar genjang?’
7) Mahasiswa menyebutkan beberapa ciri yang mengindikasikan bahwa segiempat tersebut adalah jajar genjang. Jawaban yang diharapkan adalah
‘dua sisi dari segiempat tersebut bersama-sama kongruen dan sejajar’, lalu
‘kedua pasang sisi yang berhadapan adalah kongruen’ dan’diagonal-diagonal dari segiempat tersebut saling membagi dua’
8) Jika mahasiswa hanya menjawab dua ciri yang petama saja maka peneliti dapat memberikan pertanyaan pancingan ‘bagaimana dengan diagonal-diagonalnya, bagaimana ukurannya dan di mana mereka saling berpotongan?’
9) Untuk menunjukkan ciri-cirinya, mahasiswa dapat menggunakan potongan sedotan tadi.
10) Setelah berdiskusi dan mencoba, mahasiswa memberikan beberapa jawaban.
11) Peneliti mengkonfirmasi jawaban mahasiswa dengan menjelaskan bahwa ciri-ciri yang sudah disebutkan tadi merupakan bunyi dari beberapa teorema jajar genjang.
12) Peneliti menyebutkan bunyi teorema-teorema tersebut dan menjelaskan bahwa karena merupakan teorema maka perlu dilakukan pembuktian.
13) Peneliti menghadirkan masalah yaitu pembuktian sebuah teorema yang telah disebutkan tadi, sebagai berikut:
14) Mahasiswa berdiskusi lagi dalam kelompoknya untuk menyelesaikan masalah pembuktian teorema tersebut.
15) Beberapa kemungkinan jawaban mahasiswa adalah:
Jika dua sisi dari sebuah segiempat bersama-sama kongruen dan sejajar, maka segiempat tersebut adalah sebuah jajar genjang.
153 Kemungkinan 1
Semua mahasiswa bisa memahami masalah dengan baik dan membuat pembuktian dengan menggunakan penalaran yang logis. Mahasiswa membuat representasi berupa gambar.
Diberikan: 𝑅𝑆̅̅̅̅ ∥ 𝑉𝑇̅̅̅̅ dan 𝑅𝑆̅̅̅̅ ≅ 𝑉𝑇̅̅̅̅
Buktikan: RSTV adalah sebuah jajar genjang
BUKTI
Pernyataan Argumen
𝑅𝑆̅̅̅̅ ∥ 𝑉𝑇̅̅̅̅ dan 𝑅𝑆̅̅̅̅ ≅ 𝑉𝑇̅̅̅̅ Diberikan
Gambar diagonal 𝑉𝑆̅̅̅̅ Terdapat tepat satu garis melewati dua titik 𝑉𝑆̅̅̅̅ ≅ 𝑉𝑆̅̅̅̅ Identitas
∠𝑅𝑆𝑉 ≅ ∠𝑆𝑉𝑇 Jika dua garis sejajar dipotong oleh sebuah transversal maka sudut berseberangan interiornya kongruen
△ 𝑅𝑆𝑉 ≅△ 𝑇𝑉𝑆 SAS
∠𝑅𝑉𝑆 ≅ ∠𝑇𝑆𝑉 CPCTC
𝑅𝑉̅̅̅̅ ∥ 𝑆𝑇̅̅̅̅
Jika dua garis dipotong oleh sebuah transversal sehingga sudut berseberangan interiornya kongruen maka kedua garis tersebut sejajar
RSTV adalah sebuah Jika dua pasang sisi berhadapan dari sebuah segiempat sejajar maka segiempat tersebut adalah sebuah jajar genjang
Kemungkinan 2
Diberikan: 𝑅𝑉̅̅̅̅ ∥ 𝑆𝑇̅̅̅̅ dan 𝑅𝑉̅̅̅̅ ≅ 𝑆𝑇̅̅̅̅
Buktikan: RSTV adalah
R S
V T
R S
V T
154
BUKTI
Pernyataan Argumen
𝑅𝑉̅̅̅̅ ∥ 𝑆𝑇̅̅̅̅ dan 𝑅𝑉̅̅̅̅ ≅ 𝑆𝑇̅̅̅̅ Diberikan
Gambar diagonal RT Terdapat tepat satu garis melewati dua titik 𝑅𝑇̅̅̅̅ ≅ 𝑅𝑇̅̅̅̅ Identitas
∠𝑉𝑅𝑇 ≅ ∠𝑆𝑇𝑅 Jika dua garis sejajar dipotong oleh sebuah transversal maka sudut berseberangan interiornya kongruen
△ 𝑉𝑅𝑇 ≅ △ 𝑆𝑇𝑅 SAS
∠𝑅𝑇𝑉 ≅ ∠𝑇𝑅𝑆 CPCTC
𝑅𝑆̅̅̅̅ ∥ 𝑉𝑇̅̅̅̅
Jika dua garis dipotong oleh sebuah transversal sehingga sudut berseberangan interiornya kongruen maka kedua garis tersebut sejajar
RSTV adalah sebuah Jika dua pasang sisi berhadapan dari sebuah segiempat sejajar maka segiempat tersebut adalah sebuah jajar genjang
Kemungkinan 3
Beberapa mahasiswa memahami masalah namun belum dapat bernalar dengan baik. Mahasiswa membuat representasi berupa gambar.
Diberikan: 𝑅𝑉̅̅̅̅ ∥ 𝑆𝑇̅̅̅̅ dan 𝑅𝑉̅̅̅̅ ≅ 𝑆𝑇̅̅̅̅
Buktikan: RSTV adalah sebuah jajar genjang
Mahasiswa menulis langkah pertama yaitu apa yang diketahui namun mahasiswa bingung untuk melanjutkan ke langkah berikutnya. Jika demikian maka peneliti memberikan topangan bahwa untuk langkah selanjutnya ingat kembali bahwa selain memiliki sisi-sisi yang sejajar dan kongruen, kita juga perlu menunjukkan bagian-bagian yang lainnya. Jika mahasiswa menjawab sudut tetapi belum bisa menuliskan langkah selanjutnya maka peneliti memberikan topangan bahwa untuk menunjukkan hubungan antara sudut-sudutnya, apa yang perlu dilakukan? Jawaban yang diharapkan adalah
R S
V T
155
membuat sebuah transversal. Setelah menulis langkah ke dua, jika mahasiswa masih bingung untuk melanjutkan ke langkah ke tiga, peneliti memberikan topangan bahwa mahasiswa perlu mengingat kembali hubungan dua garis sejajar dan sebuah transversal tadi. Jawaban yang diharapkan adalah terbentuk sudut-sudut berseberangan interior yang kongruen. Selanjutnya, jika mahasiswa masih kesulitan untuk menuliskan langkah selanjutnya maka peneliti memberikan topangan agar mahasiswa perlu melihat kembali transversal tadi yaitu dengan mengajukan pertanyaan apa fungsi transversal di sini selain untuk membentuk sudut-sudut interior yang kongruen. Jawaban yang diharapkan adalah transversal akan membagi dua segiempat menjadi dua buah segitiga sehingga memenuhi sifat identitas. Kemudian peneliti meminta mahasiswa mengecek apakah kedua segitiga yang terbentuk sudah kongruen.
Jawaban yang diharapkan adalah terbukti bahwa △ 𝐴𝐵𝐷 ≅ △ 𝐶𝐷𝐵. Jika mahasiswa menjawab demikian tetapi belum bisa menulis langkah selanjutnya maka peneliti meminta mahasiswa untuk mengingat atau melihat kembali metode pembuktian dua segitiga yang kongruen. Diharapkan sampai pada tahap ini mahasiswa sudah bisa melanjutkan untuk menyelesaikan masalah pembuktian tersebut. Jika belum maka peneliti terus memberikan topangan sampai mahasiswa bisa menyelesaikannya.
16) Peneliti melanjutkan materi tentang teorema 5 yaitu ‘Ruas garis yang menghubungkan titik tengah dua segitiga sejajar dengan sisi ke tiga dan memiliki panjang sama dengan setengah dari panjang sisi ke tiga.’
17) Peneliti memberikan penjelasan tentang teorema 5 dan memberikan sebuah contoh untuk membantu pemahaman mahasiswa.
18) Peneliti meminta mahasiswa untuk menyimpulkan hasil belajar, kemudian peneliti membantu menyempurnakannya.
19) Peneliti memberikan motivasi kepada mahasiswa agar giat belajar
20) Peneliti mengakhiri materi sub bab ke dua dan melanjutkan ke sub bab ke tiga.
156
HYPOTHETICAL LEARNING TRAJECTORY Subbab Pertama : 50 menit
Mata Kuliah/Kelas : Geometri Bidang/B
Kompetensi Dasar 1 : Sifat-sifat pada jajar genjang
Aktivitas : Menggunakan selembar kertas untuk menemukan sifat-sifat yang berlaku pada jajar genjang
Masalah : Buktikan bahwa diagonal jajar genjang memisahkannya menjadi dua buah segitiga yang kongruen.
1. Tujuan Pembelajaran:
1. Mahasiswa dapat menemukan sifat-sifat yang berlaku pada jajar genjang 2. Mahasiswa dapat melakukan pembuktian dengan menggunakan penalaran
yang logis terhadap teorema yang berlaku pada jajar genjang 2. Aktivitas Peneliti dan Mahasiswa
1) Peneliti memberikan salam dan mengecek kehadiran mahasiswa
2) Peneliti memberikan apersepsi dengan mengajukan pertanyaan ‘apakah kalian masih ingat materi tentang kesejajaran garis dan segitiga-segitiga yang kongruen?’
3) Peneliti kemudian melanjutkan dengan mengajukan pertanyaan ‘apakah kalian sudah belajar bersama di dalam kelompok dan mengerjakan tugas yang diberikan?
4) Jika mahasiswa menjawab ‘sudah’, Peneliti bertanya ‘apakah ada yang bisa menggambar sebuah jajar genjang?’
5) Peneliti mempersilahkan salah seorang mahasiswa untuk menggambar
5) Peneliti mempersilahkan salah seorang mahasiswa untuk menggambar