PENDEKATAN DISTRIBUSI KHI KUADRAT
DENGAN DISTRIBUSI GENERALIZED LOG-LOGISTIC (GLL)
Oleh
Kartika Candra Buana
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
ABSTRACT
APPROXIMATIONS OF CHI-SQUARE DISTRIBUTION TO GENERALIZED LOG LOGISTIC DISTRIBUTION (GLLD)
By
KARTIKA CANDRA BUANA
To examine the relation of a distribution with other distributions based on the moment generating function is established, the necessary concepts and theories that support of statistical sciences. Concepts or methods that can be used to perform the approach of the two distributions is to look value of moment generating function, by looking value of cumulative distribution functions, and the last is to use the theory of the central limit theorem. Generalized Log-Logistic Distribution (GLL) is a generalization of the log-logistic distribution with four parameters . Purpose of this study is approximation the Chi-square distribution with the generalized log-logistic distribution by looking value of moment generating function both of the distribution. Based on the result it can be concluded that the Chi-Square distribution can be approximated by the generalized log-logistic distribution.
DAFTAR ISI
2.2 Distribusi Generalized Log-Logistic (GLL) ... 7
2.3 Ekspansi Deret Maclaurin ... 9
4.2 Distribusi Khi-Kuadrat sebagai Bentuk Khusus dariDistribusi Gamma ... 17
4.3 Distribusi Gamma sebagai Kasus Limiting atau Distribusi Limit dari Distribusi GLL ... 18
xiv
4.3 Grafik Fungsi Distribusi ... 21
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan ... 27 5.2 Saran ... 28
I. PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Statistika merupakan ilmu yang mempelajari tentang bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasikan serta memperesentasikan suatu data. Pemodelan statistika telah banyak digunakan diberbagai bidang ilmu, seperti ilmu kedokteran, teknik, manajemen, industri, bisnis, ekonomi dan hampir semua bidang yang mencakup pengetahuan manusia. Model yang paling dasar dan banyak digunakan adalah distribusi peluang, yang berhubungan dengan nilai dari variabel pokok dalam menentukan peluang suatu kejadian. Untuk mengkaji hubungan suatu distribusi dengan distribusi lainnya berdasarkan fungsi pembangkit momen yang dibentuk, diperlukan konsep-konsep dan teori yang mendukung dari ilmu statistika.
2
Karakterisasi distribusi juga dapat dilakukan dengan melihat hubungan dari distribusi yang bersangkutan dengan distribusi lain yang sudah dikenal luas. Ojo dan Olapade (2003) telah membuktikan teorema hubungan antara distribusi GLL dengan distribusi t dan F. Distribusi generalized log-logistic (GLL) merupakan salah satu model perumuman yang memiliki potensi yang baik untuk menyesuaikan dengan data kelangsungan hidup. Distribusi generalized log-logistic merupakan bentuk perumuman dari distribusi log-logistik dengan penambahan dua parameter baru yaitu . Sehingga teorema hubungan antara distribusi GLL dengan distribusi lainnya yang sudah terkenal dapat dikaji lebih lanjut.
Salah satu distribusi yang sudah terkenal luas ialah distribusi Gamma. Distribusi gamma mempunyai peranan penting dalam teori antrian dan keandalan (reliabilitas). Contohnya yaitu : Jarak antara waktu tiba di fasilitas pelayanan (misalnya : bank, loket tiket kereta api, dll) dan lamanya waktu sampai rusaknya suku cadang alat listrik. Salah satu bentuk khusus dari distribusi gamma adalah distribusi khi-kuadrat dengan .
3
1.2Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah melakukan pendekatan distribusi Khi-kuadrat dengan distribusi generalized log-logistic dengan menyamakan fungsi pembangkit momen dari kedua distribusi tersebut.
1.3Manfaat Penelitian
II. LANDASAN TEORI
Distribusi Gamma adalah salah satu keluarga distribusi probabilitas kontinu. Distribusi ini merupakan distribusi fungsi padat yang terkenal luas dalam bidang matematika. Distribusi gamma berasal dari fungsi gamma yang sudah dikenal luas dan juga dipelajari dalam banyak bidang matematika.
Salah satu bentuk khusus dari distribusi gamma adalah distribusi
khi-kuadrat dengan . didefinisikan sebagai jumlah kuadrat
dari peubah-peubah acak yang bebas dan menyebar normal dengan rataan nol dan ragam satu. Distribusi bergantung pada derajat bebasnya, untuk setiap derajat bebas terdapat satu sebaran .
2.1 Distribusi Khi-Kuadrat
5
6
Substitusikan pemisalan tersebut ke dalam persamaan (2.1) sehingga diperoleh:
∫
(2.2)
Ragam sama dengan dua kali derajat bebasnya. Nilai ragam dari distribusi khi-kuadrat sebagai berikut:
Bukti:
[ ] (2.3)
∫
∫
∫ (2.4)
Misalkan
7
Substitusikan pemisalan tersebut ke dalam persamaan (2.4) sehingga diperoleh:
∫
(2.5)
Substitusikan persamaan (2.2) dan (2.5) pada persamaan (2.3) sehingga diperoleh:
[ ]
[ ]
2.2 Distribusi Generalized Log-Logistic
Distribusi generalized log-logistic (GLL) merupakan salah satu model perumuman yang memiliki potensi yang baik untuk menyesuaikan dengan data kelangsungan hidup. Dengan menggunakan distribusi generalized log-logistic sebagai distribusi perumuman dilakukan pendekatan dengan distribusi Khi Kuadrat.
8
pengamatan yang mati/rusak/gagal. Sedangkan sebagai parameter skala yang menyatakan besarnya keragaman data berdistribusi GLL .
Fungsi kepekatan peluang dari distribusi GLL dapat dinyatakan sebagai berikut:
[ ] [ ]
kematian/kerusakan/kegagalan data berdistribusi GLL .
log-9
2.3 Ekspansi Deret Maclaurin
Pada penelitian ini deret Maclaurin digunakan untuk menyelesaikan fungsi dalam menentukan fungsi pembangkit momen dari distribusi generalized log-logistic.
Teorema 2.1 Deret Maclaurin
Misalkan adalah fungsi di mana turunan ke , , ada untuk setiap
pada suatu selang terbuka yang mengandung . Jadi, untuk setiap di dalam
berlaku:
(2.6)
Persamaan (2.6) disebut sebagai ekspansi deret Taylor bagi fungsi . Jika , maka bentuk deret pada persamaan (2.6) menjadi:
(2.7)
10
2.4 Fungsi Pembangkit Momen
Fungsi pembangkit momen dari suatu peubah acak digunakan sebagai salah satu cara untuk mendapatkan nilai momen dari suatu distribusi. Fungsi pembangkit momen memiliki bentuk yang sederhana, namun tidak semua distribusi peubah acak memiliki fungsi pembangkit momen.
Definisi 2.4 Fungsi pembangkit momen
Jika X adalah peubah acak, baik diskrit mauun kontinu, maka fungsi pembangkit momen dari X (dinotasikan dengan ) didefinisikan sebagai:
Untuk dan .
Dari definisi di atas, dapat diuraikan dalam 2 kasus yang berbeda, yaitu untuk peubah acak diskrit dan peubah acak kontinu.
a. Fungsi pembangkit momen untuk peubah acak diskrit
11
b. Fungsi pembangkit momen untuk peubah acak kontinu
12
Substitusikan pemisalan tersebut ke dalam persamaan (2.9) sehingga diperoleh:
Teorema 2.2 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Generalized Log-Logistic
Misalkan suatu peubah acak berdistribusi , maka fungsi pembangkit momen dari adalah sebagai berikut:
∑
Teorema 2.3 Ketunggalan untuk Fungsi Pembangkit Momen
i. Bila dua fungsi pembangkit momen dari dua peubah acak ada dan sama, maka
kedua peubah acak tersebut mempunyai fungsi distribusi yang sama.
ii. Bila dua peubah acak mempunyai fungsi distribusi yang sama, maka (bila ada)
13
Teorema 2.4 Limiting Fungsi Pembangkit Momen
Misalkan peubah acak memiliki fungsi distribusi dan fungsi pembangkit momennya ada pada selang dan untuk semua n. Jika ada fungsi distribusi , yang berkorespondensi dengan fungsi pembangkit
momennya , terdefinisi untuk | | , sedemikian sehingga
, maka memiliki distribusi limit dengan fungsi
distribusi (Hogg & Craig, 1995).
2.5 Kasus Khusus atau Limiting GLL
Menurut Warsono., Usman, M., dan Nusyirwan (2000), bentuk hubungan distribusi generalized log-logistic dengan distribusi lainnya sebagai kasus khusus atau limiting dapat dituliskan dalam bentuk berikut:
( ( ) )
( )
( )
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun ajaran 2013/2014. Bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Penelitian ini ditujukan untuk mengkaji hubungan generalized log logistic distribution ( terhadap distribusi Khi-kuadrat dengan menggunakan metode pencocokan nilai pembangkit momen dari suatu peubah acak yang ditentukan besaran parameternya.
Langkah-langkah yang dilakukan dalam mengkaji pendekatan distribusi Khi-Kuadrat melalui distribusi generalized log-logistic adalah sebagai berikut:
1. Menentukan fungsi pembangkit momen dari distribusi Khi-Kuadrat.
2. Membuktikan bahwa distribusi Khi-Kuadrat merupakan bentuk khusus dari distribusi Gamma untuk dan dengan menunjukkan
15
3. Membuktikan bahwa distribusi Khi-Kuadrat merupakan kasus khusus dari distribusi GLL ( ) untuk dan
dengan menunjukkan bahwa:
.
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Khi - Kuadrat ialah
2. Distribusi Khi-Kuadrat sebagai Bentuk Khusus dariDistribusi Gamma
3. Distribusi Khi – kuadrat dapat didekati dengan distribusi Generalized log-logistic ( ) dengan melihat nilai fungsi pembangkit momen dari kedua distribusi tersebut.
4. Distribusi Khi – kuadrat dengan derajat bebas dikatakan sebagai kasus limiting atau distribusi limit dari distribusi generalized log-logistic dengan
parameter untuk , dan .
28
5.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA
Dudewicz, E.J., dan Mishra, S.N. 1995. Statistika Matematika Modern. ITB, Bandung.
Herryanto, N., dan Gantini, T. 2009. Pengantar Statistika Matematis. Yrama Widya, Bandung.
Hogg, V.A. dan Tanis, A.E. 2001. Probability and Statistical Inference. Edisi ke-6. Prentice-Hall, New Jersey.
Hogg, R.V., dan Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Prentice-Hall Inc, New Jersey.
Purcell, E.J., Varberg, D., dan Rigdon, S.E. 2003. Kalukulus Jilid 2 Edisi Kedelapan. Erlangga, Jakarta.
Warsono. 2009. Moment Properties of The Generalized Gamma Distribution. Proceedings on Seminar Nasional Sains MIPA dan Aplikasinya. Bandar Lampung : 157-162.
Warsono. 2010. Remarks on Moment Properties of Generalized Distributions. Proceedings of The Third International Conference on Mathematics and Natural Sciences. ITB, Bandung.
