NN

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Statistika merupakan ilmu yang sangat dibutuhkan oleh semua bidang keilmuan. Dengan adanya statistika, peneliti dapat menarik suatu kesimpulan yang akurat dari setiap penelitian yang dilakukannya. Banyak orang yang menganggap statistika hanyalah alat untuk suatu penelitian, namun pada kenyataanya statistika merupakan suatu hal pokok yang menjadi nyawa dari setiap penelitian. Hal ini menyebabkan setiap peneliti harus mengerti dan menguasai ilmu statistika. Analisis univariat merupakan analisis univariat merupakan analisis yang sering digunakan oleh peneliti untuk menyelesaikan suatu masalah, namun pada kenyataan di lapangan tidak semua masalah yang ada, bisa diselesaikan dengan menggunakan analisis univariat. Ketika peneliti ingin meneliti beberapa variabel yang saling kait mengkait secara simultan (bersama-sama) (Seber,1983), maka analisis univariat tidak lagi bisa digunakan. Oleh karena itu peneliti memerlukan analisis multivariate.

Distribusi multivariat merupakan pengembangan dari diistribusi univariat dengan menggunakan transformasi dan manipulasi aljabar.

1.2 Batasan Masalah

Penulis memfokuskan penelitian ini pada distribusi multivariat, dan membuktikan bagaimana distribusi Wishart dapat membawa distribusi

T-Hotelling mendekati distribusi F, serta membuktikan distribusi U (Lamda Wilks) dibentuk melalui distribusi Wishart.

1.3 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah:

1. Mengkaji secara teoritik sifat dan karakteristik distribusi Wishart. 2. Mencari fungsi pembangkit momen dari etr(UW).

3. Membuktikan bahwa distribusi T-Hotelling didekati pada distribusi F.

4. Membuktikan bahwa distribusi U (Lamda Wilks) dibangun melalui perbandingan dua buah distribusi Wishart.

5. Membuktikan sifat-sifat khusus dari distribusi U.

1.4 Manfaat Penelitian

Penelitian ini memiliki manfaat sebagai berikut:

1. Menambah wawasan mengenai sifat dan karakteristik distribusi Wishart.

2. Menjelaskan kepada para peneliti bahwa analisis multivariat merupakan pengembangan dari analisis univariat.

3. Memberikan wawasan mengenai asal terbentuknya distribusi T-Hotelling dan distiribusi U.

I. TINJAUAN PUSTAKA

1.1 Distribusi Normal Multivariat

Akan dibahas dua definisi dari multivariat normal. Definisi yang pertama didefinisikan melalui fungsi kepekatan peluangnya, dan definisi yang kedua berdasarkan sifat unik dari distribusi normal multivariat, yaitu suatu kombinasi linier dari elemen-elemennya adalah normal multivariat.

Definisi Distribusi Normal Multivariat

Misaly = (y1,y2,…,yd)’ adalah vektor berdimensi d dari suatu peubah acak, maka ydisebut memiliki (nonsingular) distribusi multivariat normal jika fungsi kepekatan peluangnya adalah

( ) = (2 ) | | exp ( ) ( ) (2.1)

; < < = 1,2, . .

Dimana = [ ]adalah definit positif( > ) Seber(1983).

Hal ini telah dibuktikan pada Seber(1977), bahwa ( ) = dan ( ) = ,

Maka dapat disimbolkan dengan notasi ~ ( , ) atau ~ .

Terdapat dua kasus yang paling khusus yakni sebagai berikut:

1. ~ ( , ).

2. Jika yi adalah saling bebas dengan distribusi normal univariat , ( = 1,2, , )

maka ~ ( , ).

Sekarang akan dibahas beberapa sifat utama dari distribusi normal multivariat.

Teorema 2.1

=

( )

( ) , =

( )

( ) , =

Dimanay(i)dan (i)adalah dix 1 vektor dan iiadalah dix di(d1+ d2= d),

maka berlaku:

(1) JikaCadalah matriks q x d dengan rank q, maka ~ ( , ).

(2) Suatu anggota himpunan bagian dari y memiliki distribusi normal multivariat:

( )_{~ (} ( )_{, ).}

(3) Fungsi pembangkit momen dari y adalah ( ) = ( exp( ) )

= exp( + ) (2.2)

(4) y(1)dany(2)adalah i.i.d jika dan hanya jika (y(1), y(2))=0.

(5) Jika ui= Aiy( i=1,2,…,m) dan (ui,uj) = 0untuk semua i,j dimana ≠ , maka uibebas stokastik identik.

(6) ( − ) ( − ) ~ .

1.2 Distribusi Wishart

1.2.1 Definisi dan Sifat

∑ ( − ) ( − ) ′, merupakan suatu analogi multivariat dari jumlah kuadrat pada univariat ∑ ( − ) (Johnson dan Kortz, 1972). Dua definisi Wishart adalah sebagai berikut:

Definisi 2.a Distribusi Wishart

MisalW = (wjk) adalah matrik simetris berukuran dxd dari suatu peubah acak yang definit positif, dengan peluang 1, dan misalkan adalah matriks definit positif berukuran dxd. Jika m adalah bilangan bulat sedemikian sehingga ≥ , maka W dikatakan memiliki distribusi Wishart nonsingular dengan derajat bebas m jika fungsi kepekatan peluang dari

( + 1) elemen-elemen yang berbeda dariWadalah:

( , , …, ) = | |( )/ ( )

Anggap bahwax1, x2,…,xmadalah bebas stokastik identik ( , ) maka

= ∑ ′ (2.6)

Dikatakan memiliki distribusi Wishart dengan derajat bebas m.

Teorema 2.2

Jika ~ ( , )danCadalah matriks berukuran qxd dengan rank q, maka ~ W ( m, ) (Seber,1983).

Bukti:

Misal x1, x2,…, xm i.i.d ( , ) dan misal = ∑ ′, kemudian ~ ( , ) maka ′ memiliki distribusi yang sama seperti .

Sekarang perhatikan

= ∑ ( ) ( ) ′

= ∑ ( ) ( ) ′ (2.7)

Dimana, berdasarkan teorema 2.1 (1), yi bebas stokastik identik ( 0, ′), karena itu berdasarkan persamaan (2.6) diperoleh ~ W ( m, ) .

Corollary

Jika adalah vektor taknol berukuran d x 1, maka ~ _ℓ , dimana _ℓ = > 0 (karenaΣ>0).

Bukti:

(2) Jikaaadalah vektor konstan berukuran m x 1, maka ~ ( ,‖ ‖ )

Berdasarkan teorema 2.1 (5),uiadalah saling bebas.

(4) Misal = =

Maka elemen-elemenyidariyadalah bebas stokastik identik ( 0, )

Corollary

Misal = / , maka‖ ‖ = 1/ , dan berdasarkan lemma (2) di atas,

= ~ , .

Sekarang akan ditunjukkan bahwa sifat-sifat dari bentuk kuadratik berkembang menjadi kasus multivariat.

Teorema 2.3

Misal = ( , , …, ) dimana xi adalah i.i.d ( , ). Dan misal = dimana ( ≠ 0) adalah vektor konstan berukuran d x 1, dan misalkanA danBadalah matrik simetris berukuran m x m dengan rank r dan s.badalah vektor konstan berukuran m x 1 (Seber,1983).

(1) ~ ( , ) jika dan hanya jika ~ ( _ℓ ) untuk suatu , dimana

ℓ = ′ .

(2) dan memiliki distribusi Wishart independen, dengan derajat bebas r dan s, jika dan hanya jika

ℓ

dan

ℓ

adalah berdistribusi

khi-kuadrat independen, dengan derajat bebas r dan s, untuk suatu .

(3) dan bedistribusi Nddan ( , ) independen, jika dan hanya

jika dan ′

ℓ

berdistribusi N1dan untuk suatu .

Bukti:

(1) Diberikan = ~ ( , ). Maka = = ~ _ℓ ,

Kebalikanya, anggap bahwa

ℓ

~ untuk beberapa , maka karena ~ ( , _ℓ ),

(berdasarkan lemma (4)) mengikuti pada suatu definisi dari matriks idempotent yang menjelaskan bahwa, suatu matriks P idempotent jika P2 = P, dan berlaku juga hal-hal dibawah ini:

1. JikaPmerupakan matrik idempotent dengan rank r,maka dapat dituliskan dalam bentuk

= ∑ ′ .

Dimanat1, t2,…, trbentuk dari himpunan ortonormal

2. Anggap ~ ( , ) danPadalah matrik simetrik berukuran d x d, maka

ℓ

~ jika dan hanya jikaPadalah idempotent dengan rank r.

berdasarkan keterangan di atas, maka dapat ditulis

= ∑ ′ (2.9)

Dimanaaiadalah suatu himpunan vektor eigen yang ortonormal yang disamakan dengan r eigen value dariA, karena itu

= ′ ′ = ′

Dimana = ′ , berdasarkan lemma (2) dan (3), ui adalah i.i.d ( , ), karena ‖ ‖ = 1, maka ~ ( , ).

Sebaliknya, anggap bahwa

ℓ

dan

ℓ

berdistribusi dan independen, untuk

beberapa , A dan B adalah matriks idempotent dengan rank r dan s, dan A.B = 0, maka dapat ditulis sebagai berikut:

= ∑ ′ dan = ∑ ′

(3) Anggap bahwa dan berdistribusi Nddan Wdindependen,

Maka: = adalah N1 dan ~ ( ℓ ). Seperti pada bukti yang pertama,

dan idependen.

Sebaliknya, Anggap bahwa dan berdistribusi N1dan ℓ yang idependen,

untuk beberapa . Berdasarkan lemma (2), ~ , dan juga berdasarkan (1), ~ ( , ). Karena ~ ( , _ℓ ), ~ ( , _ℓ ) . ′ ′ ⁄ ~ _ℓ dan = . Dengan mengalikan denganb, maka didapatkanAb=0, dengan demikian sesuai dengan (2), {a1,a2,…,ar,b} adalah saling orthogonal. Oleh karena itu u1,u2,…,urdan ′ saling bebas, dan ′ juga saling bebas dengan ′ (persamaan 2.10).

~ ( , ) jika dan hanya jika = .

Corollary 2

Variable Wishart dan saling bebas jika dan hanya jika = .

Corollary 3

′ dan ′ berdistribusi dan idependen, jika dan hanya jika = dan = .

2.3 Distribusi -Hotelling

Jika ~ ( , ) dan ~ , w idependen terhadap x, maka

=

( ̅ )

( ⁄ ) / =

( ̅ )

( ⁄ ) / ~ (2.11)

Dimana berdistribusi t dengan m derajat bebas, karena itu

= ( ̅ ) = ( ̅− ) ( ̅− )~ _,

Generalisasi dari statistik di atas disebut statistik.

= ( − ) ( − )

Dimana ~ ( , ), ~ ( , ), x dan W saling bebas, dan kedua distribusi tersebut nonsingular (Seber, 1983).

Misal = ′ , dimana ~ ( , ) dan ~ ( , ), y dan W saling bebas. (diasumsikan bahwa distribusinya nonsingular > , dan ≥ , dengan demikianW-1ada, dengan peluang 1) (Seber,1983).

~ , (2.12)

2.4 Distribusi Beta Multivariat 2.4.1 Pengenalan

Anggap ~ dan ~ , H dan E saling bebas.

H merupakan jumlah kuadrat, dan E merupakan kuadrat galat. Maka fungsi kepekatan peluang dari = adalah:

( ) =

( ⁄ , ⁄ )

(1 −

)

;0 ≤ < 1

Dimana

( , ) =

( ) ( )

( )

Agar lebih mudah, digunakan notasi ~ _{/ , /} , dan V disebut berdistribusi beta tipe 1, dengan derajat bebas / 2dan / 2 ( Seber, 1983).

= ( + ) / _{( + )} / _(2.13)

Dimana (E+H)1/2adalah akar kuadrat simetris dariE+H.

Teorema 2.5

Fungsi kepekatan dari ( + 1) elemen-elemen yang berbeda dariV, ( , ,…, ) =

g(V) adalah sebagai berikut:

( ) =

( ⁄ , ⁄ )| |

( )/ _{| − |}( )/ _{; < < .}

Dimana ( , ) = ( ) ( )

( ) ; ≤ 2 , 2 .

Γ ( ) didefinisikan pada persamaan (2.5), diasumsikan ≤ , ( Seber, 1983).

2.4.2 Distribusi U

fungsiV(persamaan 2.13) pada analisis multivariat disimbolkan dengan

= | − |. Menurut Anderson(1958), jika − berdistribusi multivariat beta tipe 1, dengan derajat bebas dan , maka dapat dikatakan bahwa U berdistribusi U dengan berajat bebas d, , dan .

=

| |

| | (2.14)

| | ≠ , dimana ≥ , untuk suatu ≠ . Statistik U pada umumnya dilambangkan denganΛ, yang pertama kali diperkenalkan oleh Wilks (1932).

Terdapat beberapa fakta utama mengenai distribusi U adalah sebagai berikut:

1. Distribusi , _, terkadang dituliskan dalam bentuk _, , , yang berguna

2. Kasus sepesial saat d = 1

Rao(1951), menjelaskan pendekatan dan perluasan lain yang asimptotik, yang menjelaskan bahwa:

1

I. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun akademik 2011/2012, Bertempat di jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini dalam mengkaji sifat dan karakteristik distribusi Wishart, serta peranan distribusi Wishart dalam membangun distribusi T2-Hotelling dan distribusi U (Lamda Wilks) adalah sebagai berikut:

1. Mendefinisikan fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi multivariat normal yaitu ( ) = (2 ) | | exp ( ) ( ) , mengkaji sifat-sifat khususnya yang salah satunya menjelaskan bahwa

~ ( , ).

2. Mendefinisikan distribusi Wishart berdasarkan fungsi kepekatan peluangnya sebagai berikut:

( , , , ) = | |( )/ ( )

dan =

untukx1, x2,…,xmadalah bebas stokastik identik ( , ). 3. Memberikan definisi dari distribusi T2-Hotelling sebagai berikut:

= ( ) ( )

2

5. Menuliskan definisi dari distribusi multivariat beta, serta menunjukkan bahwa H dan E masing-masing berdistribusi Wishart dan kemudian

mentransformasikanya ke dalam bentuk ,lalu mencari fungsi bersamanya.

6. Memberikan definisi dari distribusi U (lamda wilks).

7. Menunjukkan bahwa distribusi U dibangun melalui perbandingan dua buah distribusi Wishart, yaitu ~ ( , )dan ~ ( , ),

kemudian mentransformasikannya ke dalam definisi dari distribusi

= .

8. Menguraikan sifat-sifat khusus dari distribusi U, serta memberikan

3

, , /

, ,

4

DAFTAR PUSTAKA

Gantini dan Harhhyanto. 2009. Pengantar Statistika Matematis. CV Yrama Widya. Bandung.

Johnson, N. L., and Kortz, S. 1972.Distributions in Statistics,Vol 4,Continous Multivariate Distributions. Wiley, New York.

Mardia, K. V., Kent, J. T., and Bibby, J. M. 1979.Multivariate Analysis. Academic Press, London.

Rao,C.R. 1951.An Asimptotic Expansion of the Distributions of Wilk’s Criterion. Bull, New York.

Seber, G. A. F. 1983.Multivariate Observations. Wiley and sons, New York.

Suryanto. 1988.Metode Statistika Multivariat. Departemen Pendidikan dan Kebudayaan. Jakarta.

20

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Adapun kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

a. Distribusi Wishart memiliki peranan yang penting dalam pengembangan distribusi multivariat.

b. Distribusi Wishart memiliki kemiripan sifat dan karakteristik dengan distribusi Khi-square.

c. Distribusi T2-hotelling merupakan pengembangan dari distribusi t student, yang merupakan kuadrat jarak dari dan .

d. Distribusi T2-hotelling juga dibangun oleh distribusi Wishart, dimana unsur matriks S berdistribusi Wishart( , ).

e. Manova merupakan pengembangan dari anova, yakni bentuk multivariat dari anova.

f. Distribusi U (Lamda Wilks) yang merupakan statistik uji dari Manova, dibangun oleh distribusi Wishart, dengan membandingkan dua buah ragam distribusi Wishart.

g. T2-hotelling dan Manova didekati dengan distribusi F sebagai statistik uji, begitu juga dengan sifat-sifat khususnya.

21

Penelitian ini masih jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu penulis menyarankan agar penelitian ini dikembangkan lagi. Adapun poin-poin pokok yang masih menjadi perhatian penulis agar dapat dikembangkan lagi adalah sebagai berikut:

a. Membuktikan bahwa Lamda wilks didekati dengan distribusi F, seperti yang didefinisikan oleh Rao(1951).