SYARAT PERLU M EN GKON STRUKSI KAN RELASI EKI V ALEN SI PAD A RI N G TI D AK KOM UTATI P
ELV I N A H ERAW ATY
Ju r u sa n M a t e m a t ik a
Fa k u lt a s M a t e m a t ik a D a n I lm u Pe n ge t a h u a n Ala m
Abst r a k
Diket engahkan m et ode m em perluas him punan bilangan bulat Z ke him punan
bilangan r asional Q dengan m et ode r elasi ekivalensi pada r ing yang t idal kom ut at ip.
I . Pe n ga n t a r
1 .1 La t a r Be la k a n g
Salah satu metode memperluas himpunan bilangan bulat Z ke himpunan bilangan rasional Q adalah dengan mendefinisikan relasi ‘~’ pada Z x Z\ {O} sebagai berikut:
(a, x) -(b, y) <=> ay = bx untuk setiap (a, x) dan (b, y) E Zx Z \{O}.
Relasi '~' merupakan relasi ekivalensi. Oleh karena itu pada Z x Z\{O} terjadi
koset-koset (klas-klas ekivalensi) yang saling asing, ditulis dengan
a / x = { ( b, y) E Z X Z\ { O} : ( a, x) - ( b, y) }
Misalkan Q(Z) merupakan koleksi semua koset yang memuat (a, x) ditulis
Q( z) = { a/ x: ( a, x) E Zx Z\ { O} }
Dan apabila didefinisikan operasi penjumlahan (+) dan perkalian (.) sebagai berikut
a/ x + b / y= ( ay+ bx) / ( xy) dan a/ x. b / y= ( ab) / ( x y)
Maka diperoleh (Q( z ), +, .) adalah ring. Tetapi Q( Z) bukan hanya ring melainkan merupakan lapangan bilangan rasional .Dengan kata lain Q( Z) = Q.
Hal diatas dapat kita perluas untuk ring prim yang komutatip dan
1 .2 Pe r u m u sa n M a sa la h
Berdasarkan latar belakang diatas, untuk ring tidak komutatip, persoalan
menjadi berbeda, relasi '~' menjadi tidak ekivalen.
1 .3 Tu j u a n Pe n u lisa n
Adapun maksud dan tujuan penulisan ini adalah membahas teorema Ore,
yang akan memberikan syarat tambah agar relasi '~' pada permasalahan menjadi
relasi ekivalensi.
1 .4 Tin j a u a n Pu st a k a
Penulisan ini mengangkat pembuktian teorema Ore yang diambil dari
Passman (1990).
1 .5 La n da sa n Te or i
Bagian ini memberikan definisi dan teorema yang tidak dibuktikan, sebagai
penunjang teorema yang terdapat dalam pembahasan.
D e fin isi 1 : Diberikan R suatu ring dan elemen r E R disebut r egular jika terdapat r ' E R dengan r r 'r = r dan elemen a E R disebut inver t ibel jika R mempunyai unit dan
terdapat b E R dengan
ab = ba = 1.
D e fin isi 2 : E suatu R-modul disebut M-injektif jika setiap digram berikut O K M
E
dengan baris eksak dapat diperluas secara komutatip oleh suatu morphisma M E.
Monomorphisma f : K M disebut essential, jika Imf essential di M. Dengan kata
Untuk E suatu R - modul injektif, bersama – sama dengan
monomorphisma essential
i : M E disebut hull infekt if dari M, ditulis E = E (M)
Le m m a 3 : Diberikan E suatu hull injektif dari M, H = EndR(ER)={f : ER ER : ER
suatu R – modul kanan} maka (H,+,.) adalah ring dan E = H – modul kiri.
D e fin isi 4 : Qmax (R ) = EndH (HE) = {f : HE HE : HE suatu H- modul kiri} disebut
ring kuosien maksimal dan R ⊆ Qmax (R)
D e fin isi 5 : Jika I suatu ideal kanan dari R dan χ ∈ R maka r esidual x- 11
didefenisikan sebagaii x- 11 = { r ∈ R : x r ∈ I }
Le m m a 6 : jika I suatu ideal kanan dari R dan χ∈ R maka χ- 1 I ideal kanan dari R.
D e fin isi 7 : Jika A himpunan bagian dari R, maka 1.annR (A) = 1.ann (A) = {r∈R: r A= 0} disebut annihilat or kiri dari A, dan elemen r ∈ R regular jika dan hanya
jika 1.annR (r) – r.annR(r) ={0}.
Jika D seberang ideal kaan dari D disebut dense jika dan hanya jika 1.ann
R(x
-1
D)=0 untuk setiap
χ
∈
R
Le m m a 8 : Diberikan D ideal kanan dense dari R dan I ideal kanan R. Jika I ⊇ D maka ideal I adalah dense.
Le m m a 9 : Diberikan D ideal kanan dari R, dan E hull injektif dari R. Maka D adalah dense dan hanya jika 0 = 1.annE (D)
I I . Pe m ba h a sa n
Pada bagian ini diberikan R suatu ring dan T himpunan bagian dari R yang
tertutup terhadap perkalian, hal ini berarti 1 ∈T dan jika a, b ∈ T maka ab ∈ T. Dari
sini diperoleh definisi berikut
D e fin isi 1 0: Diberikan ring R dan T himpunan bagian dari elemen-elemen regular di R yang tertutup terhadap perkalian, RT-1 disebut ring kuosien kanan dari R jika :
1. RT-1 adalah ring yang memuat R dengan identitas 1
2. Setiap elemen dari Tadalah invertibel di RT –1
Tidak seperti situasi untuk ring R komutatip, RtI tidak selalu dapat dibentuk,
untuk itu diperlukan syarat tambahan. Misalkan terdapat RTI dan diberikan sebarang
r ∈ R dan t ∈ T. Maka r , t - 1 ∈ RT I . Jadi t -1 r ∈ RTI. Dari (3) berakibat t -1 r = r l t l–1
untuk suatu rl ∈ R dan ti ∈ T. Apabila masing-masing sisi dikalikan dengan t dan tl,
maka diperoleh rtl = rlt, yaitu suatu persamaan dalam R. Untuk itu diperoleh definisi
berikut
D e fin isi 1 1 : Diberikan T himpunan elemen-elemen regular dari ring R yang tertutup terhadap perkalian. T disebut denom inat or kanan jika setiap r ∈ R dan t ∈ T
terdapat rl∈ R dan tl ∈T terda
Pat r1 ∈ Rdan t1 ∈ T dengan rtl = tri
Le m m a 1 2 :: Diberikan T himpunan elemen-elemen regular dari ring R yang tertutup terhadap perkalian. Jika terdapat RT I maka T adalah denominator kanan.
Kebalikan lemma diatas tidak berlaku, agar berlaku diperlukan lemma berikut
Le m m a 1 3 : Diberikan T himpunan denominator kanan dari R. dan misalkan S suatu ring yang memuat R dengan sifat setiap elemen t ∈ T adalah invertibel di S. Jika RTI
⊆ S didefinisikan sebagai RTI = {rt-1 : r ∈ R dan f ∈ T}, maka : 1. T1 R ⊆ RT1
2. RT1 adalah subring dari S yang memuat R
3. Sebarang jumlah yang berhingga dari elemen-elemen dari RT-I dapat
Pilih S1 = r1r ∈ r1 R dan t ∈ T dengan ri t --1 = S1t-1
(iii) Akan ditunjukkan RT1 subring dari S yang memuat R.
Ambil r1 t1 –1 ∈ RT 1, maka r1 t1 –1 = s1 t-1 dan r2 t –1 = s2 t-1 bekerja hanya
di R. Oleh karna itu r1 t1-1 + r2 t-1 = (s1 + s2 )t –1 juga anggota RT –1
Yang berarti RT-1 tertutup dibawah penjumlahan dan penjumlahan ditetapkan di R..
Karena RT-1 adalah ring maka jika r1t1-1 ∈ RT-1 maka – (r1t1 –1 ) ∈ RT-1 selanjutnya
Selanjutnya ambil e ∈ E sebarang .Karena r.annR(t) = 0, fungsi σ: t R → E dengan
aturan perkawanan tr→ er adalah well defined R-homomorphisma. Karena E injektif, σ diperluas ke fungsi p: R→ E dan karena itu e = σ (t) = p(t) = p(1) t ∈ Et.
Dengan kata lain E = Et.
Terakhir karena E = Et dan l.annE(t) = 0 .Bentuk fungsi ϕ : E → E dengan
aturan et → e. Dapat ditunjukkan ϕ well definend dan merupakan endomorphisma
H-modul kiri dari E. Jadi ϕ ∈ Qmax(R). Selanjutnya (et) σ = e untuk setiap e ∈ E dan
(f) σ t = ft = f untuk setiap f ∈ Et = E.. Hal ini berarati tσ =σt = 1. Jadi t-1 = σ ∈ S.
Ru j u k a n
1. C. Musili, I nt r oduct ion t o Ring and Modules, Narosa Publishing House, New Delhi,
1992
2. D.S. Passman, A Course in Ring Theory, Mathematics series, 1990
3. R. Wisbauer, Modul and Algebra, University of Dusseldorf, 2000
