BAB III PERSAMAAN GARIS LURUS

Jarak horizontal (x)

Jarak vertikal (y)

1 2 3 5 6 -1

-2 -3 -4 -5 -6

1 2 3 4 5 6

-1 -2 -3 -4 -5 -6

4

2 4

BAB III

PERSAMAAN GARIS LURUS

A. GRADIEN

Gradien adalah nilai kemiringan suatu garis.

Nilai gradien diperoleh dengan membandingkan jarak vertikal dengan jarak horizontal.

Gradien=

Jarak Vertikal

Jarak Horizontal

1) Gradien garis pada sebuah grafik

Tentukan jarak vertikal (y) dan horizontal (x) kemudian gunakan rumus di atas.

Contoh :

Tentukan gradien garis pada grafik di bawah ini !

Jawab :

Perhatikan arah panah, kanan/atas bertanda positif bila kiri/bawah negatif Maka :

y = 4 dan x = 2, sehingga :

m=

y

c

¿

4

2

=

2

2) Gradien dua buah titik (x1, y1) dan (x2, y2)

m=

y

2

−

y

1

x

2

−x

1 Contoh :

Tentukanlah gradien dari garis yang melalui titik (3,-2) dan (-1, 4)

Jawab :

x1 = 3, x2 = - 1

y1 = -2, y2 = 4

m=

y

2

−

y

1

x

2

−x

1

¿

4

−(−

2

)

(−

1

)−

3

¿

6

−

4

¿

−

3

2

3) Gradien dari persamaan y = mx atau y = mx + c

Untuk y = mx dan y = mx +c gradiennya adalah nilai m

Contoh :

Tentukan gradien dari : a. y = - 2x

b. y = 3x – 2 jawab : a. m = - 2 b. m = 3

4) Gradien dari persamaan ax + by = c atau ax + by + c = 0

Untuk persamaan ax + by = c dan ax + by + c = 0, gradiennya adalah :

m=

−a

b

Contoh :

Tentukan gradien dari : a. 2x + 4y = 12

b. 6x – 3y + 4 = 0 jawab :

a. m =

−a

b

=

−

2

4

=

−

1

2

b.m =

−a

b

=

−−

6

3

=−(−

2

)=

2

bila persamaanya by = ax + c, maka gradiennya adalah :

m=

y

m=

a

b

Contoh :

Tentukan gradien dari 2y = 4x – 5 Jawab :

m=

a

b

=

4

2

=

2

B. PERSAMAAN GARIS LURUS

Persamaan garis lurus adalah persamaan yang memuat hubungan antara titik-titik koordinat yang membentuk garis lurus.

Secara umum persamaan garis lurus dinyatakan dengan :

ax + by + c = 0

selain itu, bentuk persamaan garis lurus yang lain adalah :

y = mx y = mx + c by = ax + c ax + by = c

1) Persamaan garis dari sebuah grafik

bx + ay = ab

contoh :

Tentukan persamaan garis brafik di bawah ini !

Jawab : 3x + 5y = 3(5) 3x + 3y = 15

2) Persamaan garis dari dua buah titik

y−

y

₁

y

2

−

y

1

=

x

−

x

1

x

2

−

x

1 Contoh :

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3,-2) dan (4,5) !

Jawab : x1 = 3, x2 = - 1

y1 = -2, y2 = 4

maka :

y

−(−

2

)

4

−(−

2

)

=

x−

3

(−

1

)−

3

y

+

2

6

=

x−

3

−

4

−4

(

y+2

)

=6

(

x−3

)

−

4

y−

8

=

6

x−

18

6x+4y−18+8=0

6

x+

4

y

−

10

=

0

3) Persamaan garis jika diketahui gradien m dan sebuah titik (a,b)

y – b = m(x – a) Contoh :

Tentukan persamaan garis yang memliki gradien -2 dan melalui titik (-3, 4) !

Jawab : m = -2 a = - 3 b = 4

y – b = m(x – a) y – 4 = - 2(x – (- 3))

y – 4 = - 2(x +3) y – 4 = - 2x – 6

y = - 2x – 6 + 4 y = - 2x – 2

4) Persamaan garis yang melalui sebuah titik dan sejajar dengan garis lain Menggunakan rumus :

y – b = m2(x – a)

dengan m2 = m1

contoh :

tentukanlah persamaan garis yang melalui titik (1.-4) dan sejajar dengan garis y = 3x + 7 !

jawab :

y = 3x + 7, maka m1 = 3

m2 = m1 = 3

a = 1 b = - 4 maka :

y – b = m2(x – a)

y – (-4) = 3(x – 1) y + 4 = 3x – 3

y = 3x – 3 – 4 y = 3x – 7

bila sebuah garis melalui sebuah titik (p,q) dan sejajar garis ax + by + c = 0 maka berlaku :

ax + by = ap + bq

contoh : b

a 0

3

Tentukan persamaan sebuah garis yang melalui titik (4, -5) dan sejajar dengan garis 2x + 3y – 4 = 0

Jawab : p = 4 q = - 5 a = 2 b = 3 maka :

ax + by = ap + bq 2x + 3y = 2.4 – 3.(-5) 2x + 3y = 8 +15

2x + 3y = 23 2x + 3y – 23 = 0

5) Persamaan garis yang melalui sebuah titik tegak lurus dengan garis lain

Menggunakan rumus :

y – b = m

2

(x – a)

dengan m

2

=

−

1

m

₁

contoh :

tentukanlah persamaan garis yang

melalui titik (3.-1) dan sejajar

dengan garis y = 2x + 3 !

jawab :

y = 2x + 3, maka m1 = 2

m2 = =

−

1

2

=

−

1

2

a = 3

b = - 1 maka :

y−b=m

₂

(x

−a)

y−(−

1

)=

−

1

2

(

x−

3

)

y

+

1

=

−

1

2

(

x−

3

)

2

(

y+1

)

=−1

(

x−3

)

2

y+

2

=−x+

3

x+2y=3−2

x+

2

y

=

1

bila sebuah garis melalui sebuah titik (p,q) dan tegak lurus ax + by + c = 0 maka berlaku :

bx – ay = bp - aq

contoh :

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (4, - 1) dan tegak lurus garis 2x – 3y = 4

Jawab : p = 4 q = - 1 a = 2

b = - 3 maka :

bx – ay = bp - aq - 3x – 2y = -3.4 – 2.(-1) - 3x – 2y = - 12 + 2

- 3x – 2y = - 10 - 3x – 2y + 10 = 0

3

- 4 0

SOAL-SOAL LATIHAN

1. Gradien garis yang melalui titik (2, -3) dan (-3, 4) adalah ....

a. – 7 c. 4

b. 3 d. 7

2. Gradien dari garis y =

−

3

5

x

adalah ....

a.

−

5

3

c.

−

3

5

x

b.

−

3

5

d.

3

5

x

3. Gradien dari garis y = - 2x + 3 adalah .... a. – 3 c. 2

b. – 2 d. 3

4. Gradien dari persamaan garis 6x – 2y + 1 = 0 adalah ....

a. – 6 c. 3 b. – 2 d. 6

5. Gradien dari persamaan garis 2x –y = 4 adalah ....

a. – 2 c. 2 b. – 1 d. 4

6. Gradien persamaan garis 2x + 6y = 12 adalah ...

a. – 3 c.

1

3

b.

−

1

3

d. 3

7. Gradien garis yang melalui titik (4b, 7) dan (2b, 10) adalah – 3, nilai b = ....

a.

−

1

2

c.

1

2

b.

−

1

6

d.

2

3

8. Garis g tegak lurus dengan garis yang persamaannya 2y – 3x = 6. Gradien garis g adalah ....

a.

−

3

2

c.

2

3

b.

−

2

3

d.

3

2

9. Gradien garis pada grafik di bawah ini adalah ....

a.

−

5

4

c.

4

5

b.

−

4

5

d.

5

4

10. Persamaan garis yang gradiennya

−

3

5

dan melalui titik (-3, - 2) adalah .... a. 3x – 5y + 19 = 0 c. 3x + 5y + 19 = 0 b. 3x + 5y – 19 = 0 d. 5x + 3y + 19 = 0

11. Persamaan garis yang melalui titik (2, 3) dan (-1,4) adalah ....

a. x – y = 11 c. x – 2y = 5 b. 2x + 3y = 11 d. x + 3y = 11

12. Persamaan garis yang melalui titik (-3, -2) dan (2, 2) adalah ....

a. 4x – 5y + 2 = 0 c. 5x – 4y + 2 = 0 b. 4x + 5y – 2 = 0 d. 4x – 5y – 2 = 0

13. Titik koordinat berikut terletak pada garis 3x + y – 9 = 0, kecuali ....

a. (-2,15) c. (1,6) b. (0,-9) d. (3,0)

14. Persamaan garis yang melalui titik pangkal koordinat dan titik (-3,4) adalah ....

a.

y=

−

3

4

x+

4

c.

y=

−

4

3

x+

4

b.

y=

−

4

3

x

d.

y=

−

3

4

x

15. Perhatikan gambar !

Persamaan garis tersebut adalah .... a. 3y – 4x = 12 c. 3x – 4y = 12 b. 3y – 4x = - 12 d. 3x – 4y = -12

1 2 3 1

2 3

-1 -2 -3

2

0 4

y

16. Grafik dari persamaan garis lurus 2y + x = 4 adalah ....

a. c.

b. d.

17. Persamaan garis yang melalui titik (-2, 5) dan sejajar dengan garis yang persamaannya 3x – 2y – 6 = 0 adalah ....

a. 3x – 2y +16 = 0 c. 2x – 3y +16 = 0 b. 3x – 2y – 16 = 0 d.2x – 3y – 16 = 0

18. Persamaan garis yang melalaui titik (4, -1) dan sejajar dengan garis y = 2x – 6

adalah ....

a. y = 2x – 7 c. y = 2x – 9 b. y = 2x – 8 d. y = 2x – 10

19. Persamaan garis yang melalui titik (6,- 1) dan tegak lurus dengan garis 3x –y + 2 = 0 adalah ....

a. y = - 3x + 1 c. y =

−

1

3

x

+

1

b. y = 3x – 1 d. y =

−

1

3

x−

1

20. Persamaan garis yang melalui titik (2, -4) dan tegak lurus dengan garis 3y = 2x + 4

adalah ....

a. 2y = -3x – 2 c. 3y = 4x + 2 b. 2y = 3x + 2 d. 3y = 4x – 2

ESSAY

1. Tentukanlah gradien dari persamaan garis : a. y = 3x

b. y =

−

2

5

x

+

4

c. 3x + 4y = 12 b. 2x – 4y – 6 = 0

2. Tentukanlah persamaan garis yang melalui titik :

a. (-2,1) dan (4,6) b. (3,-4) dan (-3,-5)

3. Tentukanlah persamaan garis bila :

a. memiliki gradien – 3 dan melalui titik (0, -5)

b. memiliki gradien

−

1

5

dan melalui titik

(1,-1)

4. Tentukanlah persamaan garis yang melalui titik (-7,-4) dan sejajar dengan 2x – 4y + 3 = 0 !

5. Tentukanlah persamaan garis yang melalui titik (-2, 3) dan tegak lurus dengan 2x – 3y = 12 !

x 4

0 2

y

x

2

0 1

y

x 4

0 8

y