ABSTRACT
FACTORIZATION IN IDEAL RING QUADRATIC √ BY
M. CHALID FANSURY For a square free integer d other than 1
Let,
[√ ] { √ }
Next, K is called quadratic field and it has two variable set of rational number Q, the form number of K is,
{ √ }
and
{ √ }
For , set of ̅ and ̅ itself is called trace and norm from . Every ideal in that built by element Z is principal ideal. If an ideal in
has 1 element from Z that relatively prime, then that ideal is unit ideal. Then let (2) ideal in with and ideal ( can be factorized.
ABSTRAK
FAKTORISASI PADA IDEAL RING QUADRATIC √ OLEH
M. CHALID FANSURY Untuk bilangan bulat kuadrat bebas d selain 1
Misalkan,
[√ ] { √ }
Selanjutnya K disebuat lapangan kudratik dan memiliki dua variabel himpunan bilangan rasional Q, bentuk bilangan dari K adalah
{ √ }
dan
{ √ }
Untuk , himpunan ̅ dan ̅ masing-masing disebut
trace dan norm dari . Setiap ideal di yang dibangun oleh elemen Z adalah ideal utama. Jika sebuah ideal di mempunyai 1 elemen dari Z yang relative prima, maka ideal tersebut merupakan ideal unit. Kemudian misalkan (2) ideal di dengan dan ideal ( dapat difaktorkan.
FAKTORISASI PADA IDEAL RING QUADRATIC [√ ]
Oleh
M. Chalid Fansury
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
FAKTORISASI PADA IDEAL RING QUADRATIC
(Skripsi)
Oleh
M. CHALID FANSURY
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
i DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI ... i
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Masalah ... 1
1.2 Tujuan Penelitian ... 2
1.3 Manfaat Penelitian ... 2
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan ... 3
2.1.1 Bilangan Kuadrat Sempurna ………. 3
2.1.2 Bilangan Kuadrat Bebas ……… 4
2.1.3 Keterbagian Bilangan Bulat ……….. 5
2.1.4 Bilangan Prima ………. 8
2.2 Ring…….… ... 8
2.2.1 Daerah Integral ... 9
2.2.2 Unit ... 10
2.2.3 Bilangan Irreducible ... 10
2.2.4 Ideal... 11
ii 2.2.6 Ideal Prima ... 11 2.2.7 Daerah Faktorisasi Tunggal ... 12
2.3 Ring Quadratic √ ... 12
BAB III METODE PENELITIAN
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian ... 18 3.2 Metode Penelitian ... 18
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Konjugasi ... 19 4.2 Konsep Bilangan Bulat pada Lapangan Quadratik……… 23
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan ... 40 5.2 Saran ... 40
MOTO
Melakukan yang terbaik sepanjang hidup
(M. Chalid Fansury)
Kegagalan hanya terjadi jika kita menyerah dengan cepat, tanpa usaha yang keras
(Bill Gates)
Belajarlah dari kesalahan orang lain. Anda tak dapat hidup cukup lama untuk melakukan semua kesalahan itu sendiri.
PERSEMBAHAN
Dengan Mengucap puji dan syukur kehadirat Allah SWT
Kupersembahkan karya kecilku ini untuk :
Ayah, Ibu dan adik-adikku tercinta yang menjadi sosok inspirasiku dalam
bertingkah laku dan berfikir
Keluarga Besarku tercinta yang selalu memberikan
semangat untuk menyelesaikan skripsi ini
Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa,
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Medan pada tanggal 10 Desember 1994, sebagai anak pertama dari tiga bersaudara dari Bapak Chairunnas dan Ibu Siti Sundari.
Pendidikan Sekolah Dasar (SD) diselesaikan di SD Taman Harapan Medan pada tahun 2006, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP Perguruan Islam Al-Ulum Terpadu Medan pada tahun 2009, Madrasah Aliyah Negeri (MAN) di MAN 1 Medan pada tahun 2012.
SANWACANA
Alhamdulillah dengan rasa syukur kehadirat Allah SWT atas berkat rahmat dan karunia-Nya skripsi ini dapat diselesaikan.
Skripsi dengan judul “Faktorisasi Pada Ideal Ring Quadratic √ ” disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains (S.S.i.) di Universitas Lampung.
Selesainya penulisan skripsi ini, adalah juga berkat motivasi dan pengarahan serta bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan terima kasih banyak kepada:
1. Bapak Prof. Suharso, Ph. D. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
2. Ibu Dra. Dwi Asmi, M.Si., Ph. D. selaku Pembantu Dekan I Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
4. Bapak Drs. Tugiyono, M.Si., Ph.D selaku Pembantu Dekan III Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
5. Bapak Tiryono Rubby, M.Sc., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. 6. Bapak Muslim Ansori, S.Si., M.Si., Dr. selaku Sekretaris Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung sekaligus dosen pembimbing Akademik.
7. Bapak Amanto, S.Si., M.Si. selaku pembimbing I terima kasih atas segala bantuan dan waktunya untuk membimbing, memberi arahan, dan menasehati dalam penyelesaian skripsi ini.
8. Ibu Dra. Dorrah Azis, M.Si. selaku Dosen Pembimbing II terima kasih untuk bimbingan, kritik dan saran selama penyusunan skripsi ini.
9. Bapak Drs. Tiryono Rubby, M.Sc., Ph.D. selaku Dosen Penguji, atas kesediaannya untuk menguji, memberikan saran dan kritik yang membangun dalam proses penyelesaian skripsi ini.
10. Seluruh dosen dan karyawan Jurusan Matematika yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
11. Keluarga, ibu dan ayahku tercinta yang selalu memberikan semangat dan beliaulah yang selalu memberikan contoh terbaik dalam hidupku, terima kasih segalanya yang telah diberikan.
12. Adik-adikku yang telah memberi semangat disaat jenuh dan memberi semangat untuk bisa mengejar skripsi ini.
14. Sahabat-sahabat semasa SMA yang tetap saling mendukung sampai sekarang terimakasih atas semangatnya.
15. Kakak tingkat sekaligus sahabat, Wesly Agustin, Erick Rinaldy dan Asmawi yang tidak pernah ada bosannya tiap hari ketemu dan saling memberi semangat, serta membantu saya dalam memahami skripsi ini.
16. Sahabat-sahabatku 2012 (teman seperjuangan) Rendi, Taufik, Pras, Jorgi, Gio, Danar, Angger, Chandra, Anwar, Dwi, dan teman-teman angkatan 2012 yang tidak bisa disebutkan satu persatu terima kasih banyak semangatnya. 17. Sahabat-sahabat Kuliah Kerja Nyata (KKN) Tiyuh Tunas Asri Tulang
Bawang Barat, Arum Nilasari, Fransiska Meliana, Ivan Alfatih, Luna Lukvitasari, Netti, Rizki Aptriani, dan pegawai-pegawai di temapat saya Kerja Praktik (KP) di Bank BNI Syariah Medan.
18. Adik tingkat 2013 dan 2014 yang selalu memberi dukungan dan yang selalu memberi semangat saat di kampus dan diluar kampus.
19. Almamaterku tercinta Universitas Lampung.
Akhir kata, penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, akan tetapi besar harapan semoga skripsi yang sederhana ini dapat berguna dan bermanfaat bagi kita semua. Amin. Sekali lagi terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu menyelesaikan skripsi ini.
Bandar Lampung, 6 Februari 2016 Penulis
11111
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Faktorisasi adalah pecahan bilangan komposit yang terdiri dari bilangan-bilangan pembagi yang lebih kecil, dan hasil perkalian dari bilangan-bilangan-bilangan-bilangan tersebut sama dengan bilangan komposit yang disebutkan. Contohnya,
faktorisasi prima bilangan 84 adalah 2x2x3x7, di mana bilangan 2, 3 dan 7 adalah bilangan prima dan bilangan pembagi 84. Faktorisasi juga terdapat pada fungsi limit, suku banyak, aljabar dan lain-lain.
Faktorisasi yang kita kenal yaitu pada fungsi polinomial (bentuk aljabar). Faktorisasi fungsi maksudnya ialah menguraikan ruas utama fungsi tersebut menjadi bentuk perkalian ruas-ruas utama dari dua fungsi yang lebih kecil.
• f(x, y) = g(x, y). h(x, y)
• Persamaan 2x2– xy – y2 = 0
Faktorisasi persamaan di atas menghasilkan : (x – y) (2x + y) = 0
Faktorisasi di atas berlaku umum ( pada bilangan real). Selanjutnya akan di tinjau pada struktur ajabar , yaitu pada ring Q √ . Himpunan √ adalah subring dari ring bilangan kompleks dengan definisinya sebagai berikut
2
dengan merupakan bilangan rasional dan adalah sebarang bilangan bulat kuadrat bebas tak nol, yaitu bilangan kuadrat tak nol yang tidak habis dibagi dengan bilangan kuadrat yang lebih kecil selain 1. Ring √ merupakan DFT (Daerah Faktorisasi Tunggal), sehingga sifat – sifat dalam DFT seperti sifat elemen irreducibel prima dan lainnya,
Berdasarkan dari latar belakang masalah yang telah diuaraikan tersebut, penulis tertarik untuk melakukan penelitian tentang ”faktorisasi pada ideal ring
quadratic √ .”
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian tugas akhir ini adalah mengkaji faktorisasi pada ideal ring
quadratic √ .
1.3 Manfaat Penelitian
Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah
1. Menambah pengetahuan dan pengalaman penulis agar dapat mengembangkan ilmu yang diperoleh selama mengikuti perkuliahan di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
2. Upaya untuk mempelajari lebih dalam lagi tentang faktorisasi pada ideal ring quadratic √ .
3
II. TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah
integral, ring quadratic √ .
2.1 Bilangan
2.1.1 Bilangan Kuadrat Sempurna
Definisi 2.1.1.1 Bilangan kuadrat sempurna adalah suatu bilangan yang jika di akar (dipangkatkan setengah) hasilnya berupa bilangan asli ( Burton,1976).
Contoh.
Beberapa bilangan kuadrat sempurna 1, 4, 9, 16, 25, 36, … Banyak faktor dari bilangan kuadrat sempurna adalah ganjil. Karena ada satu pasang faktornya yang berpasangan dengan dirinya sendiri. Sehingga jumlah faktornya sebanyak
4
misalnya 9, faktor-faktornya adalah 1, 9 dan 3. Yang berpasangan adalah 1 dan 9, sedangkan 3 berpasangan dengan dirinya sendiri. Beberapa bilangan kuadrat sempurna yang pertama adalah1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,, …
2.1.2 Bilangan Kuadrat Bebas (square free integer)
Definisi 2.1.2.1
Square free adalah bilangan bulat yang tidak dapat dibagi oleh bilangan kuadrat sempurna kecuali 1 (Burton, 1976).
Contoh.
1. 10 adalah square free, karena 10 tidak habis dibagi dengan 4 dan 9 2. 18 bukan square free karena bisa dibagi
Barisan square free:
1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 38, 39, dan seterusnya.
Teorema 2.1.2.1. Bilangan bulat positif n dikatakan square free jika hanya jika faktor prima dari n tidak muncul lebih dari satu kali (Burton, 1976).
5
2.1.3 Keterbagian Bilangan Bulat
Definisi 2.1.3.1. Sebuah bilangan bulat b di katakan terbagi atau habis dibagi oleh bilangan bulat a ≠ 0jika terdapat bilangan bulat c sehingga b = ac, ditulis a |b.
Notasi a ł bdigunakan untuk menyatakan b tidak habis terbagi oleh a. Jadi 12 terbagi oleh 4 sebab 12 = 4 ·3, tetapi 10 tidak terbagi oleh 3 sebab tidak ada bilangan bulat c sehingga 10 = 3c, atau setiap bilangan bulat c sehingga 10 = 3c,
atau setiap bilangan bulat c berlaku 10 ≠ 3c. Dalam kasus ini ditulis 4 | 12 dan 3 ł 10 (Sukirman, 1997).
Istilah lain untuk a | b adalah a faktor dari b, a pembagi b atau b kelipatan dari a.
Bila a pembagi b maka–a juga pembagi b, sehingga pembagi suatu bilangan selalu terjadi berpasangan. Jadi dalam menentukan semua faktor dari suatu bilangan bulat cukup ditentukan faktor-faktor positifnya saja, kemudian
digabungkan dengan faktor negatifnya. Fakta sederhana yang diturunkan langsung dari definisi 2.1.3.1. adalah sebagai berikut:
a | 0, 1 | a, dan a | a untuka ≠ 0
Fakta a | 0 dapat dijelaskan bahwa bilangan 0 selalu habis dibagi oleh bilangan apapun yang tidak nol. Fakta 1 | a mengatakan bahwa 1 merupakan faktor atau pembagi dari bilangan apapun termasuk bilangan 0. Fakta a | a menyatakan bahwa bilangan tidak nol selalu habis membagi dirinya sendiri dengan hasil baginya adalah 1.
6
7
Pernyataan terakhir teorema 2.1.3.1 berlaku juga untuk terhingga banyak bilangan yang dibagi oleh , yaitu yaitu
8
Definisi 2.1.3.2. Misalkan a dan b dua bilangan bulat dengan minimal salah satunya tidak nol. Faktor persekutuan terbesar (FPB) atau greatest common divisor (gcd) dari a dan b adalah bilangan bulat d yang memenuhi
1. dan ,
2. Jika dan maka ,
Dari definisi 2.1.3.2, kondisi 1 menyatakan bahwa d adalah faktor persekutuan dan kondisi 2 menyatakan bahwa d adalah faktor persekutuan terkecil di antara semua faktor persekutuan yang ada. Selanjutnya, jika d faktor persekutuan terbesar dari a dan b akan ditulis d = gcd(a,b) (Sukirman, 1997).
2.1.4 Bilangan Prima
Definisi 2.1.5.1. Sebuah bilangan bulat P 1 disebut bilangan prima, jika dan hanya jika habis dibagi dengan 1 dan bilangan itu sendiri (Burton,1976).
2.2 Ring
Definisi 2.2.1.1 Misalkan himpunan sembarang tak kosong dan + serta • adalah sebarang dua operasi pada . Himpunan < , +, • > disebut ring jika:
1. < , + > grup abelian 2. Terhadap operasi • berlaku:
9
b. asosiatif ( 3. Terhadap operasi + dan • dipenuhi:
a. distributif kanan
b. distributif kiri (Fraleight, 2000 ).
Contoh :
1. Himpunan adalah ring.
2. Misal R adalah himpunan fungsi yang bernilai real dalam selang interval [0,
1]. Penjumlahan dan perkalian dari dua fungsi didefinisikan sebagai
berikut
, dan . Dengan
pendefinisian ini R merupakan ring.
2.2.1 Daerah Integral
Definisi 2.2.1.1. Ring komutatif dengan elemen satuan yang tak memuat pembagi nol disebut daerah integral (Fraleight, 2000 ).
10
2.2.2 Unit
Definisi 2.2.2.1. Misalkan adalah daerah integral dan 1 adalah elemen satuan di , merupakan unit jika dan hanya jika u membagi 1 sedemikian sehingga untuk suatu . Dengan kata lain, mempunyai invers
terhadap operasi perkalian pada ( Dummit, 2004 ).
Contoh. Elemen unit di adalah 1 dari -1.karena 1 ∣ 1 ( 1 = 1 . 1 ) dan karena -1 ∣ 1 ( 1 = ( -1 ) ( -1 ) ) 1 = u.
2.2.3 Bilangan Irreducible
Definisi 2.2.3.1. Misalkan dan bukan unit di daerah integral . dikatakan irreducible jika di , maka unit atau unit di (Dummit, 2004).
Contoh. Misalkan suatu daerah integral , irreducible dan saling berasosiasi . Karena
11
2.2.4 Ideal
Definisi 2.2.4.1. Suatu subring dari ring yang memenuhi dan untuk semua disebut ideal dari (Fraleight, 2000 ).
2.2.5 Ideal Maksimal
Definisi 2.2.5.1. Diberikan ring , ideal dari . disebut ideal maksimal jika a.
b. Untuk setiap ideal dalam dengan maka atau
,
tidak ada ideal lain yang memuat kecuali dirinya sendiri (Fraleight, 2000 ).
2.2.6 Ideal Prima
Definisi 2.2.6.1. Diberikan R ring komutatif dengan elemen satuan, N ideal dalam R. N disebut prima jika :
a.
b. Untuk setiap ;
12
2.2.7 Daerah Faktorisasi Tunggal (DFT)
Definisi 2.2.7.1. Adalah daerah integral yang setiap elemen tak nol yang bukan merupakan unit memenuhi:
1. dapat dinyatakan sebagai hasil kali berhingga dari elemen – elemen irreducible dari , yaitu
2. Jika juga dapat dinyatakan sebagai maka Dan assosiate dengan untuk
(Grillet, 2007).
2.3 Ring Quadratic Q[√ ]
Misalkan terdapat
[√ ] { √ }
Berikut ini akan ditunjukkan bahwa himpunan [√ ] dengan operasi penjumlahan dan perkalian membentuk ring.
Teorema 2.3.1. Jika diberikan himpunan [√ ] sebagai berikut [√ ] { √ }
17
( √ ) [( √ ) ( √ )]
( √ ) [ √ ]
√
√
√
√ √ √
√
11111
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilakukan di jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. Waktu penelitian dilakukan pada semester ganjil 2015-2016
3.2 Metode Penelitian
Dalam menyelesaikan tugas akhir ini, dilakukan dengan beberapa langkah. Langka-langkah yang digunakan dalam menyelesaikan tugas akhir ini adalah: 1. Menentukan Norm dan Trace pada ideal ring √ .
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan pada bab sebelumnya, maka dapat
diambil kesimpulan untuk √ dengan √ dan maka
dan , setiap ideal di yang dibangun oleh elemen
adalah ideal utama. Jika sebuah ideal di mempunyai 1 elemen dari yang
relatif prima, maka ideal tersebut merupakan ideal unit
(contoh ( √ ) ). Kemudian perkalian dua ideal
dan , yaitu
( ). Kemudian misalkan ideal di dengan
dan ideal dapat difaktorkan, maka faktorisasi idealnya yaitu:
dengan
5.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA
Andreescu, T., Andrica, D., Cucurezeanu, I. 2010. An Introduction to Diophantine Equetion.Birkhauser.
Burton, D. M. 1980. Elementary Number Theory. University Of New Hampshire. United State of Afrika.
Dummit, D.S., Foote, R.M. 2004.Abstract Algebra Third Edition.Y & Y. United States f America.
Fraleight, J.B. 2000.A First Course In Abstract Algebra. Sixth Edition. Addison Wesley Publishing Company, Inc. Phillipines
Grillet, P.A. 2007. Graduate Text in Mathematics. Second Edition.Springer. New York
