Estimation of Small Area Statistics using Beta-Binomial Model

SLAMET ABADI

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

SUMBER INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan topik ”Pendugaan Statistik Area Kecil Menggunakan Model Beta-Binomial” adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Juli 2011

Slamet Abadi

ABSTRACT

SLAMET ABADI. Estimation of Small Area Statistics using Beta-Binomial Model. Supervised by HARI WIJAYANTO and LA ODE ABDUL RAHMAN.

Small area estimation is commonly used to describe smaller domain or population. Small Area Estimation is an important technique to estimate parameter of smaller domain borrowing strength of population parameter estimate through statistics models with random effect. This research is focused in modeling binary data in small area estimation with empirical bayes method. This method is applicable more generally in the sense of handling models for binary and count data. The Beta-binomial model can be used to calculate the proportion of each small area and its variance.

This model estimates the parameters of proportion using momen Kleinman method of Beta-Binomial model and the we also compare the MSE of indirect estimation using Naïve, Jackknife, and Bootstap methods.

The result shaved that the MSE of indirect estimation lower than the direct estimation. Moreover, the MSE of indirect estimation using Naïve, Jackknife, and Bootstap methods relatively the same.

This indirect estimation using Beta-Binomial model were applied to analyze the proportion of poor household in Bekasi district. The result showed that Jakasampurna, Ciketingudik, Bintara Jaya, Jatiluhur, Cikiwul, Mustika Jaya, and Perwira and could be categorized as villages having more poor household.

SLAMET ABADI. Pendugaan Statistik Area Kecil dengan Menggunakan Model

Beta-Binomial. Dibimbing oleh HARI WIJAYANTO dan LA ODE ABDUL

RAHMAN.

Suatu pendugaan untuk meningkatkan ukuran contoh dan menurunkan

galat baku adalah pendugaan tak langsung. Pendugaan ini memanfaatkan

informasi tambahan yang diperoleh dari area kecil lain yang memiliki

karakteristik yang serupa. Menurut Rao (2003) prosedur pendugaan area kecil

pada dasarnya memanfaatkan informasi dari area itu sendiri, area sekitarnya atau

bahkan survei yang berbeda.

Pendugaan area kecil bermanfaat untuk menduga parameter area yang

berukuran contoh kecil. Pada data biner, model Beta-Binomial dapat digunakan

untuk menduga parameter area kecil. Ada dua metode dalam pendugaan area kecil

untuk data biner, yaitu metode Bayes empirik dan Bayes hirarki. Penelitian ini

menggunakan metode Bayes empirik yang mampu menampung informasi antar

area dan mereduksi kuadrat tengah galat.

Metode Bayes empirik merupakan suatu metode pendugaan yang terdiri

dari fungsi kepekatan peluang prior, fungsi kepekatan peluang posterior dan

fungsi kepekatan peluang marginal. Salah satu model dalam metode Bayes

empirik yang digunakan adalah model beta-Binomial, karena model ini memenuhi

ketiga fungsi kepekatan peluang tersebut. Model Beta-Binomial digunakan

karena cocok untuk data biner.

Penelitian ini dilakukan untuk menduga proporsi rumah tangga miskin

setiap kelurahan di kota Bekasi. Pendugaan dilakukan melalui metode penduga

langsung dan tak langsung menggunakan metode Bayes empirik untuk model

Beta-Binomial dengan menggunakan penduga momen Kleinman. Selanjutnya

dilakukan pembadingan kuadrat tengah galat antara penduga langsung dan tak

langsung serta membandingkan kuadrat tengah galat beberapa metode pada

penduga tak langsung seperti Naive, Jackknife, dan Bootstrap.

Hasil penelitian menunjukkan bahwa penduga tidak langsung proporsi

rumah tangga miskin pada area kecil menggunakan metode Bayes empirik

proporsi rumah tangga miskin menghasilkan nilai yang relatif kecil dan relatif

sama. Dugaan total rumah tangga miskin di kota Bekasi yang diperoleh melalui

metode pendugaan area kecil sebanyak 11.08 % atau 47.521 rumah tangga.

©

Hak Cipta milik IPB, tahun 2011

Hak cipta dilindungi undang-undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruhnya karya tulis ini tanpa

mencantunkan atau menyebutkan sumber

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan

karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB

2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya

MENGGUNAKAN MODEL BETA-BINOMIAL

SLAMET ABADI

Tesis

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Magister Sains pada

Program Studi Statistika

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Beta-Binomial Nama Mahasiswa : Slamet Abadi Nomor Pokok : G151040031 Program Studi : Statistika

Disetujui,

Komisi Pembimbing

Dr. Ir. Hari Wijayanto, M.S. La Ode Abdul Rahman, S.Si. M.Si.

Ketua Anggota

Diketahui,

Ketua Program Studi Statisika Dekan Sekolah Pascasarjana IPB

Dr. Ir. Erfiani, M.Si. Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr.

gxÜv|Çàt

Almamater Kampus Institut Pertanian Bogor

gxÜ{ÉÜÅtà

Bapak Tarmidi

dan

Ibu Marsudi Rahaju (alm.)

gxÜ~tá|{

Isteri Anik Indrawati

gxÜátçtÇz

Adinda Maria Dwi Lestari

Segala Puji bagi Allah SWT. pemelihara sekalian alam, Yang Maha Bijaksana, Maha Luas Anugerah-Nya, Maha Ilmu, Maha Rahman, Maha Pengasih yang menciptakan manusia dalam bentuk yang paling baik dan sempurna menjadikan langit dan bumi dengan kekuasaan-Nya serta mengatur semua urusan di dunia dan akhirat dengan keadilan dan kebijaksanaan-Nya. Atas kehendak Nya lah penulis dapat menyelesaikan Tesis.

Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan rasa terima kasih yang tak hingga kepada Bapak Dr. Ir. Hari Wijayanto, MS., sebagai Ketua Komisi Pembimbing yang telah banyak memberikan bimbingan dan mengarahkan penulis dalam bidang matematika maupun statistika dan juga kepada Bapak La Ode Abdul Rahman, S.Si. M.Si., sebagai Anggota Komisi Pembimbing yang telah membimbing dan memberikan kemudahan-kemudahan kepada penulis.

Penulis menyampaikan banyak terima kasih kepada Dirjen Pendidikan Tinggi, Departemen Pendidikan Nasional Indonesia atas dana yang diberikan lewat program Hibah Pascasarjana tahun 2006-2008 kerjasama Departemen Statistika IPB dan Badan Pusat Statistik Jakarta serta Bapak Prof Dr. Ir. Khairil Anwar Notodiputro, MS., selaku ketua peneliti.

Terima kasih penulis kepada Ibu Dr. Ir. Erfiani, MS., Bapak Dr. Ir. Aji Hamin Wigena, M.Sc., Bapak Dr. Ir. Budi Susetyo, M.S., Bapak Dr. Ir. Kusman Sadik, M.Si., Dr. Anang Kurnia, S.Si. M.Si., Ibu Ir. Indahwati, M.Si.

Tak lupa Bapak Iksan, Ibu Marsudi Rahaju Alm., dan Bapak Tarmidi, Ibu Hapipah, adikku Maria Dwi Lestari, serta isteriku Anik Indrawati dan ketiga anakku Naufal, Irfan, dan Anisah terima kasih atas pengertian, motivasi dan do’anya.

Terima kasih penulis kepada Mbak Kismiantini, Mbak Ika, Mas Epa, Mbak Fia Fridayanti, yang memberikan diskusi dan saran-saran. Tak lupa juga teman-teman seluruh rekan mahasiswa Program Studi Magister Statistika Institut Pertanian Bogor angkatan 2004/2005 yang turut memberikan informasi, semangat, keakraban dan kebersamaannya dalam penyusunan Tesis ini. Semoga semua kebaikan dan bantuannya yang telah diberikan kepada penulis mendapat balasan atau imbalan yang setimpal dari Allah SWT. Amin.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Juli 2011

Penulis dilahirkan di Banyuwangi pada tanggal 1 Maret 1966 dari ayah Tarmidi dan ibu Marsudi Rahaju (alm.). Penulis merupakan putra pertama dari dua bersaudara.

Penulis menyelesaikan Sekolah Dasar (SD) hingga SLTA di Banyuwangi. Tahun 1985 penulis lulus dari SMAN Genteng, Banyuwangi dan pada tahun yang sama lulus seleksi Sipenmaru Univesitas Gadjah Mada (UGM) Yogyakarta pada Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA).

Halaman

DAFTAR TABEL ………... xiv

DAFTAR GAMBAR ……….. xv

DAFTAR LAMPIRAN ………... xvi

PENDAHULUAN Latar Belakang ……… 1

Tujuan Penelitian ………... 3

TINJAUAN PUSTAKA Konsep Dasar Pendugaan Area Kecil ………... 4

Metode Bayes dan Bayes Empirik ... 5

Garis Kemiskinan ... 6

Model Beta-Binomial ... 6

Pendugaan MSE dengan Metode Jackknife ... 8

Pendugaan MSE dengan Metode Bootstrap ... 9

METODOLOGI PENELITIAN Sumber Data ... 10

Metode Analisis ... 10

HASIL DAN PEMBAHASAN Data Pengeluaran Per Kapita ... 14

Dugaan Proporsi Rumah Tangga Miskin ... 16

Dugaan MSE Proporsi Rumah Tangga Miskin ... 18

SIMPULAN DAN SARAN Simpulan ………. 21

Saran ………... 21

DAFTAR PUSTAKA ………. 22

Halaman

1 Ukuran Parameter Pengeluaran Kecamatan dan kota Bekasi 15

2 Daftar Jumlah Rumah Tangga, Anggota Rumah Tangga, Contoh dan Rumah Tangga Miskin kota Bekasi

16

3 Kelurahan dengan proporsi rumah tangga miskin lebih dari 10 % di kota Bekasi

Halaman

1. Peta Penyebaran Rumah Tangga di 56 kelurahan kota Bekasi 14

2. Peta Penyebaran Rumah Tangga Miskin dengan proporsi lebih dari

10 % di kota Bekasi.

17

3 Dugaan MSE Proporsi Rumah Tangga Miskin di kota Bekasi

dengan dugaan langsung, Naive, Jackknife, dan Bootstrap.

19

4 Dugaan MSE Proporsi Rumah Tangga Miskin di kota Bekasi

dengan dugaan Naive, Jackknife, dan Bootstrap.

Halaman

1. Sifat-sifat Sebaran Beta-Binomial ... 26

2. _{Program perhitungan} α_{ˆ dan dengan metode} momen ...

βˆ 32

3. _{Hasil perhitungan αˆ dan} βˆ _{dengan metode Kleinman ...} 34

4. Program perhitungan penduga Bayes, penduga empirical Bayes dan ragam posterior dengan metode Momen ………

35

5. Programan SAS untuk perhitungan penduga jackknife ... 37

6 Hasil perhitungan Dugaan proporsi Rumah Tangga Miskin di kota Bekasi ...

41

7 Hasil perhitungan ragam dengan metode langsung, Bayes emperik, Jackknife dan Bootstrap ...

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Pada era otonomi daerah kebutuhan ilmu statistika semakin dirasakan

seiring dengan meningkatnya kebutuhan pemerintah dan para pengguna statistik

terhadap informasi yang lebih rinci, cepat dan handal. Informasi ini tidak saja

untuk ruang lingkup nasional tetapi juga ruang lingkup yang lebih kecil yaitu

kabupaten/kota, kecamatan, atau kelurahan/desa.

Biasanya, statistik diperoleh dari suatu survei yang dirancang untuk

memperoleh statistik nasional. Artinya survei semacam ini dirancang untuk

inferensia bagi daerah (domain) yang luas. Persoalan muncul ketika dari survei

seperti ini ingin diperoleh informasi untuk area yang lebih kecil, misalnya

informasi pada level propinsi, kabupaten, bahkan mungkin level kecamatan atau

desa/kelurahan. Dalam survei ini area yang dimaksud mungkin saja

direpresentasikan oleh objek survei yang jumlahnya sangat kecil sehingga analisis

yang didasarkan hanya pada objek-objek tersebut menjadi sangat tidak dapat

diandalkan. Untuk mengatasi hal ini diperlukan metode pendugaan yang

menggabungkan antara informasi di dalam area yang dimaksud dengan informasi

di luar area tersebut.

Pendugaan area kecil (small area estimation) merupakan suatu teknik statistika untuk menduga parameter-parameter subpopulasi yang ukuran

contohnya kecil. Teknik pendugaan ini memanfaatkan data dari domain besar

seperti data sensus atau data survei sosial ekonomi nasional, untuk menduga

peubah yang menjadi perhatian pada domain yang lebih kecil.

Pendugaan area kecil yang didasarkan pada penerapan model rancangan

penarikan contoh (design-based) disebut sebagai penduga langsung (direct

estimation). Pendugaan ini tidak mampu memberikan ketelitian yang cukup bila

ukuran contoh kecil, sehingga statistik yang diperoleh akan memiliki ragam yang

besar atau bahkan pendugaan tidak dapat dilakukan karena tidak terwakili dalam

survei. Oleh karena itu, dikembangkan teknik pendugaan alternatif untuk

meningkatkan keefektifan ukuran contoh dan menurunkan galat baku yakni

meminjam kekuatan dari pengamatan contoh area yang berdekatan dengan

memanfaatkan informasi tambahan yakni dari sensus dan catatan administratif

(Rao,2003)

Pada pendugaan tak langsung terdapat dua model penghubung yang

digunakan untuk menghubungkan area kecil dengan area lainnya yaitu model

penghubung implisit dan model penghubung eksplisit. Pendugaan tak langsung

yang menggunakan model penghubung implisit adalah pendugaan yang

didasarkan oleh rancangan penarikan contoh. Penduga yang dihasilkan

mempunyai ragam yang biasanya relatif kecil dibandingkan ragam penduga

langsung. Ada tiga metode dalam pendugaan tak langsung dengan model

penghubung implisit yaitu sintetik, komposit, dan James-Stein.

Model penghubung eksplisit adalah suatu model yang memasukkan

pengaruh acak area kecil untuk mendapatkan keragaman antar area dan juga

adanya peubah penyerta dalam model tersebut, yang selanjutnya dikenal sebagai

model area kecil. Penduga yang diperoleh dari model area kecil tersebut adalah

prediksi tak bias linier terbaik empirik (Emperical Best Linear Unbiased

Prediction, EBLUP), Bayes empirik (Empirical Bayes, EB), dan Bayes hirarki

(Hierarchical, HB). Metode EBLUP dirancang untuk peubah kontinu dan tidak

cocok untuk data biner atau cacahan. Untuk data biner atau cacahan digunakan

metode EB dan HB dalam melakukan pendugaan area kecil.

Penelitian ini memusatkan perhatian pada pendugaan proporsi rumah

tangga miskin setiap kelurahan di kota Bekasi. Masalah ini menjadi sangat

penting untuk terus menjadi kajian karena tingginya kebutuhan pemerintah

khususnya pemerintah daerah dalam penyusunan, pemantauan dan perencanaan

kebijakan dalam pengetasan kemiskinan tanpa harus mengeluarkan biaya besar

untuk melakukan survei sendiri. Dengan demikian, secara nasional akan cukup

banyak biaya yang bisa dihemat sehingga dapat dialokasikan untuk pembiayaan

Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah sebagai berikut :

a. Mengkaji penggunaan metode Bayes empirik menggunakan model

beta-binomial pada pendugaan ststistik area kecil.

b. Menerapkan metode Bayes empirik untuk menduga proporsi rumah

TINJAUAN PUSTAKA

Konsep Dasar Pendugaan Area Kecil

Secara umum metode pendugaan area kecil dibagi menjadi dua bagian

yaitu metode penduga langsung (direct estimation) dan metode penduga tak langsung (indirect estimation). Metode-metode pendugaan selama ini yang sering kita gunakan adalah metode pendugaan langsung.

Pendugaan langsung merupakan pendugaan yang didasarkan pada desain

penarikan contoh. Dalam kasus pendugaan area kecil, penduga langsung bagi

parameter pada area kecil yang menjadi perhatian relatif akan menghasilkan galat

baku yang besar karena masalah jumlah contoh.

Suatu pendekatan tidak langsung mampu meningkatkan efektifitas ukuran

contoh yang kecil. Pada pendugaan tak langsung terdapat dua model penghubung

yang digunakan untuk menghubungkan area kecil dengan area kecil lainnya yaitu

model penghubung implisit dan eksplisit.

Penduga tak langsung dengan menggunakan model penghubung implisit

adalah model yang didasarkan pada desain penarikan contoh (design based). Penduga yang dihasilkan mempunyai ragam desain yang relatif kecil

dibandingkan dengan ragam desain dari penduga langsung. Model penghubung

implisit mempunyai tiga metode yaitu, metode sintetik, komposit, dan

James-Stein. Metode sintetik adalah merupakan suatu metode dari penduga langsung

untuk area besar, yang memiliki galat baku kecil digunakan untuk memperoleh

penduga tak langsung untuk area kecil tertentu. Metode ini mengasumsikan

bahwa area kecil tersebut memiliki karateristik yang sama dengan area besar.

Metode komposit merupakan rata-rata terboboti dari penduga langsung dan

penduga tak langsung. Metode James-Stein adalah penduga komposit yang

menggunakan pembobot umum dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat.

Model penghubung eksplisit adalah model yang didasarkan pada pengaruh

acak area kecil untuk mendapatkan keragaman antar area dan informasi peubah

penyerta, yang selanjutnya dikenal dengan model area kecil. Menurut Rao (2005)

peubah penyerta yang baik adalah peubah yang berhubungan erat dengan peubah

Penduga yang diperoleh dari model area kecil ini adalah penduga prediksi tak bias

linier terbaik empirik (Emperical Best Linear Unbiased Prediction, EBLUP), Bayes empirik (Empirical Bayes, EB), dan Bayes hirarki (Hierarchical, HB)

Metode Bayes dan Bayes Empirik

Metode Bayes yang ditemukan oleh Thomas Bayes dan kemudian

dikembangkan oleh Richard Price (1763) dua tahun setelah wafatnya Bayes,

kemudian Laplace pada tahun 1774 dan 1781 yang memberikan analisis secara

rinci, merupakan metode yang lebih baik untuk statistik Bayes sekarang (Gill,

2002).

Model statistik Bayes merupakan perpaduan antara sebaran prior dan

posterior, yaitu jika dimisalkan dengan sebaran percontohan X θ~ f

( )

xθ dan

sebaran prior θ~ π

( )

θ diketahui maka sebaran posterior dari θ adalah

( )

( )

( )

( )

( )

( )

x m x f x m

x f

x = θ = θπθ

θ

π , dengan m

( )

x =

∫

f

( )

xθπ

( )

θ dθ

Suatu sebaran prior dinamakan konjugate bila menghasilkan sebaran

posterior yang sama dengan dirinya. Sebaran yang masih dalam keluarga

eksponensial mempunyai prior konjugate. Seperti sebaran Poisson memiliki prior

konjugate Gamma dan sebaran Binomial memiliki prior konjugate Beta.

Metode Bayes empirik merupakan suatu metode yang menggunakan data

pengamatan untuk menduga parameter prior. Pertama kali model ini

diperkenalkan oleh Fay-Herriot (1970), untuk menduga rata-rata pendapatan area

kecil di Amerika Serikat. Metode ini sesuai untuk menangani data-data biner dan

cacahan pada pendugaan area kecil. Pendekatan Bayes Empirik dalam pendugaan

area kecil mempunyai ciri-ciri sebagai berikut :

a. Memperoleh fungsi kepekatan posterior dari parameter area kecil yang

teramati

b. Pendugaan parameter model dari fungsi kepekatan marginal

c. Menggunakan pendugaan fungsi kepekatan posterior untuk membuat

Garis Kemiskinan

Suatu rumah tangga rumah dikategorikan sebagai rumah tangga miskin,

jika pengeluaran makanan dan bukan makanan untuk per kapita rumah tangga

tersebut lebih kecil dari garis kemiskinan yang ditetapkan.

Menurut Berita Resmi Statistik (2006) batas Garis Kemiskinan (poverty line) penduduk Indonesia pada tahun 2005 adalah Rp. 152.847,- per kapita per bulan. Menurut BPS kota Bekasi batas Garis Kemiskinan kota Bekasi pada tahun

2005 adalah sebesar Rp. 163.385,- per kapita per bulan.

Model Beta-Binomial

Model ini merupakan suatu model yang berawal dari model Bernoulli

dengan model peluang untuk data biner yang dinyatakan dengan

dengan model dasar: m. ..., 2, 1, i ; n ..., 1, j

= _i =

ij y ) ( ~ _i iid i ij Bernoulli

y θ θ atau ~ ( _i, _i)

iid

i

i Binomial n

y θ θ

dan 0 0 ) , (

~ α β α > β >

θ Beta

iid

i

dengan Beta(α,β) menyatakan sebaran Beta dengan parameter α dan β serta

fungsi kepekatan untuk θ_i adalah

(

,

)

( ) ( )

(

)

1

(

1−

)

1 >0 >0 Γ Γ + Γ = _θ − _θ − _{α β} β α β α β α θ α β i i i f

dan Γ

()

. adalah fungsi gamma.

Untuk menyederhanakan _i

(

_{i in}

)

T

i

y y

y = ₁,..., menjadi total contoh

, merupakan statistik cukup minimal untuk model tahap pertama.

Diketahui bahwa

∑

= _j ij

i y

y yi

) , _i i θ ( ~ iid i

iθ Binomial n

y yang mempunyai fungsi kepekatan

sebagai berikut :

(

)

i

(

)

ni yi

i y i i i i i y n y

f _⎟⎟ − −

Berdasarkan persamaan fungsi kepekatan θ_i dan fungsi kepekatan maka i y ) , ( ~ , ,α β α β

θ_i y_i indBeta y_i + n_i −y_i +

Oleh karena itu, penduga Bayes bagi θ_i adalah

(

)

(

)

β α α β α θ β α θ + + + = = i i i i B i n y y

E , ,

, ˆ

dan ragam posterior bagi θ_i adalah:

(

)

(

)(

)

(

)(

)

2

1 , , β α β α β α β α θ + + + + + + − + = i i i i i i i n n y n y y V

Sebaran penghubung f

(

θ_iα,β

)

dinamakan prior konjugate pada sebaran

posterior, f

(

θ_i y_i,α,β

)

mempunyai bentuk yang sama dengan sebaran priornya.

Dari sebaran penghubung tersebut, maka digunakan model yang sering disebut

model Beta-Binomialdengan sebaran peluang marginal:

(

)

(

(

) (

)

)

( ) ( )

(

)

(

)

( )

α β − + β + α ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = β Γ α Γ β + α Γ + β + α Γ − + β Γ + α Γ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = β α , , , , B y n y B y n n y n y y n n y f i i i i i i i i i i i i i

Untuk menduga parameter α dan β digunakan dengan metode momen Kleinman:

θ β α α _ˆ ˆ ˆ ˆ =

+ dan

( )

(

)

( )

−

[

−∑

(

)

−

(

−

)

]

− − − = +

+ _{T i i T}

T m n n n m s n 1 / ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 ˆ ˆ 1 2 2 θ θ θ θ β α θ

dengan rataan contoh berbobot _{i i}

T i n n θ θˆ _∑ ˆ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

= , ragam contoh terboboti

(

ˆ ˆ

)

2

2 _{∑ −}

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

= _{i i}

T i

n n

s_θ θ θ dan =

∑

i i

T n

n .

Ekspresi untuk dugaan parameter αˆ dan dinyatakan dengan rumus berikut

dan diperoleh:

( )

[

(

)

(

)

]

( )

(

)

⎥⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − ∑ − − − − = 1 1 ˆ 1 ˆ 1 / ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 2 2 m s n m n n n T

i i T

T θ θ θ θ θ α

θ dan

( )

[

( )

(

)

(

)

]

(

)

⎥⎥_⎦⎢⎣⎡ − ⎥⎦⎤ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − ∑ − − − − = 1 ˆ 1 1 1 ˆ 1 ˆ 1 / ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 2 2 θ θ θ θ θ θ β θ m s n m n n n T

i i T

T

di mana αˆ dan βˆ dugaan parameter sebarab Beta-Binomial

Pensubstitusian parameter αˆ dan dari metode momen Kleinman ke

penduga EB bagi diperoleh

βˆ EB i θˆ

( )

α β γ θ

(

γ

)

θ θ

θˆ ˆ _ˆ, ˆ _ˆ ˆ _{1 ˆ} ˆ

i i i B i EB

i = = + −

dengan β α λ ˆ ˆ ˆ + + = i i i n n

dan merupakan rataan berbobot dari penduga

langsung dan penduga sintetik (Rao, 2003).

EB i θˆ θˆ i θˆ

Pendugaan MSE dengan Metode Jackknife

Menurut Rao (2003), penentuan penduga ragam (kuadrat tengah galat)

dengan metode Jackknife untuk penduga EB adalah

MSE_J

( ) (

_iEB E _iEB _iB

)

E _iB i M_1i M_2i

2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ _{= +} ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = θ θ θ θ θ dengan

(

)

− − ∑

[

(

) (

−

)

]

= = − − m

l i l l i i i

i i

i g y g y

m m y g

M

1 1 1

1

1 ˆ , ˆ , ˆ, ˆ,

1 , ˆ , ˆ ˆ _{α β α β α β}

[

]

2

1 ,

2 ˆ ˆ

1 ˆ ₌ − _{∑ −} = − m l EB i EB l i i m m

M θ θ

dimana θˆ_iEB =k_i

(

θˆ_i,αˆ,βˆ

)

merupakan penduga Bayes bagi θ_i dan

(

i,−l,αˆ−l,βˆ−l

)

i EB

l i− =k θ

θˆ ˆ

Pendugaan MSE dengan Metode Bootstrap

Penduga bootstrap untuk kepekatan peluang fungsi dinyatakan dengan

Ukuran sampel bootstrap m didefinisikan dengan

m. ..., 2, 1, i ; n ..., 1, j

y_ij = _i =

(

* *

)

2 * 1 * ,..., , _{j mj}

j y y

y

y = merupakan hasil dari resampling sampel yij.

Menurut Butar dan Lahiri (2003), penentuan penduga ragam (kuadrat tengah

galat) dengan metode Bootstrap untuk penduga EB adalah

B i B i EB i

B M M

MSE _{1, 2,}

^ ˆ ˆ ₊ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ θ di mana

( )

− ∑

(

( )

)

= = B

b i v

v i B

i g b

B g M 1 2 1 2 1 , 1 ˆ 1 ˆ 2 ˆ _{σ σ}

dengan g_1i

( )

σˆ_v2

( )

merupakan penduga ragam proporsi Bayes empirik dan

(

v b

)

2 ˆ ∑ = B b i g 1 1

σ merupakan penduga ragam proporsi Bayes empirik hasil

resampling bootstrap sebanyak B kali.

dan

( )

{

}

2

1 ,

2 ˆ ˆ

1 ˆ _{= ∑ −} = B b EB i EB i B i b B

M θ θ

dengan θˆ_iEB merupakan penduga proporsi bayes empirik dan

merupakan penduga proporsi Bayes empirik hasil resampling

bootstrap sebanyak B kali.

( )

b

EB i

METODOLOGI PENELITIAN

Sumber Data

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data pengeluaran per

kapita kota Bekasi tahun 2005 yang diperoleh dari Survei Sosial Ekonomi

Nasional (Susenas) dan Pendataan Potensi Desa/Kelurahan (Podes) tahun 2005.

Data tersebut diperoleh dari Badan Pusat Statistik (BPS).

Peubah respon yang menjadi perhatian adalah proporsi rumah tangga miskin

yang didekati dari pengeluaran per kapita rumah tangga. Suatu rumah tangga

dikatakan miskin jika pengeluaran per kapita rumah tangga tersebut berada di

bawah garis kemiskinan.

Metode Analisis

Penerapan pendugaan area kecil berbasis model beta-binomial dilakukan

melalui tahapan sebagai berikut:

1. Menghitung dugaan langsung proporsi dan ragam proporsi rumah tangga

miskin masing-masing kelurahan di kota Bekasi dengan formula:

i i i

n y

=

θˆ _dan

( ) ( )

i i i i

n

Varθ θ θ

ˆ 1 ˆ ˆ ₌ −

di mana

i

y = jumlah rumah tangga miskin kelurahan ke-i

i

n = jumlah rumah tangga kelurahan ke-i

i

θˆ _{= dugaan langsung proporsi rumah tangga miskin kelurahan ke-i}

2. Menghitung proporsi dan ragam proporsi rumah tangga miskin di kota Bekasi

menggunakan rataan dan ragam terboboti dengan

i i

T i

n n _θ

θˆ _∑ ˆ

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

= dan

(

ˆ ˆ

)

2

2 _{∑ −}

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

= _{i i}

T i

n n

s_θ θ θ

di mana

∑ = _{T i}

T n

n

2

θ

s = ragam terboboti kota Bekasi

3. Menduga parameter sebaran beta-binomial αˆ dan βˆ dengan metode momen

Kleinman menggunakan rataan dan ragam contoh terboboti dari persamaan

θ β α α _ˆ ˆ ˆ ˆ =

+ dan

( )

(

)

( )

−

[

−∑

(

)

−

(

−

)

]

− − − = +

+ _{T i i T}

T m n n n m s n 1 / ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 ˆ ˆ 1 2 2 θ θ θ θ β α θ dan diperoleh:

( )

[

(

)

(

)

]

( )

(

)

⎥⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − ∑ − − − − = 1 1 ˆ 1 ˆ 1 / ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 2 2 m s n m n n n T

i i T

T θ θ θ θ θ α

θ dan

( )

[

( )

(

)

(

)

]

(

)

⎥⎥_⎦⎢⎣⎡ − ⎥⎦⎤ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − ∑ − − − − = 1 ˆ 1 1 1 ˆ 1 ˆ 1 / ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 2 2 θ θ θ θ θ θ β θ m s n m n n n T

i i T

T

di mana αˆ dan βˆ dugaan parameter sebarab Beta-Binomial

4. Melakukan pendugaan Bayes empirik proporsi rumah tangga miskin (θˆ_iEB)

masing-masing kelurahan di kota Bekasi menggunakan formula

( )

α β γ θ

(

γ

)

θ θ

θˆ ˆ _ˆ, ˆ _ˆ ˆ _{1 ˆ} ˆ

i i i B i EB

i = = + −

di mana β α λ ˆ ˆ ˆ + + = i i i n n i

θˆ _{= dugaan langsung proporsi rumah tangga miskin kelurahan ke-i.}

θˆ _{= dugaan langsung proporsi rumah tangga miskin di kota Bekasi}

5. Menghitung kuadrat tengah galat (MSE) dari penduga Bayes empirik

menggunakan metode Naive, Jackknife, dan Bootstrap dengan tahapan

sebagai berikut:

Metode ini menggunakan formula ragam posterior bagi θ_i sebagai berikut

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

2

ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ , ˆ β α β α β α β α θ + + + + + + − + = i i i i i i i n n y n y y V

b. Metode Jackknife

Proses perhitungan MSE menggunakan metode Jackknife adalah sebagai

berikut:

o Hitung nilai Mˆ_1i dengan formula:

(

)

− − ∑

[

(

) (

−

)

]

=

= − −

m

l i l l i i i

i i

i g y g y

m m y g

M

1 1 1

1

1 ˆ , ˆ , ˆ, ˆ,

1 , ˆ , ˆ ˆ _{α β α β α β} di mana

(

i

)

i y

g₁ αˆ,βˆ, merupakan ragam posterior

(

l l i

)

i y

g₁ αˆ₋ ,βˆ₋ , merupakan ragam posterior yang diperoleh dengan

menghapus pengamatan ke-l.

o Hitung Mˆ_2i dengan formula:

[

]

2

1 ,

2 ˆ ˆ

1 ˆ ₌ − _{∑ −} = − m l EB i EB l i i m m

M θ θ

di mana

EB i

θˆ _{adalah penduga proporsi Bayes empirik}

EB l i,−

ˆ

θ adalah penduga proporsi Bayes empirik yang diperoleh dengan

menghapus pengamatan ke-l.

Hitung MSE_J

( )

θˆ_iEB dengan formula:

( )

i i

EB i

J M M

c. Metode Bootstrap

o Menghitung penduga ragam proporsi Bayes empirik g_1i

( )

σˆ_v2 dan

penduga ragam proporsi Bayes empirik

(

( )

)

hasil resampling

bootstrap sebanyak B kali.

∑ = B

b i v

b g

1 2 1 σˆ

o Menghitung Mˆ_1i,B menggunakan persamaan

( )

− ∑

(

( )

)

=

= B

b i v

v i B

i g b

B g

M

1 2 1 2

1 ,

1 ˆ

1 ˆ 2

ˆ _{σ σ}

o Menghitung penduga proporsi bayes empirik θˆ_iEB dan penduga

proporsi Bayes empirik θˆ_iEB

( )

b hasil resampling bootstrap

o Menghitung Mˆ_2i,B menggunakan persamaan

( )

{

}

2

1 ,

2 ˆ ˆ

1

ˆ _{= ∑ −}

= B

b

EB i EB

i B

i b

B

M θ θ

o Menghitung kuadrat tengah galat MSE_B

( )

θˆ_iEB dengan menggunakan persamaan MSE_B

( )

θˆ_iEB =Mˆ_1i,B +Mˆ_2i,B

6. Membandingkan kuadrat tengah galat dari penduga langsung dengan penduga

Bayes empirik.

7. Membandingkan kuadrat tengah galat dari penduga Bayes empirik antara

HASIL DAN PEMBAHASAN

Data Pengeluaran Per Kapita

Berdasarkan data dari Dinas Kependudukan dan Catatan Sipil Kota Bekasi

bahwa jumlah rumah tangga sebanyak 428,980 dengan jumlah anggota rumah

tangga sebanyak 1,726,435 jiwa. Rumah tangga tersebut menyebar pada 12

[image:30.595.95.518.222.746.2]

kecamatan dengan 56 kelurahan kota Bekasi, seperti disajikan pada Gambar 1.

Berdasarkan Tabel 1, secara umum rata-rata pengeluaran rumah tangga

untuk semua kelurahan di kota Bekasi sebesar Rp. 348,802,00 per kapita per

bulan dengan per kapita, pengeluaran minimum sebesar Rp. 66,210,00 per kapita

per bulan, dan maksimum sebesar Rp. 2,532,036,00 per kapita per bulan serta

[image:31.595.113.511.228.456.2]

simpangan baku dari pengeluaran sebesar Rp. 298,510,00.

Tabel 1 Ukuran Parameter Pengeluaran Kecamatan dan kota Bekasi

No Kecamatan Minimum Mean Maksimum STANDAR DEV.

1 PONDOK GEDE 86,575 336,218 930,552 179049.906

2 JATISAMPURNA 66,210 329,884 1,827,848 336001.829

3 JATIASIH 97,567 434,554 1,877,096 282076.017

4 BANTARGEBANG 92,482 194,593 463,886 71640.444

5 BEKASI TIMUR 153,516 334,404 848,096 145350.578

6 RAWALUMBU 78,085 293,463 633,066 113542.762

7 BEKASI SELATAN 157,960 805,364 2,532,036 613412.568

8 BEKASI BARAT 92,014 237,126 1,037,219 135089.958

9 MEDAN SATRIA 112,386 305,860 578,465 123996.136

10 BEKASI UTARA 92,793 281,021 1,402,146 163648.287

11 PONDOK MELATI 91,895 320,736 949,131 196386.047

12 MUSTIKA JAYA 103,933 322,194 1,115,754 231953.225

KOTA BEKASI 66,210 348,802 2,532,036 298,510

Data berdasarkan Susenas BPS kota Bekasi

Pengeluaran per kapita terbesar terdapat di kecamatan Bekasi Selatan

sebesar Rp. 805,364,00 dan rataan pengeluaran terkecil terdapat di kecamatan

Bantar Gebang sebesar Rp. 194,593,00.

Bila pengeluaran rumah tangga per kapita per bulan di kota Bekasi

dikaitkan dengan garis kemiskinannya sebesar Rp. 163.385,00, maka akan

diperoleh sejumlah rumah tangga miskin yang tersaji dalam Tabel 2. Secara

umum, kecamatan yang mempunyai contoh rumah tangga miskin terbanyak pada

kecamatan Bekasi Barat (37 rumah tangga) dan rumah tangga miskin paling

[image:32.595.102.522.131.426.2]

Tabel 2 Daftar Jumlah Rumah Tangga, Anggota Rumah Tangga, Contoh dan Rumah Tangga Miskin kota Bekasi

No  Nama  Jumlah 

Kec.  Kecamatan  Rumah 

Tangga 

Anggota Rumah 

Tangga  Contoh 

Rumah  Tangga  Miskin 

  PONDOK GEDE  , ,  

  JATI SAMPURNA  13,628  56,180   

  PONDOK MELATI  , ,  

  JATI ASIH 

G 

, ,  

  BANTAR GEBAN , ,

,

    MUSTIKA JAYA 

 

,  

  BEKASI TIMUR , 232,495    1 

  RAWA LUMBU  N 

, ,  

  BEKASI SELATA , ,  

 

  BEKASI BARAT  , , 37 

  MEDAN SATRIA  , , 61 

  BEKASI UTARA  62,222  , 143 

   JUMLAH  , , , ,  

Data berdasarkan Dinas Kependudukan dan Catatan Sipil, Susenas, dan Podes BPS kota Bekasi

Dugaan Proporsi Rumah Tangga Miskin

Pada penelitian ini, terdapat tiga penduga proporsi yang digunakan dalam

menduga proporsi rumah tangga miskin yakni dengan penduga langsung, penduga

sintetik, dan penduga EB dari model Beta-Binomial. Penduga langsung

merupakan penduga yang diperoleh dari banyaknya rumah tangga miskin per

jumlah contoh yang diperoleh dari survei. Penduga sintetik merupakan rata-rata

terboboti dari setiap penduga langsung masing-masing kelurahan, sedangkan

penduga EB merupakan penduga yang dihitung berdasarkan penduga langsung

dan penduga sintetik dengan pembobot yang diperoleh dari metode Beta-Binomial.

Dugaan proporsi pada setiap kelurahan untuk masing-masing metode disajikan

pada lampiran 6.

Berdasarkan hasil penduga proporsi rumah tangga miskin masing-masing

kelurahan di kota Bekasi diperoleh 18 kelurahan yang memiliki rumah tangga

[image:33.595.85.512.57.732.2]

[image:34.595.109.452.141.430.2]

Tabel 3 Kelurahan dengan proporsi rumah tangga miskin lebih dari 10 % di kota Bekasi

No Nama Penduga-

Kel. Kelurahan Langsung Sintetik EB

1 JATIMAKMUR 0.1875 0.10988 0.17490

2 JATIBENING 0.1875 0.10988 0.17490

3 JATIRANGGA 0.1875 0.10988 0.17490

4 JATIMURNI 0.25 0.10988 0.22725

5 JATILUHUR 0.5 0.10988 0.43665

6 CIKETINGUDIK 0.5625 0.10988 0.48900

7 CIKIWUL 0.4375 0.10988 0.38430

8 BANTARGEBANG 0.1875 0.10988 0.17490

9 CIMUNING 0.25 0.10988 0.22725

10 MUSTIKAJAYA 0.4375 0.10988 0.38430

11 BOJONG MENTENG 0.125 0.10988 0.12254

12 SEPANJANG JAYA 0.25 0.10988 0.22725

13 BINTARA JAYA 0.5625 0.10988 0.48900

14 KRANJI 0.21875 0.10988 0.20913

15 KOTA BARU 0.2 0.10988 0.18456

16 JAKA SAMPURNA 0.5625 0.10988 0.52250

17 MEDAN SATRIA 0.125 0.10988 0.12254

18 PERWIRA 0.4375 0.10988 0.38430

Dugaan MSE Proporsi Rumah Tangga Miskin

Dari Gambar 3, terlihat bahwa dengan MSE penduga EB jauh lebih kecil

dibandingkan dengan MSE Penduga langsung. Hal ini menunjukkan bahwa

penduga proporsi area kecil menggunakan model Beta-Binomial lebih akurat jika

[image:35.595.98.544.102.724.2]

Sementara itu, dari 3 metode penduga MSE untuk model area kecil, baik

metode Naive yang berdasarkan pada posterior maupun Jackknife dan Bootstrap

menghasilkan dugaan MSE yang relatif kecil dan relatif sama. Hal ini ditunjukkan

[image:36.595.98.532.182.600.2]

pada Gambar 4, di mana terlihat ketiga plot MSE tersebut relatif berhimpit.

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

1. Penduga tidak langsung proporsi rumah tangga miskin pada area kecil

menggunakan metode Bayes empirik menghasilkan dugaan yang lebih baik

dibandingkan dengan penduga langsung. Hal ini ditunjukkan oleh dugaan

MSE penduga Bayes empirik yang jauh lebih kecil dibanding penduga

langsung.

2. Ketiga metode pendugaan MSE untuk dugaan proporsi rumah tangga miskin

menghasilkan nilai yang relatif kecil dan relatif sama.

3. Dugaan total rumah tangga miskin di kota Bekasi yang diperoleh melalui

metode pendugaan area kecil sebanyak 11.08 % atau 47.521 rumah tangga.

Saran

Penelitian ini menggunakan model Beta-Binomial tanpa peubah penyerta.

Untuk lebih meningkatkan keakuratan pendugaan disarankan memasukkan

DAFTAR PUSTAKA

Agresti, A. (2002). Categorical Data Analysis, New Jersey : John Wiley and Sons.

Agresti, A. Dan Hitchock, DB. (..) Bayesian inference for categorical data analysis : a survey. [terhubung berkala]

http://www.stat.ufl.edu/~aa/cda/bayes.pdf [25 Nopember 2006].

[BKCSKB] Badan Koordinasi Catatan Sipil dan Keluarga Berencana, ”Data Keluarga Pra S dan KS I Alasan Ekonomi” (2007), Kota Bekasi

[BPS] Badan Pusat Statistik (2003), SUSENAS (Survei Sosial Ekonomi Nasional) 2003, Pedoman Pencacah Kor, Jakarta Indonesia

[BPS] Badan Pusat Statistik (2005), PODES SE2006 Pedoman Pencacah, Jakarta Indonesia

[BPS] Badan Pusat Statistik (2006), ”Tingkat Kemiskinan di Indonesia Tahun 2005-5006”, Berita Resmi Statistik, No 47/X/1 September 2006, Jakarta Indonesia

Carlin, BP. dan Louis, TA. (2000). Bayes and empirical Bayes methods for data analysis. New York : Chapman & Hall.

Datta, GS. dan Lahiri, P. (2000), ”A unified measure of uncertainty of estimated best linear unbiased predictors in small area estimation problems”,

Statistica Sinica, 10, 613-627.

Farrel PJ. (1997). Empirical Bayes Estimation of small area proportions based on ordinal outcome variables. Survey Methodology 23, 119-126.

Gill, J. (2002). Bayesian methods : a social and behavioral sciences approach. Boca Raton : Chapman & Hall.

Gosh, M. dan Rao, JNK., (1994), Small Area Estimation : An Appraisal, Statistical Sciences Vol. 9 No. 1, 56 – 93.

Kismiantini (2007). Pendugaan Statistik Area Kecil Berbasis Model

Kurnia, A. dan Notodiputro, KA., (2005a) General Linear Mixed Model pada

Small Area Estimation, Makalah disampaikan pada Seminar Nasional

Matematika, UI Depok 30 Juli 2005.

Kurnia, A. dan Notodipuro, KA., (2005b) Aplikasi Metode Bayes pada Small

Area Estimation, Makalah disampaikan pada Seminar Nasional Statistika

VII, ITS Surabaya, 26 November 2005.

Rahman, LOA., (2008), Aplikasi Bootstrap Parameter pada Pendugaan Selang Prediksi Statistik Area Kecil, Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor.

Levy, PS. dan Lemeshow, S., (1999), Sampling of Population, Methods and Applications, New York : John Wiley and Sons, Inc., Thrid Editions.

Longford, NT., (2005), Missing Data and Small-Area Estimation, Modern Analytical Equipment for the Survey Statistician, Springer Science+Business Media, Inc.

MacGibbon, B. dan Tomberlin, TJ. (1989). Small area estimates of proportions via empirical Bayes techniques. Survey Methodology 15, 237-252.

Prasad, NGN dan Rao, JNK., (1990), “The Estimation of Mean Squared Errors of Small Area Estimation”, Journal of American Statistical Association 85, 163-171.

Rao, JNK., (1999), Some Recent Advances in Model-Based Small Area Estimation, Survey Methodology Vol 25, 175 – 186, Statistician Canada.

Rao, JNK., (2003), Small Area Estimation, New York : John Wiley and Sons.

Saei, A. dan Chambers, R., (2003), Small Area Estimation Under Linear and Generalized Linear Models With Time and Area Effects, S3RI Methodology Working Paper, Southampton Statistical Sciences Research Institute, University of Southampton.

SAS (1993), SAS /IML Software : Usage and Reference, Version 6, First Edition, SAS Institute Inc., Cary , NC, USA.

Scheaffer, RL., Mendenhall, W., dan Ott, L., (1990), Elementary Survey Sampling, Boston, PWS-KENT Publishing Company, edition 4th.

Cochran, WG., (1991), Teknik Penarikan Sampel, Penerbit Universitas Indonesia, UI Press, Edisi Ketiga.

Lampiran 1 : Sifat-sifat Sebaran Beta-Binomial

( )

y f

1.1. Fungsi Peluang

Menurut Cassela dan Berger (1990) suatu fungsi dari peubah Y,

misalkan disebut sebagai fungsi kepekatan peluang atau fungsi massa

peluang apabila memenuhi beberapa syarat berikut :

a. f

( )

y > 0, y ∈R

b. ∑

( )

= , jika y diskrit atau

R y

f 1 ∫

( )

=

R

y

f 1, jika y kontinu.

c.

(

∈

)

=∑

( )

A y f A Y

P , jika y diskrit atau

(

∈

)

= ∫

( )

A dy y f A Y

P jika y kontinu

Model beta-binomial adalah model untuk data cacahan, model

mengalami overdispersi. Model ini merupakan suatu model yang berawal dari

model Bernoulli dengan model peluang untuk data cacahan yang dinyatakan

dengan y_ij j=1,...,n_i ; i=1,2,...,m.

Tahap pertama :

) ( ~ _i iid i ij Bernoulli

y θ θ atau ~ ( _i, _i) iid

i

i Binomial n

y θ θ

Peubah acak yang diamati adalah _i

(

_{i in}

)

T

i

y y

y = ₁,..., menjadi total contoh

, merupakan statistik cukup minimal untuk model tahap pertama.

Diketahui bahwa distribusi sampling ∑

= _{j ij}

i y

y y_i

) , (

~ _i

iid

i Binomial n θ

θ _i

i

y yang mempunyai fungsi kepadatan sebagai berikut :

(

)

i

(

)

ni yi

i y i i i i i y n y

f _⎟⎟ − −

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = θ θ

θ 1 (1)

Tahap kedua :

0 0 ) , (

~ α β α > β >

θ Beta

iid

i

dengan Beta(α,β) menyatakan distribusi beta dengan parameter α dan β serta

fungsi kepadatan (distribusi prior) untuk θ_i adalah

(

,

)

( ) ( )

(

)

1

(

1−

)

1 >0 >0 Γ Γ + Γ = _θ − _θ − _{α β} β α β α β α θ α β i i i

Lanjutan

dan Γ

()

. adalah fungsi gamma.

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh fungsi kepadatan posterior berikut :

(

)

(

( )

)

(

( )

)

( )

(

)

(

) (

)

1

(

1

)

1

, − + − − + ₋ − + Γ + Γ + + Γ = = = β α _θ θ β α β α θ π θ θ θ π i i

i n y

i y i i i i i i i i i i i i i i y n y n y m y f y m y f y (3)

dengan fungsi kepadatan marginal

( )

(

)

( )

(

) (

)

(

)

( ) ( )

(

α β

)

β α β α β α θ θ π θ Γ Γ + Γ + + Γ + + Γ + Γ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ∫ = i i i i i i i i i i i n y n y y n d y f y m (4)

serta fungsi peluang dari persamaan di atas dapat dinyatakan dengan bentuk

sebagai berikut :

(

)

(

(

)

)

(

)(

) ( )

[

]

[

(

)(

]

(

)(

) (

)

[

]

) ( )

(

)

(

)

(

)

∏ + + ∏ + ∏ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = + − + + − + + − − + − − + − + − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − = − − = − = 1 0 1 0 1 0 ... 2 1 ... 2 1 ... 2 1 , , B , , i i i i n h y n h y h i i i i i i i i i i i i i i i i i i i h h h y n n n y n y n y y y n B y n y y n n y f β α β α β α β α β α β β β α α α β α β α β α (5) Menurut Williams (1975) pendugaan parameter untuk α dan β adalah

( )

β α α μ + = = ij y

E dan

β α λ

+

Lanjutan

dan berdasarkan parameter yang dikemukakan oleh Grifftih (1973), maka

persamaan (5) dapat ditulis fungsi sebagai berikut :

(

)

(

)

(

(

)

)

∏ + ∏ − + ∏ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ₋ = − − = − = 1 0 1 0 1 0 1 1 , , i i i i n h y n h y h i i i i h h h y n n y f λ λ μ λ μ β

α (7)

1.2. Rataan dan Ragam Sebaran Beta-Binomial

Salah satu generalisasi percobaan Bernoulli adalah untuk menentukan

peluang ’sukses’ yang bervariasi dari percobaan ke percobaan. Model standar

untuk model ini seperti pada tahap pertama, peubah acak yang diamati

menjadi total contoh

(

T

in i

i y y i

y = ₁,...,

)

y_i =∑_j y_ij . Rataan yang dibentuk

adalah :

( )

_⎥= ∑

( )

= ∑

[

(

)

]

= ∑

(

)

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∑ = = = = = i i i i n j i n i n

j ij ij

n

j ij n

j ij

i E y E y EE y E y

y E 1 1 1 1 , , ,β θ α β α

θ (8)

Selanjutnya akan diselesaikan E

(

θ_in y_i,α,β

)

yaitu

Lanjutan atau

(

)

(

)

(

)

(

(

α

)

β

)

α α β α β α θ + + + Γ + + Γ + Γ + + Γ = i i i i i n i n n y n y n y

E , , (9)

Perhitungan untuk memperoleh nilai E

(

θ_i y_i,α,β

)

dengan menentukan untuk n = 1, maka diperoleh

(

)

(

(

)

)

(

(

)

)

(

)

(

)

(

(

) (

) (

)

)

(

)

(

α β

)

α β α β α α α α β α β α α α β α β α θ + + + = + + Γ + + + Γ + + Γ + + Γ = + + + Γ + + Γ + Γ + + Γ = i i i i i i i i i i i i i i n y n n y y y n n y y n y E 1 1 , , (10)

dan untuk V

(

θ_i y_i,α,β

)

dengan munggunakan rumus

V

(

θ_i y_i,α,β

)

=E

(

θ_i2 y_i,α,β

)

−

[

E

(

θ_i y_i,α,β

)

]

2 (11)

\

Untuk n = 2, diperoleh

(

)

(

(

)

)

(

(

)

)

(

)

(

)

(

(

)(

)(

) (

) (

)

)

(

)(

)

(

α β

)(

α β

)

α α β α β α β α α α α α β α β α α α β α β α θ + + + + + + + + = + + Γ + + + + + + Γ + + + + Γ + + Γ = + + + Γ + + Γ + Γ + + Γ = i i i i i i i i i i i i i i i i i i n n y y n n n y y y y n n y y n y E 1 1 1 1 2 2 , , 2 (12)

Lanjutan

(

)

( )

[

( )

]

(

)(

)

(

)(

)

(

(

)

)

(

)(

)

(

)(

)

(

(

)

)

(

)(

)(

) (

) (

(

) (

)

)

(

) (

[

)(

) (

)(

]

(

) (

)

)

(

)(

)

(

α β

) (

α β

)

β α β α β α β α α α β α α β α β α β α α α α β α β α α β α β α α α β α α β α β α α α θ θ β α θ + + + + + + − + = + + + + + + + + + − + + + + + = + + + + + + + + + − + + + + + = + + + − + + + + + + + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − + + + + + + + + = − = i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i n n y n y n n n y y n y n n n y y y n n y n n y y n y n n y y E E y V 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (13)

secara ringkas diperoleh rumus penduga bayes dan ragam posterior bagi θ_i adalah

( )

(

)

(

(

)

)

β α α β α θ β α θ ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ , ˆ ˆ , ˆ ˆ + + + = = i i i i B i n y y

E (14)

dan

(

)

(

)

(

)

(

α β

) (

α β

)

β α β α θ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ , ˆ 2 + + + + + + − + = i i i i i i i n n y n y y

V (15)

1.3. Penurunan Penduga Empirical Bayes

Penduga empirical bayes dapat diperoleh dari rumus (15) dan hasil rumus

pada penduga momen Kleinman (1973), akan tetapi dalam proses penurunannya

menggunakan penduga empirisnya.

Dari (15), i i i n y =

θˆ _{, dan}

β α α θ ˆ ˆ ˆ ˆ +

= dapat diturunkan rumus penduga

anjutan L

( )

(

γ

)

θ θ γ β α α β α β α β α α β α β α β α β α β α α β α β α β α β α α β α β α β α β α β α β α α β α β α α β α β α α β α θ θ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i B i EB i n n n y n n n n n n n y n n n n n n y n n n n y n n n n n n y n n y n y − + = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + + + = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + + + + + + + = + + + − + + + + + = + + + + + + + = + + + + + + + = + + + + + = + + + = = (16) dengan γˆ = β α_ˆ+ ˆ + i i i n n

ehingga diperoleh penduga empirical bayes

s θ_i adalah

( )

α β γ θ

(

γ

)

θ θ

θˆ ˆ _ˆ, ˆ _ˆ ˆ _{1 ˆ} ˆ

i i i B i EB

Lampiran 2 : Program perhitungan αˆ dan βˆ dengan metode momen

proc iml;

options ps=50;

/* pembacaan data dari file podesbks */

load _all_; use podesbks; read all;

NM=(NO); ni=(ni); y=(yi);

print 'DATA AWAL CONTOH DAN KELUARGA PRASEJAHTERA'; print nm ni y ;

/* pendugaan metode momen Kleinman 1973 */

nT=ni[+,]; pi=y/ni; w=ni/nT; m=nrow(ni);

/* mean contoh berbobot */

pib=w#pi; p_hat=p[+,];

/* ragam contoh berbobot */

sp2=w#(pi-p_hat)##2;.

sum_sp2=sp2[+,];

print 'PERHITUNGAN PI, PI BERBOBOT DAN SP2'; print nm pi pib sp2 ;

print 'MEAN DAN RAGAM CONTOH BERBOBOT'; print p_hat sum_sp2 ;

/* perhitungan momen Kleinman */

ni2=(ni##2)/nT; sum_ni2nT=ni2[+,];

Lanjutan

/* nilai alpha dan beta */

alpha=p_hat*(1-k1)/k1; beta=alpha*(1/p_hat-1);

print 'NILAI ALPHA BETA'; print alpha beta;

Lampiran 3 : Hasil perhitungan αˆ dan βˆ dengan metode Kleinman

NILAI

αˆ βˆ

ALPHA_HAT BETA_HAT

0.340845 2.7611312

Lampiran 4 : Program perhitungan penduga Bayes, penduga empirical Bayes dan ragam posterior dengan metode Momen

proc iml;

options ps=50;

/* pembacaan data dari file podesbks */

load _all_; use podesbks; read all; NM=(NO); ni=(ni); y=(yi);

/* perhitungan pendugaan metode momen Kleinman 1973 */ nT=ni[+,];

pi=y/ni; w=ni/nT; m=nrow(ni);

/* mean contoh berbobot */ p=w#pi;

p_hat=p[+,];

/* ragam contoh berbobot */ sp2=w#(pi-p_hat)##2;

sum_sp2=sp2[+,]; z=(pi-p_hat)##2; ni2=(ni##2)/nT; sum_ni2nT=ni2[+,];

/* pendugaan momen Kleinman */

k11=(nT#sum_sp2)-p_hat*(1-p_hat)*(m-1); k12=p_hat*(1-p_hat)*(nT-sum_ni2nT-(m-1)); k1=k11/k12;

alpha=p_hat*(1-k1)/k1; beta=alpha*(1/p_hat-1);

/* penduga bayes dan ragam posterior bagi pi */ k21=(y+alpha)#(ni-y+beta);

k22=(ni+alpha+beta+1)#(ni+alpha+beta)##2; pi_hat_EB1=(y+alpha)/(ni+alpha+beta); var_pi_hat_EB=k21/k22;

Lanjutan

gamma=ni/(ni+alpha+beta);

pi_hat_EB2=gamma#pi+(1-gamma)#p_hat;

/* hasil penduga bayes, penduga empirical bayes dan ragam posterior */

Lampiran 5 : Programan SAS untuk perhitungan penduga jackknife

proc iml;

options ps=50;

/* PROGRAM CREATE BY SLAMET ABADI */

/* PENDUGAAN DENGAN METODE MOMENT KLEINMAN 1973 */

load _all_; use data3; read all;

nm=(nr); ni=(ni); y=(yi);

nT=ni[+,]; pi=y/ni; w=ni/nT; m=nrow(ni); p=w#pi;

p_hat=p[+,];

sp2=w#(pi-p_hat)##2; sum_sp2=sp2[+,];

ni2=(ni##2)/nT; sum_ni2nT=ni2[+,];

k11=(nT#sum_sp2)-p_hat*(1-p_hat)*(m-1); k12=p_hat*(1-p_hat)*(nT-sum_ni2nT-(m-1)); k1=k11/k12;

alpha=p_hat*(1-k1)/k1; beta=alpha*(1/p_hat-1);

/*

print alpha ; print beta; */

/* PERHITUNGAN PENDUGA PROPORSI DAN RAGAM EMPERICAL BAYES */

gamma=ni/(ni+alpha+beta);

Lanjutan

k21=(y+alpha)#(ni-y+beta);

k22=(ni+alpha+beta+1)#(ni+alpha+beta)##2; var_pi_hat_EB=k21/k22;

/*

print pi_hat_EB; print var_pi_hat_EB ; */

/* PERHITUNGAN ITERASI ALPHA DAN BETA */

do r = 1 to m;

if r=1 then sub_r=(2:m)`;

if (1<r&r<m) then sub_r=((1:(r-1))||((r+1):m))`; if r=m then sub_r=(1:(m-1))`;

/*

pi_hat_EB_k =pi_hat_EB[sub_r];

var_pi_hat_EB_k =var_pi_hat_EB[sub_r];

*/

ni_l=ni[sub_r]; y_l=y[sub_r]; nT_l=ni_l[+,]; pi_l=y_l/ni_l; w=ni_l/nT_l; m1=nrow(ni_l); p_l=w#pi_l;

p_hat_l=p_l[+,];

sp2_l=w#(pi_l-p_hat_l)##2;

sum_sp2_l=sp2_l[+,];

ni2_l=(ni_l##2)/nT_l;

sum_ni2nT_l=ni2_l[+,];

k11=(nT_l#sum_sp2_l)-p_hat_l*(1-p_hat_l)*(m1-1);

k12=p_hat_l*(1-p_hat_l)*(nT_l-sum_ni2nT_l-(m1-1));

k1=k11/k12;

alpha_l=p_hat_l*(1-k1)/k1;

beta_l=alpha_l*(1/p_hat_l-1);

alpha_iter=(alpha_iter//alpha_l) ;

Lanjutan

end;

/*

print pi_hat_EB_k ; print alpha_iter ; print beta_iter ; */

/* PERHITUNGAN ITERASI M1i dan M2i */

do r = 1 to m;

if r=1 then sub_r=(1)`;

if (1<r&r<m) then sub_r=(r)`; if r=m then sub_r=(m)`;

ysub=y[sub_r]; nsub=ni[sub_r];

ksub=var_pi_hat_EB[sub_r];

yl=repeat(ysub,m,1);

nl=repeat(nsub,m,1);

kl=repeat(ksub,m,1);

/* PERHITUNGAN M1i */

k21=(yl+alpha_iter)#(nl-yl+beta_iter);

k22=(nl+alpha_iter+beta_iter+1)#(nl+alpha_iter+beta_i

ter)##2;

g1il=k21/k22; diff=g1il-kl;

sum_diff=diff[+,];

sum_diff_iter=(sum_diff_iter//sum_diff) ;

ksub=var_pi_hat_EB[sub_r];

kl=repeat(ksub,m,1);

kl_iter=(kl_iter||kl);

ssub=pi_hat_EB[sub_r];

sl=repeat(ssub,m,1);

sl_iter=(sl_iter||sl);

end;

Lanjutan

/*

print m1i ; */

/* PERHITUNGAN M2i */

do s = 1 to m;

alpha2_l=alpha_iter[s,]; beta2_l=beta_iter[s,];

ralpha=repeat(alpha2_l,56,1);

rbeta=repeat(beta2_l,56,1);

k31=y+ralpha;

k32=ni+ralpha+rbeta; pi_EB_l=k31/k32;

gabung=(gabung||pi_EB_l) ;

x=gabung`;

end;

xl=(gabung`-sl_iter)##2; sumx=xl[+,];

sumx_trans= sumx`;

m2i =(m-1)/m#sumx_trans ; mse_J =m1i+m2i;

/*

print m1i ; print m2i ; */

print mse_J ;

No Nama Penduga No Nama Penduga

Kel. Kelurahan Langsung Sintetik EB Kel. Kelurahan Langsung Sintetik EB 1 JATIMAKMUR 0.1875 0.10988 0.17490 29 MARGAHAYU 0 0.10988 0.01784 2 JATIWARINGIN 0 0.10988 0.00971 30 BEKASI JAYA 0 0.10988 0.00971

3 JATIBENING 0.1875 0.10988 0.17490 31 DUREN JAYA 0 0.10988 0.01784 4 JATICEMPAKA 0 0.10988 0.01784 32 AREN JAYA 0.03125 0.10988 0.03820

5 JATIBARU 0 0.10988 0.01784 33 BOJONG MENTENG 0.125 0.10988 0.12254 6 JATIKARYA 0 0.10988 0.01784 34 BOJONG RAWALUMBU 0 0.10988 0.00971 7 JATISAMPURNA 0 0.10988 0.01784 35 SEPANJANG JAYA 0.25 0.10988 0.22725

8 JATIRANGGA 0.1875 0.10988 0.17490 36 PENGASINAN 0 0.10988 0.01784 9 JATIRANGGON 0 0.10988 0.01784 37 JAKA MULYA 0.0625 0.10988 0.07019

10 JATIRADEN 0 0.10988 0.01784 38 JAKA SETIA 0 0.10988 0.01784

Lanjutan

20 JATIKRAMAT 0.0625 0.10988 0.07019 48 KALI BARU 0 0.10988 0.01993

21 CIKETINGUDIK 0.5625 0.10988 0.48900 49 MEDAN SATRIA 0.125 0.10988 0.12254 22 SUMUR BATU 0 0.10988 0.01784 50 PEJUANG 0.06667 0.10988 0.07407

Lampiran 7 : Hasil perhitungan ragam dengan metode langsung, Bayes emperik, Jackknife dan Bootstrap

No Nama Penduga Penduga Tak Langsung No Nama Penduga Penduga Tak Langsung Kel. Kelurahan Langsung Naïve Jackknife

.

Bootstrap .

Kel. Kelurahan Langsung Naïve Jackknife

.  

Bootstrap

.  

1 JATIMAKMUR 0.1523 0.0072 29 MARGAHAYU 0 0.0009

2 JATIWARINGIN 0 0.0003 . . 30 BEKASI JAYA 0 0.0003 .   .  

3 JATIBENING 0.1523 0.0072 . . 31 DUREN JAYA 0 0.0009 .   .  

4 JATICEMPAKA 0 0.0009 . . 32 AREN JAYA 0.0303 0.0010 .   .  

5 JATIBARU 0 0.0009 . . 33 B. MENTENG 0.1094 0.0053 .   .   <