HUBUNGAN ANTARA GRAF TIDAK KOMUTATIF DAN GRAF PRIMA PADA GRUP BERHINGGA TIDAK KOMUTATIF

HUBUNGAN ANTARA GRAF TIDAK KOMUTATIF DENGAN GRAF PRIMA PADA GRUP BERHINGGA TIDAK KOMUTATIF

(Skripsi)

Oleh AHMAD ANTONI

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

ABSTRACT

ON THE RELATION BETWEEN THE NON-COMMUTING GRAPH AND PRIME GRAPH OF NON-ABELIAN FINITE GROUP

By

AHMAD ANTONI

Given a non-abelian finite group �. Let � � be the center of group �. Non-commuting graph of group � is graph with vertex set �\� � where distinct non- central element and from group � are joined by an edge if only if ≠ . Let � � denote the set of prime divisors of the order group �. Prime graph of group � is vertex set � � where distinct prime and are joined by edge if only if group � contains an element order . Let � and be non- abelian finite group with isomorphic non-commuting graph and |� � | = |� | then group � and have the set of orders of maximal abelian subgroup � � = � and the same prime graph �� � = �� .

ABSTRAK

HUBUNGAN ANTARA GRAF TIDAK KOMUTATIF DAN GRAF PRIMA PADA GRUP BERHINGGA YANG TIDAK KOMUTATIF

Oleh

AHMAD ANTONI

Diberikan grup berhingga yang tidak komutatif �. Misalkan � � adalah center dari grup �. Graf tidak komutatif dari grup � adalah graf dengan himpunan vertex �/� � dimana untuk setiap elemen dan yang bukan center dari grup � dihubungkan dengan suatu garis jika dan jika ≠ . Misalkan � � adalah himpunan pembagi prima dari orde grup �, graf prima dari grup � adalah graf dengan himpunan titik � � dimana dua bilangan prima dan dihubungkan dengan suatu garis jika dan hanya jika grup � memuat elemen dengan orde . Misalkan graf tidak komutatif �(Γ � ) isomorfis dengan graf tidak komutatif (Γ ) dan |� � | = |� | maka grup � dan mempunyai himpunan orde subgrup maksimal komutatif yang sama � � = � dan mempunyai graf prima yang sama �� � = �� .

MOTO

“

Kemarin adalah sejarah, hari ini adalah Anugrah , Esok

adalah Misteri ”

“

Berangkat dengan penuh keyakinan. Berjalan dengan penuh

keikhlasan. Istiqomah dalam menghadapi cobaan. YAKIN,

IKHLAS, ISTIQOMAH

”

“

Jangan lihat masa lampau dengan penyesalan; jangan pula

lihat masa depan dengan ketakutan; tapi lihatlah sekitar

anda dengan penuh kesadaran ”

" Musuh yang paling berbahaya di atas dunia ini adalah

penakut dan bimbang. Teman yang paling setia, hanyalah

keberanian dan keyakinan yang teguh."

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Kalirejo, Negeri Katon Pesawaran pada tanggal 2 Desember 1991, anak kedua dari lima bersaudara pasangan Bapak Jupran dan Ibu Asmawati.

Pendidikan formal dimulai dari pendidikan dasar di SD Negeri 1 Kalirejo pada tahun 1997 dan diselesaikan pada tahun 2003, dilanjutkan ke pendidikan tingkat menengah pertama di SMP Negeri 2 Negeri Katon dan diselesaikan pada tahun 2006. Kemudian dilanjutkan ke pendidikan tingkat menengah di SMA Negeri 1 Gading Rejo Pringsewu diselesaikan pada tahun 2009. Setelah lulus dari SMA, penulis bekerja selama dua tahun sebagai pegawai honorer di Kantor Pelayanan Kekayaan Negara dan Lelang Bandar Lampung. Pada tahun 2011, penulis melanjutkan studi ke perguruan tinggi di Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN.

Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah menjadi Anggota Muda Gematika HIMATIKA FMIPA dan menjadi Kepala Bidang Kaderisasi HIMATIKA FMIPA pada tahun 2012-2013. Pada tahun ketiga, Penulis diberikan amanah menjadi Ketua Umum HIMATIKA FMIPA 2013-2014. Selain aktif dalam berbagai kegiatan kampus di lingkungan FMIPA , Penulis juga selalu mendapatkan beasiswa PPA dan beasiswa BBM.

PERSEMBAHAN

Bismillahirrohmanirrohim

Dengan Rahmat Allah yang Maha Pengasih Lagi Maha Penyayang, Dengan ini saya persembahkan karya ini kepada :

1. Orang-orang yang sangat spesial yaitu kedua orangtuaku Bapak Jupran dan Ibu Asmawati, Kakakku Aswan Irawan dan Adik-adikku Liana, Desta

dan Hafiz yang sangat aku sayangi dan aku cintai.

2. Orang yang ada di hati dan berarti dalam kehidupanku “ Lia Lionita ”.

SANWACANA

Alhamdulillahi robbil ‘alamin, puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah

SWT atas izin ridho-Nya dalam menyelesaikan skripsi ini. Shalawat juga salam atas Nabi Muhammad SAW, tuntunan dan tauladan utama.

Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak dukungan, kritik, dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Ahmad Faisol, S.Si., M.Sc. selaku dosen pembimbing utama yang telah meluangkan waktu dari padatnya kesibukan beliau untuk membimbing dan mengoreksi, hingga skripsi ini selesai.

2. Ibu Dr.Asmiati., S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing pembantu yang telah banyak membantu dan memberikan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini.

3. Ibu Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D. selaku dosen penguji bukan pembimbing yang memberi penulis masukan dan saran.

4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

5. Bapak Warsono, Ph.D selaku pembimbing akademik.

7. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.

8. Bapak, Ibu, Kakak Iwan, Liana, Desta dan Hafiz yang telah memberikan dukungan secara finansial dan moril, mengirimkan doa, nasehat dan semangat yang sangat membantu selama penyusunan skripsi.

9. Rekan-rekan presidium dan pimpinan HIMATIKA FMIPA 2013-2014 ,Tiwul, Rizka, Dias, Riyama, Selvi, Anwar, Audi, Joko, Ekazul, Gusti, Khairil, Triani, Novia, Dian dan Sherly yang telah berjuang bersama-sama membesarkan HIMATIKA.

10. Tempat khusus untuk Lia Lionita yang selalu ada di hati dan terus memberikan semangat sampai selesainya skripsi ini.

11. Teman curhat dan maen abang Erick , adek Reno dan seluruh teman – teman Math 11 serta keluarga besar HIMATIKA FMIPA Universitas Lampung.

12. Semua pihak yang telah membantu selama ini, yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Bandar Lampung, Februari 2015 Penulis

DAFTAR TABEL

Tabel halaman

2.1 Contoh graf Prima �� � ... 15

2.2 Tabel Cayley grup Dihedral �₆ ... 16

2.3 Tabel Cayley grup Simetri � ... 18

4.1 Tabel Cayley grup Simetri �₈ ... 26

DAFTAR GAMBAR

Gambar halaman

2.1 Graf dengan � � = {� , � , � , � } dan � = {� , � , � , � } ... 12

2.2 � isomorfis dengan � tapi tidak isomorfis dengan � ... 13

2.3 Graf dengan � = { � , � , � , � , � , �₆, � } ... 13

2.4 Graf prima �� ... 14

2.5 Graf tidak komutatif grup �₆ ... 17

2.6 Graf tidak komutatif grup � ... 18

4.1 Graf tidak komutatif pada grup �₈ ... 26

4.2 Graf tidak komutatif pada grup � ... 28

4.3 Graf Prima �� �₈ ... 29

DAFTAR SIMBOL

� ℝ Himpuan matriks atas bilangan real dengan ukuran ��� � �, ℝ Grup matriks ��� yang dapat di balik (General Lineral )

�,∗ Grup � dengan operasi *

Grup siklik dengan pembangun

≅ Isomorfis

Γ G Graf tidak komutatif dari grup � � � Graf prima dari grup �

� Himpunan orde subgrup maksimal komutatif dari grup � Himpunan bebas maksimal

Subgrup maksimal komutatif ∈ Anggota atau elemen

∃ Tedapat atau beberapa ∀ Setiap atau semua

� Vertex atau himpunan titik Edge atau himpuanan garis ≠ Tidak sama dengan

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Secara historis aljabar dapat dibagi menjadi dua periode waktu dengan batas waktu sekitar tahun 1800. Aljabar yang dibicarakan sebelum abad ke-19 disebut aljabar klasik, sedangkan aljabar setelah abad ke-19 hingga sekarang disebut dengan aljabar modern atau sruktur aljabar. Struktur aljabar adalah himpunan atau beberapa himpunan yang dilengkapi dengan suatu operasi atau lebih yang

memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Grup adalah salah satu contoh struktur aljabar.

Grup adalah suatu himpunan dengan operasi biner yang memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Berdasarkan jumlah elemen-elemennya, grup dibagi menjadi dua yaitu grup hingga ( finite group) dan grup tak hingga (infinite group). Grup hingga adalah grup yang elemennya berhingga sedangkan grup tak hingga adalah grup yang jumlah elemen-elemennya tak hingga.

2

terkenal di Eropa. Masalah jembatan Konisberg dapat dinyatakan sebagai berikut : terdapat empat daerah yang terletak di tepi sungai Pregel, Rusia yang

dihubungkan dengan tujuh jembatan. Masalah dimulai ketika seseorang ingin melewati tujuh jembatan yang menghubungkan empat daerah tersebut tepat satu kali dan kembali ke tempat semula. Masalah tersebut diselesaikan oleh Euler dengan menyatakan daerah sebagai titik atau vertex dan jembatan dinyatakan sebagai garis atau edge.

Teori graf dapat didekati dengan pendekatan secara aljabar. Pendekatan ini dilakukan dengan mengkaji sifat-sifat yang ada di dalam graf tersebut. Sebagai contoh adalah graf prima dan graf tidak komutatif.

Graf tidak komutatif adalah suatu graf yang dibangun dari suatu grup dengan himpunan titiknya adalah elemen dari suatu grup dikurangai dengan center dari grup tersebut. Kemudian setiap titik dihubungkan dengan suatu garis jika dan hanya jika untuk setiap elemen dari grup tanpa center bersifat tidak komutatif. Graf Prima adalah suatu graf yang dibangun dari suatu grup dengan himpunan titik adalah himpunan pembagi prima dari dua bilangan prima berbeda dan

dihubungkan dengan suatu garis jika dan hanya jika grup tersebut memuat elemen dari hasil kali dua bilangan prima tersebut.

Pada tahun 2006, Abdollahi meneliti tentang sifat-sifat graf tidak komutatif diantaranya : jika diberikan dua grup berhingga yang tidak komutatif � dan sedemikian sehingga graf tidak komutatif Γ � ≅ Γ , maka mempunyai sifat ℘ apabila � juga mempunyai sifat ℘ dan orde dari � sama dengan orde dari

3

komutatif dari suatu grup berhingga � yang tidak komutatif tidak terhubung dengan suatu garis jika dan hanya jika graf prima � tidak terhubung dan center dari � adalah satu.

Dari pengertian graf tidak komutatif dan graf prima serta penelitian – penelitian

yang sebelumnya, penulis tertarik untuk mengkaji hubungan kedua graf tersebut berdasarkan kajian teori grup dan teori graf.

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah mengkaji hubungan antara graf tidak komutatif dengan graf prima.

1.3 Batasan Masalah

Penelitian ini hanya membahas tentang graf tidak komutatif dan graf prima pada grup berhingga tidak komutatif.

1.4 Manfaat Penelitian

II. TINJAUAN PUSTAKA

Pada bagian ini akan disajikan beberapa teori dasar yang digunakan sebagai landasan teori penelitian ini yaitu teori grup dan teori graf. Pada bagian pertama akan dibahas tentang teori grup.

2.1 Grup

Operasi penjumlahan pada himpunan bilangan bulat ℤ dapat dipandang sebagai suatu fungsi yang memetakan ℤ ℤ ke ℤ. Dengan kata lain, pasangan terurut

, ∈ ℤ ℤ akan dipetakan tepat satu kali ke + ∈ ℤ . Operasi penjumlahan

bilangan bulat ini merupakan salah satu contoh dari operasi biner. Diberikan himpunan tak kosong , operasi biner * pada himpunan didefiniskan sebagai suatu fungsi yang memetakan ke S. Untuk setiap , ∈ , ∗ , dinotasikan sebagai ∗ (Fraleigh,1999).

Contoh 2.1.1

1. Misalkan � ℝ adalah himpunan semua matriks bujur sangkar berorde 2 dengan unsur-unsurnya adalalah bilang real. Penjumlahan matriks “ + ”

adalah operasi biner pada � ℝ .

5

Pada himpunan bilangan bilangan bulat ℤ dengan suatu operasi biner +

(penjumlahan) dapat dilihat beberapa sifat yang terpenuhi di dalamnya. Salah satu sifatnya, penjumlahan bilangan bulat bersifat asosiatif. Di dalam himpunan

bilangan bulat terdapat bilangan 0 dengan sifat untuk sebarang bilangan bulat jika ditambahakan dengan 0, maka hasilnya adalah bilangan bulat itu sendiri. Sifat selanjutnya untuk sebarang bilangan bulat terdapat bilangan bulat lain yang apabila dijumlahkan hasilnya adalah 0. Sifat-sifat himpunan bilangan bulat tersebut memotivasi lahirnya konsep teori grup.

Suatu grup ,∗ adalah himpunan yang tertutup terhadap operasi biner * , sedemikian sehingga memenuhi aksioma-aksioma berikut :

1. Untuk semua , , ∈ berlaku ∗ ∗ = ∗ ∗ .

2. Terdapat suatu elemen identitas sedemikian sehingga untuk semua � , berlaku ∗ = ∗ = .

2. Misalkan S adalah matriks ukuran 2 x 2 dan didefinisikan

= { ; , , , ∈ }. Operasi penjumlahan matriks , +

6

3. Himpunan semua matriks berukuran � � yang dapat dibalik merupakan grup terhadap operasi perkalian matriks. Grup ini dinamakan general linear group berderajat � dan dinotasikan �, ℝ .

Dalam grup ( ,∗ terdapat himpunan bagian yang lebih kecil, sebagai contoh grup (ℤ, +) adalah himpunan bagian dari grup (ℚ , +). Hal ini mendasari pendefinisian dari suatu subgrup. Subgrup diartikan sebagai himpunan bagian dari suatu grup yang juga merupakan grup terhadap operasi yang sama.

Jika merupakan himpunan bagian dari grup yang tertutup pada operasi biner pada dan jika terhadap operasi biner yang sama pada , maka dikatakan

Dengan operasi biner yang sama + , merupakan grup sehingga

≤ ℤ .

7

Tidak semua grup ( ,∗ memiliki subgrup. Subgrup memiliki beberapa kriteria yang harus dipenuhi. Himpunan bagian dari grup merupakan subgrup jika dan hanya jika :

1. ≠ ∅

2. Untuk setiap , ∈ , − ∈ (Adkins dan Weintraub, 1992).

Contoh 2.1.4

1. Himpunan bilangan genap = { �|� ∈ ℤ } terhadap operasi penjumlahan adalah subgrup dari grup ℤ.

2. Diberikan grup � = { _� || | ≠ } terhadap operasi perkalian

Beberapa contoh grup berhingga yaitu grup Alternating _� , grup sederhana (simple group ), grup dihedral _� , grup tipe Lie Chevalley ( Lie Type

8

dan grup sporadic yang terdiri dari grup Mathieu � , � , � , � , grup Tits

( Tits Group) yang terdiri dari , , , , , � ,

, � _, � _{Suzuki ( Sz), grup Janko}

� , grup McLaughin (McL).

Contoh 2.1.6

1. Grup dihedral _� untuk � = , , , … , � adalah grup permutasi yang mempertahankan bentuk geometri dari segi-n beraturan terhadap rotasi dan pencerminan . Orde dari grup dihedral _� adalah sebanyak 2n. 2. Grup Alternating _� untuk � = , , , … , � adalah permutasi genap dari

grup simetri _� dengan orde sebanyak �! .

Selain orde grup, suatu elemen pada grup juga memiliki orde. Orde dari suatu elemen dalam suatu grup ,∗ adalah bilangan bulat positif terkecil �, sedemikian sehingga � = ( = , untuk perkalian) dan � = ( = 0, untuk penjumlahan). Bila tidak ada bilangan seperti � tersebut, maka orde dari unsur tersebut tak hingga ( Dummit, 2004).

Contoh 2.1.7

1. Z7 = {0,1,2,3,4,5,6} , Orde dari 2 dengan operasi penjumlahan adalah 7. 2. Orde himpunan { } pada grup adalah 4 = − , , , − .

9

Bila suatu grup ,∗ memenuhi sifat komutatif, yaitu ∗ = ∗ untuk setiap , ∈ , maka grup tersebut dinamakan grup komutatif. Selainnya disebut grup tidak komutatif (Fraleigh,1999).

Contoh 2.1.8

1. Himpunan = {− , , , − , , − , , − } terhadap operasi perkalian merupakan contoh dari grup tidak komutatif.

2. Himpunan = { , , , , , } terhadap operasi perkalian adalah contoh grup tidak komutatif.

3. Himpunan matriks � � dengan determinan sama dengan satu (SL (�, ℝ)) bersama dengan operasi biner perkalian matriks adalah contoh grup tidak komutatif.

Berdasarkan elemen-elemen yang membangun suatu grup , grup juga dapat dibangun oleh satu elemen dari grup itu sendiri yang disebut grup siklik. Jika adalah grup dan ∈ , ditulis

= { �_{|n ∈ ℤ }}

disebut subgrup siklik dari yang dibangun oleh . disebut grup siklik jika terdapat ∈ dengan = , disebut sebagai generator atau pembangun dari

( Dummit, 2004).

Contoh 2.1.9

1. Himpunan = { , − , , − } adalah grup bilangan kompleks terhadap

10

2. (ℤ, +) merupakan grup siklik dengan generator 1 dan -1 karena ℤ = {n(1) | n ∈ℤ} dan ℤ = {n(-1) | n ∈ℤ}.

3. ℤ , + adalah grup siklik dengan generator 1 atau 2 atau 3 atau 4.

Selanjutnya akan diperkenalkan keluarga subgrup dari sebarang grup ,∗ . Misalkan ,∗ suatu grup dan Z ⊂ , centralizer dari elemen dalam grup adalah himpunan semua elemen yang komutatif dengan , dinotasikan _� . Jadi _� = { ∈ | − = , ∀ ∈ ℤ}. Diberikan subgrup dari ,

centralizer dari subgrup adalah himpunan semua elemen yang komutatif dengan semua elemen dalam himpunan H, dinotasikan _� . Jadi _� =

{ � | ℎ = ℎ , ∀ ℎ ∈ } (Dummit, 2004).

Contoh 2.1.10

1. Misalkan suatu grup yang terdiri dari himpunan fungsi bijektif bernilai riil yang berbentuk + , dengan operasi biner komposisi fungsi. Misal

∈ , maka _� ={ , − }, dengan adalah fungsi identitas dan −

elemen yang komutatif dengan semua elemen , dinotasikan . Jadi

= { ∈ | = , ∀ ∈ }. Ekuivalen dengan irisan semua centralizer

11

Contoh 2.1.11

1. Center dari grup dihedral _� adalah { , �} untuk n berderajat genap. Jika n berderajat ganjil maka centernya adalah {1}.

2. Jika grup suatu grup yang berisi himpunan bernilai riil, maka =

{ }, dengan i adalah fungsi identitas sedemikian sehingga = , untuk

setiap ∈ .

Selanjutnya diperkenalkan juga subgrup maksimal komutatif dari suatu grup . Jika grup dan adalah subgrup , dikatakan subgrup maksimal komutatif dari jika :

1. adalah _� , dimana _� adalah centralizer dari pada 2. _� ≤ dan komutatif

3. komutatif jika dan jika ≤ �≤ dengan � komutatif, maka = �. (Chen, 2006).

Contoh 2.1. 12

Subgrup maksimal komutatif dari grup semetri = { � , � _, � }.

12

2.2 Graf

Sebuah graf = , didefinisikan sebagai pasangan terurut , dengan adalah himpunan berhingga yang tak kosong dan memuat elemen-elemen yang disebut vertex. ( mungkin kosong ) adalah himpunan elemen-elemen graf yang berupa garis yang disebut edge yang menghubungkan pasangan vertex

(Deo,1989).

Contoh 2.2.1 :

Gambar 2.1 Graf dengan = {� , � , � , � } dan = { , , , }

Dalam geometri, dua bangun atau bidang dikatakan ekuivalen (kongruen) jika keduanya memiliki bentuk yang sama. Begitupun dalam graf, dua graf dikatakan ekuivalen ( isomorfis) jika secara visual memiliki bentuk yang sama. Hal ini yang memotivasi munculnya konsep graf isomorfis.

Misalkan = , dan ’ = ’, ’ adalah dua graf terhubung, dan ’ dikatakan isomorfis dan ditulis ≅ ′ jika ada fungsi bijektif � ∶ → ′ dengan

, ∈ ∋ � � ∈ ′ untuk setiap , ∈ . Jika tidak isomorfis dengan

13

Contoh 2.2.2

Gambar 2.2 isomorfis dengan tapi tidak isomorfis dengan

dan isomorfis karena memiliki jumlah vertex dan edge yang sama serta setiap titiknya saling mempertahankan ketetanggaan. Sedangkan dan tidak isomorfis karena jumlah sisinya tidak sama.

Selain isomorfis, graf juga memiliki himpunan titik yang saling bebas atau yang biasa disebut independent set. Independent set adalah subset dari himpunan titik suatu graf , sedemikan sehingga dua titik pada subset graf tersebut tidak terhubung dengan sebuah garis (Herzt, 2005).

14

Jika dilihat dari unsur pembentuknya , graf dapat divisualisasikan dari suatu grup. Sebagai contoh yaitu graf prima dan graf tidak komutatif.

Graf Prima � dari suatu grup hingga adalah suatu graf dengan himpunan vertex � yaitu himpunan semua pembagi prima dari orde dan dua bilangan prima berbeda p dan q dihubungkan dengan suatu garis jika dan hanya jika memuat suatu elemen dengan orde pq (Abdollahi, 2006).

Contoh 2.2.4

1. Diberikan grup siklik = { , , , , , , … , , } . Orde dari grup adalah 30. Himpunan pembagi prima � = { 2, 3, 5 }.

Akibatnya diperoleh � = { , , } dan E ( � = { (2,3), (2,5), (3,5) }

Gambar 2.4 Graf prima �

2. Berikut akan ditampilkan beberapa contoh graf prima yang dibentuk dari berbagai macam grup berhingga seperti grup simetri _� , grup alternating

15

Tabel 2.1 Contoh graf prima �

Grup (G) Orde |G| Graf Prima �� �

6 = 2. 3 2 3

60 = 22. 3. 5 2 3 5

210 = 2. 3. 5. 7 2 3

5 7

2310= 2. 3. 5. 7. 11 11 2 3

5 7

. . . 2 3

5 7

13 73

� 7920 = . .5.11 2 3

5 11

. . . 2 3

5 7

16

Setelah definisi graf prima � , selanjutnya didefinisikan graf tidak komutatif

(Γ G ). Misalkan ,∗ adalah grup tidak komutatif berhingga, graf tidak

komutatif Γ G adalah suatu graf dengan himpunan titik (Γ G ) = \

adalah refleksi terhadap sumbu-sumbu simetri segi-enam sebanyak 6 kali. Adapun hasil operasi komposisi pada setiap elemen grup dihedral

dalam bentuk tabel Cayley dan diperoleh ={1, }, sehingga graf tidak komutatif dari grup memiliki himpunan titik-titik Γ_�6=

{ , , , , , , , , , , }. Kemudian hasil di atas

digambarkan ke dalam bentuk graf tidak komutatif pada Gambar 2.5

Tabel 2.2 Tabel Cayley Grup Dihedral

17

Gambar 2.5 Graf tidak komutatif grup 1

Dari tabel Cayley diatas diperoleh center ={1, }. Dengan menghilangkan center dari grup dihedral diperoleh Gambar 2.5

18

Tabel 2.3 Tabel Cayley grup simetri �

* � � � � � �

Dengan mengilangkan center dari simetri � = {� } didapatkan graf tidak komutatif sebagai berikut :

�

� �

� �

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2014-2015 di jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Lampung

3.2 Metode Penelitian

Penelitian ini menggunakan metode studi literatur. Adapun langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini yaitu sebagai berikut :

1. Diberikan grup berhingga tidak komutatif dan

2. Menentukan orde subgrup maksimal komutatif dari grup berhingga tidak komutatif dan

3. Mendefinisikan graf tidak komutatif dari grup berhingga

tidak komutatif dan

4. Menentukan center dari grup berhingga tidak komutatif dan 5. Menentukan himpunan bebas yang maksimal dari graf tidak komutatif

20

6. Mendefiniskan graf prima ( � ) dari grup berhingga tidak komutatif dan

7. Menunjukan bahwa jika Γ ≅ Γ maka orde himpunan bebas

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Dari pembahasan yang telah dilakukan dengan menggunakan Lemma 4.1 sampai Teorema 4.4 pada bab IV dapat disimpulkan bahwa jika terdapat grup berhingga

dan tidak komutatif dan kedua grup tersebut memiliki graf tidak komutatif

Γ ≅ Γ maka graf tersebut memiliki orde subgrup maksimal komutatif

yang sama yaitu � = � dan memilki graf prima yang sama yaitu

� = � .

5.2 Saran

Kajian teori tentang graf tidak komutatif dan graf prima adalah kajian baru dalam

penelitian teori grup dan teori graf. Jika pembaca tertarik dengan penelitian ini,

pembaca diharapkan agar bisa melanjutkan penelitian ini untuk mengkaji

karakteristik graf tidak komutatif dan graf prima pada grup berhingga yang tidak

DAFTAR PUSTAKA

Abdollahi, A.S. Akbari and H.R. Maimani. 2006. Non-commuting graph of a group, J. Algebra 298 no. 2, 468-492.

Adkins, W.A, Weintraub, S.H. 1992. Algebra An Approach Via Module Theory. Springer Verlay, New York.

Chen, G.Y. 2006. A characterization of alternating groups by the set of orders of their maximal abelian subgroups, Siberian Math. J. 47 no. 3, 594-596.

Deo, N. 1989. Graph Theory With Aplications To Engineering And Computer Science. Prentice-Hall, New Delhi.

Dummit, D.S , Foote, R.M. 2004. Abstract Algebra 3rd Edition. John Wiley and Son inc, III River Street, Hoboken.

Fraleigh, J.B. 1999. A First Course In Abstact Algebra. Sixth Edition. Addition Wesley Publishing Company, MC. Philippines.

Hertz, A.V.V. Lozin. 2005. The Maximum Independent Set Problem and Augmenting Graphs. Graph Theory and Combinatorial Optimization, 1:1-32.

Iranmanesh, A and A.Jafarzadeh. 2008. On the Commuting Graph Associated with symmetric and alternating group, J.Algebra Appl. 7 no., 129-146.