DISTRIBUSI GAMMA BIVARIAT BERDASARKAN KARAKTERISTIK DISTRIBUSI GAMMA DAN DISTRIBUSI BETA SKRIPSI

(1)

DISTRIBUSI GAMMA BIVARIAT

BERDASARKAN KARAKTERISTIK DISTRIBUSI GAMMA

DAN DISTRIBUSI BETA

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan S-1

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh : MURWATI

0901060157

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO

(2)

HALAIVIAN PERSE TUJUAT\I

DISTRIBUSI

GAMMA BIVARIAT

BERDASARKANT

KARAKTERISTIK

DISTRIBUSI

GAMMA

DAN DISTRIBUSI

BETA

SKRIPSI

Oleh: MURWATI

0901060157

Skripsi ini disetujui oleh dosen pemhimbing untukdiajukan dan

dipertahankan di depan tim penguji Skripsi Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Univercitas Muhammadiyah Purwokerto

Mengetahui, Pembimbing

I

Pembimbing

tI

/iir

aJ>

ffiy(-Ekasetvaninssih.M.Si llr.ffii

h[fK.zrcang hlrK. 2t60037

(3)

Skripsi Berjudul

DISTRIBUSI GAMMA BTVARIAT

BERDASARKAI\I KARAKTERISTIK DISTRIBUSI GAMMA DAI\ DISTRIBUSI BETA

Dipersiapkau dan disusun oleh:

MT}RWATI

0901060157

Telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada tanggal 14 Agustus 2013 dan dinyatakan memenuhi syarat untuk diterima sebagai kelengkapan

persyaratan untuk mendapatkan gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

1.

Pembimbing

Eka Setyaningsih. S.Si.. _M.Si

NIK.2160109

Dr. H. Akhmad Jazuli. M.Si NIK.2160037

Penguji

Erni Widiyastuti. S.Si.. M.Si NtK.2160227

Chumaedi Sugihandardji. S,Si.. M.Si NIK.2160127

1.

2.

zarul/

Purwokerto, 14 Agustus 2013 Universitas Muharnmadiyah Purwokerto

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

s

ffi

(4)

SURAT

PERNYATAAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini: Murwati

090 r 060 157

Pendidikan Matematika

Keguruan dan Ilmu Pendidikan Nama

NIM

Program Studi

Fakultas

Menyusun skripsi dengan judul :

DISTRIBUSI

GAMMA BIVARIAT

BERDASARKAI\I

KARAKTERISTIK

DISTRIBUSI GAMMA DAI\[ DISTRIBUSI BETA

Menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi ini adalatr hasil karya tulis saya sendiri dan

bukan dibuatkan orang lain atau jiplakan karya oftmg lain. Bila pernyataan ini tidak benar,

maka saya bersedia menerima sanksi termasuk pencabutan gelar kesarjanaan yang sudah saya peroleh.

Pnrwokerto, 14 Agustus 2013 Yang menyatakan

MURWATI

(5)

v

ABSTRAK

Penelitian ini bertujuan untuk membangun distribusi Gamma Bivariat berdasarkan karakteristik distribusi Gamma dan distribusi Beta serta membangun pdf bersama, ekspektasi, dan kovariannya. Penelitian ini menggunakan metode studi literatur dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1) Menyelidiki kaitan antara distribusi Gamma dan distribusi Beta. 2) Menelaah Lemma Yeo dan Milne. 3) Membangun distribusi Gamma Bivariat dengan Metode Transformasi Jacobian. 4) Mencari pdf bersama, ekspektasi, dan kovarian dari distribusi Gamma Bivariat yang telah dibangun. Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa dapat dibentuk dua distribusi Gamma Bivariat berdasarkan karakteristik distribusi Gamma dan Beta dari dan dengan : a) dan merupakan variabel random yang berdistribusi Gamma dan merupakan varibel random yang berdistribusi Beta; b) dan merupakan variabel random yang berdistribusi Beta dan merupakan varibel random yang berdistribusi Gamma. Selain itu, dapat dibangun pula pdf bersama, ekspektasi, dan kovarian berdasarkan karakteristik masing-masing distribusi Gamma dan distribusi Beta yang disajikan.

Kata kunci: Distribusi Gamma, Distribusi Beta, Distribusi Gamma Bivariat,

(6)

۷ _٦ MOTTO

َعَم َّن ِا

١ اًرْسُيِرْسُعْل

ۗ

ْبَصْن اَف َتْغَرَفاَذِاَف

ۗ

“Sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan. Maka apabila kamu telah selesai (dari suatu urusan) tetaplah bekerja keras (untuk

urusan yang lain)” Q.S. Al. Insyirah: 6-7

َنْيِزِجْعُمِب ْمُتْنَآاَمَّو تٰ َلَ َنْوُدَعْوُتاَم َّنِا

“Sesungguhnya apapun yang dijanjikan kepadamu pasti datang dan kamu tidak mampu menolaknya”

Q.S. Al An’am: 134

Pertolongan Allah mungkin tidak secepatnya, tapi selalu setepat-Nya.

Hidup memang indah, tapi akan lebih indah apabila memberikan kebahagiaan kepada orang-orang yang kita sayangi.

(7)

vii

PERSEMBAHAN

Rasa syukur terucap pada-Mu Ya Rabb atas berkat dan rahmat-Mu skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik. Dengan kesungguhan hati, skripsi ini saya persembahkan untuk:

1. Kedua orang tua saya yang telah memberikan dukungan dan doa yang tak pernah henti-hentinya kepada saya.

2. Adik-adik saya tercinta; Bagas Saputra dan Farih Akmal Ghaisan yang selalu memberi semangat dan doa.

3. Nenek dan kakek saya yang sangat saya cintai yang selalu memberikan doa dan dukungan penuh agar skripsi ini cepat terselesaikan.

4. Untuk teman-teman tersayang khususnya teman Kosyandu dan

teman dari Prodi Matematika angkatan 2009 yang telah memberikan dukungan selama saya menyusun skripsi ini.

(8)

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT atas limpahan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyusun skripsi yang berjudul “Distribusi Gamma Bivariat Berdasarkan Karakteristik Distribusi Gamma dan Distribusi Beta”. Skripsi ini penulis susun sebagai persyaratan akhir untuk memperoleh gelar sarjana di Universitas Muhammadiyah Purwokerto.

Dalam penelitian skripsi ini, peneliti banyak mendapatkan bimbingan dan bantuan dari berbagai pihak, untuk itu pada kesempatan yang baik ini, peneliti mengucapkan terima kasih kepada

1. Dr. H. Syamsuhadi Irsyad, S.H, M.H, Rektor Universitas Muhammadiyah Purwokerto.

2. Drs. Ahmad, M.Pd, Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas muhammadiyah Purwokerto.

3. Erni Widiyastuti, S.Si, M.Si selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purwokerto.

4. Eka Setyaningsih, S.Si, M.Si dan Dr. H. Akhmad Jazuli, M.Si selaku Pembimbing I dan Pembimbing II yang telah meluangkan waktu untuk memberikan bimbingan, petunjuk, dan arahan dalam penyusunan skripsi ini. 5. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Pendidikan Matematika yang telah

memberi bimbingan selama belajar di Universitas Muhammadiyah Purwokerto.

(9)

ix

6. Semua pihak yang telah memberikan bantuan yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi semua pihak dan menambah wawasan bagi para pembaca.

Purwokerto, Juli 2013

(10)

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN PERSETUJUAN ... ... ii

HALAMAN PENGESAHAN ... iii

SURAT PERNYATAAN ... iv

ABSTRAK ... v

MOTTO ... vi

PERSEMBAHAN ... vii

KATA PENGANTAR ... viii

DAFTAR ISI ... x

DAFTAR SIMBOL ... xii

DAFTAR GAMBAR ... xiv

BAB 1 PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang ... ... 1

B. Rumusan Masalah ... 4

C. Tujuan Penelitian ... 4

D. Manfaat Penelitian ... 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 6

A. Jumlahan Power Binomial ... 6

B. Turunan dan Integral ... 7

1. Turunan ... 7

2. Integral ... 10

C. Beberapa Fungsi Khusus ... 13

1. Fungsi Gamma ... 13

2. Fungsi Whittaker ... 17

3. Fungsi Tricomi ... 17

4. Fungsi Gamma Tak Lengkap ... 18

(11)

xi

D. Variabel Random Kotinu ... 23

1. Variabel Random ... 23

2. pdf (Probability Density Function) dan CDF (Cummulative Distribution Function) untuk Variabel Random Kontinu ... 24

3. Ekspektasi dan Variansi ... 26

4. Momen ... 28

E. Distribusi Gamma dan Distribusi Beta ... 29

1. Distribusi Gamma ... 29

2. Distribusi Beta ... 32

F. Distribusi Bersama ... 34

1. pdf Bersama ... 34

2. pdf Marginal ... 35

3. Variabel Random Saling Bebas ... 36

4. Ekspektasi dan Produk Momen ... 37

5. Metode Transformasi Jacobian ... 39

BAB III METODE PENELITIAN ... 40

BAB IV PEMBAHASAN ... 44

A. Kaitan Antara Distribusi Gamma dan Distribusi Beta ... 44

B. Distribusi Gamma Bivariat Berdasarkan Karakteristik Distribusi Gamma dan Distribusi Beta ... 49

C. Karakteristik Distribusi Gamma Bivariat Berdasarkan Karakteristik Distribusi Gamma dan Distribusi Beta ... 56

1. pdf Bersama Distribusi Gamma Bivariat Berdasarkan Karakteristik Distribusi Gamma dan Distribusi Beta ... 56

2. Ekspektasi dan Kovarian ... 77

BAB V PENUTUP ... 88

A. Kesimpulan ... 88

B. Saran ... 89

(12)

DAFTAR SIMBOL

 : anggota

: himpunan bilangan riil

: himpunan bilangan bulat

: himpunan bilangan bulat positif

: union/ gabungan

| | : nilai mutlak dari

: kurang dari

: lebih dari

: kurang dari atau sama dengan

: lebih dari atau sama dengan

: ( )( )

( ) : fungsi Gamma dengan parameter

( ) : fungsi Gamma Tak Lengkap pada interval [ ] ( ) : fungsi Gamma Tak Lengkap pada interval [ ] ( ) : fungsi Beta dengan parameter bentuk dan

( ) : Fungsi Whittaker dari dengan parameter dan ( ) : Fungsi Tricomi dari dengan parameter dan ( ) : nilai ekspektasi dari variabel random

( ) : variansi dari variabel random

(13)

xiii

: tak terhingga

: negatif tak terhingga

(14)

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 1. Daerah pengintegralan pada bidang ( ) ... 11 Gambar 2. Integral lipat dua dengan daerah persegi panjang ... 12