ABSTRAK
PENENTUAN BANYAKNYA GRAF BERLABEL TANPA LOOP
Oleh
Hasby Al Karim
Graf merupakan struktur dengan himpunan tak kosong dan elemen elemennya disebut titik sedangkan (mungkin kosong) adalah himpunan pasangan tak terurut dari elemen elemen di yang anggotanya disebut garis. Jika diberikan n titik dan m garis maka dapat dikonstruksi graf yang mungkin terbentuk. Tujuan dari penelitian ini yaitu untuk melihat pola dalam bentuk-bentuk graf dan menentukan rumus untuk menghitung banyaknya bentuk graf tersebut dengan dan . Langkah yang dilakukan adalah dengan mengkontruksi dan mengenumerasi sisi yang menempel pada titik ( sisi rangkap dihitung 1) pada banyaknya graf berlabel yang terbentuk dengan n titik dan m garis. Rumus untuk menghitung banyaknya graf berlabel yang dapat dibentuk dengan tertentu jika diberikan titik dan m garis adalah ( ) ( ) dengan adalah banyaknya sisi yang menempel pada titik (sisi rangkap dihitung 1).
PENENTUAN BANYAKNYA GRAF BERLABEL TANPA LOOP (Skripsi)
Oleh
HASBY AL KARIM
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Liwa, Lampung Barat, pada tanggal 10 April 1991, anak kedua dari empat bersaudara dari bapak Enek Suardi Martunus dan Fatmayanti. Tahun 2003 penulis menyelesaikan Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri 1 Way Urang, Kalianda, Lampung Selatan; tahun 2006 menyelesaikan Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP Negeri 1 Kalianda, Lampung Selatan; dan pada tahun 2009 menyelesaikan Sekolah Madrasah Tsanawiyah (MA) di MA Negeri Liwa, Lampung Barat.
PERSEMBAHAN
Dengan mengucap puja dan puji syukur kehadiran ALLAH SWT
ku persembahkan karya kecilku ini untuk:
Ayah dan Mama tercinta yang selalu menyelimutiku dengan
doa-doanya dan selalu memotivasiku setiap saat
Abang dan adik-adikku yang cantik-cantik
yang selalu menyemangatiku
Keluarga besarku
yang selalu memberikan semangngat serta dukungannya
Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa
KATA INSPIRASI
Bagi manusia ada malaikat-malaikat yang selalu mengikutinya bergiliran, di muka dan di belakangnya, mereka menjaganya atas perintah Allah. Sesungguhnya Allah tidak merubah keadaan sesuatu
kaum sehingga mereka merubah keadaan yang ada pada diri mereka sendiri. Dan apabila Allah menghendaki keburukan terhadap sesuatu kaum, maka tak ada yang dapat menolaknya; dan sekali-kali tak ada
pelindung bagi mereka selain Dia.
(QS: Ar-Ra'd Ayat: 11)
Man shabara, zhafira.
Barangsiapa yang bersabar, maka ia akan beruntung. (Pepatah Arab)
SANWACANA
Alhamdulillah puji syukur penulis panjatkan kepada ALLAH SWT atas rahmat dan hidayahNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini yang berjudul
“Penentuan Banyaknya Graf Berlabel Tanpa Loop”. Skripsi ini disusun sebagai salah
satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains di Universitas Lampung.
Dengan segala kerendahan hati penulis ingin mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada :
1. Ayah dan Mama tercinta yang selalu mendoakan disetiap sholatnya dan memberi motivasi, dukungan serta kasih sayang yang tulus.
2. Ibu Wamiliana, MA, Ph.D, selaku Dosen Pembimbing I yang telah bersedia meluangkan waktu, memberikan arahan dan saran dalam penyelesaian skripsi ini.
3. Bapak Amanto, S.Si, M.Si, selaku Dosen Pembimbing II yang telah banyak membantu dan memotivasi dalam menyelesaikan skripsi ini.
5. Bapak Mustofa Usman, M.A, Ph.D, selaku pembimbing akademik yang selalu membantu saya selama perkuliahan.
6. Bapak Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D, selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Lampung.
7. Seluruh civitas matematika, dosen dan staf Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Lampung.
8. Untuk abangku Dian Ruharman dan adikku (Miftah Hasanah dan Hasnatul Hidayah) yang selalu memberi motivasi serta doanya.
9. Sahabat-sahabatku (Edo, Miftah, Rohandi, Sofyan, Ambar, Egine, Dian, Dinda, Indri, Tri) terimakasih banyak untuk selama ini, kalian luar biasa. 10.Teman-teman seperjuangan di Jurusan Matematika angkatan 2010.
11.Seluruh pihak yang telah berperan dalam membantu menyelesaikan skripsi ini.
12.Almamaterku tercinta Universitas Lampung.
Akhir kata, penulis menyadari skripsi ini masih jauh dari kata sempurna, namun penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi orang yang membacanya.
Bandarlampung, Agustus 2014 Penulis
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI ... i
DAFTAR TABEL ... iii
DAFTAR GAMBAR ... iv
I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Batasan Masalah ... 3
1.3 Tujuan Penelitian... 3
1.4 Manfaat Penelitian... 4
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasar Teori Graf ... 5
2.2 Teknik Dasar Pencacahan ... 7
III. Metode penelitian 3.1 Perhitungan Dasar Graf ... 9
3.2 Waktu dan Tempat Penelitian ... 10
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Kontruksi Graf Berlabel Tanpa Loop Dengan dan
... 12
4.2 Menentukan Rumus Umum Graf Berlabel Tanpa Loop ... 25
V. KESIMPULAN
DAFTAR TABEL
Jumlah graf dengan
k Bentuk graf jumlah
1 ( )
1
̇ ( )
Jumlah graf dengan
k Bentuk graf jumlah
1 ( ) 1
̇ ( )
Jumlah graf dengan
k Bentuk graf jumlah
1 ( ) 1
̇ ( ) U2
U1
U2
U1
U2
Jumlah graf dengan
k Bentuk graf jumlah
1 ( ) 1
̇ ( )
Jumlah graf dengan
k Bentuk graf jumlah
1 ( ) 1
̇ ( )
Jumlah graf dengan
k Bentuk graf jumlah
1 ( ) 1
̇ ( )
Jumlah graf dengan 7
k Bentuk graf jumlah
1 ( ) 1
U2 U1
U2 U1
U2
U1
̇ ( )
Jumlah graf dengan
k Bentuk graf jumlah
1 ( ) 1
̇ ( )
Jumlah graf dengan
k Bentuk graf jumlah
1 ( ) 1
̇ ( )
Jumlah graf dengan
k Bentuk graf jumlah
1 ( ) 1
̇ ( ) U2
U1
U2
U1
U2
Jumlah graf dengan
k Bentuk graf Jumlah
1 (
) ( )
3
̇ ( ) ( )
Jumlah graf dengan
k Bentuk graf Jumlah
1 (
) ( )
3
2 (
Jumlah graf dengan
k Bentuk graf Jumlah
1 (
) ( )
3
2 (
) ( )
6
3 (
) ( ) 1 ̇ ( ) ( () ) ( () ) ( ) ( ) ( ) ( )
Jumlah graf dengan
k Bentuk graf Jumlah
1 (
2 ( )
( )
9
3 (
) ( ) 3 ̇ ( ) ( () ) ( () ) ( ) ( ) ( ) ( )
Jumlah graf dengan
k Bentuk graf Jumlah
1 (
) ( )
3
2 (
3 ( ) ( ) 6 ̇ ( ) ( () ) ( () ) ( ) ( ) ( ) ( )
Jumlah graf dengan n
k Bentuk graf Jumlah
1 (
) ( )
3
2 (
) ( )
15
3 (
( ) ( ) ( )
Jumlah graf dengan 7
k Bentuk graf Jumlah
1 (7
) ( )
3
2 (7
) ( )
8
3 (7
) ( )
15
̇ (7 ) ( () 7 ) ( () 7 ) ( )
Jumlah graf dengan
k Bentuk graf Jumlah
1 (
) ( )
3
2 (
) ( )
21
3 (
) ( )
21
̇ ( ) ( () ) ( () ) ( )
( 7) ( ) ( )
Jumlah graf dengan
k Bentuk graf Jumlah
1 (
2 ( )
( )
24
3 (
) ( )
28
̇ ( ) ( () ) ( () ) ( )
( ) ( ) ( )
U2
U3
U1
U2
U3
Jumlah graf dengan
k Bentuk graf jumlah
1 (
) ( )
6
̇ ( ) ( )
Jumlah graf dengan
k Bentuk graf Jumlah
1 (
) ( )
6
2 (
) ( ) 15 ̇ ( ) ( () ) ( ) U2 U1
U4 U3
U2
U1
U4 U3
U2 U1
Jumlah graf dengan
k Bentuk graf Jumalah
1
( ) ( ) 6
2 (
) ( )
30
3 (
) ( ) 20 ̇ ( ) ( () ) ( () ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jumlah graf
k Bentuk graf Jumlah
1 (
) ( )
6 U2
U1
U4 U3
U2 U1
U4 U3
U2
U1
U4 U3
U2 U1
2 ( )
( )
45
3 (
) ( )
60
4 (
) ( ) 15 ̇ ( ) ( () ) ( () ) ( () ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Jumlah graf dengan
k Bentuk graf jumlah
1 (
) ( )
6 U2
U1
U4 U3
U2
U1
U4 U3
U2 U1
U4 U3
U2
U1
2 ( )
( )
60
3 (
) ( )
120
4 (
) ( )
60
5 (
) ( ) 6 ̇ ( ) ( () ) ( () ) ( () ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U2 U1
U4 U3
U2
U1
U4 U3
U2 U1
U4 U3
U2
U1
Jumlah graf dengan
k Bentuk graf jumlah
1 (
) ( )
6
2 (
) ( )
75
3 (
) ( )
200
4 (
) ( )
150
5 (
) ( )
30
6 (
) ( )
1 U2
U1
U4 U3
U2 U1
U4 U3
U2
U1
U4 U3
U2 U1
U4 U3
U2
U1
U4 U3
U2 U1
̇ ( ) ( () ) ( () ) ( () ) ( )
( ) ( () ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Jumlah graf dengan 7
k Bentuk graf Jumlah
1 (7
) ( )
6
2 (7
)
( ) 90
3 (7
) ( )
300
4 (7
) ( )
300 U2
U1
U4 U3
U2
U1
U4 U3
U2 U1
U4 U3
U2
U1
5 (7 )
( )
90
6 (7
) ( )
6
̇ (7 ) ( () 7 ) ( () 7 ) ( () 7 ) ( )
(7 ) ( () 7 ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
792
U2 U1
U4 U3
U2
U1
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1. Jembatan Königsberg (tahun 1736)... 1
Gambar 2. Graf yang merepresentasikan jembatan Königsberg ... 2
Gambar 3. Contoh graf dengan 5 titik dan 9 garis ... 5
Gambar 4. Graf dengan garis paralel ... 6
Gambar 5. Graf dengan loop ... 6
Gambar 6. Graf tak terhubung (a) dan Graf terhubung (b) ... 7
l. PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Teori graf merupakan cabang ilmu matematika yang mampu mempresentasikan masalah atau kondisi yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, seperti halnya seorang ibu yang pergi dari rumah menuju pasar lalu pulang kembali kerumahnya, tanpa disadari hal yang dilakukan ibu tersebut dapat dipresentasikan dalam bentuk graf dengan
(rumah) dan (pasar) atau sebaliknya dimana (jalan) yang dilalui dari titik awal menuju titik yang berbeda atau dapat juga sama.
[image:34.595.143.512.577.724.2]Teori graf dikembangkan oleh Leonard Euler menyelesaikan masalah jembatan Königsberg pada tahun 1736. Jembatan Königsberg melintasi sungai Pregel yang berada di Prusia (sekarang Rusia).
2
Permasalahannya yaitu “Dapatkah seseorang berjalan dari suatu titik melalui sekali setiap jembatan yang menghubungkan kota-kota tersebut, dan kembali lagi ke titik dari mana ia berjalan"
Euler menyederhanakan Gambar 1.1 menjadi graf berikut:
Dengan mempresentasikan titik sebagai daratan dan garis sebagai jembatan, Euler menyatakan bahwa tidak mungkin melewati tiap jembatan tersebut tepat sekali. Hal itu dapat terjadi jika jumlah jembatan yang menghubungkan tiap-tiap daratan adalah genap.
[image:35.595.289.444.223.353.2]Graf sering divisualisasikan dalam bentuk titik dan garis dengan titik tersebut dapat dihubungkan dengan titik yang lain menggunakan garis, namun dapat juga garis tersebut hanya menghubungkan titik itu sendiri. Dalam perkembangannya graf sangat dibutuhkan seperti halnya menentukan banyaknya rute perjalanan yang dapat dilalui. Dalam hal ini ada banyak graf yang dapat dibentuk dan tentu bentuk-bentuk graf tersebut dapat diketahui begitupun jumlahnya.
Gambar 2. Graf yang merepresentasikan jembatan Königsberg A
D B
3
Jika ada titik sebanyak dan garis sebanyak maka dapat ditentukan jumlah graf yang dapat dibentuk dengan menggambarkan bentuk-bentuk graf yang mungkin terjadi. Dalam implementasinya, jika ada titik dengan jumlah yang sangat banyak dan garis yang banyak juga maka jumlah graf yang dapat dibentuk semakin banyak.
Bentuk graf yang dapat dibentuk dari suatu graf yang jumlah titiknya adalah dan jumlah garisnya diberikan sembarang, memiliki bentuk-bentuk yang berbeda-beda. Oleh karena itu pada penelitian ini didiskusikan tentang banyaknya graf yang terbentuk dan tidak mempunyai loop jika di berikan n titik dan m garis.
1.2Batasan Masalah
Dalam penelitian ini akan didiskusikan banyak graf yang tidak memuat loop yang terbentuk jika diberikan n titik dan m garis dengan n=2,3,4 dan m=1,2,3,...,9.
1.3Tujuan Penelitian
4
1.4Manfaat penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini yaitu
1. Mengetahui pola dalam menghitung jumlah graf jika diberikan n titik dan m garis.
II. TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan diberikan istilah-istilah, definisi dan konsep-konsep pendukung yang akan dibahas dalam penelitian ini.
2.1 Konsep Dasar Teori Graf
Graf merupakan struktur dengan himpunan tak kosong dengan elemen elemennya disebut titik sedangkan (mungkin kosong) adalah
himpunan pasangan tak terurut dari elemen elemen di yang anggotanya disebut garis (Deo,1974)
[image:38.595.239.435.496.602.2]Contoh
Gambar 3. Contoh graf dengan 5 titik dan 9 garis
6
Dua titik dikatakan adjacent (bertetangga) satu sama lain jika kedua titik tersebut dihubungkan oleh garis yang sama, dan dinotasikan dengan . (Bondy dan Murty,1976)
Walk merupakan barisan dari titik dan garis secara bergantian yang dimulai dan diakhiri oleh titik, sedemikian sehingga setiap garis incident dengan titik sebelum dan sesudahnya. Suatu walk yang semua titik berbeda disebut path. (Deo,1974)
Garis paralel merupakan dua garis atau lebih yang memiliki dua titik ujung yang sama. (Deo,1974)
Contoh
Gambar 4. Graf dengan garis paralel
Loop adalah garis yang titik awal dan ujungnya sama (Deo,1974) Contoh graf yang memiliki loop
Gambar 5. Graf dengan loop U2
U3
U1
U2
U1
[image:39.595.236.395.387.504.2] [image:39.595.245.386.594.706.2]7
Graf G dikatakan terhubung jika ada setidaknya satu path antara setiap pasangan titik di G, jika di G tidak ada path antara setiap pasangan titik maka graf G tidak terhubung. (Deo,1974)
Contoh graf terhubung dan tak terhubung
(a) (b)
Gambar 6. (a) Contoh graf tak terhubung dan (b) Contoh graf terhubung
2.2 Teknik Dasar Pencacahan
Dalam permutasi, perulangan tidak diperbolehkan (objek yang sudah dipilih tidak dapat dipilih kembali). Secara umum, permutasi objek dari buah objek dapat dihitung dengan persamaan
(Siang, 2006)
Misalkan himpunan memiliki elemen
Banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari disebut kombinasi
objek yang diambil sebanyak objek sekaligus. Simbolnya adalah ( ) atau atau . Banyaknya kombinasi yang di maksud dapat dinyatakan
dalam persamaan U2 U1
U4 U3
U2
U1
[image:40.595.173.476.191.294.2]8
III. METODE PENELITIAN
3.1 Penghitungan Dasar Graf
Diberikan dengan ( )
1. Graf yang merupakan graf sederhana dengan sebagai
titiknya, maka banyaknya graf adalah: ( )
2. Graf dari graf sederhana dengan sebagai titik dan sebagai garis, maka banyaknya graf adalah:
( )
(Agreusson dan Raymon,2007)
Diberikan Graf dengan sebagai titik dan sebagai
garis dan tidak memiliki loop maka graf adalah:
( )
10
3.2 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun akademik 2013-2014 dan bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3.3 Metode Penelitian
11
Mulai
Mencari literatur dari berbagai sumber seperti buku, skripsi dan jurnal dari perpustakaan dan internet yang berhubungan dengan teori graf, kombinasi dan permutasi
Menentukan banyaknya m dan n yang akan didiskusikan
Menentukan bentuk graf dengan ; ; ; 7
Mengelompokkan bentuk graf yang sudah terbentuk
Menjumlahkan graf dengan bentuk-bentuk tertentu
Menentukan rumusan pola yang tepat
V. KESIMPULAN
Dari observasi yang dilakukan terhadap banyaknya graf yang tidak memuat loop yang terbentuk jika diberikan n titik dan m garis dengan dan , maka dapat disimpulkan rumus graf berlabel tanpa loop dengan
tertentu adalah:
( ) ( ) ( )
dengan
( ) = banyaknya graf berlabel tanpa loop
= banyaknya garis yang diberikan
= banyaknya titik yang diberikan
DAFTAR PUSTAKA
Agreusson,G and Raymon, D. G. 2007. Graph Theory Modeling, Applications, and Algorithms. Pearson/Prentice Education Inc. New Jersey.
Bondy, J.A and Murty, U. S. R. 1976. Graph Theory with Aplication. The Macmillan Press, LTD, New York.
Deo, N. 1974. Graph Theory with Aplication to Engineering and Computer Science. Academic Prentice-Hall of India. Press,New Delhi.
