Aplikasi Analisa Pelat Kontiniu Pada Bangunan

(1)

TUGAS AKHIR

APLIKASI ANALISA PELAT KONTINIU PADA

BANGUNAN

Diajukan untuk melengkapi tugas – tugas dan memenuhi syarat untuk menempuh

Ujian Sarjana Teknik Sipil

Disusun Oleh

MAROLOP NABABAN 01 0404 035

DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

M E D A N

(2)

KATA PENGANTAR

Dengan nama Tuhan Yang Maha Pengasih dan Maha Penyayang

penulis memanjatkan puji dan syukur dapat menyelesaikan tugas akhir ini

dengan baik.

Tugas Akhir ini disusun untuk melengkapi tugas-tugas dan memenuhi

syarat untuk menempuh ujian sarjana pada Fakultas Teknik Departemen

Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara.

Adapun judul tugas akhir yang diajukan ini adalah :

ANALISA APLIKASI PELAT KONTINIU PADA BANGUNAN

Selesainya tugas akhir ini tidak terlepas dari berbagai pihak. Atas

segala bantuan dan bimbingan tersebut, penulis mengucapkan banyak

terima kasih yang sebesar besarnya kepada :

1. Bapak DR. Ing. Johannes Tarigan, selaku pembimbing

2. Bapak Dr. Ir. Bachrian Lubis, Msc, Ketua Departemen Teknik Sipil

Fakultas Teknik Universitas Sumatera Utara

3. Bapak Dr.Ir, A. Perwira Mulia Tarigan, Msc , Sekretaris Jurusan Teknik

Sipil Fakultas Teknik Universitas Sumatera Utara

4. Bapak/Ibu staf pengajar di Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik

Universitas Sumatera Utara

5. Orang tua, kakak, adik dan teman-teman saya yang telah memberikan

(3)

Penulis menyadari bahwa penulisan tugas akhir ini masih jauh dari

sempurna oleh karena keterbatasan pengetahuan dan referensi yang

dimiliki. Untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik demi perbaikan

di masa-masa mendatang.

Semoga Tugas akhir ini dapat memberikan manfaat bagi kita

semua, khususnya Ilmu teknik sipil.

Medan, November 2007

Hormat Penulis

Marolop Nababan (01 0404 035)

(4)

ABSTRAK

Akhir-akhir ini dalam pembangunan suatu konstruksi, telah benyank

yang menggunakan rangka baja sebagai balok dan kolom pada bangunan

bertingkat. Dan pelat yang ditumpukan pada propil baja akan bersifat

seperti sendi dimana sepanjang bentangan pelat akan saling berpengauh

satu sama lain hingga batas tertentu, dengan hal tersebut diatas disebut

dengan pelat kontiniu.

Oleh karena itu pada perencanaan atau mendesain pelat kontiniu harus

dipertimbangkan pengaruh pembebabanan dan penambahan jumlah

bentangan pelat yang sangat mempengaruhi besarnya momen pada pelat

kontiniu tersebut, dengan demikian desain tulangan juga akan berubah.

Dengan cara analisis (metode M. Levy), dan dengan menentukan satu

bentangan yang ditinjau kita dapat memperoleh besarnya momen tumpuan,

momen lapangan dan lendutan pada bentangan tersebut, kemudian jumlah

bentangan akan tetap ditambah dengan tujuan untuk mengetahui besar

pengaruh penambahan bentangan tersebut terhadap bentangan yang ditinjau

apakah menambah atu mengurangi besarnya momen dan lendutan dari

kondisi awalnya.

Bentangan yang berdekatan akan saling mengurangi besarnya momen

dan bentangan yang berjauhan akan saling menambah, maka dengan

demikian momen yang paling maksimum bukan pada pembebanan di

sepanjang bentang melainkan pembebanan pada bentangan yang saling

(5)

DAFTAR NOTASI

a, b Panjang Pelat Sisi x dan y

D Kekakuan Pelat

E Modulus Elastisitas

h Ketebalan Pelat

q0 Beban merata

Mx, My Momen lentur Per Satuan Panjang Pada Bidang x, y Nx, Ny Gaya Normal Per Satuan panjang pada Bodang x, y Nxy Gaya Geser Per Satuan panjang pada Bidang x sejajar

sumbu y

Qx, Qy Gaya Lintang pada Bidang x, y

y x ∂

∂

∂∂ , Operator Differensial Parsial

x, y , z Regangan Normal pada Bidang x, y, z n Regangan Normal

v Poisson ratio

z y x σ σ

σ , , Tegangan Normal pada bidang Normal x, y, z

n

σ Tegangan Normal

w Lendutan Pelat

(6)

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR………..i

ABSTRAK...ii

DAFTAR NOTASI……….…………iii

DAFTAR ISI………..…….iv

BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang………...1

1.2. Perumusan Masalah………..….2

1.3. Maksud dan Tujuan Penulisan………...6

1.4. Pembatasan Masalah………...6

1.5. Metode Penulisan………..…….7

BAB II TEORI DASAR 2.1. Umum………....8

2.2. Variasi Tegangan di dalam……… ……….….11

2.3. Persamaan Differensial Pelat....….………..……12

2.4. Syarat batas……… ……...……13

2.5. Pelat Persegi Panjang Yang Kontiniu……….…..…15

2.6. Pelat Kontiniu Yang Menerus Pada satu Arah……….. .…..16

(7)

BAB III ANALISA PELAT KONTINIU

3.1. Analisa Pelat Kontiniu Metode M.Levy………...19

3.1.1. Pelat Persegi Panjang yang Ditumpu Secara Sederhana………19

3.1.1.1. Pelat Mengalami Beban Vertikal Merata… ...21

3.1.2. Pelat Persegi Panjang Dengan Berbagai Kondisi Tepi……….……… …25

3.1.3. Pelat Persegi Panjang Yang Ditumpu Secara Terjepit…..………….……….……30

3.1.2.1. Pelat Mengalami Beban Vertikal Merata.... ..33

3.2 Pelat Kontiniu Dengan Tumpuan Sederhana...……… .38

3.2.1. Pembebanan simetris…………..……….39

3.2.2. Pembebanan Tidak simetris ……… ...42

3.2.3. Pembebanan Di Sepanjang Bentang….……… .46

BAB IV APLIKASI 4.1. Momen Pelat Pada Tumpuan Sederhana………..51

4.2. Momen Pelat Menurut Lendutan ………… ……….55

4.3. Momen Tumpuan……… ………71

4.4. Momen Lapangan….. ………..71

(8)

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

5.1. Kesimpulan………73

5.2. Saran………..73

DAFTAR PUSTAKA………75

(9)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pelat adalah struktur plan al kaku yang secara khas terbuat dari material monolit

yang tingginya kecil dibandingkan dengan dimensi-dimensi lainnya. Beban yang umum

bekerja pada pelat mempunyai sifat banyak arah dan tersebar, sejak digunakannya beton

bertulang modern untuk pelat, hampir semua gedung menggunakan material ini sebagai

element pelat.

Struktur bangunangedung umumnya tersusun atas komponen pelat lantai, balok

anak, balok induk, dan kolom yang umumnya dapat merupakan menjadi satu kesatuan

monolit atau terangkai seperti halnya sistem pracetak. Pelat juga digunakan untuk atap,

dinding, jembatan atau pelabuhan.

Pelat dapat dibagi menjadi dua bagian yaitu pelat satu arah dan pelat dua arah, pelat

dapat dianggap hanya bekerja sebagai pelat satu arah dengan lenturan utama hanya

bekerja pada arah sisi yang lebih pendek. Sedangkan pelat dua arah adalah apabila

keempat sisinya di dukung.

Disetiap pembangunan gedung kekuatan pelat sangat perlu diperhatikan, karena

pelat juga berpungsi untuk kekakuan struktur dan juga berguna untuk menahan gaya

horizontal yang terjadi pada bangunan tersebut. Efisiensi struktur dapat ditingkatkan

dengan menambah banyak tumpuan tepinya.jadi, pelat bujur sangkar yang terletak pada

keempat tepinya secara menerus bersipat lebih kaku dibandinkan dengan yang terletak

(10)

Perilaku pelat yang ditumpu secara menerus hampir sama dengan pelat yang

ditumpu sederhana, hanya saja aksi internal terjadi pada ke dua arah yang saling tegak

lurus bukan hanya pada satu arah.

Selain pelat satu arah dan pelat dua arah ada yang dinamakan pelat kontiniu (pelat

menerus). Disebut sebagai pelat kontiniu adalah apabila di sepanjang bentang yang

ditumpu pada beberapa tumpuan dengan batasan tertentu, akan saling berpengaruh namun

hal tersebut biasaya hanya terjadi jika tumpuannya adalah tumpuan sederhana (sendi).

oleh karena perilakunya seperti tersebut di atas maka untuk mendesign pelat kontiniu ini

harus berhati-hati.

Pada pembahasan ini yang perlu dianalisa adalah besar pengaruh beban hidup

terhadap satu titik yang ditentukan, dan sejauh mana beban tersebut tidak berpengaruh

lagi pada titik itu.

1.2 Perumusan Permasalahan

Untuk mempermudah dan mempercepat pekerjaan, akhir-akhir ini sudah banyak

bangunan bertingkat dengan menggunakan konstruksi rangka baja dan konstruksi ini pada

umumnya menggunakan pelat kontiniu (pelat menerus). Oleh karena itu perlu dianalisa

besar momen tumpuan, momen lapangan dan depleksi akibat pengaruh beban hidup, yang

dibebani dengan beberapa kondisi terhadap titik tertentu yang diambil sebagai titik acuan

dan sejauh mana beban hidup tersebut tidak berpengaruh lagi terhadap titik yang

ditentukan sebelumnya. Dan hal tersebutlah yang mendasari penulis untuk membuat suatu

(11)

Yang menjadi pokok permasalahan disini adalah untuk menganalisa perilaku pelat

kontiniu yang ditumpu pada profil WF yang berpungsi sebagai balok atau sebagai

pertletakan pelat tersebut, seperti terlihat pada Gambar 1.1 di bawah:

Gambar 1.1

Dengan kondisi perletakan pelat kontiniu seperti Gambar 1.1 dapat bersipat seperti

sendi maka dengan demikian modelnya dapat digambarkan seperti Gambar 1.2 di bawah:

Gambar 1.2

Adapun rumus dasar yang digunakan umtuk menghitung momen pada pelat yang

dibebani secara merata di atas bentang pelat adalah sebagai berikut:

0

2 ₄2

4 2 2

2 4 4

2 4

= +

+

y w y

x w x

w

δ δ δ δδ δ

δ

Dari hasil penurunan rumus di atas didapat rumus untuk menghitung momen

seperti di bawah:

( )

[

]

a x m A

v B

v m a

q m

a q M x

m

m m

m y

π

2 (1 ) sin

1 4

.. 5 , 3 , 1

2 2

2 0 3 3 2 0

0= ∑ − ∑ − −

∞ = ∞

=

Sedangkan rumus untuk menghitung momen pada pelat kontiniu akibat beban

sendiri dan jarak antar tumpuan adalah sama dapat dilihat seperti di bawah:

(Mx)0 = (My)0 = 0,044qa2

Dalam permasalahan ini yang akan dianalisa adalah menghitung momen tumpuan,

momen lapangan dan depleksi pada suatu bentangan pelat kontiniu pada suatu konstruksi

baja portal bertingkat yang ditentukan sebagai bentangan yang akan ditinjau , seperti

(12)

C A B D

b

a a a

Gambar 1.3

Dengan kondisi seperti di Gambar 1.3 akan dicari momen lapangan pada

bentangan AB dan momen tumpuan pada perletakan sendi. kemudian jumlah bentangan

pelat akan tetap ditambah dengan bentuk dan besar pembebanan yang sama dan akan

dianalisa pengaruh penambahan jumlah bentangan dan beban tersebut terhadap bentangan

AB kondisi tersebut dapat dilihat pada Gambar 1.4 di bawah:

(13)

Kondisi 2

Kondisi 3

a a a a a

Gambar 1.4

Dan dengan kondisi pembebanan yang sama seperti terlihat pada Gambar.1.4,

jumlah bentangan pelat akan tetap ditambah secara kontiniu dimana jarak antar tumpuan

atau panjang setiap satu bentangan adalah sama setiap penambahan jumlah bentangan

dengan demikian dan di sini akan dianalisa seberapa besar pengaruh setiap penambahan

jumlah bentangan, dan sejauh mana panjang bentang pelat sudah tidak mempengarhi lagi

terhadap bentang AB tersebut.

1.3 Maksud dan tujuan penulisan

Maksud dan tujuan penulisan Tugas Akhir ini adalah :

(14)

b. Mengetahui besar momen lapangan pada bentangan yang ditinjau dengan kondisi

yang berbeda.

c. Memengetahui lendutan pada bentangan yang diinjau dengan kondisi yang berbeda.

d. Mengetahui momen tumpuan pada bentangan yang ditinjau.

e. Membandingkan momen dan lendutan pada bentangan yang ditinjau untuk semua

kondisi.

f. Untuk mengetahui sejauh mana penambahan jumlah bentangan sudah tidak

mempengaruhi bentangan awal (AB) tersebut.

1.4 Pembatasan Masalah

Dalam penulisan tugas akhir ini batasan–batasan yang dipergunakan adalah

a. Konstruksi baja portal bertingkat seperti Gambar. 1.3

b. Jarak setiap antar tumpuan 4 meter.

c. Pelat berbentuk berbentuk persegi.

Tebal pelat lantai 15 cm. dan lebar pelat adalah 4 meter.

d. Pelat tipis dengan lendutan kecil.

e. Sistem pembebanan pada lapangan maximum yang merata diseluruh bentangan pelat

(Sinusoidal).

f. Pelat beton bertulang, mutu beton K300.

g. Pembebanan pada struktur disesuaikan menurut Tata Cara Pembebanan untukRumah

dan Gedung

h. Panjang bentang pelat adalah sejauh beban hidup tidak berpengaruh lagi

terhadap bentangan yang ditinjau.

(15)

1.5 Metode Penulisan

Metode yang digunakan dalam penulisan Tugas Akhir ini adalah Metode Analitis

dan didasarkan pada beberapa literatur yang berhubungan dengan masalah tersebut.

Metode Analitis

Dalam perhitungan dan analisa pelat persegi panjang ini dipergunakan metode

M.Levy untuk mencari lendutan dan momen yang terjadi didalam pelat akibat beban

(16)

BAB II

TEORI DASAR 2.1. Umum

Pelat lantai pada bangunan, merupakan bagian struktur yang terpasang

mendatar dan berfungsi sebagai tempat berpijak bagi penghuni yang ada diatasnya.

Pelat lantai pada umumnya mempunyai ketebalan yang ukurannya relatif kecil bila

dibandingkan dengan panjang bentangnya sehingga sifat kaku dari pelat lantai

kecil. Akibat kekakuan yang kecil ini akan mengakibatkan lendutan yang besar.

Lendutan yang besar ini harus dicegah agar pelat lantai dapat memberikan

kenyamanan berpijak bagi penghuninya.

Alternatif untuk memperbesar kekakuan pelat lantai sehingga menambah

kekakuan adalah sebagai berikut :

1. Menambah ketebalan pelat. Namun cara ini tidak ekonomis dan dapat

mengakibatkan pertambahan berat struktur sendiri.

2. Mengurangi lebar bentangan pelat dengan memberi balok–balok silang berupa

balok induk dan balok anak. Secara umum ini banyak digunakan karena

kepraktisanya dalam analisis dan pelaksanaannya.

3. Memanfaatkan bentuk atau sistem kisi–kisi (grid structur) yang lebih dikenal

dengan dengan istilah struktur grid. Struktur ini digunakan pada bentangan

besar, karena bentuknya dapat sesuai dengan selera maka dapat menjadi plafon

hiasan yang indah dan artistik.

Pelat dan shell pada mulanya adalah suatu elemen struktur bidang rata

(17)

Pz(x,y)

dy

dx

Ly

Lx

x z

y

Momen Puntir

Pz

h

Gaya Geser Transversal Momen

Lentur

dx dy

Momen Lentur

Ketebalan suatu pelat biasanya diukur pada arah normal sumbu (garis berat)

pelat. Klasifikasi pelat atas dasar aksi strukturalnya sebagai berikut :

1. Pelat Kaku, merupakan pelat yang kaku dan memikul beban dengan

memikul aksi dua dimensi, terutama dengan Momen dalam (lentur dan

puntir) dan gaya geser transversal, yang umumnya sama dengan balok.

Pelat kaku dibedakan atas :

a. Pelat tipis dengan lendutan kecil, yakni pelat dengan persyaratan

lendutan maksimum sebesar 1/10 sampai 1/5 tebal pelat, atau lendutan

maksimum lebih kecil dari 1/50 bentang terpendek.

b. Pelat tipis dengan lendutan besar, yakni pelat dengan persyaratan

lendutan maksimum lebih besar dari 1/5 tebal pelat atau lebih besar

dari 1/50 bentang terpendek

Gambar 2.1 Pelat Kaku

2 Membran, merupakan pelat tipis tanpa ketegaran lentur dan memikul

(18)

Pz

h

Gaya Axial

dx

dy h

Gaya Axial

Gaya Geser Transversal

Momen lentur

Pz

Gaya Geser Pusat Gaya Axial

dx dy

h

Gaya Axial

Gaya Geser Pusat

diambil potongan seluas dx.dy seperti diatas maka dapat dilihat gaya –

gaya dalam seperti gambar dibawah ini.

Gambar 2.2 Potongan elemen Membran

.3. Pelat Flexibel, merupakan gabungan dari pelat kaku dan membran, dan

memikul beban luar dengan gabungan aksi momen dalam, gaya geser

transversal, dan gaya geser pusat dan gaya axial. Pelat ini mempunyai

keuntungan karena perbandingan berat dengan bebannya menguntungkan

atau pelat lebih ringan. Jika diambil potongan seluas dx.dy seperti diatas,

maka dapat dilihat gaya – gaya dalam seperti dibawah ini.

Gambar 2.3 Potongan elemen plat flexible

4 Pelat Tebal, Teori pendekatan dari pelat tipis ternyata tidak berlaku untuk

pelat yang dianggap tebal. Dalam hal ini teori pelat tebal harus diterapkan.

(19)

dimensi. Analisa tegangan lebih berperan, dan sampai sekarang

permasalahan tersebut dapat terpecahkan sepenuhnya hanya untuk

beberapa hal khusus.

Gambar 2.4 Elemen tiga dimensi

2.2. Variasi Tegangan di dalam Pelat

Komponem tegangan pada pada umumnya berubah dari titik ketitik lainya pada

suatu pelat yang diberi beban. Perubahan atau variasi ini disebabkan oleh

pengaruh keseimbangan statis antara komponem – komponem tegangan. Untuk

memenuhi keadaan ini perlu dibuat suatu hubungan seperti dalam persamaan

keseimbangan.

Perhatikan suatu elemen pelat kecil dx dy yang memikul beban terbagi

merata persatuan luas p (gambar 2.5). Untuk penyederhanaan, diasumsikan gaya

dan momen yang bekerja pada sisi penampang terdistribusi merata sepanjang sisi

(20)

Pz

dy

h/2 h/2

z, w

x, u

y, v

dx

dx x Mx Mx

δ δ

+

dx x M xy M xy

δ δ

+

dy y Myx Myx

δ δ

+

dy y Qy Qy

δ δ

+

dy y My My

δ δ

+

Qy Qy

Mx

My

dx x Qx Qx

δ δ

+

Mxy

Myx

Gambar 2.5 Komponem Gaya dan Momen Elemen Pelat

2.3. Persamaan Differensial Pelat

X Z

Y Qx

Qy

Untuk pelat tanpa normal :

Nx =Ny = Qxy=Qyx = 0

x = 0 + −Q =0

x M y

M

x x yx

δ δ δ

δ _(2.1)

y = 0 − +Q =0

y M x

M

y y xy

δ δ δ

δ _(2.2)

z = 0 + +q=0

y Q

x

Qx y

δ δ δ

δ _(2.3)

Qyx

Qxy

Mxy Mx

Nx

My Myx

(21)

Dimana :     ₊ − = y w v x w D Mx δ δ δ δ 2 2 2 2     ₊ − = x w v y w D My δ δ δ δ 2 2 2 2 (2.4)

( )

y x w v D M Mxy yx

δ δδ. 1 2 − = − = (2.5)     ₊ − = x w y w y D Q_y δ δ δ δ

δδ 2

2 2 2

Persamaan (2.1) dan (2.2) dimasukan ke (2.3)

q y x M y M y y x M x

Mx+ yx+ − XY −

δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ 2 2 2 2 2 2 M Myx=− xy

Maka : q

y x M x M x

Mx+ y− XY =

δ δ δ δ δ δ

δ 2 2

2 2

2 (2.6)

Persamaan (2.4) dimasukan ke (2.5), maka berlaku persamaan differensial pelat

sebagai berikut :

    ₊ − = y w x w x D Q_x δ δ δ δ

δδ 2

(22)

D q y

w y

x w x

w

= +

+ 4

4 2 2

4 4

4

2

δ δ δ δδ δ

δ _(2.7)

2.4. Syarat batas

Distribusi tegangan pada pelat tidak terlepas dari syarat batas (Boundary

Condition), antara lain gaya dan perpindahan. Pada persamaan differensial

kesetimbangan pelat dibutuhkan dua syarat utama pada masing – masing tepi

yaitu lendutan dan rotasi atau gaya dan momen atau kombinasi diantaranya.

Perbedaan yang mendasar antara syarat batas pelat dan balok adalah momen

puntir (torsi) disepanjang tepi pelat.

Beberapa kondisi batas suatu pelat persegi panjang, dimana sumbu x dan y

diambil sejajar dengan sisi pelat, yaitu :

1. Tepi terjepit

Jika tepi suatu pelat terjepit, lendutan disepanjang tepi itu adalah nol,

dan bidang singgung permukaan tengah yang dilenturkan sepanjang tepi ini,

berimpit dengan posisi awal bidang tengah pelat. Dengan mengasumsikan

bahwa tepi yang terjepit terdapat pada x = a, kondisi batasnya dinyatakan

sebagai berikut:

( ) 0 ;  =0

     =

= =

a x a

x

x w w

δ δ

x=a

0

=

x

δ δω

(23)

2. Tepi yang ditumpu secara sederhana

Jika tepi pelat sejauh x = a ditumpu secara sederhana, lendutan w

sepanjang tepi pelat harus sama dengan nol. Namun tepi ini dapat berputar

bebas terhadap garis tepi. Jadi tidak terdapat momen – momen lentur

sepanjang tepi ini. Kondisi batasnya dinyatakan sebagai berikut :

( ) 0 ; ₂ 0

2 2

2

=   

 ₊

=

= =

a x a

x

y w v x

w w

δ δ δ

δ

3. Tepi yang bebas

Jika pelat ternyata bebas ( sejauh x = a ), maka dianggap wajar bahwa

pada tepi ini tidak terdapat momen lentur, momen puntir, serta tidak terdapat

gaya geser juga. Jadi kondisi batasnya sebagai berikut :

( )

₂ 0

2 2 2

=   

 ₊_∂

− =

=

=a x a

x x

y w

x w D M

δ δ δ

δ

( )

(1 ) ₂ 0

2

=     ∂ − − =

=

=a x a

x xy

y w D

M

δ

( )

₀

2 2 2 2

=   

 ₊

− =

=

=a x a

x x

y w x

w x D M

δ δ δ δ δδ

x=a

0

=

x

δ δω

Gbr.2.7 Tepi sederhana

x=a

(24)

BAB III

ANALISA PELAT KONTINIU

3.1 Pelat Persegi Panjang Yang Kontuniu

Untuk menghitung momen pada pelat kontiniu (menerus) adalah dengan cara

menghitung momen tumpua n dan momen lapangan pelat persegi panjang yang ditumpu

secara sederhana,dan dilenturkan oleh lendutan yang ditumpu secara terjepit dan momen

tumpuan yaitu pada tumpuan antara dapat di hitung dengan cara yang sama pada pelat

persegi panjang yang ditumpu secara terjepit yang dilenturkan oleh lendutannya,

kemudian momen lapangan pada pelat kontiniu dapat dihitung dengan menjumlahkan

momen tumpuan dengan momen lapangan yang disebut di atas.

3.1.1 Pelat Persegi Panjang yang di tumpu secara sederhana

Gambar 3.1 Pelat Persegi Panjang yang di tumpu secara sederhana

x

b/2 b/2

a

(25)

Penyelesaian persamaan differensial pelat tipis yang ditumpu sederhana yang

dibebani dengan sinusoidal yang didistribusikan keseluruh permukaan pelat, yang

dinyatakan oleh persamaan :

a x m m q

q

m

π

sin

1 4

5 , 3 , 1 0

∑

= ∞

= (3.1)

Dimana q menggambarkan intensitas beban pada pusat pelat, sehingga persamaan

differensial lendutan pelat :

a x m m D

q y

w y

x w

m

π

δ

4 1 _sin

5 , 3 , 1 0 4

4 2 2

4 4

4

∑ =

+

+ ∞

= (3.2)

Untuk syarat batas tepi yang ditumpu sederhana :

W = 0 ₂ 0

2

=

x w

δ

δ _{untuk x = 0 dan x = a}

W = 0 untuk

2

b y=±

Kondisi batas akan memenuhi bila kita menggunakan persamaan lendutan :

a x m Y

w m

m

π

sin

∑

= ∞ (3.3)

karena pelat kontiniu ini menerus maka akan ada momen tumpuan pada tumpuan

antara yang dapat kita hitung dengan rumus-rumus yang ada dimana prinsipnya sama

(26)

3.1.1.1Pelat mengalami Beban Vertikal Merata

y

Gambar 3.2Pelat mengalami Beban Vertikal Merata

Dalam menerapkan metode Levy pada beban terbagi rata dan pelat ditumpu

sederhana, dapat dilakukan penyederhanaan lebih lanjut dengan mengambil penyelesaian

persamaan pelat

y w y

x w x

w

δ δ δ δδ δ

δ

4 4 2 2

4 4

4

2 +

+ dalam bentuk :

W = w1 + w2

dan dengan mengambil :

(

_x _ax _a x

)

D q

w1 0 4 2 3 3

24 − +

=

dimana w1 menggambarkan lendutan lajur sejajar terhadap sumbu x dan dibebani

secara merata dan memenuhi syarat batas ( tepi x=0 dan a=0). Sehingga persamaan w2

harus memenuhi persamaan :

0

2 ₄2

4 2 2

2 4 4

2 4

= +

+

y w y

x w x

w

δ δ δ δδ δ

δ _(3.4)

Substitusi persamaan (3.3) ke persamaan (3.4) sehingga diperoleh : x

b/2 b/2

(27)

0 sin 2 1 4 4 4 2 2 2 = ∑∞_ − + _ = a x m Y a m Y a m Y m m II m IV

m π π π (3.5)

atau : 0 2 ₄ 4 4 2 2 2 = + − Y a m Y a m Y m II m IV

m π π

Penyelesaian persamaan umum persamaan ini adalah ;

      ₊ ₊ ₊ = a y m a y m D a y m C a y m B a x m A D a q

Ym mcosh

π

m

π

msinh

π

m

π

cosh

π

2 0

(3.6)

Dengan mengamati bahwa permukaan lendutan pelat adalah simetris terhadap

sumbu x, maka hanya fungsi genap y dalam persamaan (3.6) yang kita pertahankan dan

mengambil konstanta-konstanta integrasi Cm = Dm=0.

Sehingga persamaan lendutan w :

(

)

m_ax

a y m a y m B a y m A D a q x a ax x D q w m m m

π

_sinh _sin

cosh 2 24 1 4 0 3 3 4 0 ∑       ₊ + + − = ∞ =

Konstanta Bm dan Am dapat ditentukan dari syarat batas

W = 0 ₂ 0

2 = y w δ δ

Terlebih dahulu kita mengubah persamaan w1 menjadi bentuk deret trigonometri

a x m m D a q w m

π

sin 1 4 5 5 4 0

1= ∑

∞ a x m a y m a y m B a y m A m D a q w m m

m

π

cosh sinh sin

4

1 5 5 4 0 ∑       ₊ ₊ = ∞

(28)

jika

dari syarat batas kita dapat menentukan konstanta – konstanta

B

_m dan

A

_m

(

)

α π α α m m m m m A cosh 2 tanh 2 5 + = α π m m m B cosh 2 5 5 =

Substitusi nilai Bm dan Amke persamaan (3.7) sehingga :

a x m b y b y b y D a q w m m m m m m m m

m

π

α

π

sinh sinh

2 cosh 2 cosh cosh 2 2 tanh 1 1

4

2

5 , 3 , 1 5 5 4 0         + + − =

∑

∞ =

Lendutan maksimum terjadi pada tengah pelat (x = a/2, y = 0 )

( )       ₋ + ∑ − = ∞ = −

α

π

m m m m m maks m D a q w cosh 2 2 tanh 1 ) 1 ( 4 1 5 2 / 1 5 4 0 (3.8)

Persamaan (3.8) dapat disederhanakan :

( )

α

π

m m m m m maks m D a q D a q w cosh 2 2 tanh ) 1 ( 4 4 384 5 1 5 2 / 1 5 4 0 4 0 + ∑ − − = ∞ = − (3.9) sehingga : D a q wmaks 4 0

α

=

Dengan metode superposisi kita dapat mencari momen dari nilai-nilai w1 dan w2

sebagai berikut :

    ∂ + − = y w x w D Mx δ δ δ δ 2 2 2 2     ∂ + − = x w y w D My δ δ δ δ 2 2 2 2

dari nilai w1 diperoleh momen-momen :

(29)

∑ = ∞ m x m a q

M 3 3

2 0 1 1 4

π

= ∑ ∞ m y m a vq

M 3 3

2 0

1 1

4

π

(3.10)

dari nilai w2 diperoleh momen-momen :

( )

m_ax

a y m v v a y m a y m B a y m A m a q v M m m m

x

π

cos

π

sin

π

1 2 sin cosh 1 1 2 2 2 0 11 ∑ _ _      − − + − = ∞ =

( )

m_ax

a y m v v a y m a y m B a y m A m a q v M m m m

y π π π π cos π sin π

1 2 sin cosh 1 1 2 2 2 0 11 ∑ _ _      − + + − = ∞

= (3.11)

Momen lentur total diperoleh dengan menjumlahkan persamaan (3.10) dan (3.11).

Persamaan momen sepanjang sumbu x adalah :

( )

[

]

a x m A v B v m a q m a q M x m m m m y

π

2 (1 ) sin

1 4 .. 5 , 3 , 1 2 2 2 0 3 3 2 0

0= ∑ − ∑ − −

∞ = ∞

=

( )

[

]

m_ax

A v B m a q m a vq M y m m m m y

π

2 (1 ) sin

1 4 .. 5 , 3 , 1 2 2 2 0 3 3 2 0

0= ∑ − ∑ + −

∞ = ∞

(30)

3.1.2 Pelat Persegi Panjang Dengan Berbagai Kondisi Tepi

Gambar.3.3

Marilah kita tinjau suatu pelat persegipanjang yang ditumpu sepanjang

tepi-tepinya dan dilenturkan oleh momen-momen yang dibagi sepanjang tepi y = ±b/2

( Gambar.3.3). lendutan w harus memenuhi persamaan difreisial homogen.

D q y

w

y x

w x

w

= +

+ 4

4 2 2

4 4

4

2

δ δ δ δδ δ

δ _(a)

dan kondisi batas seperti berikut ini:

o

=

ω ₂ 0

2

=

x

w

δ

untuk x = 0 dan x = a (b)

o

=

ω untuk

2

b y=±

( )

χ

ω

1 2 / 2 2

f y

D

b y

=    

∂ ∂ −

=

ω ₂

( )

χ

2 / 2 2

f y

D

b y

= 

  

∂ ∂ −

− =

(c) 2

b

2

b

) (

2 χ f

) (

(31)

Dimana f dan 1 f menggambarkan distribusi momen lentur sepanjang tepi 2

2

b

y=± . Kita

tulis persamaan (a) dalam bentuk deret:

∑

∞₌

=

1

sin m

m

a y m

y π

ω (d)

Setiap suku deret ini memenuhi kondisi batas (b), seperti yang telah kita lakukan

sebelumnya, dan fungsi Ym kita tulis dalam bentuk,

   



 ₊ ₊ ₊

=

a y m a

y m a

y m

D

C

B

A

Y

m m m m m

π π

cosh sinh

cosh

sinh (e)

Yang memenuhi persamaan (a)

Untuk menyederhanakan pembahasan ini, kita mulai dengan dua buah kasus yang

khusus:

1. Kasus imetris dimana

( )

2 / 2

/ y y b b

y

y M

M ₌₋ = ₌

2. Kasus antisimetris dimana

( )

2 / 2

/ y y b

b y

y M

M ₌ =− ₌₋

Kasus umum dapat diperoleh dengan mengkombinasikan kedua kasus khusus tersebut.

1. Kondisi simetris

Dalam kasus simetri Ym harus merupakan suatu fungsi yang genap dari y, dan di

sini perlu untuk mengambil A_m =D_m =0dalam persamaan (e). kemudian, kita peroleh

dari persamaan (d),

a y m a

y m a

y m C a

y m B

m

m m

π π

ω cosh sinh sin

1

∑

∞₌ 

  



 ₊

= (f)

Agar memenuhi kondisi (b), kita harus mengambil,

0 sinh

cosh∝_m + _m ∝_m ∝_m=

m C

(32)

Dimana: a b m m 2 π α = Maka : m m m m C

B =− ∝ tanh∝

Dan lendutan pada kasus simetri ini adalah:

a x m a y m a y m a y m

w m m

m m

C

π sinh π α tanhα cosh π sin π

1     ₋ =

∑

∞ = (h)

kita pergunakan kondisi batas (c) untuk menetapkan konstanta-konstanta C , dengan _m

menggambarkan distribusi momen lentur sepanjang tepi

2

b

y =± dalam bentuk

trigonometrik, pada kasus simetri kita dapatkan,

a x m E x f x f m m π sin ) ( ) ( 1 2

1 = = ∑

∞ =

dengan mensubsitusikan persamaan (h) dan (i) dalam kondisi (c) akan kita peroleh,

a x m E a x m C a m D m m m m

m α π π

π _cosh _sin _sin

2 1 1 2 2 2 ∑ = ∑ − ∞ = ∞ = dari sinidapat α π m m m m D E a C cosh

2 2 2

2 − = dan     ₋ =

∑

∞ = a y m a y m a y m E a m D a m m m m m m

m

E

w

π π π

πχ

α

π

cosh tanh cosh sinh

(33)

2. kondisi Antisimetris

Asumsi awal a x m x x m m

E

f

( ) ( ) sin π

1 2 1

∑

∞ = = − =

Dalam hal ini, permukaan lendutan merupakan suatu fungsi ganjil y, dan harus

kita ambil B_m =C_m =0 pada persamaan (e), oleh karena itu didapat:

a x m a y m a y m D a y m A

w m m

m

π π

π

π _cosh _sin

sinh 1     ₊ =

∑

∞ =

Selanjutnya dengan kondisi batas (b) , A_msinhα_m +D_mα_mcoshα_m =0

Dimana : m m m m A D α α tanh 1 − = Maka didapat a x m a y m a y m a y m A w m m m

m α π π π

α

π 1 _tanh _sinh _sin

sinh 1     ₋ ∑ = ∞ =

Konstanta A diperoleh dari kondisi (c), yang selanjutnya memberikan _m

a x m E a x m m A a D m m m m m m

m α α π π

α

π _sinh _tanh _sin _sin

2 1 2 1 2 2 ∑ = ∑ ∞ = ∞ = Maka m m m m m m E D a A α αα

π sinh tanh

2 2 2

2

=

Dari sini didapat persaman,

a m a y m a y m a y m m E D a m m m m m

w

_π _α α sinhα sinh π π cosh π sin πχ

sinh 2 1,3,5 2

(34)

Kita dapat memperoleh permukaan lendutan pada kasus umum yang digambarkan

oleh kondisi batas (c), dari persamaan (3.13) dan (3.14) untuk kasus-kasus simetris dan

antisimetris. Untuk mencapai tujuan ini, kita pecah momen yang telah ditentukan atas

distribusi momen simetri M_y' dan distribusi momen tak simetris M"_y seperti berikut :

[

( ) ( )

]

2 1 ) ( )

( /2 1 2

' 2 / ' χ χ f f M

My y=b = y y=−b = +

[

( ) ( )

]

2 1 ) ( )

(M_y" _y₌_b_/₂ =− M_y" _y₌₋_b_/₂ = f₁ χ − f₂ χ

Momen –momen ini dapat ditulis lagi seperti sebelumnya dengan deret trigonometrk

sebagai berikut:

( )

m_ax

E M m m b y y π sin 1 ' 2 / '

∑

∞₌ = =

( )

m_ax

E M m m b y y π sin 1 " 2 / "

∑

∞₌

= = (i)

dan lendutan total diperoleh dengan menggunakan persamaan (3.13) dan (3.14) serta

mensuperposisikan lendutan lendutan yang dihasilkan oleh kedua distribsi momen

(persamaan i), dan didapat,

_ +         ₋ =

∑

∞ = a y m a y m a m E m a m D a m m m m m π π πχ α α α πχ π

ω tanh cosh sinh

cosh sin 2 ' 2 1 2 2         ₋ a y m a y m a y m E m m m

m α α π π π

α coth sinh cosh

sinh

"

(3.15)

Jika momen lentur

( )

l x m E M m m

y sin π

1

∑

∞₌

= hanya didistribusi sepanjang tepi y =

b/2, maka kita dapatkan f E_m E_m E_m

2 1 ,

0 )

( ' "

(35)

+ 

 

   



 ₋

=

∑

∞

= a

y m a

y m m

a m E

D a

m m

m

π π

π α

α α πχ

π

ω tanh cosh sinh

cosh 1 sin

4 1 2

2 2

     



 ₋

a y m a

y m a

y m

m m

m

π π

π α

α

α coth sinh cosh

sinh 1

(3.16)

[image:35.595.154.445.278.444.2]

3.1.2. Pelat Persegi Panjang yang Ditumpu Secara Terjepit

Gambar 3.5 Pelat Persegi Panjang yang Ditumpu Secara Terjepit

Untuk menganalisa pelat persegi panjang yang ditumpu secara jepit, mula-mula kita

menganggap pelat ditumpu dengan sederhana dan diberikan momen sepanjang sisi y

= ± b/2. Kita tinjau kasus yang khusus :

1. Kasus Simetris dimana

( ) ( )

_{M y} _{M y} b y b

y= /2= =− /2

2. Kasus Antisimetri dimana

( )

_{M y}

( )

_{M y} b y b

y= /2=− =− /2

1. Keadaan simetris

f1 (x) = f2 (x)

Lendutan w harus memenuhi persamaan differensial homogen : a

y

f2(x)

f1(x)

b/2

(36)

0

2 ₄2

4 2 2 2 4 4 2 4 = + + y w y x w x w δ δ δ δδ δ

δ _(a)

dengan syarat batas :

w = 0 ₂ 0

2

=

x w

δ

δ _{untuk x = 0 dan x = a}

w = 0 untuk y = 2

b

± (b)

) ( 1 2 / 2 2 x f x w D b y =     − = δ δ ₍ ₎ 2 2 / 2 2 x f x w D b y =     − − = δ

δ _(c)

Penyelesaian persamaan lendutan (a) dalam bentuk deret :

a x m Y w m m π sin 1 ∑ = ∞ =

Ym harus memenuhi syarat batas dan persamaan lendutan (3.31), diperoleh :

a y m a y m D a y m a y m Cm a y m B a y m A

Ym= msinh π + mcosh π + π sinh π + m π cosh π

dalam kasus simetris Am=Dm=0, sehingga persamaan lendutan :

a x m a y m a y m C a y m B w m m

mcosh π π sinh π sin π

1 ∑       ₊ = ∞ =

agar memenuhi persamaan batas, diperoleh :

0 sinh

cosh + =

a y m a y m C a y m

Bm π m π π

(37)

α

αm m

m m C

B = tanh

a b m m 2 π α =

Lendutan pada kasus simetris :

a x m a y m a y m a y m C

w m m

m

m π sinh π α tanhα sinh π sin π

1     ₋ ∑ = ∞ =

Momen sepanjang sisi y = ± b/2 dalam bentuk deret trigonometri :

a x m E x f x f m

msin π ) ( ) ( 1 2

1 = = ∑

∞ =

kemudian substitusi persamaan kepersamaan (b), sehingga diperoleh :

a x m E a x m C a m D m m m m

m α π π

π _cosh _sin _sin

2 1 1 2 2 2 ∑ = ∑ − ∞ = ∞ = sehingga : α π m m m m D E a C cosh

2 2 2

2

− =

b. Keadaan Antisimetris

f1(x) = f2 (x) =

a x m E m m π sin 1 ∑∞ =

Dalam kasus antisimetris Bm = Cm = 0, sehingga persamaan lendutan :

a x m a y m a y m A _D w m a y m m m π π π

π _cosh _sin

1 sinh

∑_ _

= ∞

= +

agar memenuhi syarat batas, dperoleh :

0 cosh

sinh + =

a y m a y m D a y m

Am π m π π

maka :

A

D m m

m m α α tanh 1 = a b m m 2 π α =

(38)

a x m a

y m a

y m A

w m

m m

m α π π π

α

π 1 _tanh _sinh _sin

sinh

1 

 

 ₋

∑ = ∞

=

Kemudian subsitusi persamaan ke persamaan (b), sehingga diperoleh :

a x m E a

x m m

A a

D

m m m

m m

m

m α α π π

α

π _sinh _tanh _sin _sin

2

1 2

1 2 2

∑ =

∑ ∞

= ∞

=

α αα

π α

m m

m

m E D a

tanh sinh

2 2 2

2

=

[image:38.595.157.443.292.510.2]

3.1.2.1. Pelat Mengalami Beban Merata Pada Perletakan Jepit

Gambar 3.5 Pelat Mengalami Beban Merata

Asumsi awal persamaan lendutan pelat adalah ditumpu secara sederhana q

0

b/2

a/2 a/2

X

(39)

Penurunan Rumus Levi.

:         + + − =

∑ −

∞ = − a y m a y m a y m a x m D q w m m m m m m

m

a

π π π π

α

π

2cosh sinh

1 cosh cosh 2 2 tanh 1 cos 4 5 , 3 , 1 5 2 1 5 4

0

(

1

)

(3.16)

Rotasi pada tepi y = b/2 adalah :

( )

∑ − _ − _ =       ∞ = −

= 1,3,5 4 2

2 1 4 3 0 2 tanh cosh cos 1 2 m m m m m b y a x m m D a q x w

α

π

δ

Rotasi pada tepi x = a/2 adalah

( )

∑ _      ₋ − =       ∞ = −

= 1,3,5 4 2

2 1 4 3 0 2 tanh cosh cos 1 2 m m m m m a x b y m m D b q x w

β

π

δ

Momen yang bekerja sepanjang tepi y = 2

b

± dalam bentuk deret :

( )

m_ax

E

M y m

m m b y

π

cos 1 5 . 3 , 1 2 1 2 ∑ − = ∞ = − ± =

Akibat momen yang bekerja pada tepi y = 2

b

± timbul lendutan sebesar :

( )

    ₋ − ∑ − = − ∞ = a y m a y m a y m a x m m E D a

w m m

m m m m

π

α

π

α

π

cosh cos sin tanh cosh

1 2 2 2 1 5 , 3 , 1 2 2

1 (3.17)

Akibat lendutan w1 yang terjadi pada tepi y = ± b/2 timbul rotasi sebesar :

( )

    ₊ − ∑ − =     ∞ − = = α α α π π δ δ m m m m m m b y a x m m E D a y w cosh tanh cos 1 2 2 2 1 5 , 3 , 1 2 1

(40)

( )

( ) b y i m i a b i m E Da b y w m i i m a x π π δ

δ 4 1 _cos

5 , 3 ,

1 1,3,5 2 2 2 2 2 2 / 1 3 2 2 2 1 ∑ ∑       + − − =     ∞ = ∞ = − =

Momen yang bekerja sepanjang tepi x = ± a/2 dalam bentuk deret :

( )

m_by

F

M x m

m m a x π cos 1 5 , 3 , 1 2 1

2 = ∑ −

∞ =

− ±

=

Dengan cara yang sama, akibat lendutan w2 yang terjadi pada tepi x = ± a/2 timbul rotasi

sebesar :

( )

    ₊ − ∑ − =       ∞ − = = β β β π π δ δ m m m m m m a x b y m m F D b x w cosh tanh cos 1 2 2 2 2 1 5 , 3 , 1 2

akibat lendutan w2 yang terjadi pada tepi y = ± b/2 timbul rotasi sebesar :

( )

a x i m i b a m i F Db a y w m i m b y π π δ δ _cos 2 2 2 2 1 4 5 , 3 , 1 2 3 2 1 2 2 2 2 ∑         + − − =     ∞ = − =

Jika momen

( )

_{M x} a x

2

±

= dan

( )

M y b y

2

±

= bekerja secara simultan, maka rotasi pada tepi – tepi

pelat diperoleh dengan cara superposisi :

1. tepi y = ± b/2

0 2 2 1 2 =     ₊ +     =

=b y b

y y w y w y w δ δ δ δ δ δ

sehingga diperoleh sejumlah persamaan linier yang jumlahnya tak terhingga untuk

(41)

0 1 8 cosh tanh tanh cosh 1 4 2 2 2 2 2 5 , 3 , 1 3 2 4 3 2 0 =     + ∑ −     ₊ −     ₋ ∞ = m i b a m F b ia i E i a q m m i i i i i i i π α α α α α α π (3.17)

Untuk pelat persegi panjang Fi = 2 Ei sehingga :

    ₋ =     + ∑ +     ₊ ∞ = α α α π π α α α i i i m m i i i i i a q m i b a m E b ia i E _tanh cosh 1 4 1 2 8 cosh tanh 2 4 3 2 0 2 2 2 2 2 5 , 3 , 1 3 2 (3.18) 3 2 0 4 π a q Km=

cari nilai E1 kemudian substitusi kepersamaan lendutan dan momen

.2. Tepi x = ± a/2

0 2 / 2 1 2 / =       ₊ + =

=a x a

x x w x w x w δ δ δ δ δ δ

Sehingga diperoleh sejumlah persamaan linier yang jumlahnya tak terhingga untuk

menghitung koefisien Ei dan Fi

0 1 8 cosh tanh tanh cosh 1 4 2 2 2 2 2 5 , 3 , 1 3 2 4 3 2 0 =     + ∑ −       ₊ −       ₋ ∞ = m i a b m E a ib i E i b q m m i i i i i i i π β β β β β α

π (3.19)

Untuk pelat persegi panjang Ei = ½ Fi sehingga :

(42)

cari nilai Fi kemudian substitusi kepersamaan lendutan dan momen.

Berikut ini :

( )

=− ∑∞

( )

− _− _ = − = = 5 , 3 , 1 2 2 / ) 1 ( 2 2 0 , 0 1 cosh tanh 1

2 m _m

m m m m y x m E D a W α α α

π (3.21)

( )

=− ∑∞

( )

− _− _ = − = = 5 , 3 , 1 2 2 / ) 1 ( 2 2 0 , 0 2 cosh tanh 1

2 m _m

m m m m y x m F D b W β β β

π (3.22)

( )

= ∑∞

( )

− _ − + _ = − = = 5 , 3 , 1 5 2 / ) 1 ( 5 4 0 0 , 0 cosh 2 2 tanh 1 1 4 m _m m m m y x m D a q W α α α

π (3.23)

Bila : D a q Q ₅ 4 0 4 π

= ; ₅

1 / ) 1 ( 1 m R m− − = ; m m m S α α α cosh 2 2 tanh

1− +

=

Maka :

( )

W _x₌₀_,_y₌₀ =Q.R.S

( )

Mx x₌_±a/2,y₌o =

[

E1−E3+E5 −E7

]

(3.24)

( )

Mx x=0,y=o =1/2

[

E1−E3 +E5 −E7

]

( )

My _x₌_±_b_/₂_,_x₌_o =

[

F1−F3 +F5 −F7

]

(3.25)

( )

1/2

[

₁ ₃ ₅ 7

]

,

0 F F F F

M

o x x

y ₌ ₌ = − + −

(43)

3.2 Pelat Menerus (Kontinu) yang Ditumpu Secara Sederhana

s t

x1 x2 x3

0 0 0

y y y

s t

2 1

a

2 1

a

2 2

a

2 2

a

2 3

a

2 3

a

[image:43.595.147.519.140.387.2]

Gambar.3.7 Pelat Menerus

Kita mulai dengan suatu kasus yang dapat diselesaikan secara pasti dengan

mempergunakan metode yang telah dipergunakan pada bab sebelumnya, yaitu suatu pelat

persegi panjang dengan lebar b dan panjang a1 + a2 + a3, yang ditumpu sepanjang

tepi-tepinya, dan juga sepanjang garis antara ss dan tt seperti yang diperlihatkan pada Gambar

3.7, yang merupakan bentuk-bentuk pelat menerus yang ditumpu sederhana atas tiga

bentangan. Kita asumsikan bahwa penumpu antara tidak mengalami tekanan arah

melintang maupun tahanan apa pun terhadap rotasi pelat terhadap sumbu ss dan tt.

Sehingga dengan asumsi ini, lenturan setiap bentangan pelat dapat langsung diamati

dengan mengkombinasikan penyelesaian beban lateral yang telah diketahui pada pelat

yang ditumpu sederhana dengan penyelesaian pelat persegi panjang yang dilenturkan oleh

momen yang didistribusikan sepanjang tepinya.

Marilah kita mulai dengan suatu kasus simetri di mana

a1 = a2 = a3 = a

2

b

2

(44)

3.2.1 Pelat Kontiniu Dengan Pembebanan Yang simetri

[image:44.595.91.519.377.564.2]

a a a

Gambar 3.8 Pelat Yang Dibebani di Tengah Bentang

Bentangan bagian tengah dibebani secara merata, sedangkan bentangan samping

tanpa pembebanan (Gambar 3.8). Dengan menganggap bentangan bagian tengah sebagai

pelat persegi panjang yang ditumpukan secara sederhana dan dengan mempergunakan

persamaan (3.17.), maka dapatlah kita simpulkan bahwa kemiringan permukaan lendutan

sepanjang tepi x2 = a/2 adalah sebagai berikut:

  

 ₋

− =

   

∂∂

∑

∞

=

−

=

m m

m

a b

y m m

D qb

β β

β π

π

χω _χ cos cosh tanh

) 1 ( 2

2 ...

5 , 3 , 1

4 2 / ) 1 ( 4

2

2 2

(3.26)

Dengan menotasikan:

β =m mπa/b

Mengingat kontinuitas (kesinambungan) pelat, momen lentur Mx akan

didistribusikan sepanjang tepi x2 = ± a/2. Dari sifat simetris terlihat bahwa

momen-momen ini dapat digambarkan dalam bentuk deret berikut:

( )

b y m E

M m

m

a

π

χ

χ 1 cos

... 5 . 3 . 1

2 / ) 1 ( 2

2

∑

∞

=

− ±

(45)

Lendutanω₁.yang ditimbulkan oleh momen-momen ini dapat diperoleh dari Persamaan

(3.14), dan kemiringan yang berhubungan dengan hal ini sepanjang tepi χ2 =a/2 [lihat

Persamaan (3.17)] adalah

    ₊ − − =     ∂ ∂ ∞ − =

=

∑

m

m m m m m a b y m m E D b β β β π π χ ω χ 2 2 / ) 1 ( ... 5 , 3 , 1 2 2 1 cosh tanh cos ) 1 ( 2 2 (3.28)

Dan persyaratan kontinuitas, dapatlah kita simpulkan bahwa jumlah persamaan (3.26) dan

(3.28) yang menggambarkan kemiringan pelat sepanjang garis χ2 =a/2 besarnya harus

sama dengan kemiringan sepanjang garis permukaan lendutan yang sama dari pelat pada

bentang yang berdekatan. Dengan menganggap bentang yang disebutkan belakangan ini

sebagai pelat persegi panjang yang ditumpu secara sederhana dan dilenturkan oleh

momen (3.27) yang didistribusikan sepanjang tepiχ₃ =−a/2 akan kita peroleh lendutan

pelat ω2 yang bersangkutan dengan mempergunakan Persamaan (3.15), dan dari sini

akan diperoleh bentuk

2 2 / ) 1 ( ... 5 , 3 , 1 2 2 2 ) 1 ( cos

4 b m

y m E D b m m m − ∞ = − =

∑

π π ω       ₋    b m b m b m m m m 3 3 3 sinh cosh tanh cosh

1 _β _β πχ πχ πχ

β         ₋ − b m b m b m m m m 3 3 3

coth sinh cosh

sinh

1 πχ πχ πχ

β

β β (3.29)

Kemiringan yang berpadanan sepanjang tepi x3 = -a/2 adalah

2 / ) 1 ( ... 5 , 3 , 1 2 / 3 2 ) 1 ( 4 3 − ∞ = − = − =     ∂

∂

∑

m

(46)

    ₊ ₊ ₋ m m m m m m b y m β β β β β β π 2 2 sinh cosh coth tanh cosh (3.30)

Persamaan untuk menghitung koefisien Em adalah

2 / 3 2 2 / 2 1 2 / 2 3 2

2=a =a  =−a

   ∂ ∂ =     ∂ ∂ +     ∂∂χω _χ χω _χ ωχ _χ

Karena persamaan ini berlaku untuk harga y yang sembarang, maka untuk harga m yang

sembarang akan kita dapatkan persamaan berikut ini:

    ₊ −     ₋ m m m m m m m m E D b m D qb β β β π β β β

π4 4 2 2

2 cosh tanh 2 tanh cosh 1 2     ₊ ₊ ₋ = m m m m m m m m E D b β β β β β β

π 2 2

sinh cosh coth tanh 4 dari sini m m m m m m m m m m m m qb E β β β β β β β β β π β 2 2 2 2 3 3 2 coth 3 cosh coth cosh tanh 3 cosh tanh 8 − + + − =

Di sini terlihat bahwa Em berkurang dengan cepat bila m bertambah dan mendekati

nilai−2qb/π3m3Dengan diperolehnya koefisien Em yang dihitung dari persamaan di atas,

maka kita d