PEMODELAN PERSOALAN LOKASI BERKAPASITAS
DENGAN DUA ESELON DAN SATU SUMBER
TESIS
Oleh
RANI FARIDA SINAGA 117021045/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PEMODELAN PERSOALAN LOKASI BERKAPASITAS
DENGAN DUA ESELON DAN SATU SUMBER
T E S I S
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
RANI FARIDA SINAGA 117021045/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2013
Judul Tesis : PEMODELAN PERSOALAN LOKASI BERKAPASITAS DENGAN DUA ESELON DAN SATU SUMBER
Nama Mahasiswa : Rani Farida Sinaga Nomor Pokok : 117021045
Program Studi : Magister Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Tulus, M.Si) (Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)
Telah diuji pada
Tanggal: 17 Desember 2013
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Prof. Dr. Tulus, M.Si
Anggota : 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang 2. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc 3. Dr. Sutarman, M.Sc
PERNYATAAN
PEMODELAN PERSOALAN LOKASI BERKAPASITAS DENGAN DUA ESELON DAN SATU SUMBER
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa buku dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan, Desember 2013 Penulis,
ABSTRAK
Persoalan lokasi berkapasitas sering ditemui dalam bidang transportasi, distribusi dan telekomunikasi. Dalam persoalan lokasi fasilitas berkapasitas, setiap fasilitas memiliki kapasitas terbatas. Kasus khusus dari persoalan ini, dimana setiap pe-langgan menerima persediaan dari tepat satu pabrik yang dinamakan persoalan lokasi fasilitas berkapasitas dengan satu sumber. Dalam persoalan lokasi fasilitas berkapasitas dimana terdapat dua eselon dari fasilitas-fasilitas. Fasilitas eselon kedua (gudang) memiliki kapasitas yang terbatas dan hanya dapat disediakan dari satu fasilitas eselon pertama (pabrik) dan setiap pelanggan hanya dilayani oleh tepat satu fasilitas. Persoalan lokasi berkapasitas dengan dua eselon dan satu sumber dapat diselesaikan dengan relaksasi lagrangian berdasarkan branch and bound.
Kata kunci : Fasilitas, Lokasi, Eselon
ii
ABSTRACT
Facility location problem are often encountered in many areas such as distribution, transportation, and telecomunication. In the capacitated facility location problem, each facility has a limit capacity. Special case of this problem, in which each customer receives supply from exactly one facility is called the single-source ca-pacitated location problem. The caca-pacitated facility location problem in that exist two echelon of facility. Second-echelon facility has a limited capacity and can be supplied by only one second-echelon facility and each customers is serviced by on-ly one facility. Capacitated facility location problem with two-echelon and single source can solved by lagrangian relaxation based on branch and bound.
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang selalu memberikan rahmat dan hidayat yang luar biasa sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: Pemodelan Persoalan Lokasi Berkapasitas Dengan Dua Eselon Dan Satu Sumber
Penulis menyampaikan terima kasih kepada :
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang juga sebagai pembanding II yang telah memberikan saran dan kritik dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister Mate-matika FMIPA Universitas Sumatera Utara sekaligus pembimbing II yang telah memberikan bimbingan, arahan dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, selaku pembimbing I yang telah memberikan bim-bingan, arahan dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku pembanding I atas saran dan kritik dalam penyempurnaan penulisan tesis ini.
Bapak / Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Su-matera Utara yang telah memberikan ilmunya selama masa perkuliahan.
Ibu Misiani, S.Si, staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang banyak membantu proses administrasi.
Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada :
Ayahanda dan Ibunda tercinta, Paris Sinaga, S.Pd dan Lasmauli Manik, S.Pd yang telah memberikan motivasi dan dukungan baik moril maupun materil selama penulis dalam pendidikan dan penyelesaian tesis ini.
iv
Rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara khususnya angkatan genap reguler tahun 2011 genap, dan semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini. Semoga Tuhan Yang Maha Kuasa membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah diberikan.
Medan, Penulis,
RIWAYAT HIDUP
Rani Farida Sinaga lahir di Salak pada tanggal 30 Mei 1988, merupakan anak pertama dari empat bersaudara dengan ayah Paris Sinaga, S.Pd dan ibunda Lasmauli Manik, S.Pd. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri 030384 Siempat Nempu Kanopan pada tahun 2000, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP Negeri 2 Siempat Nempu Kanopan pada tahun 2003, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Negeri 1 Sidikalang pada tahun 2006.
Pada tahun 2006 penulis melanjutkan pendidikan sarjana Strata-1 pada Fakultas Matematika dan Ilmu Peengetahuan Alam di Universitas Negeri Medan dan memperoleh gelar Sarjana Pendidikan Matematika pada Maret tahun 2011. Pada Februari 2012, penulis melanjutkan studi pada Program Studi Magister Ma-tematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara.
vi
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN i
ABSTRAK ii
ABSTRACT iii
KATA PENGANTAR iv
RIWAYAT HIDUP vi
DAFTAR ISI vii
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 3
1.3 Tujuan Penelitian 3
1.4 Manfaat Penelitian 3
1.5 Metode Penelitian 3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 4
BAB 3 LANDASAN TEORI 7
3.1 Model Persoalan Lokasi Fasilitas Berkapasitas 7
3.2 Model Persoalan Lokasi Berkapasitas dengan Satu Sumber 11
BAB 4 PEMBAHASAN 16
4.1 Model Persoalan Lokasi Berkapasitas dengan Dua Eselon dan
Satu Sumber 16
4.2 Lagrangian Heuristik 17
4.2.2 Prosedur Branch and Bound(B&B) 20
BAB 5 KESIMPULAN 23
DAFTAR PUSTAKA 24
viii
ABSTRAK
Persoalan lokasi berkapasitas sering ditemui dalam bidang transportasi, distribusi dan telekomunikasi. Dalam persoalan lokasi fasilitas berkapasitas, setiap fasilitas memiliki kapasitas terbatas. Kasus khusus dari persoalan ini, dimana setiap pe-langgan menerima persediaan dari tepat satu pabrik yang dinamakan persoalan lokasi fasilitas berkapasitas dengan satu sumber. Dalam persoalan lokasi fasilitas berkapasitas dimana terdapat dua eselon dari fasilitas-fasilitas. Fasilitas eselon kedua (gudang) memiliki kapasitas yang terbatas dan hanya dapat disediakan dari satu fasilitas eselon pertama (pabrik) dan setiap pelanggan hanya dilayani oleh tepat satu fasilitas. Persoalan lokasi berkapasitas dengan dua eselon dan satu sumber dapat diselesaikan dengan relaksasi lagrangian berdasarkan branch and bound.
ABSTRACT
Facility location problem are often encountered in many areas such as distribution, transportation, and telecomunication. In the capacitated facility location problem, each facility has a limit capacity. Special case of this problem, in which each customer receives supply from exactly one facility is called the single-source ca-pacitated location problem. The caca-pacitated facility location problem in that exist two echelon of facility. Second-echelon facility has a limited capacity and can be supplied by only one second-echelon facility and each customers is serviced by on-ly one facility. Capacitated facility location problem with two-echelon and single source can solved by lagrangian relaxation based on branch and bound.
Keyword : Facility, Location, Echelon
iii
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Persoalan lokasi berkapasitas adalah persoalan yang dikenal dalam op-timisasi kombinatorial yang diaplikasikan dalam menentukan pembukaan fasili-tas dari suatu himpunan tempat atau lokasi potensial sehingga pelanggan dapat meminimalkan biaya operasional dan transportasi. Dalam hal ini dilakukan pem-batasan untuk memenuhi permintaan pelanggan dan tiap fasilitas tidak dapat memasok melebihi kapasitas dari fasilitas yang dibuka.
Persoalan lokasi berfasilitas berfokus pada permasalahan keputusan me-ngenai lokasi fasilitas untuk meminimumkan total biaya dalam melayani pelang-gan. K. Holmberg et al.,(1999) menyajikan pengalamannya dalam menggunakan persoalan lokasi berkapasitas untuk mengambil keputusan pada permasalahan mengenai jumlah, ukuran, desain, lokasi, dan pola layanan. Dalam persoalan lokasi berfasilitas, mempertimbangkan situasi dimana satu komoditas disuplai dan menyeleksi dari satu set lokasi ke lokasi potensial untuk melayani permin-taan klien. Terdapat biaya-biaya tetap yaitu biaya membuka lokasi dan biaya transportasi dalam mensuplai komoditas dari lokasi potensial atau lokasi fasilitas berkapasitas kepada pelanggan.
2
Dalam persoalan ini, pengiriman yang terjadi dari fasilitas eselon pertama (contohnya pabrik atau depot) kepada pelanggan melalui fasilitas eselon kedua seperti gudang. Tujuannya adalah untuk menentukan jumlah dan lokasi berka-pasitas setiap eselon, aliran produk terhadap fasilitas dan penugasan dari pe-langgan terhadap fasilitas dalam eselon kedua. Tragantalerngsak et al., (2000) mengemukakan bahwa dalam persoalan lokasi fasilitas berkapasitas, setiap fasili-tas memiliki kapasifasili-tas terbafasili-tas. Kasus khusus dari persoalan ini, dimana setiap pelanggan menerima persediaan dari tepat satu fasilitas yang dinamakan per-soalan lokasi fasilitas berkapasitas dengan satu sumber. Dalam perper-soalan lokasi lokasi fasilitas berkapasitas dimana terdapat dua eselon dari fasilitas-fasilitas. Fa-silitas eselon kedua memiliki kapasitas yang terbatas dan hanya dapat disediakan dari satu fasilitas eselon pertama dan setiap pelanggan hanya dilayani oleh tepat satu fasilitas.
Persoalan lokasi berkapasitas sering ditemui dalam bidang transportasi, dis-tribusi dan telekomunikasi. Dalam sistem disdis-tribusi dimana terdapat berbagai gudang atau pabrik yang potensial dari armada kendaraan yang dijalankan. Mo-del ini secara simultan menentukan banyaknya pabrik dan kendaraan yang dibu-tuhkan, lokasi dari pabrik terbuka, dan setiap pelanggan dapat dilayani dengan kendaraanArya et al., (2004). Contoh lainnya adalah kotak surat yang dikirim dimana terdapat beberapa gudang dari perusahaan pelayanan surat dan dimana setiap pabrik memiliki beberapa van pengiriman.
Penelitian sebelumnya oleh Tragantalerngsak et al., (2000) membahas per-soalan lokasi berkapasitas dengan mengajukan sebuah metode yang eksak dengan algoritmaB&B untuk masalah ini yang didasarkan sebagian besar pada heuristik lagrangian. Relaksasi lagrangian merupakan kombinasi dari optmisasi sub gradi-en yang secara luas digunakan untuk mgradi-engradi-entukan solusi dan masalah optmisasi kombinatorial. Holmberg et al., (1999) telah mengajukan algoritma Branch and Bound(B&B) berdasarkan heuristik lagrangian untuk menempatkan pabrik dan gudang dalam dua level sistem distribusi. Sedangkan, Litvincef dan Espinosa (2011) mengusulkan beberapa relaksasi lagrangian yaitu heuristik lagrangian un-tuk menghasilkan solusi yang memungkinkan agar dapat meminimisasi biaya dari pabrik atau gudang yang potensial.
3
1.2 Perumusan Masalah
Andaikan setiap pelanggan menerima persediaan dari tepat satu pabrik dimana terdapat dua eselon dari fasilitas-fasilitas. Fasilitas eselon kedua (gudang) memi-liki kapasitas yang terbatas dan hanya dapat disediakan dari satu fasilitas eselon pertama (pabrik) dan setiap pelanggan hanya dilayani oleh tepat satu fasilitas. Maka dibutuhkan suatu model persoalan lokasi berkapasitas dengan dua eselon dan satu sumber.
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk membangun suatu model persoalan lokasi berka-pasitas dengan dua eselon dan satu sumber.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermamfaat untuk memperkaya literatur tentang persoalan lokasi berkapasitas dan memberikan suatu model persoalan lokasi berkapasitas dengan dua eselon agar dapat diaplikasikasikan dalam kehidupan.
1.5 Metode Penelitian
Penelitian ini bersifat literatur kepustakaan dengan mengumpulkan informasi dari berbagai jurnal. Langkah yang digunakan adalah sebagai berikut:
1. Mengumpulkan informasi dari literatur-literatur mengenai persoalan lokasi berkapasitas.
2. Mempelajari teori berkenaan dengan relaksasi lagrangian, heuristik lagra-ngian dan metode Branch & Bound.
3. Membahas persoalan lokasi berkapasitas dengan dua eselon dan satu sum-ber.
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Pemilihan suatu lokasi merupakan hal yang sangat penting, karena faktor biaya dipengaruhi oleh fasilitas yang akan di tempatkan dan biaya juga mempe-ngaruhi untuk menentukan lokasi dimana secara ekonomis dalam membiayai, pro-duksi, transportasi dan distribusi serta biaya memasok kebutuhan untuk melayani permintaan dari pelanggan. Jadi, untuk menempatkan suatu lokasi fasilitas meru-pakan suatu keputusan yang tepat agar dapat meminimalkan biaya, jika masing-masing fasilitas terbatas untuk melayani pelanggan maka persoalannya menjadi persoalan lokasi fasilitas berkapasitas, jika masing-masing fasilitas tidak terbatas untuk melayani pelanggan maka persoalannya menjadi persoalan lokasi tak ber-kapasitas.
Dalam persoalan lokasi fasilitas berkapasitas, setiap fasilitas memiliki kapasi-tas terbakapasi-tas. Kasus khusus dari persoalan ini, dimana setiap pelanggan menerima persediaan dari tepat satu fasilitas yang dinamakan persoalan lokasi fasilitas ber-kapasitas dengan satu sumber. Dalam persoalan lokasi lokasi fasilitas berber-kapasitas dimana terdapat dua eselon dari fasilitas-fasilitas. Fasilitas eselon kedua memili-ki kapasitas yang terbatas dan hanya dapat disediakan dari satu fasilitas eselon pertama dan setiap pelanggan hanya dilayani oleh tepat satu fasilitas. Tragan-talerngsaket al., (2000) mengusulkan enam perbedaan lagrangian heuristik untuk menyelesaikan persoalan lokasi berkapasitas dengan dua eselon dan satu sumber. Seluruh heuristik diimplementasikan dan hasilnya menunjukkan bahwa lagrangian berdasarkan heuristik batas bawah yang lebih baik daripada yang ditentukan dari relaksasi Linier Programming (LP). Solusi yang lebih memungkinkan juga untuk menentukan batas atas dapat dilakukan lebih efektif. Hal ini memberikan aki-bat bahwa algoritmaBranch and Bound(B&B) berdasarkan relaksasi lagrangian merupakan pencapaian yang efisien.
Prins dan Prodhon (2007) mengajukan, relaksasi Lagrangian dibuat dengan menghilangkan himpunan kendala-kendala, pembobotan dengan lagrangian mul-tiplierdan menempatkannya dalam fungsi tujuan. Hal ini bertujuan untuk untuk menetapkan sebuah masalah yang dihilangkan disebut masalah pokok
lagrangi-4
5
an yang lebih mudah diselesaikan daripada masalah sebenarnya. Nilai objek-tif dari masalah relaksasi lagrangian, diberikan himpunan pengali, memberikan sebuah batas bawah (dalam hal minimisasi) untuk solusi optimal dari masalah sebenarnya. Batas bawah terbaik dapat diperoleh dengan menyelesaikan dual lagrangian. Karena fungsi dual sering bukan merupakan diferensial dimana dibu-tuhkan sebuah metode khusus untuk menyelesaikan masalah khusus ini. Metode yang sering dan efisien yang digunakan adalah optimisasi subgradien. Informasi yang ditetapkan dari relaksasi lagrangian sering digunakan oleh aplikasi heuristik terikat untuk membangun solusi yang memungkinkan dan karena batas atas dari masalah yang sebenarnya.
Berikut ini beberapa penelitian yang memberikan model persoalan lokasi berkapasitas :
1. Penyelesaian persoalan rute lokasi berkapasitas dengan relaksasi lagrangean koperatif granular heuristik tabu search
ming1(u) =Oiyi+ P
k∈K
(cik−uk)Xik
Formulasi tersebut untuk meminisasi total biaya dari lokasi berfasilitas, transportasi dan kekurangan.(Prins dan Prodhon, 2007)
2. Algoritma yang eksak untuk persoalan lokasi berkapasitas dengan satu sum-ber
min P j∈C1
gjwj + P j∈C2
hjvj
6
3. Batas lagrangian dan heuristik untuk dua tahap masalah lokasi fasilitas berkapasitas
minP i
fiyi+P j
gjzj + P
(i,j)
cijxij + P
(j,k)
djksjk
Formulasi ini meminimisasi biaya dari lokasi kepada himpunan pabrik atau depot yang potensial. (Litvinchev dan Espinosa, 2011)
BAB 3
LANDASAN TEORI
3.1 Model Persoalan Lokasi Fasilitas Berkapasitas
Banyak heuristik dan pendekatan algoritma yang tepat untuk menyele-saikan persoalan lokasi fasilitas berkapasitas yang telah diusulkan dalam literatur. Salah satunya adalah dengan mengunakan relaksasi lagrangian dimana jumlah permintaan terbatas dengan atau penambahan jumlah kapasitas.
Persoalan fasilitas lokasi berkapasitas adalah suatu himpunan yang terdiri darij dank unsur denganjadalah tempat atau lokasi yang potensial dengan fasi-litas yang memadai dan k adalah pelanggan yang permintaannya dapat dipenuhi dari fasilitas yang tersedia
Persoalan lokasi fasilitas berkapasitas atau Capacitated Facility Location Problem (CFLP) disebut juga sebagai program linear integer campuran yang mempunyai model sebagai berikut :
Z = X
Dengan kendala sebagai berikut :
8
dimana :
Z = fungsi tujuan.
J = himpunan semua lokasi potensial. K = himpunan semesta.
Ckj = biaya persediaan dk dari pelanggank′
s dari fasilitas j. ff = biaya operasi fasilitas j dan kapasitas Cj juga dibuka. xkj = biaya permintaan pelanggan k′
s dari fasilitas j.
dengan asumsi sebagai berikut:
yj = (
0, jika fasilitas j ditutup,
1, untuk fasilitas j dibuka
kendala persamaan (3.2) merupakan kendala permintaan kendala persamaan (3.3) merupakan kendala kapasitas
kendala persamaan (3.4) merupakan kendala kapasitas secara keseluruhan kendala persamaan (3.5) merupakan penambahan batas implisit
Dengan asumsi:
Dengan menerapkan relaksasi lagrangian ke dalam permasalahan CFPLP dengan mengabaikan kendala (3.2) maka model relaksasi lagrangian adalah
9
Jika kendala persamaan (3.2) diganti dengan pengaliηkdengank∈K maka pengali lagrangian optimal yaitu nopt dapat ditentukan dari interval [ηmin, ηmax] dimana :
Jika persamaan (3.23) direduksi ke dalam persamaaan (3.13) diperoleh:
ZD(η) =η0+
10
Diasumsikan:
{yz, t ∈Ty} adalah himpunan semua solusi yang feasibel untuk persamaan (3.25)
{xz
j, t∈Tjz} adalah himpunan semua solusi yang feasibel untuk persamaan (3.23) Dan untuk semua t∈Ty dan t ∈Tz
Dengan menggunakan persamaan (3.23) dan (3.25) maka persamaan (3.13) dapat ditulis menjadi :
11
αt = variabel rangkap dari persamaan (3.22). βt = variabel rangkap dari persamaan (3.23). pk dan pk= variabel rangkap dari persamaan (3.25).
3.2 Model Persoalan Lokasi Berkapasitas dengan Satu Sumber
Persoalan lokasi berkapasitas dengan satu sumber adalah kasus khusus da-lam persoalan lokasi berkapasitas dimana setiap pelanggan hanya boleh dilayani oleh satu fasilitas. Untuk merumuskan model matematika dalam persoalan terse-but, misalkanmadalah jumlah potensial dari fasilitas,nadalah jumlah pelanggan, aj adalah permintaan pelanggan,bj adalah kapasitas dari setiap fasilitas,fiadalah biaya tetap yang digunakan untuk membuka fasilitas,cij adalah biaya penugasan pelanggan j kepada fasilitas i. Setiap koefisien diasumsikan positif. Didefinisikan variabel keputusan berikut:
yi = (
1, jika fasilitas i dibuka,
0, untuk sebaliknya
xij = (
1, jika fasilitas i melayani pelanggan j,
0, untuk sebaliknya
Masalah tersebut dapat dinyatakan dalam program berikut: [P]
12
Fungsi objektif bertujuan untuk menimimisasi biaya penugasan dari pelang-gan ke fasilitas yang dibuka dan biaya untuk mendirikan fasilitas. Kendala (3.40) dapat dijadikan sebagai kendala kapasitas dan menjamin bahwa permintaan pe-langgan dilayani oleh fasilitas yang tidak melebihi kapasitasnya. Kendala (3.41) merupakan kendala permintaan pelanggan dan menjamin setiap pelanggan ditu-gaskan hanya pada satu fasilitas. Kendala (3.43) menjamin bahwa penugasan hanya pada fasilitas yang dibuka. Kendala (3.44) berlebihan dalam [P], tetapi relaksasi linier programming.
Salah satu pencapaian yang sukses dalam penyelesaian persoalan lokasi ber-kapasitas dengan satu sumber adalah lagrangian heuristik. Heuristik tersebut berdasarkan relaksasi lagrangian dan penyelesaiannya berhubungan dengan ma-salah dual, melalui penyelesaian barisan yang lebih kecil dan bagian dari per-soalan yang lebih sederhana. Untuk menjamin bahwa pembentukan solusi yang memungkinkan beberapa prosedur heuristik harus diadopsi dimana diberikan be-berapa bebe-berapa sub masalah penyelesaian dual untuk mengeneralisasi solusi yang memungkinkan.
Heuristik lagrangian terdiri atas beberapa bagian berikut. Sebuah relak-sasi lagrangian dengan hasil batas bawah merupakan nilai fungsi objektif, namun jarang menjadi solusi yang memungkinkan. Sebuah prosedur subgradien digu-nakan untuk menyelesaikan dual lagrangian, perbaikan hasil pada batas bawah. Sebuah heuristik primal digunakan untuk menemukan solusi primal yang me-mungkinkan, sesuai dengan batas bawah.
13
Relaksasi lagrangian dapat diaplikasikan terhadap persoalan lokasi berka-pasitas dalam berbagai cara. Dalam Ahlander (1994) sebuah perbandingan kom-putasi dari berbagai relaksasi telah dibuat.
Berikut, tiga pendekatan yang telah diselidiki:
1. Himpunan kendala relaksasi (3.40). Submasalah yang diperoleh merupakan sebuah persoalan lokasi tak berkapasitas, yang sangat efisien diselesaikan dengan metode Erlenkotter (1998)
2. Himpunan kendala relaksasi (3.41). Submasalah yang diperoleh dengan me-misahkan ke dalamm masalah knapsak, satu untuk setiap fasilitas yang da-pat diselesaikan dengan kode knapsak yang dada-pat ditemukan dalam Martello dan Toth (1990)
3. Himpunan kendala (3.43) dengan menghapus variabelydari kendala (3.40). Submasalah diperoleh dengan memisahkan kedalam satu masalah trivial dalam y dan masalah penugasan yang digeneralisasikan dalam x. Hal ini merupakan masalah yang rumit, namun dapat diselesaikan dengan sebuah metode yang dapat ditemukan dalam Martello dan Toth (1990).
Heuristik lagrangian cukup mudah diaplikasikan dalam primal heuristik dan diuji coba pada masalah berukuran m = 50 dan n = 500. Hasilnya dapat diban-dingkan dalam Ahlander (1994) bahwa pendekatan ke dua terlihat lebih efisien, pendekatan ke tiga tidak begitu efisien sedangkan pendekatan pertama jelas tidak cukup baik. Walaupun uji coba yang dilakukan Ahlander (1994) dapat dianggap cukup, kesimpulan yang sama yang sama juga dikemukakan oleh Cortinhal dan Captivo (2003). Oleh sebab itu, pendekatan yang dipilih adalah relaksasi kedua.
14
Persoalan ini dipisahkan dalam satu masalah untuk setiap fasilitas. Untuk setiap i,
Masalah knapsak ini telah diselesaikan dengan code MTR dalam Martello dan Toth (1990).
15
Masalah dual lagrangian adalah sebagai berikut :
(LD)vl =maxg(u) (3.56)
dan subgradien d, pada fungsi konkaf g(u) dapat diperoleh sebagai berikut:
dj = 1−
m X
i=1
xij,∀j (3.57)
BAB 4
PEMBAHASAN
4.1 Model Persoalan Lokasi Berkapasitas dengan Dua Eselon dan Satu Sumber
Formulasi untuk persoalan lokasi berkapasitas dengan dua eselon dan satu sumber yang diperkenalkan oleh Tragantalerngsak, et al., (2000) adalah sebagai berikut.
0, untuk sebaliknya.
xijk= (
1, jika fasilitas i dilayani oleh depot k pelayanan pelanggan.
0, untuk sebaliknya.
zk= (
1, jika depot ditetapkan pada sebuah lokasi,∀k∈K.
0, untuk sebaliknya.
Persoalan tersebut dapat dinyatakan sebagai
17
Fungsi objektif (4.1) adalah total biaya yang terdiri atas biaya penugasan dari pelanggan ke fasilitas, biaya untuk mendirikan fasilitas, dan biaya pembukaan gudang. Kendala (4.2) menjamin bahwa permintaan pelanggan dilayani oleh ke-tentuan fasilitas yang tidak melebihi kapasitas. Kendala (4.3) menjamin bahwa bahwa setiap pelanggan dilayani oleh tepat satu fasilitas. Kendala (4.4) menjamin bahwa setiap fasilitas dilayani oleh satu pabrik dan (4.5) menjamin bahwa penu-gasan yang terjadi adalah pada fasilitas yang dibuka. Persyaratan yang sesuai dari penugasan fasilitas kepada pabrik yang dibuka dijamin oleh (4.6). Akhirnya, setiap variabel yang digunakan dalam model adalah sesuai dengan biner. Stan-dar persoalan lokasi berkapasitas adalahNP-hard. Pada masalah khusus ini, juga sesuai denganNP-hard.
4.2 Lagrangian Heuristik
18
bawah terbaik dapat diperoleh dari penyelesaian dual lagrangian. Oleh karena fungsi dual lebih sering untuk yang tak terdiferensialkan dimana dibutuhkan se-buah metode khusus untuk jenis masalah ini. Metode yang sering dan efisien yang digunakan adalah optimisasi subgradien. Informasi yang terdapat dari relaksasi lagrangian sering digunakan dalam aplikasi yang tergantung pada heuristik untuk membangun solusi yang memungkinkan dan batas atas untuk masalah asalnya.
4.2.1 Relaksasi Lagrangian
Kendala (4.5) dalam [P] menghubungkan variabel y dan z. Jika kendala tersebut direlaksasi, [P] dipisahkan ke dalam dua bagian masalah, masalah per-tama menyangkut variabel x dan y dan yang lain variabel z. Lebih dari itu, jika himpunan kendala (4.2) dengan paksaan setiap pelanggan ditugaskan tepat kepada tepat satu fasilitas yang direlakskan, dapat digunakan struktur himpunan masalah yang ada pada kendala (4.1). Relaksasi ini dapat diperbaharui dengan menyertakan dua himpunan kendala yang berlebihan yang mungkin mengetatkan formulasi relaksasi. Pertama-tama adalah sebuah pemaksaan kendala minimal satu pabrik harus dibuka.
X
k∈K
zk>1, (4.8)
Kedua adalah pemaksaan kendala fasilitas yang dibuka untuk memiliki kapasitas yang dapat memenuhi total permintaan pelanggan
X
19
Model ini dipisahkan ke dalam dua sub masalah yang dinamakan:
[LRz] =minX
Masalah pertama merupakan masalah knapsak dan yang kedua dapat difor-mulasikan kedalam beberapa jumlah masalah knapsak.
20
Sebuah relaksasi langrangian yang mendekati solusi yang memungkinkan penyediaaan batas atas. Di sini, digunakan sebuah heuristik berdasarkan penye-lesaian sebuah GAP (Generalized Assignment Problem) dimana setiap pelanggan ditugaskan untuk sebelum pemilihan beberapa dari fasilitas yang ditugaskan ke beberapa pabrik. Heuristik ini diadaptasi dari sebuah heuristik yang diusulkan oleh Pirkul (1987) untuk menentukan solusi yang memungkinkan pada satu sum-ber, persoalan lokasi berkapasitas.
Optimisasi subgradien adalah sebuah metode yang efektif untuk menemukan sebuah pengali lagrangian dan untuk menyelesaikan masalah dual. Diberikan se-buah vektorλ0, sebuah barisan dariλz yang digeneralisasikan dengan mengambil
sebuah langkah berukuranyt. Langkah ini dapat didefinisikan dengan sebuah atu-ran umum yang praktis yaitu: θt=dt(Z−v(LRλ2)/kytk2
Dimana Z adalah sebuah batas atas dari nilai optimal fungsi objektif. Seba-gian besar, dikenal dengan solusi terbaik yang memungkinkan [P] digunakan, k.k
dinotasikan dengan aturan Euclid dandtakan dipenuhi setiap saat pada prosedur melalui jumlah tetap dari iterasi yang terjadi tanpa perbaikan di batas bawah.
4.2.2 Prosedur Branch and Bound(B&B)
Branch and boundmerupakan metode yang membagi permasalahan menjadi subregion yang mengarah ke solusi(branching)dengan membentuk sebuah struk-tur pohon pencarian (search tree) dan melakukan pembatasan (bounding) untuk mencapai solusi optimal. Proses branch merupakan membangun semua cabang yang menuju solusi, sedangkan prosesbound merupakan menghitung titik dengan memperhatikan batas kendala.
Prosedur di dalambranch and bounddilakukan berulang secara rekursif hing-ga membentuk sebuah pohon pencarian(search tree)dan melakukan proses boun-dingdengan menentukan batas atas(upper bound)dan batas bawah(lower bound). Ketika tangkai pohon (node) dicabangkan, satu atau lebih node ditambahkan ke job yang ada di depannya. Pemilihan node untuk cabang yang memiliki jumlah job paling besar. Sebuah lower bound dihitung berdasarkan masing-masing node yang dihasilkan.
21
Avella dan Boccia (2011), di dalam algoritmabranch and bound terdapat 3 buah bagian utama yaitu : ekspresi batas bawah (Lower Bound (LB)), strategi pencarian dan pencabangan (branching). Di dalam prosedur ini, suatu masalah dipecah menjadi beberapa sub masalah yang merepresentasikan pembagian kerja secara parsial. Simpul-simpul terus bercabang lebih jauh sampai diperoleh solusi lengkap. Jika LB tidak digunakan maka segala kemungkinan penyelesaian harus dienumerasikan satu persatu. Oleh karena itu, LB dikalkulasikan pada setiap sim-pul. Jika nilai LB yang dikalkulasikan lebih besar dari nilai solusi lengkap terbaik, eliminasi simpul tersebut. Prosedur ini terus diulang sampai pencarian pada po-hon berakhir dan solusi optimal ditemukan. Algoritma branch and bound yang menggunakan fungsi heuristik merupakan algoritma yang cukup baik dan cukup efisien untuk menyelesaikan persoalan kombinatorial. Hal ini disebabkan karena fungsi heuristik lebih mengoptimalisasi solusi yang sudah ada sehingga tidak per-lu memeriksa atau mencoba semua kemungkinan yang ada. Untuk, menjalankan jumlah n > 100 algoritma ini memakan memory yang sangat besar. Sedangkan, untuk n < 100 algoritma ini tergolong sangat efisien.
Prosedur branch & bound berdasarkan relaksasi lagrangian dan optimisasi subgradien telah diaplikasikan dengan sukses oleh beberapa peneliti untuk menye-lesaikan persoalan lokasi berkapasitas seperti Marin dan Pelegrin (2010), Gendron dan Semet (2010 ), serta Liu dan Ziu (2011). Salah satu alasan bahwa batas bawah dari relaksasi lagrangian dapat dibandingkan dan sering lebih baik dari batas yang ditentukan dari relaksasilinier programming. Hal ini mengakibatkan batas bawah dari titik dalam pohon B&B.
Nauss (1998) mengajukan sebuah metode B&B berdasarkan relaksasi lagra-ngian untuk menyelesaikan persoalan lokasi berkapasitas. Tujuan khusus dikombi-nasikan pada skema optimisasi subgradien untuk menetapkan fasilitas yang dibuka atau ditutup. Pada setiap titik, variabel fasilitas bebas dengan maksimum penalti akan dipilih sebagai variabel cabang.
de-22
untuk dibuka atau ditutup, persoalan ini direduksi pada masalah aliran jaringan yang digabungkan dengan himpunan fasilitas yang dibuka. Beasley (1993) memo-difikasi metode ini dengan mengusulkan solusi yang memungkinkan pengecualian kendala pada model untuk direduksi pada pohon pencarian yang lebih luas
Untuk persoalan satu sumber, Cortinhal dan Captivo (2003) merumuskan persoalan sebagai sebuah himpunan partisi dari masalah. Sebuah relaksasi LP berdasarkanB&B dengan formulasi yang telah dikembangkan untuk menemukan solusi optimal. Kemudian, persoalan direduksi ke dalam persoalan generalisasi penugasan.
Persoalan [P] memuat tiga himpunan dari variabel x,y dan z. Keputusan untuk tidak membuka sebuah pabrik yaituzk = 0 berpengaruh kuat terhadap vari-abel yang lain. Dalam observasi, pemilihan yang tepat akan jumlah dan lokasi dari pabrik, pada kenyataannya memungkinkan pengaruh yang besar terhadap biaya operasional. Hal ini diikuti dengan keputusan tentang fasilitas dan penu-gasan pelanggan secara individual. Pada titik sumber, dua buah batas bawah yang diusulkan oleh Martello dan Toth (1990), solusi dari GAP untuk masalah yang lebih besar memungkinkan untuk mendapatkan batas bawah terbaik dan dapat ditentukan sebagai batas bawah untuk [P].
BAB 5
KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
Ahlander, F. 1994. The capacitated facility location problem with single sourching. LiTH-MAT-EX -1994-07. Lingkoping University. Sweden
Arya, V., Garg, N., Khandekar, R., Meyerson, A., Pandit, V. 2004. Local search heuristics for k-median and facility location problem. Siam J. Comput. Vol 33, No.3, 544-562
Avella, V., M. Boccia. 2011. A cutting plane algorithm for the capacitated facility location. Computational Optimization and Application. Vol 43, 39-65.
Beasley, J.E. 1993. An algorithm for solving capacitated warehouse location pro-blem European Journal of Operational Research. Vol 33, 314-325.
Christofides,N., J.E. Beasley. 1987. Extensions to a lagrangian relaxation approach for the capacitated plant location problem.European Journal of Operational Research. Vol 12, 19-28.
Cortinhal, M.J, M.E. Captivo. 2003. Upper and lower for the single source capa-citated location problem. European Journal Of Operation Research. Vol 151, 333-351
Doyen, A., Aras, N., Barbarosoglu, G. 2012. A two-echelon stochastic facility lo-cation model for humanitarian relief logistics. Optim Lett. Vol 6, 1123-1145.
Erlenkotter, D. 1998. A dual based procedure for uncapacitated location pro-blem.Computers and Operation Research . Vol 18, 263-274.
Gendron, B., F. Semet. 2010. Formulations and relaxations for a multi-echelon ca-pacitated location-distribution problem. Computers and Operation Research. Vol 36, 1335-1355.
Holmberg, K., Ronnqvist, D., Yuan, D. 1999. An exact algorithm for the capa-citated facility location problem with single sourching. European Journal of Operational Research. Vol 113, 544-559.
Litvincef, I., Espinosa, E.L. 2011. Lagrangian bounds and heuristic for the capa-citated location problem. Department of Systems Engineering. Universidad Autonoma de Nuevo Leon, Mexico.
Liu, Z., X. Zhu. 2011. Capacitated fuzzy two-stage location-allocation problem. International Journal of Innovative Computing, Information and Control. Vol 3, 987-999.
Marin, A., B. Pelegrin. 2010. Applying Lagrangian relaxation to the solution of two-stage location problem. Annals of Operation Research. Vol 86, 179-198.
Martello, S., Toth, P. 1990. Knapsack problems,algorithms, and computer imple-mentations. Wiley. New York
Nauss, R.M.. 1998. An improved algorithm for the capacitated facility location problem location problem.Journal of Operation Research. Vol 29, No.3, 1195-1201
24
25
Pirkull, H. 1987. Efficient algorithm for the capacitated concetrator location pro-blem. Compuiter and Operation Research. Vol 14, 197-208.
Prins, C., Prodhon, C. 2007. Solving the capacitated location routing problem by a cooperative lagrangian relaxation granular tabu search heuristic. Transporta-tion StaTransporta-tion. Vol 41, No.2, 470-483.
