PENDUGAAN LIFE TABLE PENDUDUK PEREMPUAN
INDONESIA DAN PENGEMBANGANNYA
MENJADI LIFE TABLE KONTINU
TRI PURWIANTI
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Pendugaan Life Table
Penduduk Perempuan Indonesia dan Pengembangannya menjadi Life Table
Kontinu adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Oktober 2016
Tri Purwianti
RINGKASAN
TRI PURWIANTI. Pendugaan Life Table Penduduk Perempuan Indonesia dan Pengembangannya menjadi Life Table Kontinu. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan ENDAR HASAFAH NUGRAHANI.
Mortalitas atau kematian merupakan salah satu dari tiga komponen utama demografi. Data mortalitas suatu negara biasanya disajikan dalam bentuk life table. Pada life table disajikan informasi tentang skema kehidupan seseorang seperti probabilitas kematian, probabilitas bertahan dan angka harapan hidup seseorang. Life table yang dimiliki Indonesia saat ini adalah life table yang disajikan dalam bentuk interval lima tahunan yang diperoleh berdasarkan model Coale-Demeny. Aplikasi life table dalam bidang asuransi ataupun bidang lainnya memerlukan informasi probabilitas mati dan bertahan hidup yang lebih mendetail, sehingga diperlukan life table kontinu. Penelitian ini bertujuan untuk menduga model kontinu dari life table perempuan Indonesia menggunakan model kontinu dari sebaran Weibull, log-logistik, gamma, dan eksponensial logit.
Penelitian ini merupakan lanjutan dari penelitian sebelumnya yaitu menduga
life table perempuan dewasa menggunakan data sensus tahun 2000 dan 2010 dengan metode smoothing menggunakan Coale-Demeny, sistem logit dan proyeksi akumulasi. Tetapi pada metode smoothing menggunakan Coale-Demeny dan proyeksi akumulasi tidak berlaku pada kelompok umur anak yaitu 0 - 9 tahun. Oleh karena itu, sebelum memodifikasi life table menjadi model kontinu dilakukan pendugaan life table untuk anak berumur 0 - 9 tahun berdasarkan data anak mati dan bertahan hidup menurut kelompok umur ibu serta data dua periode survei yaitu sensus dan antar sensus. Life table anak tersebut dikombinasikan dengan life table perempuan dewasa untuk mendapatkan life table perempuan dewasa Indonesia yang lengkap. Selanjutnya dipilih life table perempuan Indonesia yang mendekati pola data asli. Kemudian dilakukan fitting model berdasarkan sebaran Weibull, log-logistik, gamma, dan eksponensial logit menggunakan Mathematica 9.0 untuk mendapatkan model kontinu terbaik.
Hasil analisis menunjukkan bahwa kombinasi life table anak menggunakan data dua periode survei dengan life table perempuan dewasa menggunakan metode smoothing menggunakan proyeksi akumulasi merupakan
life table terbaik. Life table tersebut menghasilkan angka harapan hidup (AHH) sebesar 69.72 yakni 2.11 poin lebih rendah dari AHH yang diproyeksi oleh BPS. Sedangkan model kontinu terbaik adalah model yang dibentuk dari sebaran eksponensial logit dengan AHH sebesar 72.17 yakni 0.34 poin lebih tinggi dibandingkan dengan AHH yang diproyeksi oleh BPS.
Model eksponensial logit terhadap data asli menghasilkan AHH yang tidak berbeda jauh dengan AHH model eksponensial logit terhadap life table terpilih. Namun pola probabilitas kematian di atas umur 80 tahun padamodel eksponensial logit menggunakan data asli lebih menggambarkan pola data sebenarnya. Jadi life table perempuan Indonesia dapat disusun menggunakan model eksponensial logit tanpa melakukan proyeksi menggunakan life table Coale-Demeny.
SUMMARY
mortality data are usually presented in a life table. Life table contains information about people life scheme, such as survival probabilities, mortal probabilities and life expectancy for each age group. Current Indonesian life table is the life table presented in five-year intervals obtained by Coale-Demeny models. Application of life table in the insurance analysis often requires more detail information of mortal and survival probability. Therefore it actually requires continuous life table. This paper is aimed to estimate the continuous model of Indonesian women life table using continuous model of the Weibull, log-logistic, gamma, and exponential logit distributions.This study an advancement of previous research, which estimated adult woman life table using census data of the year 2000 and 2010 with smoothing method of Coale-Demeny, logit system and projected of accumulation. However the smoothing method using Coale-Demeny and projected accumulation were not applicable in the child age group. Therefore, before estimating continuous model of the life table, we estimate the female child life table based on death and survival data of children by age group of mothers on two survey periods. To get the complete life table of Indonesian women, the female child life table is combined with adult women life table. There are four possible combinations of life tables. We choose the life table, which is most similar to the original data. Afterwards, we fit the model into a continuous model life table based on the Weibull, log-logistic, gamma, and exponential logit distribution using Mathematica 9.0.
The result of analysis shows that the combination of child life table using the data of two survey period with adult women life table smoothed using projection accumulation is the best life table. The resulted life expectancy is 69.72 years, which is 2.11 points lower than that projected by BPS. On the other hand, the best continuous model is the exponential logit distribution with life expectancy of 72.17 years which is 0.34 points higher than that projected by BPS.
Finally, the pattern of death probability over 80 years on exponential logit model fitted on the original data resembles well with the actual data patterns. Therefore, life table of Indonesian women can be formed using continuous exponential logit model without projections using Coale-Demeny life table. Keywords: continuous life table, exponential logit, gamma, log-logistic, Weibull
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
PENDUGAAN LIFE TABLE PENDUDUK PEREMPUAN
INDONESIA DAN PENGEMBANGANNYA
MENJADI LIFE TABLE KONTINU
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2016
Judul Tesis : Pendugaan Life Table Penduduk Perempuan Indonesia dan Pengembangannya menjadi Life Table Kontinu
Nama : Tri Purwianti NIM : G551140526
Disetujui oleh Komisi Pembimbing
Dr Ir Hadi Sumarno, MS Ketua
Dr Ir Endar H Nugrahani, MS Anggota
Diketahui oleh
Ketua Program Studi Matematika Terapan
Dr Jaharuddin, MS
Dekan Sekolah Pascasarjana IPB
Dr Ir Dahrul Syah, MScAgr
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga penelitian ini ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang akan dilaksanakan ialah demografi atau kependudukan, dengan judul Pendugaan Life table Penduduk Perempuan Indonesia dan Pengembangannya Menjadi Life Table Kontinu.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir Hadi Sumarno, MS dan Ibu Dr Ir Endar H. Nugrahani, MS selaku pembimbing yang telah banyak memberi saran-saran, pengarahan, bimbinagn dan motivasi serta Bapak Dr Jaharuddin, MS selaku ketua program studi Matematika Terapan yang selalu memberi motivasi dan juga Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku penguji yang telah banyak mengoreksi dan memberikan saran-saran dalam penelitian ini. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada Bapak Jubaidi, Ibu Adini Setianingrum, Mas Imam Subagyo dan Mas Noor Awalludin atas segala doa, dukungan, semangat, bantuan, kritik, saran dan kasih sayangnya. Terima kasih juga penulis ucapkan pada Muhammad Namus Akbar yang selalu memberikan dorongan motivasi, semangat, doa, bantuan dan cinta kasih sayang yang selalu diberikan.
Penulis menyadari bahwa dalam tesis ini masih banyak kekurangan dan masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga tesis ini bermanfaat dan menjadi inspirasi untuk penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, Oktober 2016
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL vi
DAFTAR GAMBAR vii
PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Tujuan Penelitian 2
TINJAUAN PUSTAKA 2
Mortalitas dan Life Table 2
Life Table Coale-Demeny 3
Fungsi Sebaran 3
Koefisien Determinasi 5
Pencarian Nilai Parameter untuk Model Taklinier 6
Penelitian Sebelumnya 6
METODE PENELITIAN 7
Menduga Mortalitas Anak 7
Penyusunan Life Table Perempuan 10
Pendugaan Life Table Kontinu 10
PEMBAHASAN 10
Menduga Mortalitas Anak 11
Menyusun Life Table Perempuan 19
Menduga Life Table Kontinu 23
SIMPULAN 29
DAFTAR PUSTAKA 30
LAMPIRAN 31
DAFTAR TABEL
1. Koefisien penduga pengali mortalitas anak atau pengali Trussell model Barat, diklasifikasikan menurut kelompok umur ibu 8 2. Koefisien penduga periode referensi diklasifikasikan berdasarkan
kelompok umur ibu 8
3. Jumlah anak lahir dan anak yang bertahan menurut kelompok umur ibu
di Indonesia tahun 2010 11
4. Rata-rata paritas anak perempuan per perempuan menurut kelompok
umur ibu di Indonesia tahun 2010 12
5. Proporsi anak perempuan meninggal menurut kelompok umur ibu di
Indonesia tahun 2010 12
6. Pengali Trussell untuk pendugaan mortalitas anak di Indonesia tahun
2010 menggunakan model Barat 13
7. Dugaan probabilitas kematian dan bertahan hidup menurut kelompok umur ibu di Indonesia tahun 2010 menggunakan model Barat 13 8. Dugaan periode referensi yang mengacu pada probabilitas kematian di
Indonesia tahun 2010 menggunakan model Barat 14
9. Level mortalitas anak perempuan yang sesuai dengan dugaan mortalitas menggunakan model Barat di Indonesia tahun 2010 15 10.Probabilitas bertahan hidup anak dan probabilitas kematian
menggunakan model Barat di Indonesia tahun 2010 15 11.Jumlah perempuan, jumlah anak yang lahir dan yang meninggal
menurut kelompok umur ibu di Indonesia tahun 2005 dan 2010 16 12.Rata-rata jumlah anak perempuan yang lahir dan anak perempuan yang
meninggal per perempuan menurut kelompok umur perempuan di
Indonesia tahun 2005 dan 2010 16
13.Rata-rata jumlah anak perempuan yang lahir dan anak perempuan yang meninggal per perempuan dari hipotetik kohort intersurvei menurut kelompok umur perempuan di Indonesia tahun 2005-2010 17 14.Dugaan mortalitas anak perempuan di Indonesia tahun 2005-2010 18 15.Probabilitas bertahan hidup anak dan probabilitas kematian
menggunakan model Barat di Indonesia tahun 2005-2010 19 16.Life table penduduk perempuan Indonesia yang diduga menggunakan
life table Coale-Demeny dikombinasikan dengan mortalitas anak dengan
cara 1 19
17.Life table penduduk perempuan Indonesia yang diduga menggunakan
life table Coale-Demeny dikombinasikan dengan mortalitas anak dengan
cara 2 20
18.Life table penduduk perempuan Indonesia yang diduga menggunakan proyeksi akumulasi dikombinasikan dengan mortalitas anak cara 1 21 19.Life table penduduk perempuan Indonesia yang diduga menggunakan
proyeksi akumulasi dikombinasikan dengan mortalitas anak cara 2 21 20.Life table penuh penduduk perempuan Indonesia yang diduga
menggunakan proyeksi akumulasi dikombinasikan dengan mortalitas
DAFTAR GAMBAR
1. Plot banyak perempuan bertahan hidup sampai umur , 6 2. Plot perbandingan pola life table kombinasi dengan data asli. (a)
kombinasi 1, (b) kombinasi 2, (c) kombinasi 3 dan (d) kombinasi 4 22
3. Plot life table terpilih 24
4. Plot dari life table terpilih dan model kontinu berdasarkan sebaran
Weibull 24
5. Plot dari life table terpilih dan model kontinu berdasarkan sebaran
log-logistik 25
6. Plot life table terpilih 25
7. Plot dari life table terpilih dan dari model kontinu berdasarkan
sebaran gamma 26
8. Plot dari life table terpilih dan model kontinu berdasarkan sebaran
gamma 26
9. Plot 27
10.Plot data dan kurva sebaran eksponensial 27 11.Plot dari life table terpilih dan eksponensial logit 28 12.Plot data asli dan eksponensial logit dari data asli 28 13.Plot fungsi eksponensial logit dengan parameter yang didapatkan dari
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Life table adalah skema untuk mengekspresikan fakta-fakta dari probabilitas kematian dan bertahan hidup pada interval waktu tertentu berdasarkan kelompok usia sehingga kesimpulan tentang probabilitas kematian dan bertahan hidup dapat dengan mudah ditarik (Keyfitz 1968). Life table sangat erat hubungannya dengan mortalitas atau kematian. Mortalitas adalah angka kematian yang terjadi pada kurun waktu dan tempat tertentu yang dikaitkan oleh keadaan tertentu (BPS 2009a).
Salah satu manfaat life table adalah sebagai landasan untuk memproyeksikan jumlah penduduk beberapa tahun ke depan, sehingga para ahli dapat memprediksi langkah apa yang harus diambil untuk menghadapi populasi yang akan datang. Misalnya jika populasi penduduk Indonesia 10 tahun ke depan akan melebihi kapasitas yang seharusnya, maka akan diambil langkah untuk mengatasinya seperti mengurangi laju pertumbuhan penduduk atau menambah fasilitas agar cukup untuk populasi penduduk 10 tahun yang akan datang. Life table juga sangat berguna dalam bidang asuransi, seperti definisinya life table
dapat membaca probabilitas kematian dan bertahan hidup seseorang sehingga pihak asuransi dapat mengetahui kapan nasabah membutuhkan klaim asuransi (tentunya dilengkapi dengan data lain seperti riwayat kesehatan nasabah) dengan begitu pihak perusahaan dapat memperhitungkan berapa besar premi yang cocok untuk nasabah tersebut agar perusahaan tidak mengalami kerugian.
Seperti halnya model-model yang ada dalam bidang demografi lainnya, model teoritis dari life table merupakan model yang kontinu. Model kontinu dari
life table akan lebih mudah digunakan dan akan sangat menguntungkan dalam penggunaannya karena bisa digunakan pada umur sembarang sesuai yang kita inginkan. Dalam kepentingan proyeksi penduduk apabila tingkat kematian berubah dari waktu ke waktu, maka penghitungan life table menjadi sangat rumit sehingga diperlukan life table yang bersifat kontinu. Namun life table pada umumnya disajikan dalam bentuk diskret.
Pada kenyataannya Indonesia tidak memiliki life table, yang dimiliki Badan Pusat Statistik saat ini hanyalah dugaan yang dilakukan oleh pihak BPS. Menyusun life table dapat dengan mudah dilakukan jika terdapat data yang dibutuhkan untuk menyusunnya seperti data banyaknya penduduk yang bertahan hidup atau angka harapan hidup (AHH) penduduk Indonesia, tetapi sayangnya data tersebut sangat sulit didapatkan secara langsung apalagi di negara berkembang seperti Indonesia.
Pada penelitian sebelumnya yang dilakukan oleh Purwianti (2014) telah diduga tiga life table perempuan Indonesia menggunakan tiga metode yang berbeda, tetapi masih menghasilkan life table diskret dan metode yang digunakan masih bergantung pada model Barat serta masih menggunakan asumsi bahwa pendugaan life table berlaku bagi umur anak yaitu umur 0 sampai 10 tahun. Model kontinu dari life table telah diamati oleh Fajariyah (2009), model life table
2
menggambarkan perilaku data. Oleh karena itu penelitian ini akan menduga life table anak berdasarkan informasi anak yang lahir dan anak yang bertahan untuk menghilangkan asumsi pada life table yang didapatkan oleh Purwianti (2014). Hasilnya akan dibandingkan agar mendapatkan life table terbaik yaitu yang paling mirip polanya dengan data sebenarnya kemudian akan diduga model kontinu dari
life table tersebut. Software yang digunakan dalam penelitian ini adalah Microsoft Office Excel 2007 dan Mathematica 9.0.
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah sebagai berikut:
1 menduga life table anak perempuan untuk melengkapi life table anak perempuan yang telah dibentuk sebelumnya oleh Purwianti (2014),
2 menentukan life table terbaik,
3 menduga model kontinu dari life table terbaik.
TINJAUAN PUSTAKA
Mortalitas dan Life Table
Mortalitas atau kematian merupakan salah satu dari tiga komponen utama demografi yang berpengaruh terhadap struktur dan jumlah penduduk (Utomo 1985). Data mortalitas disajikan dalam bentuk life table yaitu sarana penyajian informasi mengenai probabilitas bertahan hidup dan mortalitas pada sebagian interval waktu berdasarkan usia, dan dengan cara sedemikian rupa sehingga kesimpulan tentang kemungkinan kematian dan ketahanan hidup dapat dengan mudah ditarik (Keyfitz 1968).
Komponen-komponen life table antara lain banyak orang yang bertahan hidup banyak orang yang mati peluang bertahan hidup peluang orang mati banyak tahun hidup total waktu hidup dan rata-rata tahun hidup di mana:
= umur
= banyaknya orang yang bertahan hidup hingga mencapai umur tepat atau peluang orang bertahan hidup hingga mencapai umur , jika = banyaknya orang yang meninggal antara umur hingga
= peluang bertahan hidup dari umur hingga
= peluang seseorang berumur meninggal sebelum mencapai
= lama tahun hidup yang dijalani oleh penduduk berumur hingga mencapai umur
= total waktu yang dijalani penduduk berumur sampai akhir hayatnya = angka harapan hidup bagi penduduk berumur
= level kematian bagi penduduk berumur
3
Life table Coale-Demeny adalah life table yang disusun oleh Anley J Coale dan Paul Demeny yang berasal dari kumpulan 192 life table berdasarkan jenis kelamin dari populasi sebenarnya negara-negara di Eropa. Coale-Demeny mengelompokkan life table ke dalam empat kelompok life table yang masing-masing memiliki karakteristik yang berbeda yaitu life table model Utara, Selatan, Timur dan Barat. Model Timur dibentuk berdasarkan pada pola kematian dari negara Autralia, Jerman, Italia Selatan, Italia Tengah, Cekoslowakia dan Polandia. Model Utara berdasarkan pada pola kematian dari negara Islandia, Norwegia dan Swedia. Model Selatan berdasar pada pola kematian Spanyol, Portugal, Italia dan Italia Selatan. Sedangkan model Barat berdasar pada negara sisanya, oleh karena itu model ini adalah model yang paling merepresentasikan pola kematian yang umum karena berdasar pada sumber yang luas dan bervariasi, karena itu pula model ini dapat digunakan sebagai patokan ketika ketiga model yang lain tidak cocok Pada life table Coale-Demeny mortalitas dibedakan berdasarkan lamanya bertahan hidup menjadi 24 level, semakin tinggi level mortalitas maka semakin lama penduduknya bertahan hidup (DIESA 1983).
Fungsi Sebaran
1. Sebaran Weibull
Sebaran Weibull biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang menyangkut lama waktu (umur) suatu objek yang mampu bertahan hingga akhirnya objek tersebut tidak berfungsi sebagaimana mestinya (rusak atau mati). Sebaran Weibull dengan parameter dan memiliki bentuk disebut juga yang dibentuk dari sebaran Weibull sebagai berikut
4
Karena ∫ , maka ∫ Misal maka ,
Sehingga
∫ ( ) ∫
∫ ( ) ∫
|
Jadi
(Lee 1992) 2. Sebaran log-logistik memiliki fungsi kepekatan peluang dan fungsi sebaran
sebagai berikut
{
∫
Misal
maka,
∫
∫
|
5 Jadi,
Fungsi survival atau dalam kasus ini disebut juga dari sebaran log-logistik adalah
3. Sebaran eksponensial merupakan sebaran yang paling sederhana dan banyak digunakan dalam masalah bertahan hidup atau pertumbuhan populasi makhluk hidup. Sebaran eksponensial hanya memiliki satu parameter yaitu λ, yang menunjukkan penskalaan. Fungsi kepekatan peluang dari sebaran eksponensial adalah
{
Fungsi survival untuk sebaran eksponensial adalah
∫ ( ) 4. Sebaran gamma memiliki fungsi kepekatan peluang sebagai berikut
{ dimana
Koefisien Determinasi
Koefesien diterminasi dengan simbol merupakan proporsi variabilitas dalam suatu data yang dihitung didasarkan pada model statistik. Definisi berikutnya menyebutkan bahwa merupakan rasio variabilitas nilai-nilai yang dibuat model dengan variabilitas nilai data asli. Secara umum digunakan sebagai informasi mengenai kecocokan suatu model. Dalam regresi ini dijadikan sebagai pengukuran seberapa baik garis regresi mendekati nilai data asli yang dibuat model. Jika sama dengan 1, maka angka tersebut menunjukkan garis regresi cocok dengan data secara sempurna.
6
∑ ∑ ̅ ̂
dengan , ̂ dugaan (model) , dan ̅ rata-rata. Pencarian Nilai Parameter untuk Model Taklinier
Model taklinier memiliki bentuk di mana adalah nilai dugaan, adalah w buah nilai parameter dan adalah
k buah variabel bebas. Tidak ada solusi analitik yang memungkinkan untuk melakukan pengepasan data terhadap model taklinier. Sehingga diperlukan iterasi dengan metode kuadrat terkecil taklinier yang melibatkan perbaikan berulang pada nilai-nilai parameter untuk mengurangi jumlah dari kuadrat kesalahan. Pada akhirnya akan meminimumkan kesalahan antara titik-titik data dengan model taklinier yang digunakan. Untuk memperoleh nilai parameter suatu model taklinier, diperlukan pemilihan nilai awal yang paling baik. Salah satu contohnya adalah dalam penggunaan menu FindFit pada software Mathematica.
Algoritma Levenberg-Marquardt digunakan oleh berbagai alat untuk pengepasan data pada model taklinier, termasuk menu FindFit pada software
Mathematica yang sudah diatur secara default. Menurut Gill et al. (1981), metode Levenberg-Marquardt merupakan sebuah alternatif dari metode Gauss-Newton dan juga melibatkan metode steepest-descent. Pada metode steepest-descent, jumlah dari kuadrat kesalahan berkurang dengan memperbarui nilai parameter. Sedangkan Metode Gauss-Newton jumlah dari kuadrat kesalahan berkurang dengan mengasumsikan bahwa fungsi kuadrat terkecil dianggap sebagai lokal kuadrat. Metode Levenberg-Marquardt adalah teknik standar yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan kuadrat terkecil taklinier. Metode Levenberg- Marquardt melakukan hal yang sama seperti metode steepest-descent ketika parameter jauh dari nilai optimalnya dan melakukan hal yang sama seperti metode Gauss-Newton ketika parameter dekat dari nilai optimalnya.
Penelitian Sebelumnya
Purwianti (2014) telah menduga life table perempuan Indonesia berdasarkan data sensus dengan terlebih dahulu menghitung rasio bertahan hidup kohort
7 Penduduk 2010 (BPS 2010) serta Survei Penduduk Antar Sensus (SUPAS) tahun 2005 (BPS 2009b) yang diunduh dari website resmi Badan Pusat Statistik. Langkah penelitian yang dilakukan untuk menduga life table penduduk perempuan Indonesia adalah pertama, akan diduga mortalitas anak perempuan untuk mendapatkan life table anak perempuan yang akan digunakan untuk melengkapi life table perempuan dewasa yang telah diduga pada penelitian sebelumnya. Kedua, penyusunan life table perempuan dengan mengombinasikan
life table anak perempuan dan life table perempuan dewasa dan dipilih life table
yang paling mendekati pola data asli. Ketiga, akan diduga model kontinu dari life table terpilih. Berikut ini akan dijelaskan langkah penelitian yang akan dilakukan.
Menduga Mortalitas Anak
Life table penduduk perempuan Indonesia yang dihasilkan sebelumnya oleh Purwianti (2014) menggunakan asumsi bahwa pendugaan life table berlaku bagi umur anak yaitu umur 0 sampai 10 tahun. Untuk menghapus asumsi tersebut akan diduga life table anak. Department of International Economic and Social Affairs
(1983) memaparkan pendugaan life table anak dapat dilakukan menggunakan beberapa cara dengan sumber data yang berbeda di antaranya berdasarkan informasi anak yang lahir dan bertahan. Berdasarkan data tersebut terdapat dua cara yang dijelaskan pada poin berikut.
Cara 1: Menggunakan data yang diklasifikasikan menurut kelompok umur ibu
8
Langkah 2: Menghitung proporsi anak meninggal menurut kelompok umur ibu. Proporsi anak yang meninggal didefinisikan sebagai rasio dari anak meninggal dengan jumlah anak yang lahir, yaitu:
dengan seperti pada langkah pertama dan adalah jumlah anak yang mati menurut kelompok umur ibu pada kelompok umur .
Langkah 3: Menghitung pengali mortalitas anak atau pengali Trussell .
Tabel 1 Koefisien penduga pengali mortalitas anak atau pengali Trussell model Barat, diklasifikasikan menurut kelompok umur ibu
9 Langkah 5: Menghitung periode referensi. Ketika mortalitas berubah secara halus, periode referensi akan menduga berapa tahun sebelum waktu survey
Cara 2: Menggunakan data untuk intersurvei hipotetik kohort Langkah-langkah yang dilakukan pada cara 2 sebagai berikut:
Langkah 1: Menghitung rata-rata paritas per perempuan. Cara ini menggunakan dua set data dengan dua waktu survei yang berbeda. Untuk menhitung rata-rata paritas per perempuan dengan
sama seperti pada cara 1, hanya saja indeks menunjukkan waktu survei.
Langkah 2: Menghitung rata-rata jumlah anak meninggal per jumlah perempuan. Pada langkah ini rata-rata jumlah anak mati per jumlah perempuan
Langkah 3: Pendugaan proporsi anak meninggal untuk hipotetik kohort perempuan. Sebelum menduga proporsi anak mati untuk kohort hipotetik perempuan terlebih dahulu dihitung paritas dan rata-rata jumlah anak mati untuk kohort hipotetik perempuan. Jika periode intersurvei adalah interval lima tahun, maka rata-rata jumlah anak lahir per perempuan kelompok umur pada kohort hipotetik untuk tingkat fertilitas intersurvei dinotasikan dengan adalah
Kemudian rata-rata jumlah anak mati per perempuan kelompok umur pada kohort hipotetik dinotasikan dengan � adalah
� � � �
ketika lebih kecil atau sama dengan , maka nilai hipotetik kohort diasumsikan sama dengan nilai observasi pada survei kedua. Selanjutnya proporsi anak mati hipotetik kohort ditentukan dengan membagi rata-rata jumlah anak mati � yang sudah ditentukan sebelumnya dengan rata-rata paritas yang juga telah ditentukan sebelumnya, yaitu
�
Langkah 4: Pendugaan probabilitas kematian. Probabilitas kematian dapat dihitung dengan
10
dengan adalah proporsi anak mati hipotetik kohort yang telah ditentukan pada Langkah 3 dan adalah pengali Trussell yang dapat dicari menggunakan persamaan berikut
Koefisien dan berdasarkan model Barat life table Coale-Demeny ditampilkan pada Tabel 1 di atas.
Penyusunan Life Table Perempuan
Life table anak perempuan akan digunakan untuk melengkapi life table
perempuan yang telah didapatkan sebelumnya oleh Purwianti (2014) guna menghilangkan asumsi bahwa pendugaan life table berlaku bagi umur anak yaitu umur 0 sampai 10 tahun. Didapatkan empat kombinasi life table. Selanjutnya life table akan dibandingkan dengan pola data asli. Pada poin ini life table yang akan dibandingkan berjumlah empat tabel yaitu life table kombinasi 1 sampai 4. Life table akan dipilih adalah yang paling mirip polanya dengan data asli (data asli ditampilkan pada Lampiran 1).
Pendugaan Life Table Kontinu
Semua life table yang dihasilkan dari kombinasi 1 sampai 4 tidak mencapai umur tertua pada keadaan yang sebenarnya, ini disebabkan oleh tidak tersedianya data yang pasti untuk orang berumur 80 tahun ke atas. Oleh karena itu pada poin ini life teble terpilih akan dilengkapi menggunakan life table model Barat Coale-Demeny. Selanjutnya akan diduga model kontinu yang paling mendekati dengan
life table terpilih dilakukan fitting model menggunakan software Mathematica 9.0 berdasarkan fungsi kepekatan peluang sebaran Weibull, log-logistik, gamma dan eksponensial logit yang telah dimodifikasi (Lampiran 3 sampai Lampiran 6). Model yang paling mirip akan digunakan untuk menduga parameter life table dari data asli.
PEMBAHASAN
11 Menduga Mortalitas Anak
Penelitian sebelumnya yang dilakukan oleh Purwianti (2014) telah menghasilkan tiga life table perempuan dewasa Indonesia menggunakan tiga metode yang berbeda. Dua di antaranya masih menggunakan asumsi bahwa metode tersebut berlaku untuk life table anak yaitu yang berumur 0 hingga 10 tahun. Oleh karena itu untuk menghilangkan asumsi tersebut akan diduga mortalitas anak perempuan untuk menghasilkan life table anak perempuan. Pendugaan mortalitas anak menggunakan data banyak anak yang lahir dan anak yang bertahan. Terdapat dua cara dalam pendugaan mortalitas anak cara pertama yaitu menggunakan data diklasifikasi menurut kelompok umur ibu dan cara kedua menggunakan data intersurvei kohort. Berikut dua perhitungan untuk menduga mortalitas anak.
1. Perhitungan mortaitas anak menggunakan data yang diklasifikasikan menurut kelompok umur ibu
Cara pertama untuk menduga mortalitas anak perempuan menggunakan data anak lahir dan anak yang bertahan yang diklasifikasikan menurut kelompok umur ibu tahun 2010. Data berasal dari sensus penduduk tahun 2010 (BPS 2010). Data yang dibutuhkan ditampilakan pada Tabel 3.
Berikut ini langkah-langkah perhitungan mortalitas anak cara pertama. Langkah 1: Menghitung rata-rata paritas per perempuan, . Rata-rata paritas
Perhitungan rata-rata paritas per perempuan secara lengkap ditampilkan pada Tabel 4.
12
Langkah 2: Menghitung proporsi anak meninggal menurut kelompok umur ibu . Nilai dari proporsi dihitung dari data pada Tabel 3 yaitu dengan membagi jumlah anak prempuan meninggal (ditampilkan pada kolom 4) dengan jumlah anak perempuan yang lahir (ditampilkan pada kolom 3) menurut kelompok umur ibu. Dengan demikian, yaitu proporsi anak perempuan meninggal di antara jumlah anak perempuan yang lahir untuk perempuan umur 15-19 adalah sebagai berikut
Tabel 5 berikut ini menampilkan perhitungan proporsi anak perempuan meninggal menurut kelompok umur ibu secara lengkap.
Langkah 3: Perhitungan pengali Trussell. Pengali Trussell dibutuhkan untuk menyesuaikan proporsi anak mati yang dilaporkan sebagai pengaruh dari pola usia subur, dihitung dari rasio dan menggunakan persamaan dan koefisien yang ditampilkan pada Tabel 1.
Tabel 4 Rata-rata paritas anak perempuan per perempuan menurut kelompok umur ibu di Indonesia tahun 2010
13 Diasumsikan bahwa life table model Barat Coale-Demeny layak untuk merepresentasikan mortalitas di Indonesia, jadi nilai dari , dan diambil dari Tabel 1. Diberikan nilai dari , dan pada Tabel 4. Nilai ditampilkan secara lengkap pada Tabel 6.
Sebagai contoh, pengali Trussell untuk anak perempuan pada kelompok umur ibu 15-19 ( ) adalah
Tabel 6 Pengali Trussell untuk pendugaan mortalitas anak di Indonesia tahun 2010 menggunakan model Barat
Tabel 7 Dugaan probabilitas kematian dan bertahan hidup menurut kelompok umur ibu di Indonesia tahun 2010 menggunakan model Barat
14
Langkah 5: Menghitung periode referensi. Perhitungan periode referensi dibutuhkan untuk setiap , karena Indonesia memiliki mortalitas yang tidak konstan hingga tahun 2010. Nilai dari rasio dan yang dibutuhkan untuk menduga nilai diperoleh dengan melihat pada Tabel 4. Nilai koefisien , dan yang dibutuhkan untuk menduga ditampilkan pada Tabel 2, diasumsikan bahwa mortalitas mengikuti pola model Barat. Berikut ini contoh perhitungan nilai , mengacu pada kondisi mortalitas masing-masing sekitar dua setengah tahun, empat tahun, enam tahun dan tujuh setengah tahun sebelum survei.
Level mortalitas anak perempuan ditentukan dengan menginterpolasi probabilitas bertahan hidup yang didapat menggunakan pada life table
Level mortalitas secara lengkap ditampilkan pada Tabel 9.
15
Karena level mortalitas yang didapatkan berbeda pada setiap umur anak, maka untuk mengetahui level mortalitas anak yang tunggal dicari rata-rata dari level
mortalitas di atas. Didapatkan rata-rata level mortalitas 21.55. Karena level yang didapat bukan bilangan bulat maka akan dilakukan interpolasi antara level 21 dan
level 22. Sebagai contoh untuk umur 5, dan (dapat dilihat pada Lampiran 2) adalah sebagai berikut
Jadi nilai probabilitas bertahan hidup dari lahir hingga umur 5 tahun pada level
mortalitas 21.55 adalah 0.9678. Nilai probabilitas bertahan hidup anak dan probabilitas kematian untuk level mortalitas 21.55 secara lengkap ditampilkan pada Tabel 10.
2. Perhitungan mortalitas anak menggunakan data untuk intersurvei hipotetik kohort
Pada cara dua digunakan data banyak anak lahir, banyak anak yang meninggal dan jumlah ibu dikasifikasikan menurut kelompok umur ibu. Data tersebut didapatkan dari Survei Penduduk Antar Sensus (SUPAS) tahun 2005 dan Sensus Penduduk tahun 2010. Data yang dibutuhkan ditampilkan pada Tabel 11.
Tabel 9Level mortalitas anak perempuan yang sesuai dengan dugaan mortalitas menggunakan model Barat di Indonesia tahun 2010 menggunakan model Barat di Indonesia tahun 2010
Umur (1)
Probabilitas Bertahan Hidup Probabilitas Kematian
16
Langkah 1 dan 2: Menghitung rata-rata paritas dan rata-rata jumlah anak perempuan yang meninggal per perempuan. Rata-rata jumlah anak perempuan yang lahir dan rata-rata jumlah anak perempuan yang meninggal � per perempuan ditentukan untuk setiap kelompok umur perempuan dan untuk settiap tahun survei yang digunakan dengan membagi jumlah yang terdaftar dengan jumlah perempuan yang sesuai. Jadi, rata-rata paritas anak perempuan untuk kelompok umur perempuan 25-29 tahun 2005 atau disebut dengan survei pertama ditentukan dengan,
dan rata-rata jumlah anak perempuan meninggal per perempuan untuk kelompok umur 25-29 tahun 2005 adalah
�
Tabel 12 berikut menampilkan rata-rata paritas dan rata-rata jumlah anak perempuan meninggal per perempuan untuk tahun 2005 dan 2010 secara lengkap. Tabel 12 Rata-rata jumlah anak perempuan yang lahir dan anak perempuan yang
meninggal per perempuan menurut kelompok umur perempuan di Indonesia tahun 2005 dan 2010
Tabel 11 Jumlah perempuan, jumlah anak yang lahir dan yang meninggal menurut kelompok umur ibu di Indonesia tahun 2005 dan 2010
17 Pada Tabel 12 terlihat bahwa rata-rata anak yang lahir semakin tua umur ibu maka semakin besar rata-rata anak yang lahir karena semakin tua umur perempuan maka jumlah anaknya semakin bertambah.
Langkah 3: Menduga proporsi anak perempuan meninggal untuk kohort hipotetik perempuan. Interval antara sensus tahun 2010 dan survei tahun 2005 adalah lima tahun, jadi yang akan digunakan adalah 1. Jadi untuk kelompok umur pertama 15-19, rata-rata paritas dan jumlah anak perempuan meninggal untuk hipotetik kohort perempuan sama dengan nilai yang sesuai dengan survei kedua:
dan
� �
Nilai berikutnya diperoleh dengan menambahkan kenaikan kohort berturut-turut. Jadi, untuk kelompok umur kedua, (20-24):
Tabel 13 menampilkan hasilnya secara lengkap. Setelah rata paritas dan rata-rata jumlah anak perempuan meninggal telah dihitung, proporsi anak perempuan meninggal untuk hipotetik kohort dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan berikut
�
Jadi, berdasarkan nilai yang didapat pada Tabel 13 proporsi anak mati di antara anak yang lahir untuk perempuan berumur 20-24 tahun, adalah
� Kolom 5 dari Tabel 13 menampilkan secara lengkap nilai
Tabel 13 Rata-rata jumlah anak perempuan yang lahir dan anak perempuan yang meninggal per perempuan dari hipotetik kohort intersurvei menurut kelompok umur perempuan di Indonesia tahun 2005-2010
18
Langkah 4: Menduga probabilitas kematian. Pendugaan probabilitas kematian antara kelahiran dan tepat usia diperoleh dengan terlebih dahulu menentukan pengali Trussell seperti pada cara 1 dengan menggunakan model Barat dan nilai dari kofisien yang dibutuhkan terdapat pada Tabel 1. Nilai dari rasio dan yang dibutuhkan untuk menduga dicari menggunkan rata-rata paritas yang didapat pada Tabel 13 seperti diilustrasikan dibawah ini:
Nilai pengali sebagai contoh ditentukan sebagai berikut
kolom 8 Tabel 14. Level mortalitas dihitung dengan menginterpolasi seperti yang
dilakukan Langkah 5 pada cara 1 menggunakan life table model Barat perempuan (Lampiran 2).
Karena level mortalitas yang didapatkan berbeda pada setiap umur anak, maka untuk mengetahui level mortalitas anak yang tunggal dicari rata-rata dari level
mortalitas di atas. Didapatkan rata-rata level mortalitas 22.13. Kemudian untuk mencari probabilitas bertahan hidup untuk level tersebut dilakukan seperti Langkah 5 pada cara 1 menggunakan life table model Barat perempuan yang ditampilkan pada Lampiran 2. Hasilnya ditampilkan pada Tabel 15.
19
Menyusun Life Table Perempuan
Pada tahap ini mortalitas anak perempuan yang telah didapatkan sebelumnya akan dipasangkan atau digunakan pada life table perempuan Indonesia yang telah didapatkan oleh Purwianti (2014). Seperti yang sudah dituliskan pada tinjauan pustaka bahwa Purwianti (2014) telah menduga life table
perempuan Indonesia menggunakan data sensus yang di smoothing dengan life table Coale-Demeny, sistem logit, dan proyeksi akumulasi. Pada pendugaan life table perempuan dewasa yang di smoothing menggunakan life table Coae-Demeny dan proyeksi akumulasi masih menerapkan asumsi bahwa life table
tersebut berlaku juga pada umur anak yaitu umur 0 hingga 10 tahun. Untuk menghilangkan asumsi tersebut, pada tahap ini life table perempuan dewasa akan dipasangkan atau dikombinasikan dengan mortalitas yang telah didapatkan sebelumnya menggunakan dua cara, cara pertama yaitu menggunakan data yang diklasifikasikan menurut umur ibu dan cara kedua yaitu menggunakan data untuk intersurvei kohort. Terdapat empat kombinasi, yaitu:
Kombinasi 1: Life table perempuan dewasa yang di smoothing
menggunakan life table Coale-Demeny dikombinasikan dengan mortalitas anak perempuan menggunakan data yang diklasifikasikan menurut kelompok umur ibu ditampilkan pada Tabel 16.
Tabel 16 Life table penduduk perempuan Indonesia yang diduga menggunakan
life table Coale-Demeny dikombinasikan dengan mortalitas anak dengan cara 1
menggunakan model Barat di Indonesia tahun 2005-2010
Umur (1)
20
menggunakan life table Coale-Demeny dikombinasikan dengan mortalitas anak perempuan menggunakan data untuk intersurvei hipotetik kohort ditampilkan pada Tabel 17.
Tabel 17 Life table penduduk perempuan Indonesia yang diduga menggunakan
21 Kombinasi 3: Life table perempuan dewasa yang di smoothing
menggunakan proyeksi akumulasi dikombinasikan dengan mortalitas anak perempuan menggunakan data yang diklasifikasikan menurut kelompok umur ibu ditampilkan pada Tabel 18.
Tabel 18 Life table penduduk perempuan Indonesia yang diduga menggunakan proyeksi akumulasi dikombinasikan dengan mortalitas anak cara 1
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
menggunakan proyeksi akumulasi dikombinasikan dengan mortalitas anak perempuan menggunakan data untuk intersurvei hipotetik kohort ditampilkan pada Tabel 19 berikut.
Tabel 19 Life table penduduk perempuan Indonesia yang diduga menggunakan proyeksi akumulasi dikombinasikan dengan mortalitas anak cara 2
22
35 0.9518 0.0083 0.0087 4.7383 35.8578 37.6730 40 0.9435 0.0118 0.0125 4.6880 31.1195 32.9827 45 0.9317 0.0101 0.0108 4.6333 26.4315 28.3698 50 0.9216 0.0341 0.0369 4.5230 21.7982 23.6520 55 0.8876 0.0390 0.0439 4.3404 17.2752 19.4635 60 0.8486 0.0592 0.0698 4.0948 12.9349 15.2432 65 0.7894 0.0913 0.1157 3.7185 8.8400 11.1989 70 0.6980 0.1917 0.2746 3.0111 5.1215 7.3369 75 0.5064 0.1686 0.3330 2.1104 2.1104 4.1676
80+ 0.3378
Setelah mendapatkan empat life table dari kombinasi antara life table
perempuan dewasa dengan life table anak perempuan didapatkan empat kombinasi life table yang akan dibandingkan dengan pola data asli. Pola yang akan dibandingkan adalah pola data tingkat bertahan hidup atau survivorship ratio
dari setiap life table kombinasi yang dicari dengan cara sebagai berikut.
Perbandingan empat life table kombinasi dengan data asli ditampilkan pada Gambar 2.
(a) (b)
(c) (d)
23
Berdasarkan Gambar 2 pola ( ) life table kombinasi 1, kombinasi 2, kombinasi 3 dan kombinasi 4 memiliki pola yang tidak jauh berbeda jika dibandingkan dengan pola data asli, tetapi pada umur 0 – 10 tahun dan umur 70 tahun ke atas memiliki pola yang berbeda. Life table kombinasi 1 sampai 4 masing-masing memiliki nilai koefisien determinasi sebesar , , dan . Jika dilihat dari nilai koefisien determinasinya, life table
kombinasi 4 yaitu life table perempuan dewasa yang diduga menggunakan proyeksi akumulasi oleh Purwianti (2014) dikombinasikan dengan mortalitas anak menggunakan data intersurvei hipotetik kohort adalah yang paling mirip polanya dengan data asli. Oleh karena itu selanjutnya life table kombinasi 4 akan digunakan untuk menduga model kontinu dari life table penduduk perempuan Indonesia.
Menduga Life Table Kontinu
Sebelum dilakukan pendugaan model kontinu dari life table terpilih, life table tersebut terlebih dahulu akan dilengkapi umur maksimalnya. Life table
terpilih yang kita dapatkan hanya mencapai umur 80 ke atas, sedangkan yang kita butuhkan untuk mendapatkan model kontinu adalah umur maksimal rata-rata dari penduduk perempuan Indonesia. Dari life table Coale-Demeny didapatkan umur maksimal rata-rata untuk life table kombinasi 4 adalah 110 tahun. Untuk itu life table akan dilengkapi hingga umur 110 tahun. Selanjutnya life table terpilih dilengkapi menggunakan life table perempuan model Barat Coale-Demeny dengan angka harapan hidup (AHH) 69.72, dapat dilihat pada Tabel 20.
Tabel 20 di atas adalah life table terpilih yang akan diduga model kontinunya. Untuk melihat pola sebaran life table terpilih tersebut, selanjutnya diplot berdasarkan umur seperti dapat dilihat pada Gambar 3.
Tabel 20 Life table penuh penduduk perempuan Indonesia yang diduga
24
Selanjutnya akan dilakukan pendugaan model kontinu dari life table terpilih dilakukan dengan fitting model berdasarkan sebaran Weibull, log-logistik, gamma dan eksponensial logit. Pendugaan model kontinu life table terpilih akan dipaparkan pada poin 1 sampai 4 berikut.
1. Pendugaan model kontinu menggunakan sebaran Weibull
Fungsi dari sebaran Weibull yang telah dimodifikasi memiliki tiga parameter dengan bentuk persamaan sebagai berikut
,
dengan menggunakan fitting model pada model tersebut dihasilkan nilai parameter , dan sehingga persamaan fungsi pada sebaran Weibull adalah
dengan pola yang dihasilkan ditampilkan pada Gambar 4.
Pada Gambar 4 terlihat bahwa kurva model kontinu sebaran Weibull hampir menutupi semua titik-titik dari plot data life table terpilih tetapi kurang pas pada umur awal kira-kira umur 0-10 dan juga pada umur 41- 65 dengan nilai koefisien determinasi sebesar 99.695% dan AHH 73.74.
Gambar 4 Plot dari life table terpilih dan model kontinu berdasarkan sebaran Weibull
25 2. Pendugaan model kontinu menggunakan sebaran log-logistik
Fungsi dari sebaran log-logistik yang telah dimodifikasi memiliki tiga parameter dengan bentuk persamaan sebagai berikut
dengan menggunakan fitting model pada model tersebut dihasilkan nilai parameter , dan sehingga persamaan fungsi pada sebaran log-logistik adalah
Hasil pendugaan model kontinu menggunakan model kontinu dari sebaran log-logistik ditampilkan pada Gambar 5.
Berdasarkan Gambar 5 model hampir mirip polanya pada umur di atas 80, tetapi model kurang pas pada umur 0-10 tahun dan 41-70 tahun dengan koefisien determinasi sebesar 99.470% dan AHH 74.90.
3. Pendugaan model kontinu menggunakan sebaran gamma
Variabel life table yang memiliki pola mirip sebaran gamma adalah dengan rumus sebagai berikut.
dengan
Gambar 6 menampilkan plot aproksimasi nilai dari data life table terpilih. Gambar 5 Plot dari life table terpilih dan model kontinu berdasarkan
sebaran log-logistik
26
Seperti yang ditampilkan pada Gambar 6, pola plot dari life table terpilih menyerupai atau mendekati pola sebaran gamma. Oleh karena itu akan dilakukan pendugaan fungsi menggunakan fungsi kepekatan peluang sebaran gamma yang paling mendekati pola . Sebaran gamma yang telah dimodifikasi memiliki fungsi kepekatan peluang sebagai berikut
Kemudian dengan menggunakan fitting model dihasilkan nilai parameter sehingga didapatkan pola seperti pada Gambar 7.
Terlihat pada Gambar 7 bahwa sebaran gamma dibandingkan dengan life table
terpilih memiliki pola yang mirip tetapi banyak titik yany tidak pas dengan koefisien determinasi sebesar 87.225%. Selanjutnya akan dicari pola yang dibentuk dari fungsi yang dihasilkan dari fungsi kepekatan peluang gamma dengan cara berikut
∫ dan Hasilnya ditampilkan pada Gambar 8.
Berdasarkan Gambar 8 model yang dibentuk oleh fungsi kepekatan peluang sebaran gamma hampir semuanya tdak menutupi titik life table terpilih, polanya
Gambar 7 Plot dari life table terpilih dan dari model kontinu berdasarkan sebaran gamma
27 pun cenderung berbeda dengan koefisien determinasi sebesar 93.842% dengan AHH 87.56.
4. Pendugaan model kontinu menggunakan sebaran eksponensial logit
Pada model eksponensial logit, ditransformasi terlebih dahulu berdasarkan persamaan beikut
Sehingga menghasilkan pola seperti pada Gambar 9.
Terlihat pada Gambar 9 bahwa fungsi menyerupai pola sebaran eksponensial. Fungsi kepekatan peluang sebaran eksponensial yang telah dimodifikasi memiliki empat parameter dengan bentuk persamaan
Dengan menggunakan fitting model dihasilkan nilai parameter , dan , . Hasil dari pendugaan tersebut ditampilkan pada Gambar 10.
Berdasarkan Gambar 10 fungsi dari sebaran eksponensial hampir semua menutupi atau fit dengan logit life table terpilih dengan koefisien determinasi sebesar 99.885% . Selanjutnya untuk mendapatkan pola ditransformasi balik sehingga menjadi
28
( )
Selanjutnya model di atas disebut sebagai model eksponensial logit. Ketika model eksponensial logit diplot dengan life table terpilih menghasilkan pola seperti Gambar 11.
Terlihat pada Gambar 11 titik-titik model life table terpilih hampir seluruhnya tertutupi oleh model eksponensial logit dengan AHH sebesar 72.17 dan nilai koefisien determinasi sebesar 99.703%. Model ini juga mempunyai kemiripan paling tinggi dibandingkan dengan model fungsi sebaran Weibull, log-logistik dan gamma dalam menduga model kontinu untuk life table terpilih.
Oleh karena itu model eksponensial logit di atas digunakan untuk menduga parameter life table kontinu dari data asli menggunakan fitting model berdasarkan data asli. Didapatkan nilai parameter dan sehingga fungsi menjadi
Ketika model eksponensial logit dari data asli dibandingkan dengan data asli itu sendiri akan menghasilkan kurva seperti pada Gambar 12 berikut.
Terlihat pada Gambar 12 model eksponensial logit dari data asli yang dibandingkan dengan data asli itu sendiri memiliki pola yang cenderung berbeda pada umur-umur awal, tetapi pada umur di atas 60 tahun memiliki pola yang mirip, dengan koefisien determinasi sebesar 91.11% dan AHH 72.28. Sedangkan
Gambar 11 Plot dari life table terpilih dan eksponensial logit
29 untuk model eksponensial logit yang didapat dari life table terpilih dibandingkan dengan model eksponensial logit yang didapat dari data asli menghasilkan pola sebagai berikut.
Terlihat pada Gambar 13 bahwa model eksponensial logit dari life tbale dugaan dan dari data asli memiliki pola yang berbeda tetapi memiliki angka harapan hidup (AHH) yang tidak jauh berbeda yaitu hanya selisih 0.34 poin. Pola model eksponensial logit dari data asli lebih menggambarkan pola sebenarnya yang terjadi di Indonesia, yaitu pada umur 80 tahun ke atas jumlah orang yang bertahan sudah mulai sedikit yaitu sekitar 0.11%, sedangkan pada model eksponensial logit dari life table terpilih terdapat sekitar 1.70% perempuan yang bertahan hidup di atas umur 80 tahun.
SIMPULAN
Berdasarkan hasil pendugaan mortalitas anak perempuan yang kemudian dikombinasikan dengan life table perempuan dewasa menggunakan data sensus oleh Purwianti (2014) didapatkan empat kombinasi life table, selanjutnya dipilih
life table yang paling mirip polanya dengan data asli. Dari hasil analisis didapatkan life table terpilih yaitu life table perempuan dewasa menggunakan proyeksi akumulasi dikombinasikan dengan mortalitas anak yang diduga menggunakan data yang diklasifikasikan menurut kelompok umur ibu dengan AHH 69.72. Pendugaan model kontinu dari life table terpilih menggunakan sebaran Weibull, log-logistik, gamma dan eksponensial menghasilkan bahwa model eksponensial logit memiliki koefisien determinasi paling tinggi jika dibandingkan dengan model kontinu dari sebaran lain yaitu 99.703% dengan
AHH 72.17. Dapat disimpulkan bahwa model eksponensial logit paling baik menduga model kontinu dari life
table penduduk perempuan Indonesia. Kemudian model tersebut digunakan untuk menduga parameter dari data asli untuk mendapatkan model kontinu dari data asli. Hasil analisis menunjukkan bahwa koefisien determinasi model eksponensial logit dari data asli adalah 91.11% dengan AHH 72.28. Hasil ini tidak jauh berbeda jika
30
dibandingkan dengan hasil fitting menggunakan life table terpilih, yaitu hanya selisih 0.11 poin. Keunggulan model hasil fitting menggunakan data asli adalah mampu menghasilkan pendugaan probabilitas bertahan hidup umur 80 tahun ke atas yang mendekati keadaan sebenarnya. Dengan demikian dapat dikatakan model eksponensial logit tersebut di atas cukup baik untuk menduga life table
perempuan penduduk Indonesia. Jadi life table perempuan Indonesia dapat disusun menggunakan model eksponensial logit tanpa harus melakukan proyeksi menggunakan life table Coale-Demeny.
DAFTAR PUSTAKA
Agresti A, Barbara F. 1986. Statistical Methods for the Social Sciences. Ed. Ke-2. California. Dellen Publishing Company
[BPS 2010] Badan Pusat Statistik. 2010. Sensus penduduk 2010 [Internet]. [diacu 2014 Juli]. Tersedia pada: http:// sp2010.bps.go.id.
[BPS 2009a] Badan Pusat Statistik. 2009. Profil Kesehatan Indonesia. 2008. Jakarta (ID): BPS.
[BPS 2009b] Badan Pusat Statistik. 2009. Profil Komuter Hasil SUPAS 2005.
Jakarta (ID):BPS.
Brown RL. 1997. Introduction to the Mathematics of Demography. Connecticut (USA): ACTEC Publications Inc.
[DIESA] Department of International Economic and Social Affairs. 1983. Manual X: Indirect Techniques for Demographic Estimation. New York (US) : United Nation.
Fajariyah S. 2009. Analisis Model Peluang Bertahan Hidup dan Aplikasinya. Tesis. Sekolah Pascasarjana-IPB.
Gill PE, Murray W, Wright MH.1981. Practical Optimization. USA: Academic Press, Inc.
Keyfitz N. 1968. Introduction to the Mathematics of Population. Cambridge, MA: Addison Wesley.
Lee, E.T. 1992. Statistical Methods for Survival Data Analysis. Ed ke-2. New York: A Wiley Interscience Publication.
Purwianti T. 2014. Pendugaan Life Table Penduduk Perempuan Indonesia berdasarkan Data Sensus. Skripsi. Departemen Matematika FMIPA-IPB. Schoen R, Romo VC. 2005. Changing Mortality and Average Cohort Life
Expectancy. Demographic Research.13:117-142.
31
32
Lampiran 1 Populasi perempuan berdasarkan sensus dan populasi adjusted perempuan tahun 2000, populasi perempuan tahun 2010 dan cohort survivorship ratio, , Indonesia (Purwianti, 2014)
10-14 9992824 9979185 11008664 1.101636 15-19 10500169 10485838 10266428 1.021892 20-24 10020637 10006960 10003920 1.002479 25-29 9510433 9497453 10679132 1.018434
30-34 8195418 8184232 9881328 0.987446
35-39 7471386 7461189 9167614 0.965271
40-44 6034410 6026174 8202140 1.002188
45-49 4568753 4562517 7008242 0.939293
50-54 3593783 3588878 5695324 0.945098
55-59 2795438 2791623 4048254 0.887285
60-64 2723943 2720225 3131570 0.872576
65-69 1898735 1896143 2468898 0.884395
70-74 1468847 1466842 1924872 0.707615
75+ 1459459 1457467 2228308 0.295505
Jumlah 100301136 100164238 118010413
33 55 0.78144 0.81788 0.85396 0.88787 0.91928 0.94708 60 0.73337 0.77205 0.81090 0.84926 0.88619 0.92052 65 0.66444 0.70531 0.74697 0.79063 0.83458 0.87767 70 0.56775 0.60893 0.65181 0.69978 0.75048 0.80330 75 0.43751 0.47580 0.51668 0.56597 0.62087 0.68201 80 0.28442 0.31485 0.34825 0.39182 0.44318 0.50461 Lampiran 3 Pendugaan model kontinu dengan sebaran Weibull menggunakan
Mathematica 9.0 data1=Import[“D:\\Data.xlsx”]; model1=a1 Exp[-(x/a2)^a3];
fit1=FindFit[data1,{model1,{a1>0,a2>0,a3>0}},{a1, a2,a3},x] {a10.959137,a277.6521,a39.57144}
plotdata1=ListPlot[data1,Axes->True,AxesLabel->{Umur x,Banyak orang pada umur x },PlotLegends{"Data"}];
m1[x_]:=a1 Exp[-(x/a2)^a3]/.fit1;
plotmodel1=Plot[M1[x],{x,0,115},PlotLabel->"Model
Penuh",PlotRange{{0,115},{-0.1,1.1}},Frame False,FrameLabel->{Umur x,Banyak orang pada umur x },PlotLegends{"Weibull"}]; Show[plotdata1,plotmodel1];
Lampiran 4 Pendugaan model kontinu dengan sebaran log-logistik menggunakan Mathematica 9.0
model2=a1/(1+-a2 xa3);
fit2=FindFit[data1,{model2,{a1>0,a2>0,a3>0}},{a1,a2,a3},x] {a10.951955,a261.8473,a314.3558}
M2[x_]:=a1/(1+-a2 xa3)/.fit2;
plotmodel2=Plot[M2[x],{x,0,120},PlotLabel->"Model
Penuh",Axes->True,AxesLabel->{Umur x,Banyak orang pada umur x },PlotLegends {"Log-logistik"}]
34
Lampiran 5 Pendugaan model kontinu dengan sebaran eksponensial menggunakan Mathematica 9.0
data2=Import[“D:\\Data2.xlsx”];
plotdata2=ListPlot[data2,PlotLegends{"Data"},AxesLabel->{Umur x,Logit}] model1=a1 Exp[a2 xa3]-a4;
fit1=FindFit[data2,{model1,{0<a1<1,0<a2<1,0<a3<2,a4>0}},{a1,a2,a3,a4},x] {a10.0116226,a20.312694,a30.646669,a41.81989}
M1[x_]:=a1 Exp[a2 xa3]-a4/.fit1
plotmodel1=Plot[M1[x],{x,1,115},PlotLabel->"Model Penuh",Frame->True,FrameLabel->{umur[x],Logit},PlotLegends{"Eksponensial"}]; Show[plotdata2,plotmodel1,Axes->True,AxesLabel->{Umur x,Logit }] Lx[x_]:=1/(Exp[2M1[x]]+1);
Lxplotmodel1=Plot[Lx[x],{x,0,115},PlotLabel->"Model Penuh",Axes->True,AxesLabel->{Umur x,Logit },PlotLegends{"Eksponensial"}]
Show[plotdata1,Lxplotmodel1,Axes->True,AxesLabel->{Umur x,Banyak orang berumur x }]
Lampiran 6 Pendugaan model kontinu dengan sebaran gamma menggunakan Mathematica 9.0
data3=Import[“D:\\Data3.xlsx”];
plotdata3=ListPlot[data3,PlotRange {{0,115},{0,0.4}},Axes->True,AxesLabel->{Umur x,f[x] },PlotLegends{"Data"}]
model3=(a1 xa2-1 Exp[-x/a3])/(a3a2 Factorial[a2-1]);
fit3=FindFit[data3,{model3,{a1>1,1<a2<100,0<a3<1}},{a1, a2,a3},x] {a14.38394,a2100.,a30.738245}
M3[x_]:=(a1 xa2-1 Exp[-x/a3])/(a3a2 Factorial[a2-1])/.fit3;
35
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 19 Agustus 1992. Penulis adalah anak ketiga dari tiga bersaudara dari pasangan Jubaidi dan Adini Setianingrum. Pendidikan formal yang ditempuh penulis yaitu pada tahun 1998 di SDN 2 Larangan Selatan dan lulus tahun 2004.
