Bab 9 Analisis Frekuensi

ANALISIS FREKUENSI SINYAL DAN SISTEM



Analisis frekuensi sinyal waktu kontinu



Analisis frekuensi sinyal waktu diskrit



Sifat-sifat transformasi Fourier



Domain frekuensi sistem LTI

Peristiwa Dispersi

Newton (1672)

Fraunhofer (1787)

Kirchoff & Bunsen (1800)

Cahaya tampak

Cahaya bintang dan matahari

Bahan kimia

Prisma

Cahaya _Warna

Matematical Tools

Sinyal _{Sinyal sinusoidal}

Instrument

Software program Speech

ECG

EEG

Pitch

Denyut jantung

, , 



Analisis frekuensi sinyal waktu kontinu



Deret Fourier untuk sinyal waktu kontinu

periodik



Power spektral density (

psd

) sinyal periodik



Transformasi Fourier untuk sinyal kontinu

aperiodik



Energy spectral density (

esd

) sinyal

perioda

T

T

1

F

e

c

)

t

(

x

_p

p o

k

t kF 2 j

k o











 





Deret Fourier untuk sinyal periodik

kompleks

c

dt

e

)

t

(

x

T

1

c

_k

T

0

t kF 2 j

p k

p

o







 

* k k

c

c

nyata

)

t

(

x





_



k

k j

k k

j k

k

c

e

c

c

e

c

 

 







  

 

1 k

k o

k

o 2 c cos(2 kF t )

c )

t ( x

k o

k o

k

ot ) cos(2 kF t) cos sin(2 kF t) sin

kF 2

cos(         

) t kF 2

sin( b

) t kF 2

cos( a

a )

t (

x _{k o}

1 k

o k

o    









k k

k k

k k

o

o c a 2 c cos b 2 c sin

a     





 



 k

t kF 2 j

ke o

c )



Power spectral density (

psd

) dari sinyal periodik







 

 

k

2 k T

0

2 p

x x(t) dt c

T 1 P

p

Energinya tak terbatas, dayanya terbatas

) b a

( 2

1 a

c 2

c

P 2_k

1 k

2 k 2

o 1

k

2 k 2

o

x  



 







 



2 k

c

sebagai fungsi dari frekuensi F

psd

F

Power spectral density dari sinyal periodik

2 k

c

-4F_o -3F_o - 3F_o -F_o 0 F_o 2F_o 3F_o 4F_o 2

1

c

2 3

c

2 2

c

_

2 4

Contoh Soal 7.1

Tentukan deret Fourier dan power spectral density dari sinyal pulsa persegi panjang di bawah ini.

) t ( x

t

0

2  2



 Tp

p

T 

Jawab :

p 2

2 p 2

T

2 T p

o

T A Adt

T 1 dt

) t ( x T

1 c

p

p

 











  

2 2 t kF 2 j o

p 2

T

2 T

t kF 2 j p

k o

p

p

o e

kF 2

j 1 T

A dt

Ae T

1 c

   





 

 







 

 

 

 



  



o o p

kF j kF

j p

o k

kF

) kF sin(

T A 2

j e e

T kF

A

Power spectral density :

  

  

 

 

 

  

 

 

 

    

 

 

 

   

 

 





, 2 ,

1 k

, kF

) kF sin(

T A

0 k

, T

A

c

2

o o 2

p 2

p 2







 X(F)e dF

) t (

x j2 Ft



Transformasi Fourier untuk sinyal aperiodik





 

 x(t)e dt

) F (

X j2 Ft



Energy spectral density (

esd

) dari sinyal periodik

Energinya terbatas :







  

 



 x(t) dt X(F) dF

E_x 2 2

2 xx

(

F

)

X

(

F

)

S



esd

Contoh Soal 7.2

Tentukan transformasi Fourier dan energy spectral density dari sinyal yang didefinisikan sebagai :

) t ( x

t 0

2  2

 

A

     

 

  

2 t

, 0

2 t

, A )

Jawab :

 

  

 





 

 

F F sin

A dt

Ae )

F ( X

2

2

Ft 2 j

 

2 2

xx

F F sin

A )

F (

S _

  

 

 

  

X(F) x(t)







Analisis frekuensi sinyal waktu diskrit



Deret Fourier untuk sinyal waktu diskrit

periodik



Power spektral density (psd) sinyal diskrit

periodik



Transformasi Fourier untuk sinyal diskrit

aperiodik



Deret Fourier untuk sinyal diskrit periodik

2 1 f

2 1 N

k f

N k 2 e

s

s c e

c )

n ( x

k k

k k

n j k

1 N

0 k

k k 1

N 0 k

N / kn 2 j k

k

 

 

  

   

 



 





 









dasar

perioda

N

)

n

(

x

)

N

n

(

x







k N

k 1

N 0 n

N / kn 2

j _{c c}

e ) n ( x N

1 )

k (

c  _ 





 

Contoh Soal 7.3

Tentukan spektrum dari sinyal-sinyal di bawah ini.



1, 1, 0, 0



N 4 ).

b 3

n cos

) n ( x ).

a   

Jawab :

6 N

6 1 f

n 6 1 2

cos 3

n cos

) n ( x ). a

o   

 





         5 0 n 6 / kn 2 j 1 N 0 n N / kn 2

j _x(n)e

e ) n ( x ) k ( c 6 / n 2 j 6 / n 2 j _e 2 1 e 2 1 n 6 1 2 cos ) n (

x   

   





        1 N 0 k 6 / kn 2 j k 1 N 0 k N / kn 2 j

ke c e

2 1 c

c c

0 c

c c

c 2

1 c

2 1 c

1 6

1 5

4 3

2 o

1 1

 



 

 

 

 





j k / 2



3 0 n

4 / kn 2

j _{1 e}

4 1 e

) n ( x 4

1 )

k (

c  



 

 







1, 1, 0, 0



N 4 ).

b 







 



1 N

0 n

N / kn 2 j

e ) n ( x N

1 )

k ( c

) j 1

( 4 1 c

0 c

) j 1

( 4 1 c

2 1

) j 1

( 4 1 c

0 c

) j 1

( 4 1 c

2 1

Contoh Soal 7.4

Tentukan spektrum dari sinyal di bawah ini.

n 5 2 sin n 3 2 cos ) n (

x    

Jawab : n 15 3 2 sin n 15 5 2 cos n 5 2 sin n 3 2 cos ) n (

x        

j 2 e e 2 e e ) n ( x n ) 15 / 3 ( 2 j n ) 15 / 3 ( 2 j n ) 15 / 5 ( 2 j n ) 15 / 5 ( 2

j      

    n ) 15 / 5 ( 2 j n ) 15 / 5 ( 2 j n ) 15 / 3 ( 2 j n ) 15 / 3 ( 2 j _e 2 1 e 2 1 e 2 j e 2 j ) n (

x      

 

 

n ) 15 / 5 ( 2 j n

) 15 / 5 ( 2 j n

) 15 / 3 ( 2 j n

) 15 / 3 ( 2

j _e

2 1 e

2 1 e

2 j e

2 j )

n (

x      

 

 









 





 

14 0 k

15 / kn 2 j k 1

N 0 k

N / kn 2 j

ke c e

c )

n ( x

2 1 c

2 j c

2 j c

2 1

1/2

k

c

90o

k

c





_{Power Spectral Density (psd) sinyal diskrit periodik}







 



 

1 N

0 k

2 k 2

1 N

0 k

x x(n) c

N 1

P Relasi Parseval

psd

Energi satu perioda

Bila x(n) nyata :







 



 

1 N

0 k

2 k 1

N 0 k

2

N x(n) N c

E

k *

k c

c  _ c_k c_{ k}  c_k c_{ k}

k N k

k N k

k N k

N k k

c c

c c

c c

c c

 

 



 

 

 

0 c

c c

c₀  _N  ₀  _N 

1 N 1

1 N

1 c c c

c  _   _

0 c

c

c_N/2  _N/2  _N/2 

2 / ) 1 N ( 2

/ ) 1 N ( 2

/ ) 1 N ( 2

/ ) 1 N

( c c c

c _  _  _  _

Bila N genap

Bila N ganjil

k N k

k N k

k N k

N k k

c c

c c

c c

c c

 

 



  



 



2 / ) 1 N

( ,

2 , 1 , 0 k

, c ganjil

N

2 / N ,

2 , 1 , 0 k

, c genap

N

k k

 



 

Contoh Soal 7.5

Tentukan koefisien deret Fourier dan power spectral density dari sinyal diskrit periodik di bawah ini.

Jawab :









  



 

 

1 L

0 n

N / kn 2 j 1

N 0 n

N / kn 2 j

k Ae

N 1 e

) n ( x N



_{Transformasi Fourier dari sinyal diskrit aperiodik}





 

 

 

n

n j

e ) n ( x )

( X





 



 



 X( )e d

2 1 )

n (

x j n









 

  

 

    

 

   

 

 

 

 

n

n j n

kn 2 j n

j n

n ) k 2 (

j

) ( X e

) n ( x e

e ) n ( x

e ) n ( x )

k 2 (

X

Contoh Soal 7.6

Tentukan sinyal diskrit yang transformasi Fouriernya adalah :

Jawab :

   

   



  

 

c

c

, 0

, 1 )

( X





 



 



 X( )e d

2 1 )

n (

x j n

    

 







 

c

c

c

d 2

1 )

0 ( x 0

n n sin

n n sin

j 2

e e

n 1 )

n ( x

e jn

1 2

1 d

e 2

1 )

n ( x 0

n

c c c

c n

j n

j

n j n

j

c c

c

c c

c

  

  

 

 



 

 

 



  

    

 







 

 

 

n

n j

e ) n ( x )

(

X



 

 

  



N N n

n j c

N e

n n sin



_{Energy spectral density (esd) sinyal diskrit aperiodik}

Relasi Parseval

 

 









  

 

d ) ( X 2

1 )

n ( x

E 2

n

2 x

2 xx( ) X( )

S   

Spektrum magnituda

) ( X )

( )

( X e

) ( X )

(

X    j()     

Spektrum fasa

x(n) nyata _X*_{() X( )}

) (

X )

( X )

( X )

(

Contoh Soal 7.7

Tentukan energy spectral density dari sinyal diskrit :

Jawab :

1 a

1 )

n ( u a )

n (

x  n   











  



  

 

 

 

 

0 n

n j

0 n

n j n

n

n

j _{a e (ae )}

e ) n ( x )

( X

) ( X ) ( X )

( x )

( S ae

1

1 )

(

X _j  _xx    2   * 

 

 _{ }

2 j

j xx

a cos

a 2 1

1 ae

1

1 ae

1

1 )

( S

  

 

 

Contoh Soal 7.8

Tentukan transformasi Fourier dari sinyal diskrit :

 

   



lainnya n

, 0

1 L

n 0

, A )

n ( x

Jawab :

) 2 / sin(

) 2 / L sin(

Ae

e 1

e 1

A Ae

) ( X

) 1 L )( 2 / ( j

j L j 1

L 0 n

n j

  

  

 

 



 

  



 

) ( j )

1 L )( 2 / (

j _{X( ) e}

) 2 / sin(

) 2 / L sin(

Ae )

(

X     

 

  



    

 



  



lainnya ,

) 2 / sin(

) 2 / L sin(

A

0 ,

AL )

( X

) 2 / sin(

) 2 / L sin(

) 1 L

( 2 A

) ( X )

(

  

 

 

  

  

Spektrum fasa Spektrum magnituda A = 1



_{Hubungan transformasi Z dengan transformasi Fourier}









 

  



 

  

 



 



n

n j n

n

n j

n

z _{x(n)(re ) [x(n)r ]e}

e ) n ( x )

z ( X

Transformasi Fourier :





 

 

 

 

 



n

n

j _{X( )}

e ) n ( x )

z ( X 1

r 1

z

Transformasi Z

z z

r re

z  j   

Contoh Soal 7.9

Tentukan transformasi Fourier dari : x(n) ( 1)u(n)

Jawab :

1 z

z z

1

1 )

z (

X ₁

 



 _

) 2 / 1 k

( 2 )

2 / cos( 2

e

) e

e )( e

(

) e

)( e

(

1 re

re 1

z z z

1

1 )

( X

2 / j

2 / j 2

/ j 2

/ j

2 / j 2

/ j

j j 1

 

  



 

 

 

 





  



 



_{Klasifikasi sinyal dalam domain frekuensi}

Sinyal frekuensi tinggi :



_{Daerah frekuensi pada beberapa sinyal asli}

Sinyal-sinyal biologi :

Tipe sinyal Daerah frekuensi (Hz)

Electroretinogram 0 - 20

Electronystagmogram 0 - 20

Pneumogram 0 - 40

Electrocardiogram (ECG) 0 - 100

Electroencephalogram (EEG) 0 - 100

Electromyogram 10 - 200

Aphygmomanogram 0 - 200

Sinyal-sinyal seismik :

Tipe sinyal Daerah frekuensi (Hz)

Wind noise 100 - 1000

Seismic exploration signals 10 - 100 Earthquake and nuclear

explosion signsld 0.01 - 10

Sinyal-sinyal elektromagnetik :

Tipe sinyal Daerah frekuensi (Hz)

Radio broadcast 3x104 – 3x106

Shortwave radio signals 3x106 – 3x1010

Radar, sattellite comunications 3x108 – 3x1010

Infrared 3x1011 – 3x1014

Visible light 3,7x1014 – 7,7x1014

Ultraviolet 3x1015 – 3x1016



Sifat-sifat transformasi Fourier



Sifat-sifat simetri dari transformasi Fourier



Linieritas



Pergeseran waktu



Pembalikan waktu



Teorema konvolusi



Pergeseran frekuensi



_{Sifat-sifat simetri dari transformasi Fourier}

n j 1

n

n j

e ) ( X 2

1 )}

( X { F )

n ( x

e ) n ( x )}

n ( x { F )

( X

 

    



 

 





 

 



 



) ( X )

n (

x F 

n sin

j n

cos e

sin j

n cos

] n sin ) n ( x n cos ) n ( x [ ) ( X ] n sin ) n ( x n cos ) n ( x [ ) ( X R n I I n I R R          





      ) ( jX ) ( X ) ( X ) n ( jx ) n ( x ) n ( x R I R       

x(n) dan X () kompleks

x(n) nyata x_R (n)  x(n) x_I(n) 0

) ( X )

( X n

sin )

n ( x )

( X

) ( X )

( X n

cos )

n ( x )

( X

I I

n I

R n

R R

 

  

 

 

 

  

 









 



 

n sin

) n sin(

n cos

) n

cos(        

) ( X )

( X )

( X )

(

X_R    _R  _I    _I 

) (

X )

(

) ( X ) ( X tg ) ( X ) ( X ) ( X ) ( X I I 1 2 I 2 R          

 X( ) X( )

x(n) nyata dan fungsi genap             





   d n cos ) ( X 1 ) n ( x 0 ) ( X n cos ) n ( x 2 ) 0 ( x ) ( X ) n ( x ) n ( x 0 R I 1 n R

x(n) nyata dan fungsi ganjil

x(n) imajiner murni

 

 

 

 

 



 



 







 

 



 

d ] n cos

) ( X n

sin )

( X [ 1

) n ( x

n cos

) n ( x )

( X

n sin

) n ( x )

( X

) n ( jx )

n ( x 0

) n ( x

0 R I

I

n

I I

n

I R

x(n) imajiner murni dan genap            





   d n sin ) ( X 1 ) n ( x 0 ) ( X n sin ) n ( x 2 ) ( X ) n ( x ) n ( x 0 R I I 1 n I R I I

x(n) imajiner murni dan ganjil

Contoh Soal 7.10

Tentukan dan buat sketsa X_R(), X_I(), X() dan 

X( dari transformasi Fourier :

Jawab :

1 a

1 e

a 1

1 )

(

X _j    



 _{ }

2 2

j j

j j j j

a cos

a 2 1

sin ja

cos a

1 a

) e

e ( a 1

e a 1

e a 1

e a 1

e a 1

1 )

( X

  

 

 

 

 

 

  

 

  

   



_Linieritas ) ( X a ) ( X a ) ( X )} n ( x { F ) n ( x a ) n ( x a ) n ( x ) ( X )} n ( x { F ) ( X )} n ( x { F 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1            

Contoh Soal 7.11

Tentukan transformasi Fourier dari : x(n) a n  1  a  1



_{Pergeseran waktu}

) ( X e

)} n ( x { F )

k n

( x )

n ( x

) ( X )}

n ( x { F

1 k j 1

1 1

 

 



 

 



_{Pembalikan waktu}

) (

X )}

n ( x { F )

n ( x )

n ( x

) ( X )}

n ( x { F

1 1

1 1

  

 





_{Teorema konvolusi}

) ( X ) ( X )}

n ( x { F )

n ( x * ) n ( x )

n ( x

) ( X )}

n ( x { F )

( X )}

n ( x { F

2 1

1 1

2 2

1 1

 

 



 

 

Jawab :

Contoh Soal 7.12

Tentukan konvolusi antara x₁(n) dan x₂(n), dengan : x₁(n) = x₂(n) ={1, 1, 1}

 

 

 

 



  

 



 

  







cos 2

1 e

e 1

e e

) n ( x )

( X

j j

n

1 1 n

n j n

j 1

) e e ( ) e e ( 2 3 2 cos 2 cos 4 3 2 2 cos 1 4 cos 4 1 cos 4 cos 4 1 ) cos 2 1 ( ) ( X ) ( X ) ( X cos 2 1 ) ( X ) ( X 2 j 2 j j j 2 2 2 1 2 1                                                               





j2 j j j2

n

n

j _{e 2e 3 2e e}



_{Pergeseran frekuensi}

) (

X )}

n ( x { F )

n ( x e

) n ( x

) ( X )}

n ( x { F

o 1

1 n j

1 1

o     



 





_{Teorema modulasi}

n cos

) n ( x )

n ( x )

( X )}

n ( x {

F ₁  ₁   ₁ _o

) n ( x e

2 1 )

n ( x e

2 1 )

n ( x ) e

e ( 2 1 )

n (

x  jon  jon ₁  jon ₁  jon ₁

) (

X 2 1 )

( X 2 1 )

( X )}

n ( x {



_{Diferensiasi frekuensi} ) n ( nx ) n ( x ) ( X )} n ( x {

F ₁  ₁   ₁



Domain frekuensi sistem LTI



Fungsi respon frekuensi



Respon steady-state dan respon transien



Respon terhadap sinyal input periodik



Respon terhadap sinyal input aperiodik



Hubungan antara fungsi sistem dan fungsi

respon frekuensi



_{Fungsi respon frekuensi}









 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

n j k

j k

) k n ( j

n j k

e ] Ae

) k ( h [ A

Ae )

k ( h )

n ( y

Ae )

n ( x kompleks

Input

) k n

( x ) k ( h )

n ( y

n j

k

k

j _{y(n) AH( )e}

e ) k ( h )

(

H  

 

 

 

 





Eigen function

Contoh Soal 7.12

Respon impuls dari suatu sistem LTI adalah :

) n ( u 2

1 )

n ( h

n

      

Jawab :

Tentukan outputnya bila mendapat input : x(n) Aejn / 2 





2 1 j 1

1

e 2 1 1

1 )

( H e

2 1 1

1 )

( H

e 2 1 e

2 1 )

( H )

n ( h F

2 / j j

n

n j

n

n j n

 

  

 

 

   

  

   

  

 

  





 

  

 

 

) 6 , 26 2 / n ( 2

/ n j 6 , 26 j

n j

6 , 26 j

o o

o

e 5 A 2 e

e 5 2 A

e ) ( AH )

n ( y

e 5 2

2 1 j 1

1 )

( H

 

 





 

 

 

 

Amplituda

Frekuensi

Fasa

3 2

2 1 1

1

e 2 1 1

1 )

( H Ae

) n ( x

j n

j

 

 

 

 

  

n j Ae 3

2 )

n (

y 

n j j n j j n j n j j n j e e H A e e H A n y Ae n x e e H A n y Ae n x                            ) ( ) ( 2 2 ) ( 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] ( cos[ ) ( )] ( ) ( [ 2 1 ) ( cos ] [ 2 1 )] ( ) ( [ 2 1 ) ( 2 1 2 1                  n H A n y n y n y n A Ae Ae n x n x n

x j n j n

)] ( sin[ ) ( )] ( ) ( [ 2 1 ) ( sin ] [ 2 1 )] ( ) ( [ 2 1 ) ( 2 1 2 1                  n H A n y n y j n y n A Ae Ae j n x n x j n

Contoh Soal 7.13

Respon impuls dari suatu sistem LTI adalah :

) n ( u 2

1 )

n ( h

n

      

Jawab :

Tentukan outputnya bila mendapat input :

n n

n

x  20cos

2 sin 5 10 )

(   





j

e H



 

2 1 1

1 )

3 2 )

(

5 2 )

2 / (

2

2 1 1

1 )

0 (

2 1 1

1 )

(

6 , 26

 

 

  

 

  



H

e H

H

e H

o

j

n n

n

x  cos

3 40 2

sin 5

10 20

)

Contoh Soal 7.14

Suatu sistem LTI dinyatakan dengan persamaan beda :

1 0

) ( )

1 (

)

(n ay n  bx n  a 

y

) 4 cos(

20 2

sin 12 5

)

(n    n  n  

x

9 , 0 1

) ( ).

) ( ).

  dan a

H Untuk b

H Tentukan a

maks





Jawab : ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )

(n ay n bx n h n ba u n y      n

a b

a b H

H _maks    

 

 1 1

1 )

0 ( )

(

  

 

cos 1

sin )

( cos

2 1

1 )

( 1

2 a

a tg

a a

a H

 

 

 



 

0 )

( 1

) 0

(    

H

o

tg

H 0,074 ( ) 0,9 42

9 , 0 1

1 , 0 )

2 /

( 1

2    



  



0 )

( 053

, 0 9

, 1

1 , 0 1

1 )

(    

 

 



) 4 cos(

20 2

sin 12 5

)

(n    n  n  

x

)] ( 4

cos[ )

( 20

)] 2 / ( 2

sin[ )

2 / ( 12 )

0 ( 5 )

(

 

 

 



  



  



n H

n H

H n

y

] 4 cos[

06 , 1 ] 42 2

sin[ 888

, 0 5

)

(n    n   n  



_{Respon steady-state dan respon transien} ) n ( x ) 1 n ( ay ) n (

y   



       n 0 k k 1

n _{y( 1) a x(n k)}

Respon transien

Respon steady state

n j j n j j ) 1 n ( j 1 n 1 n _e ae 1 A e ae 1 e a A ) 1 ( y a ) n ( y                  1 a

Stabil  

n j n j j n

ss e AH( )e

ae 1 A ) n ( y ) n (

y

lim

 



_{Respon steady state terhadap sinyal input periodik}



     1 N 0 k N / kn 2 j ke c ) n ( x Fourier Deret N / kn 2 j k k N / kn 2 j k k e N k 2 H c ) n ( y e c

x  

          N k 2 ) ( H N k 2 H            





              1 N 0 k N / kn 2 j k 1 N 0 k k e N k 2 H c ) n ( y ) n ( y         



   N k 2 H c d e d ) n (

y N 1 _{k k}



_{Respon steady state terhadap sinyal input aperiodik}

 

X( ) H

) ( Y konvolusi

Teori     

 

X( ) Y( ) H( ) X( ) H

) (

Y           

 

X( ) S ( ) H

 

S ( ) H

) (

Y  2   2  2  _yy    2 _xx 

 



    



 H S ( ) d

2 1 E

:

Contoh Soal 7.15

Suatu sistem LTI mempunyai respon impuls : )

n ( u 2

1 )

n ( h

n

      

Tentukan spektrum dan esd-nya bila mendapat input :

) n ( u 4

1 )

n ( x

n

      

Jawab :

  



 

  

     





j 0

n

n j n

e 2 1 1

1 e

2 1 )

( H

  

 

j e 4 1 1

1 )

 

  



 

 

 



j

j _e

4 1 1

1

e 2 1 1

1 )

( X H

) ( Y

) e

16 1 e

4 1 1

(

1

) e

4 1 e

1 (

1 )

( S

j 2 j

j 2 j

y

 

  

 



 

 

 

 

2 2 yy( ) H X( )

S    

   

 

 

   

 

 

 

cos 2

1 16

17

1

cos 4

5

1 )

 _{Hubungan antara fungsi sistem dan fungsi respon}

frekuensi

 





 

  



 

 

 

n

n j e

z

j _{H( ) H z h(n)e}

e

z j

 

H( )H ( ) H( )H( ) H  2   *     

 

_

 



 _j

e z 1 2

Contoh Soal 7.16

Suatu sistem LTI dinyatakan dengan :

) 1 n

( x )

n ( x )

2 n

( y 2 , 0 )

1 n

( y 1 , 0 )

n (

y       

Tentukan H() 2

Jawab :

2 1

1

z 2 , 0 z

5 , 0 1

z 1

) z (

H _{ }



 

 

2 2

1 1 1

z 2 , 0 z

5 , 0 1

z 1

z 2 , 0 z

5 , 0 1

z 1

) z ( H ) z ( H

 

 





 _{ }

2 2 1 1 1 z 2 , 0 z 5 , 0 1 z 1 z 2 , 0 z 5 , 0 1 z 1 ) z ( H ) z ( H        _{ }   ) z z ( 2 , 0 ) z z ( 08 , 0 05 . 1 z z 2 ) z ( H ) z (

H _{1 2 2}

1 1            ) e e ( 2 , 0 ) e e ( 08 , 0 05 . 1 e e 2 ) ( H e

z _{j j j2 j2}

j j 2 j                             2 cos 4 , 0 cos 16 , 0 05 . 1 cos 2 2 ) ( H 2            

 2 2 ₂