RAT
TAAN BE
UNTUK
IN
MOD
ERGERA
K MENDU
DI BURS
(Studi K
JOSE BO
SEKOLA
NSTITUT
DIFIKASI
AK TERB
UGA VOL
SA EFEK
Kasus: In
ONATUA
AH PASC
T PERTA
BOGO
2012
I MODEL
BOBOTI E
LATILIT
K INDONE
ndeks LQ
A HASIBU
CASARJA
ANIAN BO
OR
2
L
EKSPON
TAS SAH
ESIA
Q45)
UAN
ANA
OGOR
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Modifikasi Model Rataan
Bergerak Terboboti Eksponensial Untuk Menduga Volatilitas Saham di Bursa
Efek Indonesia (Studi Kasus: Indeks LQ45) adalah karya saya dengan arahan dari
komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan
tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang
diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks
dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, September 2012
Jose Bonatua Hasibuan
ABSTRACT
JOSE BONATUA HASIBUAN. Modified Exponentially Weighted Moving
Average Model to Estimate Stock Volatility in Indonesia Stock Exchange (Case
Study: LQ45 Index). Under direction of ENDAR H. NUGRAHANI and I GUSTI
PUTU PURNABA.
Accurate volatility modeling is an important issue in finance. A common
approach to estimate the volatility of asset returns is to use an exponentially
weighted moving average (
EWMA
) model, a special case of general
autoregressive conditional heteroscedasticity (
GARCH
) model with optimized
smoothing weights. The standard
EWMA
estimator is based on the maximum
likelihood estimator of the variance of normal distribution, and is thus optimal
when the returns are conditionally normal. Financial asset returns are well-known
to be non-normal and leptokurtic. In this research, we propose an alternative
EWMA
estimator that is robust to leptokurtosis in the conditional distribution of
returns. The estimator is based on the maximum likelihood estimator of variance
of the
power exponential
distribution. It is a function of an
EWMA
of the absolute
value of past returns, rather than their squares. The aim of this paper is to compare
forecasting performance of this newly developed estimator named Power
EWMA
with
EWMA
and
GARCH
. The data used in this research are daily closing stock
prices of LQ45 index in the period of 2002-2011.
We found that the Power
EWMA
has the best performance of the three models with respect to root mean
square forecast error.
RINGKASAN
JOSE BONATUA HASIBUAN. Modifikasi Model Rataan Bergerak Terboboti
Eksponensial Untuk Menduga Volatilitas Saham di Bursa Efek Indonesia (Studi
Kasus: Indeks LQ45). Dibawah bimbingan ENDAR H. NUGRAHANI dan I
GUSTI PUTU PURNABA.
Berinvestasi melalui kepemilikan saham dan produk derivatif
memungkinkan seorang investor mendapatkan return
(imbal hasil) berupa
keuntungan dalam jumlah besar dengan waktu yang relatif singkat. Namun
demikian, sifat saham yang berfluktuasi terhadap waktu, seringkali justru
menimbulkan risiko untuk merugi. Dalam ilmu keuangan, fluktuasi dari return
saham dikenal dengan istilah volatilitas. Salah satu isu sentral dalam dunia
keuangan modern adalah bagaimana mendapatkan penduga volatilitas terbaik.
Akurasi dari suatu metode penduga volatilitas menjadi masukan dalam
memutuskan kebijakan suatu perusahaan dan pelaku pasar keuangan.
Model rataan bergerak terboboti eksponensial atau exponentially
weighted moving average (EWMA) merupakan bentuk khusus dari model
generalized autoregressive conditional heteroscedascity (GARCH). Keduanya
merupakan metode untuk menduga volatilitas berdasarkan data return historis.
Alat standar yang digunakan adalah regresi sederhana dari volatilitas
sesungguhnya pada volatilitas yang diperkirakan. Pengukur GARCH dan EWMA
didasarkan pada penduga kemungkinan maksimum (maximum likelihood
estimator) dari ragam yang berdistribusi normal, dan karena itu akan optimal
ketika return dalam kondisi normal.
Berdasarkan hasil analisis data return harga penutupan harian indeks
LQ45 yang diamati sejak tanggal 1 Januari 2004 sampai 30 Desember 2011
diketahui bahwa return
indeks LQ45 memiliki nilai skewness
yang negatif,
menunjukkan bahwa sebaran data yang condong ke kiri. Sedangkan nilai kurtosis
6.4924 > 3 menunjukkan karakteristik kurva yang bersifat leptokurtik. Pola
leptokurtik menunjukkan terdapat banyak kejadian yang ternyata berada jauh dari
nilai rata-rata, kontras dengan apa yang ditunjukkan dengan distribusi normal.
Sehingga, perlu dianalisa penduga EWMA alternatif untuk return tak-normal yaitu
dengan memodifikasi model EWMA standar dengan mengasumsikan bahwa
distribusi
return
memiliki karakteristik kurva leptokurtik. Penduga baru ini
didasarkan pada penduga kemungkinan maksimum dari standar deviasi dengan
menggunakan asumsi generalized error distribution (GED). Hasil analisis
modifikasi model EWMA
memberikan model P-EWMA
untuk menentukan
volatitas dengan persamaan model
pendugaan
P-EWMA
terhadap data indeks LQ45 periode 2008-2011 adalah
sebagai berikut:
.
.
..
| |
.dengan = ragam pada saat-t dan
= return pada saat-t.
Proses pendugaan dilakukan dalam periode 40, 60 dan 80 hari
perdagangan dengan ketiga model. Hasil pendugaan volatilitas berdasarkan
RMSFE
menunjukkan bahwa model P-EWMA
adalah model terbaik dalam
menduga volatilitas indeks LQ45. Kebaikan dari model Power EWMA adalah
mengasumsikan bahwa return
indeks LQ45 berdistribusi GED sehingga nilai
perkiraan ragam mendekati nilai ragam aktual.
© Hak Cipta milik IPB, tahun 2012
Hak Cipta dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
yang wajar IPB.
MODIFIKASI MODEL
RATAAN BERGERAK TERBOBOTI EKSPONENSIAL
UNTUK MENDUGA VOLATILITAS SAHAM
DI BURSA EFEK INDONESIA
(Studi Kasus: Indeks LQ45)
JOSE BONATUA HASIBUAN
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul
Tesis
:
Modifikasi Model Rataan Bergerak Terboboti Eksponensial
Untuk Menduga Volatilitas Saham di Bursa Efek Indonesia (Studi
Kasus: Indeks LQ45).
Nama
: Jose Bonatua Hasibuan
NIM :
G551100041
Disetujui
Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS. Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA.
Ketua Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi
Dekan Sekolah Pascasarjana IPB
Matematika
Terapan
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS.
Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr
PRAKATA
Puji dan syukut penulis panjatkan kepada Tuhan atas segala karuniaNya
sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan.
Dalam penyelesaian tesis ini, penulis banyak mendapat masukan dari
dosen pembimbing, keluarga dan teman-teman. Dengan segala keterbatasan dan
kekurangan akhirnya tesis yang berjudul Modifikasi Model Rataan Bergerak
Terboboti Eksponensial Untuk Menduga Volatilitas Saham di Bursa Efek
Indonesia (Studi Kasus: Indeks LQ45) dapat diselesaikan dengan baik.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani,
MS. dan Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. selaku dosen pembimbing,
serta Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS. selaku penguji luar komisi yang telah
banyak memberi bimbingan dan saran. Di samping itu, penghargaan penulis
sampaikan kepada Gubernur Riau, Kepala Badan Kepegawaian Daerah (BKD)
Provinsi Riau, Kepala Dinas Pendidikan Provinsi Riau serta Bapak Agus Rosadi,
SP, M.Pd. selaku Kepala Sekolah SMKN Pertanian Terpadu Provinsi Riau yang
telah memberikan izin Tugas Belajar Program Pasca Sarjana di Institut Pertanian
Bogor (IPB). Ucapan terima kasih juga disampaikan kepada seluruh dosen dan
karyawan Departemen Matematika Terapan FMIPA IPB, serta kepada Bapak
Presman Hasibuan (Alm), Ibu Suparni, Adik Desmaida, serta seluruh keluarga,
atas segala dukungan yang diberikan.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, September 2012
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Selat Panjang Riau pada tanggal 27 Desember 1982
dari pasangan Presman Hasibuan (Alm) dan Suparni. Penulis merupakan putra
pertama dari dua bersaudara. Pendidikan sarjana ditempuh di Program Studi
Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas
Riau.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ………. xi
DAFTAR GAMBAR ……… xii
DAFTAR LAMPIRAN ………. xiii
1 PENDAHULUAN ………..…………...
1
1.1
Latar Belakang ……….………
1
1.2 Tujuan Penelitian ………..………
3
2 TINJAUAN PUSTAKA ……….
5
2.1 Saham dan
Return
Saham ……….
5
2.2 Volatilitas ……….
7
2.3 Distribusi
Return
………...
8
2.4 Model
GARCH
…….……….
10
2.5 Stasioneritas Model
GARCH
……… 14
2.6 Model
EWMA
……….. 18
2.7 Pendugaan Parameter
EWMA
……….. 20
2.8 Pengukuran Kemampuan Peramalan ……….. 23
3 METODE ……… 25
4 HASIL DAN PEMBAHASAN ……….. 27
4.1 Analisa Modifikasi Model
EWMA
……… 27
4.2 Parameter Model
………..
32
4.2.1 Parameter
GARCH
……… 32
4.2.2 Parameter
EWMA
……….. 34
4.2.3 Parameter
P-EWMA
………..
35
4.3 Pendugaan Volatilitas di Masa Mendatang ……….. 36
4.4 Perbandingan Kinerja
GARCH, EWMA dan P-EWMA
……….. 39
V SIMPULAN
……… 41
DAFTAR PUSTAKA ……… 43
DAFTAR TABEL
Halaman
1
Ringkasan statistik data
return
indeks LQ45
29
2
Perhitungan awal fungsi kemungkinan model
GARCH
32
3
Hasil pendugaan parameter model
GARCH
dengan
solver
33
4
Perhitungan awal fungsi kemungkinan model
EWMA
34
5
Perhitungan awal fungsi kemungkinan model
P
-
EWMA
35
6
Hasil pendugaan volatilitas periode 40 hari perdagangan
36
7
Hasil pendugaan volatilitas periode 60 hari perdagangan
36
8
Hasil pendugaan volatilitas periode 80 hari perdagangan
37
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1
Karakteristik kurva normal, kurva leptokurtik dan kurva platikurtik
9
2
Diagram alir pendugaan parameter model
EWMA
22
3
Harga penutupan indeks LQ45 periode 2004-2011
27
4 Histogram
return
LQ45 2010-2011
28
5
Volatilitas indeks LQ45 periode 3 Januari 2011 – 30 Desember 2011
28
6
Volatilitas dalam periode 40 hari perdagangan
37
7
Volatilitas dalam periode 60 hari perdagangan
38
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1
Daftar Saham Indeks LQ45 Periode Agustus 2012 s.d. Januari 2013
47
2 Hasil pendugaan volatilitas dalam periode 40 hari perdagangan
48
3 Hasil pendugaan volatilitas dalam periode 40 hari perdagangan
49
4 Hasil pendugaan volatilitas dalam periode 40 hari perdagangan
50
5 RMSFE periode 40 hari perdagangan
51
6 RMSFE periode 40 hari perdagangan
52
7 RMSFE periode 40 hari perdagangan
53
8
Harga Penutupan Indeks LQ45 Periode 1 Januari 2004 -
54
30 Desember 2011
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Pasar modal memiliki peran penting dalam kegiatan ekonomi modern. Di
banyak negara, pasar modal dengan kemampuannya menyediakan modal dalam
jangka panjang dan tanpa batas, telah menjadi salah satu sumber kemajuan
ekonomi dengan menjadi sumber dana alternatif bagi perusahaan (Widoatmodjo
2009). Bagi masyarakat, investasi di pasar modal bisa menjadi alternatif
mengembangkan kekayaan. Dewasa ini, dengan suku bunga yang diberikan bank
tidak terlalu tinggi, seringkali penabung mengalami kerugian, setelah pendapatan
dari suku bunga itu dikurangi inflasi, pajak dan biaya bank lainnya.
Pada dasarnya, pasar modal mirip dengan pasar-pasar lainnya.
Perbedaannya terletak pada komoditi yang diperdagangkan. Di pasar modal,
komoditi utama yang diperdagangkan adalah surat berharga (efek) yang meliputi
saham dan obligasi. Belakangan, mulai berkembang produk derivatif, turunan dari
saham dan obligasi, seperti waran dan opsi. Produk derivatif pada dasarnya
memberikan hak kepada pemegangnya untuk melakukan sesuatu, pada waktu
yang telah ditentukan, sesuai dengan perjanjian yang ada di dalamnya.
Berinvestasi melalui kepemilikan saham dan produk derivatif
memungkinkan seorang investor mendapatkan
return
(imbal hasil) berupa
keuntungan dalam jumlah besar dengan waktu yang relatif singkat. Namun
demikian, sifat saham yang berfluktuasi terhadap waktu, sering kali justru
menimbulkan risiko untuk merugi. Dalam ilmu keuangan, fluktuasi dari
return
saham dikenal dengan istilah volatilitas.
Salah satu isu sentral dalam dunia keuangan modern adalah bagaimana
mendapatkan prediksi volatilitas terbaik. Akurasi dari suatu metode pendugaan
volatilitas menjadi masukan dalam memutuskan kebijakan suatu perusahaan.
Pelaku pasar keuangan banyak menerapkan pendugaan volatilitas untuk
menentukan harga opsi dan produk derivatif lainnya. Bagi para investor,
pendugaan volatilitas digunakan sebagai masukan dalam mengambil keputusan
Penelitian volatilitas di bursa modern telah banyak dilakukan. Chan &
Karolyi (1991) melakukan penelitian untuk bursa di Jepang periode 1977 sampai
1990 dengan model
generalized autoregressive conditional heteroscedascit
y
(
GARCH
). Hasil penelitian ini memberikan kesimpulan Model
GARCH
sangat
cocok untuk menduga volatilitas di bursa Jepang. Volatilitas bursa Singapura
diteliti oleh Kuen & Hoong (1992) untuk periode Maret 1975 sampai dengan
Oktober 1988 dengan menggunakan model
GARCH
dan model rata-rata bergerak
terboboti eksponensial atau
exponentially weighted moving average
(
EWMA
).
Hasil penelitian tersebut memberikan kesimpulan bahwa
EWMA
lebih baik dari
GARCH
dalam menduga volatilitas pasar Singapura.
Di Indonesia, penelitian
autoregressive conditional heteroscedascity
(
ARCH
) dan
GARCH
telah dilakukan Manurung (1997) untuk periode 1989
sampai Juli 1993. Hasil penelitian ini menyatakan bahwa
ARCH
dan
GARCH
tidak signifikan digunakan untuk menduga volatilitas bursa. Hanya volatilitas
sebelumnya yang sangat mempengaruhi volatilitas sekarang. Manurung &
Nugroho (2005) melakukan penelitian
conditional varians
untuk periode
Desember 1996 sampai dengan Desember 2004. Metode yang dipergunakan yaitu
metode
vector autoregressive
. Hasil penelitian tersebut menyatakan bahwa
volatilitas sebelumnya signifikan mempengaruhi volatilitas sekarang.
GARCH
dan
EWMA
merupakan dua metode untuk menduga volatilitas
berdasarkan data
return
historis. Alat standar dalam analisis tersebut adalah
regresi sederhana dari volatilitas sesungguhnya pada volatilitas yang diperkirakan.
Penduga
GARCH
dan
EWMA
didasarkan pada estimator kemungkinan maksimum
(
maximum likelihood)
dari ragam yang berdistribusi normal, dan karena itu akan
optimal ketika
return
dalam kondisi normal. Beberapa hasil studi menunjukkan
bahwa
return
tidak berdistribusi normal. Sehingga, dalam penelitian ini perlu
dikaji estimator
EWMA
alternatif untuk
return
tak-normal. Estimator baru ini
didasarkan pada estimator kemungkinan maksimum dari standar deviasi dengan
3
1.2
Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk:
1.
Melakukan analisa terhadap modifikasi model
EWMA
dengan
mengasumsikan
return
berdistribusi
GED
.
2.
Melakukan pendugaan parameter model
GARCH
,
EWMA
dan
modifikasinya.
3.
Mengaplikasikan model
GARCH
,
EWMA
dan modifikasinya pada indeks
saham LQ45 di Bursa Efek Indonesia (BEI) dan memberikan saran model
terbaik untuk memperkirakan volatilitas.
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Saham dan
Return
Saham
Saham merupakan surat berharga yang dikeluarkan oleh suatu
perusahaan yang berbentuk perseroan terbatas (PT) yang dapat diperjualbelikan
atau diperdagangkan di pasar modal. Menurut Sunariyah (2003) saham atau
stock
adalah surat bukti atau tanda kepemilikan bagian modal dari suatu Perseroan
terbatas. Masing-masing lembar saham mewakili satu suara tentang segala hal
dalam pengurusan perusahaan. Suara tersebut digunakan dalam rapat tahunan
perusahaan dan pembagian keuntungan.
Suatu perusahaan dikendalikan oleh dewan komisaris yang dipilih oleh
pemegang saham melalui rapat umum tahunan pemegang saham (RUPS). Dewan
komisaris memilih manajer yang menjalankan operasi perusahaan sehari-hari.
Manajer memiliki kekuasaan untuk membuat keputusan bisnis tanpa persetujuan
khusus dari dewan komisaris. Mandat yang dimiliki dewan komisaris adalah
mengawasi manajemen untuk meyakinkan bahwa mereka telah bertindak sesuai
dengan kepentingan pemegang saham.
Saham dapat diperoleh atau dijual bebas di satu atau lebih pasar saham.
Perusahaan yang memiliki saham yang tidak diperjualbelikan bebas disebut
perusahaan tertutup atau perusahaan terbatas (Bodie
et al.
2006). Di sebagian
besar perusahaan tertutup, pemilik perusahaan bertindak secara aktif dalam
manajemen, sehingga pengambilalihan biasanya bukan merupakan masalah.
Bursa Efek Indonesia (BEI) merupakan bursa hasil penggabungan dari
Bursa Efek Jakarta (BEJ) dengan Bursa Efek Surabaya (BES). Demi efektifitas
operasional dan transaksi, Pemerintah memutuskan untuk menggabung Bursa
Efek Jakarta sebagai pasar saham dengan Bursa Efek Surabaya sebagai pasar
obligasi dan derivatif. Bursa hasil penggabungan ini mulai beroperasi pada 1
Desember 2007. Untuk memberikan informasi yang lebih lengkap tentang
perkembangan bursa kepada publik, BEI menyebarkan data pergerakan harga
saham melalui media cetak dan elektronik. Indikator pergerakan harga saham
harga saham yang telah disusun dan dihitung sedemikian rupa sehingga
menghasilkan
trend
(Widoatmodjo 2009). Saat ini, BEI mempunyai tujuh macam
indeks saham, yaitu:
1.
IHSG, menggunakan semua saham tercatat sebagai komponen kalkulasi
Indeks.
2.
Indeks Sektoral, menggunakan semua saham yang masuk dalam setiap
sektor.
3.
Indeks LQ45, menggunakan 45 saham terpilih setelah melalui beberapa
tahapan seleksi.
4.
Indeks Individual, yang merupakan Indeks untuk masing-masing saham
didasarkan harga dasar.
5.
Jakarta Islamic Index, merupakan Indeks perdagangan saham syariah.
6.
Indeks Papan Utama dan Papan Pengembangan, indeks yang didasarkan
pada kelompok saham yang tercatat di BEI yaitu kelompok Papan Utama
dan Papan Pengembangan.
7.
Indeks Kompas100, menggunakan 100 saham pilihan harian Kompas.
Indeks LQ45 didirikan untuk menyediakan pasar dengan indeks yang
mewakili 45 dari saham paling likuid yang telah terpilih melalui berbagai kriteria
pemilihan. Berikut adalah beberapa faktor suatu saham dimasukkan dalam Indeks
LQ45 (Fact book BEI 2011, http://www.idx.co.id):
1.
Saham harus telah dicatatkan di BEI selama 3 bulan.
2.
Kinerja saham di pasar reguler, yang meliputi nilai perdagangan, volume
dan frekuensi transaksi.
3.
Jumlah hari perdagangan di pasar reguler.
4.
Kapitalisasi pasar saham pada periode waktu tertentu.
5.
Selain faktor likuiditas dan kapitalisasi pasar, pemilihan saham untuk Indeks
LQ45 juga didasarkan pada kondisi keuangan dan prospek pertumbuhan
perusahaan.
Saham-saham yang termasuk di dalam LQ45 terus dipantau dan setiap enam bulan
akan diadakan review (Februari dan Agustus). Apabila ada saham yang sudah
7
Daftar saham yang masuk dalam indeks LQ45 periode Agustus 2012 sampai
dengan januari 2013 dapat di lihat pada Lampiran 1.
Dalam berinvestasi, seorang investor mempertimbangkan tingkat
return
dan faktor risiko ketika memilih saham. Daripada mengambil keputusan berisiko
dengan keuntungan yang tidak pasti, seorang investor yang takut risiko (
risk
averse
) akan mengambil keputusan berinvestasi pada saham yang memiliki risiko
rugi lebih kecil dan berharap mendapatkan keuntungan yang pasti. Sebaliknya
seorang investor pengambil risiko (
risk taker
) memilih berinvestasi pada saham
yang tidak memberikan kepastian
return
suatu saham memberikan keuntungan
namun memiliki peluang keuntungan yang lebih tinggi dari saham yang
memberikan keuntungan yang pasti.
Return
saham adalah tingkat pengembalian
dari saham biasa yang benar-benar diterima oleh pemegang saham di beberapa
periode yang lalu (Brigham & Houston 2006). Dalam penelitian ini,
return
saham
pada saat
t
(
) dicari dengan rumus sebagai berikut:
ln
dimana menyatakan harga saham pada saat
t
.
2.2 Volatilitas
Terdapat dua komponen utama di dalam risiko yaitu risiko non-sistematis
dan risiko sistematis. Risiko non-sistematis adalah risiko yang dapat diabaikan
dengan pembentukan portofolio yang terdiri dari beberapa aset finansial (proses
diversifikasi), sedangkan risiko sistematis adalah risiko pasar atau yang biasa
disebut risiko yang tidak dapat didiversifikasi dimana besar kecilnya tergantung
pada risiko portofolio pasar. Kedua komponen utama di dalam risiko biasanya
disebut total risiko yang dapat diukur dengan standar deviasi dan diasumsikan
dengan bahasa matematis sebagai volatilitas.
Volatilitas adalah suatu ukuran yang menunjukkan seberapa besar harga
berfluktuasi dalam suatu periode waktu (Lo 2003). Semakin tinggi volatilitas
suatu saham, maka kepastian
return
suatu saham memberikan keuntungan akan
semakin rendah. Namun, volatilitas yang tinggi menunjukkan nilai
return
yang
tinggi pula. Sebaliknya, volatilitas yang rendah menunjukkan kestabilan nilai
Volatilitas pasar terjadi akibat masuknya informasi baru ke dalam
pasar/bursa. Akibatnya para pelaku pasar melakukan penilaian kembali terhadap aset
yang mereka perdagangkan. Pada pasar yang efisien, tingkat harga akan melakukan
penyesuaian dengan cepat sehingga harga yang terbentuk mencerminkan informasi
baru tersebut. Proses perubahan harga tersebut dinamakan sebagai volatilitas. Oleh
karena itu, para ahli ekonomi seringkali mengintepretasikan pergerakan/perubahan
harga sebagai suatu bukti bahwa pasar berfungsi dengan baik dan mendapatkan
informasi secara efisien.
Secara umum, tinggi rendahnya volatilitas harga saham ini dapat
dipengaruhi oleh faktor
makro dan mikro (Schwert 1989). Faktor makro adalah
faktor-faktor yang
mempengaruhi perekonomian secara keseluruhan, antara lain
tingkat bunga yang
tinggi, inflasi, tingkat produktivitas nasional, politik, dan lain-lain
yang memiliki dampak penting pada potensi keuntungan perusahaan. Faktor mikro
adalah faktor-faktor
yang berdampak langsung pada perusahaan itu sendiri, seperti
perubahan
manajemen, harga, dan ketersediaan bahan baku, produktivitas tenaga
kerja dan
faktor lain yang dapat mempengaruhi kinerja keuntungan perusahaan
individual. Faktor yang beraneka ragam tersebut tentunya mengakibatkan
harga
saham bergerak sangat fluktuatif.
2.3 Distribusi
Return
Banyak pengukuran volatilitas yang didasari pada asumsi distribusi
normal. Seperti diketahui, distribusi normal memiliki banyak karakteristik yang
menarik. Selain karakteristik distribusi ini hanya dibedakan dari kedua momen
pertamanya, banyak alat analisis statistik yang didasarkan pada distribusi ini.
Salah satu model pengukuran volatilitas yang berdasarkan pada asumsi ini adalah
model
RiskMetrics
dari J.P. Morgan (Hull 2006).
Berdasarkan studi empiris yang telah dilakukan, banyak
return
saham
yang tidak mengikuti pola distribusi normal. Andersen
et al
. (2001) menemukan
bahwa distribusi
return
saham-saham sektor industri pada bursa Dow Jones
umumnya memiliki karakteristik kurva yang lancip di tengah dan
far tail
, atau
dikatakan juga bersifat leptokurtik. Situngkir & Surya (2004) mengekplorasi
untuk data-data keuangan di Indonesia dan memberikan kesimpulan bahwa
return
9
Parameter
kurtosis
menunjukkan tinggi atau rendahnya bentuk kurva
normal. Kurva disebut normal jika grafiknya tidak terlalu runcing (tinggi) atau
tidak pula terlalu datar (rendah). Kurva yang runcing disebut leptokurtik
sedangkan kurva yang datar disebut platikurtik. Nilai
kurtosis
untuk kurva
berdistribusi normal adalah 3, sementara distribusi yang leptokurtik biasanya
kurtosisnya > 3 (Usman & Akbar 2008). Perbandingan karakteristik kurva normal,
kurva platikurtik dan kurva leptokurtik dapat dilihat dari Gambar 1.
Gambar 1 Karakteristik kurva normal, kurva leptokurtik dan kurva platikurtik.
Ketika mempelajari
kurtosis
pada data
time series
, akan mengacu pada
formula
Fisher kurtosis
yang didefinisikan sebagai berikut:
Untuk barisan
,
, … ,
,
,
dengan
,
,
momen pusat derajat ke-
, = 1, 2, 3, 4..
Kurtosis
ada jika momen keempat ada dan berhingga. Misalkan
~
,
,
momen keempat dan momen kedua diberikan sebagai berikut:
√
exp
Parameter
skewness
menunjukkan derajat ketaksimetrian dari distribusi
di antara nilai rata-ratanya. Nilai negatif dari
skewness
menunjukkan asimetri
yang condong ke kiri. Nilai
skewness
dari distribusi yang benar-benar simetris
(misalnya distribusi normal) adalah nol. Nilai
Fisher skewness
didefiniskan
sebagai berikut:
/
,
dimana
adalah momen pusat ketiga, dan
/adalah standar deviasi.
2.4 Model
GARCH
Model
autoregressive conditional heteroscedasticity
(
ARCH
) pertama kali
diperkenalkan oleh Engle (1982). Selanjutnya, model ini dikembangkan oleh
Bollerslev (1986) menjadi
general autoregressive conditional heteroscedasticity
(
GARCH
) untuk menjawab persoalan adanya volatilitas pada data
time series
di
ekonomi, secara khusus bidang keuangan.
Data
time series
adalah data yang disusun berdasarkan urutan waktu atau
data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu (Hasan 2008). Analisis
time series
adalah analisis yang menerangkan dan mengukur berbagai perubahan atau
perkembangan data selama satu periode. Terdapat tiga model dasar yang umum
digunakan dalam analisis
time series
yaitu
autoregressive
(
AR
),
moving average
(
MA
) dan
autoregressive moving average
(
ARMA
).
Definisi 1 Proses
white noise
Suatu proses stokastik
dikatakan
white noise
jika untuk suatu konstanta
(Francq & Zakoian 2010):
(i)
,
;
(ii)
,
;
11
Suatu proses
autoregressive
(
AR
) berorde
p,
dinotasikan
AR
(
p
),
dirumuskan sebagai berikut:
…
(1)
dengan:
= data observasi ke-
t
= parameter
AR
ke-
p
,
, … ,
= variabel bebas
= galat ke-
t
.
Persamaan (1) menunjukkan ketergantungan terhadap variabel pendahulunya
sebanyak
p
atau disebut
autoregressive
berodo
p.
Jika
p =
1 maka modelnya
didefinisikan sebagai
AR
(1) yaitu
.
Secara umum proses
moving average
(
MA
) berorde
q
atau
MA
(
q
)
dirumuskan sebagai berikut:
…
dengan:
= data observasi ke-
t
= parameter proses
MA
ke-
q
= galat pada saat
t
dan diasumsikan merupakan
white noise
.
Jika
q =
1 maka modelnya didefinisikan sebagai
MA
(1) yaitu
.
Model
autoregressive moving average
(
p,q
) merupakan gabungan dari
model
autoregressive
(
AR
) dan
moving average
(
MA
). Karakteristik
tidak
dapat dijelaskan dengan proses
AR
saja atau proses
MA
saja, namun harus
dijelaskan oleh keduanya. Model yang memuat kedua proses tersebut adalah
Definisi 2 Proses ARMA
Suatu proses
autoregressive
moving average
berorde (
p,q
), ditulis
ARMA
(
p,q
)
dirumuskan sebagai berikut (Francq & Zakoian 2010):
…
…
.
Misalkan
, , … ,
merupakan data deret waktu dari
return
dan
adalah proses
ARMA
(
p,q
). Jika
q
= 0, maka proses
ARMA
(
p,q
) sama dengan
proses
AR
(
p
) yaitu :
…
(2)
dengan:
= 0,
,
,
, lainnya.
untuk
Walaupun persamaan (2) berimplikasi bahwa ragam bersyarat dari
adalah sama yaitu sebesar
, namun pada kenyataannya ragam bersyarat dari
dapat berubah-ubah terhadap titik waktu. Satu pendekatan yang digunakan untuk
mendeskripsikan kuadrat dari terhadap dirinya sendiri melalui proses
AR
(
m
)
adalah:
…
(3)
dengan:
,
,
, lainnya
,
.
Karena
merupakan galat dari peramalan
, persamaan (3) berimplikasi
proyeksi linier kuadrat galat dari ramalan sebanyak
m
periode kuadrat galat
ramalan sebelumnya, yaitu sebagai berikut:
13
Proses
white noise
yang memenuhi persamaan (4) dideskripsikan
sebagai model
autoregressive conditional heteroscedasticity
dengan orde
m
atau
disebut
ARCH
(
m
). Persamaan (4) ditulis sebagai:
…
dengan
|
,
, …disebut sebagai ragam barisan . Proses
ARCH
(
m
) dicirikan oleh
.
dimana
,
.
Lebih umum lagi dapat diperlihatkan sebuah proses dengan ragam
bersyarat tergantung pada jumlah
lag
terhingga dari
:
(5)
dengan
∑
,
1, 2, …
p.
Kemudian
diparameterisasi sebagai rasio dari 2 orde polinomial terhingga
…
…
.
Diasumsikan bahwa akar dari
= 0. Jika persamaan (5) dikalikan dengan
, maka diperoleh persamaan berikut:
.
Selanjutnya dapat ditulis:
Definisi 3 Proses
GARCH
(
p,q
)
Suatu proses
merupakan proses
GARCH
(
p,q
) jika momen bersyarat pertama
dan kedua ada dan memenuhi (Francq & Zakoian 2010):
(i)
| ,
,
(ii)
, ,
, … ,
dan
,
, … ,
sehingga
Var | ,
, .
Definisi 4 Proses
GARCH
(1,1)
Proses
dikatakan proses
GARCH
(1,1) jika
(6)
dengan
, ,
(Francq & Zakoian 2010).
2.5 Kestasioneran Model
GARCH
Definisi 5 Stasioner Kuat
Proses
merupakan stasioner kuat jika vektor
, … ,
dan
, … ,
memiliki distribusi bersama yang sama untuk semua
dan
(Francq & Zakoian 2010).
Definisi 6 Stasioner Orde Kedua
Proses
disebut stasioner orde kedua jika (Francq & Zakoian 2010):
(i)
∞ ,
;
(ii)
,
;
15
Teorema 1 Stasioner kuat dari proses
GARCH
(1,1)
Jika
∞
log
,
maka jumlah tak terbatas
…
konvergen hampir pasti dan proses
yang didefinisikan
adalah
solusi stasioner kuat dari model (6).
(Francq & Zakoian 2010)
Bukti.
Koefisien
log
selalu ada di
∞ , ∞
karena
log
.
Dengan melakukan iterasi terhadap persamaan (6) maka, untuk
,
…
…
…
.
Limit proses
lim
Nada di
, ∞
untuk jumlah tak negatif.
Selain itu, dengan membiarkan menuju tak terbatas dalam
, diperoleh
.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa hampir pasti (
almost surely
) terbatas jika
…
exp
hampir pasti.
dengan
∞
, dengan mengaplikasikan hukum kuat dari bilangan besar pada
barisan
log
.
Deret (7) akan konvergen hampir pasti di , dengan mengaplikasikan aturan
Cauchy, dan limit proses (
untuk nilai real positif. Maka proses
yang
didefinisikan
…
/
adalah stasioner kuat.
Teorema 2 Stasioner orde kedua dari proses
GARCH
(1,1)
Misalkan
.
Jika
, proses
yang didefinisikan
adalah stasioner orde kedua.
(Francq & Zakoian 2010)
Bukti.
Jika
adalah proses GARCH(1,1), dalam arti definisi 2, di mana stasioner orde
kedua terpenuhi, diperoleh
| ,
,
sehingga
.
Karenanya, haruslah
. Selain itu, diperoleh
.
Sehingga
kondisi stasioneritas kuat terpenuhi. Dengan demikian cukup untuk menunjukkan
bahwa solusi stasioner kuat yang didefinisikan dalam (8) merupakan ragam yang
terbatas. Variabel menjadi limit naik dari variabel acak positif, jumlah yang tak
17
…
.
Selain itu, solusi ini adalah
white noise
karena
| ,
dan untuk semua
,
Cov ,
| ,
.
Misalkan
menunjukkan solusi stasioner orde kedua lainnya.
Diperoleh
…
,
dan
…
.
Nilai harapan dari
dibatasi oleh
|
|
yang
terbatas dan bebas dari dengan stasioneritas, dan karena
untuk
2.6 Model
EWMA
Model rata-rata bergerak terboboti eksponensial atau
exponential
weighted moving average
(
EWMA
) pertama kali dikenalkan oleh Nelson pada
tahun 1990 (Tagliafichi 2003). Model
EWMA
merupakan bagian dari model
GARCH
untuk kasus khusus dari model
GARCH
(1,1) dengan bobot pemulusan
dioptimasi.
EWMA
merupakan salah satu dari model volatilitas data
time series
yang memperkirakan volatilitas di masa mendatang dengan menggunakan
volatilitas rata-rata terdahulu. Dibandingkan dengan
GARCH
, struktur model
EWMA
lebih sederhana namun tetap mempertahankan ketepatan model dalam
melakukan estimasi.
Model
EWMA
digunakan untuk meramalkan ragam dari
return
berdistribusi normal. Model
EWMA
menggunakan data pengamatan historis untuk
meramalkan ragam dengan memberikan bobot tertinggi pada data observasi
terbaru. Penetapan bobot memungkinkan ragam mengikuti lompatan
return
di
pasar dan selanjutnya menurun secara eksponensial.
Model
EWMA
untuk data sebanyak
k
return
, … ,
,
return
terbaru diberikan bobot (1 -
λ
),
return
berikutnya (1 -
λ
)
λ
dan seterusnya,
sehingga
return
terakhir diberi bobot (1 -
λ
)
, dengan
λ
(0 <
λ
< 1) merupakan
faktor peluruhan (
decay factor
). Secara umum,
EWMA
meramalkan ragam untuk
k
return
sebagai berikut:
,
dengan =
return
.
Dengan mengasumsikan = 0 dan jumlah tak berhingga data tersedia, maka
perkiraan ragam satu hari ke depan dapat diturunkan sebagai berikut:
19
Morgan menggunakan model
EWMA
untuk memperkirakan volatilitas
dari ragam berdistribusi normal (Hull 2006). Dalam model
EWMA
, ragam periode
berikutnya didefinisikan sebagai rata-rata terbobot dari ragam dan kuadrat
return
periode ini,
(9)
dengan adalah ragam periode
t
,
adalah
return
periode
t
dan
λ
adalah faktor
peluruhan. Dengan substitusi rekursif, estimator
EWMA
standar dapat ditulis
sebagai berikut:
…
Secara umum, ragam
EWMA
dihitung dengan formula sebagai berikut:
∞
Secara matematis, model
EWMA
diturunkan dari model
GARCH
(1,1)
sebagai berikut :
. (10)
Dengan mensubstitusi
ke persamaan (10) diperoleh:
). (11)
Jika persamaan ini dilanjutkan sampai
lag
ke-
j
dengan
j
adalah maksimum lag,
persamaan (12) menjadi sebagai berikut :
Jika
j
→∞
dengan 0 <
β
< 1 maka (1-
)
→
1 dan
→
0. Persamaan (12) dapat
ditulis menjadi:
.
Model
EWMA
yang dikembangkan Morgan merupakan model
GARCH
(1,1)
2.7 Pendugaan Parameter
GARCH
dan
EWMA
Pendugaan parameter model
GARCH
dan model
EWMA
akan dilakukan
dengan metode kemungkinan maksimum (
maximum likelihood
)
menggunakan
data historis
return
indeks saham LQ45 periode 2004-2007, sebanyak 991 data
pengamatan. Melalui metode ini akan diperoleh penaksir terbaik yang nilainya
akan memaksimumkan fungsi kemungkinan (
likelihood).
Diasumsikan terdapat
m
data pengamatan
, , … ,
yang
berdistribusi normal dengan rataan nol dan varian . Fungsi kepekatan peluang
dari ,
i
= 1, 2, …, m adalah:
√
exp
Fungsi kemungkinan dari
m
pengamatan adalah:
L
, …
√
exp
√
exp
√
exp ∑
Maksimumkan fungsi kemungkinan dapat diperoleh dengan memaksimumkan
logaritma dari fungsi kemungkinan.
ln L
ln √
Kondisi orde pertama untuk memaksimumkan
ln L
adalah
L. Sehingga
21
.
Definisikan
adalah ragam pada hari ke-
dan distribusi
peluangnya normal. Dengan cara yang sama diperoleh fungsi kemungkinan:
L
exp
ln L
ln
‐
ln
ln
ln
Sehingga ekuivalen dengan memaksimumkan
ln
.
Pendugaan parameter model
EWMA
dilakukan dengan menduga nilai
maksimum dari persamaan (13) dengan metode kemungkinan maksimum yang
mengasumsikan bahwa volatilitas tidak konstan. Nilai maksimum yang diperoleh
akan menunjukkan penduga parameter
yang dicari, di mana nilai volatilitas padahari ke-i (
) bergantung pada parameter
seperti ditunjukkan pada persamaan (9).Proses pendugaan parameter model
EWMA
dengan algoritma
Steepest Descent
(Bertsekas 2003) dapat dilihat pada Gambar 2.
[image:48.595.94.487.83.623.2]
Gambar 2 Diagram alir pendugaan parameter model
EWMA
.
Selanjutnya, untuk memudahkan proses pendugaan dilakukan dengan pendekatan
numerik menggunakan menu
solver
pada Microsoft Excel.
Input ;
i
= 1:991
L
ln
; TL
=
0
;
=
0.4 ;
α
= 0.1
TL
TL
Stop
;
:
L
ln
;
:
TL
∑ L
TL Maksimum
=
+
α
d
;
d
,
dengan TL’ (
).
d
< 0
N
23
2.8 Pengukuran Kemampuan Peramalan
Untuk membandingkan kinerja perkiraan model
GARCH
, model
EWMA
dan modifikasinya, akan diukur kemampuan peramalan dengan
root mean square
forecast error
(
RMSFE
). Secara matematis,
RMSFE
dirumuskan sebagai berikut:
dimana
berarti volatilitas dari
return
untuk setiap periode perkiraan
dimulai pada hari
t
+1 ke
t +s
.
merupakan perkiraan volatilitas dengan
BAB 3
METODE
Beberapa tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai
berikut :
1.
Menganalisa Modifikasi Model
EWMA
Analisis dilakukan terhadap model
EWMA
yang dimodifikasi dengan
mengasumsikan bahwa
return
berdistribusi
GED
. Modifikasi model
EWMA
tersebut selanjutnya disebut
Power EWMA
(
P-EWMA
).
2.
Pendugaan Parameter
GARCH
,
EWMA
dan
P-EWMA
Parameter yang diduga adalah parameter
,
dan untuk model
GARCH
GARCH
dan parameter
untukmodel
EWMA
dengan menggunakan data
historis
return
indeks saham LQ45 periode 2004-2007, sebanyak 991 data
pengamatan. Melalui metode ini akan diperoleh penaksir terbaik yang
nilainya akan memaksimumkan fungsi kemungkinan (
likelihood).
Pendugaan parameter model
P-EWMA
dilakukan dengan memaksimumkan
fungsi kemungkinan maksimum dari ragam berdistribusi
GED
g
exp
g
σ
,
dengan
g
⁄
dan adalah fungsi gamma. Logaritma dari persamaan (14) adalah
log g g log log log .
3.
Pendugaan Volatilitas di Masa Mendatang
Untuk menduga volatilitas di masa mendatang digunakan data indeks LQ45
periode 2008-2011. Dengan model
GARCH
,
EWMA
standar dan
modifikasinya, akan ditaksir besaran volatilitas dengan menggunakan
periode 40 hari perdagangan, 60 hari perdagangan dan 80 hari perdagangan.
4.
Membandingkan Kinerja Model
GARCH
, Model
EWMA
dan Model
P-EWMA
Pengukuran kinerja model
GARCH
,
EWMA
standar dan modifikasinya
dilakukan dengan menghitung
RMSFE
. Nilai
RMSFE
terkecil menyatakan
model yang terbaik dalam mengestimasi volatilitas.
BAB 4
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Modifikasi Model
EWMA
Harga penutupan indeks LQ45 yang diamati sepanjang tahun 2004
sampai dengan 2011 yang tercatat sebanyak 1962 hari pengamatan mengalami
[image:53.595.113.512.131.750.2]fluktuasi dari waktu ke waktu seperti terlihat dari Gambar 3.
Gambar 3 Harga penutupan indeks LQ45 periode 2004-2011.
Dari gambar 3 terlihat bahwa harga penutupan indeks LQ45 terendah terletak di
interval harga Rp.100 - Rp.200, sedangkan harga tertinggi terletak di interval
harga Rp.700 – Rp.800. Dalam pengamatan seribu hari pertama, grafik
menunjukkan
trend
positif, namun pada interval waktu 1000 – 1200 mengalami
trend
negatif yang tajam. Selanjutnya, setelah hari ke-1200, grafik terus
mengalami
trend
positif.
Tingkat
return
yang diamati sepanjang tahun 2010 sampai dengan tahun
2011 berkisar di angka -0.107 dan 0.072. Hal ini menunjukkan grafik yang
menjulur ke sebelah kiri. Rata-rata
return
tercatat sebesar 0.002 dengan frekuensi
di atas 120. Grafik distribusi frekuensi
return
LQ45 tahun 2010-2011 dapat diihat
Gambar 4 Histogram
return
LQ45 2010-2011.
Sedangkan volatilitas yang terjadi pada harga saham di Indeks LQ45 dapat dilihat
pada Gambar 5.
Gambar 5 Volatilitas indeks LQ45 periode 3 Januari 2010 – 30 Desember 2011.
Gambar 5 menunjukkan volatilitas yang tidak konstan sepanjang waktu yang
29
Berdasarkan data
return
harga penutupan harian indeks LQ45 yang
diamati sejak tanggal 1 Januari 2004 sampai 30 Desember 2011 dengan jumlah
pengamatan sebanyak 1962 (lihat lampiran 8), diperoleh beberapa statistik
deskriptif seperti disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1 Ringkasan statistik data
return
indeks LQ45
Ringkasan Nilai
Rataan 0.0007
Standar Deviasi 0.0180
Kurtosis 6.4924
Skewness -0.5709
Dari Tabel 1 diketahui bahwa
return
indeks LQ45 memiliki nilai rataan positif,
artinya bahwa fluktuasi
return
masih dalam keadaan wajar. Nilai
skewness
yang
negatif menunjukkan bahwa grafik menjulur ke kiri. Sedangkan nilai
kurtosis
6.4924 > 3 menunjukkan karakteristik kurva yang bersifat leptokurtik. Pola
leptokurtik menunjukkan bahwa terdapat banyak kejadian yang ternyata berada
jauh dari nilai rata-rata, kontras dengan apa yang ditunjukkan dengan distribusi
normal. Sehingga, perlu dianalisa penduga
EWMA
alternatif untuk
return
tak-normal yaitu dengan memodifikasi model
EWMA
standar dengan mengasumsikan
bahwa distribusi
return
memiliki karakteristik kurva leptokurtik. Penduga baru ini
didasarkan pada penduga kemungkinan maksimum dari standar deviasi dengan
menggunakan asumsi
generalized error distribution (GED)
.
Meskipun Engle (1982) fokus pada model
ARCH
linier, Engle mengakui
bahwa ada kemungkinan bahwa formulasi lain dari model ragam mungkin lebih
tepat untuk aplikasi tertentu (Higgins & Bera 1992). Engle menyarankan dua
alternatif, model eksponensial dan nilai absolut:
exp
…
|
| …
|
|.
Higgins & Bera (1992) mengusulkan suatu bentuk fungsional umum untuk model
ARCH (N-
GARCH
) dan menunjukkan bahwa model yang lebih umum ini
|
|
|
|
/dengan:
,
untuk
, , … ,
, demikian sehingga,
∑
.
Formula umum untuk N-
GARCH
adalah sebagai berikut.
|
|
|
|
|
|
′
|
|
|
|
′
|
|
Penduga
power
EWMA
didasarkan pada penduga kemungkinan maksimum
ragam dari distribusi
GED
. Fungsi kepekatan peluang dari distribusi power
eksponensial adalah sebagai berikut :
, ,
exp
δ,
dengan:
dan
Γ
adalah fungsi gamma.
Distribusi power eksponensial memiliki koefisien
kurtosis
yang tergantung
pada nilai parameter
δ
. Jika
δ
= 2, distribusi power eksponensial tereduksi menjadi
distribusi normal. Jika
δ
> 2, distribusi power eksponensial bersifat platikurtik,
dan jika
δ
< 2, distribusi power eksponensial bersifat leptokurtik. Ragam dari
31
g
| | ,
dengan:
g
.
Penduga
power
EWMA
adalah kasus khusus dari model N
-GARCH
Higgins & Bera (1992). Ragam model N
-GARCH
pada waktu
t
+1 dirumuskan :
| |
(15)
dengan
, dan
adalah parameter estimasi. Ketika
dan
g
, persamaan (15) tereduksi menjadi penduga Power
EWMA
sebagai
berikut (Guermat & Harris 2002):
g
| | .
(16)
Dengan mensubstitusi
g
|
|
ke persamaan (16)
diperoleh:
g
|
|
g
| |
g
|
|
g
| |
g
|
|
g
| | .
(17)
Jika persamaan ini dilanjutkan sampai lag ke-
j
dengan
j
adalah maksimum lag,
persamaan (17) menjadi sebagai berikut :
g
|
| .
Jika
j
→∞
dengan 0 <
λ
< 1 maka
. Persamaan (18) dapat ditulis menjadi:
g
|
| .
4.2 Parameter Model
Proses pendugaan parameter model
GARCH, EWMA
dan
P-EWMA
diperoleh melalui solusi numerik dengan menggunakan metode
maximum
likelihood
(kemungkinan maksimum). Metode ini digunakan untuk menentukan
nilai parameter yang memaksimumkan fungsi kemungkinan yang diberikan
dengan menggunakan data
return
LQ45 periode 2004-2007 sebanyak 991 data
pengamatan. Dengan bantuan menu
solver
pada Microsoft Excel, pendugaan
parameter dilakukan dengan terlebih dulu menentukan nilai kemungkinan dan
total nilai kemungkinan untuk sebarang nilai awal yang diberikan, selanjutnya
secara iteratif diduga total nilai kemungkinan maksimum dan parameter yang
memaksimumkan total nilai kemungkinannya.
4.2.1 Parameter
GARCH
Pada model
GARCH
, akan ditentukan nilai
ω
,
α
, dan
β
. Pendugaan
dilakukan dengan memberikan nilai awal
ω
= 0.000040,
α
= 0.2, dan
β
= 0.5.
Hasil perhitungan dengan nilai awal tersebut diperoleh total nilai kemungkinan
maksimum sebesar 5605.806572. Perhitungan fungsi kemungkinan model
[image:58.595.62.478.44.822.2]GARCH
dapat dilihat dari Tabel 2.
Tabel 2 Perhitungan awal fungsi kemungkinan model
GARCH
Tanggal Hari
ke-i
Harga
Penutupan Return Ragam Kemungkinan
1-Jan-04 1 151.9
2-Jan-04 2 155.5 0.023423
5-Jan-04 3 161.02 0.034883 0.000549 3.451943
6-Jan-04 4 161.33 0.001923 0.000558 5.646797
7-Jan-04 5 157.26 -0.025551 0.000320 4.167313
… … … … … …
27-Dec-07 990 599.6 0.009838 0.000244 6.084023
28-Dec-07 991 599.82 0.000367 0.000181 6.776723
Total Kemungkinan 5605.806572
Tabel 2 menunjukkan perhitungan awal sebelum parameter model
GARCH
diduga
dengan menggunakan
solver
. Kolom pertama menunjukkan tanggal pengamatan
33
Kolom kedua menyatakan hari pengamatan yang terdiri dari hari pertama hingga
hari ke-991. Kolom ketiga menyatakan harga penutupan dari indeks LQ45 dalam
991 hari pengamatan. Kolom keempat menyatakan
return
indeks LQ45. Kolom
kelima menyatakan ragam pada hari ke-
i
yang dihitung menggunakan model
GARCH
dengan nilai awal
ω
= 0.000040,
α
= 0.2, dan
β
= 0.5. Sedangkan kolom
keenam menyatakan nilai logaritma dari fungsi kemungkinan.
Selanjutnya hasil pendugaan parameter model
GARCH
dapat dilihat
[image:59.595.85.518.0.826.2]dari Tabel 3 berikut:
Tabel 3 Hasil pendugaan parameter model
GARCH
dengan
solver
Parameter Nilai Dugaan Parameter
0.000025
α 0.175269
β 0.713004
Dari Tabel 3 di atas, diketahui bahwa
solver
memberikan nilai kemungkinan
maksimum 5663.178178 dengan nilai taksiran parameter
ω
= 0.000025,
α
=
0.175269, dan
β
= 0.713004.
Dari hasil pendugaan parameter yang telah dilakukan dengan
solver,
selanjutnya model
GARCH
yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai
berikut :
. . .
dengan,
= ragam pada saat-
t
4.2.2 Parameter
EWMA
Proses pendugaan parameter model
EWMA
dilakukan dengan
menentukan nilai
λ
yang memaksimumkan fungsi kemungkinan yang diberikan.
Secara iteratif, dengan bantuan menu
solver
pada Microsoft Excel, pendugaan
parameter memerlukan nilai awal
λ
dengan syarat
λ
> 0. Pada penelitian ini,
pendugaan dilakukan dengan memberikan nilai awal
λ
=
0.4. Hasil perhitungan
[image:60.595.70.483.55.804.2]fungsi kemungkinan dapat dilihat dari Tabel 4 berikut.
Tabel 4 Perhitungan awal fungsi kemungkinan model
EWWA
Tanggal Hari
Ke-i
Harga
Penutupan Return Ragam Kemungkinan
1-Jan-04 1 151.9
2-Jan-04 2 155.5 0.02342332
5-Jan-04 3 161.02 0.03488285 0.000549 3.451943
6-Jan-04 4 161.33 0.00192338 0.000950 5.117348
7-Jan-04 5 157.26 -0.02555150 0.000382 4.322779
… … … … … …
27-Dec-07 990 599.6 0.00983800 0.000439 5.671512
28-Dec-07 991 599.82 0.00036700 0.000234 6.522014
Total Kemungkinan 4783.357927
Tabel 4 menunjukkan perhitungan awal sebelum parameter nilai awal
λ
diduga
dengan menggunakan
solver
. Kolom pertama menunjukkan tanggal pengamatan
data yang dimulai dari 1 Januari 2004 dan berakhir pada 28 Desember 2007.
Kolom kedua menyatakan hari pengamatan yang terdiri dari hari pertama hingga
hari ke-991. Kolom ketiga menyatakan harga penutupan dari indeks LQ45 dalam
991 hari pengamatan. Kolom keempat menyatakan
return
indeks LQ45. Kolom
kelima menyatakan ragam pada hari ke-
i
yang dihitung menggunakan model
EWMA
dengan
λ
= 0.4. Sedangkan kolom keenam menyatakan nilai logaritma dari
fungsi kemungkinan. Dengan menggunakan nilai awal
λ
= 0.4, diperoleh nilai
Fungsi Kemungkinan sebesar 4783.357927. Pendugaan dengan menggunakan
solver
pada Microsoft Excel pada prinsipnya akan menentukan parameter
λ
yang
memaksimumkan nilai fungsi kemungkinan. Hasil pendugaan dengan nilai awal
λ
= 0.4 diperoleh nilai maksimum dari fungsi kemungkinan adalah 5613.151875
dengan nilai
λ
= 0.906374. Selanjutnya dalam penelitian ini, digunakan nilai
parameter
λ
=
0.906374 dalam melakukan pendugaan volatilitas untuk model
35
.
.
dengan adalah ragam pada saat-
t
dan
=
return
pada saat-
t
.
4.2.3 Parameter Power EWMA
Proses pendugaan parameter model
Power
EWMA
(
P-EWMA
) dilakukan
dengan menentukan nilai
k
dan
λ
.
Dengan menggunakan data
return
LQ45
periode 2004-2008, secara iteratif, pendugaan parameter dilakukan dengan
bantuan
solver
pada Microsoft Excel. Pendugaan dilakukan dengan memberikan
sebarang nilai awal
k
dan
λ
. Pada penelitian ini pendugaan dilakukan dengan
memberikan nilai awal
k =
1 dan
λ
=
0.8. Hasil perhitungan fungsi kemungkinan
[image:61.595.106.503.348.495.2]dapat dilihat dari Tabel 5 berikut.
Tabel 5 Perhitungan awal fungsi kemungkinan
P-EWMA
Tanggal Hari
Ke-i
Harga
Penutupan Return Ragam Kemungkinan
1/1/2004 1 151.90
1/2/2004 2 155.50 0.023423
1/5/2004 3 161.02 0.034883 0.000549 0.351252
1/6/2004 4 161.33 0.001923 0.000668 0.767210
1/7/2004 5 157.26 -0.025551 0.000561 0.492091
… … … … … …
12/27/2007 990 599.60 0.009838 0.766400 0.766400
12/28/2007 991 599.82 0.000367 0.958310 0.958310
Total Kemungkinan 826.576741
Kolom kelima menyatakan ragam pada hari ke-
t
yang dihitung menggunakan
model
P-EWMA
. Kolom keenam menyatakan nilai logaritma dari fungsi
kemungkinan dari distribusi
GED
. Dengan bantuan
solver
diperoleh nilai
maksimum dari fungsi kemungkinan = 992.260611, dengan
k
= 1.592196, g(
k
) =
1.157126, dan
λ
= 0.930125. Nilai
k
= 1.592196 memenuhi asumsi kurva
leptokurtik.
Selanjutnya, nilai parameter penduga yang diperoleh digunakan untuk
menghitung dugaan volatilitas masa mendatang dengan model
P-EWMA
sebagai
berikut:
. . . . | | .
4.3 Pendugaan Volatilitas di Masa Mendatang
Pada bagian ini akan dibahas pendugaan volatilitas di masa yang akan
datang dengan menggunakan model
GARCH
,
EWMA
dan
P-EWMA
. Untuk
pendugaan volatilitas digunakan data indeks LQ45 periode 2008-2011. Dengan
ketiga model tersebut, akan ditaksir besaran volatilitas dengan menggunakan
periode 40 hari perdagangan, 60 hari perdagangan dan 80 hari perdagangan
dengan tingkat kepercayaan 95%.
Hasil pendugaan dalam periode 40 hari perdagangan, 60 hari
perdagangan dan 80 hari perdagangan dapat dilihat dari Tabel 6, Tabel 7 dan
Tabel 8 berikut. Hasil pendugaan lengkap dapat dilihat dari Lampiran 2, Lampiran
3 dan Lampiran 4.
Tabel 6 Hasil pendugaan volatilitas dalam periode 40 hari perdagangan
Periode Volatilitas
Aktual GARCH EWMA P-EWMA
1 0.0293 0.0171 0.0196 0.0201
2 0.0232 0.0159 0.0195 0.0212
3 0.0130 0.0119 0.0100 0.0110
4 0.0193 0.0137 0.0169 0.0177
5 0.0500 0.0554 0.0608 0.0597
… … … … …
23 0.0152 0.0167 0.0189 0.0174
24 0.0296 0.0202 0.0282 0.0281
Tabel 7 Hasil pendugaan volatilitas dalam periode 60 hari perdagangan
Periode Volatilitas
Aktual GARCH EWMA P-EWMA
1 0.0280 0.0219 0.0250 0.0246
2 0.0155 0.0119 0.0098 0.0107
3 0.0236 0.0209 0.0289 0.0281
4 0.0467 0.0292 0.0355 0.0348
5 0.0172 0.0195 0.0213 0.0213
… … … … …
15 0.0214 0.0157 0.0177 0.0178
37
Tabel 8 Hasil pendugaan volatilitas dalam periode 80 hari perdagangan
Periode Volatilitas
Aktual GARCH EWMA P-EWMA
1 0.0262 0.0159 0.0192 0.0206
2 0.0163 0.0137 0.0169 0.0178
3 0.0431 0.0292 0.0355 0.0349
4 0.0190 0.0220 0.0239 0.0237
5 0.0188 0.0138 0.0158 0.0168
… … … … …
11 0.0122 0.0167 0.0189 0.0174
12 0.0233 0.0114 0.0116 0.0131
Kolom pertama menyatakan periode pendugaan, masing-masing terdiri
dari 24 periode, 16 periode dan 12 periode. Kolom kedua menyatakan volatilitas
aktual pada masing-masing periode, yang dihitung dengan terlebih dulu mencari
nilai ragam dari
return
selama 40, 60 dan 80 hari perdagangan. Kolom ketiga,
keempat dan kelima berturut-turut menyatakan hasil pendugaan volatilitas dengan
menggunakan model
GARCH
,
EWMA
dan
P-EWMA
. Tren volatilitas aktual dan
volatilitas pendugaan dapat dilihat dari Gambar 6, Gambar 7 dan Gambar 8
[image:63.595.105.514.164.794.2]berikut.
Gambar 6 Volatilitas dalam periode 40 hari perdagangan.
0.000.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324
Volatilitas
Periode (@ 40 Hari Perdagangan)
Aktual
EWMA
GARCH
Gambar 7 Volatilitas dalam periode 60 hari perdagangan.
Gambar 8 Volatilitas dalam periode 80 hari perdagangan.
Secara umum, dari Gambar 6, Gambar 7 dan Gambar 8, terlihat bahwa
trend
volatilitas hasil pendugaan mendekati tren volatilitas aktual. Secara umum,
ketiga model pendugaan cukup baik menggambarkan volatilitas aktual yang
terjadi. Namun demikian, secara visual pendugaan periode 40 hari perdagangan
memiliki tren terbaik yang mendekati tren volatilitas aktual.
0.000.01 0.01 0.02 0.02 0.03 0.03 0.04 0.04 0.05 0.05
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Volatilitas
Periode (@ 60 Hari Perdagangan)
Aktual
EWMA
GARCH
P‐EWMA
0.00 0.01 0.01 0.02 0.02 0.03 0.03 0.04 0.04 0.05 0.05
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Volatilitas
Periode (@ 80 Hari Perdagangan)
Aktual
EWMA
GARCH
39
4.4 Perbandingan Kinerja
GARCH, EWMA dan P-EWMA
Selanjutnya untuk membandingkan kinerja dari model
GARCH
,
EWMA
dan
P-EWMA
, dihitung nilai
RMSFE
untuk ketiga periode perkiraan yang
dilakukan, yaitu 40 hari perdagangan, 60 hari perdagangan dan 80 hari
perdagangan. Hasil perhitungan
RMSFE
dapat dilihat dari Tabel 9 berikut. Hasil
[image:65.595.92.509.10.824.2]perhitungan
RMSFE
secara lengkap dapat dilihat dari Lampiran 5.
Tabel 9
RMSFE
untuk
GARCH
,
EWMA
dan
P-EWMA
Root mean squared forecast error
Periode GARCH EWMA P-
