Solusi Layak Dalam Persoalan Lokasi Fasilitas Berkapasitas

SOLUSI LAYAK DALAM PERSOALAN

LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS

TESIS

Oleh

ASLI SIRAIT

107021020/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN

2012

SOLUSI LAYAK DALAM PERSOALAN

LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS

T E S I S

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam

Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara

Oleh ASLI SIRAIT 107021020/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN

Judul : SOLUSI LAYAK DALAM PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS

Nama : Asli Sirait Nomor Pokok : 107021020/MT Program Studi : Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

Prof. Dr. Herman Mawengkang Dr. Sutarman, M.Sc

Ketua Anggota

Ketua Program Studi Dekan

Prof. Dr. Herman Mawengkang Dr. Sutarman, M.Sc

Tanggal lulus: 11 Agustus 2012

Telah diuji pada:

Tanggal: 11 Agustus 2012

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang Anggota : 1. Dr. Sutarman, M.Sc

ABSTRAK

Dalam tesis ini akan dibahas tentang persoalan lokasi fasilitas berkapasitas yang dikenal dalam kombinatorial dengan aplikasi dalam distribusi dan peren-canaan, seperti menentukan suatu lokasi dari beberapa pilihan tempat yang poten-sial dimana fasilitas terbatas untuk melayani permintaan pelanggan.

Kata kunci: Lokasi fasilitas berkapasitas, Program linier integer campuran.

ABSTRACT

This thesis will address about Capacitated Facility Location Problem

well-known combinatorial with application in distribution and production planning,

such as selecting a location from several potential places where the facility is

limi-ted to serve customer demand.

KATA PENGANTAR

Dengan segala kerendahan hati dan penuh suka cita, penulis mengucap-kan puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala anugrah dan berkat-Nya yang diberikan sehigga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir yang berjudul Solusi Layak Dalam Persoalan Lokasi Fasilitas Berkapasitas sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar magister pada Program Pasca Sarjana Juru-san Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

Penghargaan dan ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada pihak-pihak yang telah membantu dan memberikan kontribusi sehingga selesainya tesis ini kepada:

Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, sebagai Pembimbing I dan Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan bimbingan, motivasi dan pengarahan serta kontribusi kepada penulis sehingga selesainya tesis ini.

Bapak Dr. Sutarman, M.Sc sebagai Pembimbing II dan Dekan FMIPA Uni-versitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA Sumatera Utara dan telah memberikan bimbingan dan arahan untuk sempurnanya tesis ini.

Bapak Dr. Saib Susilo, M.Sc sebagai penguji dan sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan saran dan bantuan sehingga selesainya tesis ini.

Bapak Prof. Dr. Tulus, MSi selaku penguji dan Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak membantu dan mem-berikan arahan penulis demi selesainya tesis ini.

Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmu kepada penulis selama perkulia-han berlangsung.

Ibu Misisani,S.Si, Staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah bayak membantu untuk selesainya studi

ini.

Rekan-rekan Dosen Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riauyang telah bahu membahu, senasib sepenanggungan dalam mencapai cita-cita untuk meningkatkan mutu dan layanan kepada mahasiswa.

Bapak Rektor Universitas Riau dan Dekan FMIPA Universitas Riau serta Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau yang telah memberikan bantuan, rekomendasi, izin belajar serta motivasi kepada penulis dalam menyelesaikan perkuliahan ini.

Suami tercinta B. Tambunan, Anakanda dr. Lenny Tambunan, Siswiny Tambunan SST,SE, Renold Tambunan ST, Juanda Tobing ST serta Benaya Tobing sebagai cucu tersayang yang telah memberikan dorongan dan semangat kepada penulis dalam menyelesaikan perkuliahan ini.

Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya.

FMIPA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Penulis

RIWAYAT HIDUP

Asli Sirait dilahirkan di Parongil pada tanggal 10 juli 1957 dari pasangan Bapak A. Sirait dan Ibu T. br Manurung dan merupakan anak ke-empat dari tujuh bersaudara, penulis menamatkan SD tahun 1968 di SD Negeri 3 Parongil, menamatkan SMP Negeri Parongil tahun 1971 dan SMA Negeri 1 Pekanbaru tahun 1974.

Pada tahun 1974 melanjutkan pendidikan ke Jurusan Matematika di FIPIA Universitas Riau dan menyelesaikan Program Sarjana Muda dengan gelar BSc, pada tahun 1979. Serta melajutkan program sarjana lengkap atau Strata satu pada Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau Pekanbaru tahun 1981 dan menyelesaikannya pada tahun 1984.

Pada tahun 1980 penulis diterima sebagai calon pegawai negeri sipil dan ditugaskan sebagai tenaga administrasi di FMIPA Universitas Riau, dan pada tahun 1986 penulis dimutasikan dari tenaga administrasi menjadi tenga pengajar atau sebagai dosen di FMIPA Universitas Riau, dan pada tahun 2011 penulis mendapat kesempatan untuk melanjutkan pendidikan pada Program Magister Matematika di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.

DAFTAR ISI

Halaman

ABSTRAK . . . i

ABSTRACT . . . ii

KATA PENGANTAR . . . iii

RIWAYAT HIDUP . . . v

DAFTAR ISI . . . vi

BAB 1 PENDAHULUAN . . . 1

1.1 Latar Belakang . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . 2

1.3 Tujuan Penelitian . . . 3

1.4 Manfaat Penelitian . . . 3

1.5 Metode Penelitian . . . 3

BAB 2 MODEL PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS . 4 2.1 Pengertian Lokasi Fasilitas . . . 4

2.2 Model Persoalan Lokasi Fasilitas Berkapasitas . . . 4

BAB 3 PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS . . . 10

3.1 Persoalan Lokasi Fasilitas . . . 10

3.2 Relaksasi Lagrangean . . . 13

BAB 4 METODE PENYELESAIAN PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS . . . 15

4.1 Dasar Pendekatan . . . 15

4.3 Pivoting . . . 21

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN . . . 23

5.1 Kesimpulan . . . 23

5.2 Saran . . . 23

DAFTAR PUSTAKA . . . 24

ABSTRAK

Dalam tesis ini akan dibahas tentang persoalan lokasi fasilitas berkapasitas yang dikenal dalam kombinatorial dengan aplikasi dalam distribusi dan peren-canaan, seperti menentukan suatu lokasi dari beberapa pilihan tempat yang poten-sial dimana fasilitas terbatas untuk melayani permintaan pelanggan.

ABSTRACT

This thesis will address about Capacitated Facility Location Problem

well-known combinatorial with application in distribution and production planning,

such as selecting a location from several potential places where the facility is

limi-ted to serve customer demand.

Keyword: Capacitated Facility Location, Mixed Linier Integer Program.

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Persoalan Fasilitas Lokasi Berkapasitas (The Capacitated Facility Location Problem disingkat dengan CFLP) adalah persoalan yang dikenal dalam optimasi kombinatorial yang diaplikasikan dalam menentukan pembukaan fasilitas dari su-atu himpunan atau set tempat atau lokasi yang potensial, sehingga pelanggan dapat meminimalkan biaya operasional dan transportasi. Dalam hal ini perlu dilakukan pembatasan yang memenuhi permintaan dari masing-masing pelang-gan, dan tiap fasilitas tidak dapat memasok melebihi kapasitas dari fasilitas yang dibuka.

Aplikasi dari CFLP juga meliputi perencanaan, distribusi, lokasi dan area di dalam perencanaan produksi (Pochet and Wosly, 1988), dan dalam disain jaringan telekomunikasi dikembangkan oleh (Kochman dan Mc Callerm, 1981), serta oleh Mirzain (1981) dan Boffey (1989).

tanpa penambahan jumlah kapasitas.

Persoalan fasilitas lokasi berkapasitas adalah suatu himpunan yang terdirim

dan n unsur dengan m adalah tempat atau lokasi yang potensial dengan fasilitas yang memadai dan n adalah pelanggan yang permintaannya dapat dipenuhi dari fasilitas yang tersedia.

Misalkan himpunanJ ={1,2,3, . . . m}adalah himpunan semua fasilitas de-ngan i ∈ J mempunyai kapasitas ai, dan K = {1,2,3, . . . n} adalah himpunan

semua pelanggan dan setiap j ∈K mempunyai permintaan bj. Biaya pembukaan

fasilitas iadalah fi dan cij adalah biaya transportasi dari fasilitas i ke pelanggan

j, serta xj memperesentasikan jumlah aliran dari fasilitas i ke pelanggan j.

Ali-ran dari fasilitas i ke pelanggan j disebut dengan arc (i, j) dan variable yi yang

didefinisikan sebagai berikut: yi = 1 jika fasilitas dibuka dan yi = 0 jika fasilitas

ditutup. Bentuk formulasi dari CFLP diatas dapat ditulis dengan :

Z = minX

Z merupakan fungsi tujuan yang mempunyai kendala permintaan dari setiap pelanggan dan kendala jumlah pasokan dari fasilitas kesemua pelanggan.

Dalam penelitian ini akan dibahas model dan metode tentang masalah fasi-litas lokasi berkapasitas.

1.2 Perumusan Masalah

dapat memberikan total biaya yang minimum. Dalam masalah CFLP adalah meminimumkan fungsi tujuan sehingga jumlah biaya yang diperlukan minimum.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk membahas tentang persoalan fasili-tas lokasi berkapasifasili-tas atau persoalan program linier integer campuran.

1.4 Manfaat Penelitian

Penelitian ini bermanfaat untuk memperbanyak literatur tentang persoalan lokasi fasilitas berkapasitas.

1.5 Metode Penelitian

BAB 2

MODEL PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS

2.1 Pengertian Lokasi Fasilitas

Pemilihan suatu lokasi merupakan hal yang sangat penting, karena faktor biaya dipengaruhi oleh fasilitas yang akan di tempatkan dan biaya juga mempe-ngaruhi untuk menentukan lokasi dimana secara ekonomis dalam membiayai, pro-duksi, transportasi dan distribusi serta biaya memasok kebutuhan untuk melayani permintaan dari pelanggan. Jadi untuk menempatkan suatu lokasi fasilitas meru-pakan suatu keputusan yang tepat agar dapat meminimalkan biaya, jika masing-masing fasilitas terbatas untuk melayani pelanggan maka persoalannya menjadi persoalan lokasi fasilitas berkapasitas, jika masing-masing fasilitas tidak terbatas untuk melayani pelanggan maka persoalannya menjadi persoalan lokasi tak ber-kapasitas (uncapacitated facility location problem disingkat dengan UFLP).

2.2 Model Persoalan Lokasi Fasilitas Berkapasitas

Dalam persoalan program linear penyelesaian optimal dapat berupa bila-ngan real yang berarti bisa bilabila-ngan bulat atau bilabila-ngan pecahan. Jika pada penyelesaian pecahan dilakukan pembulatan ke bilangan bulat terdekat maka hasil yang diperoleh bisa tidak sesuai dengan hasil yang akan diharapkan. Diberba-gai persoalan banyak memerlukan penyelesaian yang bulat sehingga dicari model penyelesaian dari suatu persoalan sedemikian hingga memperoleh penyelesaian optimum yang bulat atau penyelesaian integer yang optimum.

soalan integer programming jika modelnya mengharapkan semua variabelnya berni-lai integer maka disebut pure integer. Jika niberni-lai variabel-variabel tertentu berniberni-lai integer artinya varibelnya tidak semuanya bulat maka programnya disebut dengan program linear integer campuran atau Mixed Integer Linear Program (MILP). Biasanya persoalan lokasi fasilitas berkapasitas atau Capacitated Facility Loca-tion Problem (CFLP) disebut juga sebagai program linear integer campuran yang mempunyai model sebagai berikut :

Z = minX

Z adalah fungsi tujuan

J adalah himpunan semua lokasi fasilitas yang potensial

K adalah himpunan semua pelanggan

Ckj adalah biaya persediaan dan permintaan dk dari pelanggan k′s dari fasilitas j

yj =

0 Jika fasilitasj ditutup 1 Jika fasilitasj dibuka

xkj adalah biaya permintaan pelanggan ks′ dari fasilitas j

Dan

kendala persamaan (2.2.2) merupakan kendala permintaan kendala persamaan (2.2.3) merupakan kendala kapasitas

kendala persamaan (2.2.4) merupakan kendala kapasitas secara keseluruhan kendala persamaan (2.2.5) merupakan penambahan batas implisit

Dengan asumsi :

Dengan menerapkan relaksasi lagrangean kedalam permasalahan CFLP de-ngan mengabaikan kendala (2.2.2), maka model relaksasi lagrangean adalah :

ZD(η) =

xkj −yj ≤0, ∀k ∈K, ∀j ∈J (2.2.16)

0≤xkj ≤1, ∀k∈K, ∀j ∈J (2.2.17)

0≤yj ≤1, ∀j ∈J (2.2.18)

yj ∈ {0,1}, ∀j ∈J (2.2.19)

Jika kendala persamaan (2.2.2) diganti dengan pengaliηk dengank ∈K

ma-ka pengali lagrangean optimal yaituηopt_{dapat ditentukan dari interval} ηmin

Jika persamaan (2.2.23) direduksi ke dalam persamaan (2.2.13) diperoleh :

ZD(η) =η0+

Jadi lagrangean dari persamaan (2.2.13) adalah maksimum dari fungsi lagrangean

{yt_{, t∈T}y_{} adalah himpunan semua solusi yang feasibel untuk persamaan (2.2.25) dan}

xt

j : t∈Tjx adalah himpunan semua solusi yang feasibel untuk persamaan (2.2.23)

Dan untuk semua t∈Ty _{dan t ∈T}x

Dengan menggunakan persamaan (2.2.23) dan (2.2.25) maka persamaan (2.2.13) dapat ditulis menjadi :

ZD = maxη0 +

Mengambil dua kali program master ganda diperoleh program master prima yang bentuknya adalah :

Dengan batasan :

X

t∈Ty

αt = 1 (2.2.35)

X

t∈Ty

ytjαt−

X

t∈Tx j

βtj ≥0, ∀j ∈J (2.2.36)

X

j∈J

X

t∈Tx j

xt_kjβtj+pk−p_k≥1, ∀k ∈K (2.2.37)

αt ≥0, ∀t∈Ty (2.2.38)

βtj ≥0, ∀j ∈J, ∀t ∈Tjx (2.2.39)

p_k, p_k ≥0, ∀k ∈K (2.2.40)

Dimana :

αt adalah variabel rangkap dari persamaan (2.2.22)

βtj adalah variabel rangkap dari persamaan (2.2.23)

BAB 3

PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS

3.1 Persoalan Lokasi Fasilitas

CFLP telah dipelajari secara ekstensif dan banyak algoritma-algoritma yang eksak dan metoda heuristik yang telah dikembangkan untuk menyelesaikan CFLP. Kuehn dan Huamburger (1963) mengembangkan metoda heuristic yang pertama untuk persoalan lokasi fasilitas tidak berkapasitas (Uncapacitated Facility Location Problem disingkat dengan UFLP), yang kemudian dikembangkan oleh Jacobsen (1983) untuk CFLP.

Metoda heuristik yang dikembangkan ini terdiri dari dua phase yaitu :

a. Phase pertama disebut dengan ADD yaitu semua fasilitas ditutup, dan fasi-litas yang menyebabkan pengurangan total biaya maksimum dibuka, phase pertama ini berakhir bila tidak ada fasilitas yang dapat diberikan untuk mengurangi total biaya.

b. Phase kedua adalah phase prosedur pencarian lokal dimana fasilitas terbuka dan tertutup untuk mengurangi total biaya.

Feldman et. all (1966) mengusulkan strategi yang berbeda untuk phase pertama yang dinamai dengan DROP dan diperluas untuk CFLP oleh Jacobsen (1983). Didalam DROP semua fasilitas awalnya dibuka, dan fasilitas ditutup jika hasil dalam pengurangan maksimum dalam total biaya, phase ini berakhir ketika menutup fasilitas telah mengakibatkan pengurangan total biaya.

Relaksasi Lagrangean telah diterapkan ke beberapa persoalan fasilitas lokasi. Beasly (1993) mempresentasekan kerangka kerja untuk menggunakan metoda La-grangean heuristic untuk memecahkan persoalan fasilitas yang berbeda dan untuk CFLP dengan mengurangi beberapa kendala dan solusi dari persoalan kendala adalah trivial.

Metoda Lagrangean heuristic ini menggunakan kendala pengganti untuk mengakselerasi kekorvergenan pada metoda sub gradian. Brahma dan Chudak (2001) menggunakan metoda Lagrangean heuristic menyelesaikan persoalan CFLP untuk memaksimalkan fungsi tujuan, algoritma yang digunakan adalah algorit-ma dari perluasan metoda subgradian yang bertujuan untuk menghasilkan solusi yang layak.

Beberapa algoritma yang tepat berdasarkan pada cabang dan batas yang telah disepakati, perbedaan diantara algoritma-algoritma ini adalah pada tipe relaksasi, metode penyelesaian relaksasi dan strategi adalah untuk memperbaiki batas bawah, Sa (1969) mengganti variable yi dengan:

1

ai

X

j∈J

xij

untuk mempersempit persoalan menjadi pesoalan transportasi.

Geoffrion and McBride (1978) menggunakan relaksasi Lagrangean untuk merelaksasi suatu kendala dan Nauss (1998) menggunakan relaksasi yang sama serta menggunakan ketaksamaan P

i∈Iaiyi ≥

P

j∈Jbj dalam rangka memperoleh

Misalkan I dipartisi menjadi dua himpunan bagian yaitu I0 sebagai

him-punan fasilitas tertutup dan I1 sebagai himpunan fasilitas terbuka yang

didefini-sikan sebagai berikut :

I0 = {i∈I, yi = 0}

I1 = {i∈I, y_i = 1}

Misalkan A adalah total kapasitas dari semua fasilitas terbuka dari sebuah partisi dan B adalah total permintaan dari semua pelanggan yang dinotasikan sebagai berikut :

A = X

i∈I

ai

B = X

j∈J

bj

Solusi yang berkaitan dengan partisi diatas adalah layak jika dan hanya jika

A ≥ B. Prosedur Tabu Search Heuristik adalah prosedur mencari himpunan solusi yang layak.

Beberapa peneliti telah menggunakan dan menerapkan meta heuristic tabu search pada berbagai persoalan dalam persoalan kombinatorial, dan dalam per-soalan lokasi fasilitas berkapasitas juga telah diperluas dan dikembagkan ke dalam persoalan lokasi fasilitas yang lebih kompleks. Prosedur tabu search heuristik terdiri dari siklus pencarian , setiap siklus pencarian terdiri dari fungsi diversi-fikasi. Proses pencarian utama dan fungsi diversifikasi ditentukan dan komponen-komponen dari prosedur tabu search heuristik dirinci selangkah demi selangkah deskripsi yang diberikan.

3.2 Relaksasi Lagrangean

Relaksasi lagrangean adalah suatu teknik yang dapat menghilangkan su-atu kendala sehingga secara eksplisit dapat memodifikasi fungsi objektif untuk menghindari solusi yang infisibel. Tinjau suatu integer linear programing sebagai berikut:

max{Cx:Ax ≤b dan A′_x≤b′_{}, x adalah bilangan bulat.}

Dengan x adalah vektor berukuran n×1 dan b adalah vektor berukuran m×1, dan Aadalah matriks berukuranm×n serta A′ _{adalah matriks berukuranp×n,} matriks A dan A′ merupakan matriks kendala.

Dengan mengabaikan A′x=b′ diperoleh

Q={x∈Rn|Ax≤b}, (3.2.1)

x≥0 dan bilangan bulat

Dengan asumsi bahwa fungsi objektif dapat dioptimalkan lewat Q yaitu

max

Ctx:A′x≤b′, x∈Q

Pandang untuk sebarang vector λ≥0 maka :

LR(x) = max

Ct+λt(b′−A′x)|x∈Q (3.2.2)

Persamaan (3.2.2) disebut sebagai relaksasi lagrange dari persamaan (3.2.1) dan

λ disebut sebagai pengali lagrangean.

Fa-cility Location Problem (CFLP) adalah satu jenis dari FLP yang meliputi ka-pasitas untuk fasilitas . CFLP mempertimbangkan lokasi fasilitas yang poten-sial dalam menetapkan biaya, relaksasi Lagrangean adalah salah satu pendekatan dalam menyelesaaikan persoalan CFLP.

BAB 4

METODE PENYELESAIAN PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS

4.1 Dasar Pendekatan

Persoalan lokasi fasilitas berkapasitas (Capacitated Facility Location Prob-lem atau CFLP) juga disebut sebagai persoalan linier integer campuran (Mixed Integer Linier Program disingkat dengan MILP).

Tinjau masalah MILP dengan formulasi berikut :

Minimumkan P =ctx (4.1.1)

Dengan kendala :

Ax≤b (4.1.2)

x≥0 (4.1.3)

xj adalah integer, j ∈J (4.1.4)

Dimana A adalam matriks berukuran m×n yang disebut juga sebagai matriks kendala, x dan cadalah vektor berukuran n×1 serta b adalah vektor berukuran

m×1.

Komponen dasar optimal dari vektor yang feasibel (xB)k pada penyelesaian

MILP dapat ditulis dalam bentuk:

(xB)k =βk−αk1(x_N)1− · · · −α_kj(x_N)_j − · · · −α_kn−m(x_N)n−m (4.1.5)

partisi βk kedalam integer dan campuran yang didefinisikan sebagai berikut :

βk = [βk] +fk, 0≤fk≤1 (4.1.6)

Andaikan (xB)k naik menuju ke integer yang paling dekat yaitu ([β] + 1).

Ber-dasarkan pada penyelesaian sub optimal dapat menambahkan variabel non basic (xN)j∗, sebagai batas atasnya nol denganα_kj∗ yang dituju sebagai salah satu

vek-tor dariαj∗ yang negatif.

Misalkan ∆j∗ bergerak pada non variabel (x_N)_j∗ sehingga nilai numerik dari (x_B)_k

adalah integer, maka berdasarkan persamaan (4.1.5) ∆j∗ dapat dituliskan dengan:

∆f∗ =

1−fk −αkj∗

(4.1.7)

Selanjutnya subsitusikan persamaan (4.1.6) ke persamaan (4.1.7) untuk (xN)j∗

dan subsitusikan kedalam partisi βk pada persamaan (4.1.6) diperoleh :

(xB)k = [β] + 1

Jadi (xB)k adalah integer.

Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa variabel non basic mempunyai pe-ranan penting pada kaidah integrasi yang berkaitan dengan variabel basic. Oleh karena itu hasil ini diperlukan untuk mengkonfirmasi bahwa harus variabel integer digunakan untuk proses integrasi.

Teorema 4.1.1 Misalkan masalah MILP pada persamaan (4.1.1) sampai dengan persamaan (4.1.4) mempunyai solusi yang optimal maka beberapa variabel non

basic (xN)j dengan j = 1,2, , . . . , n, menjadi variabel non integer.

Bukti :

Penyelesaian persoalan merupakan kelanjutan dari variabel slack misalnya varia-bel non integer kecuali untuk kendala persamaan, jika diasumsikan vektor variavaria-bel basic xB terdiri dari semua variabel slack maka semua variabel integer menjadi

vektor non basic xN yang nilainya integer.

4.2 Metode Derivasi

Suatu komponen lain (xB)i6=_k dari vektor x_B menjadi nilai numerik dari

skalar (xN)j∗ naik pada ∆_j∗, akibatnya jika suatu elemen dari vektor α_j∗ yaitu

elemenαj∗ untuki6=kadalah positif maka elemen darix_B akan menurun menuju

nol. Namun komponen vektor x tidak harus menuju nol karena pembatasan non negatif. Oleh karena itu suatu rumusan disebut uji rasio minimum diperlukan untuk melihat pergerakan maksimum dari variabel non basic (xN)j∗ sedemikian

rupa sehingga semua komponen x feasibel.

Uji rasio ini meliputi dua kasus yaitu :

1. Suatu variabel basic (xB)i6=_k menurun menuju nol atau batas bawah.

2. Variabel basic (xB)k bertambah atu naik menuju suatu integer.

Keterkaitan kasus (1) dan (2) diformulasikan bahwa :

θ1 = min

|i6=j|αj∗>0

βj

αj∗

(4.2.1)

θ2 = ∆_j∗

vektor x yang tersisa adalah feasibel bergantung kepada uji rasio θ∗ _yang difor-mulasikan dengan :

θ∗ = min(θ1, θ2) (4.2.2)

Jika θ∗ = θ1 maka salah satu dari variabel basic (x_B)_i6=_k akan mencapai batas

bawah sebelum (xB)k menjadi integer.

Jika θ∗ =θ2 nilai numerik dari variabel basic (x_B)_k akan menjadi integer.

Dalam kasus variabel non basic tertentu, (xN)j∗ yang berkaitan dengan

ele-men positif dari vektor αj′ diformulasikan dengan :

∆f′ =

fk

αkj

(4.2.3)

Satu satunya faktor yang diperlukan untuk menentukan elemen dari vektor α

dinyatakan dalam bentuk :

αj =B−

1

aj (4.2.4)

dimana j = 1,2, . . . , n−m.

Untuk memperoleh elemen-elemen dari vektorαj yaitu dengan menjabarkan

kolom matriks [B]−1

. Andaikan diperlukan nilai dari αkj∗ maka misalkan v_kT

sebagai vektor kolom ke k dari [B]−1

maka diperoleh :

vT_k =eT_kB−1

(4.2.5)

Sehingga nilai numerik αkj∗ diperoleh

αkj∗ =v_kTa_j∗ (4.2.6)

Mengurangi vektor biaya dj digunakan untuk mengukur kemerosotan fungsi

tujuan karena pembebasan variabel non basic (xN)j∗ mengakibatkan variabel

ba-Dimana nilai |a| adalah nilai absolut dari a.

Untuk memaksimalkan penyelesaian yang optimal digunakan strategi yaitu strategi yang menentukan variabel non basic yang mungkin naik atau bertambah dari batas nol yaitu :

min

Dari strategi aktif constraint dan partisi pada kendala yang berkaitan de-ngan variabel-variabel basic (B), super basic (S) dan non basic (N) maka per-samaan (4.1.2) matriksAdapat dinyatakan sebagaiA= (B S N), dengan matriks

B adalah matriks bujur sangkar yang tak singular yang elemen-elemennya beru-pa koefisien variabel basic, matriks N berupa koefisien variabel nonbasic serta S

berupa koefisien variabel super basic. Misalkan x dapat dinyatakan sebagai:

x=

Dimana : xB adalah vektor variabel basic

xN adalah vektor variabel non basic

xS adalah vector variabel super basic

MakaAx =B dapat ditulis menjadi :

Atau :

BxB+SxS+N xN = b (4.2.10)

xN = bN (4.2.11)

Karena matriks basis B adalah matriks bujursangkar dan non singular artinya bahwa matriks B mempunyai invers yaitu B−1

sehingga persamaan (4.2.10) bila dikalikan dengan B−1

diperoleh :

xB =β−W xS−αxN (4.2.12)

Dimana :

β = B−1b (4.2.13)

W = B−1

S (4.2.14)

α = B−1

N (4.2.15)

Sehingga fungsi objektif pada persamaan (4.1.1) dapat ditulis menjadi :

P =CBtxB+CNt +CSt

Dengan kendala :

BxB+SxS+N xN = b

xN = bN

Dengan mensubsitusikan persaman (4.2.12) formulasi P menjadi :

P = C_Bt(β−W xS−αxN) +CNtxN +CStxS

= C_Bt(β+ (C_Nt −α)xN + (CSt −W)xS

Teorema 4.2.1 Misalkan masalah MINLP mempunyai batasan penyelesaian yang kontinu maka dapat diperoleh non integer yi didalam variabel basic yang optimum.

Bukti :

a. Jika variabelnya merupakan variabel non basic maka variabel non basic adalah terbatas dan mempunyai nilai integer.

b. Jika yi adalah super basic, ini memungkinkan untuk menjadikan yi

menja-di menjamenja-di basic dan termasuk dalam non basic yang terbatas dan meng-gantinya atau memasukkan kedalam super basic.

Jika uji rasio yang dinyatakan dalam persamaan (4.1.2) tidak dapat digunakan sebagai alat untuk menjamin solusi integer optimal di wilayah yang feasibel maka digunakan uji kelayakan Minos untuk memeriksa apakah solusi integer adalah layak atau tidak layak.

4.3 Pivoting

Misalkan posisi variabel (xB)k dimasukkan (integerized) dan variabel non

basic (cN)j∗ dilepaskan dari batasan dari nol, pandang pergerakan maksimum

dari (xN)j∗ memenuhi :

θ∗ = ∆j∗

Sehingga nilai (xB)k adalah integer mengekploitasi cara mengubah basis di dalam

Minos dengan pergerakan (xN)j∗ ke dalamB yaitu menggantikan (x_B)_k dan nilai

integer (xB)kkedalamSuntuk mempertahankan solusi integer. Karena masih ada

pro-ses integrezing berlanjut dengan suatu himpunan baru yaitu [B, S] dan berakhir ketika semua variabel integer menjadi super basic.

Teorema 4.3.1 Suatu solusi sub optimal ada di MILP dan MINLP dimana se-mua variabel integernya adalah super basic.

Bukti :

1. Jika semua variabel integer ada diN maka variabel integernya terbatas.

2. Jika suatu variabel interger adalah basic kemunkinannya adalah:

a. Pertukaran variabel integer dengan super basic adalah kontinu.

b. Membuat dan membawa variabel superbasic kedalam batas non ba-sic untuk menggantinya ke dalam basis yang mengakibatkan solusi merosot.

Hal yang dapat terjadi yaitu suatu variabel basic (xB)i6=k yang berbeda

dapat mencapai batas sebelum (xB)k menjadi integer.

Jika θ∗ = ∆1 berarti pergerakan variabel basic (x_B)_i ke dalam N dan

po-sisinya di vektor variabel basic digantikan oleh non basic (xN)j∗. Berarti (x_B)_k

masih menjadi variabel non-interger basic dengan nilai baru.

BAB 5

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Persoalan lokasi fasilitas berkapasitas adalah persoalan menentukan suatu lokasi yang feasibel, yang juga merupakan persoalan program linier integer cam-puran. Dengan memilih tepat suatu lokasi pada himpunan lokasi yang feasibel dengan kapasitas yang memadai dan memilih aliran yang tepat dari lokasi ke pelanggan dapat meminimalkan biaya. Jika jumlah atau total dari semua fasilitas yang dibuka dapat melayani total semua permintaan dari pelanggan maka solusi dari persoalan lokasi fasilitas berkapasitas dikatakan merupakan solusi layak.

5.2 Saran

DAFTAR PUSTAKA

Aardal,K. 1998. Capacitatede Facility Location: Separation Algorithm and com-putational experience. Matematical Programming, 81, 149-175

Aardal, K., Pochet, Y., and Woshley, L.A.1995. Capacitated Facility Location: Valid inequalities dan facets. Mathematics of Operations Research, 20, 552-582.

Abrams, Zoe., Konemann, Jochen., Meyerson, Adam., and Mungala, Kamesh., Facility Location with Interference. Stanford University.

Barahona, F. and Chudak, F. (2001). Near-optimal solutions to large scale facility location problems, Technical Report, www.ifor.math.ethz.ch/ staff/chudak

Beasley, J. E. (1988). An algorithm for solving large capacitated warehouse location problems. European Journal of Operational Research, 33, 314-325.

Boffey, T. B. (1989). Location problems arising in computer networks.The Journal of the Operational Research Society, 40(4), 347-354.

Christofides, N. and Beasley, J. E. (1983). Extensions to a Lagrangean relaxation approach for the capacitated warehouse location problem. European Journal of Operational Research, 12, 19-28.

Cornuejols, G., Sridharan, R. and Thizy, J. M. (1991).”A comparison of heuris-tics and relaxations for the capacitated plant location problem,” European Journal of Operational Research, 50, 280-297

Chudak, F. 1998. Improved approximation algorithms for the uncapacitated facility location. In Proceedings of the 6th IPCO Confrence, 180-194

Chudak, F., Williamson, D.P. 1999. Improved approximation algorithms for capa-citated facility location problems. In proceeding of the 7th IPCO Confrence, 99-113

Charikar, Moses., Guha, Sudipto. 2004. Improved Combinatorial Algorithm for.Facility Location Problems. Stanford University.

Domschke, W. and Drexl, A. (1985). ADD-heuristics’ starting procedures for ca-pacitated plant location models. European Journal of OperationalResearch, 21, 47-53.

Feldman, E., Lehrer, F. A. and Ray, T. L. (1966). ”Warehouse location under continuous economies of scale,” Management Science, 12, 670-684

Geoffrion, A. M. and McBride, R. (1978). ”Lagrangian relaxation applied to capa-citated facility location problems,” AIIE Transactions, 10, 40-47.

Jacobsen, S. K. (1983). ”Heuristics for the capacitated plant location model,” European Journal of Operational Research, 12, 253-261

Kochmann, G. A. and McCallum, C. J. (1981). Facility location models for plan-ning a transatlantic communications network. European Journal of Opera-tional Research, 6, 205-211.

Klose, A. and Drexl, A. (2002b). A partitioning and column generation approach for the capacitated facility location problem. Technical report, University of St. Gallen.

Korupolu, M. R., Plaxton, C. G., and Rajaraman, R. (1998). Analysis of a lo-cal search heuristic for facility location problems. Technilo-cal Report 98-30, DIMACS, Rutgers University

Kuehn, A. A. and Hamburger, M. J. (1963). A heuristic program for locating warehouses. Management Science, 9, 643-666

Levi, Retsef., Shmoys, D.B., Swamy, Chaitanya., LP-based Approximation Algo-rithms for Capacitated Fscility Location.

Leung, J. M. Y. and Magnanti, T. L. (1989). ”Valid inequalities and facets of the capacitated plant location problem,” Mathematical Programming, 44, 271-291.

Lorena, L. A. N. and Senne, E. L. F. (1999). ”Improving traditional subgradi-ent scheme for Lagrangean relaxation: an application to location problems,” International Journal of Mathematical Algorithms, 1, 133-151.

Mirzaian, A. (1985). Lagrangian relaxation for the star-star concentrator location problem: Approximation algorithm and bounds. Networks, 15, 1-20.

Nauss, R. M. (1978). ”An improved algorithm for the capacitated facility location problem,” Journal of the Operational Research Society, 29, 1195-1201. Sun, M.(2008). A Tabu Search Heuristic Procedure for the Capacitated Facility

Location Problem. Working Paper Series. 061, The University of Texas at San Antonio, College of Business.