Lentur Dan Torsi Pada Core Wall Tampang Tertutup Tidak Berlubang

Oleh

BESMAN SURBAKTI

067016003/TS

SEKOLAH PASCASARJANA

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2008

1

LENTUR DAN TORSI PADA CORE WALL TAMPANG

TERTUTUP TIDAK BERLUBANG

TESIS

Untuk Memperoleh Gelar Magister Teknik dalam Program Studi Teknik Sipil pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara

Oleh

BESMAN SURBAKTI

067016003/TS

SEKOLAH PASCASARJANA

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Nama Mahasiswa : Besman Surbakti Nomor Pokok : 067016003

Program Studi : Teknik Sipil

Menyetujui Komisi Pembimbing :

(Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan) (Ir. Sanci Barus, MT)

Ketua Anggota

Ketua Program Studi, Direktur,

(Dr. Ir. Roesyanto, MSCE) (Prof. Dr. Ir. T. Chairun Nisa B., MSc)

Tanggal 19 Juli 2008

PANITIA PENGUJI TESIS

KETUA : Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan

ANGGOTA : Dr. Ing. Hotma Panggabean

Prof. Dr. Bachrian Lubis, MSc

Ir. Sanci Barus, MT

Pada Perencanaan Struktur suatu bangunan tinggi, gaya lateral yang berupa gaya angin ataupun gaya gempa merupakan hal yang sangat penting dan dominan dalam perencanaan bangunan tersebut. Salah satu struktur yang biasa digunakan pada bangunan tinggi adalah Core Wall yang dapat mentransfer beban angin ataupun beban gempa melalui portal maupun lantai ke dindingnya.

Core Wall umumnya diperlakukan sebagai balok kantilever tipis. Untuk menganalisis, Core Wall diidealisasikan menjadi boom-boom yang diasumsikan sebagai bagian pemusatan daerah dinding. Sehingga dinding antara boom-boom hanya mampu menahan geser saja.

Dengan menggunakan Shear Lag Theory dan Elementary Theory dibanding dengan FEM elemen segi tiga dan segi empat kemudian dianalisis akibat beban lentur sejajar permukaan sempit, tegangan arah Z diperoleh perbedaan 3,5%, sedang antara FEM sendiri diperoleh 6%. Pada tegangan geser diperoleh perbedaan 11,8%, sedang antara FEM sendiri 12,1%. Akibat beban lentur sejajar permukaan lebar, tegangan arah Z diperoleh perbedaan 4,2%, antara FEM sendiri diperoleh 4,2%. Pada tegangan geser diperoleh perbedaan 16,7%, sedang antar FEM sendiri 4,8%. Akibat beban Torsi bekerja pada sumbu Z, tegangan arah Z diperoleh perbedaan 9,7%, antara FEM sendiri diperoleh 11%. Pada tegangan torsi perbedaan cukup kecil yaitu 9,5%, sedang antar FEM sendiri perbedaan 10%.

Kata kunci : Core wall. Boom-boom. Shear Lag Theory. Elementary Theory. FEM. Elemen segi tiga. Elemen segi empat

The design of high rise building structures, lateral forces like wind or earth quake load are very important. The structures can resist that load is Core Wall. It can be transferred throughout the frame and slab to the wall.

Generally Core Wall is used as a thin cantilever beam. In order to analysis the Core Wall is idealized to be booms which are like concentrated wall area. So the wall between beams can resist the shear forces only.

Using shear lag theory and elementary theory comparing the FEM with triangle and rectangle elements which are analyzed by bending parallel to narrow faces, the stress z axis is found a different 3.5%, where the FEM is 6.0%. For shear stress is found 11.8%, where the FEM is 12.1%. For the bending parallel to wide faces, the stress z axis is found a different 4.2%, where FEM is 4.2%. For shear stress is found 16.7%, where FEM is 4.8%. For the torsion load acting z axis, the stress z axis is found a different 9.7%, where FEM is 11.0%. For torsion shear stress, the different is 9.5%, where FEM is 10.0%.

Key words: Core wall. Booms. Shear Lag Theory. Elementary Theory. FEM. Triangle elements. Rectangle elements

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena

atas kemurahan dan berkatNya penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul

“Lentur Dan Torsi Pada Core Wall Tampang Tertutup Tidak Berlubang” sebgai salah

satu persyaratan untuk menyelesaikan program Magister bidang Rekayasa, Program

Studi Teknik Sipil, Universitas Sumatera Utara.

Dengan selesainya tesis ini penulis juga ingin mengucapkan terimakasih yang

sebesar-besarnya kepada :

1. Bapak Prof. Dr .Ing. Johanes Tarigan sebagai ketua komisi pembimbing

yang telah memberikan ilmu dan pemahaman yang sangat diperlukan dalam

penulisan tesis ini.

2. Bapak Ir. Sanci Barus, MT, sebagai anggota komisi pembimbing yang telah

memberikan masukan yang berharga dalam penulisan tesis ini.

3. Bapak Dr.Ir. Roesyanto, MSCE, selaku Ketua Program Studi Magister

Teknik Sipil PPs, Universitas Sumatera Utara.

4. Bapak Ir. Rudi Iskandar Pane, MT, selaku Sekretaris Program Studi

Magister Teknik Sipil PPs, Universitas Sumatera Utara.

5. Seluruh Dosen dan Staf program studi Teknik Sipil Universitas Sumatera

Utara, terutama Staf pengajar Magister Teknik Sipil.

6. Bapak Prof. Dr. Ir. Chairun Nisa B., MSc selaku Direktur Sekolah

Universitas Sumatera Utara.

8. Seluruh mahasiswa SPs Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara khususnya

rekan angkatan 2006.

Penulis sadar bahwa tulisan ini masih jauh dari sempurna, untuk itu saran dan

masukan demi perbaikan sangat diharapkan, mudah-mudahan tesis ini dapat

bermanfaat bagi perkembangan ilmu pengetahuan.

Medan, 28 Juni 2008

BESMAN SURBAKTI

Lahir di Kuala, Langkat pada tanggal 12 Oktober 1954. Pendidikan SD, SMP

diselesaikan di Kuala dan STMNI di Medan. Gelar Sarjana Teknik Sipil diperoleh

pada bulan Januari 1980 dari Universitas Sumatera Utara Medan. Pernah training di

proyek Asahan dalam rangka Transfer of Knowledge dosen seluruh Indonesia dari

tahun 1980-1982, training di Jepang pada tahun 1981 dan training di Cement and

Concrete Association pada tahun 1985 di London, Inggris.

Pengalaman di bidang pekerjaan adalah sebagai Dosen di Departemen Teknik

Sipil Universitas Sumatera Utara Medan sejak tahun 1980 sampai saat sekarang dan

mengasuh mata kuliah Struktur Kayu dan Plastisitas.

Pengalaman di bidang perencanaan struktur adalah perencanaan

Gedung Kantor enam lantai Asia Jaya Furniture di jalan Pemuda Medan, Rehabilitasi

Pondasi Wihara di jalan Irma Suryani Siantar, Gedung Indosat empat lantai di jalan

Perintis Kemerdekaan Medan, Jembatan bentang 111 meter di Sei Barumun Tapanuli

Selatan Sumatera Utara, Hotel Austoria 17 lantai di Batam, Gedung Akademi Bidan

Halaman

ABSTRAK….………….……….……….…. i

ABSTRACT……….……….……….…. ii

KATA PENGANTAR..………..………...…...….. iii

RIWAYAT HIDUP..………..………. v

DAFTAR ISI………... vi

DAFTAR GAMBAR……….. ix

DAFTAR TABEL……….. xi

DAFTAR LAMPIRAN……….. xii

DAFTAR NOTASI……….……… xiii

BAB I PENDAHULUAN……… 1

1.1 Latar Belakang………..… 1

1.2 Permasalahan……….……… 3

1.3 Tujuan Penelitian……… 3

1.4 Pembatasan Masalah……….……… 4

1.5 Metodologi……… 4

1.6 Sistematika Penulisan………... 4

BAB II BEBAN CORE WALL………. 8

2.1 Umum……….… 8

3.1 Prinsip Umum………..…… 15

3.2 Idealisasi Panel Dinding Tipis Dipengaruhi Linearly Varying Direct Stress……….… 15

3.3 Idealisasi Core Wall untuk Analisis Shear Lag…………..…... 17

3.4 Idealisasi Core Wall untuk Analisis Torsi………. 20

BAB IV ANALISIS CORE WALL TAMPANG TERTUTUP……… 22

4.1 Umum……….. 22

4.2 Asumsi………. 22

4.3 Beban Geser Terbagi Rata Sejajar Permukaan Sempit………… 23

4.4 Beban Geser Terbagi Rata Sejajar Permukaan Lebar……….… 30

4.5 Beban Torsi Terbagi Rata Teori Megson ……….……. 30

4.6 Beban Torsi Terbagi Rata Teori Dasar………..…. 34

BAB V METODE ELEMEN HINGGA…………..………. 42

5.1 Constan Strain Triangle Element (CST Element) dan Element Segi Empat………..……. 42

5.2 Elemen Quadrilateral Empat Node Isoparametrik ………. 48

BAB VI APLIKASI………... 58

6.1 Data-data……….……….….. 58

6.2 Beban Lentur Sejajar Ke Permukaan Sempit..………..…. 59

6.3 Beban Lentur Sejajar Ke Permukaan Lebar..…..……….... 61

6.4 Beban Torsi………..…………..…. 62

6.7 Distribusi Tegangan …..………..…………..…. 73

BAB VII KESIMPULAN DAN SARAN……….……. 75

7.1 Kesimpulan ……….……….….. 75

7.2 Saran ……….…………..…. 75

Nomor Judul Halaman 6.1 Lentur Sejajar Permukaan Sempit (Megson)……….. 65

6.2 Lentur Sejajar Permukaan Lebar (Megson) = Teori Dasar…….. 67

Nomor Judul Halaman

1.1 Typical Shear Wall……….. 7

1.2 Typical Core Wall………... 7

2.1 Statical Systems……….. 13

2.2 Statical Systems……….. 13

2.2.1 Transmission Of Wind Loads………. 14

2.2.2 Uniformly Distributed Shear Load………. 14

2.2.3 Uniformly Distributed Torsional Load……….. 14

3.1 Idealization Of A Flat Panel Subjected To A Linearly Varying Stress Distribution……… 21

3.2 Idealization Of Core Wall For Shear Lag Analysis……… 21

3.3 Idealization Of Core Wall For Torsion Analysis……… 21

4.1 Core Wall Subjected To a Uniformly Distributed Shear Loads……… 39

4.2 Loading On Wide Face Of Core Wall……….. 39

4.3 Equilibrium Of An Element Of The Left Hand Edge Boom………. 39

4.4 Compatibility Of Displacement Of Elements Of Booms And Panel……….. 39

4.5 Shear Flow Distribution Determined By Elementary Theory…….. 40

4.6 Core Wall Subjected To a Uniformly Distributed Torque Load….. 40

4.7 Equilibrium Of Boom Element Subjected To Torsion………. 40

4.8 Torsi Pada Tampang Shaft……… 41

4.9 Geometry Tampang Shaft………. 41

4.10 Tegangan Geser Pada Thin-Tube………. 41

5.1 CST Elemen Dengan 6 DOF……….... 43

5.2 Elemen Quadrilateral……… 48

5.3 Koordinat Natural Untuk Elemen Quadrilateral……….. 48

A = Luas Tampang Tertutup Core Wall

AF = Luas Flange Boom

AI = Luas Inner Boom

a = Lebar Tampang Core Wall

B1,B2 = Luas Boom pada Titik 1 dan 2

C = Lebar Outer Panel Core Wall

E = Modulus Elastis

G = Modulus Geser

H = Tinggi Core wall

I = Momen Inersia

M = Momen Lentur

n = Jumlah Boom, Lebar Inner Panel

P = Beban Langsung

PF = Beban Langsung Flange Boom

PI = Beban Langsung Inner Boom

Q = Beban Terpusat

q = Shear Flow

qa = Shear Flow Dinding a

qb = Shear Flow Dinding b

Ti = Intensitas Torsi

t = Tebal Dinding

ta = Tebal Dinding Core Wall a

tb = Tebal Dinding Core Wall b

W = Warping Displacement

Wx = Besar Beban Paralel Sumbu x

Wy = Besar Beban Paralel Sumbu y

x=y = Sumbu Tampang Core Wall

Z = Sumbu Longitudinal Core Wall

γ = Shear Strain

ΔBr, ΔBr+1 = Pertambahan Luasan Boom pada r dan r+1 εF = Regangan Flange Boom

εI = Regangan Inner Boom θ = Sudut Rotasi

υ = Angka Poisson

σF = Tegangan Flange Boom σI = Tegangan Inner Boom σZ = Tegangan Arah Sumbu Z τ = Tegangan Geser

Nomor Judul Halaman I Sign Convention………... 77

II Out Put SAP 2000 Elemen Segitiga………. 82

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Perencanaan Struktur suatu bangunan tinggi dapat ditetapkan bahwa gaya

lateral sehubungan dengan gaya angin ataupun gaya gempa merupakan hal yang

sangat penting dan dominan dalam perencanaan tersebut. Struktur Bangunan tinggi

harus direncanakan, sehingga dapat memikul beban horizontal, beban vertikal

maupun beban puntir yang bekerja padanya.

Umumnya struktur tersebut dapat dibagi atas dua type yaitu yang disebut

dengan Shear Wall dan Core Wall. Shear Wall umumnya ditempatkan diujung

bangunan ataupun ditengah memanjang pada ketinggian bangunan (Gbr. 1.1)

Sehingga beban angin ataupun beban gempa dapat ditransfer kedinding tersebut

melalui portal maupun lantai.

Sedangkan Core Wall dapat dikonstruksikan sebagai Lift, Shaft ataupun

Service duct yang juga memanjang pada ketinggian bangunan (Gbr. 1.2) dan dapat

memikul beban angin ataupun beban gempa yang bekerja padanya melalui portal

maupun lantai. Umumnya Core Wall bertampang tertutup dengan atau tidak

berlubang dan ratio perbandingan antara tebal dan lebar, juga antara tebal dan tinggi

adalah kecil. Sehubungan dengan hal tersebut, Core Wall bertindak sebagai dinding

Keuntungan memakai Core Wall sebagai suatu struktur yaitu dapat memikul

gaya puntir ( torsi ), yang timbul akibat adanya eksentritas beban ataupun eksentritas

struktur. Lebih lanjut Core Wall tidak perlu ditempatkan simetris tetapi dapat

ditempatkan sendiri diluar ataupun didalam bangunan sebagai Lift, Shaft ataupun

Tangga.

Pada tesis ini, analisis Core Wall yang dijelaskan adalah akibat gaya angin

(bukan gempa) dan metode perhitungan dilakukan dengan manual. Didalam

mengontrol perhitungan manual, dilakukan pengontrolan dengan bantuan program

SAP 2000.

Program SAP 2000 ini adalah sangat efisien untuk menghitung bangunan

bertingkat banyak, dimana perhitungan dengan manual terbatas hanya pada bangunan

bertingkat sedikit. Namun demikian perhitungan dengan manual juga diperlukan

untuk pengontrolan kelayakan hasil dari output komputer.

Anggapan dari tampang Core Wall adalah kaku, ujung bawah dari Core Wall

dianggap jepit sedang ujung atas dianggap bebas, jadi dianggap balok overhang

dengan jepit bebas. Oleh karena itu hubungan antara lantai dan Core Wall

direncanakan dengan perletakan biasa, sehingga restrain warping yang diakibatkan

oleh lantai pada Core Wall diharapkan sekecil mungkin.

Banyak metode perhitungan yang telah dikembangkan oleh para engineer

seperti Coull and Stafford, Smith, Back, Erikson, Rosman, Schulz Magnus, Jenkins

and Harisson, Mechael, Heidebrecht and Swift, Stafford Smith and Taranath, Vlasov,

Tetapi dalam tesis ini penulis memfokuskan dengan metode yang telah

dikembangkan oleh Dr. Megson dan menggunakan program Metode Elemen Hingga

dengan SAP 2000.

1.2 Permasalahan

Pada Struktur yang mengalami gaya lateral dapat dipikulkan terhadap Shear

Wall maupun Core Wall. Akan tetapi pada struktur yang menggunakan Shear Wall

tidak dapat memikul torsi sedang struktur yang menggunakan Core Wall dapat

memikul torsi . Torsi ini timbul akibat adanya eksentrisitas beban ataupun

eksentrisitas struktur.

Struktur Core Wall berdinding tipis, dimana perbandingan antara tebal dan

lebar serta panjangnya adalah kecil dan terkadang lebar dan panjang Core Wall tidak

sama sesuai dengan kebutuhan dari bangunan tersebut.

Jadi atas permasalahan diatas timbul atau terjadi torsi pada dinding tipis dan

terjadi distribusi torsi yang ditahan oleh Core Wall arah tampang sempit dan lebar

tidak sama, sehingga menimbulkan distribusi tegangan torsi yang berbeda pula.

1.3 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan penelitian dari penulis tesis ini adalah untuk mengetahui

tegangan-tegangan yang diakibatkan oleh :

1. Beban geser terbagi rata sejajar permukaan sempit

3. Beban torsi terbagi rata yang mengakibatkan distribusi tegangan yang

berbeda pada Core Wall.

1.4 Pembatasan Masalah

Adapun pembatasan masalah dari penulis tesis ini adalah :

1. Bahan bersifat homogen, isotropis dan berlaku hukum Hook

2. Bahan yang ditinjau adalah beton

3. Tampang Core Wall segi empat dan berdinding tipis

4. Gaya lateral yang dibahas adalah gaya angin

5. Struktur Core Wall, over hang dengan perletakan jepit bebas

6. Hubungan antara lantai dan Core Wall dianggap perletakan biasa

7. Pada bab aplikasi, gaya-gaya pada Core Wall ditetapkan saja.

8. Akibat warping tampang tidak berobah bentuk.

1.5 Metodologi

Adapun metodologi yang dipakai dalam tulisan ini adalah secara analitis dan

dibandingkan dengan hasil Metode Elemen Hingga, program SAP 2000 versi 10.

1.6 Sistematika Penulisan

BAB I : PENDAHULUAN

1. Latar Belakang

3. Tujuan Penelitian

4. Pembatasan Masalah

5. Metodologi

6. Sistematika Penulisan

BAB II : BEBAN CORE WALL

1. Umum

2. Beban Core Wall

BAB III : IDEALISASI STRUKTUR

1. Prinsif Umum

2. Idealisasi Panel Dinding Tipis Dipengaruhi Linearly Varaying Direct

Stress

3. Idealisasi Core Wall Untuk Analisis Shear Lag

4. Idealisasi Core Wall Untuk Analisis Torsi

BAB IV : ANALISIS CORE WALL TAMPANG TERTUTUP

1. Umum

2. Asumsi

3. Beban Geser Terbagi Rata Sejajar Permukaan Sempit

4. Beban Geser Terbagi Rata Sejajar Permukaan Lebar

6. Beban Torsi Terbagi Rata Teori Dasar

BAB V : METODE ELEMEN HINGGA

1. Constant Strain Triangle Element (CST Element) dan Element Segi Empat

2. Elemen Quadrilateral Empat Node Isoparametrik

BAB VI : APLIKASI

BAB VII : PEMBAHASAN

BAB VIII : KESIMPULAN DAN SARAN

Gambar 1.1. Typical Shear Wall

BAB II

BEBAN CORE WALL

2.1 Umum

Core wall pada umumnya ditempatkan pada tengah bangunan, tetapi juga

dapat dibangun pada tepi atau di luar bangunan sebagai tempat transportasi vertikal

seperti untuk tangga, lift, shaft untuk dakting dll. Core wall bisa bersifat massif yang

dilemahkan oleh lubang-lubang seperti pembuatan lubang untuk pintu, pemberian kisi

dll. Tetapi demikian tidak ada kesulitan pemecahannya tanpa membutuhkan tempat

yang luas untuk penempatan struktur vertikal ini.

Disain bangunan tinggi harus bersifat flexible untuk pengaturan tata letak,

sehingga masing-masing lantai dapat dengan mudah ditata sesuai dengan

ukuran-ukuran yang dibutuhkan untuk mencapai penggunaan yang paling hemat dan efisien.

Disain yang flexible juga membantu lebih lanjut jika lantai pada ruangan dalam

bebas dari kolom-kolom.

Bentuk-bentuk core wall bermacam-macam, bisa mempunyai tipe kotak

tunggal, tipe banyak kotak, bentuknya bisa seperti O, Δ, E, II dll. Dan juga dapat terbuat dari baja, beton bertulang dan juga komposit.

Keuntungan-keuntungan utama core wall beton bertulang adalah beton

bertulang mengizinkan penggabungan dari fungsi daya dukung dengan suatu ruang

tertutup, dimana kekakuan lateral yang lebih tinggi dapat diperoleh. Dan juga resiko

kekuatan tekan yang tinggi dan oleh karena itu cocok untuk sistem dengan gaya tekan

tinggi seperti pada kasus struktur-struktur gantung.

Bagaimanapun core wall, bagian-bagian vertikal dan horizontal lainnya dari

struktur kadang-kadang bisa secara statis saling tergantung dan merupakan sistem

statis yang bervariasi. Kadang-kadang, ada satu sistem yang seragam yang menahan

kedua beban horisontal dan vertikal. Hal itu perlu juga dimasukkan dalam

perhitungan biaya pada tahap pemasangan, struktur dapat gagal karena mengalami

perilaku yang berbeda , ini menunjukkan sistem statika berbeda dan mendapatkan

hasil struktur yang tidak diinginkan.

Ada beberapa sistem dasar yang bisa dipertimbangkan sebagaimana

ditunjukkan di dalam gambar 2.2.

Pertama, core wall dan kolom yang disebut sistem kolom.

Kedua, core wall dengan struktur lantai kantilever yang dapat digolongkan sebagai

struktur bebas pada setiap lantai dan lantai dipersatukan oleh pasangan struktur yang

menyatu.

Ketiga, core wall dengan kolom-kolom didukung di satu grid alas, dimana di atas

pondasi hanya ada struktur vertikal saja.

Keempat, core wall dengan lantai-lantai digantung pada grid atas.

Akhirnya, kombinasi sistem dimana core wall dihubungkan dengan kolom pada grid

atas dengan tujuan untuk memperoleh suatu sistem statis.

Namun demikian, masing-masing dari sistem tersebut mempunyai

Walaupun, core wall dibangun dengan cara yang berbeda sistem dan bentuk,

pada tesis ini diteliti bentuk sederhana yaitu bentuk persegi dengan gaya angin

sebagai gaya lateral.

2.2 Beban Core Wall

Fungsi utama struktur core wall adalah untuk menahan gaya lateral akibat

gaya angina dan gempa, yang pada dasarnya merupakan beban dinamis.

Bagaimanapun, karena struktur secara keseluruhan menyesuaikan diri seolah-olah

berupa beban statik, dalam desain praktis pada umumnya gaya angin diperlakukan

sebagai beban statis dan mengabaikan sifat dinamisnya.

Beberapa pertimbangan yang menjadi pilihan dari perencanaan tekanan angin

adalah :

Pertama, antisipasi life times struktur dan hubungannya dengan periode ulang

kecepatan angin maksimum.

Kedua, jangka waktu dan besaran hembusan angin maksimum.

Ketiga, variasi kecepatan angin dengan ketinggian dan juga sudut datang angin.

Keempat, pengaruh topografi dan fitur arsitektural.

Perencanaan statis untuk beban angin dapat diperoleh dari persamaan berikut :

(

2.2.1

)

... ... ... 2

1

2

2 α

ρ ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

h H Vh Cg Ca Cs

p

Di mana, Cs koefisien yang tergantung pada bentuk struktur, Ca koefisien yang

yang tergantung pada magnitudo dari kecepatan hembusan angin maksimum dan

ukuran struktur. ρ kerapatan udara, Vh kecepatan dasar rencana angin pada

ketinggian h, H ketinggian dari tanah di mana p dievaluasi atau suatu ketinggian

karakteristik struktur, h ketinggian di mana kecepatan dasar ditentukan, α suatu eksponen untuk meningkatkan kecepatan dengan ketinggian yang ditentukan oleh

kekasaran di sekitar permukaan hampiran lokasi. Akhirnya p tekanan angin yang

digunakan.

Bagaimanapun, mungkin persamaan ini tidak dapat digunakan untuk

bangunan yang sangat tinggi, terutama berkenaan dengan kenyamanan penghuni dan

pergerakan horizontal yang diizinkan yang dapat mengakibatkan retakan pada

dinding partisi dan kaca. Faktor ini betul-betul dihubungkan dengan frekwensi dan

amplitudo dari getaran, yang tergantung pada frekwensi alami bangunan dan fluktuasi

hembusan angin kencang dibanding tekanan angin normal.

Walaupun begitu muatan angin di bagian luar bangunan tinggi mempunyai

permasalahan yang sangat kompleks dan penyebab permasalahan ini adalah disain

dinding luar, muatan angin disalurkan kepada core wall melalui plat lantai yang

banyak. Keserasian kekakuan frame dan plat lantai menjadikan tekanan angin yang

tidak seragam dapat diasumsikan sebagai beban terbagi rata yang bekerja pada core

wall sebagai gaya lateral (Gambar 2.2.1)

Disain core wall selalu diasumsikan sebagai balok kantilever dan plat atau

pondasi dianggap kaku, tetapi hubungan antara plat lantai dan core wall sering

Arah angin pada umumnya selalu berubah-ubah, karenanya mungkin saja

dibagi dalam dua arah yaitu arah x dan arah y sebagai gaya geser yang didistribusi

seragam dan terpisah (Gambar 2.2.2). Dalam kaitan dengan itu, core wall harus kaku

di segala arah seperti juga pondasinya.

Lebih dari itu, core wall harus dapat menahan gaya torsi yang disebabkan

eksentrisitas tekanan angin yang seragam dan pusat geser core wall.

Ada beberapa faktor yang dapat mempengaruhi eksentrisitas. Pertama,

penempatan core wall di dalam bangunan. Jika core wall ditempatkan dekat dengan

pusat bangunan, maka eksentrisitas bisa jadi berkurang. Oleh karenanya torsi akan

berkurang secara otomatis. Bagaimanapun untuk menjadikan torsi menjadi nol adalah

mustahil sebab gaya angin tidak selalu seragam dan simetris.

Kedua, sudut gaya angin mempunyai komponen dengan nilai yang berbeda. Oleh

karena itu dapat juga menghasilkan tambahan torsi.

Meskipun demikian, bentuk bangunan dan lubang pada core wall dapat

mempengaruhi nilai gaya torsi.

Walaupun gaya torsi cukup kompleks, mereka dianggap sebagai beban terbagi

[image:31.612.140.521.97.718.2]

a. Core And Columns b. Cantilevered Systems

Gambar 2.1. Statical Systems

c. Base Grid d. Suspended System e. Combine System

[image:32.612.158.525.86.662.2]

Gambar 2.2.2 Uniformly Distributed Shear Load Gambar 2.2.1 Transmission Of Wind Loads

BAB III

IDEALISASI STRUKTUR

3.1 Prinsip Umum

Umumnya core wall mempunyai rasio tebal dengan lebar kurang dari 0.1 dan

rasio lebar dengan ketinggian yang rendah juga. Karenanya core wall dapat

diperlakukan sebagai balok tipis dan juga sebagai balok kantilever.

Untuk menganalisis core wall selalu diidealisasikan menjadi boom-boom.

Boom-boom tersebut diasumsikan sebagai bagian pemusatan daerah dinding.

Sehingga dinding antara boom-boom ini kemudian hanya mampu menahan tegangan

geser saja. Selanjutnya nilai dari direct stress ditentukan oleh titik berat dari tiap

boom dan tebal dinding seperti juga tegangan geser di dalam dinding antara

boom-boom ini diharapkan tetap konstan.

Tegangan geser di dalam bidang tampang dan tegak lurus pada garis

pertengahan tampang diabaikan selagi tegangan geser searah garis pertengahan dan

hal ini dianggap konstan.

3.2 Idealisasi Panel Dinding Tipis di Pengaruhi Linearly Varying Direct Stress

Distribusi direct stress di dalam panel dinding tipis diasumsikan dapat

berubah secara linier di sekitar tampang. Umpamakan Gambar 3.1.(a) adalah sebagai

panel tipis yang mempunyai tebal t, kedalaman b dan panjang L. Kemudian penel

boom diperkirakan bekerja direct stress σ1 dan σ2 seperti yang ditunjukkan di dalam Gambar 3.1.(b). Menurut ini dan untuk beban langsung yang sama jadinya :

(

)

...

( )

3.1 2 1 2 1 2 2 1

1σ + B σ = bt σ +σ

B

Persamaan momen lentur bisa diperoleh dari boom B1 untuk tepi bawah panel atau

boom B2 seperti di bawah :

[image:34.612.127.465.259.441.2]

( )

3.2 ... ... ... ... ... 2 6 3 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = σ σ σ σ σ σ bt B b bt b bt b B

Substitusi B1 di dalam persamaan (3.1) menghasilkan,

( )

3.3 ... ... ... ... ... 2 6 ₂ 1 2 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + = σσ bt B

Jika rasio σ1/σ2 diketahui, maka daerah-daerah boom yang diidealisasikan akan

diteperoleh.

Karena tampang dinding tipis terdiri atas suatu rangkaian dinding, seperti

dalam banyak sel core wall , nilai dari area boom yang ditingkatkan pada titik rth dan (r+1)th dari bentangan dinding antara titik rth dan (r+1)th bisa ditentukan dari persamaan ini,:

( )

3.3 Idealisasi Core Wall untuk Analisis Shear Lag

Nilai direct stress ditentukan pada titik berat dari tiap boom. Bagaimanapun

direct stress didistribusikan di sekitar tampang dan juga dapat ditingkatkan secara

signifikan di sekitar konstrain axial. Hal ini dikenal sebagai shear lag.

Idealisasi dari suatu n boom, Argyris dan Dunne memperkenalkan hal tersebut

ada n-3 keseimbangan end load, atau eigen load, atau buckling load. Sistem ini

memerlukan penghapusan n-3 mode yang mungkin dari perpindahan warping.

Sesungguhnya, ada sejumlah perpindahan warping yang dapat terjadi pada suatu

idealisasi. Hal itu mengesahkan penggunaan pusat geser sumbu flexural sebagai alat

memisahkan beban torsi dan geser. Setiap perpindahan akibat warping adalah pada

sumbu putar yang berbeda untuk masing-masing mode warping. Perkiraan yang baik

diperoleh jika gaya torsi pada sumbu putar sesuai dengan gaya buckling yang paling

rendah. Gaya lintang melalui sumbu ini, sumbu nol warping yang tidak

menghasilkan warping dalam kaitan dengan puntir.

Permasalahan dalam memisahkan torsi dan gaya lentur dalam kedua potongan

adalah bahwa hal tersebut tidak tampak karena gaya torsi searah sumbu kedua

potongan. Simetri ganda juga mempunyai efek pembagian gaya buckling dalam

empat bagian. Mereka berpasangan dengan (n/4)-1 mode-mode flexural murni pada

setiap bidang simetri, ( n/4) mode-mode puntir murni di sekitar pusat simetri dan

(n/4)-1 mode-mode warping murni yang tidak mengikutsertakan flexure dan puntir

dalam suatu bidang simetri. Jika tampang diidealisasikan menjadi satu yang terdiri

atas delapan boom, maka akan mempunyai satu sistem gaya buckling.

Secara umum, efek shear lag di dalam balok tipis yang dangkal cukup

signifikan. Sebagai contoh, gambar 3.2 (a) adalah satu core wall potongan tertutup.

Di potongan ini, shear lag hanya penting untuk dipertimbangkan bila gaya geser

digunakan di pada arah tegak lurus permukaan yang lebar.

Jika teori lentur dasar digunakan untuk menganalisa core wall, maka distribusi

direct stress yang seragam akan diperoleh permukaan luas dan variasi distribusi

secara linear di dalam permukaan yang sempit. Juga nilai dari tegangan yang

mempunyai perbedaan yang besar dari setiap permukaan yang sempit akan sama

tetapi berbeda dalam tanda.

Daerah boom AF dan AI ditunjukkan di dalam gambar 3.2.( b), hal ini dapat di

analisis secara teori dasar lentur. Maka, dari persamaan-persamaan (3.4) atau (3.5).

( )

( )

(

3

)

...3.6 6

1

1 2 6 1 2 6

a b

F

a b

F

t C t b A

karenanya

t C t

b A

+ =

+ +

− =

( )

( )

( )

(

)

...

(

3.7 2

1 2 6 1 2 6

n C t A memberi yang

t n t

C A dan

a I

a a

I

+ =

+ +

+ =

)

Boom-boom bagian dalam core wall tertutup akan sesuai, jika ditempatkan

pada c=n=a/3 seperti yang ditunjukkan dalam gambar 3.2.( b). Hasilnya, distribusi

demikian, untuk core wall berlubang, n akan sebanding dengan lebar lubang. Lebih

dari itu, flens dari boom-boom terletak pada sudut core wall yang layak untuk

mengharapkan nilai tegangan maksimum.

Ada pembatasan-pembatasan idealisasi struktur dalam kaitan dengan gaya geser,

tegangan geser pada titik tengah permukaan terlebar dari potongan segi empat core

wall diperlakukan untuk satu gaya geser simetri dan parallel ke permukaan sempitnya

3.4 Idealisasi Core Wall untuk Analisis Torsi

Core wall segi empat simetri seperti yang ditunjukkan di dalam gambar 3.3.

hanya akan mempunyai satu mode perpindahan puntir, jika itu diidealisasikan untuk

empat potongan boom.

Perpindahan warping di sekeliling tampang dari potongan segi empat kotak

dinding tipis yang tidak dikekang mempunyai nilai linier nol pada bidang simetri dan

nilai maksimum dengan tanda kebalikan pada sudut-sudut yang berdekatan.

Sistem direct stress dipengaruhi oleh kekangan warping pada ujungnya. Itu

berbanding lurus untuk warping bebas, sedemikian sehingga rasio tegangan pada

sudut-sudut berdekatan adalah 1. Dari persamaan (3.4) , Jadi daerah AF dari tiap

boom pada sudut core wall dimana tingkat maksimum kekangan warping adalah :

( )

( )

(

)

...

(

3.8 6

1

1 2 6 1 2 6

b a F

b a

F

bt at A

memberi yang

t b t

a A

+ =

− +

− =

)

Analisis torsi dari potongan segi empat core wall, distribusi direct stress bisa

[image:39.612.91.523.93.663.2]

Gambar 3.1. Idealization Of A Flat Panel Subjected To a Linearly Varying Stress Distribution

[image:39.612.118.508.102.286.2]

Gambar 3.2. Idealization Of Core Wall For Shear Lag Analysis

BAB IV

ANALISA CORE WALL TAMPANG TERTUTUP

4.1 Umum

Core wall tampang segi empat tertutup dengan sepenuhnya dibangun pada

satu ujung dan tanpa pembuatan lubang. Hal itu diperlakukan untuk distribusi gaya

torsi dan geser yang seragam. Core wall tanpa lubang jarang ditemukan di dalam

praktek tetapi ini diperlukan untuk tujuan penentuan dasar guna menganalisa efek

dari lubang pada distribusi tegangan dan perpindahan.

4.2 Asumsi

Ada beberapa anggapan untuk dipertimbangkan sebagai berikut, pertama jika

rasio ketebalan dinding dengan lebar lebih besar dari 0.1, struktur masih bisa

diperlakukan sebagai dinding tipis.

Kedua, tegangan langsung dihitung pada garis pertengahan potongan core wall dan

diasumsikan konstan ke sepanjang ketebalannya.

Ketiga, tegangan geser pada bidang tampang dan tegak-lurus garis pertengahan

potongan diabaikan sedangkan tegangan geser pada bidang tampang dan searah garis

pertengahan diasumsikan konstan ke sepanjang ketebalannya.

Keempat, tampang core wall diasumsikan ditegakkan oleh satu rangkaian diafragma

berupa plat lantai.

Kelima, core wall kaku sempurna di dalam bidangnya, tetapi cukup flexibel dalam

Terakhir, hubungan antara plat lantai dan core wall didisaian sebagai tumpuan

sederhana. Oleh karena itu kekangan warping oleh plat lantai pada core wall

diusahakan menjadi minimal.

4.3 Beban Geser Terbagi Rata Sejajar Permukaan Sempit

Core wall yang ditunjukkan pada gambar 4.1 mempunyai dimensi yang sama

seperti tampang dalam gambar 3.2.(a). Itu diperlakukan untuk distribusi tegangan

geser yang seragam disebabkan oleh gaya searah permukaan sempit (Wy).

Tampangnya diidealisasikan sebagai potongan delapan boom segi empat

sebagaimana yang disebutkan pada bab 3.

Pada gambar 4.2. menunjukkan bahwa core wall diamati pada satu potongan z,

gaya geser pada setiap permukaan yang sempit adalah WyZ/2. Hal itu menyebabkan

aliran geser yaitu WyZ/2b pada permukaan yang sempit.

Aliran geser mempengaruhi satu aliran geser saling melengkapi yang sama sepanjang

tepi vertikal dari permukaan yang sempit, oleh karena itu permukaan yang lebar

ABCD diperlakukan secara linier bervariasi aliran geser tepi. Tetapi aliran geser pada

pusat panel simetri adalah nol.

Elemen ketinggian δZ dan lebar c pada panel luar permukaan lebar ABCD

akan diperlakukan untuk geser yang saling melengkapi aliran geser q yang konstan

ke sepanjang lebar panel yang diidealisasi.

Lebih dari itu, jika solusi arah q menghasilkan suatu nilai negatif, berarti anggapan

[image:42.612.169.473.242.353.2]

Gambar 4.3. menunjukkan bahwa satu elemen z dari boom flens sebelah kiri

berdekatan sampai elemen panel luar dalam keseimbangan akibat aliran geser dan

beban langsung.

Oleh karena itu untuk keseimbangan gaya dalam arah z seperti di bawah ini :

( )

4.1 ... ... ... ... 2 0 2 q b Z W d P d memberi yang P q b Z W d dP P y Z F F z z y z z F F − = = − + − + δ δ δ

Dengan cara yang sama untuk elemen δz tangan kiri boom bagian dalam :

( )

4.2 ... ... ... ... ... ... ... q d P d Z I =

Keseimbangan total dari panjang z permukaan yang lengkap dimana terdiri

atas beban langsung PF dan PI di dalam boom-boom sedang gaya eksternal

menghasilkan gaya aliran geser tepi yang menyatu pada panjang z.

( )

4.3 ... ... ... 0 2 , 2 2 2 2 2 = − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + b Z W P P memberi yang Z b Z W P P y I F Y I F

Satu persamaan berikutnya berkaitan dengan kecocokan perpindahan yang

harus ada antara satu elemen dan elemen yang berdekatan flens dan boom-boom yang

Dalam gambar 4.4, εf dan εI adalah regangan langsung di dalam masing-masing flens

dan bagian boom-boom, sedangkan γ adalah regangan geser yang konstan sepanjang lebar panel.

Menurut hubungan antara tepi-tepi panel dan boom-boom yang berdekatan, maka :

(

)

(

)

(

)

( )

E A P E A P Gt q ana C d d memberi yang d d C F F F I I I a F I Z Z Z Z F Z I = ∈ = ∈ = ∈ − ∈ = + ∈ + = ∈ + ; ; , dim 4 . 4 ... ... ... 1 , 1 1 γ γ δ γ δ δ

karenanya persamaan (4.4) dapat ditulis ulang seperti di bawah,:

( )

4.5 . ... ... ... ... ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ₋ = F F I I a z q A P A P CE Gt d d

dari persamaan (4.5), ( 4.2) dan (4.3) akan menghasilkan satu persamaan diferensial

orde dua di dalam PI, yaitu,:

( )

⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + = − = − I F I F a F y a I Z I A A A A CE Gt bA Z W CE Gt P d P d 2 2 2 2 2 dimana 6 . 4 ... ... ... 2 μ μ

(

)

( )

(

)

1

2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 cosh sinh cosh sinh dimana 7 . 4 . ... 2 2 2 2 1 2 : menjadi n keseluruha secara al differensi persamaan an penyelesai Maka − − + − + − + − + − + − + + = + = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ₊ + + + = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + + + = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ₊ + + = + + + = + + + + = Z Z e dan Z Z e Z A A b A W e A e A P x e A e A y x e A e A y a x e A e A y c bx ax e A e A y z Z I F I Y Z Z I x x x x x x x x μ μ μ μ μ μ μϕ μϕ ϕ μ μ μϕ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ

Nilai dari e-μz sangat kecil, jadi dapat diasumsikan nol.

Untuk pendekatan engineering, maka penyelesaian umum persamaan diferensial

adalah :

(

)

Z

(

a

)

A A b A W Z C Z B P I F I Y

I ...4.7.

2 2 sinh cosh 2 2 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + + + + = μ μ μ

Dimana B dan C konstan yang dihitung dengan kondisi batas panel. Jika Z=0, pada

ujung bebas dari permukaan lebar boom bagian dalam PI akan menjadi nol. Juga jika

Z=H pada ujung berikutnya, aliran geser akan menjadi nol ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₌₀ dZ

dP_I

sehingga kondisi pertama memberi,

(

)

μ2

I F I Y A A b A W B + − =

(

+

)

_⎜⎜⎝⎛ − _⎟⎟⎠⎞ = H H H A A b A W C I F I Y μ μ

μμ cosh

tanh

2

substitusi B dalam persamaan (4.7a), memberikan,:

(

)

sinh ...

( )

4.8

cosh sinh cosh 1 1 2 2 2 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − + − + + = Z H H H Z Z A A b A W P I F I Y I μ μ μ μ μ μ

Tegangan langsung σI di dalam boom bagian dalam sama dengan PI/AI, jadi,

(

)

sinh ...

( )

4.9

cosh sinh cosh 1 1 2 2 2 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − + − + + = Z H H H Z Z A A b W I F Y

I μ μ

μ μ μ

μ σ

Substitusi PI dari persamaan (4.8) ke dalam persamaan (4.3), memberikan,:

(

)

sinh ...

( )

4.10

cosh sinh cosh 1 2 2 2 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − + − − + = Z H H H Z A A Z A A b A W P F I I F F Y F μ μ μ μ μ μ

Tegangan langsung σF dalam flens boom adalah Pf/Af, karenanya,:

(

)

sinh ...

( )

4.11

Dari persamaan (4.2) dan (4.8), memberikan,:

(

)

cosh ...

( )

4.12

cosh sinh sinh 1 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − + − + + = Z H H H Z Z A A b A W q I F I Y μ μ μ μ μ μ

Sedangkan tegangan geser τ adalah q/ta, jadi,:

(

)

( )

(

)

Z

(

a

)

H H H Z A A Z A A bt A W Z H H H Z Z A A bt A W F I I F b F Y b I F a I Y a 13 . 4 ... cosh cosh sinh sinh 13 . 4 ... cosh cosh sinh sinh 1 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − + − + + = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − + − + + = μ μ μ μ μ μ τ μ μ μ μ μ μ τ

Distribusi tegangan langsung pada ujung flens boom-boom bagian dalam dapat

dihitung dengan teori dasar seperi di bawah,

I M_Y

I F =σ =

σ

di mana,

(

)

4 4 ; 2 ; 2 2 2 b A A I b Y Z W

M = Y = = _F + _I

karenanya,

(

)

...

( )

4.14 4 2 I F Y I F A A b Z W + = =σ σ

Juga aliran geser dan tegangan geser dapat juga dihasilkan oleh teori dasar lentur,

(

)

(

)

...

( )

4.15 2

;

2 bt A A Z

4.4 Beban Geser Terbagi Rata Sejajar Permukaan Lebar

Distribusi beban dalam gambar 4.1 adalah Wx yang beraksi sepanjang garis

pertengahan vertikal permukaan CDFJ. Dalam hal ini, tegangan langsung dan aliran

geser bisa juga dihitung dengan teori dasar lentur.

Oleh karena itu distribusi tegangan langsung pada potongan z manapun akam

memberikan,

(

)

(

)

...

( )

4.16 3 3 , 3 6 ; 2 dim 2 2 2 2 Z at bt a X W maka at bt a I Z W M ana I M a b X Z a b X X Z + = + = = = σ σ

Dan distribusi aliran geser core wall potongan core wall dalam gambar 4.5(a) pada

potongan Z manapun bisa dihitung dengan rumus di bawah ini,

(

)

( )

(

)

...

( )

4.18 2 3 3 17 . 4 .. ... ... ... ... ... ... 3 3 2 2 2 2 12 1 01 Z abt S t t aS at bt a W q Z at bt a S t W q b a a a b X a b b X ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− +} + = + =

4.5 Beban Torsi Terbagi Rata Teori Megson

Core wall yang ditunjukkan dalam gambar 4.6 diperlakukan untuk distribusi

ini juga diidealisasikan dalam potongan segi empat empat boom sebagaimana

disebutkan pada bab 3.

Keseimbangan longitudinal elemen boom δz dalam gambar 4.7 adalah,

( )

4.19 . ... ... ... ... 0 0 = − + = − + − + b a Z F Z b Z a F Z Z F F q q d dP q q P d dP

P δ δ δ

Dimana, regangan langsung dw/dz = Pf/Af E atau PI=AfE dw/dz

(

)

(

)

b

b a b b a a b a b a a a a b a t at bt b T t at bt WGt q t at bt a T t at bt WGt q geser aliran dan + + + = + + + − = 4 4

Menggantikan Pf, qa dan qb dalam persamaan (4.19) memberikan,

( )

(

a b

)

F a b b a b a F b a b a b a a b F at bt E A t Gt ana at bt at bt E abA T W dZ W d b t a t at bt T W at bt t Gt dZ W d E A + = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + − − = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_{− +} + = + − 8 , dim 20 . 4 ... ... ... 8 2 2 2 2 2 2 μ μ

Gaya torsi pada potongan manapun dapat diperoleh dengan mengintegrasikan

panjang z. =

∫

= Z TiZ TidZ T 0

⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + + + = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + + + = + + + = + + + = + + + + = − + − + − + − + − + z z e A e A w x x e A e A y x x e A e A y a x x e A e A y c bx ax e A e A y z z x x x x x x x x 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 : menjadi n keseluruha secara al differensi persamaan an penyelesai maka μ μϕ μ μϕ μϕ μ μϕ μ μϕ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ z e A e A w z z z 2 2 1

2 sangat keciluntuk bangunan tinggidapat dianggapnilainyanol.

2 harga Dimana μϕ μ μ μ _{+ +} = + −

Solusi umum persamaan (4.21) memberikan,

( )

4.22 ... ... ... ... 8 2 Z t a t b abG Ti e A e A W a b Z Z I ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − + + = +μ −μ

Untuk pendekatan engineering, memberikan penyelesaian umum persamaan

diferensial,

( )

4.23 ... ... ... 8 sinh cosh Z t a t b abG Ti Z C Z B W a b ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − + + = μ μ

Konstanta-konstanta tak dikenal B dan C dapat ditemukan dari kondisi batas

Pertama, jika Z=0 pada ujung bebas, regangan langsung dw/dz=0.

oleh karena itu persamaan (4.23) memberikan,

( )

4.24 ... sinh

cosh cosh

sinh

8 _⎭⎬

⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − + ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − = μμ μ μ μ μ μ Z Z H H H Z t a t b abG Ti W a b

Distribusi warping sepanjang tepi-tepi lainnya mengikuti rumus anti simetri.

Distribusi tegangan langsung sepanjang FJ diberikan oleh σz=E dw/dz Sedemikian sehingga dari persamaan (4.24),

( )

4.25 ... ... cosh sinh cosh sinh 1

8 _⎭⎬

⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ₋ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − + ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −

= Z Z

H H H t a t b abG ETi a b

Z μ μ

μ μ μ σ

Distribusi tegangan geser τa pada permukaan yang lebar adalah,

( )

4.26 ... sinh

cosh cosh

sinh

2 _⎥⎥_⎦

⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ₋ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + − − = μμ μ μ μ μ μ

τ Z Z

H H H at bt at bt Z abt Ti b a b a a a

Dan distribusi tegangan geser τb pada permukaan sempit adalah,

( )

4.27 ... sinh

cosh cosh

sinh

2 ⎥⎥_⎦

⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ₋ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + − + = μμ μ μ μ μ μ

τ Z Z

H H H at bt at bt Z abt Ti b a b a b b

4.6 Beban Torsi Terbagi Rata Teori Dasar

a. Metode Semi-Inverse St. Venant

Untuk menyelesaikan problem torsi untuk tampang tidak bundar dapat

dilakukan dengan metode Semi-Inverse St. Venant. Dalam metode Semi-Inverse ini

menggambarkan perpindahan dari u, v dan w sebagai pemisalan pertama. Berikut ada

dua asumsi dibuat untuk menjelaskan komponen perpindahan untuk tampang tidak

bundar:

2. Warping dari potongan tampang sama sepanjang tampang tidak bundar.

Didasarkan pada anggapan pertama dan Gambar 4.8

(

)

(

4.28b

)

... ... ... ... ... x... z r x r z ) (cos r z v 4.28a ... ... ... ... ... ... y z -r y r z -) (sin r z u + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = α α

Dari anggapan kedua:

(

4.28c

)

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . y) (x, w= ψ

Dimana w = ψ (x,y) adalah fungsi warping.

Dari teori elastisitas x= y = z = xy = 0 maka:

(

)

(

4.29b

)

.. ... ... ... ... ... ... ... ... ... y x 4.29a .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... x y zx zy ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ₊ =

Dari hubungan tegangan dan regangan x = y = z = xy = 0, maka

( )

( )

4.31 ... ... ... ... ... ... ... ... ... y x G 4.30 ... ... ... ... ... ... ... ... ... x y G zx zy ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ₊ = Sehingga

( )

4.32 ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0... y x zy zx + =

[image:54.612.113.510.109.315.2] [image:54.612.114.507.382.495.2]

( )

( )

( )

4.35 ... ... ... ... ... ... ... ... ... x x G y 4.34 ... ... ... ... ... ... ... ... ... x y -G x 4.33 .... ... ... ... ... ... ... x y zy zx ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ₊ = − = = Sehingga

( )

4.36 ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2G -y x 2 2 2 2 θ = +

Persamaan 4.36 disebut Persamaan Laplace.

Dari buku Torsion Of Reinforced Concrete karangan Thomas T.C. Hsu (dengan

Gambar 4.9) persamaan 4.36 dapat diturunkan hubungan momen torsi dengan fungsi

tegangan adalah :

( )

4.37 .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... dy dx 2

T=

∫∫

b. Teori Thin-Tube Bredt

Untuk tampang thin-tube telah diturunkan oleh Bredt dengan persamaan yang

simple di tahun 1896. Persamaan ini sangat berguna pada torsi untuk beton bertulang.

Ditinjau elemen kecil dari thin-tube dengan variabel ketebalan ditunjukkan pada

Gambar 4.10. Tube mempunyai sumbu z longitudinal yang dibebani momen torsi T

pada sumbu z. Suatu elemen ABCD diisolasi dengan tegangan geser seperti

ditunjukkan (sepanjang dz). Tegangan geser pada muka AD adalah 1 dan pada muka

BC adalah 2. Tebal dari muka AD dan BC adalah t1 dan t2.

Bila t1 = t2 = t, maka shear flow q = t dimana gaya geser per unit panjang. Maka q

harus sama pada titik A dan B.

Pada Gambar 4.10, gaya geser sepanjang ds adalah qds, maka dapat ditulis momen

torsi

( )

4.39 .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ds... r q T=

∫

r adalah jarak pusat torsi dari sumbu puntir ke gaya geser qds.

Dari Gambar 4.10 dapat dilihat bahwa rds sama dengan dua kali luasan segi tiga yang

dibentuk oleh r dan ds, maka luasan keliling dapat dimisalkan

( )

4.40 .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... A... 2 ds r

∫

=

Dimana A adalah luasan total yang dibatasi oleh garis sumbu dinding. Substitusi

persamaan 4.40 ke dalam persamaan 4.39 memberikan

( )

4.41 ... ... ... ... ... ... ... ... 2At T atau 2A T t

q= = =

Menggunakan teori dasar tersebut untuk tampang segi empat lebar b, panjang a

dinding tipis tebal ta dan tb dengan ketinggian z maka momen torsi T = TiZ sehingga

tegangan geser pada permukaan lebar dapat ditulis sebagai berikut:

( )

4.42 . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 _a a abt TiZ = τ

Sedangkan pada permukaan yang sempit adalah,

( )

4.43 . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 _b b abt TiZ = τ

=

∫

t d G b a

TiZ d

d _s

Z

2 2

4 θ

Dimana

∫

menandakan bahwa pengintegrasian diambil dengan sepenuhnya di

sekitar potongan. Sehingga besaran puntir pada potongan z manapun memberikan,

2 2 ...

( )

4.44 4 2 2 ⎟⎟⎠

⎞ ⎜⎜⎝

⎛ ₊ =

a b

Z t

a t

b G b a

TiZ d

d_θ

Bagaimanapun, persamaan-persamaan yang menggunakan teori dasar digunakan

untuk memeriksa persamaan-persamaan yang dihasilkan oleh efek konstrain axial.

Penyelesaian persamaan putaran sudut pada persamaan 4.44 dapat menjadi :

( )

4.44 ... ... ... ... ... 2

2

4 2 2 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝

⎛ ₊ =

a b

Z t

a t

b G b a

TiZ d

[image:57.612.162.464.74.513.2] [image:57.612.328.549.561.691.2]

Gambar 4.1. Core Wall Subjected To a Uniformly Distributed Shear Loads

Gambar 4.2. Loading On Wide Face Of Core Wall

Gambar 4.3. Equilibrium Of An Element

[image:58.612.119.525.119.258.2]

Gambar 4.5. Shear Flow Distribution Determined By Elementary Theory

Gambar 4.7. Equilibrium Of Boom Element Subjected To Torsion

[image:58.612.161.455.293.487.2]

( a ) _{( b )}

[image:58.612.233.389.517.714.2]

[image:59.612.144.498.112.676.2]

Gambar 4.8. Torsi Pada Tampang Shaft

Gambar 4.9. Geometry Tampang Shaft

BAB V

METODE ELEMEN HINGGA

5.1 Constant Strain Triangle Element (CST Element) dan Element Segi Empat

CST-element adalah elemen yang paling sederhana, dimana matrix material

adalah sbb:

[ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 2 2 1 0 0 0 1 0 1

1 2 v v

v E H

matrik ini diperoleh dari hubungan tegangan dan regangan dari Hukum Hooke dua

dimensional. Sedangkan displacement adalah sbb :

{ } ( )

( )

N

( ){

x y a

v

3 u

y3

y2 1

y1

[image:61.612.197.430.112.328.2]

x1 x2 x3

Gambar 5.1. CST Elemen dengan 6 DOF 2

Pada elemen CST derajat kebebasan atau DOF untuk satu elemen adalah 6

dapat dilihat pada gambar diatas, sedangkan jumlah simpul adalah tiga dengan

penomoran berlawanan arah jarum jam. Pada persamaan displacement dapat

dilihat bahwa hal itu adalah modifikasi dari metode Ritz.

{ }

[ ]

A

{ }

a

a a a a a a y x y x y x y x y x y x v u v u v u de = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = 6 5 4 3 2 1 3 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 1 3 3 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1

[ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − = − 21 13 32 12 31 23 1 2 2 1 3 1 1 3 3 3 2 2 21 13 32 12 31 23 1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 x x x y y y x y y x y x y x y x y x x x x y y y y x y x y x y x y x y x A A

(

2 1

)(

3 1

) (

3 1

)(

2 1

2A x x y y x x y y y y y x x x j i ij j i ij − − − − − = − = − =

)

{ }

v =

[ ][ ]

N A−1

{ }

d_e −

[ ]

G

{ }

de

dimana,

[ ] [ ][ ]

G = N A −1

{ }

[ ]

{ } { }

[ ][ ]

{ } { }

{ } { }

{ }

[ ][ ][ ]

{ } { }

[ ]

{ } { }

[ ]

[ ] [ ] [ ][ ]

=

∫

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − = − = − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − = − = − A G T G G G dA t D H D K maka y x y x y x x x x y y y A D demikian Dengan e de D e de A N D e e a e a N D e v D e . . . : 0 0 0 0 0 0 2 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 12 21 31 13 23 32 21 13 32 12 31 23 0 0 1 0 0 0

row index

2 5

6 i

[image:64.792.30.755.148.523.2]

Tabel 5.1 Matrik Kekakuan CST

column index

j 1 3 4

2 32 2 23 2 1 x v

y + − _{32 23}

2 1 y x v +

_{31 23 13 32}

2 1 x x v y

y + + _{13 23 32 31}

2 1 y x v y

vx + − _{12 23 21 32}

2 1 x x v y

y + −

12 32 23 21 2 1 y x v y

vx + − 1

23 32 2 1 y x v +

₃₂2 ₂₃2

2 1

y v

x + − _{32 31 13 23}

2 1 y x v y

vx + − _{13 32 23 31}

2 1 y y v x

x + − _{32 12 21 23}

2 1 y x v y

vx + −

23 12 32 21 2 1 y y v x

x + − 2

_{31 23 13 32}

2 1 x x v y

y + + _{32 31 13 23}

2 1 y x v y

vx + − ₃₁2 ₁₃2

2 1

x v

y + − _{13 31}

2 1 y x v +

_{12 31 13 21}

2 1 x x v y

y + −

12 13 31 21 2 1 y x v y

_{13 23 32 31} 2 1 y x v − y

vx + _{13 32 23 31}

2 1 y y v x

x + − _{13 31}

2 1 y x v +

₁₃2 ₃₁2

2 1

y v

x + −

_{13 12 21 31}

2 1 y x v y

vx + −

31 1 12 21 13

2 y y v x

x + − 4

_{21 32} 2 1 x x v −

_{32 12 21 23}

2 1 y x v y

vx + − _{12 31 13 21}

2 1 x x v y

y + − _{13 12 21 31}

2 1 y x v y

vx + − ₁₂2 ₂₁2

2 1

x v

y + −

23 12y

y +

12 21

2 x 5 1

y v +

_{21 23 32 12}

2 1

+ vx y y

vx − _{21 32 12 23}

2 1 y y v x

x + − _{21 31 13 12}

2 1 y x v y

vx + − _{13 21 12 31}

2 1 y y v x

x + − _{21 12}

2 1 y x v + 2 12 2 21 2 1 y v x + −

6

x_ij x_i x_j y_ij y_i y_j v

A Et

C = − = −

[image:65.792.65.728.110.544.2]

− = , , ) 1 ( 4 2

Tabel 5.2 Matrik Kekakuan Segi Empat

n index

row index

j 1 2 3 4 5

4 + 2(1−v) (1 v)

2 3

+ -4 (1 v) (1-3v) -2 -(1−v) 2 -2(1−v)

2 3

− −

(1 v) +

2 3

+

− (1-3v)

2 3

1

v) (1 2 3

+ 4+2(1−v) (1-3v)

2 3

2−2(1−v) (1 v)

2 3

+

− −2−(1−v) (1-3v)

2 3

−

v) (1 4

− +

− 2

v) (1− 4

- + (1-3v)

2 3

4 +2(1−v) (1 v)

2 3

+

− 2 -2(1−v) (1-3v)

2 3

− -2 -(1−v)

v) (1 2 3

+ 3

3v) -(1 2 3

− (1 v)

2 3

+

− 4+2(1−v) (1-3v)

2 3

(1 v)

2 3

+ 2−2(1−v) −4+(1−v)

v) (1 2

− −

v) (1 -2

- − (1 v)

2 3

+

− 2 -2(1−v) (1-3v)

2 3

− 4 + 2(1−v) (1 v)

2 3

+ -4 +(1−v)

3v) -(1 2 3

− 5

v) (1 2 3

+

− −2−(1−v) (1-3v)

2 3

− −4+(1−v) (1 v)

2 3

+ 4+2(1−v) (1-3v)

2 3 v) 2(1 2 −

− 6

v) 2(1

-2 − (1-3v)

2 3

− -2 -(1−v) (1 v)

2 3

+ -4 +(1−v) (1-3v)

2 3

4 +2(1−v)

v) (1 2 3

+

− 7

3v) -(1 2 3

−4+(1−v) (1 v)

2 3

+ −2−(1−v) (1-3v)

2 3

− 2−2(1−v) (1 v)

2 3 + − v) 2(1 4 −

+ a

5.2 Elemen Quadrilateral Empat Node Isoparametrik

a. Koordinat Natural Dari Elemen

Elemen quadrilateral dengan empat buah node dilukiskan dalam gambar

berikut ini.

y

x 1

4 3

2 t

[image:68.612.156.455.224.408.2]

s

Gambar 5.2. Elemen Quadrilateral

Penomoran node ditentukan dalam arah an perputaran jarum jam (CCW).

Dua sumbu Koordinat Natural s dan t berpotongan tidak harus tegak lurus.

Dalam gambar diatas, akan ditentukan Koordinat Natural dari keempat node

dari elemen tersebut. Untuk itu tikan Gambar 5.3. berikut ini. law

perha

t

4

1 2

3 (-1,1)

(-1,-1) (1,-1)

(1,1)

s

[image:68.612.224.385.524.678.2]

Dalam system koordinat natural, keempat node dari elemen dinyatakan dalam

ar 5.3. diingatkan kembali bahwa kedua

polasi atau fungsi displacement dalam arah x dan y adalah

u(s,t) = N1 u1 + N2 u2 +N3 u3 + N4 u4

v(s,t) = N1 v1 + N2 v2 +N3 v3 + N4 v4 ………. (5.1)

Untuk Koordinat Global :

x(s,t) = N1 x1 + N2 x2 +N3 x3 + N4 x4

y(s,t) = N1 y1 + N2 y2 +N3 y3 + N4 y4 ………. (5.2)

Besarnya Shape Function untuk setiap node (diperoleh da interpolasi

Lagrange) adalah

Jumlah Shape Function dari suatu titik = 1

b. Strain Elemen – Matrik Displacement

Gunakan kembali persamaan (5.1) dan (5.2) untuk menghitung Strain dari

Elemen Quadrilateral.

(s,t) seperti Nampak pada Gamb

sumbu koordinat ini tidak harus tegak lurus.

Fungsi inter

ri

…. (5.3)

Catatan : N1 +N2 + N3 + N4 = 1

s y s x

s δ

y u x u

u δ

δ δ δ δ δ δ δ

δ _{= +}

4 ) 1 ).( 1

( s t

1

N = − −

4 ) 1 ).( 1

( s −t

2

N = +

4 ) 1 ).( 1 (

3

N = +s +t

4 ) 1 ).( 1 (

4