LINGKARAN
A mathematician, like a painter or a poet, is a maker of patterns. If his patterns are more permanent than theirs, it is because they are made with ideas. ... Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics.
- G.H. Hardy (1940 [1967], A Mathematician’s Apology, pp. 84-85)
KONTEN MATERI: SUDUT PUSAT SUDUT KELILING
HUBUNGAN SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING
HUBUNGAN SUDUT PUSAT, PANJANG BUSUR DAN KELILING LINGKARAN
2
Bahan ajar ini disusun berdasarkan kompetensi dasar yang tertuang dalam kurikulum 2013 pada Permendikbud Nomor 24 Tahun 2016. Bahan ajar
ini menitikberatkan pada aktivitas siswa dalam menyusun pengetahuannya sendiri secara deduktif. Bahan ajar ini menyajikan konsep secara deduktif
disertai dengan pertanyaan-pertanyaan yang mengarah kepada kompetensi yang ingin dicapai oleh siswa. Selain itu, bahan ajar ini juga menyajikan
permasalahan kontekstual dan memerlukan kemampuan berpikir tingkat tinggi.
Secara umum bahan ajar ini terdiri dari bagian motivasi, indikator capaian
kompetensi, apersepsi (Mari mengingat kembali), kegiatan siswa, contoh
soal dan penyelesaiannya, latihan soal. rangkuman dan uji kompetensi.
Bagian motivasi menyajikan permasalahan kontekstual yang berkaitan dengan topik materi yang akan dipelajari. Selain itu, pada bagian ini juga
disisipkan kompetensi inti dari sikap sosial dan spiritual. Diharapkan dengan siswa menyimak bagian ini, mereka bersemangat dan bersungguh-sungguh dalam mengikuti proses pembelajaran.
Bagian indikator capaian kompetensi memuat kompetensi-kompetensi
(operasional) yang diharapkan siswa dapat menguasainya. Indikator ini juga
yang menjadi pedoman dalam melakukan penilaian hasil belajar
siswa.Diharapkan dengan siswa menyimak bagian ini, siswa dapat
mempersiapkan dirinya sebaik mungkin untuk menyerap pengetahuan.
Bagian apersepsi menyajikan soal tentang materi atau kompetensi yang telah dibahas sebelumnya dan berkaitan dengan materi atau kompetensi yang akan dipelajari. Diharapkan dengan siswa mengerjakan apersepsi ini, siswa
memiliki pemahaman yang relatif sama dalam memulai pembelajaran.
Bagian kegiatan siswa memuat serangkaian kegiatan yang mesti siswa
lakukan dan pertanyaan-pertanyaan yang mesti dijawab yang mengarah kepada penyusunan konsep dari materi atau kompetensi yang ingin dicapai.
Pada bagian ini, materi disusun secara deduktif.
Bagian contoh soal dan penyelesaiannya menyajikan beberapa
permasalahan yang berkaitan dengan kegiatan yang baru saja siswa lakukan beserta penyelesaiannya. Bagian ini menyajikan soal dalam tiga ranah kognitif,
yakni pengetahuan, penerapan dan penalaran.
3
Bagian latihan soal menyajikan beberapa permasalahan yang berkaitan dengan materi atau kompetensi yang telah dipelajari. Soal yang disajikan terdiri
dari tiga ranah kognitif, yakni pengetahuan, penerapan dan penalaran. Diharapkan dengan siswa mengerjakan soal pada bagian ini, mereka memiliki
pengalaman dalam menyelesaikan masalah dan semakin percaya diri dalam menyelesaikan masalah-masalah lainnya.
Bagian rangkuman mengarahkan siswa untuk menuliskan
konsep-konsep yang telah mereka bangun melalui serangkaian kegiatan. Pada bagian
siswa diberikan keleluasaan dalam merangkum dengan bahasa mereka
masing-masing namun tetap diarahkan dengan kerangka rangkuman.
Bagian uji kompetensi memuat soal yang berkaitan dengan materi atau
kompetensi dari awal hingga akhir. Bagian ini digunakan untuk menilai hasil
belajar siswa. Butir soal pada uji kompetensi disusun berdasarkan indikator
4
GAMBARAN ISI ... 2
DAFTAR ISI ... 4
MOTIVASI ... 5
INDIKATOR CAPAIAN KOMPETENSI ... 5
MARI MENGINGAT KEMBALI ... 7
SUDUT KELILING, SUDUT PUSAT DAN HUBUNGANNYA KEGIATAN 1 SUDUT KELILING ... 10
KEGIATAN 2 SUDUT PUSAT ... 13
KEGIATAN 3.1 SUDUT-SUDUT YANG MENGHADAP BUSUR YANG SAMA ... 15
KEGIATAN 3.2 HUBUNGAN SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING ... 16
CONTOH SOAL ... 19
LATIHAN SOAL 1 ... 22
HUBUNGAN SUDUT PUSAT; PANJANG BUSUR DAN LUAS JURING; KELILING DAN LUAS LINGKARAN KEGIATAN 4 SUDUT PUSAT, PANJANG BUSUR DAN LUAS JURING ... 26
KEGIATAN 5 HUBUNGAN SUDUT PUSAT, PANJANG BUSUR DAN KELILING LINGKARAN ... 27
CONTOH SOAL ... 29
5
“BERBAGI MARTABAK MANIS”
Sore ini Rifai dan kawan-kawan berjanji untuk makan bersama beberapa anak jalanan sebagai
bentuk syukur atas kelulusan SMA. Rifai mendapat tugas untuk membeli kue. Rifai memutuskan untuk membeli martabak manis seperti pada gambar
disamping. Bangun datar apakah yang serupa
dengan bentuk martabak manis tersebut? Jika ada 6 orang yang hadir makan bersama dan setiap orang mendapatkan satu potong yang sama
besar, bagaimana cara pembuat martabak manis menentukan ukuran tiap potongan? Bandingkan
dengan ukuran potongan jika yang hadir 9 orang.
Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi
3.7 Menjelaskan sudut pusat, sudut keliling,
panjang busur, dan luas juring lingkaran, serta
hubungannya
1. Membedakan sudut pusat dan bukan sudut
pusat
2. Membedakan sudut keliling dan bukan sudut
keliling
3. Menentukan hubungan sudut pusat dan
sudut keliling yang menghadap busur yang
sama
4. Menentukan hubungan panjang busur,
keliling dan sudut pusat lingkaran
5. Menentukan hubungan luas juring, luas
daerah, dan sudut pusat lingkaran
6. Menjustifikasi hubungan sudut pusat dan
sudut keliling
7. Menjustifikasi hubungan panjang busur,
keliling dan sudut pusat lingkaran
MOTIVASI
INDIKATOR CAPAIAN KOMPETENSI
6
8. Menjustifikasi hubungan luas juring, luas
daerah dan sudut pusat lingkaran
9. Menyusun pertanyaan dan penyelesaiannya
tentang hubungan sudut pusat dan sudut keliling
10. Menyusun pertanyaan dan penyelesaiannya
tentang hubungan panjang busur, keliling
dan sudut pusat lingkaran
11. Menyusun pertanyaan dan penyelesaiannya
tentang hubungan luas juring, luas daerah dan sudut pusat lingkaran
4.7 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sudut pusat,
sudut keliling, panjang busur, dan luas juring
lingkaran, serta hubungannya
1. Menerapkan hubungan sudut pusat dan
sudut keliling dalam menyelesaikan masalah
2. Menerapkan hubungan panjang busur,
keliling dan sudut pusat lingkaran
3. Menerapkan hubungan luas juring, luas
daerah dan sudut pusat lingkaran
7
1. Diketahui suatu sudut seperti pada gambar berikut.
Titik _____merupakan titik sudut, sedangkan kaki-kaki sudutnya adalah _____
dan _____
Dengan menggunakan busur derajat, ukuran sudut tersebut adalah_________
2. Dengan menggunakan jangka, lukislah lingkaran yang berpusat di P.
Selanjutnya:
a. Apakah titik P merupakan titik pusat lingkaran?
b. Lukislah ruas garis AP dimana A sebarang titik pada lingkaran P.
Unsur lingkaran apa yang kamu peroleh?
c. Lukislah ruas garis AB, dimana B sebarang titik pada lingkaran P.
Unsur lingkaran apa yang kamu peroleh?
d. Lukislah ruas garis AC dimana C merupakan titik pada lingkaran P dan
AC melalui titik P.
Unsur lingkaran apa yang kamu peroleh?
Bagaimana ukuran ruas garis AP dibandingkan ruas garis AC?
Apa hubungan ruas garis AB dengan ruas garis AC?
e. Perhatikan ruas garis lengkung AB.
Ada berapa ruas garis lengkung yang kamu temukan? Unsur lingkaran apa yang kamu temukan?
MARI MENGINGAT KEMBALI
α
Nama sudut tersebut adalah
a. ________________; atau
b. ________________; atau
c. ________________; atau
8
Bagaimana hubungan ruas garis lengkung AB dengan keliling lingkaran?
f. Lukislah ruas garis PB, lalu perhatikan daerah yang dibatasi oleh ruas
garis AP, ruas garis PB, dan ruas garis lengkung AB.
Ada berapa daerah yang kamu temukan? Unsur lingkaran apa yang kamu temukan?
Bagaimana hubungan daerah APB dengan daerah lingkaran?
g. Perhatikan daerah yang dibatasi oleh ruas garis AB dan ruas garis
lengkung AB.
Ada berapa daerah yang kamu temukan? Unsur lingkaran apa yang kamu temukan?
9
3. Diketahui ukuran jari-jari lingkaran P adalah 10 satuan panjang. Berapa luas
dan keliling lingkaran P?
4. Perhatikan gambar berikut. Garis m dan n saling sejajar dan dipotong oleh
garis h.
a. Jika ∠ = °, tentukan ∠ . Apa hubungan ∠ dan ∠ ?
b. Sebutkan sudut-sudut yang saling berseberangan
10
1. Lukislah sebuah lingkaran dengan jari-jari sebarang. Beri nama lingkaran P
2. Lukislah sudut yang berpusat di lingkaran P dengan kaki-kakinya sudutnya
berimpit dengan tali busur lingkaran P
Gambar tersebut merupakan contoh sudut keliling.
SUDUT PUSAT, SUDUT KELILING DAN HUBUNGANNYA
11
3. Perhatikan tabel contoh sudut keliling dan contoh bukan sudut keliling di
bawah ini. Kemudian lengkapilah.
12
Ciri-ciri sudut keliling adalah: Titik pusatnya
Kaki-kaki sudutnya
13
1. Lukislah sebuah lingkaran dengan jari-jari sebarang. Beri nama lingkaran R.
2. Lukislah sebuah sudut yang berpusat di pusat lingkaran R dan kaki-kaki
sudutnya berimpit dengan jari-jari lingkaran
Gambar tersebut merupakan contoh sudut pusat.
3. Perhatikan tabel contoh pusat dan bukan contoh sudut pusat di bawah ini.
Kemudian lengkapilah.
Contoh Sudut Pusat Bukan Contoh Sudut Pusat
15
Perhatikan gambar berikut Ciri-ciri sudut pusat adalah:
Titik pusatnya
Kaki-kaki sudutnya
Jadi sudut pusat adalah
16
Dengan menggunakan busur derajat, ukurlah besar sudut A, B, C, D, E dan F.
Lalu isilah tabel berikut.
Nama Sudut Besar Sudut Nama Sudut Besar Sudut
Apakah sudut A, B, C, D, E dan F menghadap busur yang sama? Apa yang
dapat kamu simpulkan?
Ukurlah besar sudut pusat dan sudut keliling pada gambar berikut dengan
menggunakan busur. Lalu jawablah pertanyaan di bawah ini.
Gambar 1 Gambar 2 Gambar 3
17
Gambar 4 Gambar 5 Gambar 6
Perhatikan pasangan sudut A dan B, sudut C dan D, serta sudut E dan F.
Sebutkan nama busur lingkaran pada masing-masing sudut.
Sudut A menghadap busur __________ Sudut D menghadap busur __________
Sudut B menghadap busur __________ Sudut E menghadap busur __________
Sudut C menghadap busur __________ Sudut F menghadap busur __________
Apakah pasangan sudut pusat dan keliling pada gambar menghadap busur
yang sama? ____________
Isilah tabel di bawah ini
Gambar Ukuran sudut pusat (α) Ukuran sudut keliling (β)
1
2
3
18
Perhatikan pasangan sudut K dan L, sudut M dan N, serta sudut O dan P.
Sebutkan nama busur lingkaran pada masing-masing sudut.
Sudut K menghadap busur __________ Sudut N menghadap busur __________
Sudut L menghadap busur __________ Sudut O menghadap busur __________
Sudut M menghadap busur __________ Sudut P menghadap busur __________
Apakah pasangan sudut pusat dan keliling pada gambar menghadap busur
yang sama? ____________
Isilah tabel di bawah ini
Gambar Ukuran sudut pusat (α) Ukuran sudut keliling (β)
4
5
6
Apakah terdapat kesamaan pada pasangan sudut tersebut. Jelaskan.
19
Perhatikan contoh soal berikut.
1. Perhatikan gambar-gambar berikut
(a) (b)
(c)
(d)
(e)
Sebutkan gambar-gambar yang merupakan sudut pusat Sebutkan gambar-gambar yang merupakan sudut keliling
CONTOH SOAL
Jawaban:
Gambar-gambar yang merupakan sudut pusat adalah gambar (d)
20
2. Tentukan ukuran sudut pusat atau sudut keliling pada gambar-gambar
berikut
a. ∠ = __________
b. ∠ = __________
Jawaban:
a. ∠ = ∠ = ° = , °
21
3. Perhatikan lingkaran O berikut
Jika ∠ + ∠ + ∠ + ∠ = °. Tentukan ∠
4. Perhatikan lingkaran P berikut
Jawaban:
Ukuran sudut setiap sudut keliling yang menghadap busur yang sama
adalah sama besar. Sehingga,
∠ = ∠ = ∠ = ∠ =
∠ + ∠ + ∠ + ∠ = °
+ + + = °
= °
= °
22
Garis AC merupakan diameter lingkaran P. Tunjukkan bahwa ∠
merupakan sudut siku-siku.
1. Perhatikan gambar-gambar berikut
(a) (b)
(c) (d)
(e)
(f) Jawaban:
∠ merupakan sudut pusat yang berukuran 180o. Sehingga,
∠ = ∠ = ° = °
Karena ∠ = °, maka ∠ merupakan sudut siku-siku.
23
(g) (h)
Sebutkan gambar-gambar yang merupakan sudut pusat
Sebutkan gambar-gambar yang merupakan sudut keliling
2. Tentukan ukuran sudut pusat atau sudut keliling pada gambar-gambar
berikut
24
3. Perhatikan gambar berikut
Jika ∠ = ° dan ∠ = °. Tentukan selisih dari a dan b
25
Buktikan bahwa jumlah sudut yang saling berhadapan pada segiempat
26
Perhatikan gambar lingkaran berikut.
Sudut pusat lingkaran tersebut adalah __________
Busur (kecil) pada lingkaran tersebut adalah __________
Juring (kecil) pada lingkaran tersebut adalah __________
Apa yang terjadi pada busur dan juring lingkaran jika ukuran sudut pusat diperbesar? Bagaimana sebaliknya?
Jika ukuran sudut pusat 360o, bagaimana ukuran busur dan juring lingkaran?
HUBUNGAN SUDUT PUSAT DENGAN
PANJANG BUSUR DAN LUAS JURING
27
Apa yang dapat kamu simpulkan?
Perhatikan tabel berikut dan lengkapilah
Gambar
28
Tuliskan kesimpulan yang dapat kamu ambil dari kegiatan di atas.
29
1. Tentukan panjang busur lingkaran yang sudut pusatnya 75o dan jari-jari
lingkaran 3,5 cm
2. Perhatikan gambar berikut.
Jika panjang busur terpendek AC adalah satuan panjang, jari-jari 18 satuan
panjang dan � = . Tentukan besar sudut ∠
CONTOH SOAL
Jawaban:
Panjang busur lingkaran = °
°× �
= °° × × × , =
Jadi panjang busur lingkaran adalah cm
30
3. Manakah yang lebih panjang, busur lingkaran O dengan sudut pusat α dan
jari-jari r; atau busur lingkaran P dengan sudut pusat ∝ dan jari-jari 2r.
Jelaskan
Perhatikan tabel berikut dan lengkapilah
Gambar
��� ° � ��� � ���
Jawaban:
Panjang busur pada lingkaran O : panjang busur pada lingkaran P
�
Jadi, kedua busur lingkaran sama panjang.
31
Tuliskan kesimpulan yang dapat kamu ambil dari kegiatan di atas.
32
1. Perhatikan gambar berikut
Jika jari-jari lingkaran O adalah 10 satuan panjang, tentukan luas juring kecil AOB.
2. Diketahui luas suatu juring lingkaran yang berjari-jari 7 cm adalah cm2.
Tentukan ukuran sudut keliling dari sudut pusat juring lingkaran tersebut.
CONTOH SOAL
Jadi panjang busur lingkaran adalah satuan luas
Jawaban:
33
Jika OP = 5 satuan panjang. Tentukan
a. Panjang busur terpendek PQ
b. Luas juring terbesar POQ
3. Manakah yang lebih luas, juring lingkaran O dengan sudut pusat α dan
jari-jari r; atau juring lingkaran P dengan sudut pusat ∝ dan jari-jari 2r. Jelaskan
1. Perhatikan gambar berikut
Jawaban:
Luas juring pada lingkaran O : Luas juring pada lingkaran P
�
Jadi, juring lingkaran P lebih luas daripada juring lingkaran O.
34
BC merupakan diameter lingkaran O, AB = 5 satuan panjang dan
AC = 12 satuan panjang. Tentukan
c. Jari-jari lingkaran O
d. Luas daerah yang diarsir
Jika panjang busur terpendek PR adalah 12 satuan panjang.
Tentukan keliling setengah lingkaran O
2. Perhatikan gambar berikut
35
4. Sebuah toko biskuit menjual dua macam biskuit. Biskuit A berbentuk lingkaran
dengan jari-jari 4 cm dijual dengan harga Rp5.000,-. Biskuit B berbentuk juring
lingkaran dengan sudut pusat 65o berjari-jari 6 cm dijual dengan harga
Rp5.500. Kedua biskuit memiliki ketebalan yang sama. Rofi memutuskan untuk membeli biskuit A karena lebih menguntungkan. Apakah keputusan Rofi
36 RANGKUMAN
Sudut pusat adalah ___________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Contohnya adalah (gambar):
Sudut keliling adalah __________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
37
Pada gambar berikut
Besar sudut pusat sama dengan ______________ sudut keliling
Pada gambar berikut
∝
° = Keliling lingkaran =
38
A. Pilihan Ganda
1. Yang merupakan contoh sudut pusat adalah ...
A. C.
B. D.
2. Yang merupakan contoh sudut keliling adalah ...
A. C.
39
B. D.
3. Perhatikan gambar berikut.
Jika ∠ = �° maka ∠ = ...
A. �° C. �°
B. ° D. °
4. Perhatikan gambar berikut
40
A. + ° C. + °
B. + ° D. + °
5. Diketahui lingkaran O memiliki sudut pusat AOB dan panjang busur AB = q
cm. Jika sudut pusat diperbesar kali lipat dan jari-jari O diperpanjang 2 kali
lipat, maka panjang busur AB adalah ...
A. C.
B. D.
6. Perhatikan gambar berikut.
Jika jari-jari lingkaran O diperpanjang 3 kali lipat dan luas juring kecil diperkecil
menjadi dari semula, maka besar sudut pusat menjadi ...
A. kali dari semula C. kali dari semula
41
B. Uraian
1. Toni sedang mengerjakan soal berikut
Tentukan nilai besar sudut y
Toni mengerjakannya sebagai berikut
∠ + ∠ = °
+ ° = °
= ° − ° = °
Apakah pekerjaan Toni sudah tepat? Jelaskan. (jika salah, tunjukkan cara
penyelesaian yang benar).
2. Perhatikan gambar berikut
Tentukan kebenaran (benar, salah atau belum bisa ditentukan
42
a. Jika ∠ = °, maka panjang busur AB sama dengan panjang
diameter lingkaran O
b. Jika ∠ = °, maka luas juring AOB sama dengan seperempat luas
lingkaran O
3. Perhatikan gambar berikut
Buatlah pertanyaan berdasarkan gambar di atas beserta penyelesaiannya
4. Perhatikan gambar berikut
a. Buatlah pertanyaan terkait luas juring AOB beserta penyelesaiannya
43
5. Perhatikan gambar segilima beraturan dalam lingkaran berikut ini
Tentukan ukuran sudut PQR dan PSR.
6. Suatu jam analog membentuk sudut tertentu ketika menunjukkan suatu
waktu. Jika panjang jarum menit adalah 3 cm, tentukan panjang lintasan
busur lingkaran antara jarum menit dan jarum jam ketika pukul 14:00.
7. Rio memesan martabak manis ukuran besar dengan diameter 30 cm. Dia
berpesan kepada si pembuat untuk membagi martabak manis tersebut
menjadi 12 bagian sama besar. Berapa ukuran sudut pusat dari masing-masing potongan martabak manis? Berapa luas masing-masing-masing-masing potongan
44
1. a. ∠ ; atau b. ∠ ; atau c. ∠ ; atau d.
A; AC dan AB
2. a. Ya; b. Jari-jari lingkaran; c. Tali busur lingkaran; d. Diameter; e. 2, busur
lingkaran
f. 2, juring lingkaran; g. 2, tembereng; h. 360o
45
4. Petunjuk: lukis sudut pusat AOC atau BOD, lalu gunakan hubungan sudut
pusat dan sudut keliling
1. a. �; b. �
2. a. 6,5 cm; b. � −
3. 18 satuan
4. Ya, tepat
A. Pilihan Ganda
1. B 3. A 5. A
LATIHAN SOAL 2
46
Kemdikbud. (2014). Matematika kelas VIII SMP/MTs kurikulum 2013. Jakarta:
Kemdikbud.
Boyd, Cummins, Carter, M. & Flores. (2008). California geometry. Columbus, OH:
McGraw-Hill Companies.
47
Apotema lingkaran : Jarak terdekat antara titik pusat lingkaran dengan
tali busur lingkaran yang sama
Busur derajat : Alat untuk mengukur sudut
Busur lingkaran : Ruas garis lengkung yang berhimpit dengan suatu
lingkaran
Diameter : Tali busur lingkaran yang melalui pusat lingkaran.
Garis saling sejajar : Garis yang memiliki kemiringan yang sama
sehingga tidak akan berpotongan
Garis saling berimpit : Garis yang memiliki tak terhingga titik persekutuan
Jari-jari : Ruas garis yang ditarik dari pusat lingkaran ke
sebarang
titik pada lingkaran; sama dengan setengah
diameter.
Juring lingkaran : Daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh dua
jari-jari dan busur lingkaran
Kaki sudut : Sinar garis yang membentuk suatu sudut
Sudut : Daerah yang dibentuk oleh dua sinar garis yang titik
pangkalnya berimpit.
Tali busur lingkaran : Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada
lingkaran
Tembereng : Daerah lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali
busur
Titik pusat lingkaran : Titik yang memiliki jarak yang sama dari setiap titik
pada lingkaran
