UJI NISBAH KEMUNGKINAN DAN STATISTIK TPADA SEBARAN GENERALIZED WEIBULL
Oleh
Rendy Rinaldy Saputra 0817031047
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
ABSTRACT
RENDY RINALDY S., “Maximum Likelihood Ratio and T statistic On Generalized Weibull Distribution”.
48 pages
The parameter is a particular characteristic of a population . Parameter estimation is an important problem in statistical inference . Parameter estimation is the estimated activity of the predictive value of a given population , because in general the value of the parameter of the distribution is not known so that inferences about the parameters requires a good probability concepts . Parameter estimation activity aims to present the results of the estimation of the population parameter values who based on sample data . Parameter estimation activities closely related to drawing conclusions based on those hypotheses . Expected error can cause errors in the withdrawal hypothesis called type I error and the type of error II.One the methods associated with the estimation of parameters is the maximum likelihood (MLE). MLE is a method of estimating the parameters of the cluster data follows a specific distribution. In this case the general MLE is a method that is applied to maximize the likelihood function from a distribution that maximizes the error to obtain a good guess parameters . And conclusion can be done by determining the value of t statistics obtained by maximizing the value of the likelihood ratio function is obtained by performing a likelihood ratio test . In this paper, will be conducted estimate parameters of the two distributions Weibull distribution and the Generalized Weibull distribution . And furthermore , will do a comparison test between the two Weibull distributions by using Likelihood Ratio Test ( maximum likelihood ratio test ) as well as the method of maximum ratio
DAFTAR ISI
Halaman
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah ... 1
1.2 Tujuan Penelitian ... 5
1.3 Manfaat Penelitian ... 5
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1Pendahuluan ... 6
2.2Distribusi Weibull ... 6
2.3 Distribusi Generalized Weibull ... 10
2.4 Metode Newton – Raphson ... 11
2.5 Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimations Metodh ... 13
2.6 Uji Rassio Kemungkinan (Likelihood Ratio Test) ... 13
2.7 Statistik T ... 14
III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Pendahuluan ... 15
3.2 Metode Penelitian ... 15
3.3 Diagram Alur Penelitian ... 17
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Pendahuluan ... 18
4.2Perumusan Hipotesis ... 18
4.4Matriks Hessian ... 30 4.5Metode Likelihood Ratio (LR) bagi distribusi Weibull ... 40 4.6Metode Ratio of Likelihood Maximum (RLM) bagi
distribusi Weibull dan distribusi Generalized Weibull ... 43
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan ... 46 5.2 Saran ... 48
1
I. PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang Masalah
Statsistika merupakan suatu metode, ilmu dan seni yang dipergunakan untuk (atau
mempelajari tentang) pengumpulan data, analisis data dan interpretasi hasil analisis serta mempergunakannya untuk maksud – maksud tertentu. Statisitika
dapat pula dinyatakan sebagai suatu studi tentang informasi (keterangan) dengan mempergunakan metodologi dan tekhnik – tekhnik perhitungan untuk menyelesaikan permasalahan – permasalahan praktis yang sering muncul
diberbagai bidang (statistika sebagai metode) (Suntoyo, 1994).
Secara umum, statistika terbagi dalam dua kelompok utama yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensia. Statistika deskriptif adalah bagian dari ilmu
statistika yang bertujuan untuk menggambarkan atau mendeskripsikan serta menganalisis suatu kelompok data yang diberikan tanpa melakukan proses
penarikan kesimpulan. Sedangkan statistika inferensia dapat didefinisikan sebagai bagian dari ilmu statistika yang berhubungan dengan syarat – syarat penarikan suatu kesimpulan yang ditarik (Murray dan Larry, 1999).
Pengumpulan data dengan menggunakan sampel bertujuan untuk menarik suatu
2 ditarik suatu kesimpulan (Inferens) tentang karakteristik populasi dari mana data
sampel tersebut diambil. Penarikan kesimpulan tersebut dapat dilakukan melalui pendugaan (Estimate) tentang beberapa parameter distribusi populasi atau melalui
pengujian (Test) suatu hipotesis yang menyatakan nilai parameter distribusi populasi.
Menururt (Dajan, 1986), populasi mempunyai karakteristik tertentu yang disebut
parameter. Karakteristik yang sama juga dimiliki sampel yang dipilih dari populasi yang dinamakan statistik. Masalah yang penting dalam inferensia statistik adalah cara menduga parameter populasi yang merupakan kegiatan
estimasi terhadap nilai duga dari suatu populasi tertentu, karena pada umumnya nilai parameter suatu distribusi tidak diketahui sehingga penarikan kesimpulan
mengenai parameter memerlukan konsep probabilitas yang baik. Dan dalam penelitian tentang ciri ciri suatu peristiwa tertentu umumnya peneliti mengakhiri penelitiannya dengan mengemukakan sebuah hipotesis yang dapat memberikan
suatu model bagi aspek atau ciri peristiwa yang diteliti. Hipotesis diuji dengan membandingkan hasil teoritis dengan hasil sampel yang bersifat empiris.
Secara fungsional, tujuan pendugaan parameter berbeda dengan pengujian
hipotesis. Tujuan pendugaan parameter adalah penyajian hasil pendugaan tentang nilai parameter populasi yang didasarkan pada data sampel. Sebaliknya, pengujian hipotesis bertujuan untuk menentukan pilihan terhadap tindakan tindakan
alternatif dalam masalah pengambilan keputusan secara statistik yang berdasarkan hasil sampel. Hubungan antara pendugaan parameter dan pengujian hipotesis
3 hipotesis yang disebut kesalahan tipe I dan kesalahan tipe II. Menurut (Spiegel,
2004) kesalahan tipe I adalah menolak suatu hipotesis padahal hipotesis tersebut benar, sedangakan kesalahan tipe II adalah menerima suatu hipotesis yang
seharusnya ditolak. Untuk menghindari kesalahan tersebut diperlukan desain sedemikian rupa sehingga kesalahan pengambilan keputusan dapat diminimalisir. Salah satu cara yang dapat dilakukan adalah dengan menambahkan ukuran sampel
sehingga dapat memaksimalkan galat penelitian.
Salah satu metode yang berkaitan dengan pendugaan parameter adalah metode kemungkinan maksimum (Maximum Likelihood Estimation) atau metode yang
lebih dikenal dengan MLE merupakan metode pendugaan parameter dari gugus data yang mengikuti sebaran (distribusi) tertentu. Dalam hal ini secara umum
MLE merupakan metode yang diterapkan dengan memaksimumkan fungsi kemungkinan (Likelihood Function) suatu distribusi sehingga dapat memaksimumkan galat untuk memperoleh parameter duga yang baik. Dan
penarikan kesimpulan dapat dilakukan dengan menentukan nilai statistik t yang diperoleh dengan memaksimumkan nilai rasio kemungkinan dari fungsi yang diperoleh dengan melakukan uji rasio kemungkinan. Metode uji rasio
kemungkinan maksimum (Likelihood Ratio Test) merupakan metode uji perbandingan antara dua distribusi yang bertujuan untuk melihat distribusi mana
yang lebih baik untuk diterapkan pada suatu kasus tertentu, misalnya untuk melihat distribusi mana yang lebih baik dalam menggambarkan laju ketahanan
4 distribusi yang akan diuji, uji rasio kemungkinan maksimum dapat memberi
informasi mengenai distribusi mana yang lebih baik untuk diterapkan.
Salah satu distribusi yang dapat diduga parameternya dengan metode kemungkinan maksimum (MLE) adalah distribusi Weibull, baik distribusi
Weibull dengan dua parameter maupun distribusi Weibull dengan tiga parameter (Generalized Weibulll). menurut (Edward dan Satya , 1995) ditribusi yang
diperkenalkan oleh fisikawan Swedia Waloddi Weibull pada tahun 1939 ini merupakan salah satu distribusi yang penting dalam statistika karena berbagai
alasan diantaranya hanya dengan memilih β yang sesuai fungsi tersebut dapat
memodelkan laju kegagalan baik yang naik maupun yang turun. Selanjutnya, fungsi tersebut dapat menggambarkan atau memodelkan laju kegagalan dengan
q(x) yang sebanding dengan pangkat x dengan cukup baik.
Dan dalam penelitian kali ini, penulis akan melakukan pendugaan parameter dari distribusi Weibull dan Generalized Weibulll, serta melakukan uji perbandingan antara dua distribusi Weibull dan Generalized Weibulll dengan menggunakan
metode Likelihood Ratio Test (uji rasio kemungkinan maksimum).
1.2Tujuan Penelitian
Berdasarkan uraian singkat mengenai latar belakang dilakukannya penelitian ini, maka tujuan dilakukan penelitian kali ini adalah :
5 2. melakukan uji nisbah kemungkinan (Likelihood Ratio Test) dengan
menggunakan perbandingan dua distribusi, untuk 0∶ � = �0 vs 1 ∶ � ≠
�0 dan 0 ∶Distribusi Weibull vs 1 ∶ Distribusi � � ��� � � ���.
1.3Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian kali ini adalah memberikan informasi mengenai distribusi
6
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Pendahuluan
Uji perbandingan dua distribusi merupakan suatu tekhnik analisis yang dilakukan untuk mencari nilai parameter yang baik diantara dua distribusi. Tekhnik uji perbandingan ini nantinya akan memberikan gambaran mengenai parameter yang
baik. Untuk melakukan uji perbandingan diperlukan beberapa toeri pendukung. Dan pada bab II ini akan dibahas mengenai dasar – dasar teori yang digunakan
dalam melakukan uji perbandingan dua distribusi Weibull dengan metode Likelihood Ratio Test (LRT), seperti distribusi Weibull, metode kemungkinan maksimum (Maximum Likelihood Estimation), uji rasio kemungkinan (Likelihood
Ratio Test), dan statistik T.
2.2 Distribusi Weibull
Distribusi Weibull diperkenalkan oleh fisikawan Swedia Waloddi Weibull pada
tahun 1939. Distribusi Weibull dapat dipakai pada persoalan keandalan dan pengujian masa hidup (life testing) seperti waktu sampai rusak atau masa hidup
suatu sistem diukur dari suatu waktu tertentu sampai rusak. Distribusi Weibull sering digunakan untuk menghitung peluang masa hidup suatu alat, dan disebut juga sebagai distribusi waktu tunggu hingga gagal. Distribusi Weibull sering
7 Definisi 2.1 :
Suatu peubah acak X dikatakan berdistribusi weibull dengan parameter β dan θ jika fungsi densitasnya adalah sebagai berikut
� = � � −1 −�� ; x > 0 , β > 0, θ > 0
Dengan parameter β sebagai parameter skala yang menskala peubah X, dan
parameter θ sebagai parameter bentuk yang menentukan bentuk rate function X
Teorema :
Misalkan X adalah suatu peubah acak berdistribusi weibull dengan parameter α
dan β, maka rata – rata dan variansnya adalah :
�( ) = �−1� 1 + 1 , dan
��( ) = �−2� 1 +2 − �−1� 1 + 1 2
(kundu dan Manglick, 2001).
Bukti :
i. E (X)
Untuk mencari rataan dari distribuis Weibull gunakan persamaan sebagai berikut :
� = � � −1 −(��)
� � = � � �
∞
0
= �
∞
0
8
Dengan mensubtitusikan hasil pemisalan dan batas integral, dipeoleh
9 ii. Var (X)
Untuk mencari rataan dari distribusi Weibull gunakan persamaan sebagai berikut :
Dengan mensubtitusikan persamaan (2.1), diperoleh
� �2 = �
Subtitusikan persamaan (2.3) ke persamaan (2.2),
�� � = � �2 − �(�) 2
�� � = �−2 2+ 1 − �−1 1+ 1
10
�� � = �−1 � 2+ 1 − 1+ 1
2
2.3 Distribusi Generalized Weibull
Model distribusi Generalized Weibull merupakan salah satu model umum yang dapat diterapkan dalam data hidup. Penerapan model distribusi Generalized
Weibull dilakukan untuk mengatasi kesulitan dalam memilih model peluang dalam data kelangsungan hidup. Model ini dipilih karena memiliki potensi yang bagus untuk mencocokan data kelangsungan hidup.
Menurut Hermita dkk (2007), distribusi Generalized Weibull didefinisikan sebagai berikut :
Defiinisi 2.2
Misalkan X adalah peubah acak dari distribusi Generalized Weibull dengan tiga parameter, maka fungsi kepekatan peluang dari peubah acak tersebut adalah
� = � � −
�−1 − �− �
; < �< ∞, 0, > 0,�> 0
Dimana
X = peubah acak yang didefinisikan sebagai waktu mati/rusak/gagal (Failure Time)
α = Parameter lokasi yang menunjukan lokasi waktu, dimana pada saat lokasi
waktu tersebut belum ada objek pengamatan yang mati/gagal maupun hilang
β = Parameter skala pengamatan yang mati/rusak/gagal maupun hilang
δ = Parameter bentuk yang menunjukkan laju kematian/kerusakan data
11 2.4 Metode Newton-Raphson
Metode ini merupakan metode umum yang paling sering digunakan dalam mencari akar – akar persamaan kuadrat. Jika perkiraan awal dari akar adalah xi,
suatu garis singgung dapat dibuat dari titik (xi, ʃ (xi). Titik dimana garis singgung
tersebut memotong sumbu x biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar.
Ada dua pendekatan yang dapat dilakukan dalam menurunkan rumus metode
Newton-Raphson, yaitu :
1. Penurunan secara Geometri.
Misal f(x) = 0 adalah suatu persamaan yang mempunyai akar x dan f dapat didiferensialkan, sehingga y = f(x) memiliki garis singgung disetiap titik pada kurva fungsinya.
Missal gradien garis singgung di �� adalah
= ′ �� =
Maka prosdeur iterasi Newton Raphsonnya adalah
��+1 =�� −
��
′ �� , ′ �� ≠0
2. Penurunan dengan deret Taylor
12
��+1 = �� + ��+1− �� ′ �� +
��+1 − �� 2
2
′′
;�< < ��+1
Jika dipotong sampai suku orde ke-2, menjadi
��+1 ≈ �� + ��+1 − �� ′(��)
Dan karena persoalan mencari akar persamaan, maka ��+1 = 0, sehingga
��+1 ≈ �� + ��+1 − �� ′ �� = 0
��+1 = �� −
(��)
′(��) ; ′ �� ≠0
Iterasi Newton – Raphson berhenti apabila
��+1 − �� <
Atau
��+1 − ��
��+1
< �
Dengan dan � adalah toleransi galat yang diinginkan.
Langkah – langkah dalam memtode Newton – Raphson adalah
1. Masukkan nilai awal �0 sembarang
2. Tentukan fungsi �� dan turunan pertamanya
3. Masukkan persamaan fungsi �� dan turunan pertamanya kedalam
rumus Newton – Raphson sampai dengan eror < , sehingga diperoleh
13 2.5 Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimation
Method)
Metode kemungkinan maksimum atau yang biasa ditulis dengan MLE merupakan metode yang digunakan untuk menduga suatu sebaran dengan memilih parameter
duga dengan memaksimumkan fungsi kemungkinan.
Menurut Herrhyanto dan Gantini (2009), metode kemungkinan maksimum didefinisikan sebagai berikut :
Definisi 2.3
Misalkan X adalah peubah acak kontinu atau diskrit dengan fungsi kepekatan
peluang (�;�), dengan θ adalah satu sampel yang tidak diketahui. Misalkan
�1,�2,… … … �� merupakan sampel acak berukuran n, maka fungsi kemungkinan
maksimum (likelihood function) dari sampel acak tersebut adalah
� � = �1;� ��;� … … ��;�
Dalam hal ini, fungsi kemungkinan adalah fungsi dari parameter yang tidak
diketahui. Biasanya untuk mempermudah proses analisa, fungsi kemungkinan
� � diberi log natural (ln). penduga kemungkinan maksimum dari θ adalah nilai
θ yang memaksimumkan fungsi kemungkinan � � .
2.6 Uji Rasio Kemungkinan (Likelihood Ratio Test)
Misalkan X1, X2, . . . . ., Xn melambangkan n peubah acak independent yang memiliki
masing masing fungsi kepekatan peluang � ��; �1,�2,… …,�� ;�= 1,2,…,�. Deret
14
sebut sebagai parameter. Misalkan ω menjadi sebuah himpunan bagian dari ruang
parameter Ω
Kita inginkan hipotesis �0∶ (�1,�2,… …,��) ∈ �, jika bukan maka merupakan
hipotesis alternatif.
Definisi 2.6
� � = � ��; �1,�2,… …,�� , (�1,�2,… …,��) ∈ � �
�=1 Dan
� � = � ��; �1,�2,… …,�� , (�1,�2,… …,��) ∈ � �
�=1
Misalkan � � dan � � maksimum, dan kita asumsikan ada dari dua fungsi
kemungkinan. Rasio dari � � dan � � disebut rasio kemungkinan (Likelihood Ratio)
dan dinotasikan sebagai berikut :
� �1,�2,… …,�� = � �
� � (Hogg and Craig,1978).
2.7 Statistik T
Menurut Kundu dan Manglick (2001), statistik T merupakan logaritma natural (ln) dari
rasio kemungkinan maksimum (Likelihood Ratio) dan dinotasikan sebagai berikut
�= ln� �1,�2,… …,�� = ln � � � �
Statistik T memiliki karakteristik yaitu jika T > 0 maka akan mengikuti distribusi
15
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Pendahuluan
Pada bab 3 ini akan dibahas mengenai metode ataupun langkah – langkah yang
dilakukan dalam melakukan penelitian yang berkaitan dengan uji nisbah kemungkinan maksimum pada distribusi. Sebagai suatu penelitian ilmiah, tentu
saja penelitian serta penulisan hasil penelitian dari distribusi Weibull ini mengikuti beberapa kaidah – kaidah yang telah ditetapkan, serta dilaksanakan secara terpola mulai dari tahap awal hingga tahap akhir penulisan. Pada bab 3 ini,
diharapkan pembaca dapat memperoleh gambaran singkat mengenai garis besar penelitian serta langkah – langkah yang harus ditempuh dalam melaksanakan
penelitian.
3.2 Metode Penelitian
Pada penelitian kali ini, metode yang digunakan adalah melalui studi pustaka dengan menggali informasi – informasi yang menunjang dan berkaitan dengan
topik penelitian, baik yang berasal dari buku – buku penunjang, jurnal maupun skripsi yang berkaitan dengan topik yang akan diteliti.
Lebih lanjut mengenai metode yang digunakan, berikut adalah perincian
16 1. Menggali informasi mengenai distribusi Weibull beserta teori – toeri penujang
lain, baik definisi maupun torema – teorema yang membangun penelitian, serta menjabarkan pembuktian dari torema torema tersebut.
2. Menduga parameter duga dari distribusi Weibull dan generalized Weibull dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum (MLE), dengan langkah langkah sebagai berikut :
2.1Membentuk fungsi kemungkinan dari distribusi Weibull dan Generalized Weibull.
2.2Memaksimalkan fungsi kemungkinan dengan menggunakan logaritma natural.
2.3Mencari parameter duga dari distribusi Weibull dan Generalized Weibull dengan menggunakan turunan parsial terhadap parameter yang akan diduga.
3. Mencari rasio kemungkinan maksimum dari distribusi Weibull dan Generalized Weibull
3.1Untuk hipotesis�0 ∶ � = �0 vs H1 ∶ θ= θ1.
3.2Untuk hipotesis
�0 ∶ Distribusi Weibull vs H1 ∶ Distribusi � �� �� � .
Untuk memberikan gambaran mengenai tahapan yang dilalui dalam melakukan penelitian, maka metode yang digunakan dalam penelitian kali ini juga dapat
17 3.3 Diagram Alur Penelitian
Berikut adalah diagram alur yang menjelaskan mengenai tahapan – tahapan dalam melakukan penelitian kali ini.
tidak
ya mulai
Mencari toeri pendukung
Menduga parameter
Tidak eksak
Metode Newton-Raphson
46
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan latar belakang dan tujuan dilakukannya penelitian, serta dengan melihat hasil yang diperoleh setelah melakukan penelitian, maka dapat
disimpulkan beberapa hal sebagai berikut :
1. Parameter dari masing – masing distribusi yang diteliti dalah sebagai berikut: a. Distribusi Weibull
� = hasil iterassi dari rumus Newton−Raphson sebagai berikut:
47 membandingkan antara dua distribusi yang sama. Nilai LR akan mengikuti sebaran Khi-Square. Adapun nilai LR yang diperoleh dengan membandingkan
antara distribusi Weibull adalah sebagai berikut :
Untuk �=� ���=�
3. Ratio Maksimum Likelihood (RML) merupakan uji perbandingan yang
48
�= � ln + ln� −ln� + 2 ln 1− ln 1 + −1 ��=1ln�� +
(� −1) ��=1ln(��− )−� ��=1�� − ��−
1 � �
�=1
Dengan , dan δ merupakan parameter dari distribusi Generalized Weibull yang diperoleh dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum
(Maximum Likelihood Estimation).
Nilai statistik T diatas akan mengikuti distribusi penyebut (Distribusi Weibull) jika nilai dari T > 0, dan akan mengikuti distribusi pembilang (Distribusi
Generalized Weibull) jika nilai dari T < 0
5.2 Saran
Berdasarkan hasil yang telah diperoleh dalam bab sebelumnya, maka penulis menyarankan agar dalam melakukan uji nilai maksimum parameter dari suatu distribusi, hendaknya dilakukan pengujian wilayah kritis dengan menguji suku –
DAFTAR PUSTAKA
Aryes, F, A. 1964. Theory and Problems Of Calculus. Mc. Graw-Hill,Inc. New Jersey.
Dajan, A. 1986. Pengantar Metode Statistika. Edisi Kedua. LP3ES, Jakarta.
Dudewicc, J, E. dan Mishra, N, S. 1995. Statistika Matematika Modern. Institut Tekhnologi Bandung, Bandung.
Herrhyanto, N. dan Gantini, T. 2009. Pengantar Statistika Matematis. Cv. Yrama Widya, Bandung.
Hermita, S, R. dkk. 2007. Penduga Parameter Distribusi Generalized Weibull. Jurnal
Hogg, R,V. Craigg, A,T. 1978. Introduction to Mathmetaical Statistics. Fifth Edition. Prantice-Hall, Inc., New Jersey.
Kundu, D. and Gupta, R,D. 2001. Discriminating Between Weibull and Generalized Exponential Distributions. Jurnal
Lungan, R. 2006. Aplikasi Statistika dan Hitung Peluang. Edisi Pertama. Graha Ilmu, Jakarta.
Spiegel, R,M. dan Sthepens, J, L. 1999. Statistik. Edisi Ketiga. Erlangga, Jakarta.
Triatmojo, B. 2002. Metode Numerik. Beta Ofset, Yogyakarta.
