PROSES GARIS DALAM GEOMETRISTOCHASTIC
Drs. GIM TARIGAN
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara
BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar belakang
Thesis yang menyatakan bahwa matematika itu berkembang dari keadaan adalah benar.
Contohnya ketidakpastian datangnya air bah memaksa orang Mesir kuno untuk memetakan tanah disekitarnya, dan itulah yang menjadi cikal bakal ilmu geometri.
Geometri adalah ilmu yang sangat penting dalam pemahaman berbagai persoalan matematika. Dengan menggunakan Geometri pemahaman terhadap persoalan matematika menjadi lebih baik. Banyak persoalan yang dijabarkan secara geometri dan begitu juga halnya dengan statistik, secara geometri kita dapat melihat sebaran data, dengan geometri kita dapat lihat garis regresi dari data statistik. Begitu juga halnya dengan proses stokastik. Proses stokastik dapat dipandang sebagai objek geometri. Hal itulah yang akan kami uraikan pada tulisan berikut ini.
Bentuk geometri yang semakin rumit dapat kita lihat dalam banyak bidang dalam ilmu pengetahuan dan tehnologi. Dan sering membutuhkan analisa statistik. Contohnya struktur yang dipelajari dalam ilmu geologi, tubuh kita, dan pola yang dibentuh oleh landsekap alam. Analisa dari himpuanan seperti data di atas membutuhkan suatu model matematis yang cocok dan metode statistik yang tepat. Suatu ilmu penelitian matematika yang memberi model dan metode disebut geometri stokastik. Pada tulisan ini akan dibahas tentang proses random dari objek geometri.
Pada tulisan ini akan kita lihat teori dari pola acak dari objek dengan struktur geometri khusus. Dan akan kita fokuskan kepada proses garis lurus (planar line processes). Seperti pola acak dapat dipandang sebagai himpunan acak dan pola acak dapat juga dianggap sebagai proses titik yang titik constituentnya tidak berada pada ruang Euclidian, tetapi berada pada ruang dari garis ppada bidang. Silinder pada R3 dapat dipandang sebagai parameter dari ruang ini.
1.2. Perumusan Masalah
Stokastik merupakan suatu metode yang digunakan untuk memodelkan suatu fenomena waktu. Untuk lebih mudah dalam pemahaman maka dibuatlah suatu konsep untuk menggambarkan proses tersebut secara geometri.
1.3. Metode penelitian
Metode penelitian pada dasarnya berlandaskan kepada studi kepustakaan atau literatur dengan langkah-langkah sbb:
BAB II PEMBAHASAN
Proses Garis Lurus (planar line processes)
Proses garis lurus (planar line processes) adalah contoh mudah dari suatu proses fibre, dan memberi contoh tentang penggunaan dari ruang perwakilan dalam geometri stokastik.
Ruang Perwakilan Untuk Garis Berarah Dalam Bidang
Suatu garis berarah adalah suatu garis dengan tanda panah sebagai penunjuk arah yang dituju oleh garis tersebut. Keluarga semua yang garis tidak berarah dalam bidang dinotasikan dengan F(2,1). Kepada setiap anggota dari F(2,1) terdapat korespondensi dengan pasangan F*(2,1), jadi kedua keluarga tadi saling terjalin. Pada bagian sebelumnya, kita akan berkosenterasi pada kasus garis berarah dengan yang sangat mudah dalam perwakilannya. Garis berarah dalam bidang dapat diletakkan dalam suatu korespondensi satu satu dengan semua titik pada silinder pada R3.
Suatu himpunan koordinat yang cocok untuk suatu garis planar berarah I yang tergantung kepada jarak tegak lurus dari titik awal dan sudut yang yang terbentuk dengan sumbu x1. Dengan p ∈ R dan ∝ ∈ (0,2 π), koordinatnya dapat kita
lihat pada ilustrasi di bawah ini.
Korespondensi satu satu menghubungkan F* (2,1) dengan silinder
Kepada setiap garis tidak berarah pada F(2, 1) menghubungkan suatu pasangan titik pada C*. Pasangan ini direfleksikan pada titik awalnya. Kita pilih sebagai perwakilan dari garis tidak berarah tersebut dimana titik titik tersebut tersebar pada setengah silinder.
Ruang representasi simetrik.
Rpresentasi yang dijelaskan diatas tergantung kepada fakta fakta pilihan dari titik asal 0 clan sumbu X1 untuk bidang. Geometri stochastic dari proses garis harus
melakukan suatu pilihan tidak tetap kedalam suatu laporan asal seperti menghubungkan ke simetry penting pada representasi.
Pergerakan Grup Simetri dibangkitkan oleh transformasi dari F*(2,1) atau F(2,1) disebabkan oleh translasi dan rotasi dari bidang. Grup translasi simetri diubah dari transformasi yang disebabkan oleh translasi bidang saja. Proses dan ukuran invariant dibawah grup ini dijelaskan sebagai pergerakan simetrik dan translasi simetrik. Apabila dikali dengan suatu bilangan konstan maka hanya terdapat satu ukuran pada C* invariant dibawah pergerakan grup simetri dan ukuran invariant dibawah translasi simetri yang memiliki bentuk spesial. Proses garis timbul dalam geometri stochastic yang memiliki sifat bahwa invariant paling kurang berada dibawah translasi simetri grup.
Ukuran Dari Ruang Representasi
Proses garis tibul dan dikendalikan oleh langkah langkah pada ruang representasi C*. Sebagai contoh Proses Garis Lurus Poisson, dapat didefinisikan sebagai Proses poisson dari C*. Dan distribusinya didefinisikan oleh intensitas pengukuran pada C*. Sifat invarians memenuhi untuk proses garis yang berhubungan dengan ukuran, jadi pengetahuan tentang invariant perlu sebagai landasan dalam mempelajari proses garis invariant.
Pengukuran invariant dibawah grup simetri stationer.dengan menggunakan translasi harus dalam bentuk yang spesifik. Jika invariant dibawah pergerakan grup simetri adalah unik terhadap factor perkalian.
Teorema 8.1
a. Anggap π adalah suatu ukuran terbatas pada C* perlakuan dibawah grup simetri stationer (plane translation invariant). Maka π berbentuk
untuk pengukuran terbatas Z dalam lingkaran (0, 2 tt)
b. Anggap π adalah suatu ukuran terbatas pada C* invariant dibawah pergerakan group simetri. Maka π adalah perkalian konstan dari pengukuran lebesgue pengukuran di C*
untuk setiap s 0 ≤ s ≤∞
Apabila s = 1 maka π adalah standar pengukuran invariant di C*
Ambil T(s,y) adalah translasi sepanjang jarak s dengan arah γ. Untuk nilai α, β di (0,2
π) dan anggap pengukuran didefinisikan pada interval R dengan [a,b] π ([a,b] x [α, β])
Dengan translasi invariant dari π
Jadi π adalah invariant dibawah cylinder C*
Semua kemungkinan pengukuran invariant untuk F(2,1) dan dihasilkan dari bentuk F*(2,1). Alasan geometric juga dapat digunakan untuk memperoleh rumus pengukuran invariant untuk himpunan hitung. Himpunan hitung adalah sauro subset kompak yang didefinisikan dengan
Tidak kosong}
Teorema 8.2
Jika π adalah suatu pergerakan pengukuran invariant dalam C* dan K adalah kompak, konvek dan terbatas halus maka
dengan s adalah factor konstan dari teorema 8.1.b
Bukti:
Jika S adalah segmen garis maka invarians konsiderasi menunjukkan bahwa π ([S]) adalah prporsional kepada panjang v1 (S) dari S dan tidak bergantung kepada orientasi atau kepada lokasi dari S. Jika adalah poligon konvek dari sisi S1,...,Sn maka setiap ι dalam [K] menguiris tepat 2 dari Si, walaupun ι melakukan penetrasi terhadap K dengan suatu vertek, ini menggunakan fungsi indicator
Nilai P adalah segmen dengan panjang nol dan jika π [P] = 0 maka
Diamana cukup proporsional ke v1 (δK) adalah panjang dari batas K. Dengan menggunakan alasan pendekatan ke proporsionalan dari π ([K]) ke v1(δK) cukup memenuhi untuk semua kompok konvek K dengan penghalusan batas.
Jika K adalah unit dari disc 1(0,1) maka
Untuk suatu nilai konstan proporsionallity dari c. Dengan kata lain jika
sehingga c sebanding dengan s
Proses Garis Sebagai Proses Titik Pada Ruang Representasi.
Pengertian
dengan menganggap proses tersebut sebagai subset acak dari ruang perwakilan C*. Proses adalah local terbatas apabila ruang perwakilan adalah subset local terbatas, sehingga proses titik ada di C*.
Proses titik adalah kasus partikulir dari dari proses titik pada R 2 karena seperti yang disarankan dengan parameter (p,α) dari C' silinder dapat dipotong dan ditanamkan sebagai subset R x(O,2π ] dari R 2.
Stasioner, simetrik dan pergerakan sirnetrik dari proses garis
Definisi dari stasioner, sirnetri dan pergerakan simetrikdari proses gans adalah analog dengan stasiner dan pergerakan stasioner dari proses titik. Perbedaannya ada pada pergantian dan pergerakan grup simetri oleh stasioner, simetri dan pergerakan grup simetri. Sehingga proses garis Φ= {ι1, ι2,…} adalah stasioner simetri dan jika ΦT
= {Tι1, Tι2,...} memiliki distribusi yang sarna untuk setiap translasi T dan C* perwakilan dari proses titik (p(ι1)+s.sin (α (ι1)) +γ), α (ι1)), (P(ι2) + s.sin (α (ι2) +
γ),... memiliki distibusi proses titik yang sama sebagai (P(ι1), α(ι1), (P(ι2), α(ι2)),… Untuk setiap s dalam R dan γ dalam lingkaran (0,2π)
Pergerakan simetri proses garis rnemiliki sifat tambahan bahwa
(p(ι1)α (ι1}) + γ)), ((P(ι2) (α (ι2) + γ),... memiliki distribusi proses titik yang sarna dengan
(p(ι1))α (ι1), (P(ι2) (α (ι2)),...
untuk setiap γ dalam (O,2π) diamana penjumlahan dari sudut α(1k)+γ diinterpretasikan sebagai modulo 2π
