DAFTAR PUSTAKA
SOAL TES UJI COBA KEMAMPUAN PEMECAHAN MASALAH
No Kunci Jawaban Indikator
Pemecahan Masalah Perilaku Peserta Didik yang Diharapkan Skor
1 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang C . P dan S masing-masing pada pertengahan AB dan EH. Gambarkan dan hitunglah jarak P ke S.
Penyelesaian:
Langkah-langkah melukis jarak P ke S.
a. Tarik garis sejajar E̅̅̅̅, diperoleh SO̅̅̅̅.
b. Hubungkan O dengan P dan P dengan S, diperoleh bidang POS.
h. Menunjukkan pemahaman masalah
Peserta didik memahami masalah yaitu mengetahui:
1. informasi yang diketahui yaitu panjang ̅̅̅̅ yaitu 4 cm, P pada pertengahan AB dan S pertengahan EH
2. apa yang ditanyakan yaitu jarak titik P ke S =…?
1
i. Menyajikan
masalah secara matematika dalam berbagai bentuk
Peserta didik menyajikan jarak titik ke titik dalam gambar (representasi ikonik), peserta didik dapat menyatakan jarak dalam bentuk matematika misalnya |̅̅̅̅|, d(P,S) (representasi simbolik)
2
j. Mengorganisasi data dan memilih informasi yang relevan dalam pemecahan masalah
Untuk menghitung jarak P ke S, peserta didik mampu memilih informasi mengenai diagonal sisi dan teorema Phytagoras. 1
k. Memilih pendekatan
dan metode
pemecahan masalah secara tepat
Langkah-langkah untuk menentukan jarak P ke S.
1. Peserta didik dapat menentukan panjang rusuk kubus;
Karena diketahui panjang diagonal sisi, kita dapat menjari panjang rusuk kubus dengan menggunakan rumus panjang diagonal sisi √ , dengan s adalah panjang rusuk kubus
2. Peserta didik membuat garis sejajar ̅̅̅̅ melalui S, yaitu SO, kemudian menentukan panjang SO;
3. Peserta didik menghubungkan P dengan O, kemudian menghitung panjang ̅̅̅̅; 1 A P G H C E F S B O D
114
c. PS̅̅̅ merupakan jarak titik P dan S. Menentukan panjang PS̅̅̅
Tulis s: ukuran rusuk kubus ABCD.EFGH.
Dipunyai | C̅̅̅̅| ⟺ √ ⟺ √ √ Jelas | P̅̅̅̅| | O̅̅̅̅| × √ √
|SO̅̅̅̅| √ d
|PO̅̅̅̅| √| P̅̅̅̅| | O̅̅̅̅| √(√ ) (√ ) √
Jadi, |PS̅̅̅| √|SO̅̅̅̅| |PO̅̅̅̅| √( √ ) √8 √ √
Jadi, ukuran jarak titik P ke titik S adalah √ cm.
Menghitung panjang PO dengan menerapkan teorema Phytagoras. 4. Peserta didik dapat menentukan panjang PS.
Menghitung panjang PS dengan menerapkan teorema Phytagoras. l. Mengembangkan
strategi pemecahan masalah
Langkah-langkah untuk menentukan jarak P ke S.
1. Peserta didik dapat menentukan panjang rusuk kubus; Dipunyai | C̅̅̅̅| ⟺ √ ⟺ √ √
2. Peserta didik membuat garis sejajar ̅̅̅̅ melalui S, yaitu ̅̅̅̅, kemudian menentukan panjang SO;
Jelas |SO̅̅̅̅| √ .
3. Peserta didik menghubungkan P dengan O, kemudian menghitung panjang ̅̅̅̅;
Jelas | P̅̅̅̅| | O̅̅̅̅| × √ √ . Jelas |PO̅̅̅̅| √| P̅̅̅̅| | O̅̅̅̅|
√(√ ) (√ ) √
4. Peserta didik dapat menentukan panjang ̅̅̅̅.
Jadi, |PS̅̅̅| √|SO̅̅̅̅| |PO̅̅̅̅| √( √ ) √8 √ √ 3 m.Membuat dan menafsirkan model matematika dari suatu masalah
Peserta didik menuliskan jawaban dengan menggunakan notasi jarak dan menyimpulkannya.
Jadi, ukuran jarak titik P ke titik S adalah √ cm.
1
n. Menyelesaikan masalah yang tidak rutin
rusuk √ cm. S dan R berturut-turut pada pertengahan rusuk EH dan BC. Gambarkan dan tentukan jarak titik A ke ruas garis SR.
Penyelesaian:
Langkah-langkah menentukan jarak A ke SR̅̅̅̅ a. Buat titik R dan S.
b. Hubungkan A dengan R, A dengan S, dan S dengan R, diperoleh segitiga RAS.
c. Melalui A tarik garis tegak lurus RS, diperoleh AT.
d. AT merupakan jarak titik A ke SR̅̅̅̅ Menentukan panjang T̅̅̅̅.
Tulis s: ukuran rusuk kubus.
J | E̅̅̅̅| √ |ES̅̅̅| √ d |SR̅̅̅̅| √
pemahaman masalah 1. informasi yang diketahui yaitu panjang rusuk = 4 cm, S dan R pertengahan EH dan BC.
2. apa yang ditanyakan yaitu jarak titik A ke SR =…?
b. Menyajikan masalah secara matematika dalam berbagai bentuk
Peserta didik menyajikan jarak titik ke titik dalam gambar (representasi ikonik), peserta didik dapat menyatakan jarak dalam bentuk matematika misalnya | ̅̅̅̅|, d(A,RS) (representasi simbolik)
2 c. Mengorganisasi data dan memilih informasi yang relevan dalam pemecahan masalah
Untuk menghitung jarak A ke SR, peserta didik mampu memilih informasi tentang diagonal sisi dan teorema Phytagoras. 1
d. Memilih pendekatan
dan metode
pemecahan masalah secara tepat
Langkah-langkah untuk menentukan jarak A ke SR.
1. Peserta didik dapat menentukan panjang ES dan SR;
Peserta didik dapat menentukan panjang SR dengan memanfaatkan diagonal sisi BE.
2. Peserta didik membuat garis AR, AS dan menghitung panjang garis tersebut;
Menghitung panjang AR dan AS dengan menerapkan teorema Phytagoras.
3. Peserta didik menghitung panjang ST, dengan T pertengahan RS;
4. Peserta didik dapat menentukan panjang AT.
Menghitung panjang AT dengan menerapkan teorema Phytagoras.
1
e. Mengembangkan strategi pemecahan masalah
Langkah-langkah untuk menentukan jarak A ke SR.
1. Peserta didik dapat menentukan panjang ES dan SR; Jelas |ES̅̅̅| √ d |SR̅̅̅̅| √
2. Peserta didik membuat garis AR, AS dan menghitung panjang garis tersebut; 3 R T B A G H C E F S D
116 | R̅̅̅̅| | S̅̅̅̅| √| E̅̅̅̅| |ES̅̅̅| √( √ ) (√ ) √ √ Perhatikan ∆S R J |ST̅̅̅| |TR̅̅̅̅| |SR̅̅̅̅| J | T̅̅̅̅| √| S̅̅̅̅| |ST̅̅̅| √( √ ) √ √8 √
Jadi, ukuran jarak titik A keruas garis SR adalah √ cm.
Jelas | R̅̅̅̅| | S̅̅̅̅| √| E̅̅̅̅| |ES̅̅̅| √( √ ) (√ ) √ √
3. Peserta didik menghitung panjang ST, dengan T pertengahan RS;
J |ST̅̅̅| |TR̅̅̅̅| |SR̅̅̅̅|
4. Peserta didik dapat menentukan panjang AT.
Jelas| T̅̅̅̅| √| S̅̅̅̅| |ST̅̅̅| √( √ ) √ √8 √ f. Membuat dan menafsirkan model matematika dari suatu masalah
Peserta didik menuliskan jawaban dengan menggunakan notasi jarak dan menyimpulkannya
Jadi, ukuran jarak titik A keruas garis SR adalah √ cm.
1
g. Menyelesaikan masalah yang tidak rutin
Peserta didik dapat menyelesaikan soal dengan benar dan tepat 1 3 Panjang setiap rusuk kubus ABCD.EFGH adalah
√ cm, sedangkan titik Q terletak pada AD sehingga panjang AQ = 1 cm. Gambarkan dan hitung jarak titik A ke bidang QBF.
Penyelesaian:
a. Menunjukkan
pemahaman masalah
Peserta didik memahami masalah yaitu mengetahui:
1. informasi yang diketahui yaitu panjang rusuk = √ cm, Q terletak pada AD sehingga panjang AQ = 1 cm.
2. apa yang ditanyakan yaitu jarak titik A ke QBF =…?
1
b. Menyajikan masalah secara matematika dalam berbagai bentuk
Peserta didik menyajikan jarak titik ke titik dalam gambar (representasi ikonik), peserta didik dapat menyatakan jarak dalam bentuk matematika misalnya | ̅̅̅̅|, d(A,QBF) (representasi simbolik)
2
c. Mengorganisasi data
dan memilih
Untuk menghitung jarak A ke bidang QBF, peserta didik mampu memilih teorema Phytagoras dan prinsip kesamaan luas segitiga. 1
Langkah-langkah menentukan jarak titik A ke bidang QBF.
a. Perluas bidang QBF menjadi QBFR.
b. Buat P̅̅̅̅ ⊥ Q ̅̅̅̅
c. Akan dibuktikan P̅̅̅̅ ⊥ bidang QBFR. P
̅̅̅̅ ⊥ Q ̅̅̅̅ (dibuat). P
̅̅̅̅ ⊥ F ̅̅̅̅ (F ̅̅̅̅ ⊥ CD Q
̅̅̅̅ dan F ̅̅̅̅ berpotongan dan terletak pada bidang QBFR. Jadi P̅̅̅̅ ⊥ bidang QBFR. d. P̅̅̅̅ merupakan jarak A ke QBF. Menentukan panjang P̅̅̅̅ relevan dalam pemecahan masalah d. Memilih pendekatan dan metode pemecahan masalah secara tepat
Langkah-langkah untuk menentukan jarak A ke bidang QBF.
1. Peserta didik dapat menentukan AP dan membuktikan AP⊥ bidang QBFR;
2. Peserta didik dapat menentukan panjang BQ;
Menghitung panjang BQ dengan menerapkan teorema Phytagoras. 3. Peserta didik dapat menghitung panjang AP.
Menghitung panjang AP dengan menerapkan prinsip kesamaan segitiga.
1
e. Mengembangkan strategi pemecahan masalah
Langkah-langkah untuk menentukan jarak A ke bidang QBF.
1. Peserta didik dapat menentukan AP dan membuktikan AP⊥ bidang QBFR; P ̅̅̅̅ ⊥ Q ̅̅̅̅ (dibuat). P ̅̅̅̅ ⊥ F ̅̅̅̅ (F ̅̅̅̅ ⊥ CD Q
̅̅̅̅ dan F ̅̅̅̅ berpotongan dan terletak pada bidang QBFR. Jadi P̅̅̅̅ ⊥ bidang QBFR.
2. Peserta didik dapat menentukan panjang BQ; P h ∆ Q
J ̅̅̅̅ √ dan Q̅̅̅̅
J |Q ̅̅̅̅| √| ̅̅̅̅| | Q̅̅̅̅| √(√ ) √ √
3. Peserta didik dapat menghitung panjang AP.
Dengan prinsip kesamaan luas segitiga diperoleh | ̅̅̅̅| × | Q̅̅̅̅| |Q ̅̅̅̅| × | P̅̅̅̅| ⟺ √ × × | P̅̅̅̅| 3 Q G A E B C F D P R
118
Perhatikan ∆ Q
Jelas ̅̅̅̅ √ dan Q̅̅̅̅
Jelas |Q ̅̅̅̅| √| ̅̅̅̅| | Q̅̅̅̅| √(√ ) √ √
Dengan prinsip kesamaan luas segitiga diperoleh | ̅̅̅̅| × | Q̅̅̅̅| |Q ̅̅̅̅| × | P̅̅̅̅| ⟺ √ × × | P̅̅̅̅| ⟺ | P̅̅̅̅| √
Jadi ukuran jarak titik A ke bidang QBF adalah √ cm. ⟺ | P̅̅̅̅| √ . f. Membuat dan menafsirkan model matematika dari suatu masalah
Peserta didik menuliskan jawaban dengan menggunakan notasi jarak dan menyimpulkannya
Jadi ukuran jarak titik A ke bidang QBF adalah √ cm.
1
g. Menyelesaikan masalah yang tidak rutin
Peserta didik dapat menyelesaikan soal dengan benar dan tepat 1
4 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. bila titik R pertengahan GH dan titik S di tengah AB, gambarkan dan hitung jarak AR dan SG.
Penyelesaian:
a. Menunjukkan
pemahaman masalah
Peserta didik memahami masalah yaitu mengetahui:
1. informasi yang diketahui yaitu panjang rusuk = 8 cm, titik R dan S pertengahan GH dan AB.
2. apa yang ditanyakan yaitu jarak AR ke SG =…?
1
b. Menyajikan masalah secara matematika dalam berbagai bentuk
Peserta didik menyajikan jarak titik ke titik dalam gambar (representasi ikonik), peserta didik dapat menyatakan jarak dalam bentuk matematika misalnya misalnya | ′̅̅̅̅̅|, d(AR,SG (representasi simbolik)
2
A B
Q
Langkah-langkah menentukan jarak AR ke bidang SG.
a. Buat| R̅̅̅̅| dan |SG̅̅̅̅|, diperoleh | R̅̅̅̅| sejajar |SG̅̅̅̅|. b. Buat garis melalui R yang tegak lurus |SG̅̅̅̅| dan
| R̅̅̅̅| yaitu |RR′̅̅̅̅̅|.
c. |RR′̅̅̅̅̅| merupakan jarak | R̅̅̅̅| dan |SG̅̅̅̅|.
Menentukan panjang RR’̅̅̅̅̅.
dan memilih
informasi yang relevan dalam pemecahan masalah
memilih informasi tentang teorema Phytagoras dan prinsip kesamaan luas segitiga.
d. Memilih pendekatan
dan metode
pemecahan masalah secara tepat
Langkah-langkah untuk menentukan jarak garis AR ke SG.
1. Peserta didik dapat menentukan panjang AH;
Panjang AH dapat dihitung dengan menggunakan teorema Phytagoras.
2. Peserta didik dapat menentukan panjang SG;
Menghitung panjang SG dengan menerapkan teorema Phytagoras. 3. Peserta didik dapat menghitung panjang RR‟.
Menghitung panjang RR‟ dengan menerapkan prinsip kesamaan
segitiga
1
e. Mengembangkan strategi pemecahan masalah
Langkah-langkah untuk menentukan jarak garis AR ke SG.
1. Peserta didik dapat menentukan panjang AH, RS, BG;
Jelas |RS̅̅̅̅| | H̅̅̅̅| | G̅̅̅̅|.
Perhatikan Δ DH, siku-siku di D.
Jelas | H̅̅̅̅| √| D̅̅̅̅| |DH̅̅̅̅| √8 8 √ √ 8 8√ .
2. Peserta didik dapat menentukan panjang SG;
Perhatikan ΔG S, siku-siku di B. |S ̅̅̅̅| dan | G̅̅̅̅| | H̅̅̅̅| 8√ .
Jelas |SG̅̅̅̅| √|S ̅̅̅̅| | G̅̅̅̅| √ (8√ ) √ 8 √ .
3. Peserta didik dapat menghitung panjang RR‟. Perhatikan ΔGRS 3 A R B H G S R’ H G A E B C F D S R’
120 Perhatikan ΔG S, siku-siku di B.
Jelas RS̅̅̅̅// H̅̅̅̅// G̅̅̅̅ dan terletak pada bidang ABGH.
Jadi |RS̅̅̅̅| | H̅̅̅̅| | G̅̅̅̅|.
Perhatikan Δ DH, siku-siku di D.
Jelas | H̅̅̅̅| √| D̅̅̅̅| |DH̅̅̅̅| √8 8 √ √ 8 8√ .
Perhatikan ΔG S, siku-siku di B. |S ̅̅̅̅| dan | G̅̅̅̅| | H̅̅̅̅| 8√ .
Jelas |SG̅̅̅̅| √|S ̅̅̅̅| | G̅̅̅̅| √ (8√ ) √ 8 √ .
Perhatikan ΔGRS
Berdasarkan prinsip kesamaan luas segitiga diperoleh
|SG̅̅̅̅| × |RR̅̅̅̅̅| |RG′ ̅̅̅̅| × |RS̅̅̅̅| ⟺ × |RR′̅̅̅̅̅| × 8√
⟺ |RR̅̅̅̅̅| × 8√ ′ √ .
Jadi ukuran jarak AR dan SG adalah √ cm.
Berdasarkan prinsip kesamaan luas segitiga diperoleh |SG̅̅̅̅| × |RR̅̅̅̅̅| |RG′ ̅̅̅̅| × |RS̅̅̅̅| ⟺ × |RR′̅̅̅̅̅| × 8√ ⟺ |RR̅̅̅̅̅| × 8√ ′ √ . f. Membuat dan menafsirkan model matematika dari suatu masalah
Peserta didik menuliskan jawaban dengan menggunakan notasi jarak dan menyimpulkannya
Jadi ukuran jarak AR dan SG adalah √ cm.
1
g. Menyelesaikan masalah yang tidak rutin
Peserta didik dapat menyelesaikan soal dengan benar dan tepat 1
5 Diketahui kubus ABCD.EFGH, P dan Q berturut
-turut pada pertengahan E dan F. Jika panjang
a. Menunjukkan
pemahaman masalah
Peserta didik memahami masalah yaitu mengetahui:
1. informasi yang diketahui yaitu panjang rusuk = 2 cm, P dan Q berturut-turut pada pertengahan E dan F.
jarak EF ke bidang PQGH. Penyelesaian :
Langkah-langkah menentukan jarak EF ke PQGH. a. Buat bidang PQGH.
b. Melalui F tarik garis tegak lurus GQ, diperoleh FR. c. FR merupakan jarak EF ke PQGH. Menentukan panjang FR̅̅̅̅. Perhatikan ∆GFQ J |FG̅̅̅̅| |FQ̅̅̅̅| J |GQ̅̅̅̅| √|FG̅̅̅̅| |FQ̅̅̅̅| √ √ √ b. Menyajikan masalah secara matematika dalam berbagai bentuk
Peserta didik menyajikan jarak titik ke titik dalam gambar (representasi ikonik), peserta didik dapat menyatakan jarak dalam bentuk matematika misalnya | ̅̅̅̅|, d(EF, PQGH) (representasi simbolik) 2 c. Mengorganisasi data dan memilih informasi yang relevan dalam pemecahan masalah
Untuk menghitung jarak EF ke bidang PQGH, peserta didik mampu memilih informasi tentang teorema Phytagoras dan prinsip kesamaan luas segitiga.
1
d. Memilih pendekatan
dan metode
pemecahan masalah secara tepat
Langkah-langkah untuk menentukan jarak garis EF ke PQGH.
1. Peserta didik dapat menentukan panjang GQ;
Panjang AH dapat dihitung dengan menggunakan teorema Phytagoras.
2. Peserta didik dapat menghitung panjang FR.
Menghitung panjang FR dengan menerapkan prinsip kesamaan segitiga
1
e. Mengembangkan strategi pemecahan masalah
Langkah-langkah untuk menentukan jarak garis EF ke PQGH.
1. Peserta didik dapat menentukan panjang GQ; Perhatikan ∆GFQ
J |FG̅̅̅̅| |FQ̅̅̅̅|
J |GQ̅̅̅̅| √|FG̅̅̅̅| |FQ̅̅̅̅| √ √ √ 2. Peserta didik dapat menghitung panjang FR.
Perhatikan ∆GFQ
Berdasarkan prinsip kesamaan luas segitiga diperoleh |FG̅̅̅̅| |FQ̅̅̅̅| |GQ̅̅̅̅| |FR̅̅̅̅| ⟺ √ |FR̅̅̅̅| 3 D B A G H C E Q P F R
122
Perhatikan ∆GFQ
Berdasarkan prinsip kesamaan luas segitiga diperoleh |FG̅̅̅̅| |FQ̅̅̅̅| |GQ̅̅̅̅| |FR̅̅̅̅| ⟺ √ |FR̅̅̅̅| ⟺ √ |FR̅̅̅̅| ⟺ √ |FR̅̅̅̅|
Jadi, ukuran jarak EF ke bidang PQGH adalah √ cm. ⟺ √ |FR̅̅̅̅| ⟺ √ |FR̅̅̅̅| f. Membuat dan menafsirkan model matematika dari suatu masalah
Peserta didik menuliskan jawaban dengan menggunakan notasi jarak dan menyimpulkannya
Jadi, ukuran jarak EF ke bidang PQGH adalah √ cm.
1
g. Menyelesaikan masalah yang tidak rutin
Peserta didik dapat menyelesaikan soal dengan benar dan tepat 1
6 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan K,L,M berturut-turut merupakan pertengahan BC, CD, CG. Panjang AB 10 cm. Gambarkan dan hitung jarak AFH dan KLM.
Penyelesaian:
Langkah-langkah menentukan jarak titik A ke
a. Menunjukkan
pemahaman masalah
Peserta didik memahami masalah yaitu mengetahui:
1. informasi yang diketahui yaitu panjang rusuk = 10 cm, K,L,M berturut-turut merupakan pertengahan BC, CD, CG.
2. apa yang ditanyakan yaitu jarak bidang AFH dan KLM =…? 1
b. Menyajikan masalah secara matematika dalam berbagai bentuk
Peserta didik menyajikan jarak titik ke titik dalam gambar (representasi ikonik), peserta didik dapat menyatakan jarak dalam bentuk matematika misalnya |̅̅̅̅|, d(AFH, KLM) (representasi simbolik) 2 c. Mengorganisasi data dan memilih informasi yang relevan dalam pemecahan masalah
Untuk menghitung jarak AFH dan KLM, peserta didik mampu memilih informasi tentang prinsip kesejajaran dan titik berat. 1
d. Memilih pendekatan
dan metode
pemecahan masalah secara tepat
Langkah-langkah untuk menentukan jarak AFH dan KLM.
1. Peserta didik dapat menentukan panjang CT;
Peserta didik dapat menemukan panjang CT dengan menggunakan teorema titik berat.
1 K H G A E B C F D L M P Q
a. Buat garis yang tegak lurus dengan bidang AFH dan KLM yaitu ̅̅̅̅.
b. ̅̅̅̅ menembus AFH di P dan menembus KLM di Q.
c. ̅̅̅̅ merupakan jarak bidang AFH dan KLM.
Menentukan panjang ̅̅̅̅.
Jelas CE diagonal ruang. Jadi panjang CE √ .
Jelas T titik berat karena CS̅̅̅ dan GR̅̅̅̅ garis berat. Karena T titik berat berlaku
|CT̅̅̅̅|
|CS̅̅̅| |GT|GR|̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅|
Jelas |C̅̅̅̅||C̅̅̅̅| ⟺ |CT̅̅̅̅| |CS̅̅̅| |CE̅̅̅̅| |CE̅̅̅̅|
Perhatikan ΔGTC, siku-siku di T dan Δ QC siku
-siku di Q.
Peserta didik dapat menentukan panjang CQ dengan menggunakan teorema kesejajaran.
3. Peserta didik dapat menentukan panjang PQ. e. Mengembangkan
strategi pemecahan masalah
Langkah-langkah untuk menentukan jarak AFH dan KLM.
1. Peserta didik dapat menentukan panjang CT;
Jelas CE diagonal ruang. Jadi panjang CE √ . Jelas T titik berat karena CS̅̅̅ dan GR̅̅̅̅ garis berat.
Karena T titik berat berlaku |CT̅̅̅̅|
|CS̅̅̅| |GT|GR|̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅|
Jelas |C̅̅̅̅||C̅̅̅̅| ⟺ |CT̅̅̅̅| |CS̅̅̅| |CE̅̅̅̅| |CE̅̅̅̅| 2. Peserta didik dapat menentukan panjang CQ;
Perhatikan ΔGTC, siku-siku di T dan Δ QC siku-siku di Q. Berdasarkan prinsip kesejajaran diperoleh
|C ̅̅̅̅| |CG̅̅̅̅| |CQ| ̅̅̅̅̅̅ |CT| ̅̅̅̅̅̅ ⟺ |CQ|̅̅̅̅̅̅ × √ ⟺ |CQ|̅̅̅̅̅̅ √ ⟺ |CQ|̅̅̅̅̅̅ × √ √ .
3. Peserta didik dapat menentukan panjang PQ. Jelas |PQ̅̅̅̅| |PC̅̅̅̅| |CQ̅̅̅̅| √ √ √ √ .
3
f. Membuat dan Peserta didik menuliskan jawaban dengan menggunakan notasi 1
Q S E G P A R C T Q S M
124 Berdasarkan prinsip kesejajaran diperoleh
|C ̅̅̅̅| |CG̅̅̅̅| |CQ| ̅̅̅̅̅̅ |CT| ̅̅̅̅̅̅ ⟺ |CQ|̅̅̅̅̅̅ × √ ⟺ |CQ|̅̅̅̅̅̅ √ ⟺ |CQ|̅̅̅̅̅̅ × √ √
Jelas |PC̅̅̅̅| |PT̅̅̅̅| |CT|̅̅̅̅̅̅ |CE̅̅̅̅| |CE̅̅̅̅| |CE̅̅̅̅| × √ √ .
Jelas |PQ̅̅̅̅| |PC̅̅̅̅| |CQ̅̅̅̅| √ √ √
√ .
Jadi ukuran jarak bidang ACH dn KLM adalah √
menafsirkan model matematika dari suatu masalah
jarak dan menyimpulkannya.
Jadi ukuran jarak bidang ACH dn KLM adalah √ g. Menyelesaikan
masalah yang tidak rutin
Peserta didik dapat menyelesaikan soal dengan benar dan tepat 1
7 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. N terletak pada pertengahan diagonal EG dan FH. Gambarkan dan hitung jarak AC dan BN.
Penyelesaian:
a. Menunjukkan
pemahaman masalah
Peserta didik memahami masalah yaitu mengetahui:
1. informasi yang diketahui yaitu panjang rusuk = 4 cm, . N terletak pada pertengahan diagonal EG dan FH.
2. apa yang ditanyakan yaitu jarak AC dan BN =…?
1
b. Menyajikan masalah secara matematika dalam berbagai bentuk
Peserta didik menyajikan jarak titik ke titik dalam gambar (representasi ikonik), peserta didik dapat menyatakan jarak dalam bentuk matematika misalnya |̅̅̅̅̅|, d(AC,BN) (representasi simbolik)
2
c. Mengorganisasi data
dan memilih
Untuk menghitung jarak AC dan BN, peserta didik mampu memilih informasi tentang titik berat dan kesejajaran. 1
Langkah-langkah menentukan jarak titik A ke bidang QBF.
a. Buat garis AC dan BN.
b. Buat garis sejajar BN memotong AC yaitu MH. c. Dibuat bidang ACH.
d. Membuat garis tegak lurus bidang ACH dan BN yaitu DF.
e. DF memotong BN di P dan menembus ACH di Q.
f. Melukis garis sejajar PQ dan memotong AC yaitu MR.
g. MR merupakan jarak AC dan BN.
Menghitung jarak MR. relevan dalam pemecahan masalah d. Memilih pendekatan dan metode pemecahan masalah secara tepat
Langkah-langkah untuk menentukan jarak A ke SR.
1. Peserta didik dapat menentukan panjang DQ;
Menentukan panjang DQ dengan menerapkan prinsip titik berat. 2. Peserta didik dapat menentukan panjang PQ;
Menentukan panjang PQ dengan menerapkan prinsip titik berat. 3. Peserta didik dapat menentukan panjang DF;
4. Peserta didik dapat menentukan panjang MR.
Menentukan panjang MR dengan menerapkan prinsip kesejajaran.
1
e. Mengembangkan strategi pemecahan masalah
Langkah-langkah untuk menentukan jarak A ke SR.
1. Peserta didik dapat menentukan panjang DQ;
Perhatikan ΔD H.
Jelas Q titik berat karena |DS̅̅̅̅| dan |H ̅̅̅̅̅| garis berat. Karena Q titik berat berlaku
|̅̅̅̅̅|DQ |DS̅̅̅̅| |HQ| ̅̅̅̅̅̅ |H | ̅̅̅̅̅̅̅ Jelas |DQ̅̅̅̅| |DS̅̅̅̅| ⟺ |DQ̅̅̅̅| |DS̅̅̅̅| |DF̅̅̅̅| |DF|̅̅̅̅̅̅. Peserta didik dapat menentukan panjang PQ;
Perhatikan Δ FH.
Jelas P titik berat karena |FS|̅̅̅̅̅ dan | |̅̅̅̅̅̅ garis berat. Karena P titik berat berlaku
|FP| ̅̅̅̅̅̅ |FS| ̅̅̅̅̅ | P̅̅̅̅| | | ̅̅̅̅̅̅ 3 G A E B C F D N M P Q R
126
Perhatikan ΔD H.
Jelas Q titik berat karena |DS̅̅̅̅| dan |H ̅̅̅̅̅| garis berat. Karena Q titik berat berlaku
|̅̅̅̅̅|DQ |DS̅̅̅̅| |HQ| ̅̅̅̅̅̅ |H | ̅̅̅̅̅̅̅ Jelas |DQ̅̅̅̅| |DS̅̅̅̅| ⟺ |DQ̅̅̅̅| |DS̅̅̅̅| |DF̅̅̅̅| |DF|̅̅̅̅̅̅. Perhatikan Δ FH.
Jelas P titik berat karena |FS|̅̅̅̅̅ dan | |̅̅̅̅̅̅ garis berat. Karena P titik berat berlaku
|FP| ̅̅̅̅̅̅ |FS| ̅̅̅̅̅ | P̅̅̅̅| | | ̅̅̅̅̅̅ Jelas |̅̅̅̅̅̅FP| |FS| ̅̅̅̅̅̅ ⟺ |FP̅̅̅̅| |FS̅̅̅| ( |DF̅̅̅̅|) |DF|̅̅̅̅̅̅ Peserta didik dapat menentukan panjang DF;
Jelas |DP̅̅̅̅| |DQ̅̅̅̅| |PQ̅̅̅̅| |DF̅̅̅̅| |DF̅̅̅̅| |DF̅̅̅̅| Jelas DF diagonal ruang. Jadi |DF̅̅̅̅| √ Peserta didik dapat menentukan panjang MR.
Perhatikan Δ PD.
Dengan menggunakan prinsip kesejajaran diperoleh
| ̅̅̅̅̅| | D̅̅̅̅| || R̅̅̅̅̅|DP̅̅̅̅| ⟺ √√ | R̅̅̅̅̅| × √ ⟺ | R̅̅̅̅̅| 8 √ ⟺ | R̅̅̅̅̅| 8 √ × √ Membuat dan menafsirkan model matematika dari suatu masalah
Peserta didik menuliskan jawaban dengan menggunakan notasi jarak dan menyimpulkannya
Jadi ukuran jarak C̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅ adalah √ cm.
1 N S H F Q D M B R P
Jelas |FS| ̅̅̅̅̅̅ ⟺ |FP̅̅̅̅| |FS̅̅̅| |DF̅̅̅̅| |DF|̅̅̅̅̅̅. Jelas |FP̅̅̅̅| |PQ̅̅̅̅| |QD̅̅̅̅| |DF̅̅̅̅| ⟺ |DF̅̅̅̅| |PQ̅̅̅̅| |DF̅̅̅̅| |DF̅̅̅̅| ⟺ PQ DF Jelas |DP̅̅̅̅| |DQ̅̅̅̅| |PQ̅̅̅̅| |DF̅̅̅̅| |DF̅̅̅̅| |DF̅̅̅̅|
Jelas DF diagonal ruang. Jadi |DF̅̅̅̅| √ Menghitung panjang R̅̅̅̅̅.
Perhatikan Δ PD.
Dengan menggunakan prinsip kesejajaran diperoleh
| ̅̅̅̅̅| | D̅̅̅̅| || R̅̅̅̅̅|DP̅̅̅̅| ⟺ √√ | R̅̅̅̅̅| × √ ⟺ | R̅̅̅̅̅| 8 √ ⟺ | R̅̅̅̅̅| 8 √ × √
Jadi ukuran jarak C̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅ adalah √ cm.
masalah yang tidak rutin
8 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang Menunjukkan
pemahaman masalah
Peserta didik memahami masalah yaitu mengetahui:
informasi yang diketahui yaitu panjang rusuk = 4 cm, P terletak
128 rusuk a cm. jika titik P terletak pada perpanjangan
AB sehingga panjang PB = 2a cm dan titik Q pada perpanjangan FG sehingga GQ = a cm, gambarkan dan hitunglah jarak titik P ke titik Q.
Penyelesaian:
Langkah-langkah menentukan jarak P ke Q
Buat P pada perpanjangan ̅̅̅̅ dan Q pada perpanjangan FG̅̅̅̅.
Buat garis sejajar CG̅̅̅̅ sehingga memotong perpanjangan C̅̅̅̅di Q‟.
Hubungkan P dan Q‟ sehingga diperoleh PQ’̅̅̅̅̅. Hubungkan P dengan Q sehingga diperoleh PQ̅̅̅̅. PQ
̅̅̅̅ adalah jarak titik P ke titik Q.
Menghitung panjang PQ̅̅̅̅′.
Perhatikan ΔP Q′, siku-siku di B. Jelas | ̅̅̅̅| � dan | ′̅̅̅̅̅| �
Jelas |̅̅̅̅̅| √| ̅̅̅̅|′ | ̅̅̅̅̅|′ √ � �
pada perpanjangan AB sehingga panjang PB = 2a cm dan titik Q pada perpanjangan FG sehingga GQ = a cm
apa yang ditanyakan yaitu jarak titik P ke Q =…?
Menyajikan masalah secara matematika dalam berbagai bentuk
Peserta didik menyajikan jarak titik ke titik dalam gambar (representasi ikonik), peserta didik dapat menyatakan jarak dalam bentuk matematika misalnya |̅̅̅̅|, d(P,Q) (representasi simbolik)
2
Mengorganisasi data dan memilih informasi yang relevan dalam pemecahan masalah
Untuk menghitung jarak P ke Q, peserta didik mampu memilih
informasi tentang teorema Phytagoras. 1
Memilih pendekatan
dan metode
pemecahan masalah secara tepat
Langkah-langkah untuk menentukan jarak P ke Q.
Peserta didik membuat garis sejajar ′, dengan Q‟ proyeksi Q pada perluasan bidang ABCD, dan menghitung panjang PQ‟;
Menghitung panjang PQ‟ dapat menerapkan teorema Phytagoras.
Peserta didik dapat menentukan panjang PQ.
Menghitung panjang PQ dengan menerapkan teorema Phytagoras.
1
Mengembangkan strategi pemecahan masalah
Langkah-langkah untuk menentukan jarak P ke Q.
Peserta didik membuat garis sejajar ′, dengan Q‟ proyeksi Q pada perluasan bidang ABCD, dan menghitung panjang PQ‟;
Perhatikan ΔP Q′, siku-siku di B. Jelas | ̅̅̅̅| � dan | ′̅̅̅̅̅| �
Jelas |̅̅̅̅̅| √| ̅̅̅̅|′ | ̅̅̅̅̅|′ √ � � √ � � √8� �√
Peserta didik dapat menentukan panjang PQ.
Perhatikan ΔPQ′Q, siku-siku di Q‟. Jelas |̅̅̅̅̅| � � � ′ Jelas |̅̅̅̅| √|̅̅̅̅̅|′ |̅̅̅̅| √� ( �√ ) 3 H G A E B C F D Q P Q’
√ � � √8� �√ Menentukan panjang ̅̅̅̅
Perhatikan ΔPQ′Q, siku-siku di Q‟. Jelas |̅̅̅̅̅| � � � ′
Jelas |̅̅̅̅| √|̅̅̅̅̅|′ |̅̅̅̅| √� ( �√ ) √� 8� √ � �
Jadi ukuran jarak titik P dan Q adalah 3a cm.
√� 8� √ � �
Membuat dan
menafsirkan model matematika dari suatu masalah
Peserta didik menuliskan jawaban dengan menggunakan notasi jarak dan menyimpulkannya.
Jadi ukuran jarak titik P dan Q adalah 3a cm.
1
Menyelesaikan
masalah yang tidak rutin
Peserta didik dapat menyelesaikan soal dengan benar dan tepat. 1
9 Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk a cm. Titik K pada perpanjangan D sehingga D. Gambarkan dan hitunglah jarak titik K ke D.
Penyelesaian:
Menunjukkan
pemahaman masalah
Peserta didik memahami masalah yaitu mengetahui:
informasi yang diketahui yaitu panjang rusuk = a cm, Titik K pada perpanjangan D sehingga D.
apa yang ditanyakan yaitu jarak titik K ke BD =…?
1
Menyajikan masalah secara matematika dalam berbagai bentuk
Peserta didik menyajikan jarak titik ke titik dalam gambar (representasi ikonik), peserta didik dapat menyatakan jarak dalam bentuk matematika misalnya | ̅̅̅̅̅̅̅̅|, d(K,BD) (representasi simbolik)
2
Mengorganisasi data dan memilih informasi yang relevan dalam pemecahan masalah
Untuk menghitung jarak K ke BD, peserta didik mampu memilih informasi tentang prinsip kesebangunan dan diagonal sisi. 1
Memilih pendekatan
dan metode
pemecahan masalah secara tepat
Langkah-langkah untuk menentukan jarak K ke BD.
Peserta didik dapat menentukan panjang KA;
Peserta didik dapat menemukan panjang KD dan AO; Menghitung panjang AO dengan menerapkan diagonal sisi. Peserta didik dapat menghitung panjang KL.
Menghitung panjang KL dapat menerapkan prinsip kesebangunan.
1
130
Langkah-langkah menentukan jarak K ke BD.
Buat titik K pada perpanjangan AD dan hubungkan A dengan D.
Melalui K tarik garis tegak lurus AD, diperoleh KL. KL merupakan jarak K ke BD. Menentukan panjang | L̅̅̅̅|. Dipunyai � J | ̅̅̅̅| | D̅̅̅̅| ⟺ | ̅̅̅̅| | D̅̅̅̅| ⟺ | ̅̅̅̅| | ̅̅̅̅| | D̅̅̅̅| ⟺ | ̅̅̅̅| | D̅̅̅̅| � J | ̅̅̅̅| � Jelas | ̅̅̅̅| �√ d | ̅̅̅̅| | ̅̅̅̅| √ Perhatikan ∆D O d ∆D L. strategi pemecahan masalah
Peserta didik dapat menentukan panjang KA; J | ̅̅̅̅| | D̅̅̅̅| ⟺ | ̅̅̅̅| | D̅̅̅̅|
⟺ | ̅̅̅̅| | ̅̅̅̅| | D̅̅̅̅|
⟺ | ̅̅̅̅| | D̅̅̅̅| �
Peserta didik dapat menemukan panjang KD dan AO; J | ̅̅̅̅| �
Jelas | ̅̅̅̅| �√ d | ̅̅̅̅| | ̅̅̅̅| √ Peserta didik dapat menghitung panjang KL.
Perhatikan ∆D O d ∆D L. Jelas ∆D O~∆D L | ̅̅̅̅| | ̅̅̅̅| | ̅̅̅̅| | ̅̅̅̅| ⟺�� √ � | ̅̅̅̅| ⟺ | ̅̅̅̅| � √ Membuat dan menafsirkan model matematika dari suatu masalah
Peserta didik menuliskan jawaban dengan menggunakan notasi jarak dan menyimpulkannya
Jadi, ukuran jarak titik K ke garis BD adalah √ cm
1
Menyelesaikan
masalah yang tidak rutin
Peserta didik dapat menyelesaikan soal dengan benar dan tepat. 1
G D A E B C F H K
. .
L O| ̅̅̅̅| | ̅̅̅̅| | ̅̅̅̅| | ̅̅̅̅| ⟺�� √ � | ̅̅̅̅| ⟺ | ̅̅̅̅| � √ Jadi, ukuran jarak titik K ke garis BD adalah √ cm.
10 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. P dan Q masing-masing titik tengah AB