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S T R E S S - S T R A I N M O D E L FOR G R A D E 275 R E I N F O R C I N G STEEL W I T H C Y C L I C L O A D I N G
K. J . T h o m p s o n * and R. Park**
A B S T R A C T
T h e s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n s h i p o f G r a d e 275 s t e e l r e i n f o r c i n g b a r u n d e r c y c l i c ( r e v e r s e d ) l o a d i n g i s e x a m i n e d u s i n g e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o b t a i n e d p r e v i o u s l y f r o m e l e v e n t e s t s p e c i m e n s t o w h i c h a v a r i e t y o f a x i a l l o a d i n g c y c l e s h a s b e e n a p p l i e d . A R a m b e r g - O s g o o d f u n c t i o n is f i t t e d to t h e e x p e r i m e n t a l s t r e s s - s t r a i n c u r v e s t o f o l l o w t h e c y c l i c s t r e s s - s t r a i n b e h a v i o u r a f t e r t h e f i r s t l o a d r u n in t h e p l a s t i c r a n g e . T h e e m p i r i c a l c o n s t a n t s in t h e f u n c t i o n a r e d e t e r m i n e d b y r e g r e s s i o n a n a l y s i s a n d a r e f o u n d to d e p e n d m a i n l y o n t h e p l a s t i c s t r a i n i m p o s e d i n t h e p r e v i o u s l o a d i n g r u n . T h e m o n o t o n i c s t r e s s - s t r a i n c u r v e f o r t h e s t e e l , w i t h o r i g i n o f s t r a i n s s u i t a b l y a d j u s t e d , is a s s u m e d t o b e t h e e n v e l o p e c u r v e g i v i n g t h e u p p e r l i m i t o f s t r e s s . T h e r e s u l t i n g R a m b e r g - O s g o o d e x p r e s s i o n a n d e n v e l o p e i s f o u n d t o g i v e g o o d a g r e e m e n t w i t h t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d c y c l i c s t r e s s - s t r a i n c u r v e s .
I N T R O D U C T I O N
S e v e r e e a r t h q u a k e l o a d i n g m a y c a u s e s t r u c t u r a l e l e m e n t s to b e s u b j e c t e d to c y c l i c
( r e v e r s e d ) l o a d i n g w e l l i n t o t h e i n e l a s t i c r a n g e . I t is w e l l k n o w n t h a t w h e n s t e e l i s s u b j e c t e d to r e v e r s a l s o f l o a d a f t e r f i r s t y i e l d i n g , t h e s t r e s s - s t r a i n c u r v e b e c o m e s n o n - l i n e a r o v e r m u c h o f t h e l o a d i n g r a n g e d u e to t h e B a u s c h i n g e r e f f e c t . I n f o r m a t i o n o n t h e s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n s h i p s f o r r e i n -
f o r c i n g s t e e l is r e q u i r e d t o a c c u r a t e l y p r e d i c t t h e b e h a v i o u r o f s t r u c t u r a l c o n c r e t e m e m b e r s u n d e r c y c l i c l o a d i n g . S u c h s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n s h i p s a r e n e c e s s a r y i n o r d e r t o a c c u r a t e l y d e t e r m i n e t h e t h e o r e t i c a l m o m e n t - c u r v a t u r e r e l a t i o n s h i p s f o r r e i n f o r c e d c o n c r e t e m e m b e r s s u b j e c t e d to c y c l i c l o a d i n g ( D . T h i s l e a d s t o m o r e p r e c i s e d e t e r m i n a t i o n o f m o m e n t - c u r v a t u r e m o d e l s f o r u s e i n t h e n o n - l i n e a r d y n a m i c a n a l y s i s o f r e i n f o r c e d c o n c r e t e s t r u c t u r e s r e s p o n d i n g t o s e v e r e e a r t h q u a k e m o t i o n s . A l s o , s u c h s t r e s s - s t r a i n d a t a is n e e d e d t o d e t e r m i n e t h e t a n g e n t m o d u l u s o f t h e s t e e l a t v a r i o u s l e v e l s o f s t r e s s t o
c h e c k t h e l i k e l i h o o d o f b u c k l i n g o f r e i n f o r c i n g b a r s in c o m p r e s s i o n d u r i n g c y c l i c l o a d i n g .
E a r l y w o r k o n t h e s t r e s s - s t r a i n b e h a v i o u r o f r e i n f o r c i n g b a r s s u b j e c t e d t o c y c l i c
l o a d i n g w a s c o n d u c t e d by S i n g h , G e r s t l e a n d T u l i n ^ ^) wh o d e t e r m i n e d a s i m p l e e m p i r i c a l e x p r e s s i o n w h i c h r e p r e s e n t e d t h e a v e r a g e o f t h e f a m i l y o f m e a s u r e d r e v e r s e d l o a d i n g s t r e s s - s t r a i n c u r v e s . T h e e x p r e s s i o n is a n
e x p e r i m e n t a l c u r v e w h i c h i s e x t e n d e d b a c k w a r d s t o m e e t a n i n i t i a l e l a s t i c s l o p e . In m o r e r e c e n t w o r k b y K e n t a n d P a r k ( 3 , 4 ) a f o r m o f t h e R a m b e r g - O s g o o d e q u a t i o n w a s u s e d to f o l l o w t h e r e v e r s e d l o a d i n g b r a n c h e s o f t h e s t r e s s - s t r a i n c u r v e a f t e r t h e f i r s t y i e l d e x c u r s i o n . L i n e a r u n l o a d i n g c u r v e s p a r a l l e l t o t h e i n i t i a l e l a s t i c s l o p e w e r e a s s u m e d . T h e p a r a m e t e r s i n t h e R a m b e r g - O s g o o d e q u a t i o n w e r e d e t e r m i n e d e m p i r i c a l l y f o r G r a d e 2 7 5
S e n i o r E n g i n e e r , M i n i s t r y o f W o r k s a n d D e v e l o p m e n t , I n v e r c a r g i l l .
P r o f e s s o r o f C i v i l E n g i n e e r i n g , U n i v e r s i t y o f C a n t e r b u r y , C h r i s t c h u r c h .
r e i n f o r c i n g s t e e l a n d w e r e f o u n d t o b e a f u n c t i o n o f t h e a c t u a l y i e l d s t r e n g t h , t h e p l a s t i c s t r a i n in t h e p r e v i o u s l o a d r u n a n d t h e l o a d i n g r u n n u m b e r . T h i s m e t h o d u s i n g t h e R a m b e r g - O s g o o d e q u a t i o n s w a s s h o w n to g e n e r a l l y l e a d to b e t t e r a c c u r a c y t h a n t h e m e t h o d o f S i n g h , G e r s t l e a n d T u l i n ( 3 , 4 )m A k t a n , K a r l s s o n a n d S o z e n ^ ^ h a v e a l s o u s e d a f o r m o f t h e R a m b e r g - O s g o o d e q u a t i o n s w i t h e m p i r i c a l c o n s t a n t s to d e f i n e b o t h t h e l o a d - i n g a n d u n l o a d i n g b r a n c h e s o f t h e s t r e s s - s t r a i n c u r v e a n d o b t a i n e d g o o d a g r e e m e n t w i t h t e s t r e s u l t s . T h e y a l s o d e v i s e d a n a l t e r n - a t i v e i d e a l i s a t i o n c o n s i s t i n g o f s e t s o f s t r a i g h t l i n e s p a r a l l e l to t h e e l a s t i c s l o p e a n d i n c l i n e d t o i t . M a , B e r t e r o a n d P o p o v
(6) h a v e a l s o o b t a i n e d c l o s e f i t w i t h
e x p e r i m e n t a l s t r e s s - s t r a i n d a t a u s i n g a f o r m o f t h e R a m b e r g - O s g o o d e q u a t i o n .
T h e s t u d y d e s c r i b e d in t h i s p a p e r e x t e n d s t h e e x i s t i n g w o r k o f K e n t a n d P a r k
( 3 , 4 )m T h e R a m b e r g - O s g o o d e q u a t i o n s
d e t e r m i n e d i n t h a t e a r l y w o r k h a d b e e n f o u n d to u n d e r e s t i m a t e t h e s t r e s s a t l o w s t r a i n s a n d to o v e r e s t i m a t e t h e s t r e s s a t h i g h
s t r a i n s ( 374 ) ^ in t h i s p a p e r t h e e x p e r i m e n t a l d a t a c o l l e c t e d b y K e n t a n d P a r k is r e a n a l y s e d a n d t h e a s s u m p t i o n s o f t h a t e a r l y p r o c e d u r e a r e r e - e x a m i n e d i n o r d e r to o b t a i n a s t r e s s - s t r a i n m o d e l w h i c h f i t s t h e e x p e r i m e n t a l d a t a m o r e c l o s e l y . A m o r e d e t a i l e d a c c o u n t o f t h i s w o r k m a y b e s e e n e l s e w h e r e ( ^ .
E N V E L O P E S T R E S S - S T R A I N C U R V E F O R C Y C L I C L O A D I N G M a n y i n v e s t i g a t o r s h a v e s h o w n t h a t t h e e n v e l o p e s t r e s s - s t r a i n c u r v e f o r c y c l i c l o a d - i n g m a y b e o b t a i n e d f r o m t h e a p p r o p r i a t e p a r t o f t h e s t r e s s - s t r a i n c u r v e f o r m o n o t o n i c l o a d i n g w i t h t h e o r i g i n o f c o o r d i n a t e s s u i t a b l y a d j u s t e d .
T h e m o n o t o n i c s t r e s s - s t r a i n c u r v e a s s u m e d in t h i s s t u d y is t h e s a m e a s t h a t p r o p o s e d b y K e n t ( 3 ) a n d is i l l u s t r a t e d i n F i g . 1.
T h e c u r v e c o m p r i s e s t h r e e r e g i o n s , w h i c h m a y b e r e p r e s e n t e d b y t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s u s i n g t h e n o t a t i o n o f F i g . 1:
B U L L E T I N OF THE NEW Z E A L A N D N A T I O N A L SOCiETY FOR E A R T H Q U A K E ENGINEERING, V O L . 11, NO. 2, JUNE 1978.
102
R e g i o n A B
R e g i o n B C
R e g i o n C D
£ S £ s y f = E £
s s s e ^ e e ,
y s s h
£ , ^ £ < £ s h s s u
s y 1 60 (e - £ . } + 2
1 s sh
. . (1)
. . (2)
e , ) (60 - m ) sh
2 ( 3 0 q + 1) '
w h e r e m =
a n d
( fs u/ fy) ( 3 0 q + 1 ) ' - 60q - 1 - ( 3 )
15q
'sh
. ( 4 )
. (5) E q s . 1 to 5 a r e s i m i l a r t o t h o s e o b t a i n e d b y B u r n s a n d S i e s s ^ ) e x c e p t t h a t t h e y f o l l o w a g e n e r a l i s e d f o r m f o r s t e e l w i t h d i f f e r e n t
fSU/fS y an d £ s u va^ueSe
T h e m o n o t o n i c s t r e s s - s t r a i n c u r v e h a s b e e n s h o w n in t e s t s b y L e s l i e (9) to a p p r o x - i m a t e l y d e s c r i b e t h e e n v e l o p e s t r e s s - s t r a i n c u r v e f o r c y c l i c l o a d i n g p r o v i d i n g t h e c y c l i c s t r a i n i n g o c c u r s e i t h e r a l l i n t h e t e n s i l e r e g i o n o r a l l in t h e c o m p r e s s i o n r e g i o n . T h i s is a l s o e v i d e n t f r o m t h e w o r k o f A k t a n , K a r l s s o n a n d S o z e n ( 5 ) . F o r m o r e s y m m e t r i c a l t e n s i o n - c o m p r e s s i o n s t r a i n i n g (i.e.
a p p r o x i m a t e l y e q u a l s t r a i n e x c u r s i o n s in t e n s i o n a n d c o m p r e s s i o n in e a c h c y c l e ) t h e m o n o t o n i c s t r e s s - s t r a i n c u r v e a p p r o x i m a t e l y d e s c r i b e s t h e e n v e l o p e c u r v e o n l y if t h e o r i g i n o f t h e m o n o t o n i c c u r v e is d i s p l a c e d h o r i z o n t a l l y .
In t h i s s t u d y i t w i l l b e a s s u m e d t h a t t h e s t r e s s - s t r a i n e n v e l o p e f o r c y c l i c l o a d i n g is t h e s a m e a s t h e s t r e s s - s t r a i n c u r v e f o r m o n o - t o n i c l o a d i n g , e x c e p t t h a t t h e o r i g i n is t r a n s l a t e d h o r i z o n t a l l y d u r i n g l o a d i n g s u c h t h a t t h e n e w o r i g i n i s (£ ,0) f o r t e n s i l e
z m x l o a d i n g (see F i g . 2 ) , w h e r e
£0 " E~ (6)
w h e r e £Q is t h e m a x i m u m c o m p r e s s i v e s t r a i n a n d fQ is t h e s t r e s s a t t h e m a x i m u m c o m p r e s s i v e s t r a i n . F o r c o m p r e s s i v e l o a d i n g t h e m o d i f i e d o r i g i n is (£ ,0) z m n w h e r e
(7)
£ = £ z m n o
w h e r e eQ is t h e m a x i m u m t e n s i l e s t r a i n a n d f0 is t h e s t r e s s a t t h e m a x i m u m t e n s i l e s t r a i n . T h e a s s u m e d e n v e l o p e i s s h o w n i n F i g . 2 . N o t e t h a t w h e n t h e o r i g i n i s
d i s p l a c e d i t m u s t a l w a y s b e in t h e d i r e c t i o n s s h o w n in F i g . 2 . F o r e x a m p l e , t h e c u r r e n t s t r e s s e n v e l o p e f o r t e n s i l e l o a d i n g m u s t a l w a y s c o m m e n c e a t t h e o r i g i n a l o r i g i n (0,0) o r to t h e l e f t o f i t a s s h o w n i n F i g . 2. T h u s f o r r e p e a t e d l o a d i n g o f t h e s a m e s i g n t h e o r i g i n o f t h e e n v e l o p e a l w a y s r e m a i n s a t
( 0 , 0 ) . T h e s t e e l s t r e s s e s a r e n o t p e r m i t t e d t o e x c e e d t h e e n v e l o p e v a l u e s d u r i n g l o a d i n g . S T R E S S - S T R A I N C U R V E F O R C Y C L I C L O A D I N G
A s s u m e d F o r m o f S t r e s s - S t r a i n R e l a t i o n s h i p F o r c y c l i c l o a d i n g a t s t r e s s e s l e s s t h a n t h e e n v e l o p e v a l u e s , t h e f o l l o w i n g m o d i f i e d
f o r m o f t h e R a m b e r g - O s g o o d f u n c t i o n is a s s u m e d t o g i v e t h e s t r e s s - s t r a i n c u r v e a f t e r t h e f i r s t y e i l d e x c u r s i o n
(i
£
S 1 +
f - f
ch S o
r - 1 "
- (.8)
w h e r e £s, fs a r e t h e s t r a i n and s t r e s s v a l u e s a t t h e p o i n t o n t h e s t r e s s - s t r a i n c u r v e ;
£0, f o a r e t h e s t r a i n a n d s t r e s s v a l u e s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s t r e s s - s t r a i n c u r v e ; fCh is t h e c h a r a c t e r i s t i c s t r e s s ; Es is t h e v a l u e o f t h e m o d u l u s o f e l a s t i c i t y f r o m t h e i n i t i a l e l a s t i c l o a d i n g r u n a n d r is t h e R a m b e r g - O s g o o d p a r a m e t e r . E q . 8 is a s s u m e d t o g i v e t h e c y c l i c s t r e s s - s t r a i n c u r v e s w h i c h l i e w i t h i n t h e e n v e l o p e v a l u e s (see F i g . 2 ) .
T h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e R a m b e r g - O s g o o d f u n c t i o n , E q . 8, a r e i l l u s t r a t e d in F i g . 3. It is n o t e d t h a t v a l u e s o f r b e t w e e n 1 a n d 0 0 g i v e a r a n g e o f s w e e p i n g c u r v e s w h i c h v a r y b e t w e e n a s t r a i g h t l i n e w h e n r = 1 to a b i l i n e a r r e l a t i o n s h i p w i t h i n i t i a l s l o p e Es w h e n r = °°.
R e g r e s s i o n A n a l y s i s f o r f ^ a n d r (3 4)
K e n t a n d P a r k ' h a v e r e p o r t e d t h e r e s u l t s o f t e s t s o n e l e v e n s p e c i m e n s o f G r a d e 2 7 5 ( fy = 316 t o 339 M P a ) d e f o r m e d s t e e l r e i n f o r c i n g b a r s . T h e c h e m i c a l c o m p o s i t i o n o f t h e s t e e l c o m p l i e d w i t h N Z S S 1 6 9 3 : 1 9 6 2 (10) . T h e s p e c i m e n s w e r e o f b a r s i z e N o . 4,5,6 and 7 ( 1 2 . 7 , 15.9 , 1 9 . 0 a n d 2 2 . 2 m m d i a m e t e r , r e s p e c t i v e l y ) . I n t h e r e g i o n o f t h e s t r a i n m e a s u r e m e n t t h e s p e c i m e n s h a d b e e n m a c h i n e d to a s m a l l e r d i a m e t e r . T h e l o a d s w e r e a p p l i e d s t a t i c a l l y a n d a x i a l l y , t a k i n g c o n s i d e r a b l e c a r e to e n s u r e t h a t e c c e n t r i c i t y o f l o a d d i d n o t b e c o m e s i g n i f i c a n t d u r i n g t h e l o a d i n g r u n s . A v a r i e t y o f l o a d i n g c y c l e s w a s a p p l i e d to s t u d y a r a n g e o f i n i t i a l s t r a i n s a n d u n l o a d - i n g a n d r e l o a d i n g s e q u e n c e s . T h e m a x i m u m c o m p r e s s i v e s t r a i n s a p p l i e d w e r e m u c h s m a l l e r t h a n t h e m a x i m u m t e n s i l e s t r a i n s a p p l i e d , in o r d e r t h a t t h e s t r a i n h i s t o r i e s w o u l d b e s i m i l a r to t h a t o f f l e x u r a l r e i n - f o r c i n g s t e e l a t a p l a s t i c h i n g e r e g i o n i n a r e i n f o r c e d c o n c r e t e b e a m w i t h c y c l i c
( r e v e r s e d ) f l e x u r e .
T h e s t r e s s - s t r a i n r e s u l t s o f e a c h o f t h e c y c l i c l o a d i n g r u n s o f t h e e l e v e n t e s t s p e c i m e n s w e r e r e a n a l y s e d in t h e p r e s e n t s t u d y b y a r e g r e s s i o n a n a l y s i s i n o r d e r to o b t a i n m o r e a c c u r a t e v a l u e s f o r fch a n d r t h a n h a d b e e n o b t a i n e d p r e v i o u s l y . T o p e r f o r m t h i s a n a l y s i s E q . 8 w a s f i r s t m a d e l i n e a r in r a n d f ch ^ ' u s i n g t h e f i r s t t h r e e t e r m s o f t h e T a y l o r s e r i e s a s
d e s c r i b e d b y D r a p e r a n d S m i t h ( H ) . T h e n a g e n e r a l r e g r e s s i o n a n a l y s i s w a s c o n d u c t e d to d e t e r m i n e fcj1 a n d r f o r e a c h c y c l i c l o a d r u n o f e a c h s p e c i m e n so t h a t t h e s u m o f t h e s q u a r e s o f t h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e
e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d s t r a i n a n d t h e s t r a i n p r e d i c t e d b y E q . 8 a t p a r t i c u l a r s t r e s s l e v e l s w a s m i n i m i z e d ( ^ ' 9 T h e r e s u l t s o f t h i s r e g r e s s i o n a n a l y s i s f o r fc^ a n d r a r e s h o w n in T a b l e 1, w h e r e fch is s h o w n a s a f u n c t i o n o f t h e s t e e l y i e l d s t r e n g t h f y . T h e s t e e l y i e l d s t r e n g t h w a s m e a s u r e d m t h e f i r s t y i e l d e x c u r s i o n .
T h e m e t h o d u s e d b y K e n t a n d P a r k (3,4) t o l i n e a r i s e t h e R a m b e r g - O s g o o d f u n c t i o n f o r
103
r e g r e s s i o n a n a l y s i s w a s to t a k e l o g a r i t h m s o n b o t h s i d e s o f a r e a r r a n g e d E q . 8. H o w e v e r i n t h i s a p p r o a c h , w h e n f cj1 a n d r w e r e
d e t e r m i n e d b y m i n i m i z i n g t h e s u m o f t h e s q u a r e s o f t h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s a n d t h o s e p r e d i c t e d b y Eq. 8, t h e d i f f e r e n c e u s e d w a s i n f a c t t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e l o g a r i t h m s o f t h e e x p e r i m e n t a l a n d p r e d i c t e d d e v i a t i o n f r o m t h e l i n e t h r o u g h p o i n t ( e0, f0) w i t h s l o p e Es. F o r l o w s t r e s s v a l u e s t h e l o g a r i t h m s w i l l b e l a r g e n e g a t i v e n u m b e r s t e n d i n g t o w a r d s i n f i n i t y a s t h e d e v i a t i o n f r o m t h i s l i n e t e n d s t o w a r d s z e r o . • T h e
e f f e c t o f t h i s w a s t o w e i g h t d i s p o r p o r t i o n a t e l y t h e l o w e r s t r e s s v a l u e s , a n d t h u s t o f i t
m a i n l y t h e l o w e r s t r e s s v a l u e s . A s a r e s u l t , t h e p r e v i o u s e x p r e s s i o n s d e r i v e d b y K e n t a n d P a r k ( 3 , 4 ) 3-^3 n o t f i t t h e e x p e r i m e n t a l c u r v e s v e r y w e l l o n c e a s i g n i f i c a n t a m o u n t o f p l a s t i c s t r a i n h a d b e e n i m p o s e d .
E m p i r i c a l E q u a t i o n f o r t h e C h a r a c t e r i s t i c S t r e s s , f ,
By p l o t t i n g t h e v a l u e s o f t h e r a t i o n fch / f y g i v e n in T a b l e 1 a g a i n s t t h e p o s s i b l e d e p e n d e n t v a r i a b l e s i t w a s o b s e r v e d t h a t t h e v a l u e o f fc n/ f y i n e a c h l o a d i n g r u n w a s a p p a r e n t l y d e p e n d e n t o n t h e p l a s t i c s t r a i n i m p o s e d i n t h e p r e v i o u s l o a d i n g r u n ,
£p]_. T h e t r e n d w a s f o r t h e r a t i o f c n/ f y t o d e c r e a s e w i t h i n c r e a s i n g p r i o r p l a s t i c s t r a i n . T h e v a l u e s f o r t h e r a t i o o f fc n/ f y f r o m T a b l e 1 a r e s h o w n p l o t t e d a g a i n s t
£r>i in F i g . 4. B e c a u s e o f t h e w i d e s c a t t e r o r p o i n t s t h e r e s e e m e d l i t t l e p u r p o s e i n s e e k i n g t o o c o m p l i c a t e d a n e m p i r i c a l e q u a t i o n to f i t t h e s e p o i n t s a n d a l i n e a r r e l a t i o n s h i p r e l a t i n g fc h/ fy to £pi w a s f i t t e d , w e i g h t e d a c c o r d i n g to t h e i n v e r s e o f t h e s t r e s s s t a n d a r d d e v i a t i o n f o r t h e p a r t i c u l a r loading- r u n . T h e f o l l o w i n g r e l a t i o n s h i p w a s o b t a i n e d f , = f (0.973 - 9.806 e -) .. (9)
c h y p ly
f o r w i t h i n t h e r a n g e 0 < £p]_ < 0.025 , a n d is s h o w n p l o t t e d in F i g . 4. T h e v a l u e s f o r t h e r a t i o f c h / f y g i v e n b y E q . 9 f o r e a c h o f t h e c y c l i c l o a d i n g r u n s o f t h e e l e v e n t e s t s p e c i m e n s a r e s h o w n i n T a b l e 1.
E m p i r i c a l E q u a t i o n f o r t h e R a m b e r g - O s g o o d P a r a m e t e r , r
U s i n g t h e v a l u e s f o r fc n g i v e n b y E q . 9, a s e c o n d r e g r e s s i o n a n a l y s i s w a s p e r f o r m e d to f i n d t h e b e s t v a l u e o f r f o r t h e s t r e s s - s t r a i n r e s u l t s o f e a c h o f t h e c y c l i c l o a d i n g r u n s o f t h e e l e v e n t e s t s p e c i m e n s . T o p e r f o r m t h i s a n a l y s i s E q . 8 w a s f i r s t m a d e l i n e a r i n r u s i n g t h e T a y l o r
s e r i e s , a s d e s c r i b e d b y D r a p e r a n d S m i t h (I D . T h e n g e n e r a l r e g r e s s i o n a n a l y s i s w a s
c o n d u c t e d t o d e t e r m i n e r f o r e a c h c y c l i c l o a d r u n f o r e a c h s p e c i m e n so t h a t t h e s u m o f t h e s q u a r e s o f t h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d s t r a i n a n d t h e s t r a i n p r e d i c t e d b y E q . 8 a t p a r t i c u l a r s t r e s s l e v e l s w a s m i n i m i s e d (7 >. T h e r e s u l t s o f t h i s s e c o n d r e g r e s s i o n a n a l y s i s f o r r a r e s h o w n i n T a b l e 1.
T h e v a l u e s f o r r so d e t e r m i n e d w e r e t h e n p l o t t e d a g a i n s t v a r i o u s p o s s i b l e d e p e n d - e n t f a c t o r s . It w a s o b s e r v e d t h a t r w a s a p p a r e n t l y d e p e n d e n t o n t h e p l a s t i c s t r a i n i m p o s e d i n t h e p r e v i o u s l o a d i n g r u n, £ p i , a n d t h a t t h e c o r r e l a t i o n o f r w i t h o t h e r
p o s s i b l e v a r i a b l e s w a s p o o r . F i g . 5 s h o w s t h e v a l u e s o f r p l o t t e d a g a i n s t £pi® T h e o b s e r v a t i o n t h a t r s h o w s r e a s o n a b l e
c o r r e l a t i o n w i t h Zpj_ is d i f f e r e n t to t h a t m a d e p r e v i o u s l y b y K e n t a n d P a r k ( 3 , 4 ) f w h o h a d o b s e r v e d t h a t r w a s a p p a r e n t l y d e p e n d e n t o n t h e n u m b e r o f p r e v i o u s p o s t - e l a s t i c l o a d i n g r u n s a n d w h e t h e r t h e l o a d i n g r u n n u m b e r w a s o d d o r e v e n . N e v e r - t h e l e s s t h e r e w a s s i g n i f i c a n t s c a t t e r i n t h e i r p l o t t e d d a t a , a n d i t w a s b a s e d o n l e s s a c c u r a t e fc^ v a l u e s t h a n t h e p r e s e n t d a t a . H e n c e i n t h e p r e s e n t w o r k r w i l l b e a s s u m e d to b e r e l a t e d to £p]_ a l o n e .
A n e m p i r i c a l r e l a t i o n s h i p r e l a t i n g r t o £p]_ w a s f i t t e d u s i n g t h e v a l u e s o f r o b t a i n e d f r o m t h e s e c o n d r e g r e s s i o n a n a l y s i s , w e i g h t e d a c c o r d i n g to t h e i n v e r s e o f t h e s t r e s s s t a n d a r d d e v i a t i o n f o r t h e p a r t i c u l a r l o a d i n g r u n . - T h e f o l l o w i n g r e l a t i o n s h i p w a s o b t a i n e d
19 ~~ 4 5 . 0 7 9,77
r + e x p ( 1 0 0 0 cp l) l o ge ( 1 0 0 0z + 2) . . ( 1 0 ) f o r w i t h i n t h e r a n g e 0 < £p-j_ < 0.025 , a n d i s s h o w n p l o t t e d i n F i g . 5.
A p p l i c a t i o n o f C y c l i c S t r e s s - S t r a i n E q u a t i o n s T h e p r o p o s e d m o d e l f o r t h e c y c l i c s t r e s s - s t r a i n b e h a v i o u r is d e s c r i b e d b y E q s . (1) t o
( 1 0 ) . E q s . (1) t o (5) d e f i n e t h e m o n o t o n i c s t r e s s - s t r a i n c u r v e a n d h e n c e a p p l y t o t h e f i r s t l o a d i n g r u n i n t o t h e p o s t - y i e l d r a n g e . S u b s e q u e n t r e v e r s e d l o a d i n g r u n s a r e d e s c r i b e d b y E q s . (8, ) , (9) a n d (10) , w i t h t h e
s t i p u l a t i o n t h a t t h e s t r e s s l e v e l r e a c h e d s h o u l d n o t e x c e e d t h a t g i v e n b y t h e c u r r e n t s t r e s s e n v e l o p e d e s c r i b e d b y t h e m o n o t o n i c s t r e s s - s t r a i n c u r v e w i t h t h e z e r o s t r e s s o r i g i n g i v e n b y e i t h e r E q . (6) o r ( 7 ) .
In o r d e r to a l l o w f o r s m a l l s t r e s s r e v e r s a l s w h i c h d o n o t s i g n i f i c a n t l y e f f e c t t h e s t r e s s -
s t r a i n h i s t o r y , i t w a s f u r t h e r a s s u m e d t h a t i f t h e p l a s t i c s t r a i n i m p o s e d i n a l o a d i n g r u n i s s m a l l (less t h a n 0 . 0 0 0 5 ) , t h e n o n r e l o a d i n g t h e n e w l o a d i n g c u r v e is o n l y c o n t i n u e d u n t i l t h e p r e v i o u s l o a d i n g c u r v e i n t h a t d i r e c t i o n i s r e a c h e d a n d t h e n t h e p r e v i o u s l o a d i n g c u r v e is f o l l o w e d . T h e c o n s t r a i n t s o n t h e c y c l i c s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n s h i p s a r e i l l u s t r a t e d i n F i g . 6.
C O M P A R I S O N O F E X P E R I M E N T A L R E S U L T S W I T H P R O P O S E D C Y C L I C S T R E S S - S T R A I N M O D E L S
F i g s . 7 t o 10 c o m p a r e t h e s t r e s s - s t r a i n c u r v e s d e r i v e d f r o m t h e m o d e l p r e s e n t e d i n t h i s p a p e r a n d t h e m o d e l o f K e n t a n d P a r k
( 3 , 4 ) w i t h t h e e x p e r i m e n t a l s t r e s s - s t r a i n c u r v e s . T h e c u r v e s d e r i v e d f r o m t h e s t r e s s - s t r a i n m o d e l s w e r e c a l c u l a t e d b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l s t r a i n v a l u e s a t w h i c h s t r e s s r e v e r s a l s t o o k p l a c e .
In F i g s . 7 t o 10 t h e t e n s i l e s t r e s s a n d s t r a i n a r e i n i t i a l l y i n t h e f i r s t q u a d r a n t , a n d t h e c y c l i c ( t e n s i o n - c o m p r e s s i o n ) s t r e s s e s a p p l i e d t o t h e t e s t s p e c i m e n s w e r e s u c h a s t o c a u s e m u c h g r e a t e r t e n s i o n s t r a i n s t h a n c o m p r e s s i v e s t r a i n s . T h i s t e s t l o a d i n g w a s u s e d i n o r d e r t o a p p r o x i m a t e l y s i m u l a t e t h e s t r a i n h i s t o r y i n a l o n g i t u d i n a l r e i n - f o r c i n g b a r i n a p l a s t i c h i n g e r e g i o n o f r e i n f o r c e d c o n c r e t e b e a m s u b j e c t e d t o c y c l i c f l e x u r e . In s u c h a b e a m if c r a c k i n g o f
1 0 4
c o n c r e t e a n d y i e l d i n g o f t e n s i o n s t e e l o c c u r s d u e t o b e n d i n g m o m e n t a p p l i e d in o n e d i r e c t i o n , w h e n t h e d i r e c t o n o f b e n d i n g m o m e n t is
r e v e r s e d t h e s e o p e n c r a c k s w i l l r e m a i n i n w h a t is n o w t h e c o n c r e t e " c o m p r e s s i o n z o n e "
a n d w i l l o n l y c l o s e i f t h e f o r c e i n t h e t e n s i o n s t e e l i s l a r g e e n o u g h to y i e l d t h e s t e e l i n c o m p r e s s i o n . I f t h e c r a c k s in t h e c o m p r e s s i o n z o n e do c l o s e , t h e c o n c r e t e i n t h e c o m p r e s s i o n z o n e w i l l p r e v e n t t h e d e v e l o p - m e n t o f e x t r e m e l y h i g h c o m p r e s s i v e s t r a i n s in t h e s t e e l , a s is e v i d e n t f r o m t h e n e u t r a l a x i s p o s i t i o n i n t h e s e c t i o n , w h e r e a s w h e n t h e s t e e l i s y i e l d i n g i n t e n s i o n , e x t r e m e l y • h i g h t e n s i l e s t r a i n s c a n d e v e l o p , as is e v i d e n t f r o m w i d e c r a c k s i n t h e c o n c r e t e W . H e n c e t h e s t r a i n s i n t h e r e i n f o r c i n g b a r s w i l l o c c u r m a i n l y i n t h e t e n s i o n r a n g e .
T h e c u r v e s o f F i g s . 7 t o 10 i l l u s t r a t e t h e d e g r e e o f a c c u r a c y w i t h w h i c h t h e d e r i v e d s t r e s s - s t r a i n m o d e l s f i t t h e e x p e r i m e n t a l b e h a v i o u r . G e n e r a l l y , t h e s t r e s s - s t r a i n c u r v e s d e r i v e d u s i n g t h e m o d e l p r e s e n t e d in t h i s p a p e r f o l l o w t h e e x p e r i m e n t a l c u r v e s w i t h g o o d a c c u r a c y , a n d t h e a c c u r a c y a c h i e v e d is s i g n i f i c a n t l y b e t t e r t h a n t h a t f r o m t h e c u r v e s d e r i v e d u s i n g t h e m o d e l o f K e n t a n d P a r k w h i c h t e n d s t o o v e r e s t i m a t e t h e s t r e s s a t h i g h s t r a i n s a n d to u n d e r - e s t i m a t e t h e s t r e s s a t l o w s t r a i n s .
It s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e u s e o f a n a c c u r a t e s t r e s s - s t r a i n m o d e l f o r s t e e l i s i m p o r t a n t b e c a u s e i f t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e p r e d i c t e d a n d e x p e r i m e n t a l s t r e s s e s i m m e d i a t e l y p r i o r to s t r e s s r e v e r s a l is l a r g e , t h e p r e d i c t e d c u r v e b e c o m e s o u t o f p h a s e w i t h t h e e x p e r i m e n t a l c u r v e a n d s i g n i f i c a n t e r r o r s c a n a r i s e .
It s h o u l d a l s o b e e m p h a s i z e d t h a t t h e e m p i r i c a l e q u a t i o n s f o r t h e p r o p o s e d c y c l i c s t r e s s - s t r a i n m o d e l h a v e b e e n d e r i v e d f r o m e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o b t a i n e d f r o m s t e e l r e i n f o r c i n g b a r s w i t h s t r a i n s i m p o s e d m a i n l y i n t h e t e n s i o n r e g i o n , f o r m a x i m u m i m p o s e d s t r a i n s l e s s t h a n "that a t the c o m m e n c e m e n t o f s t r a i n h a r d e n i n g , f o r s t e e l s w i t h a y i e l d s t r e n g t h in t h e r a n g e 316 t o 339 M P a (46 to 4 9 k s i ) , a n d f o r s l o w ( s t a t i c ) s t r a i n r a t e s . F u r t h e r t e s t s a r e r e q u i r e d , p a r t i c u l a r l y to i n v e s t i g a t e t h e e f f e c t o f h i g h r a t e s o f l o a d i n g s u c h a s in a s t r u c t u r e s u b j e c t e d t o s e i s m i c g r o u n d m o t i o n s , a n d to i n v e s t i g a t e t h e p o s s i b l e c h a n g e i n s t e e l m e c h a n i c a l p r o p e r t i e s d u e t o s t r a i n a g e i n g a f t e r c y c l i c l o a d i n g i n t h e i n e l a s t i c r a n g e .
A P P L I C A T I O N O F T H E C Y C L I C S T R E S S - S T R A I N M O D E L T h e p r o p o s e d m o d e l f o r t h e s t r e s s - s t r a i n b e h a v i o u r o f c y c l i c a l l y l o a d e d r e i n f o r c i n g s t e e l i n t h e i n e l a s t i c r a n g e e m p h a s i z e s t h a t a f t e r t h e f i r s t y i e l d e x c u r s i o n t h e y i e l d s t r e s s o f s t e e l a s u s u a l l y d e f i n e d l o s e s i t s s i g n i f i c a n c e s i n c e t h e s t r e s s - s t r a i n c u r v e b e c o m e s n o n l i n e a r o v e r m u c h o f t h e l o a d i n g r a n g e . T h e p r o p o s e d s t r e s s - s t r a i n m o d e l h a s t h r e e m a i n a p p l i c a t i o n s . T h e f i r s t a p p l i c a t i o n is t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e t h e o r e t i c a l m o m e n t - c u r v a t u r e c h a r a c t e r i s t i c s o f r e i n f o r c e d c o n c r e t e m e m b e r s s u b j e c t e d t o c y c l i c f l e x u r e ( 1 , 1 2 ) . i t h a s b e e n f o u n d p r e v i o u s l y (D t h a t f o r l a r g e p o r t i o n s o f t h e m o m e n t - c u r v a t u r e l o o p a f t e r t h e f i r s t y i e l d e x c u r s i o n t h e s h a p e o f t h e m o m e n t - c u r v a t u r e l o o p is v e r y d e p e n d e n t o n t h e s h a p e o f t h e s t r e s s - s t r a i n c u r v e f o r t h e s t e e l . A s e c o n d a p p l i c a t i o n is t h e d e t e r m -
i n a t i o n o f t h e b u c k l i n g l o a d s o f r e i n f o r c i n g b a r s i n r e i n f o r c e d c o n c r e t e m e m b e r s w i t h c y c l i c f l e x u r e . It is e v i d e n t t h a t a f t e r t h e f i r s t y i e l d e x c u r s i o n o f t h e l o n g i t u d i n a l s t e e l t h e t a n g e n t m o d u l u s o f t h e s t e e l a t s t r e s s e s l e s s t h a n t h e i n i t i a l y i e l d
s t r e n g t h c a n b e c o n s i d e r a b l y l o w e r t h a n t h e m o d u l u s o f e l a s t i c i t y o f t h e s t e e l a n d t h a t t h i s c o u l d l e a d t o b u c k l i n g o f b a r s a t l o w e r l e v e l s o f c o m p r e s s i v e s t r e s s t h a n e x p e c t e d f r o m m o n o t o n i c l o a d i n g t e s t s . A t h i r d a p p l i c a t i o n is t h e c a l c u l a t i o n o f t h e s t r e s s e s i n r e i n f o r c i n g b a r s f r o m t h e s t r a i n h i s t o r i e s m e a s u r e d d u r i n g c y c l i c l o a d i n g .
C O N C L U S I O N S
E q u a t i o n s d e f i n i n g t h e s t r e s s - s t r a i n c h a r a c t e r i s t i c s o f G r a d e 2 7 5 s t e e l r e i n - f o r c i n g b a r s u n d e r c y c l i c ( r e v e r s e d ) l o a d i n g a f t e r t h e f i r s t y i e l d e x c u r s i o n h a v e b e e n p r e s e n t e d u s i n g t h e R a m b e r g - O s g o o d f u n c t i o n w i t h e m p i r i c a l c o n s t a n t s w h i c h d e p e n d o n t h e p l a s t i c s t r a i n i n t h e p r e v i o u s l o a d i n g r u n . T h e s t r e s s - s t r a i n c u r v e f o r m o n o t o n i c l o a d i n g , w i t h s u i t a b l y a d j u s t e d o r i g i n o f c o - o r d i n a t e s , i s u s e d to d e s c r i b e t h e e n v e l o p e w h i c h t h e s t e e l s t r e s s e s c a n n o t e x c e e d . T h e s t r e s s - s t r a i n m o d e l is s h o w n to b e c a p a b l e o f d e s c r i b i n g c y c l i c s t r e s s - s t r a i n c u r v e s w i t h g o o d a c c u r a c y .
A C K N O W L E D G E M E N T S
T h e f i n a n c i a l a s s i s t a n c e o f t h e N e w Z e a l a n d U n i v e r s i t y G r a n t s C o m m i t t e e , M i n i s t r y o f W o r k s a n d D e v e l o p m e n t , B u i l d i n g R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , P r e s t r e s s e d C o n c r e t e I n s t i t u t e , a n d t h e U n i v e r s i t y o f C a n t e r b u r y i s g r a t e - f u l l y a c k n o w l e d g e d .
R E F E R E N C E S
1. P a r k , R., K e n t , D. C. a n d S a m p s o n , R. A . , " R e i n f o r c e d C o n c r e t e M e m b e r s w i t h C y c l i c L o a d i n g " , J o u r n a l o f
S t r u c t u r a l D i v i s i o n , A m e r i c a n S o c i e t y o f C i v i l E n g i n e e r s , V o l . 9 8 , N o . S T 7 , J u l y 1 9 7 2 , p p . 1 3 4 1 - 1 3 6 0 .
2 . S i n g h , A . , G e r s t l e , K. H . a n d T u l i n , L. G., " T h e B e h a v i o u r o f R e i n f o r c i n g S t e e l U n d e r R e v e r s e d L o a d i n g " , J o u r n a l o f A m e r i c a n S o c i e t y o f T e s t i n g M a t e r i a l s , M a t e r i a l s R e s e a r c h a n d S t a n d a r d s ,
V o l . 5, N o . 1, J a n u a r y 1 9 6 5 , p p . 1 2 - 1 7 . 3. K e n t , D. C. , 11 I n e l a s t i c B e h a v i o u r o f
R e i n f o r c e d C o n c r e t e M e m b e r s w i t h C y c l i c L o a d i n g " , t h e s i s p r e s e n t e d t o t h e U n i v e r s i t y o f C a n t e r b u r y , C h r i s t - c h u r c h , N e w Z e a l a n d , in p a r t i a l f u l f i l - m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D o c t o r o f P h i l o s o p h y , 1 9 6 9 .
4. K e n t , D. C. a n d P a r k , R., " C y c l i c L o a d B e h a v i o u r o f R e i n f o r c i n g S t e e l " , S t r a i n , V o l . 9, N o . 3, J u l y 1 9 7 3 , p p . 9 8 - 1 0 3 .
5. A k t a n , A . E . , K a r l s s o n , B . J. a n d S o z e n , M. A . , " S t r e s s - S t r a i n R e l a t i o n - s h i p s o f R e i n f o r c i n g B a r s S u b j e c t e d t o L a r g e S t r a i n R e v e r s a l s " , C i v i l
E n g i n e e r i n g S t u d i e s , S t r u c t u r a l R e s e a r c h S e r i e s N o . 39 7 , U n i v e r s i t y o f I l l i n o i s , J u n e 1 9 7 3 .
6. M a , S - Y . M . , B e r t e r o , V . V . a n d P o p o v , E . P . , " E x p e r i m e n t a l a n d A n a l y t i c a l S t u d i e s o f t h e H y s t e r e t i c B e h a v i o u r o f R e i n f o r c e d C o n c r e t e R e c t a n g u l a r a n d T - B e a m s " , E a r t h q u a k e E n g i n e e r i n g
1 0 5
R e s e a r c h C e n t e r , R e p o r t N o . E E R C 7 6 - 2 , U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a , B e r k e l e y , 1 9 7 6 . 7. T h o m p s o n , K. J., " D u c t i l i t y o f C o n c r e t e
F r a m e s u n d e r S e i s m i c L o a d i n g " , t h e s i s p r e s e n t e d to t h e U n i v e r s i t y o f C a n t e r b u r y , C h r i s t c h u r c h , N e w Z e a l a n d i n p a r t i a l f u l f i l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D o c t o r o f P h i l o s o p h y , 19 7 5 . 8. B u r n s , N. H. a n d S i e s s , C. P., " L o a d - D e f o r m a t i o n C h a r a c t e r i s t i c s o f B e a m - C o l u m n C o n n e c t i o n s i n R e i n f o r c e d C o n c r e t e1 1, C i v i l E n g i n e e r i n g S t u d i e s , S t r u c t u r a l R e s e a r c h S e r i e s N o . 2 3 4 , U n i v e r s i t y o f I l l i n o i s , J a n u a r y 19 6 2 . 9. L e s l i e , P. D., " D u c t i l i t y o f R e i n f o r c e d
C o n c r e t e B r i d g e P i e r s " , r e p o r t p r e s e n t e d to t h e U n i v e r s i t y o f C a n t e r b u r y ,
C h r i s t c h u r c h , i n p a r t i a l f u l f i l m e n t of t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f M a s t e r o f E n g i n e e r i n g , 1 9 7 4 .
1 0 . N Z S S 1 6 9 3 : 1 9 6 2 " D e f o r m e d S t e e l B a r s of S t r u c t u r a l G r a d e f o r R e i n f o r c e d C o n c r e t e " , N e w Z e a l a n d S t a n d a r d s I n s t i t u t e , W e l l i n g t o n .
1 1 . D r a p e r , N . R. a n d S m i t h , N . , " A p p l i e d R e g r e s s i o n A n a l y s i s " , J o h n W i l e y a n d S o n s I n c . , N e w Y o r k , 1 9 6 6 , 4 0 7 p p . 1 2 . P a r k , R. , " C o n s t i t u t i v e R e l a t i o n s o f
S t e e l : E f f e c t s o n H y s t e r e t i c B e h a v i o u r of S t r u c t u r a l C o n c r e t e M e m b e r s a n d o n S t r e n g t h C o n s i d e r a t i o n s i n S e i s m i c D e s i g n " , P r o c e e d i n g s o f W o r k s h o p o n E a r t h q u a k e R e s i s t a n t R e i n f o r c e d C o n c r e t e B u i l d i n g C o n s t r u c t i o n , U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a , B e r k e l e y , J u l y 1 9 7 7 .
P a p e r r e c e i v e d 17 A p r i l , 1 9 7 8 . N O T A T I O N
T h e f o l l o w i n g s y m b o l s a r e u s e d in t h i s p a p e r :
m o d u l u s o f e l a s t i c i t y o f s t e e l o b t a i n e d f r o m t h e m o n o t o n i c l o a d i n g c u r v e
c h a r a c t e r i s t i c s t r e s s u s e d i n R a m b e r g - O s g o o d f u n c t i o n
s t e e l s t r e s s a t b e g i n n i n g o f a l o a d i n g c u r v e
s t e e l s t r e s s
y i e l d s t r e n g t h o f s t e e l o b t a i n e d f r o m t h e m o n o t o n i c l o a d i n g c u r v e R a m b e r g - O s g o o d p a r a m e t e r
s t e e l s t r a i n a t b e g i n n i n g o f a l o a d i n g r u n
p l a s t i c s t r a i n i n s t e e l p r o d u c e d i n p r e v i o u s l o a d i n g r u n
s t e e l s t r a i n
s t e e l s t r a i n a t c o m m e n c e m e n t o f s t r a i n h a r d e n i n g o b t a i n e d f r o m t h e m o n o t o n i c l o a d i n g c u r v e
u l t i m a t e s t e e l s t r a i n o b t a i n e d f r o m t h e m o n o t o n i c l o a d i n g c u r v e
s t e e l s t r a i n at t h e y i e l d s t r e n g t h o b t a i n e d f r o m t h e m o n o t o n i c l o a d i n g c u r v e
s t r a i n o r i g i n f o r s t e e l s t r e s s - s t r a i n e n v e l o p e f o r c o m p r e s s i v e l o a d i n g s t r a i n o r i g i n f o r s t e e l s t r e s s - s t r a i n e n v e l o p e f o r t e n s i l e l o a d i n g
106
TABLE 1: RESULTS OF A N A L Y S I S FOR f
ch and r
S p e c i m e n L o a d i n g R u n N u m b e r
F r o m F i r s t R e g r e s s i o n A n a l y s i s
f _ / f
c h y r
g i v e n b y S e c o n d R e g r e s s i o n A n a l y s i s a n d E q . 9
( 3 , 4 )
L o a d i n g R u n
N u m b e r ch' y r g i v e n b y
E q . 9
r
g i v e n b y S e c o n d R e g r e s s i o n A n a l y s i s a n d E q . 9
6 1 1 . 0 4 0 1 1 . 4 0 3 0 . 9 0 2 6 . 3 6 0
8 1 0 , 9 7 7 1 5 . 5 8 4 0 . 9 4 0 1 1 . 9 4 4
2 1 . 0 1 3 4 8 . 1 8 5 0 . 9 2 8 2 1 . 0 6 6
3 0 . 7 3 3 9 . 9 6 6 0 . 7 7 0 1 1 . 8 4 2
9 1 1 . 3 7 7 6 . 3 6 8 0 . 9 5 6 1 7 . 3 3 0
2 1 . 0 7 6 5 0 . 7 0 8 0 . 9 6 6 1 5 . 0 2 3
3 0 . 8 8 3 1 0 . 1 4 0 0 . 8 6 0 9 . 0 1 8
1 1 1 0 . 8 5 6 1 0 . 9 8 8 0 . 9 3 8 9 . 3 3 0
12 1 0 . 8 3 1 1 0 . 6 0 1 0 . 8 7 9 9 . 0 1 2
2 0 . 9 9 3 5 3 . 2 0 1 0 . 9 6 0 3 1 . 4 5 0
1 7 1 1 . 1 1 8 6 . 3 0 1 0 . 9 1 9 8 . 4 3 4
2 1 . 0 0 7 5 3 . 3 8 1 0 . 9 6 7 1 4 . 2 6 3
3 0 . 9 4 6 8 . 8 9 5 0 . 9 5 1 8 . 8 1 5
4 . 1 , 0 0 7 4 1 . 2 6 2 0 . 9 6 8 1 4 . 1 9 7
5 0 . 8 9 6 8 . 4 3 0 0 . 9 5 0 7 . 6 2 2
6 1 . 0 0 3 2 4 . 0 3 2 0 . 9 6 6 1 3 . 2 8 0
7 0 . 9 2 3 6 . 8 1 4 0 . 9 4 6 6 . 5 6 3
8 0 . 8 2 3 3 7 . 7 4 0 0 . 9 6 4 2 9 . 6 7 1
2 0 1 0 . 8 1 0 1 2 . 1 4 7 0 . 9 1 7 9 . 3 8 4
2 0 . 9 8 6 4 5 . 6 9 3 0 . 9 6 7 5 4 . 9 9 1
3 0 . 8 2 8 1 0 . 4 8 8 0 . 9 5 7 8 . 0 1 4
4 1 . 0 1 6 2 1 . 8 0 7 0 . 9 6 7 3 0 . 9 0 7
5 0 . 8 1 7 1 0 . 9 3 5 0 . 9 5 9 8 . 0 5 1
6 1 . 0 1 0 2 0 . 8 4 2 0 . 9 6 7 2 9 . 4 6 0
7 0 . 7 9 1 1 0 . 7 8 6 0 . 9 5 7 7 . 4 8 9
8 1 . 0 3 1 1 4 . 9 1 8 0 . 9 6 6 2 4 . 6 2 5
9 0 . 8 2 4 9 . 7 4 3 0 . 9 5 8 6 . 0 0 0
2 1 1 1 . 6 5 7 6 . 5 6 2 0 . 9 6 1 1 9 . 4 5 4
2 1 . 0 4 9 6 0 . 0 0 0 0 . 9 7 0 9 . 0 2 7
3 2 . 1 2 5 6 . 0 0 0 0 . 9 6 5 1 5 . 9 7 6
4 1 . 0 7 3 3 9 . 5 2 7 0 . 9 6 9 9 . 9 8 8
5 1 . 4 0 8 7 . 9 6 0 0 . 9 6 4 1 8 . 7 9 7
6 1 . 0 5 8 6 0 . 0 0 0 0 . 9 6 9 8 . 2 6 7
7 1 . 0 6 9 1 3 . 8 6 5 0 . 9 6 6 1 9 . 5 5 0
8 1 . 0 6 6 5 9 . 4 2 9 0 . 9 6 9 1 9 . 3 4 1
2 5 1 0 . 9 1 5 1 0 . 0 3 5 0 . 9 2 9 1 0 . 5 8 5
2 0 . 9 9 6 3 5 . 5 0 5 0 . 9 2 3 2 0 . 0 8 3
3 0 . 7 3 7 9 . 7 0 5 0 . 7 5 8 1 0 . 2 5 3
2 9 1 1 . 3 8 8 6 . 0 0 2 0 . 9 5 4 1 3 . 3 7 5
2 1 . 0 4 6 6 0 . 0 0 0 0 , 9 6 7 7 . 4 4 5
3 1 . 0 9 3 6 . 6 2 4 0 . 9 4 7 9 . 2 8 2
4 1 . 0 4 3 3 6 . 9 6 8 0 . 9 6 2 7 . 4 1 0
5 0 . 9 5 1 8 . 3 9 0 0 . 9 4 1 8 . 6 5 0
6 1 . 0 5 5 2 3 . 5 9 0 0 . 9 5 9 6 . 8 3 2
7 0 / 9 1 3 7 . 4 0 5 0 . 9 4 4 6 . 7 7 3
8 1 . 0 3 1 4 2 . 8 7 0 0 . 9 5 5 1 1 . 5 6 5
3 0 1 1 . 4 3 6 6 . 9 1 6 0 . 9 6 4 1 9 . 5 4 3
2 1 . 4 6 3 7 . 3 2 4 0 . 9 6 3 6 0 . 0 0 0
3 1 . 4 7 5 7 . 7 8 0 0 . 9 6 7 1 6 . 1 6 8
1 4
1 1 . 0 7 5
1
6 0 . 0 0 0 1
0 . 9 6 6 1 0 . 8 8 7
N o t e : L o a d i n g r u n s w e r e n u m b e r e d 0 , 1 , 2 , 3 , . . . . , w h e r e f i r s t y i e l d o c c u r s a t r u n n u m b e r 0, t h e f i r s t p o s t - e l a s t i c s t r e s s r e v e r s a l is r u n n u m b e r 1 , t h e s e c o n d p o s t - e l a s t i c s t r e s s r e v e r s a l i s r u n n u m b e r 2 , e t c .
107
Stress, fs
Strain, Es
FIGURE 1: MONOTONIC STRESS-STRAIN RELATIONSHIP FOR STEEL
Tension Stress Js
Current stress strain envelope for tensile loading
9 7 for compressive loading
Tension
TanO
(Z0<fo}
for tensile loading ^
Strain, Zs
r*—-Current stress- I strain envelope
for compressive loading.
FIGURE 2: STRESS-STRAIN ENVELOPE FOR CYCLIC LOADING
108
Experiment
- Kent and Park's analysis Author's analysis
0-016 0018 0020 Strain
0 022
W' -50 L _ J T - -
FIGURE 7: COMPARISON OF PREDICTED A N D EXPERI- M E N T A L STRESS-STRAIN CURVES FOR STEEL SPECIMEN 8 ( 1 k i p / i n
2- 6.89 MPa)
FIGURE 9: COMPARISON OF PREDICTED A N D E X P E R I M E N T A L STRESS- S T R A I N CURVES FOR STEEL SPECIMEN 9 (1 k i p / i n
2= 6.89 MPa).
c 1.0
\ 10
~* Q. 30
10 10
<u 20
-0002
FIGURE 8: COMPARISON OF PREDICTED A N D EXPERI- M E N T A L STRESS-STRAIN CURVES FOR STEEL SPECIMEN 9 (1 k i p / i n
2= 6.89 MPa)
FIGURE 10: COMPARISON OF PREDICTED A N D E X P E R I M E N T A L STRESS- S T R A I N CURVES FOR STEEL SPECIMEN 25 (1 k i p / i n
2= 6.89 MPa). o
CD
