APLIKASI MODEL BINOMIAL DALAM
FORWARD CONTRACT
DAN
FORWARD EXCHANGE RATE CONTRACT
HARYANTO
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
ABSTRAK
HARYANTO. Aplikasi Model Binomial dalam Forward Contract dan Exchange Rate Forward Contract. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan RETNO BUDIARTI.
Dalam berinvestasi, investor pasti berharap memperoleh return yang maksimum namun investor harus menanggung risiko tertentu yang membuat investor berhati-hati dalam menanamkan uangnya. Oleh sebab itu, berkembanglah produk-produk yang digunakan untuk memperkecil risiko yang sering disebut produk derivatif. Terdapat berbagai macam bentuk produk derivatif diantaranya adalah forward contract dan forward exchange rate contract. Forward contract adalah perjanjian di mana investor diwajibkan untuk menjual atau membeli sebuah aset pada waktu yang telah ditentukan di waktu yang akan datang dengan harga yang telah disepakati. Forward exchange rate contract adalah perjanjian di mana investor mempunyai kewajiban untuk membeli atau menjual uang dengan exchange rates yang telah ditentukan pada waktu yang telah disepakati, tidak memperhatikan besarnya exchange rate pada waktu waktu yang telah disepakati.
Dalam karya ilmiah ini dikaji cara menentukan harga dari produk derivatif pada waktu dan keadaan diskret menggunakan struktur model binomial. Model binomial adalah model sederhana yang memodelkan pergerakan harga aset dengan mengasumsikan bahwa terdapat dua kemungkinan pergerakan harga aset di masa mendatang yaitu harga akan naik atau turun. Model binomial yang mendasari ini adalah one-step binomial model di mana harga yang diketahui hari ini dapat menjadi dua kemungkinan nilai di masa depan. Struktur dalam one-step binomial model dapat diperluas menjadi multi-step binomial model. Dalam karya ilmiah ini model one-step binomial dan multi-step binomial digunakan untuk menentukan harga forward contract, dan forward exchange rate contract, kemudian diaplikasikan pada studi kasus transaksi luar negeri PT Bina Pertiwi periode Januari-September 2012. Hasil terbaik yang diperoleh dalam studi kasus PT Bina pertiwi adalah ketika menggunakan forward exchange rate contract dengan mengurangi kerugian sebesar Rp280.783.944,55.
ABSTRACT
HARYANTO. Aplication of Binomial Model in Forward Contract and Forward Exchange Rate Contract. Supervised by BERLIAN SETIAWATY and RETNO BUDIARTI.
Investors have purposed to obtain a maximum return, but they must be carefull to put the money because they would take a risk. Therefore, products are introduced to reduce the risk. They are called derivative products. There are many kinds of derivative products, such as forward contract and forward exchange rate contract. A forward contract is an agreement or a contract to buy or sell assets with delivery at a specified time and price. A forward exchange rate contract is an agreement or a contract to buy or sell a specified amount of money with a specified exchange rate at a specified time, no matter what the actual exchange rate is at specified time.
In this paper, the price of derivative products at a discrete time will be determined using binomial model. A binomial model is a model that describes asset price movements by assuming two possibilities of asset price movements in the future that is, up or down. An underlying of binomial model is one-step binomial model, which is the known prices today can be two possible value in the future. One-step binomial model can be expanded to become multi-step binomial model. In this paper, one-step binomial and multi-step binomial model are used to determining the price of forward contract, and forward exchange rate contract. This model can be applied to the case study of overseas transaction at PT Bina pertiwi on the periode of Januari-September 2012. The best result that is obtained in the case of overseas transaction at PT Bina Pertiwi is the model using forward exchange rate contract. Model using forward exchange rate contract is able to decrease compensation as big as Rp280.783.944,55.
APLIKASI MODEL BINOMIAL DALAM
FORWARD CONTRACT
DAN
FORWARD EXCHANGE RATE CONTRACT
HARYANTO
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul
: Aplikasi Model Binomial dalam
Forward Contract
dan
Forward
Exchange RateContract
Nama
: Haryanto
NIM
: G54080033
Menyetujui,
Pembimbing I
Pembimbing II
Dr. Dra. Berlian Setiawaty, M.S.
Ir. Retno Budiarti, M.S.
NIP. 19650505 198903 2 004
NIP. 19610729 198903 2 001
Mengetahui,
Ketua Departemen Matematika
Dr. Dra. Berlian Setiawaty, M.S.
NIP. 19650505 198903 2 004
PRAKATA
Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala nikmat, karunia, izin, dan pertolongan-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini dengan baik. Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari peranan dari berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Keluargaku tercinta: Ayah dan Ibu (terima kasih atas doa, dukungan, kesabaran, kepercayaan, kasih sayang, motivasi dan segalanya), Nenek (atas doa dan dukungan yang terus menerus), Kakakku (terima kasih atas doa, dukungan dan kasih sayang), serta keluarga besar baik dari Ayah maupun Ibu (terima kasih atas doa, kasih sayang, dan motivasinya),
2. Dr. Dra. Berlian Setiawaty, M.S. selaku dosen pembimbing I atas segala kesabaran, ilmu dan masukannya selama membimbing penulis,
3. Ir. Retno Budiarti, M.S. selaku dosen pembimbing II atas segala kesabaran, ilmu dan masukannya selama membimbing penulis,
4. Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. selaku dosen penguji dan seluruh dosen Departemen Matematika FMIPA IPB,
5. Staf Departemen Matematika: Pak Yono, Mas Heri, Mas Deni, Bu Ade, Bu Susi, Alm. Pak Bono, Pak Acep, dan lainnya (terima kasih atas bantuan dan motivasinya),
6. Teman-teman satu bimbingan: Putri Utari, Novri Hendri dan M. Izzudin yang selalu saling mengingatkan dan memberi motivasi dalam penyusunan skripsi ini.
7. Isna Aldilla, atas doa, kasih sayang, motivasi, dan bantuannya.
8. Teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 45: Vivi, Rischa, Wulan, Ana, Fenny, Aci, Gita, Bolo, Mega, Dina, Nurul, Yunda, Fitryah, Anggun, Finata, Dewi, Mya, Rini, Dono, Prama, Chastro, Fuka, Ade, Tiwi, Pipin, Fikri, Irwan, Ari, Herlan, Arbi, Dimas, Beni, Ito, Ryan, Risman, Wahidi, Ridwan, Nurhadi, Rianiko, Agustina, Haya, Nova, Dini, Heru, Aisyah, Bram, Anisa, Kunedi, Khafidz, Irma dan semua atas doa, dukungan
semangatnya serta kebersamaannya selama 3,5 tahun di Math’45,
9. Kakak-kakak Matematika angkatan 44: Kak Ruhiyat, Kak Ririh, Kak Yuyun, Kak Nurul, Kak Imam, Kak Ali, Kak Rofi, Kak Mutia, Kak Ima, Kak Della, Kak Tyas, Kak Fitri, Kak Denda, Kak Wenti, Kak Deva, Kak Ayum, Kak Istiti, Kak Cepy, dkk, yang telah memberi bantuan serta dukungannya,
10. Adik-adik Matematika angkatan 46, 47, dan 48: Syukrio, Nurul, Evy, Qowi, Hendra, Rudi, Dian, Dio, Bari, Ihsan, Tita, Fenny, Uwie, Irma, Rahmi, Melisa, Windi, Putri, Yoyok, Andri, Reni, Dayat, dkk, yang telah memberi dukungan, doa, dan dukungannya, 11. Teman-teman lainnya yang telah mendukung selama ini, baik moral maupun material.
Penulis menyadari bahwa dalam karya ilmiah ini masih terdapat kekurangan, oleh karena itu penulis mengharapkan saran dan kritik dari semua pihak. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukan.
Bogor, Maret 2013
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Bogor pada tanggal 22 Oktober 1991 sebagai anak kedua dari dua bersaudara, anak dari pasangan Bapak Parno Siswanto dan Ibu Kokom. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) pada tahun 2002 di SDN Bantarjati V Bogor, dilanjutkan pendidikan menengah pertama (SMP) diselesaikan pada tahun 2005 di SMPN 3 Bogor dan pendidikan lanjutan menengah atas (SMA) diselesaikan pada tahun 2008 di SMAN 7 Bogor. Penulis diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor pada tahun 2008 melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI), Tingkat Persiapan Bersama. Pada tahun 2009, penulis memilih mayor Matematika pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ……… ix
DAFTAR LAMPIRAN .……… ix
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ……… 1
1.2 Tujuan………. 1
1.3 Sistematika Penulisan ……… 1
II LANDASAN TEORI 2.1 Pengantar Teori Peluang………... 2
2.2 Matematika Keuangan ………... 3
2.3 Jenis–jenis Contract ……….. 4
III MODEL BINOMIAL UNTUK CONTINGENT CLAIM 3.1 Model Binomial satu langkah……….. 5
3.2 Model Cox-Ross-Rubinstein (CRR).………... 7
3.3 Model Binomial Multiperiode………..……… 8
3.3.1 Binomial tree dua langkah ………. 8
3.3.2 Binomial tree tiga langkah ……….. 9
3.3.3 Model Binomial n-langkah ……… 9
IV APLIKASI MODEL BINOMIAL DALAM CONTRACT 4.1 Forward Contract ……… 11
4.2 Exhange Rate ………... 19
4.3 Forward Exchange Rate Contract ……… 20
V APLIKASI MODEL BINOMIAL PADA FORWARD CONTRACT & FORWARD EXCHANGE RATE CONTRACT STUDI KASUS : PT BINA PERTIWI 5.1 PT Bina Pertiwi ………... 24
5.2 Data ……….. 24
5.3 Perhitungan transaksi luar negeri ………... 26
5.4 Aplikasi Forward Contract ………. 28
5.5 Aplikasi Forward Exchange Rate Contract ……… 30
VI SIMPULAN DAN SARAN 6.1 Simpulan ………. 32
6.2 Saran ……… 2 32
DAFTAR PUSTAKA ………...… 33
LAMPIRAN……….….. 34
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Binomial tree satu langkah ...………...………... 7
2 Binomial tree satu langkah dalam model CRR ……….. 7
3 Binomial tree dua langkah ...……….. 8
4 Binomial tree dua langkah dalam model CRR ……….. 8
5 Binomial tree tiga langkah ...………...………... 9
6 Binomial tree tiga langkah dalam model CRR ……….. 9
7 Binomial tree n langkah ………. 9
8 Distribusi nilai dari 10 ………..………. 10
9 Imbal hasil long forward contract …...………..……….. 11
10 Imbal hasil short forward contract ….……….... 11
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman 1 Pembuktian persamaan (3.13) dan persamaan (3.14) ……… 282 Pembuktian persamaan (3.15), (3.16), dan (3.17)……….……….. 30
3 Pembuktian persamaan (3.2) ...………....……… 32
4 Pembuktian persamaan (3.22) ………. 33
5 Pembuktian persamaan (3.26) ………. 34
6 Pembuktian persamaan (3.27) ………. 35
7 Pembuktian persamaan (3.28) ………. 36
8 Pembuktian persamaan (3.29) ………. 37
9 Pembuktian persamaan (4.2) ………... 39
10 Pembuktian persamaan (4.4) ………... 43
11 Perhitungan forward contract two-step ………..……… 44
Perhitungan forward contract three-step ………...………. 45
Perhitungan forward contract four-step ………. 46
Perhitungan forward contract five-step ……….. 47
12 Perhitungan forward exchange rate contract two-step ……….. 48
Perhitungan forward exchange rate contract three-step ……… 49
Perhitungan forward exchange rate contract four-step ……….. 50
Perhitungan forward exchange rate contract five-step ………... 51
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Investasi di sektor keuangan semakin berkembang saat ini. Investor tidak hanya berinvestasi pada aset riil seperti logam mulia, atau minyak, tetapi investor saat ini sudah mulai tertarik berinvestasi pada aset keuangan seperti saham, obligasi, dan mata uang. Saham dan obligasi saat ini sudah menjadi populer sebagai salah satu alternatif investasi bagi para investor.
Dalam berinvestasi, investor pasti berharap memperoleh return dengan biaya awal yang minimum. Namun, untuk memperoleh return, investor harus berani menanggung risiko tertentu yang membuat investor harus berhati-hati dalam menanamkan uangnya. Oleh sebab itu, berkembanglah produk-produk yang digunakan untuk memperkecil risiko yang sering disebut produk derivatif. Terdapat berbagai macam bentuk produk derivatif diantaranya adalah forward contract, future contract, dan option.
Terdapat banyak model yang dapat digunakan untuk menentukan harga dari produk derivatif. Dalam karya ilmiah ini akan dikaji cara menentukan harga dari produk derivatif pada waktu dan keadaan diskret menggunakan struktur model binomial menurut Van der Hoek & Elliott dalam buku yang berjudul Binomial Models in Finance tahun 2006.
Model binomial adalah model sederhana yang memodelkan pergerakan harga aset dengan mengasumsikan bahwa terdapat dua kemungkinan pergerakan harga aset di masa mendatang yaitu harga akan naik atau harga akan turun. Model binomial yang mendasari ini adalah one-step binomial model (model binomial satu langkah) di mana harga yang diketahui hari ini dapat menjadi dua kemungkinan nilai di masa depan yaitu besok, atau minggu yang akan datang atau tahun yang akan datang.
Dengan menggunakan one-step binomial model dapat ditentukan harga rasional suatu aset hari ini. Struktur dalam one-step binomial model dapat diperluas menjadi multi-step binomial model.
Dalam karya ilmiah ini model one-step binomial dan multi-step binomial akan digunakan untuk menentukan harga forward contract, dan forward exchange rate contract.
Hasil penentuan harga forward contract dan forward exchange rate contract diaplikasikan pada suatu studi kasus yaitu pada data transaksi luar negeri yang dilakukan oleh PT Bina Pertiwi periode Januari-September 2012.
1.2 Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah: 1. Mengkaji model binomial dalam
menentukan harga dari produk derivatif pada waktu dan keadaan diskret.
2. Mengkaji rumus untuk menentukan harga dari forward contract, dan forward exchange rate contract menggunakan one-step binomial dan multi-step binomial model.
3. Mengaplikasikan rumus yang diperoleh pada data transaksi luar negeri yang dilakukan oleh PT Bina Pertiwi.
1.3 Sistematika Penulisan
II LANDASAN TEORI
2.1 Pengantar Teori Peluang Definisi 1 (Percobaan acak)
Dalam suatu percobaan sering kali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul akan diketahui tetapi hasil pada percobaan selanjutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini disebut percobaan acak.
[Grimmett & Stirzaker 1992]
Definisi 2 (Ruang contoh)
Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak dan
dinotasikan dengan Ω.
[Grimmett & Stirzaker 1992]
Definisi 3 (Medan-�)
Medan-�adalah suatu himpunan ℱyang anggotanya terdiri atas himpunan bagian
ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat
berikut: 1. ∅ ∈ ℱ.
2. Jika 1, 2,… ∈ ℱ , maka 1 i i A
∈ ℱ.3. Jika ∈ ℱ, maka ∈ ℱ.
[Hogg et al. 2005]
Definisi 4 (Peubah acak)
Misalkan ℱ adalah medan-� dari ruang contoh Ω. Suatu peubah acak adalah suatu fungsi :Ω ℝ dengan sifat bahwa � ∈
Ω: (�) � ∈ ℱ untuk setiap � ∈ ℝ.
[Grimmett & Stirzaker 1992]
Definisi 5 (Peubah acak diskret)
Peubah acak X dikatakan diskret jika himpunan nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah atau berhingga. [Grimmett & Stirzaker 1992]
Definisi 6 (Fungsi massa peluang)
Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi : Ω ⟶[0,1] yang diberikan oleh
� =� =�
[Hogg et al. 2005]
Definisi 7 (Percobaan binom)
Percobaan binom adalah percobaan yang memiliki ciri – ciri berikut:
1. Percobaan terdiri dari n ulangan.
2. Dalam setiap ulangan, hasilnya dapat digolongkan dengan berhasil atau gagal. 3. Peluang berhasil, yang dilambangkan p
untuk setiap ulangan adalah sama, tidak berubah-ubah.
4. Ulangan-ulangan ini bersifat bebas satu sama lain.
[Walpole 1992]
Definisi 8 (Peubah acak binom)
Peubah acak binom adalah peubah X yang menyatakan banyaknya keberhasilan dalam n ulangan yang bebas dalam suatu percobaan binom.
[Walpole 1992]
Definisi 9 (Sebaran binom)
Bila suatu ulangan binom mempunyai peluang keberhasilan p dan peluang kegagalan
= 1− , maka sebaran peluang bagi peubah acak binom X untuk mendapatkan keberhasilan x kali dalam n kali ulangan yang bebas adalah
�; , = � � −�
untuk �= 0, 1, 2, …, dan 0 , 1. [Walpole 1992]
Definisi 10 (Nilai harapan)
Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang (�), maka nilai harapan dari X dinotasikan dengan E(X) adalah
= �
�
X � ,
asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. [Hogg et al. 2005]
Definisi 11 (Ragam)
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang (�) dan nilai harapan E( ). Ragam dari X, dinotasikan dengan ( ) atau �2, adalah
�2= E(( −E )2)
= � −E 2
�
� .
Definisi 12 (Kovarian)
Kovarian dari dua peubah acak X dan Y, ditulis , , didefinisikan sebagai berikut
, = − � − �
di mana � dan � adalah nilai harapan dari X dan Y.
[Ross 2009]
Persamaan , dapat diuraikan menjadi
, = − � − � + � �
= − � − � + � �
= − � � − � � + � �
= − . (1.1)
2.2 Matematika keuangan Definisi 13 (Aset berisiko)
Aset berisiko adalah aset di mana nilai di masa yang akan datang tidak dapat diprediksi. [Capinski & Zastawniak 2003]
Definisi 14 (Aset tidak berisiko)
Aset tidak berisiko adalah aset di mana nilai di masa mendatang sudah ditentukan. Aset tidak berisiko dapat diartikan sebagai banyaknya aset yang disimpan di bank.
[Capinski & Zastawniak 2003]
Definisi 15 (Obligasi)
Obligasi adalah sertifikat atau surat berharga yang berisi kontrak antara investor sebagai pemberi dana dengan penerbitnya sebagai peminjam dana. Penerbit obligasi mempunyai kewajiban kepada pemegangnya untuk membayar bunga secara regular sesuai jadwal yang telah ditetapkan serta melunasi kembali pokok pinjaman pada saat jatuh tempo.
[Tandelilin. 2010]
Definisi 16 (Underlying assets)
Underlying asset adalah aset yang dijadikan sebagai objek atau dasar transaksi. Aset yang dijadikan sebagai underlying dapat berupa barang berwujud maupun tidak berwujud, seperti tanah, bangunan, berbagai jenis proyek pembangunan, serta aset non fisik lainnya seperti jasa. Yang termasuk underlying assets antara lain adalah komoditas (minyak, gas, emas), saham, mata uang, obligasi.
[Van der Hoek & Elliott 2006]
Definisi 17 (Produk derivatif)
Produk derivatif adalah investasi keuangan (atau kontrak) di mana harganya tergantung pada underlying assets.
[Van der Hoek & Elliott 2006]
Definisi 18 (Contingent claim)
Contingent Claim adalah sekuritas yang memberikan return yang tergantung pada nilai aset lain seperti harga komoditas, harga saham dan obligasi, atau nilai indeks pasar.
[Bodie et al. 2002]
Definisi 19 (Short sell)
Short sell adalah menjual aset yang bukan miliknya, investor meminjam aset dari pialang dan kemudian investor tersebut menjualnya. Di waktu tertentu di masa mendatang, investor tersebut akan mengembalikan dalam jumlah lembar yang sama.
[Tandelilin 2010]
Definisi 20 (Peluang arbitrase)
Peluang arbitrase adalah peluang di mana sebuah aset atau portofolio aset yang nilainya hari ini adalah nol dan nilainya di semua kemungkinan keadaan waktu di masa depan tidak pernah negatif. Lebih mudah dikatakan bahwa peluang arbitrase adalah peluang untuk memulai hari ini dengan nol yang pada akhirnya mendapatkan keuntungan di waktu yang akan datang.
[Van der Hoek & Elliott 2006]
Misalkan ( ) adalah peubah acak yang menunjukkan nilai aset (atau portofolio) pada waktu t maka (0) adalah nilai aset hari ini.
( ,�) adalah nilai pada waktu T (masa yang akan datang) ketika keadaan di dunia adalah �, maka peluang arbitrase bagi beberapa aset keuangan W sedemikian rupa sehingga
∀� ∈ Ω, 0,� = 0
∀� ∈ Ω, ,� 0
∃� ∈ Ω, ,� > 0.
[Van der Hoek & Elliott 2006] Aksioma dasar yang digunakan adalah sebagai berikut.
Aksioma 1 (No arbitrage axiom)
Jika nilai awal portofolio adalah nol, yaitu W (0) = 0, maka W(1) = 0 dengan peluang 1, berarti bahwa tidak ada investor yang pasti mendapatkan uang tanpa risiko dan tanpa modal awal.
[Capinski & Zastawniak 2003]
Menurut Capinski & Zastawniak (2003), jika portofolio melanggar aksioma ini, dapat dikatakan bahwa peluang arbitrase bisa terjadi. Pengecualian arbitrase dalam model matematika cukup mendekati kenyataan dan menjadi asumsi yang sangat penting dan menguntungkan, sehingga argumentasi berdasarkan no arbitrage axiom merupakan dasar dari financial mathematics.
Konsekuensi dari aksioma ini adalah sebagai berikut.
Teorema 1 (Law of One Price).
Misalkan terdapat dua aset A dan B dengan harga pada waktu = 0, �0 0,�0
0. Seandainya ada waktu 0 sehingga harga A dan B sama di semua keadaan di dunia:
� = � ( )
maka
�0 = �0( ).
[Van der Hoek & Elliott 2006]
Bukti
Misalkan �0 > �0( ). Bentuklah portofolio berikut pada waktu = 0, dimulai dengan $0.
Meminjam dan menjual A, berarti �0 .
Membeli B, berarti −�0( )
Sehingga �0 − �0 > 0, yang bisa dipegang atau diinvestasikan. Catatan strategi ini memerlukan tidak adanya investasi awal. Pada waktu T, maka
Membeli dan mengembalikan A , berarti
−� .
Menjual B , berarti � .
Karena � = � , maka hasil yang diperoleh adalah $0. Tetapi, masih mempunyai hasil yang positif sebesar
�0 − �0( ), sehingga telah menunjukkan adanya peluang arbitrase. Kontradiksi dengan aksioma dasar, sehingga haruslah �0 =
�0( ). Untuk pembuktian �0 < �0( ) argumen yang sama dapat digunakan.
Pada pembuktian ini diasumsikan tidak ada biaya transaksi dalam melaksanakan perdagangan, dan aset yang terlibat dapat dibeli dan dijual setiap saat. ∎
2.3 Jenis-jenis Contract
Definisi 21 (Forward contact)
Forward contract adalah perjanjian di mana investor diwajibkan untuk menjual atau membeli sebuah aset pada waktu yang telah ditentukan di waktu yang akan datang, disebut delivery time, dengan harga yang telah disepakati yang disebut forward price.
[Van der Hoek & Elliott 2006]
Menurut Capinski & Zastawniak (2003), dalam forward contract, investor yang setuju untuk untuk menjual suatu aset disebut mengambil short forward position dan investor yang setuju untuk untuk membeli suatu aset disebut mengambil long forward position.
Definisi 22 (Exchange rate)
Exchange rates adalah nilai suatu mata uang dalam bentuk mata uang lain.
III MODEL BINOMIAL UNTUK
CONTINGENT CLAIM
Dalam tugas akhir ini akan dibahas model binomial untuk menentukan harga contingent claim yang dijelaskan oleh Van der Hoek & Elliott (2006). Model ini dapat dikerjakan dengan mudah karena berisi sedikit parameter dan struktur setiap node dalam tree diasumsikan sederhana.
3.1 Model Binomial satu langkah
Model binomial sederhana satu langkah dapat digunakan untuk menentukan harga untuk contingent claim hari ini. Dalam model ini terdapat dua waktu, untuk memudahkan akan disebut = 0 dan = 1. Waktu pada
= 0 menunjukkan waktu sekarang, dan waktu pada = 1 menunjukkan waktu mendatang. Dilihat dari = 0, terdapat dua keadaan di saat = 1 yaitu upstate () dan downstate ().
Tradeable asset dapat diartikan bahwa aset dapat dibeli atau dijual berapapun banyaknya dan kapanpun permintaannya. Diasumsikan untuk setiap aset bahwa harga membeli dan menjual adalah sama pada waktu yang sama.
Dalam model yang digunakan terdapat dua tradeable asset, yaitu:
1. Aset berisiko 2. Aset tidak berisiko.
Aset berisiko
Pada waktu = 0, aset berisiko S mempunyai nilai yang diketahui 0 > 0. Pada = 1, aset berisiko memiliki dua kemungkinan nilai yang berbeda (karena nilainya tidak pasti atau berisiko), yang dilambangkan (1, ) dan (1, ). Diasumsikan bahwa 1, > 1, . Contoh aset berisiko adalah saham, logam mulia, valuta asing.
Gambar 3.1 Binomial tree satu langkah.
Aset tidak berisiko
Pada waktu = 0, aset tidak berisiko B mempunyai nilai 0 = 1. Pada waktu = 1, aset tidak berisiko mempunyai nilai yang sama di kedua keadaan pada = 1 (karena tidak berisiko), sehingga ditulis 1, =
1, = = 1 + . Biasanya 1 dan
0, di mana adalah bunga bank. Biasanya diasumsikan bahwa
1, < 0 < 1, . (3.1)
Contoh aset tidak berisiko adalah obligasi dan deposito.
Relative pricing
Misalkan (1) adalah portofolio yang akan dibayar pada waktu = 1. Pada model,
(1) dapat mempunyai dua nilai yaitu
(1, ) dan (1, ). Akan ditentukan (0), harga X pada waktu = 0. Nilai (1) tidak pasti karena 1 adalah fungsi dari (1)
yang tidak pasti, sehingga X adalah aset yang nilainya tergantung nilai S, X merupakan derivative atau contingent claim.
Diasumsikan bahwa dengan memiliki model S, dapat ditentukan (0) menggunakan relative pricing.
Terdapat 2 tahap dalam relative pricing 1. Tentukan �0 dan �1 sehingga
1 =�0 1 +�1 1 . (3.2)
Interpretasi sebagai berikut:
Didefinisikan bahwa�0 mewakili banyaknya aset tidak berisiko pada = 0 dan �1 mewakili banyaknya aset berisiko pada = 0. Pada = 1, tingkat kepemilikan tidak berubah, tetapi underlying assets mengubah nilai menjadi �0 1 +�1 (1). Kedua sisi adalah suatu besaran yang acak dan persamaan (3.2) berarti
1, = �0 +�1 (1, ) (3.3)
1, = �0 +�1 1, . (3.4)
�1=
1, − 1,
1, − 1, (3.5)
dan
�0=
1, − �1 1,
=
1, − 1, − 1, 1, − (1, ) 1,
= 1, 1, − 1, 1,
1, − 1, (3.6)
2. Menggunakan one price theorem , yang merupakan akibat dari no arbitrage axiom harus diperoleh
0 =�0+�1 0 . (3.7)
Dengan mensubtitusikan nilai �0 dan �1 persamaan (3.5) dan (3.6), maka nilai 0
pada persamaan (3.7) akan menjadi sebagai berikut
0 =�0+�1 (0)
0 = 1, 1, − 1, 1,
1, − 1, +
1, − 1,
1, − 1, 0
= 1, 0 − 1, + 1, 1, − 0
1, − 1,
= 1 � 1, + 1− � 1,
di mana
�= 0 − 1,
1, − 1, > 0 (3.8)
1− �= 1, − 0 1, − 1, > 0
sehingga
0 = 1 � 1, + 1− � 1, .
(3.9)
�isk neutral probability
Untuk semua nilai 0 1, didefinisikan
(1) sebagai berikut:
(1) = 1, + 1− 1, ,
(3.10)
di mana adalah peluang (dilihat pada = 0) akan terjadi upsate ( ) pada = 1. Misalkan adalah tradeable asset di mana nilai pada
= 0 adalah (0) dan nilai pada = 1 adalah
1, atau 1, tergantung apakah terjadi upstate atau downstate. Berdasarkan rumus umum harga dalam model binomial satu langkah
0 = 1 � 1, + 1− � 1,
= 1 � 1 . (3.11)
Didefinisikan return untuk aset X
= 1 − (0) (0) ,
(3.12) di mana dapat ditulis
= 1, − (0) (0)
= 1, − (0)
(0) .
Lema 1. Untuk semua 0 , 1, berlaku
−
= − 1, − 1,
0 .
(3.13)
� = = −1. (3.14)
Akibat 1
−
= − � 1, − 1,
0 .
(3.15)
−
= −1 1, − 1,
0 .
(3.16)
−
= 1, − 1,
0 .
(3.17) Bukti: (Lampiran 2)
Definisi 22
Diberikan 0 1 dan , adalah dua tradeable asset. Nilai kedua aset tersebut pada waktu = 0 adalah (0) dan (0). Pada waktu = 1 pada keadaan (atau ) nilai kedua aset tersebut adalah 1, , 1,
(atau 1, , 1, ). Kemudian didefinisikan , sebagai
, = ( , )
Dari persamaan (1.1) diperoleh
, = � − � − (3.18)
= − (3.19)
Lema 2
, = 1−
1, − 1,
0
1, − 1,
0 .
(3.20) Bukti: (Lampiran 3)
Akibat 2
Ragam dari adalah
�2 ≡ ,
= 1− 1, − 1, 0
2
.
(3.21) Asumsikan bahwa . Dengan asumsi ini diperoleh lema berikut.
Lema 3
Diberikan 0 < < 1, maka
− = − � (1− )� .
(3.22) Bukti: (Lampiran 4)
Persamaan (3.22) menjelaskan tentang return yang diharapkan yang berasal dari aset berdasarkan volatilitas (ragam). Dikatakan bahwa aset tersebut dikatakan berisiko jika nilai volatilitasnya (� ) besar. Berdasarkan persamaan (3.22) jika nilai volatilitasnya adalah nol, maka return yang diharapkan hanya (bunga bebas risiko), tetapi ketika volatilitasnya tidak sama dengan nol akan diperoleh return yang lebih besar. Hasil ini sesuai dengan kenyataan bahwa jika ingin
mendapatkan return yang tinggi maka harus menanggung lebih banyak risiko. Akan tetapi, terdapat satu situasi di mana hasil tersebut tidak berjalan, yaitu ketika = �. Pada keadaan ini return yang diharapkan akan selalu bernilai apapun risiko yang diperoleh. Jika investor (secara subjektif) berpikir peluang besar terjadi pada waktu = 1 sama dengan �, maka investor tersebut tidak peka terhadap risiko sehingga investor tersebut termasuk risk-neutral.
3.2 Model Cox-Ross-Rubinstein (CRR) Model CRR adalah model untuk menentukan rumus umum harga contingent claim di mana harga aset di masa mendatang (T) akan naik atau turun dengan konstan yaitu sebesar atau pada setiap step waktu. Untuk menentukan rumus umum harga contingent claim dengan binomial satu langkah menggunakan model CRR, notasi-notasi yang dipakai adalah:
0 = > 0
1, = , dengan peluang
1, = , dengan peluang 1−
0
j j1
0
j j1 j2
0
t t1
Gambar 3.2 Binomial tree satu langkah dalam model CRR.
diperoleh
�= 0 − 1, 1, − 1, =
−
− (3.23)
1− �= 1, − 0 1, − 1, =
−
− (3.24)
sehingga rumus umum harga untuk contingent claim dalam model binomial satu langkah menggunakan model CRR adalah
0 = 1 −
− 1, + −
− 1, .
(3.25)
[Van der Hoek & Elliott 2006]
Return untuk aset dalam model binomial satu langkah, dapat ditulis
1 = −1
−1
dengan peluang dengan peluang 1− .
(3.26)
Bukti: (Lampiran 5)
3.3 Model Binomial Multiperiode 3.3.1 Binomial tree dua langkah
Dalam model binomial dua langkah terdapat 3 keadaan pada = 1.
Gambar 3.3 Binomial tree dua langkah.
Pada = 0 yaitu node 0,0 harga aset bernilai 0,0 = (0).
Pada = 1, harga aset akan bernilai
1, ( di mana dapat ditulis 1,1 )
dengan peluang dan 1, ( di mana dapat di tulis 1,0 ) dengan peluang
1− .
Pada = 2, harga aset akan menjadi 3 keadaan yaitu 2, , = 2,2 ,
2, , = 2,1 , dan 2, , = 2,0 dengan peluang masing-masing adalah 2, 2 1− , dan (1− )2.
Model binomial dua langkah dapat dijelaskan dengan menggunakan model CRR. Notasi – notasi yang digunakan adalah:
0,0 = 0 1,1 = 0
1,0 = 0
2,2 = 2 (0)
2,1 = (0) 2,0 = 2 0 .
Gambar model binomial dua langkah menggunakan model CRR ditunjukkan dalam Gambar 3.4 di mana nilai (0) adalah 1 untuk memudahkan perhitungan.
Gambar 3.4 Binomial tree dua langkah dalam model CRR.
Return (2) untuk aset , dapat ditulis
2 = −1
−1
dengan peluang dengan peluang 1− .
(3.27) Bukti: (Lampiran 6)
Return ini sama dengan return yang diperoleh pada model binomial satu langkah karena return dihitung berdasarkan pada harga aset sebelumnya.
j=2 j=1
3.3.2 Binomial tree tiga langkah
Dalam model binomial tiga langkah terdapat 4 keadaan pada = 1 .
Gambar 3.5 Binomial tree tiga langkah.
Pada = 0 yaitu node 0,0 harga aset bernilai 0,0 = (0).
Pada = 1, harga aset akan bernilai
1, ( di mana dapat ditulis 1,1 )
dengan peluang dan 1, ( di mana dapat di tulis 1,0 ) dengan peluang
1− .
Pada = 2, harga aset akan menjadi 3 keadaan yaitu 2, , = 2,2 ,
[ 2, , = 2, , = 2,1 ], dan
2, , = 2,0 dengan peluang masing-masing adalah 2, 2 1− ,
dan (1− )2.
Pada = 3, harga aset akan menjadi 4 keadaan yaitu 3, , , = 3,3 ,
3, , , = 3, , , =
3, , , = 3,2 , 3, , , = 3, , , = 3, , , = 3,1 , dan
3, , , = 3,0 dengan peluang masing-masing adalah 2, 3 2 1−
, 3 1− 2 dan (1− )3.
Model binomial tiga langkah dapat dijelaskan dengan menggunakan model CRR. Notasi – notasi yang digunakan adalah:
0,0 = 0
1,1 = 0
1,0 = 0
2,2 = 2 (0)
2,1 = (0) 2,0 = 2 (0)
3,3 = 3 0
3,2 = 2 0
3,1 = 2 0
3,0 = 3 0 .
Gambar model binomial tiga langkah menggunakan model CRR ditunjukkan dalam Gambar 3.6 di mana nilai (0) adalah 1 untuk memudahkan perhitungan.
Gambar 3.6 Binomial tree tiga langkah dalam model CRR.
Return (3) untuk aset , dapat ditulis
3 = −1
−1
dengan peluang dengan peluang 1− .
(3.28) Bukti: (Lampiran 7)
Return ini sama dengan return yang diperoleh pada model binomial satu langkah dan model binomial dua langkah karena return dihitung berdasarkan pada harga aset sebelumnya.
3.3.3 Model binomial n-langkah
Setiap node dalam tree ditulis ( , )
dimana k melambangkan langkah = 0, 1, 2, 3,… . dan penulisan j dalam node melambangkan keadaan = 0, 1, 2, 3,…, . Pada langkah ke k terdapat + 1 keadaan. Jika berada pada node ( , ), maka node yang mungkin adalah salah satu dari ( + 1, + 1)
atau ( + 1, ).
Gambar 3.7 Binomial tree n-langkah. j=1
j=0 j=2 j=3
1
t
0
t t1
0
peluang peluang peluang peluang
Untuk setiap keadaan, peluang masing–masing keadaan sama dengan
(1− ) − .
Model binomial n-langkah dapat dijelaskan menggunakan model CRR. Dalam n-step tree untuk harga aset setiap keadaan (atau jalur yang melewati tree) di mana perubahan harga secara tepat j naik ke atas dan n-j turun ke bawah menghasilkan nilai aset (0) − pada waktu n. Untuk setiap
keadaan, peluang masing–masing keadaan sama dengan (1− ) −, sehingga dapat ditulis
, = (0) −
dengan peluang
(1− ) −
untuk setiap = 0, 1, 2,…, . Nilai aset ( )
pada waktu adalah variabel acak diskret dengan + 1 nilai aset yang berbeda.
Distribusi nilai dapat dilihat dalam gambar 3.8 untuk = 10, = 0.5, 0 = 1,
= 1.1, dan = 0.9.
Gambar 3.8 distribusi nilai dari 10 .
Nilai dari yang merupakan pergerakan nilai ke atas adalah variabel acak yang menyebar binomial. Hal yang sama juga berlaku untuk nilai dari − yang merupakan pergerakan nilai ke bawah. Kemudian dapat dikatakan bahwa proses perubahan harga aset mengikuti binomial tree. Dalam n-langkah, binomial dilakukan dalam semua keadaan. Setiap jalur dalam n-langkah bergerak naik dan turun dan setiap step memiliki 2 elemen nilai.
Return ( ) untuk aset dapat ditulis
= −1
−1
dengan peluang dengan peluang 1− .
(3.29) Bukti: (Lampiran 8)
Return ini sama dengan return yang diperoleh pada model binomial satu langkah dan model binomial dua langkah karena return dihitung berdasarkan pada harga aset sebelumnya.
imbal hasil
imbal hasil
harga
harga
F
IV APLIKASI MODEL BINOMIAL DALAM
CONTRACT
Pada bagian ini akan dibahas aplikasi model binomial dalam menentukan harga contingent claim yaitu harga forward contract dan forward exchange rate contract.
4.1 Forward Contract
Forward contract adalah sebuah perjanjian untuk membeli atau menjual aset (S) di masa mendatang (T) untuk harga yang telah disepakati (F). Tidak ada pembayaran yang dilakukan di awal (pada saat = 0) dan harga F disebut forward price. Lebih jauh, long forward contract adalah kesepakatan yang mengikat untuk membeli, sementara short forward contract adalah kesepakatan yang mengikat untuk menjual.
Kata “mengikat” membedakan kontrak ini dengan option contract.
Misalkan (0) adalah harga underlying asset hari ini dan ( ) adalah harga underlying asset pada waktu T dan F adalah harga yang disepakati. Imbal hasil dari long forward contract adalah – (membeli dengan harga F dan menjual dengan harga S(T)). Hasil ini mungkin positif, negatif atau nol tergantung pada keadaan pada waktu T. Tidak ada pembayaran di awal yaitu pada saat = 0, sehingga nilai sekarang dari forward contract adalah nol (diasumsikan bahwa tidak ada biaya transaksi). Diagram imbal hasil dari long forward contract ditunjukkan pada Gambar 4.1.
Gambar 4.1 Imbal hasil dari long forward contract.
Imbal hasil untuk long forward contract akan bernilai negatif apabila nilai F lebih besar dibandingkan S(T), bernilai nol apabila nilai F sama dengan S(T), dan bernilai positif apabila nilai F lebih kecil dibandingkan dengan S(T).
Hasil dari short forward contract adalah
− ( ) (Menjual dengan harga F dan membeli dengan harga S(T)). Hasil ini dapat bernilai positif, negatif atau nol tergantung pada keadaan pada waktu T. Tidak ada pembayaran di awal dan tidak ada biaya transaksi. Diagram ditunjukkan pada Gambar 4.2
Gambar 4.2 Imbal hasil dari short forward contract.
Imbal hasil untuk short forward contract akan bernilai negatif apabila nilai F lebih besar dibandingkan S(T), bernilai nol apabila nilai F sama dengan S(T), dan bernilai positif apabila nilai F lebih kecil dibandingkan dengan S(T).
Aplikasi model binomial dalam forward contract dalam tugas akhir ini adalah untuk menentukan nilai forward contract (F).
Model Binomial satu langkah
Dalam model binomial satu langkah, terdapat dua waktu yaitu = 0 dan = . Akan dicoba dirumuskan forward contract menggunakan model binomial satu langkah. Nilai long forward contract pada waktu
= adalah
= − .
Nilai di atas akan menjadi
, = , −
, = , −
dan nilai F disetujui pada waktu = 0, sehingga F dapat ditulis F(0) atau F(0,0). Nilai F dalam model binomial satu langkah dirumuskan berdasarkan teorema berikut
S(T)-F
S(T)
F-S(T)
S(T)
Teorema 4.1
Misalkan terdapat sebuah aset S dengan harga pada waktu t = 0 adalah S(0) ≥ 0 dan harga pada waktu T adalah S(T). Dengan tidak ada pembayaran di awal maka nilai forward contract berdasarkan model binomial satu langkah pada waktu t = 0 adalah
= 0 .
Bukti:
Model dependent
Berdasarkan one-step binomial asset pricing model. Misalkan pada waktu T, ( )
sama dengan ( , ) atau ( , ). Pada waktu = 0 nilai forward contract adalah nol, sehingga berdasarkan persamaan (3.9) diperoleh
0 = 1 � , − + 1− � , −
0 = 1 � , + 1− � , −
0 = 0 −
= 0 . ∎
Model independent
Asumsikan bahwa
− 0 > 0.
Pada waktu = 0, pinjam (0) dalam bentuk tunai, beli satu aset, lakukan (short) forward contract untuk menjual aset dengan harga F pada waktu T, maka diperoleh biaya bersih sebesar $0 pada waktu = 0. Pada waktu akhir T, jual aset dengan harga F dan membayar kembali pinjaman dengan bunga yaitu (0) . Posisi bersih adalah −
0 > 0, yang jelas merupakan suatu keuntungan. Jadi, dengan tidak ada pengeluaran bersih di = 0, bisa menghasilkan keuntungan yang positif pada waktu T. Ini adalah sebuah arbitrase, yang melanggar aksioma dasar kita.
Asumsikan sekarang
0 − > 0
argumen yang sama bekerja. Pada waktu
= 0, short sell satu aset, menginvestasikan jumlah tersebut (0) di bank sehingga dapat meningkat karena memperoleh bunga
sebesar R, lakukan long forward contract untuk membeli aset pada waktu t dengan harga F dan diperoleh biaya bersih sebesar $0 pada waktu = 0. Pada waktu akhir T, beli aset dengan harga F dan mengembalikannya. Pembelian aset didanai dari investasi (0) . posisi bersih adalah
0 − > 0, yang jelas merupakan suatu keuntungan. Jadi, dengan tidak ada pengeluaran bersih di = 0, bisa menghasilkan keuntungan yang positif pada saat T. Ini adalah sebuah arbitrase yang melanggar aksioma dasar. ∎
Model binomial dua langkah
Dijelsakan sebelumnya bahwa F(0,0) ditulis untuk menegaskan bahwa F disetujui pada waktu t=0, nilai long forward contract pada waktu t=2 adalah sebagai berikut
2,2 = 2,2 − 0,0 2,1 = 2,1 − (0,0) 2,0 = 2,0 − (0,0)
Nilai F(0,0) dapat dihitung sebagai berikut
1,0 = 1
1,0 � 2,1 − 1− � 2,0
= 1
1,0 [� (2,1)− (0,0) − (1− �) (2,0)− (0,0) ]
= 1
1,0 � 2,1 − 1− � 2,0 − (0,0) (1,0)
1,1 = 1
1,1 � 2,2 − 1− � 2,1
= 1
1,1 [� (2,2)− (0,0) − (1− �) (2,1)− (0,0) ]
= 1
1,1 � 2,2 − 1− � 2,1 − (0,0) (1,1)
= 1,1 − 0,0 1,1 .
0,0 = 1
0,0 � 1,1 − 1− � 1,0
= 1
0,0 � (1,1)− (0,0)
(1,1) − 1− � (1,0)− (0,0) (1,0)
= 1
(0,0) � 1,1 − 1− � (1,0) − �
(0,0)
(0,0) (1,1)− 1− �
0,0 0,0 1,0 .
Diasumsikan 1,1 = 1,0 = (1), maka
0,0 = 1
0,0 � 1,1 − 1− � 1,0 −
0,0 0,0 1
= 0,0 − 0,0 0,0 1 .
Diketahui bahwa nilai forward contract pada waktu t = 0 adalah nol, maka
0 = (0,0)− 0,0 0,0 1
0,0 = 0,0 0,0 1 0,0 = 0,0 0,0 1
dengan
� 0,2 = 1 0,0 1
Maka nilai F(0,0) dapat ditulis sebagai berikut
0,0 = 0,0
� 0,2.
Nilai X pada (1,0) dan (1,1) dari long forward contract yang dimulai pada waktu t = 0 sampai waktu t = 2 adalah
1,0 = (1,0)− (0,0) (1,0)
1,1 = (1,1)− (0,0) (1,1)
1,0 = 1 = 1
�01 1
1,1 = 1 = 1
�11 1
di mana�01 1 nilai IDR pada waktu =
1 dengan keadaan 0 jika pada = 2 terdapat 1 IDR dan �11 1 nilai IDR pada waktu
= 1 dengan keadaan 1 jika pada = 2
terdapat 1 IDR. Maka nilai X(1,0) dan X(1,1) akan menjadi
1,0 = (1,0)− 0,0
� 0,2 �0
1 1
1,1 = 1,1 − 0,0
� 0,2 �1
1 1 .
Dapat dihitung F(1,1) yaitu nilai forward contract dari S pada waktu t = 1 yang dimulai pada waktu t = 0. Nilai F(1,1) dipengaruhi nilai S(2,2) dan S(2,1), maka nilai forward contract pada (1,1) dapat dihitung sebagai berikut
2,2 = 2,2 − 1,1 2,1 = 2,1 − 1,1 .
1,1 = 1
1,1 � 2,2 − 1− � 2,1
= 1
1,1 [� (2,2)− (1,1) − (1− �) (2,1)− (1,1) ]
= 1
1,1 = 1,1 − 1,1 1,1 .
Dengan nilai 1,1 = 0, maka
1,1 = 1,1 1,1 = (1,1)
�11 1
.
Selain itu nilai F(1,0) juga dapat dihitung. Nilai F(1,0) dipengaruhi nilai S(2,0) dan S(2,1) sehingga perhitungan F(1,0) adalah sebagai berikut
2,1 = 2,1 − (1,0) 2,0 = 2,0 − 1,0 .
1,0 = 1
1,0 � 2,1 − 1− � 2,0
= 1
1,0 [� (2,1)− (1,0) − (1− �) (2,0)− (1,0) ]
= 1
1,0 � 2,1 − 1− � 2,0 − (1,0) (1,0)
= 1,0 − 1,0 1,0 .
Dengan nilai 1,0 = 0, Maka
1,0 = 1,0 1,0 = (1,0)
�01 1
.
Model binomial tiga langkah
Perhitungan untuk menentukan nilai F(0,0) pada long forward contract dalam model binomial tiga langkah adalah sebagai berikut.
Nilai long forward contract pada = 3
adalah
3,3 = 3,3 − 0,0 3,2 = 3,2 − 0,0 3,1 = 3,1 − (0,0) 3,0 = 3,0 − (0,0)
2,0 = 1
2,0 � 3,1 − 1− � 3,0
= 1
2,0 [� (3,1)− (0,0) − (1− �) (3,0)− (0,0) ]
= 1
2,0 � 3,1 − 1− � 3,0 − (0,0) (2,0)
= 2,0 − 0,0 2,0 .
2,1 = 1
2,1 � 3,2 − 1− � 3,1
= 1
2,1 [� (3,2)− (0,0) − (1− �) (3,1)− (0,0) ]
= 1
2,1 � 3,2 − 1− � 3,1 − (0,0) (2,1)
= 2,1 − 0,0 2,1 .
2,2 = 1
2,2 � 3,3 − 1− � 3,2
= 1
= 1
2,2 � 3,3 − 1− � 3,2 − (0,0) (2,2)
= 2,2 − 0,0 2,2 .
1,0 = 1
1,0 � 2,1 − 1− � 2,0
= 1
1,0 � (2,1)− (0,0)
(2,1) − 1− � (2,0)− (0,0) (2,0)
= 1
(1,0) � 2,1 − 1− � (2,0) − �
(0,0)
(1,0) (2,1)− 1− �
0,0 1,0 2,0 .
Diasumsikan
2,2 = 2,1 = 2,0 = (2)
maka
1,0 = 1
(1,0) � 2,1 − 1− � (2,0) −
(0,0) (1,0) (2)
= 1,0 − 0,0 1,0 2 .
1,1 = 1
1,1 � 2,2 − 1− � 2,1
= 1
1,1 � (2,2)− (0,0)
(2,2) − 1− � (2,1)− (0,0) (2,1)
= 1
(1,1) � 2,2 − 1− � (2,1) − �
(0,0)
(1,1) (2,2)− 1− �
0,0 1,1 2,1 .
Diasumsikan
2,2 = 2,1 = 2,0 = (2)
maka
1,1 = 1
(1,1) � 2,2 − 1− � (2,1) −
(0,0) (1,1) (2)
= 1,1 − 0,0 1,1 2 .
0,0 = 1
0,0 � 1,1 − 1− � 1,0
= 1
0,0 � 1,1 −
0,0
1,1 2 − 1− � 1,0 −
0,0 1,0 2
= 1
(0,0) � 1,1 − 1− � (1,0) − �
(0,0)
(0,0) 1,1 2 − 1− �
0,0 0,0 1,0 2 .
Diasumsikan
1,1 = 1,0 = (1)
maka
0,0 = 1
0,0 � 1,1 − 1− � 1,0 −
0,0 0,0 1 (2)
Diketahui bahwa nilai forward contract pada waktu t = 0 adalah nol, maka
0 = (0,0)− 0,0 0,0 1 (2)
0,0 = 0,0 0,0 1 (2) 0,0 = 0,0 0,0 1 (2)
dapat ditulis
0,0 = 0,0
� 0,3
dengan
� 0,3 = 1
0,0 1 (2).
Dengan nilai
2,0 = 2 = 1
�02 1
,
2,1 = 2 = 1
�12 1
,
2,2 = 2 = 1
�22 1
Di mana �02 1 adalah nilai IDR pada waktu = 2 dengan keadaan 0 jika pada
= 3 terdapat 1 IDR, �12 1 adalah nilai IDR pada waktu = 2 dengan keadaan 1
jika pada = 3 terdapat 1 IDR dan �22 1 adalah nilai IDR pada waktu = 2 dengan keadaan 2 jika pada = 3 terdapat 1 IDR maka nilai
2,0 = (2,0)− (0,0) (2,0)
akan menjadi
2,0 = (2,0)− 0,0
� 0,3 �0
2 1
nilai
2,1 = 2,1 − 0,0 2,1
akan menjadi
2,1 = 2,1 − 0,0
� 0,3 �1
2 1
nilai
2,2 = 2,2 − 0,0 2,2
akan menjadi
2,2 = 2,2 − 0,0
� 0,3 �2
2 1 .
Dengan nilai
1,1 2 = 1 2 = 1
�11 2
,
1,0 2 = 1 2 = 1
�01 2 nilai
1,0 = 1,0 − 0,0 1,0 2
akan menjadi
1,0 = 1,0 − 0,0
� 0,3 �0
1 2
nilai
1,1 = 1,1 − 0,0 1,1 2
akan menjadi
1,1 = 1,1 − 0,0
� 0,3 �1
1 2 .
Nilai forward contract pada setiap node dalam model binomial tiga langkah dapat dihitung. Nilai forward contract pada node (2,0) dipengaruhi nilai S pada (3,1) dan (3,0), maka nilai forward contract pada (2,0) dapat dihitung sebagai berikut
3,1 = 3,1 − 2,0 3,0 = 3,0 − (2,0)
2,0 = 1
2,0 � 3,1 − 1− � 3,0
= 1
2,0 [� (3,1)− (2,0) − (1− �) (3,0)− (2,0) ]
= 1
2,0 � 3,1 − 1− � 3,0 − (2,0) (2,0)
= 2,0 − 2,0 2,0 .
Dengan nilai 2,0 = 0, maka
2,0 = 2,0 2,0 = (2,0)
�02 1
.
Nilai forward contract pada node (2,1) dipengaruhi nilai S pada (3,1) dan (3,2), maka nilai forward contract pada (2,1) adalah
2,1 = 1
2,1 � 3,2 − 1− � 3,1
= 1
2,1 [� (3,2)− (2,1) − (1− �) (3,1)− (2,1) ]
= 1
2,1 � 3,2 − 1− � 3,1 − (2,1) (2,1)
= 2,1 − 2,1 2,1 .
Dengan nilai 2,1 = 0, maka
2,1 = 2,1 2,1 = (2,1)
�12 1
.
Nilai forward contract pada node (2,2) dipengaruhi nilai S pada (3,3) dan (3,2), Maka nilai forward contract pada (2,2) adalah
3,3 = 3,3 − 2,2 3,2 = 3,2 − (2,2)
2,2 = 1
2,2 � 3,3 − 1− � 3,2
= 1
2,2 [� (3,3)− (2,2) − (1− �) (3,2)− (2,2) ]
= 1
2,2 � 3,3 − 1− � 3,2 − (2,2) (2,2)
= 2,2 − 2,2 2,2 .
Dengan nilai 2,2 = 0, maka
2,2 = 2,2 2,2 = (2,2)
�22 1
.
Perhitungan nilai forward contract pada node (1,0) adalah sebagai berikut
3,2 = 3,2 − 1,0 3,1 = 3,1 − (1,0) 3,0 = 3,0 − 1,0 .
2,0 = 1
2,0 � 3,1 − 1− � 3,0
= 1
2,0 [� (3,1)− (1,0) − (1− �) (3,0)− (1,0) ]
= 1
2,0 � 3,1 − 1− � 3,0 − (1,0) (2,0)
= 2,0 − 1,0 2,0 .
2,1 = 1
2,1 � 3,2 − 1− � 3,1
= 1
2,1 [� (3,2)− (1,0) − (1− �) (3,1)− (1,0) ]
= 1
2,1 � 3,2 − 1− � 3,1 − (1,0) (2,1)
1,0 = 1
1,0 � 2,1 − 1− � 2,0
= 1
1,0 � (2,1)− (1,0)
(2,1) − 1− � (2,0)− (1,0) (2,0)
= 1
(1,0) � 2,1 − 1− � (2,0) − �
(1,0)
(1,0) (2,1)−(1− �)
(1,0) (1,0) (2,0)
= 1,0 − 1,0 1,0 2 .
Dengan nilai 1,0 = 0, maka
1,0 = 1,0 1,0 2 = 1,0
�01 2
.
Perhitungan nilai forward contract pada node (1,1) adalah sebagai berikut
3,2 = 3,2 − 1,1 3,1 = 3,1 − (1,1) 3,3 = 3,3 − 1,1 .
2,1 = 1
2,1 � 3,2 − 1− � 3,1
= 1
2,1 [� (3,2)− (1,1) − (1− �) (3,1)− (1,1) ]
= 1
2,1 � 3,2 − 1− � 3,1 − (1,1) (2,1)
= 2,1 − 1,1 2,1 .
2,2 = 1
2,2 � 3,3 − 1− � 3,2
= 1
2,2 [� (3,3)− (1,1) − (1− �) (3,2)− (1,1) ]
= 1
2,2 � 3,3 − 1− � 3,2 − (1,1) (2,2)
= 2,2 − 1,1 2,2 .
1,1 = 1
1,1 � 2,2 − 1− � 2,1
= 1
1,1 � (2,2)− (1,1)
(2,2) − 1− � (2,1)− (1,1) (2,1)
= 1
(1,1) � 2,2 − 1− � (2,1) − �
(1,1)
(1,1) (2,2)−(1− �)
(1,1) (1,1) (2,1)
= 1,1 − 1,1 1,0 2 .
Dengan nilai 1,1 = 0, maka
1,1 = 1,1 1,0 2 = 1,1
�01 2
Model binomial N-langkah
Sekarang akan digunakan model binomial multiperiode. Pada node ,
harga aset dilambangkan , . Didefinisikan � ( ) adalah nilai IDR pada waktu = dengan keadaan jika pada
= + ( setelah periode = ) terdapat 1 IDR dan , = 1 + ( , ) adalah nilai IDR pada waktu = + 1 jika investasikan 1 IDR di bank pada = . Didefinisikan:
, = + 1, + 1 ,
, = + 1,
,
� , = , − , , − , .
Untuk menghindari arbitrase, dibutuhkan
0 < � , < 1 untuk semua , . Ditulis = (0,0) untuk menegaskan fakta bahwa disetujui pada waktu = 0. Long forward contract pada �, bernilai
�, − (0,0). Dengan �(0,�) adalah nilai IDR pada waktu t = 0 jika pada waktu t = N terdapat 1 IDR maka nilai di atas pada
waktu = 0 adalah
0,0 − 0,0 �(0,�). Nilai pada waktu
= 0 yaitu pada 0,0 haruslah 0, sehingga
0,0 = 0,0
� 0,� . (4.1)
Nilai untuk P(0,1) adalah 1 (0) sehingga persamaan (4.1) terpenuhi untuk model binomial satu langkah. Nilai pada ( , )
dari long forward contract yang dimulai pada waktu = 0 sampai waktu =�
adalah
, = , − 0,0
� 0,� � � − .
Secara umum, jika ( , ) adalah nilai forward contract dari pada waktu =�
yang dimulai pada waktu = 0, maka
, = ( , )
� � −
jika =�, diperoleh
�, = �, .
Berdasarkan model binomial multiperiode diketahui bahwa
� , = , , − + 1, + 1, + 1 − + 1,
� , ≡ � � −
� ,
, � + 1, + 1
+ 1− � ,
, � + 1,
maka
, = ,
� , .
Dalam tugas akhir ini nilai forward contract yang akan dicari adalah nilai forward contract pada waktu t = 0 sehingga diperoleh teorema sebagai berikut.
Teorema 4.2
Misalkan terdapat sebuah aset S dengan harga pada waktu t = 0 adalah S(0,0) ≥ 0 dan harga pada waktu T adalah S(T). Dengan tidak ada pembayaran di awal maka nilai forward contract model binomial n-langkah pada waktu t = 0 adalah
0,0 = 0,0 0 1 … ( −1)
dengan asumsi
, = , −1 = = , 0 = . (4.2) (Bukti: Lampiran 9)
4.2 Exchange Rates
Misalkan adalah exchange rate. Dalam tugas akhir ini yang akan dibahas adalah nilai tukar USD terhadap IDR, walaupun dapat digunakan contoh nilai tukar yang lainnya.
Dilambangkan ( ) adalah nilai 1 USD dapat ditukarkan dengan IDR pada waktu t. Dengan menggunakan rumus umum harga binomial satu langkah. Dimisalkan pada waktu = 1, mempunyai dua kemungkinan, 1, dan 1, di mana
1, > 1, .
Terdapat dua suku bunga, yaitu:
1. domestic ( = domestic = Indonesia)
0 = 1
2. foreign (�= foreign = USA)
� 0 = 1
� 1, = � 1, = �= 1 + �.
Gunakan kembali gagasan replikasi portofolio dan konsep tidak ada peluang arbitrase dalam rumus umum harga menggunakan binomial satu langkah. Ambil
�0 dalam IDR dan �1dalam USD. Sehingga pada waktu = 0, portofolio mempunyai nilai (dalam IDR)
0 =�0+ �1 0 .
Pada waktu = 1, portofolio ini akan menjadi (dalam IDR)
1 = �0 + �1 � (1)
kemudian pilih �0 dan �1 sehingga
1 = �0 + �1 � 1 .
Persamaan di atas sama seperti dua persamaan berikut ini:
1, = �0 + �1 � 1,
1, = �0 + �1 � 1,
dan jika 1, ≠ 1, , maka diperoleh solusi untuk �0 dan �1adalah:
�1=
1
�
1, − 1, 1, − 1,
�0=
1 1, 1, − 1, 1, 1, − 1,
sehingga diperoleh
(0) = 1 � 1, + 1− � 1,
dengan
�= �
0 − 1,
1, − 1,
1− �=
1, −
� 0
1, − 1, .
Akibatnya, untuk 0 <�< 1 model exchange rate harus memenuhi
1, <
� 0 < 1,
seperti yang telah diasumsikan bahwa
1, < 1, .
4.3 Forward Exchange Rate Contract
Model exchange rate ini dapat juga digunakan untuk forward contract disebut forward exchange rate contract. Seperti halnya forward contract, forward exchange rate contract terdapat long contract dan short contract, tergantung investor ingin membeli atau menjual. Jika investor memilih untuk mengambil long forward exchange rate contract maka investor mempunyai kewajiban untuk membeli uang sebanyak F USD dengan exchange rates yang telah ditentukan yaitu sebesar K pada waktu T, tidak memperhatikan besarnya exchange rate pada waktu T. Tidak ada pembayaran di awal sehingga hasil yang diperoleh pada waktu T adalah [ −
�]. Rumus untuk forward exchange rate contract dirumuskan berdasarkan teorema berikut.
Teorema 4.3
Misalkan nilai exchange rate X pada waktu t = 0 adalah X(0) dan pada waktu t = T adalah X(T), dengan nilai bunga domestic dan bunga foreign �. Pada waktu t = 0, nilai forward exchange rate contract adalah nol, sehingga forward rate K dirumuskan
�=
� 0 .
K disebut T-forward exchange rate. Bukti
Model dependent
Menggunakan persamaan awal yaitu:
0=
1
� 1, + 1− � 1,
persamaan di atas akan menjadi:
0 = 1 � ∙ 1, − ∙ � + 1− � ∙ 1, − ∙ �)
= 1 � 1, + 1− � 1, ∙ − � ∙
di mana
� 1, + 1− � 1, = �
0 − 1, 1,
1, − 1, +
1, −
� 0 1,
1, − 1,
=
� 0
sehingga persamaan sebelumnya menjadi
0 = 1
� 0 ∙ −
� ∙
0 = (0)
� −
� ∙
dan diperoleh
0
� −
�
= 0.
�=
� 0 .
∎
Model independent
Pertama, misalkan
�>
�
0
di mana K adalah T-forward rate. Pada waktu = 0, pinjam 0 � IDR, simpan
1 � USD (mempunyai nilai yang sama dengan 0 � IDR) di bank Amerika. Masukkan T-forward contract untuk menjual 1 USD untuk K IDR pada waktu T. Posisi yang diperoleh adalah
0
� −
1
�∙
0 + 0 = 0 IDR.
Pada waktu = , kembalikan pinjaman, ambil 1 USD di bank, gunakan forward contract untuk mengubah menjadi K IDR. Posisi yang diperoleh adalah
− 0
� ∙ +�> 0 IDR
sehingga diperoleh profit pada waktu =
dengan tidak ada pengeluaran pada waktu
= 0. Ini merupakan suatu peluang arbitrase yang berlawanan dengan aksioma dasar yaitu no arbitrage axiom.
Kedua, misalkan
�<
� 0
di mana K adalah T-forward rate. Argumen yang sama digunakan. Pada waktu = 0, pinjam 1 � USD, ubah menjadi IDR dan investasikan di bank Indonesia. Masukkan T-forward contract untuk membeli 1 USD untuk K IDR pada waktu T. Posisi yang diperoleh adalah
− 0
� +
1
Pada waktu = , ambil uang di bank, gunakan forward contract untuk membeli 1 USD untuk K IDR, kembalikan pinjaman. Posisi yang diperoleh adalah
0
� ∙ − �> 0 IDR.
Sekali lagi, diperoleh profit pada waktu
= tanpa ada pengeluaran pada waktu
= 0. Sehingga merupakan suatu peluang arbitrase yang berlawanan dengan aksioma dasar. ∎
Sekarang akan digunakan model binomial multiperiode. Hal yang tidak berbeda jauh dengan forward conract dalam multi periode. Pada state (n,j) untuk exchange rate dilambangkan X(n,j).
, = 1 + ( , ) adalah nilai pada waktu = + 1 jika investasikan 1 IDR di bank pada = . � , = 1 + �( , )
adalah nilai pada waktu = + 1 jika investasikan 1 USD di bank pada = . Didefinisikan
, = + 1, + 1 ,
, = + 1,
,
� , =
( , )
�( , )− ,
, − , .
Sekali lagi dibutuhkan 0 < � , < 1 untuk semua , untuk menghindari peluang arbitrase.
Di tulis �=�(0,0) untuk menegaskan fakta bahwa � disetujui pada waktu = 0. Long forward exchange rate contract pada
�, bernilai �, − �(0,0). Dengan
� (0,�) adalah nilai pada waktu = 0 jika pada waktu t = N terdapat 1 IDR dan
��(0,�) adalah nilai pada waktu = 0 jika
pada waktu t = N terdapat 1 USD maka nilai di atas pada waktu = 0 adalah
0,0 ��(0,�)− � 0,0 � (0,�). Nilai pada waktu = 0 yaitu pada 0,0
haruslah 0, sehingga
� 0,0 = �
� 0,�
� 0,� (0). (4.3)
Dengan nilai
� 0,1 = 1
0 , dan
�� 0,1 = 1
� 0
persamaan (4.3) terpenuhi untuk model binomial satu langkah.
Nilai pada ( , ) dari long forward contract yang dimulai pada waktu = 0
sampai waktu =� adalah
, = , − �
� 0,�
� 0,� (0)
�
� � −
� � − .
di mana � � − adalah nilai pada waktu = dengan keadaan jika pada
= + ( setelah periode = ) terdapat 1 IDR dan �� � − adalah nilai pada waktu = dengan keadaan jika pada
= + ( setelah periode = ) terdapat 1 USD. Secara umum, jika �( , ) adalah nilai forward exchange rate contract dari pada waktu =� yang dimulai pada waktu
= 0
� , = �� � −
� � − ( , )
sehingga jika =�, maka
� �, = �, .
Berdasarkan model binomial multiperiode diketahui bahwa �� , ≡ � � � − �� , ≡ � � � − maka � , = � � , � , ( , ).
Teorema 4.4
Misalkan nilai exchange rate X dengan nilai pada waktu = 0 adalah X(0,0) (terkadang ditulis X(0)) dan pada waktu = adalah X(T). Misalkan bunga domestic dan bunga foreign �. Pada waktu = 0, nilai forward exchange rate contract adalah nol, sehingga forward rate n-step K adalah
� 0,0 = 0,0 (0) (1)… ( −1)
�(0) �(1)… �( −1)
dengan asumsi
, = , −1 = = , 0 = ( )
� , = � , −1 = = � , 0 = � .
(4.4)
V APLIKASI MODEL BINOMIAL
FORWARD CONTRACT
DAN
EXCHANGE RATE FORWARD CONTRACT
PADA TRANSAKSI LUAR NEGERI PT BINA PERTIWI
Pada bab ini akan dibahas aplikasi model binomial forward contract dan forward exchange rate contract pada transaksi luar negeri PT Bina Pertiwi periode Januari-September 2012.
5.1 PT Bina Pertiwi
PT Bina Pertiwi didirikan pertama kali pada tanggal 15 November 1976 dan merupakan bagian dari Astra Group Tbk. PT Bina Pertiwi memulai bisnis sebagai distributor mesin pertanian traktor Kubota, termasuk traktor roda empat (4W) dan traktor tangan. Seiring dengan laju perkembangan perusahaan yang pesat, maka pada tahun 1985 PT Bina Pertiwi bergabung sebagai anggota alat berat dari PT United Tractors Group. Sejak saat itu, PT Bina Pertiwi merupakan anak perusahaan dari PT United Tractor dengan saham kepemilikan seutuhnya berada pada PT United Tractor, Tbk.
Perusahaan ini bergerak pada penyediaan jasa dan peralatan berat dan fokus utamanya adalah pendistribusian mesin pertanian dan industri peralatan. Selain itu, PT Bina Pertiwi memfokuskan diri untuk memberikan solusi pada tiga utama industri, yaitu solusi dalam bidang pertanian, solusi dalam perawatan material dan solusi umum mesin. PT Bina Pertiwi memiliki komitmen yang kuat untuk terus meningkatkan pembangunan perangkat keras dan perangkat lunak serta memberikan pelayanan solusi yang terbaik bagi industri.
5.2 Data
Dalam karya ilmiah ini data yang digunakan adalah data transaksi luar negeri yang dilakukan oleh PT Bina Pertiwi periode Januari-September 2012 yang dapat dilihat pada Tabel 5.1. Daftar transaksi luar negeri PT Bina Pertiwi periode Januari-September 2012 akan digunakan sebagai data utama dalam analisis model binomial. Jangka waktu setiap transaksi yang dilakukan berbeda beda. Selain menggunakan data transaksi, digunakan juga daftar spot rate pada saat transaksi dan pada saat jatuh tempo periode Januari-September tahun 2012. Spot rate dapat diartikan dengan nilai tukar (exchange rate) uang rupiah (IDR) terhadap dollar (USD). Daftar spot rate pada saat transaksi dan pada saat jatuh tempo periode Januari-September tahun 2012 dapat dilihat pada Tabel 5.1.
Langkah yang digunakan adalah menghitung total transaksi yang dilakukan oleh PT Bina Pertiwi periode Januari-September 2012 pada saat transaksi dan pada saat jatuh tempo menggunakan spot rate pada tanggal transaksi. Kemudian akan dicoba menghitung transaksi PT Bina Pertiwi periode Januari-September 2012 menggunakan forward contract dan forward exchange rate contract.
Tabel 5.1 Daftar transaksi luar negeri PT Bina Pertiwi dan spot rate periode Januari-September 2012
