BAB II KAJIAN TEORI
D. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) adalah persamaan yang memiliki bentuk umum 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑝 dengan 𝑥 dan 𝑦 adalah variabel, 𝑎, 𝑏, 𝑝 ∈ ℝ dan 𝑎, 𝑏 ≠ 0. PLDV merupakan kalimat terbuka (kalimat yang belum diketahui kebenarannya (benar atau salah)) yang memiliki komponen meliputi variabel, koefisien dan konstanta, dengan pengertian sebagai berikut: 1. Variabel
Variabel atau kadang juga disebut peubah adalah lambang yang menggantikan sebarang bilangan yang belum diketahui nilainya, contoh 3𝑥 + 2𝑦 = 12, 𝑥 dan 𝑦 merupakan variabel.
2. Koefisien
Koefisien adalah sebuah bilangan yang sudah diketahui nilainya dan digunakan sebagai pengali variabel, contoh 3𝑥 + 2𝑦 = 12, 3 dan 2 merupakan koefisien.
3. Konstanta
Konstanta adalah sebuah bilangan yang tidak memuat variabel dan sudah diketahu nilainya, contoh 3𝑥 + 2𝑦 = 12, 12 merupakan konstanta.
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) merupakan suatu sistem yang terdiri atas minimal dua persamaan linear dua variabel yang mempunyai hubungan antara setiap persamaan tersebut. Bentuk umum dari Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah sebagai berikut:
{𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑝 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑞,
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑝, 𝑞 ∈ ℝ dan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ≠ 0
Penyelesaian dari SPLDV merupakan pasangan bilangan (𝑥, 𝑦) yang memenuhi persamaan tersebut. Sedangkan himpunan penyelesaiannya merupakan kumpulan dari semua penyelesaian SPLDV yang dinyatakan ke dalam bentuk {}. Sistem persamaan linear dua variabel dapat memiliki satu penyelesaian, tidak memiliki penyelesaian dan memiliki tak hingga penyelesaian.
Terdapat beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan SPLDV. Metode-metode tersebut yaitu metode grafik, eliminasi, substitusi, dan campuran (eliminasi dan subtitusi).
A. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
1. Metode Grafik
Metode grafik adalah salah satu metode untuk menyelesaikan SPLDV dengan cara menentukan titik potong antara dua persamaan garis. Terdapat tiga kemungkinan garis yang diperoleh yaitu, kedua garis sejajar, kedua garis berhimpit dan kedua garis berpotongan. Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV menggunakan metode grafik adalah sebagai berikut:
1) Gambar grafik garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑝 dan 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑞 pada sebuah sistem persamaan koordinat cartesius. Pada langkah ini, ditentukan titik potong sumbu 𝑥 dan titik potong sumbu 𝑦.
2) Tentukan koordinat titik potong kedua garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑝 dan 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑞 (jika ada).
3) Tuliskan kesimpulan dari penyelesaian tersebut. Contoh soal:
Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel berikut: { 2𝑥 + 2𝑦 = 8 persamaan (i)
2 𝑥 + 4𝑦 = 12 persamaan (ii) Penyelesaian:
Langkah 1: gambar grafik
Persamaan (i) Persamaan (ii) 2𝑥 + 2𝑦 = 8
𝑥 0 4
𝑦 4 0
(𝑥, 𝑦) (0,4) (4,0)
Gambar 2. 23 Grafik persamaan (i) dan (ii)
2𝑥 + 4𝑦 = 12
𝑥 0 6
𝑦 3 0
Langkah 2: tentukan koordinat titik potong kedua garis
Gambar 2. 24 Titik Potong Kedua Garis
Langkah 3: kesimpulan
Berdasarkan grafik tersebut diperoleh titik potong kedua garis berada pada 𝑥 = 2 dan 𝑦 = 2, sehingga penyelesaian dari sistem persamaan persamaan linear dua variabel tersebut adalah (2,2).
2. Metode Eliminasi
Cara selanjutnya untuk menyelesaikan SPLDV adalah dengan menggunakan metode eliminasi. Secara ringkas, metode eliminasi adalah menghilangkan salah satu variabel untuk mendapatkan nilai dari satu variabel lainnya. Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV menggunakan metode eliminasi adalah sebagai berikut:
1) Samakan salah satu koefisien yang memuat variabel 𝑥 atau 𝑦 dengan cara mengalikan dengan konstanta yang sesuai.
2) Selesaikan persamaan yang diperoleh pada langkah 1 dengan menghilangkan variabel yang memiliki koefisien yang sama.
3) Ulangi langkah 1 dan langkah 2 untuk mendapatkan nilai dari variabel yang belum diketahui.
4) Tuliskan kesimpulan dari penyelesaian tersebut. Contoh soal:
Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel berikut:
{ 𝑥 + 3𝑦 = 9 persamaan (i) 3𝑥 + 𝑦 = 11 persamaan (ii) Penyelesaian:
Langkah 1: samakan salah satu koefisien 𝑥 + 3𝑦 = 9 × 1 𝑥 + 3𝑦 = 9 3𝑥 + 𝑦 = 11 × 3 9𝑥 + 3𝑦 = 33
Langkah 2: selesaikan persamaan yang diperoleh 𝑥 + 3𝑦 = 9 9𝑥 + 3𝑦 = 33 −8𝑥 = −24 𝑥 =−24 −8 𝑥 = 3
Langkah 3: ulangi langkah 1 dan 2 untuk mendapatkan nilai dari variabel yang belum diketahui.
𝑥 + 3𝑦 = 9 × 3 3𝑥 + 9𝑦 = 27 3𝑥 + 𝑦 = 11 × 1 3𝑥 + 𝑦 = 11
8𝑦 = 16
𝑦 =16 8
𝑦 = 2 Langkah 4: kesimpulan
Penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel tersebut adalah (3,2).
3. Metode Substitusi
Menyelesaikan SPLDV dengan menggunakan metode substitusi hanya menggunakan prinsip-prinsip aljabar. Substitusi berarti penggantiaan, atau dapat diartikan menyatakan satu variabel dalam bentuk variabel yang lain. Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV menggunakan metode subtitusi adalah sebagai berikut:
1) Pilih salah satu persamaan yang sederhana, kemudian nyatakan 𝑦 dalam 𝑥 atau 𝑥 dalam 𝑦.
2) Subtitusikan 𝑥 atau 𝑦 yang diperoleh pada langkah 1 ke dalam persamaan lainnya.
3) Selesaikan persamaan yang diperoleh pada langkah 2.
4) Subtitusikan nilai 𝑥 atau 𝑦 yang diperoleh pada langkah 3 pada salah satu persamaan untuk mendapatkan nilai dari variabel yang belum diketahui.
5) Tuliskan kesimpulan dari penyelesaian tersebut. Contoh soal:
Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel berikut: { 𝑥 + 3𝑦 = 9 persamaan (i)
3𝑥 + 𝑦 = 11 persamaan (ii) Penyelesaian:
Langkah 1: nyatakan persamaan (i) ke dalam variabel 𝑥 𝑥 + 3𝑦 = 9 → 𝑥 = 9 − 3𝑦
Langkah 2: subtitusikan nilai 𝑥 ke persamaan lainnya 3𝑥 + 𝑦 = 11
3(9 − 3𝑦) + 𝑦 = 11
Langkah 3: selesaikan persamaan yang diperoleh 3(9 − 3𝑦) + 𝑦 = 11 27 − 9𝑦 + 𝑦 = 11 −9𝑦 + 𝑦 = 11 − 27 −8𝑦 = −16 𝑦 =−16 −8 𝑦 = 2
Langkah 4: subtitusikan nilai 𝑦 ke salah satu persamaan 3𝑥 + 𝑦 = 11 persamaan (ii) 3𝑥 + 2 = 11 3𝑥 = 11 − 2 3𝑥 = 9 𝑥 =9 3 𝑥 = 3 Langkah 5: kesimpulan
Penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel tersebut adalah (3,2).
4. Metode Campuran (Eliminasi-Subtitusi)
Metode ini merupakan gabungan dari metode eliminasi dan subtitusi. Kedua metode tersebut digabungkan untuk mempermudah pengerjaan. Metode campuran merupakan metode yang paling sering digunakan dalam menyelesaikan SPLDV. Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV menggunakan metode campuran adalah sebagai berikut:
1) Cari nilai salah satu variabel 𝑥 atau 𝑦 dengan metode eliminasi.
2) Gunakan nilai variabel yang telah diketahui untuk mendapatkan nilai variabel yang lain dengan menggunakan metode subtitusi.
3) Tuliskan kesimpulan dari penyelesaian tersebut Contoh soal:
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel berikut: { 3𝑥 + 2𝑦 = 18 persamaan (i)
𝑥 + 4𝑦 = 16 persamaan (ii) Penyelesaian:
Langkah 1: mencari nilai 𝑥 dengan metode eliminasi 3𝑥 + 2𝑦 = 18 × 2 6𝑥 + 4𝑦 = 36 𝑥 + 4𝑦 = 16 × 1 𝑥 + 4𝑦 = 16 5𝑥 = 20 𝑥 =20 5 𝑥 = 4
Langkah 2: mencari nilai 𝑦 dengan metode subtitusi 𝑥 + 4𝑦 = 16 persamaan (ii)
4 + 4𝑦 = 16 4𝑦 = 16 − 4 4𝑦 = 12 𝑦 =12 4 𝑦 = 3 Langkah 3: kesimpulan
Penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel tersebut adalah (4,3).
B. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Khusus
Sistem persamaan linear dua variabel merupakan suatu sistem persamaan yang dapat memiliki satu penyelesaian, tidak memiliki penyelesaian atau penyelesaiannya merupakan himpunan kosong dan dapat pula memiliki penyelesaian yang tak hingga.
Ketika menyelesaikan SPLDV dengan menggunakan metode grafik, untuk mengetahui apakah SPLDV tersebut memiliki satu penyelesaian, tidak memiliki penyelesaian, atau memiliki tak hingga penyelesaian maka dapat diketahui melalui gambar kedua garis yang terbentuk. Berikut ini gambar kedua garis yang diperoleh:
Tabel 2. 1 Penyelesaian SPLDV
Memiliki satu penyelesaian
Kedua garis berpotongan
Tidak meiliki penyelesaian
Kedua garis sejajar
Memiliki penyelesaian tak terhingga
Kedua garis berhimpit
Ketika menggunakan metode subtitusi maupun eliminasi, jika di akhir proses diperoleh suatu pernyataan yang tidak melibatkan variabel maka terdapat dua kemungkinan penyelesaian yaitu tidak memiliki penyelesaian dan memiliki tak terhingga banyaknya penyelesaian. Jika pernyataan tidak melibatkan svariabel salah, maka sistem persamaan tersebut memiliki tidak memiliki penyelesaian misalnya −4 = 4. Sedangkan, jika pernyataan tanpa variabel benar maka sistem persamaan tersebut memiliki tak terhingga banyaknya penyelesaian misalnya 0 = 0.
C. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dalam Kehidupan Sehari-hari
Materi sistem persamaan linear dua variabel sangat erat kaitannya dengan kehidupan sehari-hari, seperti untuk mengetahui harga satuan barang jika diketahui harga barang perkilo ataupun perlusin. Untuk menyelesaikan SPLDV yang berkaitan dalam kehidupan sehari-hari langkah-langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut:
2) Terjemahkan masalah dalam dua persamaan dengan menggunakan variabel pada langkah 1.
3) Selesaikan persamaan dengan salah satu metode yang telah dipelajari. 4) Tuliskan kesimpulan dari penyelesaian tersebut yang sesuai dengan
permasalahan. Contoh soal:
Davin dan Devina pergi ke sebuah toko pakaian dan berencana untuk membeli baju dan juga celana. Ketika sudah sampai di toko, Davin membeli 3 baju dan 1 celana dengan harga Rp 136.000. Karena melihat pakaian yang dibeli Davin bagus, kemudian Devina membeli pakaian yang sama yaitu 2 baju dan 3 celana dengan harga Rp 184.000. Berapa harga masing-masing baju dan celana yang dibeli Davin dan Devina?
Penyelesaian:
Langkah 1: menyajikan nilai yang tidak diketahui dengan variabel. Misalkan:
𝑥 = harga satuan baju 𝑦 = harga satuan celana
Langkah 2: menerjemahkan masalah dalam persamaan. {3𝑥 + 𝑦 = 136.000
2𝑥 + 3𝑦 = 184.000
Langkah 3: menyelesaikan persamaan dengan salah satu metode. 3𝑥 + 𝑦 = 136.000 × 3 9𝑥 + 3𝑦 = 408.000
2𝑥 + 3𝑦 = 184.000 × 1 2𝑥 + 3𝑦 = 184.000 7𝑥 = 224.000
𝑥 =224.000 7 𝑥 = 32.000 Subtitusi nilai 𝑥 = 32.000 ke salah satu persamaan 3𝑥 + 𝑦 = 136.000 persamaan (i) 3(32.000) + 𝑦 = 136.000 96.000 + 𝑦 = 136.000 𝑦 = 136.000 − 96.000 𝑦 =40.000 langkah 4: kesimpulan
Jadi, harga masing-masing baju dan celana yang dibeli Davin dan Devina di toko tersebut yaitu harga baju Rp 32.000 dan harga celana Rp 40.000.